PRODUCTOS Y COCIENTES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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• Multiplicación y división de enteros positivos
• Multiplicación y división de enteros de
diferente signo
• Multiplicación y división de enteros
negativos
• Propiedades de la multiplicación en ℤ
• Operaciones combinadas en ℤ
En esta unidad aprenderás a:
Multiplicar y dividir números enteros positivos.
Multiplicar y dividir números enteros de diferentes signos.
Multiplicar y dividir números enteros negativos.
Identificar las propiedades de la multiplicación en el conjunto Z.
Resolver operaciones combinadas en el conjunto Z.
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Actividad inicial
La necesidad de trabajar con números se puede percibir en muchas situaciones de
la vida diaria, como por ejemplo, al hacer las compras, al distribuir el dinero de la
mesada entregada por nuestros padres o al intentar interpretar información escrita de
diarios y revistas. Dependiendo de cada situación podemos encontrarnos con números
positivos, negativos, fraccionarios y decimales.
Formen grupos de tres personas y luego realicen las actividades que se presentan
a continuación.
A Lean la historieta y luego contesten las preguntas de la página siguiente:
a) ¿Cómo pueden representar el descenso de temperatura de 3 ºC?
b) ¿Cuál fue la variación de temperatura en la montaña entre las 8 y las 12 de
la noche mencionada por Carlos?
c) Si a las 8 de la noche había 4 ºC de temperatura en la montaña, ¿qué temperatura
marcó el termómetro a las 12 de la noche?
B En un juego de azar, cada jugador debe sacar 6 bolitas desde una bolsa con bolitas
verdes y azules. Una bola verde equivale a 3 puntos y una azul a -5 puntos.
a) Si Argelia sacó 6 verdes, ¿qué puntaje obtuvo?
b) Si Felipe sacó 3 verdes y 3 azules, ¿qué puntaje obtuvo?
c) Si Raquel sacó 6 azules, ¿qué puntaje obtuvo?
d) Si el juego lo gana aquel que obtenga el menor puntaje, ¿cuál de los tres participantes
ganó esta primera ronda?
C La suerte de don José Miguel, un destacado empresario, fue muy dispar el año
pasado. El primer trimestre tuvo pérdidas por 2 000 dólares, el segundo trimestre
tuvo pérdidas por una cantidad equivalente a la cuarta parte de las del primer
trimestre, el tercer trimestre obtuvo ganancias por 4 000 dólares y el último trimestre
obtuvo ganancias por una cantidad equivalente a las tres octavas partes
de las del trimestre anterior.
a) ¿Cuáles fueron las ganancias o pérdidas trimestrales que tuvo el empresario
el año pasado?
b) ¿Qué operaciones deben realizar para determinar la ganancia o pérdida de
don José Miguel durante el año pasado? ¿Cuál es este valor?
D Producto de las altas temperaturas registradas, el agua de una pequeña laguna
se evapora a una tasa de 204 L diarios.
a) ¿Cómo pueden representar esta disminución?
b) ¿Cuál será la reducción del contenido de agua de la laguna tras 3 días de
evaporación?
c) ¿En cuánto se reduce el contenido de agua tras 2 semanas de evaporación?
d) Si el contenido inicial de la laguna era de 890 000 L, ¿cuál será su contenido
tras 6 meses (de 30 días cada uno) de evaporación?
E Observen las siguientes adiciones de números enteros. Escríbanlas como multiplicaciones
y luego indiquen el resultado:
a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = ___ · ___ =
b) -1 + -1 = ___ · ___ =
c) -4 + -4 + -4 = ____ · ____ =
d) -12 + -12 + -12 + -12 + -12 + -12 = ___ · ___ =
HIPERTEXTO
Cuando escribimos un
número entero positivo
no es necesario escribir
el signo +. Sin embargo,
en estas páginas se ha escrito
para hacer evidente
la condición de número
positivo.
Multiplicación y división de enteros
positivos
A la enfermería de un colegio llegaron 32 cajas cada una con 12
vacunas contra la influenza. Estas cajas deben ser distribuidas equitativamente
entre 8 cursos.
ff¿Cuántas vacunas contra la influenza llegaron al colegio?
Para calcular cuantas vacunas llegaron, es necesario multiplicar el
número de cajas existentes por el número de vacunas que vienen en
cada una.
+12 · +32 = +384
Tanto 12 como 32 son números positivos y su producto también lo es.
Al colegio llegaron 384 vacunas.
ff¿Cuántas cajas corresponderán a cada curso?
Para calcular la cantidad de cajas por curso, es necesario dividir el
total de cajas por el número de cursos:
+32 : +8 = +4
Tanto 32 como 8 son números positivos y su cociente también lo es.
A cada curso le corresponderán 4 cajas.
Cuando se multiplican dos números enteros positivos, el resultado
también es un número entero positivo.
Cuando se dividen dos números enteros positivos, el resultado es
un número positivo.
El desarrollo de la multiplicación
de 12 por 32 es:
12 · 32
24
+ 36
384
La influenza es una enfermedad
respiratoria contagiosa
causada por un
virus. Puede provocar un
estado de malestar general,
llegando, en los caso más
graves y mal cuidados, a
provocar la muerte.
La Salud
Enlace con…
Ejercicios individuales
Resuelve las siguientes multiplicaciones d a. e números enteros positivos:
a) +4 · +39 =
b) +35 · +43 =
c) +35 · +12 =
d) +103 · +12 =
e) +19 · +133 =
f) +203 · +304 =
b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros positivos:
a) +45 : +9 =
b) +329 : +7 =
c) +2 032 : +8 =
d) +10 387 : +13 =
e) +153 : +3 =
f) +1 675 : +25 =
Problemas
1. Un hospital tiene 20 piezas individuales, 40 piezas dobles, 40
piezas triples, 20 piezas cuádruples y 30 piezas para ocho
personas.
Por cada cama del hospital hay dos juegos de sábanas, dos
almohadas, 1 colchón y 3 frazadas.
a) ¿Cuántas camas hay en el hospital?
b) ¿Cuántos juegos de sábanas hay en total?
c) ¿Cuántas frazadas hay en total?
d) Supón que se construye un nuevo hospital en la ciudad
con el mismo número de camas que el anterior, pero solo
con piezas cuádruples. ¿Cuántas piezas debe tener este
hospital?
2. Una flota consta de 18 barcos. 10 de ellos transportan cada uno
900 toneladas de carga y los otros 8, más grandes, transportan
1 200 toneladas cada uno.
a) ¿Cuántas toneladas de carga transportan los diez barcos
pequeños?
b) ¿Cuántas toneladas de carga transportan los ocho barcos
grandes?
c) ¿Cuántas toneladas de carga transporta la flota completa?
Cuando se multiplican dos números enteros de distinto signo, el
resultado es un número entero negativo.
Multiplicación y división de enteros
de diferente signo
En la última clase de Educación Física los estudiantes practicaron
un juego cuyas reglas son:
• Se forman equipos de 5 integrantes cada uno.
• Los integrantes de un equipo lanzan un aro del juego del ula-ula
hacia un par de estacas clavadas en el piso desde una distancia de
unos 5 metros.
• Si un estudiante acierta sobre las dos estacas, su equipo es premiado
con +3 puntos.
• Si un estudiante acierta solo a una de las estacas, su equipo es
castigado con -1 puntos.
• Si un estudiante no acierta a ninguna estaca, su equipo es castigado
con -2 puntos.
ffEn la primera ronda los cinco integrantes de uno de los equipos
falló todos sus lanzamientos. ¿Qué puntaje obtuvo este equipo tras
esta primera ronda?
Como fallar recibe una puntuación de -2, y cada equipo tiene cinco
integrantes, el puntaje del equipo fue:
+5 · -2 = -10
El juego del ula-ula es
muy antiguo. Se hacen
referencias a él en las civilizaciones
egipcia, griega
y romana.
Los aros se fabricaban
con ramas de parra y los
niños y niñas los hacían
girar en diferentes partes
de sus cuerpos. En algunas
culturas aborígenes
de América también se
construyeron aros para ser
utilizados en los juegos de
los infantes, ocupándose
como material de fabricación
principalmente la caña
de azúcar.
La Historia
Enlace con…
Si tras 3 rondas el puntaje de un equipo ff es de -15 puntos y en cada
ronda obtuvo el mismo puntaje, ¿qué puntaje consiguió en cada
ronda?
Como son tres rondas y el puntaje acumulado en ellas fue de -15,
entonces el puntaje obtenido en cada ronda fue:
-15 : +3 = -5
Cuando se dividen dos números enteros de distinto signo, el resultado
es un número negativo.
Ejercicios grupales
a. La fórmula de la Física que relaciona la fuerza que actúa sobre un cuerpo con su masa y con la
aceleración que se produce en él es F = m · a.
En grupos de dos integrantes completen los términos que faltan en la siguiente tabla aplicando
la fórmula anterior:
Masa [kg] Aceleración [m/s2 ] Fuerza [N]
5 -20
4 -4
7 -10
8 -16
5 -25
-30 -90
Ejercicios individuales
a. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números enteros:
a) -53 · +32 =
b) +7 · -38 =
c) -18 · +9 =
d) -105 · +15 =
e) +1 249 · -8 =
f) -1 047 · +10 =
a) +24 : -8 =
b) +138 : -3 =
c) -35 : +7 =
d) +84 : +6 =
e) -360 : +90 =
f) +10 000 : -100 =
b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros:
Cuando se dividen dos números enteros negativos, el resultado
es un número positivo.
Para que en el ejemplo
de esta página A sea
igual a 1 en la fórmula
de la ley de Coulomb,
las dos cargas eléctricas
consideradas deben estar
a una distancia de casi 95
kilómetros.
Multiplicación y división de enteros
negativos
La ley de Coulomb es una ley fundamental que permite determinar
la fuerza F con la que se atraen o repelen dos cargas eléctricas.
La fórmula que representa matemáticamente esta ley para dos cargas
inmóviles puede escribirse como:
F = A · q1 · q2
F es la fuerza con que se atraen o repelen las cargas. Se mide en
Newton (N).
q1 y q2 son las dos cargas eléctricas (pueden ser positivas o negativas).
Se miden en Coulomb (C).
A es una constante para dos cargas cuya distancia de separación
no cambia.
Si F es positiva significa que las dos cargas eléctricas se repelen y
si es negativa significa que se atraen.
Supongamos que A = 1, entonces: F = q1 · q2
ff¿Con qué fuerza se atraerán o repelerán una carga de -20 C y otra
de -15 C?
Si q1 = -20 C y q2 = -15 C, entonces:
F = -20 · -15 = 300
La dos cargas se repelen con una fuerza de 300 N.
ffDos cargas eléctricas se atraen con una fuerza de -24 N. Si una de
las cargas vale -6 C, ¿cuál es el valor de la otra carga?
F = q1 · q2 q2 = F
q1
= -24
-6
= 4
La carga q2 es positiva y vale 4 C.
Cuando se multiplican dos números enteros negativos, el resultado
es un número entero positivo.
La Ley de Coulomb lleva
este nombre en honor al
físico e ingeniero francés
Charles August de Coulomb
quien fue el primero en
describir y caracterizar las
fuerzas existentes entre
dos partículas cargadas
eléctricamente. Además,
sus estudios sentaron las
bases para el desarrollo de
una teoría matemática que
permitió explicar las fuerzas
de origen magnético.
La Física
Enlace con…
Ejercicios individuales
Resuelve las siguientes multiplicaciones d a. e números enteros negativos:
a) -9 · -3 =
b) -81 · -6 =
c) -9 · -41 =
d) -47 · -12 =
e) -18 · -21 =
f) -24 · -5 =
Ejercicios grupales
a. Reúnanse en grupos de tres integrantes y, aplicando la fórmula de la Ley de Coulomb para el
caso que se presentó en la página anterior (A = 1), determinen el valor desconocido:
F [N] Q1 [C] Q2 [C]
-1 1
-1 1
9 -3
-8 -2
12 -9
-64 -4
b. Copia el valor de cada una de las fuerzas determinadas en el ejercicio anterior y señala mediante
un visto (✓) si se trata de una fuerza atractiva o repulsiva:
F [N] Atracción Repulsión
b. Resuelve las siguientes divisiones de números enteros negativos:
a) -12 : -2 =
b) -99 : -11 =
c) -180 : -9 =
d) -960 : -4 =
e) -1 088 : -16 =
f) -189 : -3 =
HIPERTEXTO
Propiedades de la multiplicación en Z
Las propiedades de la multiplicación de números enteros son las mismas
que ya se definieron para números naturales, vale decir, clausura,
conmutatividad, asociatividad, existencia de elementos neutro y absorbente
y distributividad sobre la adición. Repasemos cada una de ellas:
1° Clausura:
3 · -4 = -12 ∈ ℤ -5 · -11 = 55 ∈ ℤ 7 · -9 = -63 ∈ ℤ
2° Conmutatividad:
+2 · -5 = -10
-5 · +2 = -10
3° Asociatividad:
-3 · (-4 · +2) = -3 · (-8) = +24
(-3 · -4 ) · +2 = (+12) · +2 = +24
4° Elementos neutro y absorbente:
-8 · 1 = 1 · -8 = -8 4 · 0 = 0 · 4 = 0
Recuerda cómo se leen
algunos símbolos matemáticos:
∀: “para todo”.
∃: “existe”.
∃!: “existe un único”.
/: “tal que”.
∧: “y”.
⇒: “entonces”.
Cuando se multiplican dos o más números enteros, se dice que
existe clausura dentro del conjunto ℤ, ya que el producto también
es un número entero:
∀ a, b ∈ ℤ ∧ a · b = c ⇒ c ∈ ℤ
La multiplicación en el conjunto ℤ es conmutativa, es decir, se
cumple:
a · b = b · a; ∀ a, b ∈ ℤ
La multiplicación en el conjunto ℤ es asociativa, es decir, se cumple:
a · (b · c) = (a · b) · c; ∀ a, b, c ∈ ℤ
Para la multiplicación en el conjunto ℤ existe el elemento neutro
b = 1, tal que:
∀ a ∈ ℤ, ∃! b / a · b = b · a = a
Para la multiplicación en el conjunto ℤ existe el elemento absorbente
c = 0, tal que:
∀ a ∈ ℤ, ∃! c / a · c = c · a = c
Algunas reglas prácticas
para la multiplicación de
enteros son:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
En el conjunto ℤ se verifica la propiedad de distributividad de la
multiplicación sobre la adición:
a · (b + c) = a · b + a · c; ∀ a, b, c ∈ ℤ
Ejercicios individuales
Resuelve las siguientes operaciones, anota el resultado y la propiedad a. que se evidencia. Guíate
por el ejemplo:
Operaciones Resultado Propiedad
-7 · 4 = 4 · -7 -28 Conmutatividad
1 · -33 = -33 · 1
-12 · 5 + -12 · 7 = -12 · (5 + 7)
15 · (8 + -5) = (8 + -5) · 15
12 · 0 = 0 · 12
1 · (-17 – -9) = (-17 – -9) · 1
(-101 · 4) · -5 = -101 · (4 · -5)
-9 · (-6 + 3 + -12) = -9 · -6 + -9 · 3 + -9 · -12
0 · (-17 · 4) = (-17 · 4) · 0
b. Escribe dos ejemplos numéricos que muestren algunas de las propiedades de la multiplicación
de números enteros:
Propiedad Ejemplos
Conmutatividad
Asociatividad
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento absorbente
Distributividad sobre la adición
5° Distributividad sobre la adición:
-4 · (-3 + 7) = -4 · -3 + -4 · 7 = 12 + -28 = -16
Recuerda que:
• Sumar un número negativo
equivale a restar
su opuesto aditivo:
6 + -4 = 6 – 4 = 2
• Restar un número negativo
equivale a sumar
su opuesto aditivo:
9 – -3 = 9 + 3 = 12
Operaciones combinadas en ℤ
Acabas de revisar las reglas que hacen posible la multiplicación y
división de números enteros. A continuación desarrollaremos ejercicios
que contienen las cuatro operaciones: adición, sustracción, multiplicación
y división.
Observa:
-12 · (9 – -3) + (8 + -1 – 11) : -4
ff¿Cómo resolvemos este ejercicio?
Cuando en un ejercicio existen muchas operaciones debemos aplicar
los pasos siguientes en el orden que se indica:
1° Resolver de izquierda a derecha las operaciones que están dentro
de los paréntesis.
2° Resolver de izquierda a derecha las operaciones de multiplicación
y división.
3° Resolver de izquierda a derecha las operaciones de adición y
sustracción.
Entonces:
1° -12 · (12) + (-4) : -4
-12 · 12 + -4 : -4
2° -144 + 1
3° -143
El resultado es -143.
ff¿Cómo resuelves -9 –[4 + -17 · (-6 – -13) + 6 + -18 : (-21 + 12)]?
Aplicando los pasos anteriores la resolución queda como sigue:
-9 – [4 + -17 · (7) + 6 + -18 : (-9)]
-9 – [4 + -17 · 7 + 6 + -18 : -9 ]
-9 – [4 + -119 + 6 + 2 ]
-9 – [ -107 ]
-9 + 107
98
El resultado es 98.
“Cuando mañana sea ayer
estaremos tan cerca del
sábado como ahora lo
estamos del domingo”.
¿A qué día de la semana
se refiere la afirmación
anterior?
Desafío
al ingenio
Cuando multiplicamos o
dividimos fracciones o números
decimales positivos
y negativos las reglas para
el signo del producto o el
cociente son las mismas
que se indicaron para los
números enteros.
Archívalo
Ejercicios individuales
Resuelve los siguientes ejercicios. No olvides respetar el orden a. en que se deben realizar las
operaciones:
a) -4 · 8 + 17 + -3 · -2 =
b) -25 : 5 + -25 · 4 =
c) -3 + 8 + -9 + -10 – -1 · -13 =
d) (-40 : 8) · [(81 · -3) – -9] =
e) (-8 + -22) · (4 : -3) =
f) (48 · -2) : (-4 + 17) =
g) -38 + 17 · -2 – 12 : -3 =
h) (23 + 8) · (24 – -8) + (-4 – 3 – -11) =
b. Observa los siguientes desarrollos, identifica dónde está el error y resuelve correctamente:
a) 15 : -3 + 12 – -4 · 2 – 11 – -18
-5 + 16 · 2 – 11 + 18
-5 + 32 + 7
34
b) 23 – [8 + 12 · -3 – -8 · (16 : -4 – 4) + 4]
23 – [8 + -36 + 8 · (16 : -8 ) + 4]
23 – [ -28 + 8 · ( -2 ) + 4]
23 – [ -28 + -16 + 4]
23 – [ -40 ]
23 + 40
63
Resolución correcta: Resolución correcta:
Resolución de problemas
Problema modelo
Un ión de azufre S-2 posee una carga eléctrica de -2. Supón que se
dispone de tres disoluciones A, B y C que contienen diferentes cantidades
de este ión.
¿Cuál es la carga que posee la d a) isolución A si contiene 2 iones de S-2?
b) ¿Cuál es la carga que posee la disolución B si contiene 9 iones de S-2?
c) ¿Cuál es la carga que posee la disolución C si contiene 15 iones de
S-2?
a) Entiende: ¿qué sabes del problema?
• La carga de cada disolución está dada por el aporte individual que realizan los iones presentes
en ella.
• Cada disolución posee una carga distinta ya que contiene diferentes cantidades del ión S-2.
b) Planifica tu estrategia: ¿cómo puedes resolver el problema?
• La carga neta de cada disolución la podemos calcular multiplicando la cantidad de iones
presentes en ella por la carga del ión de S-2 (-2).
c) Resuelve: desarrolla el problema para llegar a una respuesta
• Disolución A: 2 · -2 = -4
• Disolución B: 9 · -2 = -18
• Disolución C: 15 · -2 = -30
d) Responde: contesta las preguntas del problema
• La carga de la solución A producto de la presencia de los iones S-2 es -4.
• La carga de la solución B producto de la presencia de los iones S-2 es -18.
• La carga de la solución C producto de la presencia de los iones S-2 es -30.
e) Comprueba: aplica otra estrategia para comprobar el resultado
• Para cada disolución podemos realizar la adición de las cargas individuales aportadas por
los iones de S-2:
Disolución A: -2 + -2 = -4
Disolución B: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -18
Disolución C: -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 + -2 = -30
Problema 1
Una empresa decidió implementar incentivos para fomentar la
puntualidad de sus trabajadores. Estos incentivos consisten en
beneficiarlos con $ 1 000 por cada día que lleguen a la hora a su
trabajo y castigar los atrasos en un monto que dependerá de los
minutos de atraso, según el siguiente criterio:
$ 500 si el atraso es menor o igual a 15 minutos.
$ 1 000 si el atraso es mayor a 15 minutos.
La tabla del costado contiene el detalle de la puntualidad de tres
trabajadores durante el mes pasado.
¿Cuál es el beneficio o la p a) érdida del trabajador A?
b) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida del trabajador B?
c) ¿Cuál es el beneficio o la pérdida del trabajador C?
Trabajador A B C
Nº de días que
llegó puntual
20 14 6
Nº de días que
llegó con un
atraso menor o
igual a 15 min
0 2 12
Nº de días que
llegó con un
atraso mayor a
15 min
0 4 2
Problema 2
Un mueblista tiene un inventario de 40 sillas cuyo costo de producción
es de $ 20 000 por cada una. De estas sillas, en enero
vendió 15 a un precio de $ 25 000 cada una. En febrero vendió el
resto de las sillas solo a $ 18 000 cada una, debido a una crisis en
el mercado de muebles.
a) ¿Cuánto dinero recaudó el mueblista por la venta de las sillas?
b) ¿Cuánto dinero ganó o perdió por la fabricación de estas 40
sillas?
Problema 3
El calor específico c de una sustancia es la cantidad de energía
transferida para variar en un 1 °C su temperatura (su unidad de
medida es [cal/°C]) y se calcula mediante la fórmula que está al
costado.
En ella Q es la energía transferida (se mide en calorías [cal]).
Si Q es positivo, la sustancia ha absorbido energía; y si es negativo,
la ha liberado. La temperatura inicial es la temperatura que tiene la
sustancia antes de absorber o liberar energía y la temperatura final
es la temperatura que tiene después.
a) Si la temperatura inicial de una sustancia es 20 °C, la final 15 °C
y la energía liberada -10 000 cal, ¿cuál es su calor específico?
b) El calor específico de una sustancia es 800 cal/°C, la temperatura
inicial 3 °C y la final 12 °C. ¿Cuánta energía se transfirió? ¿Fue
absorbida o liberada?
c) El calor específico de una sustancia es 1 120 cal/°C, la temperatura
inicial 22 °C y la final 12 °C. ¿Cuánta energía se transfirió?
¿Fue absorbida o liberada?