PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Razón y proporción , Magnitudes proporcionales, Regla de tres simple , Repartos proporcionaleS, Regla de tres compuesta,Aplicaciones de la regla de 3,EJERCICIOS RESUELTOS

l. Razón y proporción
RAZON es el cociente de dos números.
Sea la aplicación y = ¡(xl – 3x
2 ….. + …… +-~6
Entre los elementos de A se pueden establecer 105 cocientes
3
1
2
1
3
2
1
3
1
2
2
3
Entre los elementos de B se pueden establecer los cocientes
9
3
6
3
9
6
3
9
3
6
6
9
A cada uno de esos cocíentes entre elementos de un mismo conju nto se
llama roz6n .
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Una razón consta de dos términos : ‘ a recibe el nombre de antecedente
y b el nombre de consecuente . El primero a es el dividendo y el segundo b
e,¡: el divisor.
Una talÓn tiene la forma de una fracción , por Jo tanto el antecedente es
el numerador y el consecuente es el denominador de la fracción.
Al Igual que en una fraccIón , si se multiplican los dos Mrminos por un
mismo número ésta no varía, en una razón, se pueden multiplicar los dos
términos por el mismo número no sufriendo alteración .
a an
b bn
Ana)ogamente , si se dividen los dos términos de una razón por el mismo
número la razon no varía
a a: n
b b ; n
Razón inversa de otra es la que tiene los términos invertidos.
SI la razón ~ es directa , ~ es inversa.
b a
El producto de una razón por su inversa es la identidad
a x ~ _ 1
b a
Ejemplo 1. Dada la raz6n : directa
-8 –8)-( -3 – 6 6)( 3
8
6
x -6 _ 1
8
24
18
~ es la razón inversa
PROPORCION es la igualdad de dos rozones.
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Observando la aplicación anterior se ve que la razón que hay entre los
elementos de A es la misma que hay entre sus respectivas imágenes
En general
3
1
9
3
2
1 – 6
3
a e
b d
3
2
9
6
También se suelen escribir las proporciones así:
a : b :: c : d
En toda proporción hay que distinguir cuatro I ~ rm inos , dos de ellos se
llaman medios y los otros dos extremos
a y d se llaman extremos
b y c se llaman medios.
a – e b d
En toda proporción el produclo de los extremos es igual al producto de
los medios
_a _ _e c:>ad =bc
b d
Recíprocamente: Si dados cuatro números <1, b, e y d son tales que ad - be entonceS estos cuatro números forman una proporción a e b d 6 a e b d 6 d e b a Esto nos indica que en una proporción se pueden permutar entre sí los medIos o los extremos_ También si ad = bc.= b = d a e nos indica que se puede invertir las dos razones y permutarlas. www.Matematica1.com Ejemplo 2. Dada la proporción _4 a _S_ S 10 se cumple S 10 10 8 __ a- S 4 _4 a _S4 8 S 10 CALCULO DE UN EXTREMO Y DE UN MEDIO. Un e"'"mo .5 Igual al producto de [os medios dividido por el otro extremo Si ~ = b -e ~ x x be a Un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio . S . a e ad l - --:r- X = X a e Ejemplo 3 Cakular el cuarto proporcional x a los números 2, 3 y 10 2 10 -- -_~x 3 x a ~ a 1S 2 MEmo PROPORCIONAL Se dice que una proporClon es continua cuando tiene sus medios iguales . El medio proporcional se obtiene como la raíz cuadrada del producto de sus extremos • - x ~x-J'ild x d Ejemplo 4. Determinar el medto propordonal a 3 y 12 ~a _x_~ xa'¡~a016a6 x 12 TERCERO PROPORCIONAL Se llama tercero proporcional a dos números dados, al cuarto término de una proporción continua en la que el priwww. Matematica1.com mer número dado es el primer término y el segundo es el término medio a b b x x es el tercero proporcional a a y b Para determinarlo a b b' ~ x ~ b x a Ejemplo 5. Determinar el tercero proporcional a 2 y 8 2 8 8 -~ x x _ 8' 2 PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES 32 Serie de razones iguales se denomina a tres o más razones iguales a e b d e f 9 h Cuando una serie de razones consta de dos, se reduce a una proporción. Las propiedades son 1 En toda serie de razones iguales se cumple que la suma de antecedentes dividida por la suma de consecuentes es igual a una cualquiera de las razones. S. a lb e d a + e + e b + d + f Es decir Te se cumple que a b a b a + c + e b + d + f e d e = = f e d a + e + e b + d + f a + c + e b + d + f e www.Matematica1.com La demostración es inmediata pues haciendo a C e - - = n setiene b d f - = n-a = bn b a + e + e a + c + e - n(b + d + f) ,.. = n ~ d b + d + f c - n ~ c = dn -e -n=e=fn el + C + e b + d + J a __e m e f b d J 51. -4 =2- - - 10- 6 3 15 entonces 2 En roda proporción la suma de los dos términos de una razón divid¡ · da por uno de ellos es igualo la sumo de los dos términos de la otra roz6n dividido por el término correspondiente de la otra raz6n . S· • lb c = d entonces En efecto a + b b (a + bid - b(c + di ad + bd = be+bd ad - be -a --c b d Ejemplo 7 - c + d d a + b y - a (a + blc - ac + be - be = a -= b c + d c a(c + dI ac + .d .d C d S.. -4 - -12- lamb). én _4 +_ 7 = 12 + 21 21 4 + 7 y - - = 12 + 21 7 21 7 4 12 www.Matematica1.com es decir 17 1 33 11 - --y-- 21 4 2. Magnitudes proporcionales MAGNITUD. Sea un conjunto M entre cuyos elementos se ha definido una relación
establecIdos en la magnitud, los elementos del conjunto M pueden ordenarse
linealmente entonces la magnitud se denomina escalar.
Clásicamente se definía magnitud como todo aquello que puede medirse
o pesarse y puede sufrir aumento o disminución. Cantidad es una porción
de magnitud .
CANTIDADES CORRESPONDIENTES son dos o mós cantidades cada
una perteneciente a una magnitud y relacionados entre sí.
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Así al establecer la relación entre mercancías y precio estamos relacionando
una cantidad de mercancía y una cantidad de precio.
1 kilo de naranjas cuesta 100 ptas.
8 kilos de naranjas cuestan 800 ptas.
Las cantidades 1 y 100 son correspondientes
8 y 800 son correspondientes
MAGNITUDES PROPORCIONALES. Dos magnitudes son proporcionales
si están relacionadas de tal forma que con dos cantidades de una magni·
tud y sus correspondientes de la otra magnitud se puede formar una proporción.
Las magnitudes mercancías y precio del caso anterior son proporcionales
porque
1
8
100, 1
~–o—
800 100
8
800
Por el contrario si tomamos las magnitudes talla y peso no son proporcionales
porque si un niño tiene 7 años y pesa 25 kilos y otro de 9 pesa 30
kilos
7 9 ‘”
25
— pues 7 x 30 “* 9 x 25
30
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Y MAGNITUDES
INVERSAMENTE PROPORCIONALES
al Dos magnitudes son directamente proporcionales
~Sí a cantidades doble, triple, etc., de una magnitud corresponden cantidades
doble, triple, etc., de la otra magnitud.
-Si a cantidades mitad, tercio, etc., de una magnitud corresponden
cantidades mitad, tercio, etc., de la otra magnitud.
Tomemos distintas cantidades de dos magnitudes distintas en esta correspondencia
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Días de trabajo 1 2 3 4 5
Dinero cobrado 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000
En 1 día cobra 5.000 ptas. } 1 5.000 —
En 2 días cobra 10.000 ptas. 2 10.000
En 2 días cobra 10.000 ptas. 1- 2 – 10.000 En 3 días cobra 15.000 ptas. 3 15.000
y así sucesivamente.
Se observa también que si
En 4 días cobra 20.000 ptas. 4 20.000 1 – – En 2 días cobra 10.000 ptas. 2 10.000
En 3 días cobra 15.000 ptas. } 3 15.000
En 1 día cobra 5.000 ptas. 1 5.000
Ejemplo 1 Las magnitudes capacidad de una piscina y tlempo
empleado en llenarse son magnitudes directamente proporcionales
b) Dos magnitudes son inversamente proporcionales
-Si a cantidades doble, triple, etc., de una magnitud corresponden cantidades
mitad, tercio, etc., de la otra magnitud.
-Si a cantidades mitad, tercio, etc., de una magnitud corresponden
cantidades doble, triple, etc., de la otra magnitud.
Tomando cantidades de las magnitüdes tiempo y velocidad para recorrer
una distancia
Tiempo en horas 9 6 5 4 3 2 1
Velocidad en km por hora lOO 150 180 225 300 450 900
Vemos que
A 100 por hora tarda 9 horas } 100 9 100 3 –‘#:-pero—_
A 300 por hora tarda 3 horas 300 3 300 9
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A triple velocidad corresponde un tercio de tiempo empleado. Si la velocidad
se reduce a la mitad el tiempo empleado es doble . Son magnitudes inversamente
proporcionales.
SI dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de dos cantidades
de una magnitud es igual a la razón de las cantidades correspondientes
de la otra magnitud.
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales. la razón de dos
cantidades de una magnitud es igual a la razón inversa de las cantidades correspondientes
de la otra magnitud
M N
a e
b d
Directamente proporcionales Inversamente proporcionales
a – e b d
a
b
d
e
Ejemplo 2 Para realizar una obra la reladón entre magnitudes de
obreros y tiempo empleado es
N. o obreros 5 10 15
~T~;e-m–po–e-m-p~le-.-d~o–+—~3~0C———1~5C———~10
530515
Se llene que — ” — pero — – – – son magnitudes in-
10 15 10 30
versamenle proporclonales_
3. Regla de tres simple
La regla de tres puede ser simple y compuesta.
la regla de tres simple se llama asf porque para resolver la proporción
que has de formar conoces tres de sus M:rminos. Cuando hay más de una
proporción entonces se llama compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Los problemas de regla de tres
simple d irecta son fos que dependen de magnitudes directamente proporcionales.
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Para resolver un problema de regla de tres hay que hallar:
1) Magnitudes que interviene.
2) Las cantidades de cada magnitud.
3) Tipo de proporcionalidad de las magnitudes (si es directa o si es inversa).
4) Escribir la proporción con las cantidades correspondientes
5) Determinar el término desconocido
Si por ejemplo tres entradas de cine cuestan 750 ptas, ¿cuánto costarán
10 entradas?
Aquí las magnitudes que intervienen son entradas y dinero y las cantidades
son 3 y 10 entradas mientras que las cantidades dinero son 750 ptas y x
(desconocido). La proporcionalidad es directa. pues a más entradas. más dinero.
La razón de las dos cantidades de entradas es:
La razón de dos cantidades de dinero es. 750
x
Igualando
3
10
3
10
750
= ~ x –
x
750 x 10 _ 2.500 ptas.
3
También se suele escribir
3 — 750 ptas.} x ~
10 x
o también
f
10 x 750
3
10’0-1——-\_
Entr”,das Dinero
= 2.500 ptas.
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Pero la aplicación f establecida entre las magnitudes Entradas y Precio es
una aplicación bilineal
Una aplicación bílineal cumple las dos condiciones
1) flx + y) – flx) + f(y)
2) f(ax) – af(x)
Por tanto se puede escribir
luego
f(3) ~ 750
f(3) – f(3 . 1) – 3f(l) ~ 750
f(l) = -750 ~ 250
3
La Imagen de 1 es el precio de una entrada y el precio de 10 entradas
será
f(lO) – f(lO . 1) – 10 . f(l) ~ 10 . 250 – 2.500 ptas.
Este método se denomina de reducción a la unidad ,
éjempfo l . Normalmente un niño permanece en clase 20 horas
en 4 días, ¿cuántas horas permanecerá en 12 días de c1aSE’?
Se puede hacer dIrectamente
Horas Dras
20
x
4
12
20 12
x – … 60 horas
4
Utilizando el m ~ lod o de reducci6n a la unidad
\
I
4 20
12 ,
‘- ./ …..
Hm~
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Luego
JI4} – 20 ~ JI4 . J} – 20 ~ 4 JII} – 20 ~ JIl} –
20
– – – ~ 5
4
JI12} – 12fI I} 12 5 – 60
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. Los problemas de regla de tres
simple inversa son los que dependen de magnitudes Inversamente proporcionales.
Se resuelven formando una proporción con la razón entre dos cantidades
de una magnitud y la razón inversa de las cantidades de la a ira magnitud
.
Si por ejemplo leyendo 12 páginas de un libro diariamente , se tarda 8
días en leerlo, ¿cuántos días hubiera tardado leyendo 3 páginas diarias?
Las magnitudes que intervienen son páginas y días y las cantidades 12 y
3 son páginas mientras que las cantidades de días son 8 y x. La proporcionalidad
es inversa pues a más páginas leídas por día menos días tardará en
leerlo.
La razón entre las cantidades de páginas leidas es: 132
La razón inversa de los días tardados en leerlo es: ~
8
Igualando
12
3
_x .. x =
8
12 · 8
3
– 32 días
Utilizando el método de reducción a la unidad
r’ ,
l’~ ~ *
3 ~ ~ ~
\.. ./
P.\glnas
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1(12) – 102 . 1)
1
1(1) ~ ~’=
8· 12
La imagen de 3 es
1(3) – 1 x
1(3) = lO 3) – 3/(1) – 3 .
1
96
12/{\)
1
~-
8
=-1-
96
1 96 32 ~
_ _ x
~ ~
x 3
Ejemplo 2 Para hacer una obra en 30 días se han necesItado 60
obreros. ¿cuántos obreros se necesitan para hacerlo en 20 días?
Las magnitudes son inversamente proporCionales, luego:
Se llene
Días Obreros
30 – – 60
20 – – x
-30- –x- – 20 60
)( ~ 90 obreros
Utlllz.ando el método de reducci6n a la unidad
……, r
30 0- ~ ..
20 o- – +
‘” ‘- Otxelos
f(301 ~ 30f(l) _ 610 = f( 1) = = -=-1= __ 1_
30 60 1.800
f(201 = ~
x
f(201 – 20flll -20· – 1- – -1 –
1.800 )(
){ -1.-800 – 20
90 obreros
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4. Repartos proporcionales
ReparUr una cantidad en partes proporcionales a otras varias es descom·
ponerla en partes tales que ‘con ellas y sus cantidades c.orrespondientes se
pueda formar una serie de razones iguales.
Por las propiedades vistas anteriormente si hay una serie de razones
iguales
x -:t.. z ~
a b e
se cumple que
x + y + Z x y z
~ ~ ~
a + b + e a b e
o bien
x + y + Z x x + y + z y x + y + z z
~
a + b + e a a + b + e b a + b + e e
l o vamos a aplicar al siguiente caso:
Un padre reparte 1.500 ptas , entre sus tres hijos en partes proporcionales
a sus edades de 3, 5 y 7 años. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
Se forman las razones entre las cantidades que corresponden a cada hijo
y su edad .
– la cantidad que corresponde al primer niño es x y su edad 3 años
x
razón “‘”
3
– La cantidad que corresponde al segundo niño es y. y su edad 5 años
razón = y
5
-la cantidad que corresponde al tercer niño es z y su edad 7 años
z
razón –
7
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– La serie de razones iguales es
x _ y z
3 5 7
como la suma de las cantidades es conocida
x + y + z = 1.500 ptas.
Se tiene
1.500 -x 1.500 . 3 = 300 ptas . ~ x ~
3 + 5 + 7 3 15
1.500 _.::L_ 1.500 . 5
y ~ = 500 ptas .
3 + 5 + 7 S 15
1.500 z 1.500 . 7
= – ~ z – “” 700 ptas 3 + 5 + 7 7 15
Las cantidades correspondientes a los niños son:
Al de 3 años le corresponden 300 ptas.
Al de 5 años le corresponden 500 ptas.
Al de 7 años le corresponden 700 ptas
También se puede resolver por el método de reducción a la unidad

5 . y
7 ,
I
3+5+7 1500
Años Dinero
JOS) – 1.500
JI1S) – JOS · 1) – ISJI1) – 1.500 ~ IIll 1.500
15
~ 100
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j(l) 100
{(3) 3 j(l)
{(5) 5 {(1)
j(7) – 7 . j(l) ~
Se cumple que
3 100
5 100
7· 100
300
500
~ 700
{(3) + j(5) + J(7) ~ 300 + 500 + 700 – 1500 – j(15)
Ejemplo 1 Repartir 4500 ptas. en partes proporcionales a 5, 10
y 15.
Se hace
a + b + e – 5 + 10 + 15 – 30
N ‘”” 4.500
x – a
N x y z
–“”- – – – –
4.500 a b e
_~N–,-_ ~ 5 150 _ 750
a + b + e
N
y – b·-~–~ 10 150 – 1500
a + b + e
z – e ‘ N -~– .. 15 150 ~ 2.250
a + b + e
cumpliéndose: x + y + z “” 750 + 1.500 + 2.250 – 4 500 ptas
A veces se pide repartir un número N en partes inversamente proporcio”
na/es a otros a, b y e, lo cual consiste en repartir N directamente propordo”
nal a los inversos de dichos números, es decir l/a, l/b y l/e
Así
N x ~ -y- z
~
1 1 1 1 1 1
a
+-+
b e a b e
de donde
x N 1 N
~ = x
1 ~+ 1 1 a 1 1 1 + -+- +-
a a b e a b e
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y N
1
b
N
-;–‘é–;- ~ y – 1 1 1
+ +
1
b 1
+
1
b
1 +
z
1
e
• b e
N
,_—‘;’—_, =:o z =
111 + + • b e

1
e 1

N
1 + +
b
e
1
e
Ejemplo 2 Un profesor reparte 260 estampas entre tres niños de
forma inversa a las faltas de ortografía cometidas Si las faltas cometidas
han sido 2, 3 Y 4 respectivamente, ¿cuántas estampas corresponden a
cada niño?
x+y+z – 260 • – 2
x+y+z x –;-‘—-ó—‘–=,– – –
1 1 1 1
~ -y-
1
+-+-
• b e •
260 x –;–‘7——,- – – ~
1 +-1 + 1 1
2 3 4 2
1
2
260
1 1 +-+
3 4
-y- ~ y
1
3
260 z
b
–;–‘7——,- – – – z –
1+ 1+1- 1
2 3 4 4
1
2
1
3
1
4
z
1
–;–,2,-,6::00 -,- – 120
1+1-+1
234
-0-_
2
“‘6,,°’—-0- – 80
1+1-+1
234
1
-+
2
260
1
-+
3
1
4
– 60
Al niño que comete 2 faltas se le entregan 120 estampas
Al niño que comete 3 faltas se le entregan 80 estampas
Al niño que comete 4 faltas se le entregan 60 estampas
5. Regla de tres compuesta
Los problemas en que intervienen más de dos magnitudes dan lugar a
una regla de tres compuesta.
Para resolver un problema de regla de tres compuesta se averigua la proporcionalidad
directa o inversa de cada una de las magnitudes que Intervienen
en el problema con la magnitud a que pertenece la inc6gnita
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El valor de la incógnita se halla multiplicando su valor correspondiente
por las razones directas o inversas de las cantidades correspondientes a las
magnitudes segón que sean directa o Inversamente proporcionales. Por últi mo
se iguala a la razón directa de las cantidades a que se refiere la incógnita.
Si tenemos cuatro magnitudes
puede ocurrir
A
a
a
B
b
b’
e
e
e
1) a, b y e son directamente proporcionales a m
M
m
x
a b
b’
e m a’b’c ‘
= “”x= m ·
a e’ x abe
2) a es directamente proporcional a m
b es inversamente proporcional a m
e es directamente propo rcio nal a m
a b’
b
e -m = a’be’ m . -.:..,=-_
a’ e’ x ab’c
3) a es directamente proporcional a m
b es inversamente proporcional a m
e es inversamente proporcional a m
a
a ‘
b ‘
b
e’
e
m = ~x= m ·
x
4) a es inversamente proporcional a m
b es inversamente proporcional a m
c es inversamente proporcio nal a m
a’ b’ e’ m
=x – m
a b e x
a ‘ oc
ab ‘ c’
abe
Ejemplo . 12 obreros lllbran un campo de 250 m de largo y 60 m
de ancho en 10 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar en
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7 días otro campo de la misma dificultad y de dimensiones 125 m de
largo y 70 m de ancho.
SE’ tiene
Obreros Metros largo Metros ancho Días
12 250 60 10
x 125 70 7
– Las magnitudes obreros y metros de largo son directamente proporcionales.
– Las magnitudes obreros y metros de ancho son dlrectélmente proporcionales.
– Las magnitudes obreTos y días son inversamente proporcionales.
-12- – -25-0
x 125
60
70
,-7- – lO x –
6. Aplicaciones de la regla de tres
125 , 70 ‘ 10
250 60 7
12 _ 10
PORCENTAJE. Se liorna porcentaje o tonto por ciento de una cantidad
a respecto a airo b al resultado de multiplicar por 100 el cociente al b.
Los porcentajes se indican con el signo % y son sencillos problemas de
regla de tres simple y directa, siendo uno de los términos siempre 100.
Ejemplo 1 Calcular el 8% de 750 ptas.
100 — 8} x = 750 x 8 – 60 ptas .
750 — x 100
EJemplo 2 (.Qué % supone 500 de 800?
x
500 –
lOO}
800 x –
500 x 100
800 – 62,5%
INTERES SIMPLE. Interés es la ganancia que produce un capital durante
un tiempo determinado .
Muchas veces las personas colocan su capital en un Banco durante un
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tiempo determinado a un r~dito que se especifica de antemano, obteniendo
un interés.
Se suele llamar rédito al tanto por ciento o cantidad producida por 100
pesetas en un tiempo determinado. Así rédito 5% al año significa que 100
pesetas producen 5 ptas. a lo largo de un año.
El tiempo se puede dar en años, meses o días.
La f6rmula del Interés se deduce a partir de un problema de regla de tres
compuesta . Las magnitudes que intervienen son: capital, interés y tiempo.
Capital Interés Tiempo
100 prod .. !Cen r d LlTlmle 1 11./\0 e producen durant.e t años
r lOO
X
1
-i-
Crt
e 100
El interés es igual al cociente de diuidir por 100 el producto del capltol
por el rédito y por ei tIempo.
Despejando C: e- 100 i
rt
Despejando r:
100 ¡ r – et
Despejando t: t – 100 i
er
El tiempo puede estar expresado en meses, resultando
de donde
Capital
100 e
Interés
r
¡
=
Tiempo (en meses)
12
CrI
1.200
El tiempo puede estar expresado en días, resultando
Capital Interés Tiempo (en días) …:..:.::._– -_—..:
lOO r 360
e
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de donde
c”
36.000
Ejemplo 3 ¿Qué in t er~s produce un capital de 20000 plas al
16% durante 90 días?
j –
Crt
-::-:~~ .
36000
20.000 )( 16 x 90
36.000
– 800 plas
Ejemplo 4 ¿A qué % se prestaron 50 000 ptas .. si en 8 meses
produjeron 2.000 plas. de inlerés?
r _ e 1.200 i 1.200 X 2.000
CI 50.000 X 8
.6%
LETRA DE CAMBIO. La letra de cambio es un documento de crédito
muy extendido en la actualidad . A veces no se puede pagar al contado una
compra y se firman y aceptan letras de cambio, extendidas por el vendedor
y comprometi~ndose el comprador a pagar a su orden o a la de un tercero
en una fecha determinada , llamada fecha de vencimiento.
Los I~rminos que se utilizan en las letras de cambio son:
-Librador es la persona que extiende la letra (vendedor).
– LIbrado es la persona que ha de pagarla (comprador o deudor) .
– Tenedor es la persona o entidad designada para que reciba el importe
de la letra (generalmente un Banco) .
– Endoso: Las letras de cambio pueden venderse, circunstancia que se
hace constar al dorso de la letra de cambio.
-Avalislas son personas que se comprometen a salisfacer el importe de
la letra caso de no hacerlo el librado .
– Valor nominal es las cantidad expedida en la letra .
– Vencimiento es la fecha en que ha de pagarse.
– Valor efedivo es el valor que paga al tenedor por cobrar el importe de
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la letra El tenedor de una letra de cambio cuyo vencimiento no ha llegado
puede cobrarla en cualquier momento, cedIéndola a un Banco o a otra persona
El valor efectivo es Inferior al valor nominal.
-Descuento comercial es la diferencia entre el valor nominal y el valor
efectIvo.
El descuento comercial se averigua calculando el interés sImple producido
por el valor nominal del documento durante el tiempo que falta para su
vencImiento. Para ello la expresión del interés queda
o v~ r· t
36.000
O = V. – V.
sIendo D – descuento y V~ – Valor nominal
siendo V~ – Valor efectivo
Ejemplo 5. Determinar el descuento comercial de una letra de
cambio de 175.000 ptas al 18% por pagarla 24 días antes de su vencimiento
D – _1.,7-’05″0. ,,0;0o’X~1~8~x~24″- … 2100 ptas
36000
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EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un empleado tiene una nómina de 120.000 ptas. mensuales pero sufre los
siguientes descuentos_
1) El 10% de Mutualidad
2) El 15% en Retención de Impuestos_
3) El 2 % para el Colegio de Huérfanos
4) y el 0,5 % para el Habilitado
¿Qué cantidad corresponde a cada descuento? ¿Qué dinero líquido percibe?
Solución
Mutualidad:
Ret impuestos:
Caleg_ Huérf.:
Habilitado:
120.000 x 0,10 –
120,000 x 0,15
120.000 x 0,02
120000 x 0,005
12.000 ptas.
18.000 ptas_
2.400 ptas.
600 ptas_
Descuento == 33.000 ptas_
Percibe.I20.000 – 33.000 – 87.000 ptas.
2. Una persona compra en almacén con descuento de 2% sobre precio de catálogo
y luego revende con aumento de 47% sobre precio de católogo ¿Qué % de
ganancia obtiene en la operación?
(Oposición E G B , 1979).
Solución
Supuesto el precio de catálogo 100 compra con un 2% de descuento, es decir
<1 98 y vende con un 47% de aumento sobre catálogo, luego a 147 El aumento vendrá dado por 98 -- 147¡ x - ISO lOO -- x El aumento es del 50% porque pasa de 100 a 150_ 3. Un librero compra un libro por 1 200 ptas. y lo vende por 1 850 ptas ¿Que % gana sobre el valor de la compra? ¿ Y sobre el valor de la venta? www.Matematica1.com Solud6n Gana: 1.850 - 1.200 - 650 ptas. - El % de ganancia sobre el valor de la compra es l.~ == 6:O} l( _ 54.17% - El % de ganancia sobre el valor de la venta es 1850 - 650 1 _ 35 135% 100 - y y, 4 . Después de los ex6menes un profesor advierte que han sido aprobados el 20 % de los alumnos mafriculados y que esta representa el 25 % de los alumnos examinados, ya que 35 alumnos no se presentaron a examen Se pide ¿cuántos alumnos aprobaron? Soludón Sean x los alumnos matriculados. Aprobados _ 0.2Ox y Examinados: x - 35, que representan el 25% de los aproblados luego 0,20 l( .", 0 .25 Ix - 35) 0 ,20 x - 0,25 l( - 8.75 ... l( = 175 Alumnos aprobados - 0,20 . 175 - 35 5. Una proporción tiene por medios dos numeros cuya suma es 26 y su producto 48 . La cJilerencia de los extremos vale 2. Escribir dicha proporción. Solucl6n Sea la proporci6n a + d - 26 a · d - 48 -a - -, b d ) - 24 www.Matematica1.com sustituyendo 2 e + 2 _ _ c_ => 48 _ el + 2c ~ e – 6 y e – – 8
24
La soluci6n es e – 6 Y b – a
Luego la proporción es
2 6
8 24
6. Repartir 180 en partes que sean directamente proporcionales a 21,16 y 12
yo la vez inversamente proporcionales a 3. 2 y 4_
Sol ución
Se ha de repartir en razón directa a
Por tanto
21 x _1
3
16 x
7
1
– y 12
2
1 x – es decir” 7, 8 y 3
4
x
p – – –
x – 70
7 + 8 + 3 180
8 -y -~ y – 80
7 + 8 + 3 180
3 ,
, – 30 — – ~
7 + 8 + 3 180
7 . Reparlir uno herencia de 957.000 ptos_ entre tres hermanos en razón direcla
al número de sus hijoS 2, 3 y 5, y en razón inversa de sus edades 36. 40 Y 45
años
Solución
Hay que repartir en razón directa a
2 x 1
36
3 x
1
-~- y 5
40
x _ 1_
45
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2
36
2 –+ 3
+
5
36 40 45
3
40
2 3 5 + +–
36 40 45
5
—oc—4-5; c—-;c- ~
2 3 5
+–+–
36 40 45
=–=x “= => x – 220 000 ptas.
957000
=”Y~oc => y “” 297 000 ptas
957000
,
=~= => Z – 440 000 ptas
957.000
8. La renta líquida de una casa era de 800 ptas. diarias, su propietario la vendía
por 4,625.000 ptas. y colocó esta cantidad 0112% anual. ¿En cu6nto aumentó
o disminuyó la renta diaria que le producía la casa?
Solución
crt
~–
100
Diariamente
4.625.000 x 12 x 1 _ 555000
100
555.000 _ 1 5205
365 -, ptas_
Aumenta en 1.520,5 – 800 – 720,5 ptas. diarias_
9. ¿A qué % se ha de colocar un capital a interés simple para que en 5 años
se duplique?
Solución
Si el capital se duplica: ¡ + e “” 2e =o> i … e
Luego
crt
; – –~,
100
_ 100· i “‘” 100· i _ 20 => 20%
et 5 i
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10. Una persona diVidió su capital en tres partes: la primera o/ 9% anual durante
3 años y 8 meses, la segunda que es doble de la primera la impuso al 10%
durante 3 años y 6 meses; por último la tercera que es triple de la segunda la impuso
0112% durante 3 años y 9 meses. Los intereses reunidos de estos capitales son
1415000 ptas. Ca/cular las tres partes y el capital.
Solución
La 1 a e, la 2 a 2e y la 3. a 6c
Se tiene
i-
,
,~
¡I>’ =
e 9 44
1200
2c 10 42
1200
6c 12 45
1200
¡ + ji + j~ 1,415000 –
~ 1.415,000 –
44760
1.200
39& + 840c + 3.24Oc
1.200
=> C – 379 356,5 ptas
2c 758 713 ptas y 6c – 2,276.139 ptas.
Las partes son
1 al 379356,5 ptas. }
2 al 758713 ptas. El capital total es’ 3.414.208,5 ptas.
3. a) 2276139 ptas.
11. Un capital colocado a interés Simple durante un tiempo t, al 10% se ha
convertido en 876.000 ptas. Este mismo capital colocado el mismo tiempo t a/ 8%
se habría Convertido en 867.000 ptas iCuál es el capital y durante cuánto tiempo
fue colocado::>
Solución
Sea e el capital y t el tiempo de la primera
e + i ,.. 876.000
crt
c+~~~~ – c+
36.000
e 10 t
36000
– 876.000 (1)
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de la segu nda
. .. ~ • • ~. “-.- •.• ”’.'” “, . , “-.-.” . .. ” … ~,…” uL lYjt\U'” , UIJr:.~
e + e 8 · t
36.000
= 867 000 (2)
Restando (1) – (2)
2e!
9 .000 que sustituido en (2) resulta
36.000
e + 4 . 2ct
36.00ü
– 867000
e + 4 9 .000 – 867 .000 =’> e – 831.000
El tiempo se obtiene
–;-;;-e';!; ;;;;- – 9 000 _ t =
18 .000
9.000 )( 18000
831.000
– 194 ,95 _. 195 días
“‘”
12. En ulsta de que el dueño no hacía la obra que la casa necesitaba. decidieron
los inquilinos hacerla a cuenta de alquileres . Había que pagarla cada uno propordonolmente
a 10 que por alquileres pagara Era: el del baJO 5 000 pfas. mensuales;
el del J. o, 13 _000 ptas_; el del 2. o, 10.000 ptas. y el del 3 . o. 12000 ptus. La
obra import6 1.232.000 ptas . ¿Cuánto pag6 cado uno V qué tiempo estuvo el dueño
sin co brar alquileres?
Soluci6n
Pagan mensualmente los vecinos:
5 .000 + 13000 + 10 .000 + 12000 ‘” 40000 ptas
A cada uno le corresponde paga!
-Bajo
– Primero –
– Segundo “”
– Tercero –
5.000
40.000
13.000
40.000
10.000
40.000
12.000
40.000
El dueño estuvo sin cobrar
)( 1 232.000 – 184 .800 ptas
)( 1232.000 ‘” 400.400 ptas.
)( 1.232.000 ‘” 308.000 plas
x 1.232.000 – 369 600 p tl!lS
1.232.000
40.000
– 30,8 meses·
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13. Se ha descontado uno letra de 20.000 ptas. al J2% 11 se ha pagado por
el/o 19.200 ptas. ¿Cuántos dras faltaban para el uencimiento?
Solución
Descuento 20.000 – 19200 – 800 ptas.
D _ -;;c~cOért”‘”””
36000
1- D x 36.000 _ BOO x 3.600 _ 120 días
cr 20.000 x 12
14. Por una deuda que importa 18.000 ptas. se ha pagado 16 .150 ptas. aplicándole
el 20%. ¿cuántos dfas se ha adelantado el pogo?
Solución
Descuento – 18 000 – 16 150 – 1 850 ptas
1 – D x 36.000 _ 1.850 x 36.000 .. 185 días
18 .000 x 20
15. Una deuda deberra pogarse el 3 de agosto pero se presenta al pogo el 7
de mano por lo que s610 se paga por ella 117.040 ptas. Si el descuento se hace al
16% . ¿a cuánto ascendía la deuda?
Solución
Del 7 de marzo al 3 de agoslo hay 149 días
Descuento – capital – 117.040 ptas.
D x 36.000
rt
le – 117040) 36000
16 149
2384 e – 36.000 e – 4213.440.000
c _ 125 .340 ptas.
16. Una letra de cambio d~ 11 .000 ptal>. vence a los 200 dras; una segundo
/etra de cambio de 20.000 ptas. lIence a los 360 días . siendo el lipo de descuento
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9% . En sustitución de el/as se aceptan una de 15.000 ptas. a los 280 días y olra de
16.000 ptas. con Jecho de vencimiento tal que no cause perj uIciO económico o la
instituci6n . ¿Cuál es la fecha de vencimiento?
Solución
Los vlIlores de las cu atro letras son
Igualando
11.000 _ 11.000 x 200 x 9 _ 10.450
36.000
20.000 –
15.000
16.000 –
20.000 x 360 x 9
36000
= 18.200
15.000 x 280 x 9 _ 13 950
36 000
16.000 x r x 9
36.000
– 16.000 – 4t
10.450 + 18.200 – 13.950 + 16.000 – 4( .. I “” 325 d ías
17. Para surtir de pan a 10.000 soldados durante 30 dras se necesitan
120.000 “9 de harina. SI el número de soldados aume nto hasta 28,000 durante 25
días, ¿cuántos kg de harina serán necesarios?
Solución
Se tiene
Soldl!ldos
10.000
28.000
Días
30
25
Harina
120.000
H
-Soldados y Harinll son directamente propordonllles
– DíllS y Harina son dIrectamente proporcionales.
Luego
10.000
28.000
x _30_ _
25
120.000
H
.. H – 280.000 kg
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18. Cuarenta alumnos utilizan en clase de dibujo 50 cartulinas trabajando 10
horas al mes. ¿Cu6ntas cartulinas gastaran 60 alumnos que trabajan 12 horas al
mes durante los 9 meses del curso?
Solución
Magnitudes Alumnos, Cartulinas, Horas, Meses,
Alumnos
40
60
Cartulinas
50
e
Horas
10
12
Meses
1
9
Todas las magnitudes son directamente proporcionales a cartulinas, luego
40
60
x 10
12
x 1
9
_5_0 ~c~ 810 cartulinas e
19. Nueve grifos, abiertos durante 10 horas diarias han consumido un caudal
de agua por valor de 1 620 ptas. Averiguar el costo del agua vertida por 15 grifos
del mismo di6metro abiertos durante 12 horas de los mismos días
Solución
Magnitudes Grifos, Horas, Precios
Grifos
9
15
Horas
10
12
Precios
1620
P
Las magnitudes grifos y horas son directamente proporcionales a precios
9
15
x 10
12
= 3240 ptas.
20. Para construir un muro de 10 metros de largo, 4 metros de alto y 0,30
metros de ancho se han empleado 3000 ladrillos ¿Cuántos ladrillos harón falta para
construir un muro de 6,50 metros de largo, 6 metros de alto y 0,20 metros de ancho?
Solución
Longitud
10
6.5
Altura
4
6
Anchura
0.30
0.20
N o de ladrillos
3.000
L
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Son todos directamente proporcionales
10
6,5
x 4
6
x 0,30
0,20
3.000
—~
L
L … 1 950 ladrillos
21. Con 12 botes conteniendo cada uno 0,5 kg de pintura, se han pintado 90
metros de val/a de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serón
necesarios para pintar una valla similar de 120 cm de anchura y 200 metros de longitud
Solución
Botes
12
B
Kilos
0,5
2
Altura
0,80
1,20
Longitud
90
200
Las magnitudes altura y longitud son directamente proporcionales y kilos inversamente
proporcional
2 x 0,8 x 90
0,5 1,2 200
12
— => B .., 10 botes
B
22. Para empapelar una habitación se han empleado 15 rollos de papel de
0,70 m de ancho y 10,50 m de longitud. ¿Qué anchura habrán de tener otros rollos
de papel de 12,50 m de longitud, sabiendo que para la misma habitación s610
se han de emplear 12 rol/os?
a} ¿Qué magnitudes intervienen en este problema?
b} ¿Cuáles de ellas son proporcionales entre si?
(OposiCión E.G.B., 1976)
Solución
al Magnitudes: RolJos, Ancho y Alto
Rollos
15
12
Ancho
0,70
A
Largo
10,5
12,5
Ancho y n.o de rollos son inversamente proporcionales
Largo y ancho son inversamente proporcionales
12 x 12,5
15 10,5
0,70 “. “. 0,735 metros
A