PROMEDIOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Promedio aritmético , promedio geométrico , promedio armónico y promedio ponderado

Al finalizar este capítulo , estaremos en capacidad de :
* Ordenar datos recopilados en cierto entorno.
* Reconocer que un conjunto de datos , puede tener un representante llamada PROMEDIO.
* Conocer y aplicar cada una de las definiciones de los promedios en determinada realidad.
* Aplicar las diferentes propiedades de los promedios en la resolución de problemas.
* Conocer y resolver problemas aplicados a la realidad sobre promedio ponderado.
INTRODUCCIÓN :
En la vida cotidiana hemos escuchado muchas veces decir: « El sueldo promedio de una persona es S/. 700»; «Tengo 16 de promedio en Matemáticas »; «La velocidad promedio de Senna en el Gran Prix de Mónaco fue 190 km/h». Esto nos lleva a pensar que es necesario determinar un valor , el cual se encuentra entre el mayor y menor de ciertas cantidades que indique un valor representativo, a éste se le llama «promedio».


OBJETIVOS :
 Leer e interpretar un conjunto de datos y determinar el representante más adecuado de estos, llamado promedio o media.
 Calcular el valor de un promedio o media en particular.
 Aplicar los promedios o medias más importantes en el estudio de una situación específica.
 Utilizar las propiedades de los promedios o medias en la resolución de los problemas que su entorno lo plantee
INTRODUCCIÓN
Tenemos un aula con 50 alumnos, de los cuales 40 tienen 16 años; 7 tienen 15 años y 3 tienen 17 años. Si deseamos buscar la edad más representativa del aula, obviamente ésta es la de 16 años.
Se mencionará posteriormente que esta edad se tomará como la edad promedio de los alumnos del aula, asumiéndose en algún instante que todos ellos son representados por dicho valor.
El valor de 16 es conocido en este caso, como una medida de tendencia central llmada MODA.
En el capítulo trabajaremos con las medidas o promedios más conocidos: Media aritmética; media geométrica y media armónica.

PROMEDIOS O MEDIAS
CONCEPTO DE MEDIA
Una media de un conjunto de datos es un valor que puede representar o substituir a todos los elementos del conjunto sin alterar una cierta característica de la misma.
Dicho valor se encuentra comprendido entre el mínimo y máximo dato del conjunto.
Ejemplo:
Dado el conjunto de datos.
3; 6 y 12
Cuál o cuáles de los siguientes valores puede (en) ser una media del conjunto.
A) 7 B) 6 C) 5,14
D) 2,9 E) 12,1
 Por concepto de media, se debe cumplir que:

De aquí, los únicos valores que pueden ser media del conjunto son: 7; 6 y 5,14.
En general para n datos.
se tiene:

MEDIAS MÁS USUALES
1. Media Aritmética (A)
Cuando la característica del conjunto de datos es la suma. La media aritmética del conjunto de “n” datos a1; a2; …, an es un valor A tal que;
a1+a2+ … + an=A+A+…+A=n.A.
por tanto

EJEMPLO: Calcule la media aritmética de las notas 11; 16 y 18
Resolución

Sea “A” la media aritmética
luego

2. Media Geométrica (G)
Cuando la característica del conjunto de datos es el producto. La Media Geométrica del conjunto de “n” datos positivos a1, a2, …, an es un valor positivo G tal que:
(a1)(a2) … (an)=(G)(G) …. (G) = (G)n
Por tanto:

EJEMPLO:
Halle la Media Geométrica de los números 8; 12 y 18
Resolución
Sea G la Media Geométrica
Luego:

Sólo definimos la media geométrica para datos positivos. Así evitamos la posibilidad de que la media no exista.
Por ejemplo ¿Cuál sería la media Geométrica de 3 y –3?

3. Media Armónica (H)
Cuando la característica del conjunto de datos es la suma de las inversas de los datos. La Media Armónica de los n datos positivos a1, a2, …, an es un valor H tal que:

Por lo tanto

EJEMPLO:
Determine la media armónica de las velocidades 20 m/s y 30 m/s
Resolución
Sea H la media armónica luego:

Sólo definimos la media armónica para datos positivos. Así evitamos la posibilidad que la media no exista.
Por ejemplo ¿Cuál sería la media armónica de 7 y –7?

Resumiendo

EJEMPLO:
Un profesor le proprociona la siguiente información a uno de sus alumnos para que calcule la Media Aritmética de sus notas.
¿Cuál fue esa nota promedio?

Resolución
Sabemos que:

En este caso el peso que cada nota tiene, significa que la nota se tendrá la cantidad de veces que su peso indica. Por ejemplo, 12 lo tendremos 3 veces, esta característica origina la Media Aritmética Ponderada, por lo tanto:
=
La nota media es 13

 La Media Aritmética Ponderada
Datos a1, a2, …, an con pesos respectivamente iguales a: p1, p2, …. pn es definida por

EJEMPLO:
Las edades de tres amigos son 14; 17 y 23 años. Determine la Media Aritmética de las edades actualmente, hace 2 años y dentro de 3 años.
Resolución

Se observa que:
i) Cuando todas las edades disminuyen en 2 años la Media Aritmética también disminuye en 2 años.
ii) Cuando todas las edades aumentan en 3 años la media aritmética aumenta en 3 años.
En general, del conjunto de n datos a1, a2, …an si cada uno de ellos aumentada (o disminuida) en x unidades su media artimética quedará aumentada (0 disminuida) en x unidades respectivamente.
EJEMPLO
Un profesor revisa las pruebas de 5 de sus estudiantes cuyas notas son 13; 13; 12; 15 y 17. Concluyendo que los 3 primeros merecen 3 puntos más cada uno y los restantes 2 puntos menos cada uno. Que sucede con la media aritmética de las 5 notas iniciales.
Resolución
=
Luego de la revisión las notas son.
(13+3); (13+3); (12+3); (15–2) y (17–2)
Luego se tiene que la Media Aritmética final (AF):
EJEMPLO:

La Media Aritmética aumenta en 1.
En general, para determinar la variación que experimenta la Media Aritmética de un conjunto de datos sólo es necesario considerar el incremento o disminución de la suma de los datos.

PROPIEDADES DE LAS MEDIAS
1. Para un conjunto de datos
 Si los datos son diferentes

EJEMPLO:
Sean los números 12; 18 y 27
Resolución

Se observa que: 17, 05 < 18 <19.
 Si todos los datos son iguales: A=G=H
EJEMPLO:
Sean los datos 13; 13, 13 y 13
Resolución: Hallando sus medias

Se tiene que las medias son iguales.

2) Para dos datos a y b
A.H=G2=a.b
EJEMPLO:
Sean los datos 20 y 30

Luego. 2524 =
 (a – b)2= 4(A+G)(A – G)
EJEMPLO:
Sean los datos 8 y 18

1. Demostrar: Para su media geométrica es media proporcional de su media aritmética y media armónica.

ab = ab Lqqd
2. Demostrar:
Para , son los catetos de un triángulo rectángulo y es la hipotenusa, se cumple:
Demostración:

1. El promedio de 45 números es 11. Se agrega un número más y el valor del promedio aritmético se ve incrementado en 14 unidades. ¿Qué número se agregó?

Rpta.:

2. La media geométrica de dos números es el triple del menor y la media aritmética es inferior en 36 unidades que el mayor. Hallar la media armónica de los números.

Rpta.:

3. Hallar la media geométrica de todos los números de tres cifras de la forma

Rpta.:

4. Las edades de cuatro hermanos forman una serie de razones geométricas continuas de constante de proporcionalidad entera. Determinar la media aritmética de dichas edades si su media geométrica es

Rpta.:

5. En una sala de nuestra prestigiosa academia se tiene 60 alumnos, cuyo promedio de notas de aritmética es 12; si 20 de ellos tienen como promedio 18, ¿cuál es el promedio de los 40 alumnos restantes?

Rpta.:

6. En una pequeña empresa se paga en promedio S/. 40 por día a cada obrero. Calcule cuántos obreros tiene la empresa si al contratar 10 obreros más a S/. 20 el día, el promedio sería .

Rpta.:

7. La media geométrica de dos enteros es y su media armónica son dos números consecutivos. Hallar los números e indicar su diferencia.

Rpta.:

8. Hallar la razón geométrica de dos números sabiendo que su MA, MG y MH, la suma de los dos mayores promedios es 80 y la relación entre los dos menores es de 3 a 5.

Rpta.:

9. La media aritmética de 200 números pares de 3 cifras es 699 y de otros 200 números pares también de 3 cifras es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de 3 cifras no considerados?

Rpta.:

10. Se sabe que los promedios aritmético y geométrico de 2 enteros están en la relación de 7 a 5, además la suma de los dos enteros varía entre 60 y 72. Calcular la media armónica de los enteros.

Rpta.:

1. En un grupo de personas, el número de mujeres es el triple del número de hombres, pero el promedio de edades de ellos es el triple del promedio de edades de ellas. Si el promedio de edades del grupo es 51, ¿cuál es el promedio de edades, en años, de las mujeres?
A) 45 B) 36 C) 34 D) 96 E) 100

2. Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuarta parte de su producto por su media aritmética por su media geométrica y por su media armónica es 256.
A) 6 B) 4 C) 8 D) 12 E) 6,5

3. Se tiene 4 números. Al añadir el promedio de 3 de ellos al número restante se obtiene los números 17, 21 y 23. Entocnes la suma de los 4 números es igual a:
A) 90 B) 80 C) 60 D) 50 E) 45

4. Si se sabe que la suma de las razones geométricas que se pueden formar con dos cantidades es 14, hallar la relación entre la media geométrica y la media armónica de esas dos cantidades.
A) B) 4 C) D) 1 E) 2

5. Dado un conjunto de 120 números cuyo promedio aritmético es 50, si a la sexta parte de ellos se le aumenta “n” unidades a cada uno, a los del resto se les aumenta “n” unidades a cada uno.¿En cuánto variará el promedio?
A) B)
C) D)
E)

6. La media aritmética de 41 números consecutivos es 50. Si tomanos a dos términos equidistantes notamos que la razón aritmética es 28. Calcular la media geométrica de dichos números.
A) 40 B) 42 C) 45 D) 48 E) 52

7. El promedio aritmético de las edades de 20 personas es 31. Si entre las 20 prsonas hay un grupo de trillizos que son los menores posibles y nadie tiene más de 34 años, calcule el promedio armónico de las edades de las 20 personas.
A) 24 B) 26 C) 30 D) 28 E) 32

8. Se tiene 80 números. A es la media aritmética de los 30 primeros y B es la media aritmética de los restantes. Si la MG y MH de A y B son y , ¿cuál es el menor valor posible de la MA de los 80 números?
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

9. Si la media artimética de 2 números es el doble de su media geométrica, calcular la razón entre dichos números.
A) B)
C) D)
E)

10. Hallar la suma de la MA, MG y MH de 2 y 8.
A) 14,1 B) 12,3 C) 12,2
D) 14 E) 15,6

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