PROGRESIONES ARITMÉTICAS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA EN PDF

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    PROGESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) O “PROGRESIÓN POR DIFERENCIA” Es una sucesión de números, en la cual cada uno de ellos se obtiene sumando al anterior una cantidad constante llamada “razón”. Símbolos: t1 = primer término tn = término de lugar “n” o enésimo término r = razón n = número de términos Sn = suma de “n” primeros términos. Representación de una Progresión Aritmética: ÷ t1, t2, t3, …, tn-1, tn Por definición: tn = tn-1 + r de donde: r = tn – tn-1 La progresión aritmética es creciente cuando la razón es positiva; y, es decreciente cuando la razón es negativa. PROPIEDADES: 1º Valor de un término cualquiera: tn = t1 + (n – 1) r 2º En una P.A. la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la asuma de los extremos. Sea la P.A.: ÷ t1… tp… tq… tn siendo tp y tq equidistantes de los extremos: t1 + tn = tp + tq CONSECUENCIAS: • En una P.A. de un número impar de términos, el término central es igual a la semisuma de los extremos: t1 + tn tcentral = ––––––– 2 • En una P.A. de tres términos, el segundo término es media aritmética entre los otros dos: Sea la P.A.: ÷ t1 . t2 . t3 t1 + t3 t2 = ––––––– 2 3º La suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos, multiplicada por el número de términos. Es decir: S 1 n = –– (t1 + tn)n 2 MEDIOS ARITMÉTICOS O DIFERENCIALES DEFINICIÓN.- Son los términos de una P.A., comprendidos entre sus extremos: ÷ t1 … tn 123 “m” medios aritméticosINTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS Es la operación que consiste en formar una P.A. conociendo los extremos y el número de medios a interpolar. Sean los extremos a y b y “m” el número de medios. La razón de interpolación es: r b – a i = –––––– m + 1 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Hallar el t50 en la siguiente P.A.: 2, 5, 8, 11, …4.- Hallar la razón de una P.A. si la suma de “n” términos es n(5n – 3) Solución: Sea la P.A.: ÷ t1, t2, t3, …, tn donde: Sn = n(5n – 3), para todo n. Si n = 1: S1 = t1 = (1)(5 – 3) = 2 Si n = 2: S2 – En una P.A. el primer término es 12, el número de términos 9 y la suma es 252. En otra P.A. el t1 = 2, r = 6. Dos términos del mismo lugar de estas progresiones son iguales. ¿Cuál es su valor? Solución: Sea “tx” el término buscado, de lugar “x”. En la primera P.A.: tx = t1 + (x – 1)r Cálculo de “r”: S 9 9 = reemplazando datos: 252 = (12 + t 9 9) –– 2 de donde: t9 = 44 pero también: t9 = t1 + 8r Sustituyendo datos: 44 = 12 + 8r ∴ r = 4 (1) En la segunda P.A.: tx = t1 + (x – 1)r Sustituyendo valores: tx = 2 + (x – 1)6 (2) Por condición del problema, (1) = (2): 12 + 4 (x – 1) = 2 + 6(x – 1) x = 6 el término pedido es: t6 = 2 + (5)(6) = 32 6.- En la P.A.: ÷ … 5 … 47 … 159, el número de términos que hay entre 47 y 159 es triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Hallar la razón de esta progresión. Solución: