PROBLEMAS RESUELTOS DE SELECTIVIDAD MATEMATICAS ESPAÑA PDF

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CUESTIÓN A1.
Un cliente ha comprado en un supermercado botellas de agua de medio litro, 2 litros y
5 litros, cuyos precios respectivos son 0,5 euros, 1 euro y 3 euros. En total ha comprado
24 botellas, que corresponden a una cantidad de 36 litros, y que le han costado 22 euros.
Determinar cuántas botellas de cada tipo ha comprado.
selcs Sep 2012 Solución:
x: número de botellas de 1/2 litro
y: número de botellas de 2 litros
z: número de botellas de 5 litros

x + y + z = 24
x/2 + 2y + 5z = 36
x/2 + y + 3z = 22

x + y + z = 24
3y + 9z = 48
6z = 12
sustituyendo hacia arriba resulta: z = 2, y = 10, x = 12
CUESTIÓN A2.
Dada la función f(x) =
2×2 + 1
4 − x2
a) Hallar su dominio.
b) Determinar las asíntotas.
c) Hallar su función derivada f′(x).
selcs Sep 2012 Solución:
a) El denominador se anula para x = ±2, luego el dominio es R − {−2, 2}
3 Selectividad Matemáticas
b) Asíntotas verticales, la función se irá a infinito en los puntos en que se anule el denominador:
Asíntotas verticales
• x = −2
l´ım
x→−2−
f(x) = l´ım
x→−2−
2×2 + 1
4 − x2 = l´ım
x→−2−
2×2 + 1
(2 − x)(2 + x)
=
9
(4) · 0−
= −∞
l´ım
x→−2+
f(x) = l´ım
x→−2+
2×2 + 1
4 − x2 = l´ım
x→−2+
2×2 + 1
(2 − x)(2 + x)
=
9
(4) · 0+ = +∞
• x = 2
l´ım
x→2−
f(x) = l´ım
x→2−
2×2 + 1
4 − x2 = l´ım
x→2−
2×2 + 1
(2 − x)(2 + x)
=
9
0+ · 4
= ∞
l´ım
x→2+
f(x) = l´ım
x→2+
2×2 + 1
4 − x2 = l´ım
x→2+
2×2 + 1
(2 − x)(2 + x)
=
9
0− · 4
= −∞
Asíntota horizontal y = n : n = l´ım
x→∞
f(x) = l´ım
x→∞
2×2 + 1
4 − x2 = −2; y = −2
c) f′(x) =
18x
(4 − x2)2
CUESTIÓN A3.
Calcular el area del recinto limitado por la parabola de ecuación y = −x2 − 4x + 5 , el
eje OX, y las rectas x = −2 y x = 3 y hacer una representación gráfica aproximada de
dicha area.
selcs Sep 2012 Solución:
−x2 −4x+5 = 0, tiene soluciones reales x = −5, x = 1, por tanto
el área viene dada por las integrales:
S1 =
Z 1
−2
(−x2 − 4x + 5)dx =


x3
3 − 2 x2 + 5 x
1
−2
= 18
S2 :
Z 3
1
(−x2 − 4x + 5)dx =


x3
3 − 2 x2 + 5 x
3
1
= −
44
3
, luego
S2 =
44
3
Por tanto el área total es S =
98
3
u2
2
4
6
8
−2
−4
−6
−8
−10
−12
−14
2 4 6 −2 −4 −6
CUESTIÓN A4.
Según una encuesta de opinión, el 30% de una determinada población aprueba la gestión
del político A, mientras que el 70% restante la desaprueba. En cambio, el político B es
aprobado por la mitad y no por la otra mitad. Un 25% de la población no aprueba a
ninguno de los dos. Si se elige un individuo de la población al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe a alguno de los dos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe a los dos políticos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe a alguno de los dos?
selcs Sep 2012 Solución:
Llamamos A al suceso ”aprobar A”; p(A) = 0′3
Llamamos B al suceso ”aprobar B”; p(B) = 0′5
Por tanto no aprobar ambos: p(Ac ∩ Bc) = 0′25
a) Aprobar alguno A ∪ B es lo contrario de no aprobar ambos
luego p(A ∪ B) = 1 − p(Ac ∩ Bc) = 1 − 0′25 = 0′75
b) Aprobar ambos A ∩ B, lo obtenemos a partir de la unión:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B); 0′75 = 0′3 + 0′5 − p(A ∩
B); p(A ∩ B) = 0′05
c) No aprobar alguno Ac ∪Bc es lo contrario de que aprueben los
dos p(Ac ∪ Bc) = 1 − p(A ∩ B) = 1 − 0′05 = 0′95
A B
CUESTIÓN A5.
Se supone que el número de horas semanales dedicadas al estudio por los estudiantes de
una universidad sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica
6. Para estimar la media de horas semanales de estudio se quiere utilizar una muestra de
tamaño n . Calcular el valor mínimo de n para que con un nivel de confianza del 99%, el
error en la estimación sea menor de 1 hora.
selcs Sep 2012 Solución:
Los datos son:  = 6, error = 1, nivel de significación = 0′01 .
Para el nivel de significación = 0′01 corresponde el valor crítico z
2
= 2′58
Entonces el error viene dado por:
error = z
2

√n
= 2′58 ·
6
√n ≤ 1
2′58 ·
6
1 ≤ √n; n ≥ 239′6
CUESTIÓN B1.
Un ayuntamiento desea ajardinar dos tipos de parcelas, tipo A y tipo B, y dispone de
6000 euros para ello. El coste de la parcela A es de 100 euros y el de la B de 150 euros. Se
considera conveniente ajardinar al menos tantas parcelas de tipo B como las del tipo A y,
en todo caso, no ajardinar más de 30 parcelas de tipo B. ¿Cuántas parcelas de cada tipo
tendrá que ajardinar para maximizar el número total de parcelas ajardinadas?, ¿agotará
el presupuesto disponible?
selcs Sep 2012 Solución:
Sean:
x = número de parcelas A
y = número de parcelas B
Total de parcelas: f(x, y) = x + y
100x + 150y ≤ 6000
x ≤ y
y ≤ 30


Representamos:
100x + 150y = 6000
x 0 60
y 40 0
x = y
x 0 30
y 0 30
Ahora la función igualada a 0:
f(xy) = x + y = 0
x 0 −30
y 0 30
10
20
30
10 20 30 40 50 60 −10
b
A
b
B
b
C
b
D
Para maximizar el coste tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto B que sería la más
lejana: sustituyamos los valores correspondientes a ese punto:
B(24, 24); f(24, 24) = 24 + 24 = 48 parcelas, es el mayor número de parcelas.
El coste sería 100 · 24 + 150 · 24 = 6000 e ., que sí agota el presupuesto disponible.
CUESTIÓN B2.
Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende
depende del precio de venta según la función: B(x) = −3×2 + 12x − 9 , siendo B(x) el
beneficio y x el precio por unidad de producto, ambos expresados en euros.
a) ¿Entre que precios la función B(x) es creciente?
b) ¿En que precio se alcanza el beneficio máximo?
c) ¿En que precio el beneficio es 3?
selcs Sep 2012 Solución:
a) Derivamos: S′(x) = −6x + 12
Anulamos la derivada: −6x + 12 = 0; x = 2
x 2
y′ + −
y ր ց
MÁXIMO
Será creciente entre 0 y 2.
b) El beneficio máximo corresponderá con x = 2
c) B(x) = −3×2 + 12x − 9 = 3; x = 2, precisamente donde alcanza el máximo, en x = 2
CUESTIÓN B3.
Calcular el área comprendida entre la parabola de ecuación y = x2−3x+2, el eje OX, la
recta x x = 0 y la recta x = 2 , y hacer una representación gráfica aproximada de dicha
área.
selcs Sep 2012 Solución:
x2 − 3x + 2 = 0, tiene soluciones reales x = 1, x = 2, por tanto el
área viene dada por las integrales:
S1 =
Z 1
0
(x2 − 3x + 2)dx =

x3
3 −
3×2
2
+ 2x
1
0
=
5
6
S2 :
Z 2
1
(x2 −3x+2)dx =

x3
3 −
3×2
2
+ 2x
2
1
= −
1
6
, luego S2 =
1
6
Por tanto el área total es S =
6
6
= 1 u2
1
2
3
−1
1 2 3 4 −1
CUESTIÓN B4.
El 60% de los dependientes de un centro comercial tienen 35 años o más, y de ellos el
75% tienen contrato indefinido. Por otra parte, de los dependientes con menos de 35 años
el 30% tienen contrato indefinido.
a) Seleccionado un dependiente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga contrato
indefinido?
b) Elegido al azar un dependiente que tiene contrato indefinido, ¿cuál es la probabilidad
de que tenga menos de 35 años?
selcs Sep 2012 Solución:
Llamamos I al suceso ”tener contrato indefinido”.
Llamamos A1 al suceso ”tener más de 35 años o más ”; p(A1) = 0′6; p(I/A1) = 0′75
Llamamos A2 al suceso ”tener menos de 35 años”; p(A2) = 0′4; p(P/A) = 0′30
{A1,A2} forman sistema completo de sucesos.
a) Teorema de la probabilidad total
p(Ic) = p(Ic/A1) · p(A1) + p(Ic/A2) · p(A2) = 0′25 · 0′6 + 0′7 · 0′4 = 0′43
b) Teorema de Bayes
p(A2/I) =
p(I/A2) · p(A2)
p(I/A1) · p(A1) + p(I/A2) · p(A2)
=
0′3 · 0′4
0′75 · 0′6 + 0′3 · 0′4
=
0′12
0′57
= 0′2105
CUESTIÓN B5.
Se sabe que en una población el nivel de colesterol en la sangre se distribuye normalmente
con una media de 160 u. y una desviación típica de 20 u. Si una muestra de 120 individuos
de esa población que siguen una determinada dieta, supuestamente adecuada para bajar
el nivel de colesterol, tiene una media de 158 u. ¿Se puede afirmar que el nivel medio
de colesterol de los que siguen la dieta es menor que el nivel medio de la población en
general, para un nivel de significación de 0,01?
selcs Sep 2012 Solución:
Como es para disminuir el colesterol, el test adecuado sería el unilateral izquierdo;
Contrastamos H0 : μ = 160 frente a H1 : μ < 160 , En test unilateral el nivel significación = 0′01 corresponde con z = 2′33. El extremo de la región de aceptación es μ − z  √n = μ − 2′33  √n = 160 − 2′33 20 √120 = 155′74. que da el intervalo (155′74,∞). Como ¯x = 158 queda dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula de que la media del nivel de colesterol siga igual μ = 160, cabe pensar que la dieta no ha sido efectiva. z ACEPTACIÓN 0’99 0’01 155′74 ¯x CUESTIÓN A1. María y Luis han realizado un desplazamiento en coche que ha durado 13 horas y durante el cual, un tiempo ha conducido María, otro ha conducido Luis y el resto han descansado. Luis ha conducido 2 horas más de las que han descansado, y el total de horas de descanso junto con las de conducción de Luis es 1 hora menos que las que ha conducido María. Encontrar el número de horas que ha conducido cada uno y las que han descansado. selcs Jun 2012 Solución: Sea: x tiempo que conduce María y tiempo que conduce Luis z tiempo que descansan   x + y + z = 13 y = z + 2 z + y = x − 1 reordenado:   x + y + z = 13 y − z = 2 x − y − z = 1   1 1 1 13 0 1 −1 2 1 −1 −1 1   3a − 1a   1 1 1 13 0 1 −1 2 0 −2 −2 −12  3a + 2a · 2   1 1 1 13 0 1 −1 2 0 0 −4 −8   queda   x + y + z = 13 y − z = 2 −4z = −8 sustituyendo hacia arriba resulta: x = 7, y = 4, z = 2 CUESTIÓN A2. Dada la función f(x) =   3x + 1 si x < −1 x − 1 si −1 ≤ x < 2 ax2 − 6ax + 5 si 2 ≤ x a) Estudiar la continuidad en x = −1. b) Hallar a para que la función sea continua en x = 2 . c) Para a = 1 hacer una representación gráfica de la función. selcs Jun 2012 Solución: a) Estudiamos los límites laterales en x = −1: l´ım x→−1− f(x) = l´ım x→−1− (3x + 1) = −2 l´ım x→−1+ f(x) = l´ım x→−1+ (x − 1) = −2 además f(−1) = −2 Por tanto la función es continua en x = −1. b) Estudiamos los límites laterales en x = 2: l´ım x→−1− f(x) = l´ım x→2− (x − 1) = 1 l´ım x→2+ f(x) = l´ım x→2+ (ax2 − 6ax + 5) = 4a − 12a + 5 = −8a + 5 Para que sea continua han de coincidir por tanto −8a + 5 = 1, a = 1 2 c) 1 2 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 −1 −2 b CUESTIÓN A3. Hallar las derivadas de las siguientes funciones: a) f(x) = 2x3 + x2 x − 1 b) g(x) = (1 − x)2ex c) h(x) = ln(2x2 + 2) selcs Jun 2012 Solución: a) f′(x) = 4x3 − 5x2 − 2x (x − 1)2 b) g′(x) = ex(x2 − 1) c) h′(x) = 2x x2 + 1 CUESTIÓN A4. La probabilidad de que cuando un autobús llegue a un determinado semáforo lo encuentre en rojo es 0, 2. Si pasa tres veces a lo largo de un día por el semáforo, calcular la probabilidad de que: a) Las tres veces lo encuentre en rojo. b) Lo encuentre en rojo solo la segunda vez. c) Esté en rojo dos de las veces. d) Lo encuentre en rojo al menos una vez. selcs Jun 2012 Solución: Sea R encontrarlo en rojo: N c c c R R c R R c c R R c R a) p( tres en rojo) = 0′23 = 0′008 b) p( solo segunda en rojo) = 0′8 · 0′2 · 0, 8 = 0′128 c) p( dos veces en rojo) = 0′2·0′2·0′8+0′2·0′8·0′2+0′8·0′2·0′2 = 0′096 d) p( al menos una vez rojo) = 1 − p( ninguna en rojo) = 1 − 0′83 = 0′488 CUESTIÓN A5. La puntuación de un test psicotécnico para una determinada población sigue una Normal con una desviación típica conocida . Para hallar un intervalo de confianza para la media de la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 individuos, obteniéndose una puntuación media de 25 puntos. Si el intervalo de confianza con un nivel de significación 0’05 construido a partir de los datos anteriores es (24′02, 25′98), hallar el valor de . selcs Jun 2012 Solución: Los datos son: ¯x = 25, n = 100. Para el nivel de significación del 0’05 corresponde el valor crítico z 2 = 1′96. el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 25 ± 1′96 ·  √100 = 25 ± 0′196  25 − 0′196 = 24′02 25 + 0′196 = 25′98 0′196 = 0′98  = 5 CUESTIÓN B1. Sea el sistema de inecuaciones: x + y ≥ 2 2x + y ≤ 6 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 4   a) Representar gráficamente el conjunto de soluciones. b) Considerar la función f(xy) = 3x+y . Calcular, si existen, los puntos que dan el valor mínimo de la función en la región definida por el sistema. c) Considerar la función g(x, y) = 3x + 3y . Calcular, si existen, los puntos que dan el valor mínimo de la función en la región definida por el sistema. selcs Jun 2012 Solución: Representamos el sistema de inecuaciones:    x + y ≥ 2 x 0 2 y 2 0 2x + y ≤ 6 x 0 3 y 6 0 b) Ahora la función f igualada a 0: f(x, y) = 3x + y = 0 x 0 −1 y 0 3 Vemos que el mínimo se da en el punto: (0, 2) c) Ahora la función g igualada a 0: g(x, y) = 3x + 3y = 0 x 0 −1 y 0 1 Vemos que el mínimo se da en el segmento de extremos: (0, 2), (2, 0) 1 2 3 4 −1 −2 −3 1 2 3 4 5 6 −1 −2 b b CUESTIÓN B2. Una panadería ha comprobado que el número de panes de un determinado tipo que vende semanalmente depende de su precio x en euros según la función f(x) = 4500 − 1500x, donde f(x) es el número de panes vendidos cada semana y x el precio por unidad de pan. Calcular: a) La función l(x) que expresa los ingresos semanales por la venta de ese tipo de pan en función del precio por unidad de pan, x . b) El precio al que hay que vender cada pan para que dichos ingresos semanales sean máximos. ¿A cuánto ascenderán los ingresos semanales máximos?. selcs Jun 2012 Solución: a) l(x) = x · (4500 − 1500x) = 4500x − 1500x2 b) Derivando e igualando a 0: l′(x) = 4500 − 3000x = 0, x = 4500 3000 = 1′5 e Los ingresos serán: l(1′5) = 4500 · 1′5 − 1500 · 1′52 = 3375 e CUESTIÓN B3. Hallar el área delimitada por la parábola y = 2x2−2x−4 , el eje OX y las rectas x = −2 y x = 2, y hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2012 Solución: y = 2x2 − 2x − 4 S1 = Z −1 −2 (2x2 − 2x − 4)dx =  2 x3 3 − x2 − 4 x  −1 −2 = 11 3 S2 = Z 2 −1 (2x2 − 2x − 4)dx =  2 x3 3 − x2 − 4 x 2 −1 = −9 Área total S = 11 3 + 9 = 38 3 = 12′66 u2 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 6 −1 −2 −3 −4 CUESTIÓN B4. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura A es 1 2 , la de que apruebe la asignatura B es 3 8 y la de que no apruebe ninguna de las dos es 1 4 a) Calcular la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b) Calcular la probabilidad de que apruebe las dos asignaturas. c) Hallar la probabilidad de que apruebe la asignatura A, sabiendo que ha aprobado la B. selcs Jun 2012 Solución: a) p(A ∪ B) = p(aprobar al menos una) = 1 − p(no aprobar ninguna) = 1 − 1 4 = 3 4 b) p(A∪B) == p(A)+p(B)−p(A∩B); 3 4 = 1 2 + 3 8 −p(A∩B) despejando p(A ∩ B) = 1 2 + 3 8 − 3 4 = 1 8 c) p(A/B) = p(A ∩ B) p(B) = 1 8 3 8 = 1 3 A B CUESTIÓN B5. Hace 10 años, el 65% de los habitantes de cierta Comunidad Autónoma estaba en contra de la instalación de una central nuclear. Recientemente, se ha realizado una encuesta a 300 habitantes y 190 se mostraron contrarios a la instalación. Con estos datos y con un nivel de significación de 0,01 ¿se puede afirmar que la proporción de contrarios a la central sigue siendo la misma? selcs Jun 2012 Solución: H0 : p = 0′65 H1 : p 6= 0′65 Se elige un ensayo bilateral. Para el nivel de significación 0′01, se corresponde con z = 2′58. El intervalo de aceptación tiene como extremos: p ± z 2 r p(1 − p) n = p ± 2′58 r p(1 − p) n = 0′65 ± r 0′65 · 0′35 300 = 0′65 ± 0′0275 =  = 0′6225 = 0′6775 La proporción muestral 190 300 = 0′6333 queda dentro, se acepta la hipótesis de que la proporción de contrarios a la central no ha variado. CUESTIÓN A1. Tres familias han comprado naranjas, manzanas y melocotones. La familia A ha comprado 1 kg de cada fruta y ha pagado 10 euros, la familia B ha pagado 24 euros por 2kg de naranjas y 4 kg de melocotones, y la familia C se ha llevado 3 kg de manzanas y 3 kg de melocotones y ha pagado 24 euros. Calcular el precio de 1 kg de cada una de las frutas. selcs Sep 2011 Solución: Llamemos: x: precio del kg de naranjas y: precio del kg de manzanas z: precio del kg de melocotones   x + y + z = 10 2x + 4z = 24 3y + 3z = 24   1 1 1 10 2 0 4 24 0 3 3 24   2a + 1a.(−2)   1 1 1 10 0 −2 2 4 0 3 3 24  3a,2 + 2a,3   1 1 1 10 0 −2 2 4 0 0 12 60   queda   x + y + z = 10 −2y + 2z = 4 12z = 60 sustituyendo hacia arriba resulta: z = 5, y = 3, x = 2 CUESTIÓN A2. Dada la curva de ecuación y = x3 3 − 2x2 − 5x + 2 calcular: a) El dominio de definición. b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Los máximos y los mínimos. selcs Sep 2011 Solución: a) El dominio por ser un polinomio es todo R. b) Derivando f′(x) = x2 − 4x − 5 que se anula para x = 5, x = −1 x −1 5 y′ + − + y ր ց ր c) Observamos que hay un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 5 CUESTIÓN A3. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = −x2 + 2x + 8 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Sep 2011 Solución: Hallamos los puntos de corte con el eje de abcisas −x2+2x+8 = 0, resulta: x = −2, x = 4 El área que encierra la parábola con el eje OX viene dada por: S = Z 4 −2 (−x2 + 2x + 8)dx =  − x3 3 + x2 + 8 x 4 −2 = − 43 3 + 42 + 8 · 4 − (−23 3 + (−2)2 + 8 · (−2)) = 36 u2 2 4 6 8 2 4 −2 CUESTIÓN A4. En un supermercado se juntan tres partidas con el mismo número de latas de conserva procedentes de tres almacenes A, B y C. Se sabe que caducan en 2012 el 10% de las latas del almacén A, el 8% del B y el 12% del C. a) Calcular la probabilidad de que una lata elegida al azar caduque en 2012. b) Se ha elegido una lata aleatoriamente y caduca en 2012, ¿cuál es la probabilidad de que proceda del almacén C? selcs Sep 2011 Solución: a) Sea D el suceso caducar en 2012 La tercera parte de los botes proviene de A, caducan el 10% La tercera parte de los botes proviene de B, caducan el 8% La tercera parte de los botes proviene de C, caducan el 12% {A,B,C} forman sistema completo de sucesos. Por el Teorema de la Probabilidad Total: p(D) = p(A) · p(D/A) + p(B) · p(D/B) + p(C) · p(D/C) = 1 3 · 10 100 + 1 3 · 8 100 + 1 3 · 12 100 = 1 3 · 30 100 = 1 10 b) Por el teorema de Bayes: p(C/D) = p(D/C) · p(C) p(A) · p(D/A) + p(B) · p(D/B) + p(C) · p(D/C) = 12 100 · 1 3 1 10 = 4 10 CUESTIÓN A5. Se sabe que el ingreso anual por hogar en España es una variable normal de media 29400 euros y desviación típica de 17400 euros. Se extrae una muestra aleatoria simple de 400 hogares de la Comunidad de Murcia obteniéndose un ingreso anual medio por hogar de 26600 euros. Suponiendo que el ingreso anual por hogar en la Comunidad de Murcia es una variable normal con la misma desviación típica, decidir con un nivel de significación del 5% si existe una diferencia significativa entre el ingreso anual medio por hogar en España y el ingreso anual medio por hogar en la Comunidad de Murcia. selcs Sep 2011 Solución: Contrastamos H0 : μ = 29400 frente a H1 : μ 6= 29400 , La desviación típica es  = 17400 El nivel de significación del 5%, = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 1′96  √n = 29400 ± 1′96 17400 √400 = 29400 ± 1705,2 =  27694′8 31105′2 que da el intervalo (27694′8, 31105′2). Como ¯x = 26600 e queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 29400 años., cabe pensar que hay una diferencia significativa entre el ingreso anual medio por hogar en España y el ingreso anual medio por hogar en la Comunidad de Murcia. CUESTIÓN B1. Un veterinario desea dar a uno de sus animales una dieta que contenga por lo menos 40g de un nutriente A, 60g de un nutriente B y 230g del nutriente C cada día. Existen en el mercado dos productos, P 1 y P 2 que en cada bote contienen los siguientes gramos de esos elementos nutritivos: Nutriente A Nutriente B Nutriente C P1 40 10 60 P2 10 60 100 Si el precio de un bote del producto P 1 es de 10 euros y el de un bote del producto P 2 es de 16 euros, determinar: a) ¿Qué cantidad de botes de P 1 y de P 2 debe utilizar para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? b) ¿Qué cantidad de cada elemento nutritivo le dará si decide gastar lo menos posible? selcs Sep 2011 Solución: x = número de botes del producto P1 y = número de botes del producto P2    40x + 10y ≥ 40 10x + 60y ≥ 60 60x + 100y ≥ 230 Coste: f(x, y) = 10x + 16y Representamos:    40x + 10y ≥ 40 x 0 1 y 4 0 10x + 60y ≥ 60 x 0 6 y 1 0 60x + 100y ≥ 230 x 0 3′8 y 2′3 0 Ahora la función igualada a 0: f(x, y) = 10x + 16y = 0 x 0 −1′6 y 0 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 b c b b B b C b b Para minimizar hallamos y probamos los puntos B y C  40x + 10y = 40 60x + 100y = 230 B = (0′5, 2) f(0′5, 2) = 10 · 0′5 + 16 · 2 = 37  x + 6y = 6 6x + 10y = 23 C = (3, 0′5) f(3, 0′5) = 10 · 3 + 16 · 0′5 = 38 a) Por tanto para minimizar el coste debe mezclar medio bote de P1con 2 botes de P2. b) Nutriente A: 0′5 · 40 + 2 · 10 = 40 gr Nutriente B: 0′5 · 10 + 2 · 60 = 125 gr Nutriente C: 0′5 · 60 + 2 · 100 = 230 gr CUESTIÓN B2. Dada la curva de ecuación y = 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 calcular: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas. selcs Sep 2011 Solución: a) Como es una función racional el dominio serán todos los números reales excepto los que anulen el denominador: x2 − 3x + 2 = 0,  x = 1 x = 2 , Dominio(f) = R − {1, 2} b) Asíntotas verticales, la función se irá a infinito en los puntos en que se anule el denominador: Asíntotas verticales • x = 1 l´ım x→1− f(x) = l´ım x→1− 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 = l´ım x→1− 3x2 + 4 (x − 1)(x − 2) = 7 0− · (−1) = ∞ l´ım x→1+ f(x) = l´ım x→1+ 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 = l´ım x→1+ 3x2 + 4 (x − 1)(x − 2) = 7 0+ · (−1) = −∞ • x = 2 l´ım x→2− f(x) = l´ım x→2− 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 = l´ım x→2− 3x2 + 4 (x − 1)(x − 2) = 16 1 · 0−· = −∞ l´ım x→1+ f(x) = l´ım x→1+ 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 = l´ım x→1+ 3x2 + 4 (x − 1)(x − 2) = 7 1 · 0+ = ∞ Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ 3x2 + 4 x2 − 3x + 2 = 3; y = 3 CUESTIÓN B3. Calcular el área comprendida entre la curva y = x2 + 2x + 2, el eje 0X y las rectas x = −1 y x = 1. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Sep 2011 Solución: x2 + 2x + 2 = 0, no tiene soluciones reales, por tanto la parábola está siempre por encima del eje de abcisas, el área viene dada directamente por la integral: S = Z 1 −1 (x2 + 2x + 2)dx =  x3 3 + x2 + 2x 1 −1 = 14 3 u2 1 2 3 4 5 −1 1 2 −1 −2 −3 CUESTIÓN B4. En el desempate de la final del Mundial, cinco futbolistas, A, B, C, D y E lanzan un penalti cada uno. Las probabilidades de marcar de cada uno de ellos son 1 2 , 2 3 , 3 4 , 2 3 y 4 5 , respectivamente. Calcular: a) La probabilidad de que todos marquen. b) La probabilidad de que en los tres primeros lanzamientos, los de los jugadores A, B y C, al menos uno de ellos marque. selcs Sep 2011 Solución: a) Es la intersección de todos y como son independientes la probabilidad de que marquen todos es el producto: 1 2 · 2 3 · 3 4 · 2 3 · 4 5 = 2 15 b) N A B C ¯ C ¯B C ¯ C A¯ B C ¯ C ¯B C ¯ C Que acierte al menos uno es lo contrario de fallar los tres: p(fallar los tres) = p( ¯ A) · p(¯B) · p( ¯ C) = 1 2 · 1 3 · 1 4 = 1 24 La probabilidad de que acierte al menos uno de los tres es 23 24 CUESTIÓN B5. Una muestra aleatoria de 150 viviendas de una población tiene un precio medio por metro cuadrado de 2950 euros. Suponiendo que el precio por metro cuadrado es una variable normal con desviación típica de 600 euros, ¿entre qué límites se encuentra el verdadero precio medio por metro cuadrado de todas las viviendas de la población con un nivel de confianza de 0,99? selcs Sep 2011 Solución: Los datos son: ¯x = 2950,  = 600, n = 150. Para el nivel de confianza del 99% corresponde el valor crítico z 2 = 2′58. Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 2950 ± 2′58 · 600 √150 = 2950 ± 126′39  2823′61 3076′39 El intervalo de confianza para precio medio por metro cuadrado de todas las viviendas es (2823′61, 3076′39) CUESTIÓN A1. Discutir el siguiente sistema en función del parámetro  y resolverlo para  = 1 :   x + y + z = 1 x + 2y =  2x + y + 4z = −1 selcs Jun 2011 Solución: a) Triangulemos la matriz asociada:   1 1 1 1  2 0  2  4 −1    2afila − 1a ·  3afila − 1a · 2    1 1 1 1 0 2 −  − 0 0  − 2 2 −3   {3afila + 2a}   1 1 1 1 0 2 −  − 0 0 0 2 −  −3   queda el sistema:   x + y + z = 1 (2 − )y − z = 0 (2 − )z = −3 y resulta de la última ecuación: z = −3 2 −  que es válida para  6= 2 y sustituyendo en la anterior da: (2 − )y = z =  −3 2 −  ; y = −3 (2 − )2 = que es válida para  6= 2 y sustituyendo por fin en la primera: x = 1 − y − z = 1 − −3 (2 − )2 − −3 2 −  que es válida también para  6= 2 Para  = 2 después de la triangulación resultaría el sistema:   x + y + z = 1 −2z = 0 0z = −3 que muestra por la última ecuación que es incompatible. En conclusión: Para  6= 2 Sistema compatible determinado solución única. Para  = 2 Sistema incompatible no tiene solución. La discusión es más simple si consideramos que puede ser un sistema tipo Cramer: Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: 1 1 1  2 0 2  4 = a2 − 4a + 4 = (a − 2)2 Para  6= 2 no se anula el determinante de la matriz de coeficientes luego el sistema es tipo Cramer con solución única. Para  = 2 sustituyendo queda el sistema que triangulando hemos visto que resulta incompatible. b) Para  = 1 el sistema es:   x + y + z = 1 x + 2y = 1 2x + y + 4z = −1 Vamos a buscar la solución independientemente del primer apartado: Triangulemos:   1 1 1 1 1 2 0 1 2 1 4 −1    2afila − 1a 3afila − 1a · 2    1 1 1 1 0 1 −1 0 0 −1 2 −3   {3afila + 2a}   1 1 1 1 0 1 −1 0 0 0 1 −3   El sistema queda:   x + y + z = 1 y − z = 0 z = −3 La soluciones son z = −3, y = −3, x = 1 + 3 + 3 = 7 CUESTIÓN A2. Dada la curva de ecuación y = x2 x2 − x − 6 calcular: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas. selcs Jun 2011 Solución: a) Es una función racional, estará definida para todo x que no anule el denominador. x2 − x − 6 = 0, tiene como soluciones x = −2, x = 3 Dominio R − {−2, 3} b) Asíntotas verticales: la función se irá a infinito cuando se anule solo el denominador: Estudiemos los límites laterales Para x = −2 l´ım x→−2− x2 x2 − x − 6 = 4 0+ = ∞ l´ım x→−2+ x2 x2 − x − 6 = 4 0− = −∞ Para x = 3 l´ım x→3− x2 x2 − x − 6 = 9 0− = −∞ l´ım x→3+ x2 x2 − x − 6 = 9 0+ = ∞ Asíntota horizontal, y = n : n = l´ım x→∞ f(x), como es una racional sirve para los dos lados: l´ım x→∞ x2 x2 − x − 6 Dividiendo numerador y denominador por x2, resulta: l´ım x→∞ 1 1 − 1 x − 6 x2 = 1 La asíntota horizontal es y = 1 CUESTIÓN A3. Calcular el area comprendida entre la curva y = x2−4x+8, el eje OX y las rectas x = −1 y x = 1. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2011 Solución: La parábola tiene el mínimo en 2x − 4 = 0, x = 2, f(2) = 4 y corta al eje OY en y = 8 Área= Z 1 −1 (x2 − 4x + 8)dx =  x3 3 − 2x2 + 8x 1 −1 = 1 3 − 2 + 8 − (−1 3 − 2 − 8) = 2 3 + 16 = 50 3 = 16′6666 u2 2 4 6 8 10 12 14 1 2 3 4 −1 CUESTIÓN A4. Juan y Andrés juegan en común una quiniela cada semana. Juan la rellena el 40% de las semanas y el resto de las semanas la rellena Andrés. El porcentaje de veces que la quiniela de Juan tiene algún premio es el 5% y el de la que rellena Andrés es el 8%. a) Calcular la probabilidad de que una semana, elegida al azar, la quiniela tenga algún premio. b) Si cierta semana la quiniela ha obtenido algún premio, calcular la probabilidad de que la haya rellenado Juan. selcs Jun 2011 Solución: Llamamos P al suceso ”tener premio”. Llamamos J al suceso ”quiniela rellenada por Juan ”; p(J) = 0′40; p(P/J) = 0′05 Llamamos A al suceso ”quiniela rellenada por Andrés ”; p(A) = 0′60; p(P/A) = 0′08 {J,A} forman sistema completo de sucesos. a) Por el teorema de la probabilidad total: p(P) = p(P/J) · p(J) + p(P/A) · p(A) = 0′40 · 0′05 + 0′60 · 0′08 = 0′068 b) Por el teorema de Bayes: p(J/P) = p(P/J) · p(J) p(P/J) · p(J) + p(P/A) = 0′40 · 0′05 0′40 · 0′05 + 0′60 · 0′08 = 0′75 = 0′02 0′068 = 0′2941 CUESTIÓN A5. Se sabe que el tiempo diario que los jóvenes dedican a actividades con el ordenador sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos. Para una muestra aleatoria simple de 225 jóvenes se ha obtenido un tiempo medio de 100 minutos al día. Dar un intervalo de confianza al 90% para el tiempo diario medio dedicado al ordenador de todos los jóvenes. selcs Jun 2011 Solución: Los datos son: ¯x = 100,  = 15, n = 225. Para el nivel de confianza del 90% corresponde el valor crítico z 2 = 1′65 Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 100 ± 1′65 · 15 √225 = 100 ± 1′65 =  98′35 101′65 El intervalo de confianza para el tiempo diario medio dedicado al ordenador es [98′35, 101′65] CUESTIÓN B1. Una cadena de supermercados compra naranjas a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden las naranjas a 1000 y 1500 euros por tonelada, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para satisfacer su demanda, la cadena debe comprar en total como mínimo 6 toneladas. La cadena debe comprar como máximo al distribuidor A el doble de naranjas que al distribuidor B. ¿Qué cantidad de naranjas debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo. selcs Jun 2011 Solución: Sean: x = número de toneladas compradas a A y = número de toneladas compradas a B Coste: f(x, y) = x + 1′5y en miles de euros 2 ≤ x ≤ 7 2 ≤ y ≤ 7 x ≤ 2y   Representamos: x ≤ 2y x 0 4 y 0 2 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = x + 1′5y = 0 x 0 −3 y 0 2 2 4 6 2 4 6 8 −2 b A Para minimizar el coste tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A que sería la más cercana: comprobemos los valores correspondientes a esos puntos: A(8, 4); f(4, 2) = 4 + 1′5 · 2 = 7 Por tanto el mínimo coste resulta de comprar 4 toneladas a A y 2 toneladas a B. El coste sería 7.000 e . CUESTIÓN B2. Dada la curva de ecuación y = x3 − 3x2 − 9x + 9 calcular: a) El dominio de definición. b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Los máximos y los mínimos. selcs Jun 2011 Solución: a) Como es una función polinómica el dominio es todo R. b) La derivada es f′(x) = 3x2 − 6x − 9, estudiemos el crecimiento: f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 0  x = −1 x = 3 x −1 3 y′ − + − y ր ց ր MÁXIMO MÍNIMO Sustituyendo: f(−1) = 14, f(3) = −18. La curva tiene un máximo en (−1, 14) y un mínimo en (3,−18) CUESTIÓN B3. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = −x2 +x+6 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2011 Solución: Los punto de corte con OX de la parábola son −x2 + x + 6 = 0  x = −2 x = 3 Área= Z 3 −2 (−x2 + x + 6)dx =  − x3 3 + x2 2 + 6x 3 −2 = −9 + 9 2 + 18 − ( 8 3 + 2 − 12) = 9 2 − 8 3 + 19 = 125 6 = 20′83333 u2 1 2 3 4 5 6 −1 1 2 3 4 −1 −2 CUESTIÓN B4. En una biblioteca hemos cogido un libro de la estantería de los libros de Historia, otro de la de Matemáticas y otro de la de Física. Si los devolvemos al azar a cada una de las estanterías, calcular la probabilidad de que al menos uno de los libros se coloque en la estantería que le corresponde. selcs Jun 2011 Solución: Se correspondería con las ordenaciones de las cifras 1,2,3 en las que algún número conserva el orden natural. Casos posibles P3 = 6 Casos favorables: 123,132,321,213 en total 4. p(acertar al menos uno) = 4/6 = 2/3 Otro planteamiento: Se correspondería con una urna con tres bolas numeradas de 1 a 3, se hacen tres extracciones sucesivas sin reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que coincida en número de la bola con el número de extracción? A representa acertar, F fallar, la tercera extracción no tiene alternativas: N A A A . F . F F A A . F . F La probabilidad de la última trayectoria, que fallen las tres, es: 2 3 . 1 2 = 1 3 Por tanto la probabilidad de acertar al menos una vez es p = 1 − 1 3 = 2 3 CUESTIÓN B5. Se sabe que la edad de los profesores de una Comunidad Autónoma sigue una distribución normal con varianza de 5 años. Una muestra aleatoria de 200 profesores de dicha Comunidad tiene una media de 45 años. ¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 0,05 que la edad media de todos los profesores de la Comunidad es de 46 años? selcs Jun 2011 Solución: Contrastamos H0 : μ = 46 frente a H1 : μ 6= 46 , La desviación típica es  = √5 = 2′23 El nivel de confianza del 95%, = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 1′96  √n = 46 ± 1′96 √5 √200 = 46 ± 0,3099 =  45′6901 46′3099 que da el intervalo (45′6901, 46′3099). Como ¯x = 45 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 46 años., cabe pensar que hay una diferencia significativa entre la media de las edades de la muestra y la media de las edades que se presuponía para los profesores de la Comunidad Autónoma . CUESTIÓN A.1 En una empresa se producen dos tipos de artículos A y B, en cuya elaboración intervienen tres departamentos: cortado, montaje y embalado. Cada departamento trabaja 8 horas al día y mientras el producto A requiere sólo una hora de montaje y media de embalado, el producto B requiere dos horas de cortado y una de embalado. El beneficio que se obtiene por cada unidad de A es de 40 euros y por cada unidad de B de 35 euros. ¿Cómo debe distribuirse la producción diaria para maximizar el beneficio? selcs Sep 2010 Solución: Sean: x = número de artículos A y = número de artículos B Ganancia: f(x, y) = 40x + 35y euros cortado 2y ≤ 8 montaje x ≤ 8 embalado 1 2x + y ≤ 8   Representamos: 1 2 x + y ≤ 8 x 0 16 y 8 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 40x + 35y = 0 x 0 −7 y 0 8 2 4 6 8 2 4 6 8 10 12 14 16 bA Para maximizar los ingresos tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A que sería la más alejada: comprobemos los valores correspondientes a esos puntos: A(8, 4); f(8, 4) = 40 · 8 + 35 · 4 = 460 Por tanto el máximo beneficio resulta de fabricar 8 artículos A y fabricar 4 artículos B. CUESTIÓN A.2 Dada la curva de ecuación: y = 3x2 − 5x − 6 x2 − x − 2 calcular: a) Dominio b) Asíntotas selcs Sep 2010 Solución: a) Dominio: Anulamos el denominador: x2 − x − 2 = 0 x1 = −1 x2 = 2 Por tanto: Dominio = R − {−1, 2} b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito • verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, valores de x que anulan al denominador: x = −1, x = 2. Pero hemos de comprobar que el numerador no tiene alguna raíz común: 3x2−5x−6 = 0 x1 = 5− √97 6 = −0′808 x2 = 5+√97 6 = 2′47 Por tanto son asíntotas verticales x = −1, x = 2. • Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ 3x2 − 5x − 6 x2 − x − 2 = 3 Luego la asíntota horizontal es y = 3 Con el regionamiento podemos saber el lado por el que la curva se acerca a la asíntota: Para ello consideramos las raíces del numerador y denominador: resulta que delimitan región de cambio de signo de y : x = −1, x = −0′808, x = 2, x = 2′47 x −1 −0′808 2 2’47 y + − + − + 1 2 −1 −2 1 2 3 −1 −2 −3 CUESTIÓN A.3 Calcular el área comprendida entre la curva y = x2 − 6x + 10 , el eje OX y las rectas x = 3 y y = −2x + 10 . Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Sep 2010 Solución: Buscamos los puntos de corte  de las dos funciones: y = x2 − 6x + 10 y = −2x + 10 x2 − 6x + 10 = −2x + 10; x2 − 4x = 0; x = 0, x = 4 Área= Z 4 3 parábola + Triángulo Z 4 3 (x2 − 6x + 10) dx =  x3 3 − 3x2 + 10x 4 3 = 4 3 u2 La altura del triángulo es la ordenada del punto de corte correspondiente a x = 4, sustituyendo en la recta y = −2 · 4 + 10 = 2 triángulo: S = base · altura 2 = 1 · 2 2 = 1 Área = 4 3 + 1 = 7 3 u2 1 2 3 4 −1 1 2 3 4 5 6 7 CUESTIÓN A.4 Una fábrica de jabón recibe de tres proveedores A, B y C agua destilada en botellas en la proporción 80%, 15% y 5% respectivamente. El control de calidad de la fábrica estima que debido a la mayor o menor impureza del agua deja pasar los tipos A, B y C con una probabilidad de 1, 0.4 y 0.03 respectivamente. ¿Qué probabilidad hay de que el control de calidad deje pasar una botella cualquiera? selcs Sep 2010 Solución: Teorema de la probabilidad total: Sea A el suceso botella que proviene de A: ”botella de tipo A”, p(A) = 0′80 Sea B el suceso botella que proviene de B:”botella de tipo B”, p(B) = 0′15 Sea C el suceso botella que proviene de C:”botella de tipo C”, p(C) = 0′05 {A,B,C} forman sistema completo de sucesos. Sea D el suceso ”pasar el control de calidad” p(D) = p(D/A) · p(A) + p(D/B) · p(B) + (D/C) · p(C) = 1 · 0′80 + 0′4 · 0′15 + 0′03 · 0′05 = 0′8615 CUESTIÓN A.5 Se sabe que el precio de los libros de bachiller es una variable aleatoria normal con media 38.2 euros y desviación típica de 5.25 euros. Una muestra aleatoria simple de 16 libros de Química de distintas editoriales tiene un precio medio de 42.3 euros. Se quiere decidir si existe diferencia significativa entre la media del precio de los libros de Química y la media del precio de los libros de bachiller en general con un nivel de significación = 0,05. selcs Sep 2010 Solución: Contrastamos H0 : μ = 38′2 frente a H1 : μ 6= 38′2 , La desviación típica es  = 5′25 El nivel de significación = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ±z 2  √n = μ±1′96  √n = 38′2±1′96 5′25 √16 = 38′2±0′3726 =  40′7725 35′6275 que da el intervalo (35′6275, 40′7725). Como ¯x = 42′3 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 38′2 e , cabe pensar que hay una diferencia significativa entre el precio medio de los libros de Química y el de los libros de bachiller en general. CUESTIÓN B.1 Calcular la inversa de la matriz A =   1 3 1 2 −1 2 3 2 −3   selcs Sep 2010 Solución: Ejercicio ya propuesto en junio 2007 cuestión 1.A CUESTIÓN B.2 ¿Cuál es el número que al sumarlo con 25 veces su inverso se obtiene un valor mínimo? selcs Sep 2010 Solución: Sea x el número La función a minimizar es: S(x) = x + 25 · 1 x mínimo Derivamos: S′(x) = 1 − 25 x2 = x2 − 25 x2 Anulamos la derivada: x2 − 25 x2 = 0; x2 − 25 = 0; x = ±5 La solución es x = 5 comprobemos que es mínimo viendo el crecimiento: x 5 y′ − + y ց ր MÍNIMO CUESTIÓN B.3 Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 4x − x2 e y = x . Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Sep 2010 Solución: Al ser una parábola para representar hallamos los puntos de corte con OX se hace y = 0 y resulta: 4x − x2 = 0  x1 = 0 x2 = 4 Los puntos de corte entre la recta y la parábola son: 4x − x2 = 0  y = 4x − x2 y = x 4x − x2 = x; 3x − x2 = 0;  x1 = 0 x2 = 3 S = Z 3 0 parábola − recta = Z 3 0 3x − x2dx =  3x2 2 − x3 3 3 0 = 9 2 = 4′5u2 El área total encerrada es por tanto 4′5u2 1 2 3 4 5 6 −1 −1 1 2 3 4 5 CUESTIÓN B.4 Una comisión delegada de cierto ayuntamiento está formado por 10 concejales de los cuáles 5 pertenecen al partido A, 4 al B y 1 al C. Se eligen 3 personas al azar y sucesivamente de dicha comisión. a) Calcular la probabilidad de que las tres pertenezcan al partido A. b) Calcular la probabilidad de que las tres pertenezcan al partido C. selcs Sep 2010 Solución: Sucesivamente sin devolución: entonces las probabilidades varían en las sucesivas elecciones: La probabilidades de los sucesos que pide son: a) p( ”tres del partido A” ) = 5 10 · 4 9 · 3 8 = 1 12 b) p( ”tres del partido C” ) es suceso imposible, luego su probabilidad es 0. CUESTIÓN B.5 Se está observando la asistencia anual a congresos de los profesionales de la medicina. Se sabe que la variable aleatoria es normal con desviación típica igual a 4 veces por año. Se toma una muestra de 70 profesionales de la medicina cuya asistencia media es de 3 veces por año. Dar un intervalo de confianza al 98% para la media de la asistencia anual a congresos de todos los profesionales de medicina. selcs Sep 2010 Solución: Los datos son: ¯x = 3,  = 4, n = 70. El nivel de confianza es 98%, como no es usual, tenemos que buscar en las tablas de la normal el valor crítico que corresponde. Para el 98%, corresponde buscar en las tablas una probabilidad 0’9900, el valor que más se aproxima es 2’33: p(X ≤ x0) = 0′9900, x0 = 2′33 El valor crítico es por tanto z 2 = 2′33. Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z 2  √n = 3 ± 2′33 · 4 √70 = 3 ± 1′1139  1,8861 4′1139 El intervalo de confianza para la media de asistencias anuales a congresos es (1,8861, 4′1139) z −z 2 2 1 − 2 2 CUESTIÓN A.1 En una encuesta realizada por una televisión local se ha detectado que un programa con 20 min. de variedades y un minuto de publicidad capta 30.000 espectadores, mientras que otro programa con 10 min. de variedades y un minuto de publicidad capta 10.000 espectadores. Para un determinado período, la dirección de la red decide dedicar como máximo 80 min. de variedades y 6 min. de publicidad. ¿Cuántas veces deberá aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores? selcs Jun 2010 Solución: Sean: x = número de veces que aparece el programa de 20 min. de variedades y un minuto de publicidad y = número de veces que aparece el programa de 10 min. de variedades y un minuto de publicidad Número de espectadores en  miles: f(x, y) = 30x+10y variedades 20x + 10y ≤ 80 publicidad x + y ≤ 6 Representamos: 20x + 10y ≤ 80 x 0 4 y 8 0 x + y ≤ 6 x 0 6 y 6 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 30x + 10y = 0 x 0 −1 y 0 3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 bA bC bD Para maximizar el número de espectadores tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A o D que sería la más alejada: comprobemos los valores correspondientes a esos puntos: A(2, 4); f(2, 4) = 30 · 2 + 10 · 4 = 100 D(4, 0); f(4, 0) = 30 · 4 + 6 · 00 = 120 Por tanto el máximo número de espectadores se produce emitiendo 4 veces el programa de 20 min. de variedades y un minuto de publicidad y ninguna el otro. CUESTIÓN A.2 Dada la curva de ecuación y = x − 2 x2 + 2x − 3 calcular: a) Dominio b) Asíntotas selcs Jun 2010 Solución: a) Dominio: Anulamos el denominador: x2 + 2x − 3 = 0 x1 = −3 x2 = 1 Por tanto: Dominio = R − {−3, 1} b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito • verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, valores de x que anulan al denominador: x = −3, x = 1 • Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x − 2 x2 + 2x − 3 = 0 Luego la asíntota horizontal es y = 0 Con el regionamiento podemos saber el lado por el que la curva se acerca a la asíntota: Para ello consideramos las raíces del numerador y denominador: resulta que delimitan región de cambio de signo de y : x = −3, x = 1, x = 2 x -3 1 2 y − + − + CUESTIÓN A.3 Calcular el área comprendida entre la curva y = 3x2 + 2x − 16, el eje OX y las rectas x = −2 y x = 4. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2010 Solución: Al ser una parábola para representar hallamos los puntos de corte con OX se hace y = 0 y resulta: 3x2 + 2x − 16 = 0; x = −2 ± √4 + 4 · 3 · 16 6 = −2 ± √4 + 192 6 = −2 ± √196 6  x1 = −2+14 6 = 2 x2 = −2−14 6 = −8 3 S1 : Z 2 −2 3x2 + 2x − 16dx =  x3 + x2 − 16 x 2 −2 = −48u2 S2 = Z 4 2 3x2 + 2x − 16dx =  x3 + x2 − 16 x 4 2 = 36u2 El área total encerrada es por tanto 84u2 −2 4 CUESTIÓN A.4 Una fábrica de coches tiene tres cadenas de producción A, B y C. La cadena A fabrica el 50% del total de coches producidos, la B el 25% y la C el resto. La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: 1/2 en la cadena A, 1/4 en la cadena B y 1/6 en la cadena C. Calcular la probabilidad de que un coche elegido al azar sea defectuoso. selcs Jun 2010 Solución: Llamamos D al suceso ” ser defectuoso”. Llamamos A al suceso ”coche fabricado en la cadena A”; p(A) = 50 100 Llamamos B al suceso ”coche fabricado en la cadena B” ; p(A) = 25 100 Llamamos C al suceso ”coche fabricado en la cadena C”; p(A) = 25 100 {A,B,C} forman sistema completo de sucesos. Por el Teorema de la probabilidad total p(D) = p(D/A) · p(A) + p(D/B) · p(B) + +(D/C) · p(C) = 1 2 · 50 100 + 1 4 · 25 100 + 1 6 · 25 100 = 17 48 = 0′35416 CUESTIÓN A.5 A una muestra aleatoria de 100 alumnos de segundo de bachillerato se les hizo una prueba de madurez, obteniendo una media muestral de 205 puntos. Suponiendo que la puntuación obtenida en la prueba de madurez es una variable aleatoria normal, ¿entre qué límites se encuentra la madurez media de los alumnos de segundo de bachillerato con un nivel de confianza de 0.99 si la varianza de la población es de 576? selcs Jun 2010 Solución: Los datos son: ¯x = 205, 2 = 576, n = 100. Para el nivel de confianza del 99% corresponde el valor crítico z 2 = 2′58. Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 205 ± 2′58 · √576 √100 = 205 ± 12 5 = 205 + 6′192  198,808 211,192 El intervalo de confianza para la madurez media es (202′6, 207′4) CUESTIÓN B.1 Dado el sistema de ecuaciones lineales:   x + 2z = 0 x + y + 2z = − 2x + 3y =  a) Resolverlo para  = 3 b) Estudiarlo para cualquier valor de . selcs Jun 2010 Solución: a) Para  = 3 resulta   x + 2z = 0 x + y + 2z = −3 2x + 3y = 3 que tiene como matriz asociada:   1 0 2 0 1 1 2 −3 2 3 0 3   y triangulando por Gauss resulta:   1 0 2 0 0 1 0 −3 0 0 −4 12   que sustituyendo hacia arriba da como soluciones: z = −3, y = −3, x = 6. b) Tiene como matriz asociada:   1 0 2 0 1 1 2 − 2 3 0    y triangulando por Gauss resulta:   1 0 2 0 1 1 2 − 2 3 0    2a − 1a 3a + 1a × (−2)   1 0 2 0 0 1 0 − 0 3 −4    3a + 2a × (−3)   1 0 2 0 0 1 0 − 0 0 −4 4   que sustituyendo hacia arriba da como soluciones: z = −, y = −, x = 2 que sirve para cualquier valor de  CUESTIÓN B.2 Un terrateniente posee unos terrenos al borde de un río. Allí desea cercar una parcela y montar una playa privada con todo tipo de servicios. Para ello dispone de 4000 metros de alambrada. ¿Cuál es la superficie máxima, de forma rectangular, que puede cercar y cuál la longitud de ribera apta para el baño? selcs Jun 2010 Solución: Superficie: S = x · y máxima Longitud: 2x + y = 4000. Despejamos y: y = 4000 − 2x Sustituyendo en S: S(x) = x(4000 − 2x) = 4000x − 2x2 máxima Ahora anulamos la derivada: x y S′(x) = 4000 − 4x = 0; x = 1000 Por las condiciones del enunciado la solución es 1000, hagamos no obstante el estudio del crecimiento en ese punto: x 1000 S′(x) + − S(x) ր ց MAX la longitud de ribera apta para el baño es y = 4000 − 2 · 1000 = 2000 m la superficie máxima rectangular que puede cercar es S = 1000 · 2000 = 2000000 m2 CUESTIÓN B.3 Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = −x2 + 8x y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2010 Solución: Para representar hallamos los puntos de corte con OX se hace y = 0 y resulta: −x2 + 8x = 0; x(−x + 8) = 0  x1 = 0 x2 = 8 S = Z 8 0 −x2 + 8xdx =  − x3 3 + 8 x2 2 8 0 = 256 3 u2 8 CUESTIÓN B.4 En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3 pares de calcetines blancos y 4 pares de calcetines rojos; en otro cajón guarda 4 corbatas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajón un par de calcetines y del segundo una corbata. Hallar la probabilidad de que los calcetines y la corbata sean del mismo color. selcs Jun 2010 Solución: COMPROBAR A partir del diagrama en árbol, sumando las probabilidades correspondientes a las dos ramas: p( el mismo color) = 3 7 . 4 9 + 4 7 . 3 9 = 8 21 = 0′38095 N B 3/7 B → 4/9 R A R 4/7 B R → 3/9 A CUESTIÓN B.5 Se sabe que las calificaciones de los alumnos de segundo de bachiller en matemáticas es una variable aleatoria normal de media 5.5 y varianza 1.69. Se extrae una muestra aleatoria de 81 alumnos que cursan el bachiller bilingüe obteniéndose una media muestral de 6.8 puntos en las calificaciones de dichos alumnos en la asignatura de matemáticas. Se quiere decidir si existe una diferencia significativa entre la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos del bachiller bilingüe y la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos de segundo de bachiller en general con un nivel de significación = 0′01 selcs Jun 2010 Solución: Contrastamos H0 : μ = 5′5 frente a H1 : μ 6= 5′5 , La desviación típica es  = √1′69 = 1′3 El nivel de significación = 0′01, corresponde con z 2 = 2′58. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 2′58  √n = 5′5 ± 2′58 1′3 √81 = 5′5 ± 0′3726 =  5′8726 5′1274 que da el intervalo (5′127, 5′872). Como ¯x = 6′8 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 5′5 gr., cabe pensar que hay una diferencia significativa entre la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos del bachiller bilingüe y la media de las calificaciones en matemáticas de los alumnos de segundo de bachiller en general. CUESTIÓN 1.A. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero y la suma de los tres era 24. ¿Cuáles son los tres números que faltan? selcs Sept 2009 Solución: Sean de los tres números que faltan: x un número y otro número z el número restante las condiciones se pueden expresar:   x + y = z + 2 y − 2x = z − 10 x + y + z = 24 reordenando   x + y − z = 2 −2x + y − z = −10 x + y + z = 24 Tiene como matriz asociada: 1 1 −1 −2 −2 1 −1 10 1 1 1 −24 Que triangulando por Gauss resulta: 1 1 −1 −2 0 3 −3 6 0 0 6 −66 que sustituyendo hacia arriba da como soluciones: z = 11, y = 9, x = 4. Estos son los tres números que faltan. CUESTIÓN 1.B. Una escuela prepara una excursión para cuatrocientos alumnos. La empresa de transportes dispone de ocho autocares de cuarenta plazas y diez de cincuenta plazas, pero sólo dispone de nueve conductores. El alquiler de un autocar grande es de ochenta euros y el de uno pequeño de sesenta euros. a) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. b) ¿Cuántas plazas sobrarán? Identificar en el planteamiento las variables, las restricciones y la función a optimizar. selcs Sept 2009 Solución: x = número de autobuses de 40 plazas y = número de autobuses de 50 plazas Precio total: f(x, y) = 60x + 80y e buscamos el mínimo    40x + 50y ≥ 400 x ≤ 8 y ≤ 10 x + y ≤ 9 Representamos:    40x + 50y ≥ 400 x 0 10 y 8 0 x + y ≤ 9 x 0 9 y 9 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 60x + 80y = 0 x 0 −4 y 0 3 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 −2 b G b b C b b b A Para minimizar el precio tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto C(5, 4), o sea 5 autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas, entonces el importe sería: f(5, 4) = 60 · 5 + 80 · 4 = 620 e . Con ello el total de plazas contratadas sería de : 5 · 40 + 4 · 50 = 400, no sobra ninguna. CUESTIÓN 2.A. Dada la curva de ecuación y = 3x2 x2 + 1 determinar: a) Dominio b) Máximos y mínimos c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento d) Asíntotas selcs Sept 2009 Solución: a) Dominio y regionamiento: El denominador no se anula nunca luego el dominio es R El numerador y el denominador son siempre positivos luego la función es siempre positiva. b) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 0 con OX : y = 0, resulta el mismo c) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, no podemos anular el denominador, no hay. Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ 3x2 x2 + 1 = 3; y = 3 d) Extremos y crecimiento: f′(x) = 6x (x2 + 1)2 Se anula para x = 0 x 0 y′ − + y ց ր MÍNIMO 1 2 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 CUESTIÓN 2.B. Dada la parábola de ecuación y = x2 −8x+12 hallar el punto en el que la recta tangente es paralela al eje de abscisas. selcs Sept 2009 Solución: Que la recta tangente a la parábola sea paralela al eje de abcisas supone que su pendiente es cero, por tanto buscamos el punto de la parábola en que se anula su derivada: f′(x) = 2x − 8 = 0; x = 4 la ordenada del punto es f(4) = 16 − 32 + 12 = −4 El punto buscado es (4,−4) CUESTIÓN 3.A. Hallar dos números cuya suma sea 20, sabiendo que su producto es máximo. Razonar el método utilizado. selcs Sept 2009 Solución: Sean los números x, 20 − x El producto f(x) = x · (20 − x) = 20x − x2 ha de ser máximo. Derivamos y anulamos la derivada: f′(x) = 20 − 2x = 0 Tiene de solución x = 10, comprobemos que es máximo con el crecimiento: x 10 y′ + − y ր ց MÁXIMO CUESTIÓN 3.B. Calcular el área de la región del plano comprendida entre las curvas y = 4−x2 e y = 3x2. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Sept 2009 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos funciones, f : y = 4 − x2; g : y = 3x2  : y = 4 − x2 y = 3x2 3x2 = 4 − x2; 4x2 = 4; x = ±1 Área = 2 · S1 S1 = Z 1 0 f - g = S1 = Z 1 0 (4 − 4x2) dx =  4x − 4x3 3 1 0 = 8 3 Área = 16 3 u2 1 2 3 4 5 6 −1 −3 −2 −1 1 2 3 CUESTIÓN 4.A. A un congreso de científicos asisten cien congresistas, de ellos ochenta hablan francés y cuarenta hablan inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que dos congresistas elegidos al azar no puedan entenderse sin intérpretes? selcs Sept 2009 Solución: Como todos hablan algún idioma por tanto hay 20 que hablan los dos idiomas: Llamamos I al suceso ”saber sólo inglés” son 20 de los cien Llamamos F al suceso ”saber sólo francés” son 60 de los cien Llamamos B al suceso ”saber los dos idiomas” son 20 de los cien Sumando las probabilidades de las dos ramas: p( no entenderse ) = 60 100 . 20 99 + 20 100 . 60 99 = 0′24 N 60/100 F I 20/99 20/100 I F 60/99 CUESTIÓN 4.B. En un I.E.S. se realizan dos competiciones deportivas: baloncesto y fútbol. El 20% de los alumnos participan en la de baloncesto, de los cuáles el 40% son de primero de bachillerato y el 30% participan en la de fútbol, de los cuáles el 25% son de primer curso de bachillerato. Ningún alumno puede participar en dos competiciones. Elegido al azar un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que sea de segundo de bachillerato? selcs Sept 2009 Solución: Teorema de la Probabilidad Total Sea I ser de 1o de Bachiller, sea II ser de 2o de Bachiller. Sea B participar en baloncesto, dicen que p(B) = 0′2 y F participar en fútbol, dicen que p(F) = 0′3 . Como p(I/B) = 0′4 en consecuencia: p(II/B) = 0′6 Como p(I/F) = 0′25 en consecuencia: p(II/F) = 0′75 Entonces por el teorema mencionado: p(II) = p(II/B) · p(B) + p(II/F) · p(F) = 0′6 · 0′2 + 0′75 · 0′3 = 0′27 CUESTIÓN 5.A. El promedio de las puntuaciones obtenidas en historia por un número elevado de alumnos es de 6,50 puntos. Un determinado curso se examinaron cincuenta alumnos obteniendo una puntuación promedio de 7,25 puntos. Suponiendo que la variable puntuación obtenida en historia es una normal con desviación típica igual a uno, ¿podemos afirmar con un nivel de significación de 0,05 que variaron las calificaciones? selcs Sept 2009 Solución: Test bilateral El nivel de significación = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 1′96  √n = 6′5 ± 1′96 1 √50 = 6′5 ± 0′277 =  6′7771 6′2229 que da el intervalo (6′222, 6′777). Como ¯x = 7′25 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 6′5 , hay motivo para pensar que han cambiado las calificaciones. CUESTIÓN 5.B. Una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes responden a una prueba de inteligencia espacial, obteniendo una media de cien puntos. Se sabe que la variable inteligencia espacial de todos los alumnos es una variable normal con una desviación típica igual a diez, pero se desconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de todos los alumnos, con un nivel de confianza de 0,99? selcs Sept 2009 Solución: Los datos son: ¯x = 100,  = 10, n = 25. Para el nivel de confianza del 99% corresponde el valor crítico z 2 = 2′58. Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z 2  √n = 100±2′58· 10 √25 = 100±5′16  105′16 94′84 El intervalo de confianza para la media μ es (94′84, 105′16) CUESTIÓN 1.A. Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores de  y resolverlo para el valor  = 1   x + y − z =  x − y + 2z = 1 2x + y + z = 0 selcs Jun 2009 Solución: La matriz asociada al sistema es:   1 1 −1 k 1 −1 2 1 2 1 k 0   Iniciamos Gauus triangulando:   1 1 −1 k 1 −1 2 1 2 1 k 0  {2a − 1a; 3a + 1a × (−2)} =   1 −1 2 k 0 −2 3 1 − k 0 −1 k + 2 −2k  {3a × (−2) + 2a} =   1 −1 2 −1 0 2 −3 1 − k 0 0 −2k − 1 1 + 3k   una vez triangulada volvemos a sistema   x − y + z = 1 2y − 3z = 1 − k (−2k − 1)z = 1 + 3k resulta despejando y sustituyendo de abajo hacia arriba (−2k−1)z = 1+3k; z = 1 + 3k −2k − 1 que solo no se puede efectuar si se anula el denominador, por tanto: Si k 6= −1 2 el sistema tiene solución única, es compatible determinado Si k = −1 2 , el sistema no tiene solución, el sistema es incompatible. Resolvemos para k = 1   x − y + z = −1 2y − 3z = 0 −3z = 4 Luego z = −4 3 sustituyendo de abajo hacia arriba y despejando y = 3z 2 = 3−4 3 2 = −2; x = 1 + y − z = 1 − 2 + 4 3 = 5 3 CUESTIÓN 1.B. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2, que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas: A B C P1 4 1 6 P2 1 6 10 Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del producto P2 es de 160 euros, averiguar: a) ¿Como deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? b) ¿Que cantidad tomara de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? selcs Jun 2009 Solución: x = número de botes del producto P1 y = número de botes del producto P2    4x + y ≥ 4 x + 6y ≥ 6 6x + 10y ≥ 23 Coste: f(x, y) = 100x + 160y Representamos:    4x + y ≥ 4 x 0 1 y 4 0 x + 6y ≥ 6 x 0 6 y 1 0 6x + 10y ≥ 23 x 0 3′8 y 2′3 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 100x + 160y = 0 x 0 −1′6 y 0 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 b c b b B b C b b Para minimizar hallamos y probamos los puntos B y C  4x + y = 4 6x + 10y = 23 B = (0′5, 2) f(0′5, 2) = 100 · 0′5 + 160 · 2 = 370  x + 6y = 6 6x + 10y = 23 C = (3, 0′5) f(3, 0′5) = 100 · 3 + 160 · 0′5 = 380 a) Por tanto para minimizar el coste debe mezclar medio bote de P1con 2 botes de P2. b) Vitamina A: 0′5 · 4 + 2 · 1 = 4 unidades Vitamina B: 0′5 · 1 + 2 · 6 = 12′5 unidades Vitamina C: 0′5 · 6 + 2 · 10 = 23 unidades CUESTIÓN 2.A. La función f(x) = x3 + px2 + q tiene un valor mínimo relativo igual a 3 en el punto de abscisa x = 2. Hallar los valores de los parámetros p y q . selcs Jun 2009 Solución: Que la función f(x) = x3 + px2 + q tenga un mínimo en el punto (2, 3) se desdobla en dos condiciones: Pasa por el punto (2, 3) luego f(2) = 3 por tanto 23 + p · 2 + q = 3, 8 + 4p + q = 3 4p + q = −5 La derivada f′(x) = 3x2+2px se anula en x = 2, luego f′(2) = 0, 12+4p = 0 despejando p = −12 4 = −3 Sustituyendo en la ecuación anterior: 4(−3) + q = −5, q = 7 La función es: f(x) = x3 − 3x2 + 7 CUESTIÓN 2.B. Dada la curva y = x + 1 x2 + x − 2 calcular: a) El dominio. b) Las asíntotas. c) Hacer una representación gráfica de la misma. selcs Jun 2009 Solución: a) Dominio y regionamiento: y = x + 1 x2 + x − 2 Anulamos el denominador: x2 + x − 2 = 0 x1 = 1 x2 = −2 Por tanto: Dominio = R − {1,−2} b) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = − 1 2 con OX : y = 0, resulta x + 1 = 0, x = −1 c) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, valores de x que anulan al denominador: x = −1, x = 2 Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x + 1 x2 + x − 2 = 0; y = 0 d) Extremos y crecimiento: f′(x) = x2 + 2x + 3 (x2 + x − 2)2 Anulamos: x2+2x+3 = 0 no tiene solución, luego la derivada es siempre positiva y por tanto la función es siempre creciente 1 2 −1 −2 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 CUESTIÓN 3.A. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3600 metros cuadrados de superficie para poderlo cercar con una valla de longitud minima. selcs Jun 2009 Solución: Longitud: L = 2x + 2y mínima Área: x · y = 3600. Despejamos y: y = 3600 x Sustituyendo en L: L(x) = 2x + 2 3600 x mínima Ahora anulamos la derivada: x y L′(x) = 2 − 2 3600 x2 = 2x2 − 2 · 3600 x2 = 0; x2 = 3600, x = ±60 Por las condiciones del enunciado la solución es 60, hagamos no obstante el estudio del crecimiento en ese punto: x 60 L′(x) + − L(x) ր ց MIN CUESTIÓN 3.B. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 4 − x2 y la recta y = x + 2. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. selcs Jun 2009 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos funciones:  y = 4 − x2 y = x + 2 4 − x2 = x + 2; x2 + x − 2 = 0; x = 1, x = −2 Área= Z 1 −2 parábola −recta = dx = R 1 −2(−x2 − x + 2) dx = h −x3 3 − x2 2 + 2x i1 −2 = 9 2u2 1 2 3 4 5 6 −1 −3 −2 −1 1 2 3 CUESTIÓN 4.A. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera ingles o francés. En un determinado curso el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los alumnos que estudian inglés son varones. De los que estudian francés, el 40% son chicos. Elegido un alumno al azar, ¿cual es la probabilidad de que sea chica? selcs Jun 2009 Solución: Teorema de la Probabilidad Total Sea I ser de Inglés,dicen que p(I) = 0′9, sea F ser de Francés, en consecuencia: p(F) = 0′1. Sea V ser varón, y M ser mujer. Como p(V/I) = 0′3 en consecuencia: p(M/I) = 0′7 Como p(V/F) = 0′4 en consecuencia: p(M/F) = 0′6 Entonces por el teorema mencionado: p(M) = p(M/I) · p(I) + p(M/F) · p(F) = 0′7 · 0′9 + 0′6 · 0′1 = 0′55 CUESTIÓN 4.B. Se estima que la probabilidad de que un jugador de balonmano marque un gol al lanzar un tiro de siete metros es del 75%. Si en un partido le corresponde lanzar tres de estos tiros, calcular: a) la probabilidad de marcar un gol tras realizar los tres lanzamientos b) la probabilidad de marcar dos goles tras realizar los tres lanzamientos c) la probabilidad de marcar tres goles tras realizar los tres lanzamientos d) la probabilidad de marcar solo en el primer lanzamiento selcs Jun 2009 Solución: N A A A → c) F → b) F A → b) F → a) F A A → b) F → a) F A → a) F a) Entendemos exactamente 1 acierto entre los tres lanzamientos: hay tres ramas que lo cumplen: p( un acierto = 3 · 0′75 · 0′252 = 0′140625 b) Entendemos exactamente 2 acierto entre los tres lanzamientos: hay tres ramas que lo cumplen: p( dos acierto = 3 · 0′752 · 0′25 = 0′421875 c) Es la primera rama: p( tres acierto = 0′753 = 0′421875 d) Es la rama N A → F → F, luego p( solo un acierto en el primero = 0′75 · 0′252 = 0′046875 CUESTIÓN 5.A. El numero de accidentes mortales en una ciudad es, en promedio, de doce mensuales. Tras una campaña de señalización y adecentamiento de las vías urbanas, se contabilizaron en seis meses sucesivos 8, 11, 9, 7, 10 y 9 accidentes mortales. Suponiendo que el numero de accidentes mortales en dicha ciudad tiene una distribución normal con una desviación típica igual a 1,3 ¿podemos afirmar que la campana fue efectiva con un nivel de significación de 0,01? selcs Jun 2009 Solución: Para test bilateral: El nivel de significación = 0′01, corresponde con z 2 = 2′58. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 2′58  √n = 12 ± 2′58 1′3 √6 = 12 ± 1′3692 =  13′3692 10′6308 que da el intervalo (10′6308, 13′3692). Como ¯x = 8+11+9+7+10+9 6 = 9 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 12, cabe pensar que la campaña ha sido efectiva. Como debemos suponer que la campaña es para disminuir el número de accidentes, el test más adecuado sería el unilateral izquierdo; Contrastamos H0 : μ = 12% frente a H1 : μ < 12% , En test unilateral el nivel significación = 0′01 corresponde con z = 2′33. El extremo de la región de aceptación es μ − z  √n = μ − 2′33  √n = 12 − 2′33 1′3 √6 = 12 − 1′2365 = 10′7635. que da el intervalo (10′7635,∞). Como ¯x = 8+11+9+7+10+9 6 = 9 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que la media de accidentes siga igual μ = 12, cabe pensar que la campaña ha sido efectiva. z ACEPTACIÓN 0’99 0’01 10′76 ¯x CUESTIÓN 5.B. Se sabe que el peso de los recién nacidos sigue una distribución normal con media desconocida y desviación típica igual a 0,75 kilogramos. Si en una muestra aleatoria simple de cien de ellos se obtiene una media muestral de 3 kilogramos, calcular un intervalo de confianza para la media poblacional que presente una confianza del 95%. selcs Jun 2009 Solución: Los datos son: ¯x = 3,  = 0′75, n = 100. Para el nivel de confianza del 95% corresponde el valor crítico z 2 = 1′96 Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z 2  √n = 3±1′96 · 0′75 √100 = 3±0′075  2′925 3′075 El intervalo de confianza para la media de la nueva producción de lámparas es (2′925, 3′075) CUESTIÓN 1.A. Dada la matriz A =  1 2 2 1  , encontrar una matriz B tal que A.B =  0 3 3 0  selcs Sept 2008 Solución: Primero resolvemos la ecuación matricial: A.B =  0 3 3 0  ; B = A−1.  0 3 3 0  Calculemos ahora la inversa de A: |A| = −3; , adj(A) =  1 −2 −2 1  ; A−1 =  −1 3 2 3 2 3 −1 3  Luego B = A−1.  0 3 3 0  =  −1 3 2 3 2 3 −1 3  .  0 3 3 0  =  2 −1 −1 2  CUESTIÓN 1.B. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15000 euros y el modelo B a un precio de 20000 euros. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de 60000 euros. a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe? selcs Sept 2008 Solución: x = número de coches de modelo A y = número de coches de modelo B Ingresos: f(x, y) = 15x + 20y en miles de euros    x ≤ 20 y ≤ 10 x ≥ y 15x + 20y ≥ 60 Representamos (trabajaremos en miles):    x ≥ y x 0 10 y 0 10 15x + 20y > 60
x 0 4
y 3 0
Ahora la función igualada a 0:
f(xy) = 15x + 20y = 0
x 0 20
y 0 −15
5
10
5 10 15 b
b
b
Para maximizar los ingresos tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A, o sea vender
20 coches del A y 10 del B, entonces el importe de los ingresos sería: f(20, 10) = 500, es decir 500.000 e
.
CUESTIÓN 2.A.
Considérense las funciones siguientes: f(x) = x − 2; g(x) = x2
a) Hallar los máximos y los mínimos de la función y = f(x).g(x).
b) Hallar dos primitivas diferentes de la función y = f(x).g(x)
selcs Sept 2008 Solución:
a) Llamemos h(x) a la función producto: h(x) = x2(x − 2) = x3 − 2×2
Para hallar los máximos y los mínimos estudiaremos el crecimiento de la función, lo que viene dado por
el signo de la derivada y para ello empezamos anulando la derivada:
h′(x) = 3×2 − 4x; 3×2 − 4x = 0; x(x−4) = 0 que tiene como soluciones x = 0, x =
4
3
x 0
4
3
y′ + − +
y ր ց ր
MÁXIMO MÍNIMO
b)
Z
h(x) dx =
x4
4
+
2×3
3
+ C Por tanto dando dos valores a la constante de integración C obtenemos
dos primitivas: F1(x) =
x4
4
+
2×3
3
+ 1, F2(x) =
x4
4
+
2×3
3
+ 2
CUESTIÓN 2.B.
Dada la curva de ecuación y =
1
2(x + 1)
determinar:
a) Los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas.
c) Hacer una representación gráfica aproximada de la curva.
selcs Sept 2008 Solución:
Se trata de una hipérbola por tanto para representarla veremos
los puntos de corte y las asíntotas:
a) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable:
con OY : x = 0, resulta y =
1
2
con OX : y = 0, resulta que no hay solución
b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito
verticales valores de x en los que la función se va a
infinito:
Asíntotas verticales, anulamos el denominador 2(x+
1) = 0, x = −1 pues l´ım
x→2
f(x) = l´ım
x→2
1
2(x + 1)
=
±∞
Asíntota horizontal y = n : n = l´ım
x→∞
f(x) =
l´ım
x→∞
1
2(x + 1)
= 0; y = 0
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 −1 −2 −3
CUESTIÓN 3.A.
Descomponer el número 25 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero
más el triple del cuadrado del segundo sea mínimo.
selcs Sept 2008 Solución:
Los números son x, 25 − x
La función a minimizar es: f(x) = 2×2 + 3(25 − x)2 = 5×2 − 150x + 1875
Derivamos y anulamos la derivada: f′(x) = 10x − 150 = 0; x = 15
Estudiamos el crecimiento:
x 15
y′ − +
y ց ր
MÍNIMO
CUESTIÓN 3.B.
Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por la parábola y = x2, la
recta y = −x + 2 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha
área.
selcs Sept 2008 Solución:
Buscamos los puntos de corte  de las dos funciones:
y = x2
y = −x + 2
x2 = −x + 2; x2 + x − 2 = 0; x = 1, x = −2
Área=
Z 1
−2
recta − parábola =
dx =
R 1
−2(−x2 − x + 2) dx =
h
−x3
3 − x2
2 + 2x
i1
−2
= 9
2u2
1
2
3
4
5
6
−1
−3 −2 −1 1 2 3
CUESTIÓN 4.A.
El 70% de los estudiantes aprueba una asignatura A y un 60% aprueba otra asignatura
B. Sabemos, además, que un 35% del total aprueba ambas.
a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe la asignatura B,
supuesto que ha aprobado la A.
b) Calcular la probabilidad de que dicho estudiante apruebe la asignatura B, supuesto
que no ha aprobado la A.
selcs Sept 2008 Solución:
Llamamos A al suceso ”aprobar A”; p(A) = 0′7
Llamamos B al suceso ”aprobar B”; p(B) = 0′6
Por tanto aprobar ambas: p(A ∩ B) = 0′35
a) Aprobar B supuesto aprobado A: p(B/A) =
p(A ∩ B)
p(A)
=
0′35
0′7
= 0′5
b) Piden calcular la probabilidad de aprobar B supuesto no aprobado
A: p(B/Ac) =
p(B ∩ Ac)
p(Ac)
, busquemos estas probabilidades:
Tenemos que p(Ac) = 1 − p(A) = 0′3
Además tenemos la igualdad de conjuntos: (B ∩ Ac) ∪ (B ∩ A) =
B siendo los sucesos incompatibles (unión disjunta), por tanto:
p(B ∩ Ac) + p(B ∩ A) = p(B); p(B ∩ Ac) + 0′35 = 0′6, luego
p(B ∩ Ac) = 0′25.
Sustituyendo.
p(B/Ac) =
p(B ∩ Ac)
p(Ac)
=
0′25
0′3
= 0′833
A B
CUESTIÓN 4.B.
Una fábrica produce tornillos niquelados y dorados, siendo el 75% de los tornillos que
produce niquelados. El porcentaje de tornillos defectuosos producidos es del 4% para los
tornillos niquelados y del 5% para los dorados. Se elige al azar un tornillo y resulta no
ser defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que sea niquelado?
selcs Sept 2008 Solución:
Llamamos B al suceso ”no ser defectuoso”.
Llamamos N al suceso ”ser niquelado ”; p(N) = 0′75; p(B/N) = 0′96
Llamamos D al suceso ”ser dorado ”; p(D) = 0′25; p(B/D) = 0′95
{D,N} forman sistema completo de sucesos. Por el teorema de Bayes:
p(N/B) =
p(B/N) · p(N)
p(B/N) · p(N) + p(B/D) · p(D)
=
0′96 · 0′75
0′96 · 0′75 + 0′95 · 0′25
= 0′75
CUESTIÓN 5.A.
Supongamos que un fabricante de lámparas eléctricas de duración media igual a 2000
horas, y desviación típica igual a 300 horas, trata de compararlas con otras de un nuevo
método de fabricación, para ver si éstas son de mayor duración. Para ello, examina una
muestra aleatoria de 100 lámparas cuya vida media es de 2380 horas. Suponiendo que el
nuevo método no cambia la variabilidad en duración de lámpara a lámpara y por tanto la
desviación típica en duración es la misma que en el proceso anterior, construir un intervalo
de confianza para la media de la población de lámparas que se fabricarán por el nuevo
método con una confianza del 95%.
selcs Sept 2008 Solución:
Los datos son: ¯x = 2380,  = 300, n = 100.
Para el nivel de confianza del 95% corresponde el valor crítico z
2
= 1′96
Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z
2

√n
= 2380 ± 1′96 ·
300
√100
= 2380 ±
58′8

2321′2
2438′8
El intervalo de confianza para la media de la nueva producción de lámparas es [2321′2, 2438′8]
CUESTIÓN 5.B.
Se está calibrando una balanza. Para ello se pesa una ”pesa de prueba” de 1000 gramos
60 veces, obteniéndose un peso medio de 1000,6 gramos. Si la desviación típica de la
población es de 2 gramos ¿podemos aceptar la hipótesis nula 0 H0 : μ = 1000 frente a la
alternativa H1 : μ 6= 1000 con una confianza del 99%?
selcs Sept 2008 Solución:
Contrastamos H0 : μ = 1000 gr frente a H1 : μ 6= 1000 gr, consideramos test bilateral.
Los datos son: ¯x = 1000′6,  = 2, n = 60.
El nivel de confianza del 99%, = 0′01, corresponde con z
2
= 2′58.
El intervalo de aceptación es μ±z
2

√n
= μ±2′58

√n
= 1000±2′58
2
√60
= 1000±0,6661 =

1000′6661
999,3339
que da el intervalo (999,3339, 1000′6661).
Como ¯x = 1000′6 queda dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula de que μ = 1000 gr.
CUESTIÓN 1.A.
Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre
hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el
triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número
igualaría al de hombres.
a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de
excursión.
b) Resolver el problema.
selcs Jun 2008 Solución:
Sea:
x el número de hombres
y el número de mujeres
z el número de niños
las condiciones se pueden expresar:


x + y + z = 20
x + y = 3z
y + 1 = x


x + y + z = 20
x + y − 3z = 0
−x + y = 1
Tiene como matriz asociada:
1 1 1 20
1 1 −3 0
−1 1 0 −1
Que triangulando por Gauss resulta:
1 1 −3 0
0 2 −3 −1
0 0 8 40
que sustituyendo hacia arriba da como soluciones: z = 5, y = 7, x = 8.
Hay por tanto 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños.
CUESTIÓN 1.B.
Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 euros y sortijas adornadas a 6 euros.
Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400
sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total.
a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar
gráficamente su conjunto de soluciones.
b) Suponiendo que se vende toda la producción ¿cuántas unidades de cada clase interesará
fabricar para obtener los máximos ingresos?
selcs Jun 2008 Solución:
Sean:
x = número de sortijas sencillas
y = número de sortijas adornadas
Ganancia: f(x, y) = 4′5x + 6y euros 


x ≤ 400
y ≤ 300
x + y ≥ 500
Representamos: x + y ≥ 500
x 0 500
y 500 0
Ahora la función igualada a 0:
f(xy) = 4′5x + 6y = 0
x 0 −60
y 0 45
100
200
300
400
500
100 200 300 400 500 −100
b
A
bC
Para maximizar los ingresos tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A o C que sería
la más alejada: comprobemos los valores correspondientes a esos puntos:
A(300, 200); f(300, 200) = 4′5 · 300 + 6 · 200 = 2550
C(400, 100); f(400, 100) = 4′5 · 400 + 6 · 100 = 2400
Por tanto el máximo beneficio resulta de vender 300 sortijas sencillas y 200 sortijas adornadas.
CUESTIÓN 2.A.
En una región, un río tiene la forma de la curva y =
1
4
x3 − x2 + x y es cortada por un
camino según el eje OX.
Hacer un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte
con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento.
selcs Junio 2008 Solución:
Se trata de una función polinómica por tanto para representarla
veremos los puntos de corte y el crecimiento:
a) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable:
con OY : x = 0, resulta y = 0
con OX : y = 0, resulta
1
4
x3−x2+x = 0; x(
1
4
x2−
x + 1) = 0; x2 − 4x + 4 = 0; que da como solución
x = 2 doble.
b) Crecimiento: Viene dado por el signo de la derivada,
para ello anulamos la derivada:
f′(x) =
3
4
x2 + 2x + 1 = 0
Asíntotas verticales, anulamos el denominador 2(x+
1) = 0, x = −1 pues l´ım
x→2
f(x) = l´ım
x→2
1
2(x + 1)
=
±∞
Asíntota horizontal y = n : n = l´ım
x→∞
f(x) =
l´ım
x→∞
1
2(x + 1)
== 0; y = 0
1
−1
1 2 3 4 −1
CUESTIÓN 2.B.
Dada la curva y =
2x − 1
x + 1
a) Los puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las asíntotas.
c) Hacer una representación gráfica de la misma.
selcs Junio 2008 Solución:
Se trata de una hipérbola por tanto para representarla veremos
los puntos de corte y las asíntotas:
a) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable:
con OY : x = 0, resulta y = −1
1
= 1
con OX : y = 0, resulta 2x − 1 = 0, x =
1
2
b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito
verticales valores de x en los que la función se va a
infinito:
Asíntotas verticales, anulamos el denominador x +
1 = 0, x = −1 pues l´ım
x→−1
f(x) = l´ım
x→−1
2x − 1
x + 1
=
±∞
Asíntota horizontal y = n : n = l´ım
x→∞
f(x) =
l´ım
x→∞
2x − 1
x + 1
= 2; y = 2
2
4
6
−2
−4
2 4 −2 −4
CUESTIÓN 3.A.
Supongamos que tenemos un alambre de longitud a y lo queremos dividir en dos partes
que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el
doble de su base y en el otro su altura es el triple de su base. Determinar el punto por el
cuál debemos cortar el alambre para que la suma de las áreas de los dos rectángulos sea
mínima.
selcs Junio 2008 Solución:
Suma de áreas: f(x) = x · 3x + (a − x)(2(a − x) = 3×2 +
2a2 + 2×2 − 4ax = 5×2 − 4ax + 2a2 mínima
Derivamos f′(x) = 10x − 4a. Anulamos la derivada 10x −
4a = 0
Resulta x =
4a
10
=
2a
5
x
3x
a − x
2(x a
5
2a
5
y′ − +
y ց ր
MÍNIMO
CUESTIÓN 3.B.
Calcular el área limitada por la curva y =
1
2
x2 −
3
2
x + 1, el eje OX y las rectas de
ecuaciones x = 0, x = 3. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.
selcs Junio 2008 Solución:
S = S1 + S2 + S3
S1 =
Z 1
0

1
2
x2 −
3
2
x + 1

dx =

x3
6 −
3×2
4
+ x
1
0
=
1
6 −
3
4
+ 1 −
0 =
5
12
S2 :
Z 2
1

1
2
x2 −
3
2
x + 1

dx =

x3
6 −
3×2
4
+ x
2
1
=
8
6 −
12
4
+ 2 −
(
1
6 −
3
4
+ 1) = −1
12
S1 =
1
12
S3 =
Z 3
2

1
2
x2 −
3
2
x + 1

dx =

x3
6 −
3×2
4
+ x
3
2
=
27
6 −
27
4
+
3 − (
8
6 −
12
4
+ 2) =
5
12
S =
11
12
u2
1 2 3
CUESTIÓN 4.A.
Tres hombres A, B y C disparan a un objetivo. Las probabilidades de que cada uno de
ellos alcance el objetivo son
1
6
,
1
4
y
1
3
respectivamente. Calcular:
a) La probabilidad de que todos alcancen el objetivo.
b) La probabilidad de que ninguno alcance el objetivo.
c) La probabilidad de que al menos uno de ellos alcance el objetivo.
selcs Junio 2008 Solución:
Representamos por A acertar, F fallar.
a) p( ”todos aciertan” ) = p(AAABAC) =
1
6
.
1
4
.
1
3
=
1
72
b) p(”todos fallan”) = p(FAFBFC) =
5
6
.
3
4
.
2
3
=
5
12
c) ” al menos uno acierta” es el complementarios de ”todos fallan” por tanto:
p( ” al menos uno acierta” ) = 1 − p(”todos fallan”) = 1 −
5
12
=
7
12
A B C
N
A
A
A
F
F
A
F
F
A
A
F
F
A
F
CUESTIÓN 4.B.
En una cierta facultad se sabe que el 25% de los estudiantes suspenden matemáticas, el
15% suspenden química y el 10% suspenden matemáticas y química. Se selecciona un
estudiante al azar.
a) Calcular la probabilidad de que el estudiante no suspenda química ni matemáticas.
b) Si sabemos que el estudiante ha suspendido química, ¿cuál es la probabilidad de que
suspenda también matemáticas?
selcs Junio 2008 Solución:
Llamamos M al suceso ”suspender M”; p(M) = 0′25
Llamamos Q al suceso ”suspender Q”; p(Q) = 0′15
Suspender p(M ∩ Q) = 0′10
a) ” No suspenda química ni matemáticas” equivale a ”aprobar
las dos” que es el complementario de ”suspender alguna” : p(Mc ∩
Qc) = 1 − p(M ∪ Q) =
Calcula primero la probabilidad de la unión: p(M ∪Q) = p(M)+
p(Q) − p(M ∩ Q) = 0′25 + 0′15 − 0′10 = 0′30
Por tanto: p( ” No suspenda química ni matemáticas” ) = 1 −
0′30 = 0′70
b) Piden calcular la probabilidad de suspender matemáticas supuesto
que ha suspendido química:
p(M/Q) =
p(M ∩ Q)
p(Q)
=
0′10
0′15
= 0′666
M Q
CUESTIÓN 5.A.
El peso medio de los paquetes de café puestos a la venta por cierta casa comercial es
supuestamente de 1 kg. Para comprobar esta suposición, elegimos una muestra aleatoria
simple de 100 paquetes y encontramos que su peso medio es de 0,978 kg. Suponiendo
que la distribución del peso de los paquetes de café es normal y la desviación típica de la
población es de 0,10 kg. ¿Es compatible este resultado con la hipótesis nula H0 : μ = 1
con un nivel de significación de 0,05 ? ¿Y con un nivel de significación de 0,01?
selcs Junio 2008 Solución:
Contrastamos H0 : μ = 1000 gr frente a H1 : μ 6= 1000 gr, consideramos test bilateral.
Los datos son: ¯x = 978,  = 100, n = 100.
• El nivel de significación = 0′05, corresponde con z
2
= 1′96.
El intervalo de aceptación es μ ± z
2

√n
= μ ± 1′96

√n
= 1000 ± 1′96
100
√100
= 1000 ± 19′6 =

1019′6
980′4
que da el intervalo (980′4, 1019′6).
Como ¯x = 978 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 1000 gr.
• El nivel de significación = 0′01, corresponde con z
2
= 2′58.
El intervalo de aceptación es μ ± z
2

√n
= μ ± 2′58

√n
= 1000 ± 2′58
100
√100
= 1000 ± 25′8 =

1025′8
974′2
que da el intervalo (974′2, 1025′8).
Como ¯x = 978 queda dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula de que μ = 1000 gr.
CUESTIÓN 5.B.
La puntuación media obtenida por una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de secundaria
en el examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que la distribución
de las puntuaciones de la población es normal con desviación típica igual a 20,25 puntos,
calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de significación
de 0,01.
selcs Junio 2008 Solución:
Los datos son: ¯x = 25,  = 20′25, n = 81.
Para el nivel de confianza de 99%,corresponde z
2
= 2′58.
Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z
2

√n
= 25±2′58·
20′25
√81
= 25±5′805

30′805
19′195
El intervalo de confianza para la media de la nueva producción de lámparas es (19′195, 30′805)
CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS]
Dada la matriz A =

2 1
2 3

, calcular dos números reales x e y tales que se verifique
A + xA + yI = 0, siendo I la matriz unidad de orden 2 y 0 la matriz nula de orden 2.
selcs Sep 2007 Solución:

2 1
2 3

+ x

2 1
2 3

+ y

1 0
0 1

=

0 0
0 0

x

2 1
2 3

+ y

1 0
0 1

=

0 0
0 0



2 1
2 3


2x x
2x 3x

+

y 0
0 y

=

−2 −1
−2 −3



2x + y = −2
x = −1
2x = −2
3x + y = −3
sistema de soluciones x = −1, y = 0, como se comprueba sustituyendo en todas las
ecuaciones.
CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS]
En un taller de chapa se pueden fabricar dos tipos de carrocerías A y B. Cada carrocería de
tipo A necesita 4 horas de pintura y cada carrocería de tipo B necesita 6 horas de pintura,
disponiéndose de un máximo de 500 horas mensuales para la pintura de las carrocerías.
Si los beneficios de cada carrocería son de 2000 euros y 3500 euros para los tipos A y B
respectivamente:
a) Calcular el número de carrocerías de cada tipo que deben producirse para obtener el
máximo beneficio si tienen que fabricar un mínimo de 80 y un máximo de 100 carrocerías
de tipo A.
b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?
selcs Sept 2007 Solución:
Las variables serían:
x número de carrocerías de tipo A
y número de carrocerías de tipo B
La función a maximizar es f(x, y) = 2000x + 3500y
Queda el sistema de inecuaciones con x, y positivas:


4x + 6y ≤ 500
x > 80
x < 100 Representamos: 4x + 6y ≤ 500 x 0 125 y 80′33 0 Ahora la función igualada a 0: f(x, y) = 2000x + 3500y = 0 x 0 −35 y 0 20 20 40 60 80 100 −20 20 40 60 80 100 120 −20 −40 b c b C b D Como no se ve claro probamos los dos puntos C(80, 30) y D(100, 16′66) C : f((80, 30) = 2000 · 80 + 3500 · 30 = 265000 D : f((100, 16′66) = 2000 · 100 + 3500 · 16′66 = 258100 El máximo se produce para el punto C, hay que fabricar 80 de tipo A y 30 de tipo B, así se tendrá la máxima ganancia de 265.000 e . CUESTIÓN 2.A. Dada la función f(x) = x + 1 2 − x , se pide: a) Calcular su dominio. b) Calcular sus asíntotas. c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica aproximada. selcs Sept 2007 Solución: a) Dominio: La función existe siempre salvo en x = 2 que anula al denominador. Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 1 2 con OX : y = 0, resulta x = −1 b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales 2 − x = 0, x = 2 pues l´ım x→2 f(x) = l´ım x→2 x + 1 2 − x = ±∞ Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x + 1 2 − x = −1; y = −1 c) Crecimiento: se estudia el signo de la derivada: f′(x) = 3 (2 − x)2 que al ser siempre positiva nos dice que la función es siempre creciente. 2 4 −2 −4 −6 2 4 6 −2 CUESTIÓN 2.B. Dada la función f(x) =   x + 2 si x < 2 x + 3 si x > 2
3 si x = 2
a) Representarla gráficamente.
b) Estudiar su continuidad y en caso de que exista algún tipo de discontinuidad, decir de
qué tipo de discontinuidad se trata.
selcs Sept 2007 Solución:
a)
f(x) =


x + 2 si x < 2 x 0 2 y 2 4 x + 3 si x > 2
x 2 3
y 5 6
3 si x = 2
b)
Es continua siempre excepto en x = 2
l´ım
x→2−
f(x) = l´ım
x→2−
(x + 2) = 4
l´ım
x→2+
f(x) = l´ım
x→2+
(x + 3) = 5
f(2) = 3
En x = 2 hay discontinuidad de salto finito.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 −1
b
bc
bc
CUESTIÓN 3.A.
Encontrar un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima.
selcs Sept 2007 Solución:
número = x
f(x) = x − x2 máximo
f′(x) = 1 − 2x
anulando la derivada:
1 − 2x = 0; x =
1
2
Con el estudio del crecimiento comprobamos que es máximo:
x
1
2
y′ + −
y ր ց
MÁXIMO
CUESTIÓN 3.B.
Hallar el área limitada por las curvas y = −x2 + x + 2 e y = −x + 2.
selcs Sept 2007 Solución:
Buscamos los puntos de corte  de las dos funciones:
y = −x2 + x + 2
y = −x + 2
−x2 + x + 2 = −x + 2; −x2 + 2x = 0; x(−x + 2) = 0; x =
0, x = 2
Área=
Z 2
0
parábola − recta =
dx =
R 2
0 (−x2 + 2x) dx =
h
x3
3 − x2
i2
0
= 8
3 + 4 = 4
3u2 1
2
3
4
5
−1
−3 −2 −1 1 2 3
CUESTIÓN 4.A.
Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus
evaluaciones, que la probabilidad de que resuelvan el problema de forma independiente
es de 1/3 para Juan y de 1/4 para Pedro.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto por alguno de los dos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea resuelto por ninguno?
selcs Sept 2007 Solución:
Llamamos J al suceso ”Juan resuleve el problema”; p(J) =
1
3
Llamamos P al suceso ”Pedro resuleve el problema”; p(P) =
1
4
Consideramos que los dos son independientes, por tanto p(J ∩ P) = p(J) · p(P) =
1
3 ·
1
4
=
1
12
a) Que lo resuelva alguno es la unión: p(J ∪ P) = p(J) + p(P) − p(J ∩ P) =
1
3
+
1
4 −
1
12
=
1
2
b) Que no lo resuelva ninguno es contrario de que lo resuelva alguno: p(J ∪P)c = 1−p(J ∪P) = 1−
1
2
=
1
2
CUESTIÓN 4.B.
El volumen diario de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500
unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 unidades en la tercera.
Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%,
0’8% y 2% respectivamente. Calcular la probabilidad de que al seleccionar una unidad
al azar sea defectuosa.
selcs Sept 2007 Solución:
N
PL 1
0’01 D→
0’99 Dc
PL 2
0’008 D→
0’992 Dc
PL 3
0’02 D→
0’98 Dc
La probabilidad de que venga de cada planta es :
p(PL1) =
500
3500
=
1
7
p(PL2) =
1000
3500
=
2
7
p(PL3) =
2000
3500
=
4
7
Sea D el suceso seleccionar unidad defectuosa
Sumando las ramas que terminan seleccionando defectuosa:
p(D) =
1
7
,0′01 +
2
7
,0′008 +
4
7
,0′02 = 1′514
Hemos hecho el problema sirviéndonos de un árbol con las probabilidades respectivas. Vamos a hacer el
problema utilizando el Teorema de la probabilidad total.
Los sucesos: {PL1, PL2, PL3} constituyen un sistema completo de sucesos.
p(PL1) =
500
3500
=
1
7
; p(D/PL1) = 0′01
p(PL2) =
1000
3500
=
2
7
; p(D/PL2) = 0′008
p(PL3) =
2000
3500
=
4
7
; p(D/PL3) = 0′02
Entonces por el Teorema de la probabilidad total:
p(D) = p(PL1).p(D/PL1)+p(PL2).p(D/PL2)+p(PL3).p(D/PL3) =
1
7
,0′01+
2
7
,0′008+
4
7
,0′02 = 1′514
CUESTIÓN 5.A.
Un directivo de cierta empresa de material eléctrico afirma que la vida media de cierto
tipo de bombillas es de 1500 horas. Otro directivo de la misma empresa afirma que la vida
media de dichas bombillas es igual o menor de 1500 horas. Elegida una muestra aleatoria
simple de 81 bombillas de dicho tipo, vemos que su vida media ha sido de 1450 horas.
Suponiendo que la vida de las bombillas sigue una distribución normal con desviación
típica igual a 180 horas:
a) ¿Es compatible la hipótesis H0 : μ = 1500, frente a la hipótesis H1 : μ 6= 1500 con una
confianza del 99%, con el resultado experimental ¯x = 1450
b) ¿Es compatible la hipótesis H0 : μ = 1500, frente a la hipótesis H1 : μ < 1500 con una confianza del 99%, con el resultado experimental ¯x = 1450. selcs Sept 2007 Solución: Los datos son: ¯x = 1450,  = 180, n = 81. a) Contrastamos H0 : μ = 1500 años frente a H1 : μ 6= 1500 años, test bilateral. El nivel de confianza del 99%, = 0′01, corresponde con z 2 = 2′58. El intervalo de aceptación es μ ± z 2  √n = μ ± 2′58  √n = 1500 ± 2′58 180 √81 = 1500 ± 51′6 que da el intervalo (1448′4, 1551′6). Como ¯x = 1450 queda dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula de que μ = 1500 años. b) Contrastamos H0 : μ = 1500 años frente a H1 : μ < 1500 años, unilateral. El nivel de confianza del 99%, = 0′01, corresponde con z = 2′33. El intervalo de aceptación tiene de extremo inferior μ − z  √n = μ − 2′33  √n = 1500 − 2′33 180 √81 = 1500 − 46′6 = 1453′4. Como ¯x = 1450 es menor queda fuera de la zona de aceptación, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 1500 años. CUESTIÓN 5.B. Supongamos una población N(μ,  = 8). Se extrae de ella una muestra aleatoria simple. Si se sabe que la probabilidad de cometer un error de 3.92 o más al estimar la media μ mediante la media muestral es de 0.05, ¿qué tamaño ha de tener la muestra? selcs Sept 2007 Solución: Los datos son:  = 8, error = 3′92, nivel de significación = 0′05 . Para el nivel de significación = 0′05 corresponde el valor crítico z 2 = 1′96 Entonces el error viene dado por: error = z 2  √n = 1′96 · 8 √n ≤ 3′92 1′96 · 8 3′92 ≤ √n; n ≥ 16 CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS] Calcular la matriz inversa de la matriz A =   1 3 1 2 −1 2 3 2 −3   selcs Jun 2007 Solución: Adjuntamos a la derecha la matriz unidad y para evitar el cero en la esquina le sumamos a la primera fila la segunda:   1 3 1 1 0 0 2 −1 2 0 1 0 3 2 −3 0 0 1   2a + 1a(−2) 3a + 1a(−3)   1 3 1 1 0 0 0 −7 0 −2 1 0 0 −7 6 −3 0 1  3a − 2a   1 3 1 1 0 0 0 −7 0 −2 1 0 0 0 −6 −1 −1 1  1a · 6 + 3a   6 18 0 −5 −1 1 0 −7 0 −2 1 0 0 0 −6 −1 −1 1  1a · 7 + 12a · 18   42 0 0 −1 11 7 0 −7 0 −2 1 0 0 0 −6 −1 −1 1   dividiendo cada fila por su elemento de la diagonal principal:   1 0 0 −1/42 11/42 1/6 0 1 0 2/7 −1/7 0 0 0 1 1/6 1/6 −1/6   las últimas tres columnas es la matriz inversa. CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS] Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100kg. de almendras y 85kg. de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja de tipo A contiene 3kg. de chocolate, 1kg. de almendras y 1kg. de frutas, mientras que cada caja de tipo B contiene 2kg. de chocolate, 1.5kg. de almendras y 1kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 130 euros y 135 euros respectivamente. a) ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia? b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido? selcs Jun 2007 Solución: Disponemos los datos en una tabla: chocolate almendras frutas precio A 3 1 1 130 B 2 1’5 1 135 ≤ 500 ≤ 100 ≤ 85 Las variables serían: x número de cajas de tipo A y número de cajas de tipo B La función a maximizar es f(x, y) = 130x + 135y Queda el sistema de inecuaciones con x, y positivas:   3x + 2y ≤ 500 x + 1′5y ≤ 100 x + y ≤ 85 Representamos:    3x + 2y ≤ 500 x 100 166′6 y 100 0 x + 1′5y ≤ 100 x 0 166′6 y 66′6 0 x + y ≤ 85 x 0 85 y 85 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 130x + 135y = 0 x 0 −13′5 y 0 13 20 40 60 80 100 −20 20 40 60 80 100 120 140 160 −20 b Q b P Hallemos el punto de corte P resolviendo el sistema  x + 1′5y = 100 x + y = 85 , P(55, 30) El otro punto posible es Q(85, 0) queda: f(85, 0) = 130 · 85 + 0 = 11050 El máximo se produce para P(55, 30) y f(55, 30) = 130 · 55 + 135 · 30 = 11200, es el beneficio máximo. CUESTIÓN 2.A. Dada la función f(x) = 2 − x x + 1 , se pide: a) Calcular su dominio. b) Calcular sus asíntotas. c) Determinar los máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Hacer su representación gráfica aproximada. selcs Jun 2007 Solución: a) Dominio: La función existe siempre salvo en x = −1 que anula al denominador. Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 2 con OX : y = 0, resulta x = 2 b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales x + 1 = 0, x = −1 pues l´ım x→−1 f(x) = l´ım x→−1 2 − x x + 1 = ±∞ Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ 2 − x x + 1 = −1; y = −1 c) Crecimiento: se estudia el signo de la derivada: f′(x) = −3 (x + 1)2 que al ser siempre negativa nos dice que la función es siempre decreciente. 2 4 6 −2 −4 −6 2 4 −2 −4 CUESTIÓN 2.B. Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: A 10 euros el kilo, si 0 ≤ x < 5 A 9 euros el kilo, si 5 ≤ x < 10 A 7 euros el kilo, si 10 ≤ x < 20 A 5 euros el kilo, si 20 ≤ x, donde x es el peso en kg. de la cantidad comprada. a) Escribir la función que representa el precio del artículo. b) Hacer su representación gráfica. c) Estudiar su continuidad. Solución: a) f(x) =   10 si 0 ≤ x < 5 9 si 5 ≤ x < 10 7 si 10 ≤ x < 20 5 si 20 ≤ x b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 bc bc bc b b b c) La gráfica presenta discontinuidades de salto finito en x = 5, x = 10, x = 20 Veamos los límites laterales por ejemplo para x = 5,   l´ım x→5− f(x) = l´ım x→5− 10 = 10 l´ım x→5+ f(x) = l´ım x→5+ 9 = 9 f(5) = 9 CUESTIÓN 3.A. Hallar dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo. selcs Jun 2007 Solución: Sean x, y los números. x + y = 20; y = 20 − x P = x.y máximo P(x) = x(20 − x) = 20x − x2 Derivando: P′(x) = 20 − 2x, en el máximo se anula la derivada 20 − 2x = 0; x = 10 Con el estudio del crecimiento comprobamos que es máximo: x 10 y′ + − y ր ց CUESTIÓN 3.B. Hallar el área limitada por las curvas y = x2 − 4 e y = 4 − x2. selcs Jun 2007 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos funciones:  f(x) = x2 − 4 g(x) = 4 − x2 , x2−4 = 4−x2; 2×2−8 = 0; x2 = 4; x = ±2 Como la región es simétrica respecto al eje de ordenadas, el área sera el doble de la integral entre 0 y . La función g es mayor en el intervalo de integración, luego g(x) − f(x) = 4 − x2 − (x2 − 4) = 8 − 2×2 S = 2 Z 2 0 (g − f) Z 2 0 (8 − 2×2) dx =  8x − 2×3 3 2 0 = 16 − 16 3 = 32 3 Luego el área es 64 3 u2. 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 −3 −2 −1 1 2 3 CUESTIÓN 4.A. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargado dos programas antivirus que actúan independientemente el uno del otro. El programa P1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0.9 y el programa P2 detecta el virus con una probabilidad de 0.8. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el virus no sea detectado por ninguno de los dos programas antivirus? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un virus que ha sido detectado por el programa P1 sea detectado también por el programa P2? selcs Jun 2007 Solución: Sea A ”el programa P1 detecta la presencia de virus ” Sea B ”el programa P2 detecta la presencia de virus” Sabemos: p(A) = 0′9, p(B) = 0′8 a) ”ninguno detecta virus” es el complementario de ”alguno detecta virus”, o sea de la unión: Hallemos primero la probabilidad de la intersección, consideramos que los dos antivirus actúan con independencia: p(A ∩ B) = p(A) · p(B) = 0′9 · 0′8 = 0′72 Por tanto la probabilidad de la unión es: p(A∪B) = p(A)+ p(B) − p(A ∩ B) = 0′9 + 0′8 − 0′72 = 0′98 Entonces: p( ninguno detecta ) = p( alguno detecta)c = 1 − p(A ∪ B) = 1 − 0′98 = 0′02 b) ”detecta el virus P2 habiéndolo detectado P1 ”, es B condicionado a A: p(B/A) = p(A ∩ B) p(A) = 0′72 0′9 = 0′8, resultado esperado por ser independientes A y B, podríamos haber puesto directamente p(B/A) = p(B). A B CUESTIÓN 4.B. Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40% de los clientes paga sus compras con tarjeta de crédito y el 60% restante lo hace en efectivo. Ahora bien, si el importe de la compra es superior a 100 euros, la probabilidad de pagar con tarjeta pasa a ser 0.6. Si además sabemos que en el 30% de las compras el importe es superior a 100 euros, calcular: a) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros y sea abonado con tarjeta. b) Probabilidad de que un importe sea superior a 100 euros, sabiendo que fue abonado en efectivo. selcs Jun 2007 Solución: Consideramos los sucesos: • S, compra superior a 100 e • I, compra inferior o igual a 100 e • T , paga con tarjeta de crédito • T , paga en efectivo Nos dan las probabilidades: p(T ) = 0′4, p(E) = 0′6, p(T/S) = 0′6, p(S) = 0′3 a) Es la probabilidad de la intersección: p(T ∩ S) = p(S) · p(T/S) = 0′3 · 0′6 = 0′18 b) {S, I} forman sistema completo de sucesos. Por el teorema de Bayes: p(S/E) = p(E/S) · p(S) p(E/S) · p(S) + p(E/I) · p(I) = 0′3 · 0′4 0′3 · 0′4 + 0′6 · 0′7 = 0′22 tablas de contingencia: datos iniciales S I T/ 0’6 0’4 E/ 0’6 0’3 datos deducidos: S I T/ 0’6 0’4 E/ 0’4 0’6 0’3 0’7 CUESTIÓN 5.A. El nivel medio de protombina en una población normal es de 20 mg./100 ml. de plasma con una desviación típica de 4 mg./100 ml. Se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg./100 ml. ¿Es la muestra comparable con la población, con un nivel de significación de 0.05? selcs Jun 2007 Solución: Contrastamos H0 : μ = 20 mg./100 ml. frente a H1 : μ 6= 20 mg./100 ml., consideramos test bilateral. Los datos son: ¯x = 18′5,  = 4, n = 40. El nivel de significación del 5%, = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ± z 2  √n = μ±1′96  √n = 20± 1′96 4 √400 = 20±1′23 que da el intervalo (18′77, 21′23). Como ¯x = 18′5 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 20 mg./100 ml., la muestra puede venir de otra población. CUESTIÓN 5.B. El peso de los niños varones a las 10 semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87 gr. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 gr.? selcs Jun 2007 Solución: Los datos son:  = 87 ; El error = z 2  √n ha de ser ≤ 15 El nivel de confianza del 95% equivalente a nivel de significación del = 0′05 se corresponde con z 2 = 1′96. Sustituyendo: 1′96 · 87 √n ≤ 15; 1′96 · 87 15 ≤ √n; (11′36)2 ≤ n; 129′23 ≤ n La muestra debe tener un tamaño igual o mayor que 130 para que al nivel de confianza sea del 95% el error sea menor que 15 gr. CUESTIÓN 1.A. Estudiar para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema:   x + y + z = a − 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 y resolverlo cuando sea compatible indeterminado. selcs Sep 2006 Solución: Aplicando el método de Gauss empezamos a triangular la matriz ampliada, como hay un parámetro habrá que considerar los valores de éste que anulen un denominador:   1 1 1 a − 1 2 1 a a 1 a 1 1    2a + 1a.(−2) 3a − 1a    1 1 1 a − 1 0 −1 a − 2 2 − a 0 a − 1 0 2 − a   Podemos detener aquí Gauss pues la y ha quedado aislada: Pasamos a sistema:   x + y + z = a − 1 −y + (a + 2)z = 2 − a (a − 1) = 2 − a queda y = 2 − a a − 1 para a 6= 1 Sustituyendo en la 2a ecuación para despejar z: − 2 − a a − 1 + (a − 2)z = 2 − a; (a − 2)z = 2 − a + 2 − a a − 1 ; z = 2 − a + 2−a a−1 a − 2 para a 6= 2 Tenemos entonces: • Si a 6= 1 y a 6= 2, el sistema es compatible determinado. • Si a = 1 queda el sistema:   x + y + z = 0 −y − z = 1 0y = 1 Cuya tercera ecuación nos dice que es incompatible. • Si a = 2 queda el sistema:   x + y + z = 1 −y = 0 y = 0 equivalente a:  x + y + z = 1 y = 0 el sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos pasando una incógnita al 20 miembro para que quede como parámetro, por ejemplo la z: y = 0 x = 1 − z z ∈ R CUESTIÓN 1.B. Para la elaboración de dos tipos de refrescos R1 y R2 se utilizan (además de agua) dos tipos de productos A y B. Cada refresco del tipo R1 contiene 3 gramos del producto A y 3 gramos del producto B y cada refresco del tipo R2 contiene 3 gramos del producto A y 6 gramos del producto B. Se dispone en total de 120 gramos de producto A y 180 gramos de producto B. ¿Cuántos refrescos de cada clase se han de elaborar para obtener un beneficio máximo sabiendo que con los refrescos R1 la ganancia es de 3 euros y con los refrescos R2 la ganancia es de 4 euros? selcs Sep 2006 Solución: Disponemos los datos en una tabla: R1 R2 A 3 3 ≤ 120 B 3 6 ≤ 180 Las variables serían: x número de refrescos de tipo A y número de refrescos de tipo B La función a maximizar es f(x, y) = 3x + 4y Queda el sistema de inecuaciones con x, y positivas:  3x + 3y ≤ 120 3x + 6y ≤ 180 Representamos:    3x + 3y ≤ 120 x 0 40 y 40 0 3x + 6y ≤ 180 x 0 60 y 30 0 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 3x + 4y = 0 x 0 −40 y 0 30 40 30 El máximo se produce para: f(20, 20) = 3,20 + 4,20 = 140 CUESTIÓN 2.A. [1.5 PUNTOS] Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más siete veces el cuadrado del segundo, sea mínima. selcs Sep 2006 Solución: primer sumando: x segundo sumando: 45 − x Escribimos la función cuyo mínimo buscamos: f(x) = 2×2 + 7(45 − x)2 = 9×2 − 630x + 14175 Derivando: f′(x) = 18x − 630. Anulamos la derivada: 18x − 630 = 0, resulta: x = 35 Con el estudio del crecimiento comprobamos que es mínimo: x 35 y′ − + y ց ր CUESTIÓN 2.B. [1.5 PUNTOS] Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = 2x + 1. selcs Sep 2006 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos func iones: f(x) = x2 + 1 g(x) = 2x + 1 x2 + 1 = 2x + 1; x2 − 2x = 0; x(x − 2) = 0; x = 0, x = 2 Área= Z 2 0 recta − parábola = dx = R 2 0 (2x − x2) dx = h x2 − x3 3 i2 0 = 4 − 8 3 = 4 3u2 1 2 3 4 5 6 −1 −2 −1 1 2 3 4 CUESTIÓN 3.A. [2 PUNTOS] Dada la función f(x) = 6×2 − x4 8 , se pide: (a) Calcular su dominio (b) Determinar las asíntotas y los cortes con los ejes (c) Determinar máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento (d) Hacer su representación gráfica aproximada selcs Sep 2006 Solución: Como es una función polinómica basta para representarla estudiar los puntos de corte y el crecimiento. Después contestaremos a los restantes apartados. Puntos de corte Puntos de corte con OX, y = 0 : 6×2 − x4 8 = 0, 6×2 − x4 = 0, x2(6 − x2) = 0, x = 0 doble, x = ± √6 Puntos de corte con OY, x = 0 : y = 0 8 = 0, ya considerado. Crecimiento: se estudia el signo de la derivada: f′(x) = 12x − 4×3 8 = 3x − x3) 2 = x(3 − x2) 2 los factores se anulan para x = 0, x = ±√3 x −√3 0 √3 y′ + − + − y ր ց ր ց Encajando la forma dada por el crecimiento con los puntos de corte podemos representar: 1 2 −1 −2 −3 −3 −2 −1 1 2 3 Ahora responderemos a los puntos del enunciado: a) Dominio: El dominio es todo R pues es una función polinómica. b) Asíntotas y cortes con los ejes: Asíntotas: no tiene por ser una función polinómica. Por ejemplo para la horizontal y = n: n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ 6×2 − x4 8 = ∞ Cortes con los ejes ya hallados. c) Crecimiento y máximos y mínimos Como se ve en el estudio del crecimiento, como la función es continua y derivable siempre por ser polinómica, hay MÁXIMOS en x = ±√3 y MÍNIMO en x = 0 CUESTIÓN 3.B. [2 PUNTOS] Determinar a y b para que la función f(x) = x2 + 2ax + b tenga un mínimo en el punto (−1, 2). selcs Sep 2006 Solución: Que tenga un mínimo en (−1, 2), supone dos cosas: a) que pasa por ese punto: f(−1) = 2, b) que su derivada se anula en x = −1 f(−1) = 2 : (−1)2 + 2a(−1) + b = 2, 1 − 2a + b = 2, −2a + b = 1 f′(−1) = 0 : f′(x) = 2x + 2a, 2(−1) + 2a = 0, −2 + 2a = 0, luego a = 1 Sustituyendo en la ecuación anterior: −2 · 1 + b = 1, b = 3 Resulta: f(x) = x2 + 2x + 3 CUESTIÓN 4.A. [2 PUNTOS] En una ciudad se publican dos periódicos, el periódico A y el periódico B. La probabilidad de que una persona lea el periódico A es 0.1, la probabilidad de que una persona lea el periódico B es 0.1 y la probabilidad de que lea ambos es 0.02. (a) Calcular la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico (b) Calcular la probabilidad de que una persona lea sólo un periódico selcs Sep 2006 Solución: Sabemos: p(A) = 0′1, p(B) = 0′1, p(A ∩ B) = 0′02 Hallemos primero la probabilidad de la unión que usaremos en los dos apartados: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 0′1 + 0′1 − 0′02 = 0′18 a) ”ningún periódico” es el complementario de ”algún periódico”, o sea de la unión: p(no lea ninguno) = p( lea alguno)c = 1 − p(A ∪ B) = 1 − 0′18 = 0′82 b)”solo uno” es decir ”alguno pero no los dos”: A ∪ B = (solo lea uno) |{∪z} disjunta (A ∩ B) , por tanto p(a ∪B) = p(solo lea uno)+p(A ∩B); 0′18 = p(solo lea uno)+ 0′02, despejando p(solo lea uno) = 0′18 − 0′02 = 0′16 A B CUESTIÓN 4.B. [2 PUNTOS] Tres máquinas A1, A2 y A3 producen, respectivamente el 50%, 30% y 20% de los artículos de una fábrica. A1 produce el 3% de artículos defectuosos, A2 el 4% y A3 el 5%. Elegido un artículo al azar resulta defectuoso, ¿qué probabilidad hay de que proceda de cada máquina? selcs Sep 2006 Solución: A1 produce el 50% y son defectuosos el 3% A2 produce el 30% y son defectuosos el 4% A1 produce el 20% y son defectuosos el 5% {A1,A2,A3} forman sistema completo de sucesos; por el teorema de Bayes: p(A1/D) = p(D/A1) · p(A1) P3 1 p(Ai).p(B/Ai) = 0′03 · 0′5 0′03 · 0′5 + 0′04 · 0′3 + 0′05 · 0′2 = 0′4 De la misma forma: p(A2/D) = 0′32; p(A3/D) = 0′27 CUESTIÓN 5.A. [1.5 PUNTOS] Tras múltiples observaciones se ha comprobado que el número de pulsaciones de los varones de 20 a 25 años se distribuye normalmente con una media de 72 pulsaciones y una desviación típica igual a 4. Si una muestra de 100 deportistas varones de esa edad da una media de 64 pulsaciones. (a) ¿Queda el valor de 72 pulsaciones dentro del intervalo de confianza para la media muestral al 95% de confianza? (b) ¿Debemos aceptar la hipótesis de que hay diferencia significativa entre el número de pulsaciones de los deportistas y el número de pulsaciones de los varones en general, con un nivel de significación de 0.05? selcs Sep 2006 Solución: (a) Los datos son: ¯x = 64,  = 4, n = 100. Para el nivel de confianza del 95% corresponde el valor crítico z 2 = 1′96 Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 64 ± 1′96 · 4 √100 = 64 ± 0′784 Luego el valor de 72 pulsaciones queda fuera del intervalo de confianza (b) Contrastamos H0 : μ = 72 pulsaciones frente a H1 : μ 6= 72 pulsaciones, consideramos test bilateral. Los datos son:  = 4; n = 100 nivel significación = 0′05 corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ±z 2  √n = μ±1′96  √n = 72±1′96 4 √100 = 72±0′784 que da el intervalo (71′216, 72′784). Como ¯x = 64 queda fuera del intervalo, se rechaza la hipótesis nula de que μ = 72 pulsaciones, concluimos que sí hay diferencia significativa para la muestra recogida entre los deportistas CUESTIÓN 5.B. [1.5 PUNTOS] Un fabricante de bombillas sabe que la desviación típica de la duración de esas bombillas es 100 horas. Calcula el tamaño de la muestra que se ha de someter a prueba para tener una confianza del 95% de que el error de la duración media que se calcula sea menor que 10 horas. selcs Sep 2006 Solución: Los datos son:  = 100 h; El error = z 2  √n ha de ser ≤ 10 h El nivel de confianza del 95% equivalente a nivel de significación del = 0′05 se corresponde con z 2 = 1′96. Sustituyendo: 1′96 · 100 √n ≤ 10; 1′96 · 100 10 ≤ √n; (1′96)2 ≤ n; 384′16 ≤ n La muestra debe tener un tamaño igual o mayor que 385 para que el nivel de confianza sea del 95% CUESTIÓN 1.A. La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. selcs Jun 2006 Solución: Sea el número de tres cifras ”xyz”, las condiciones se pueden expresar: x + y + z = 6 y x z = x y z + 90 x z y = x y z + 9 expresando los números en su descomposición polinómica:   x + y + z = 6 100y + 10x + z = 100x + 10y + z + 90 100x + 10z + x = 100x + 10y + z + 9   x + y + z = 6 −90x + 90y = 90 9z − 9y = 9   x + y + z = 6 −x + y = 1 −y + z = 1 que resuelto por Gauss da z = 3, y = 2, x = 1. El número es el 123. CUESTIÓN 1.B. Una persona tiene 500000 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300000 euros en las de tipo A y como mínimo 100000 euros en las de tipo B e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. ¿Cómo debería invertir sus 500000 euros para maximizar sus intereses anuales? selcs Jun 2006 Solución: x = número de euros invertido en acciones tipo A y = número de euros invertido en acciones tipo B    x + y ≤ 500000 x ≤ 300000 y ≥ 100000 x ≤ y Ganancia: f(x, y) = 0′1x + 0′07y Representamos (trabajaremos en miles):    x + y ≤ 500 x 0 500 y 500 0 x ≤ y x 0 200 y 0 200 Ahora la función igualada a 0: f(xy) = 0′1x + 0′07y = 0 x 0 −70 y 0 100 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 −100 b A b B b C b D Para maximizar hallamos y probamos los puntos B y C  x + y = 500 x = y B = (250, 250, ) f(250, 250) = 0′1 · 250 + 0′07 · 250 = 42′5  x + y = 500 x = 300 C = (300, 200, ) f(300, 200) = 0′1 · 300 + 0′07 · 200 = 44 Por tanto para maximizar los beneficios ha de invertir 300.000 e en las acciones de tipo A y 200.000 e en las acciones de tipo B que le producirían 44000 e . CUESTIÓN 2.A. [1.5 PUNTOS] Hallar las dimensiones de los lados de un triángulo rectángulo, de 10 metros de hipotenusa, para que su área sea máxima. ¿Cuál será dicha área? selcs Jun 2006 Solución: S = x · y 2 máxima Por Pitágoras: x2 + y2 = 102; y = p 100 − x2 sustituyendo: S(x) = 1 2 x p 100 − x2 = 1 2 p 100×2 − x4 Derivando y anulando la derivada: s′(x) = 1 2 200x − 4×3 2√100×2 − x4 = 0 Basta anular el numerador: 200x − 4×3 = 0; x(200 − x2) = 0; 200 − 4×2 = 0; x2 = 50; x = ± √50 Con el estudio del crecimiento comprobamos que es máximo: x √50 y′ − + y ր ց x y 10 Hallamos el otro cateto y = q 100 − √50 2 = √50 y el área máxima: S = √50 · √50 2 = 25 CUESTIÓN 2.B. [1.5 PUNTOS] Hallar el área encerrada por la curva x.y = 4, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4 . selcs Jun 2006 Solución: Buscamos los puntos de corte de las dos funciones: Área= Z 4 2 4 x dx = 4 Z 4 2 1 x dx = 4 [ln |x|]4 2 = 4(ln 4 − ln 2) = 4 ln 2 = 2′7722u2 1 2 3 4 5 6 −1 −1 1 2 3 4 5 CUESTIÓN 3.A. [2 PUNTOS] Dada la función f(x) = x3 x2 − 1 , se pide: (a) Calcular su dominio (b) Calcular sus asíntotas (c) Estudiar la monotonía y los extremos (d) Hacer su representación gráfica aproximada. selcn Junio 2006 Solución: Primero representaremos y después responderemos a los apartados que falten: 1) Dominio y regionamiento Estudiamos el signo de la función. Para ello escribimos la función en la forma: f(x) = x3 (x + 1)(x − 1) Hallando las raíces de numerador y denominador resulta que delimitan región de cambio de signo de y : x = 0, x = 1, x = −1 x -1 0 1 y − + − + El dominio es R − {−1, 1} 1 2 −1 −2 −3 −2 −1 0 1 2 3 2) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 0 con OX : y = 0, resulta x = 0 3) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales x = −1, x = 1 Asíntota horizontal n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x3 x2 − 1 = ∞ no hay Asíntota oblicua y = mx + n m = l´ım x→∞ f(x) x = l´ım x→∞ x3 x2−1 x = l´ım x→∞ x3 x3 − x = 1 n = l´ım x→∞ (f(x) − mx) = l´ım x→∞ ( x3 x2 − 1 − x) = l´ım x→∞ x3 − x3 + x x2 − 1 = l´ım x→∞ x x2 − 1 = 0 Asíntota oblicua y = x 4) Extremos y crecimiento Estudiamos el signo de la derivada f′(x) = 3×2(x2 − 1) − 2x · x3 (x2 − 1)2 = x4 − 3×2 (x2 − 1)2 = 0 x4 − 3×2 = 0 x = 0, x = √3, x = − √3 x −√3 0 √3 y′ + − + − y ր ց ց ր MAX INFLEXION MIN b b b b b b b b 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 2 3 −1 −2 −3 CUESTIÓN 3.B. [2 PUNTOS] Hallar los valores de a, b, c y d en la función y = ax3 + bx2 + cx + d sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta y = −x + 2 y que tiene un extremo en el punto (0, 2). selcs Jun 2006 Solución: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d y′ = 3ax2 + 2bx + c De que la tangente en el punto (1, 1) sea la recta y = −x + 2, resulta: Pasa por (1, 1) luego f(1) = 1 sustituyendo ”x” e ”y” queda: a + b + c + d = 1 La pendiente en x = 1 es −1 es decir f′(1) = −1, sustituyendo ”x” e ”y′” en la derivada queda: 3a + 2b + c = −1 De que tiene un extremo en el punto (0, 2), resulta: Pasa por (0, 2) luego f(0) = 2 sustituyendo ”x” e ”y” queda: d = 0 Tiene extremo en x = 0 luego la derivada se anula en x = 0, queda: f′(0) = c = 0 Por tanto el sistema con cuatro incógnitas iniciales queda reducido a:  a + b + 2 = 1 3a + 2b = −1 −2 − 2b = 2 3a + 2b = −1 a = 1 b = −2 El polinomio buscado es y = x3 − 2×2 + 2 CUESTIÓN 4.A. [2 PUNTOS] De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace dos dianas de cada tres disparos y el otro consigue tres dianas de cada cuatro disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcular: (a) La probabilidad de que los dos acierten. (b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no. (c) La probabilidad de que ninguno de los dos acierte. (d) La probabilidad de que alguno acierte. selcs Jun 2006 Solución: Consideramos los sucesos: A = acierta el primer tirador, p(A) = 2 3 ; B = acierta el segundo tirador; p(B) = 3 4 . Los sucesos son independientes. a) p( los dos acierten ) = p(A ∩ B) = p(A).p(B) = 2 3 . 3 4 = 1 2 b) p( acierte uno solo ) = p((A ∩Bc) |{∪z} disjunta (Ac ∩B)) = p((A ∩Bc))+p(Ac ∩ B)) = p(A).p(Bc) + p(Ac).p(B) = 2 3 . 1 4 + 1 3 . 3 4 = 5 12 c) p( ninguno acierte ) = p(Ac ∩ Bc) = p(Ac).p(Bc) = 1 3 . 1 4 = 1 12 d) p( alguno acierte ) = p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B) = 2 3 + 3 4 − 1 2 = 11 12 A CUESTIÓN 4.B. [2 PUNTOS] Tenemos una urna A con 3 bolas rojas y 5 azules y una urna B con 6 bolas rojas y 4 azules. Si sacamos de ellas una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? selcs Jun 2006 Solución: N UA 1/2 5/8 A R→ 3/8 UB 1/2 4/10 A R→ 6/10 Hay 8 bolas en la urna UA y 10 bolas en la UB. Como se elige una de las dos urnas al azar la probabilidad de cada una es 1 2 . Sumando las dos ramas que terminan extrayendo bola roja: p(R) = 1 2 . 3 8 + 1 2 . 6 10 = 0′48 CUESTIÓN 5.A. [1.5 PUNTOS] Un estudio realizado en el ámbito de la Unión Europea concluye que la edad de los propietarios de un automóvil ”Mercedes” en el momento de su adquisición tiene un comportamiento Normal con media 38 años y varianza 16. Un concesionario de dicha marca, instalado recientemente en España, ha vendido sólo 150 vehículos y ha comprobado que la edad media de sus clientes es de 38.3 años. Aceptando para los clientes españoles la varianza obtenida para los clientes europeos, ¿se puede aceptar que la edad media al adquirir un vehículo de esa marca es la misma en España que en Europa, para un nivel de significación del 5%? selcs Jun 2006 Solución: Contrastamos H0 : μ = 38 años frente a H1 : μ 6= 38 años, consideramos test bilateral. Los datos son: ¯x = 38′3, 2 = 16 →  = 4, n = 150. El nivel de significación del 5%, = 0′05, corresponde con z 2 = 1′96. El intervalo de aceptación es μ± z 2  √n = μ±1′96  √n = 38± 1′96 4 √500 = 38±0′65 que da el intervalo (37′35, 38′65). Como ¯x = 38′3 queda dentro del intervalo, se acepta la hipótesis nula de que μ = 38 años. Se acepta que la edad media al adquirir un vehículo de esa marca es la misma en España que en Europa, para un nivel de significación del 5%. CUESTIÓN 5.B. [1.5 PUNTOS] La media de las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamiento fabricadas por cierta máquina fue de 0.824 cm. Y la desviación típica fue de 0.042 cm. Hallar los límites de confianza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquina. selcs Jun 2006 Solución: Los datos son: ¯x = 0′824,  = 0′042, n = 200. Para el nivel de confianza del 95% corresponde el valor crítico z 2 = 1′96 Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x ± z 2  √n = 0′824 ± 1′96 · 0′042 √200 = 0′824 ± 0′038  0′8182 0′8297 CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS] Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero que en ese momento tengan los otros dos. Después de haber perdido todos ellos una partida, cada jugador se retira con veinte euros. ¿Cuánto dinero tenían al principio del juego? selcs Sept 2005 Solución: Sea: x dinero inicial de J1 y dinero inicial de J2 z dinero inicial de J3 Primera partida (pierde J1):   J1 : x − y − z J2 : 2y J3 : 2z Segunda partida (pierde J2):   J1 : 2(x − y − z) = 2x − 2y − 2z J2 : 2y − (x − y − z) − 2z = 3y − x − z J3 : 4z Tercera partida (pierde J3):   J1 : 2(2x − 2y − 2z) = 4x − 4y − 4z J2 : 2(3y − x − z) = 6y − 2x − 2z J3 : 4z − (2x − 2y − 2z) − (3y − x − z) = 7z − x − y Al final los tres jugadores tienen 20 e   4x − 4y − 4z = 20 6y − 2x − 2z = 20 7z − x − y = 20   x − y − z = 5, −x + 3y − z = 10, −x − y + 7z = 20 Tiene como matriz asociada: 1 −1 −1 5 −1 3 −1 10 −1 −1 7 20 Que triangulando por Gauss resulta: 1 −1 −1 5 0 2 −2 15 0 0 8 80 que sustituyendo hacia arriba da como soluciones: z = 10, y = 35 2 , x = 65 2 . CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS] Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: tableros normales (una mano de imprimación más otra mano de pintura) y tableros extras (una mano de imprimación y tres manos de pintura). Disponen de imprimación para 10000 m2 , pintura para 20000 m2 y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3 euros por el m2 m de tablero normal y 5 euros por el m2 de tablero extra. (a) ¿Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? (b) ¿Y si ganara 1 euro por el m2 de tablero normal y 4 euros por el m2 de tablero extra? selcs Sept 2005 Solución: x = número de miles de m2 de tableros normales y = número de miles de m2 de tableros extras Precio total: f(x, y) = 3000x + 8000y e buscamos el máximo x + y ≤ 10 x + 3y ≤ 20 Representamos:    x + y ≤ 10 x 0 10 y 10 0 x + 3y ≤ 20 x 0 20 y 6′66 0 Ahora la función igualada a 0: f(x, y) = 3000x + 5000y = 0 x 0 −5 y 0 3 2 4 6 8 10 −2 2 4 6 8 10 12 −2 b A b B b C a) Para maximizar la ganancia tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A. Hallemos sus coordenadas:  x + y = 10 x + 3y = 20 A = (5, 5) C(5, 5), o sea 5000 normales y 5000 extra. El beneficio sería: f(5, 5) = 3000 · 5 + 5000 · 5 = 40000 e . b) Ahora la nueva función de beneficio sería: f∗(x, y) = x + 4000y = 0 x 0 −8 y 0 2 Y el máximo se alcanza en el punto B(0, 6′6667) f∗(0, 6′6667) = 0 + 4000 · 6′6667 = 26667 e . CUESTIÓN 2.A. [2 PUNTOS] Dada la función f(x) = x x2 − 1 , se pide: (a) Hallar el dominio y las asíntotas (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (c) Hacer una representación gráfica aproximada. selcs Sept 2005 Solución: a) Dominio y regionamiento: Hallamos las raíces de numerador y denominador: Anulamos el denominador: x2 − 1 = 0 x1 = +1 x2 = −1 A partir de las raíces de numerador y denominador hallamos los cambios de signo de la función. Luego delimitan región de cambio de signo de y : x = 0, x = ±1 x -1 0 1 y – + – + y = x x2 − 1 Además: Dominio = R − {−1, 1} b) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 0 con OX : y = 0, resulta el mismo, el origen c) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, valores de x que anulan al denominador: x = −1, x = 1 Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x x2 − 1 = 0; y = 0 d) Extremos y crecimiento: f′(x) = −x2 − 1 (x2 − 1)2 Anulamos: −x2−1 = 0 no tiene solución, luego la derivada es siempre positiva y por tanto la función es siempre decreciente 1 2 −1 −2 −3 1 2 3 −1 −2 CUESTIÓN 2.B. [2 PUNTOS] Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y2 = 4x, el eje de ordenadas y la recta x − 2y + 4 = 0. selcs Sept 2005 Solución: En este caso nos interesa integrar con respecto al eje de ordenadas, intercambian sus papeles x e y: la recta es: x = 2y − 4 los puntos de corte ( con la parábola son: x = y2 4 x = 2y − 4 y2 = 4(2y − 4), y2 − 8y + 16 = 0, y = 8 ± √64 − 64 2 = 4 doble, luego la recta es tangente a la parábola en el punto (4, 4) Por tanto el área viene dada por el área de la parábola con el eje OY entre 0 y 4 menos el área del triángulo: S = Z 4 0 y2 4 dy =  y3 12 4 0 = 64 12 = 16 3 Área del triángulo : 4·2 2 = 4 Área buscada: 16 3 − 4 = 4 3 u2 Otra forma de hacerlo integrando con respecto al eje OX es ( recta y = x 2 + 2, parábola y = ± √4x) Área = Z 4 0 recta – parábola = Z 4 0 ( x 2 + 2 − √4x)dx =  x2 4 + 2x − 2 x3/2 3/2 4 0 = ” x2 4 + 2x − 2 2√x3 3 #4 0 = 4 + 8 − 32 3 = 4 3 u2 4 2 CUESTIÓN 3.A. [1.5 PUNTOS] Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0, 0), (a, 0), (a, b) y (0, b). Determinar el punto (a, b) al que corresponde un área máxima. selcs Sept 2005 Solución: Área del rectángulo S = a · b máximo. Como el punto (a, b) está en la recta cumple la ecuación: 2a + b = 8, despejando b = 8 − 2a Sustituyendo S(a) = a · (8 − 2a) = 8a − 2a2 ha de ser máximo. Derivando y anulando la derivada: S′(a) = 8 − 4a = 0, a = 2 a 2 S′ + − S ր ց MÁXIMO Resulta b = 8 − 2 · 2 = 4. El punto es (2, 4) b (a, b) a CUESTIÓN 3.B. [1.5 PUNTOS] Dibuja la parábola f(x) = x2 − 6x + 8. (a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela al eje de abscisas? (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto P(2, 0). selcs Sept 2005 Solución: Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 8 con OX : y = 0, resulta x2 − 6x + 8 = 0 x1 = 4 x2 = 2 El mínimo lo hallamos derivando y anulando la derivada: f′(x) = 2x − 6 x = 3 y = f(3) = −1. El punto es (3,−1) a) Precisamente en el mínimo que al ser cero la derivada dice que la recta tangente es horizontal b) La recta tangente en el punto x0 es y − y0 = m(x − x0) donde: y0 = f(x0) = f(2) = 0 m = f′(x0) = f′(2) = 2 · 2 − 6 = −2 Queda y − 0 = −2(x − 2) Por tanto la recta tangente en el punto x = 2 es y = −2x + 4 1 2 3 4 5 6 −1 −2 CUESTIÓN 4.A. [1.5 PUNTOS] Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire, de manera que si las tres monedas aparecen de igual modo (tres caras o tres cruces) el jugador gana y en caso contrario se vuelve a tirar. (a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? (b) ¿Cuál es la probabilidad de perder las dos primeras tiradas y ganar la tercera? selcs Sept 2005 Solución: a) Ganar en la primera tirada triple se corresponde con la primera rama , tres caras, o la última, tres cruces, sumando sus probabilidades: p( ganar ) = 0′53 + 0′53 = 0′25 b) Perder la primera tirada tiene como probabilidad por lo tanto p( perder ) = 0′75 Esta probabilidad es independiente de la triple tirada, luego: p( perder 1a ∩ perder 2a ∩ ganar 3a) = 0′75 · 0′75 · 0′25 = 0′14 N c c c + + c + + c c + + c + CUESTIÓN 4.B. [1.5 PUNTOS] En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0’95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haber peligro es 0’03. Hallar: (a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma no haya habido peligro. (b) Probabilidad de que haya un peligro y la alarma no funcione. selcs Sept 2005 Solución: Llamamos A al suceso ”funcionar la alarma”. Llamamos P al suceso ”producirse peligro ”; p(P) = 0′1; ; además nos dicen que p(A/P) = 0′95 Llamamos N al suceso ”no producirse peligro ”; resulta p(N) = 0′9; además nos dicen que p(A/N) = 0′03 {P,N} forman sistema completo de sucesos. Por el teorema de Bayes: a) Nos piden p(N/A) = p(A/N) · p(N) p(A/N) · p(N) + p(A/P) · p(P) = 0′03 · 0′9 0′03 · 0′9 + 0′95 · 0′1 = 0′027 0′027 + 0′095 = 0,2213 b) Entiendo que piden la intersección p(P ∩ Ac = p(P).p(Ac/P) = 0′1 · 0′05 = 0′005 CUESTIÓN 5.A. [2 PUNTOS] Se desea estudiar el gasto anual de fotocopias (en euros) de los estudiantes de bachillerato en Murcia. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 estudiantes, resultando los valores siguientes: 100, 150, 90, 70, 75, 105, 200, 120, 80 Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 12. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del gasto anual en fotocopias por estudiante. selcs Sept 2005 Solución: Antes que nada calculamos la media de la muestra: ¯x = 100 + 150 + 90 + 70 + 75 + 105 + 200 + 120 + 80 9 = 110 Los datos son: ¯x = 110,  = 12, n = 9. Para el nivel de confianza del 95% corresponde el valor crítico z 2 = 1′96 Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z 2  √n = 110±1′96· 12 √9 = 110±7′89  117′89 102′11 El intervalo de confianza para la media de la nueva producción de lámparas es (102′11, 117′89) CUESTIÓN 5.B. [2 PUNTOS] El peso de los niños varones a las diez semanas de vida se distribuye según una normal con desviación típica de 87 gramos. ¿Cuántos datos son suficientes para estimar, con una confianza del 95%, el peso medio de esa población con un error no superior a 15 gramos? selcs Sept 2005 Solución: Los datos son:  = 87 gr ; El error = z 2  √n ha de ser ≤ 15 gr El nivel de confianza del 95% equivalente a nivel de significación del = 0′05 se corresponde con z 2 = 1′96. Sustituyendo: 1′96 · 87 √n ≤ 15; 1′96 · 87 15 ≤ √n; (11′368)2 ≤ n; 129′23 ≤ n La muestra debe tener un tamaño igual o mayor que 130 para que el nivel de confianza sea del 95% CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS] Estudiar para qué valores de k es compatible el sistema siguiente:   2x − y = 4 −x + 1 2y = −2 x + ky = 2 Resolverlo para los valores de k que lo hacen compatible indeterminado. selcs Jun 2005 Solución: Triangulamos la matriz asociada al sistema:   2 −1 4 −1 1/2 −2 1 k 2   2a · 2 + 1a 3a. · 2 − 1a   2 −1 4 0 0 0 0 2k + 2 0   Volviendo a sistema queda:  2x − y = 4 (2k + 2)y = 0 2k + 2 = 0, k = − 1 2 queda por tanto: Si k 6= − 1 2 queda  2x − y = 4 y = 0 sistema compatible determinado: y = 0, x = 2 . Si k = − 1 2 queda  2x − y = 4 0y = 0 el sistema se reduce a la ecuación 2x − y = 4, sistema compatible indeterminado, la solución se puede expresar y = 2x − 4, x ∈ R CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS] Un grupo de alumnos formado por veinte chicas y diez chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos: Tipo A: Parejas (una chica y un chico). Tipo B: Equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 euros por la tarde de la pareja y 50 euros por la tarde del equipo de cuatro. (a) ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? (b) ¿Y si les pagara 30 euros por la tarde de la pareja y 30 euros por la tarde del equipo de cuatro? selcs Jun 2005 Solución: x = número de parejas y = número de equipos de cuatro Precio total: f(x, y) = 30x + 50y e buscamos el máximo x + y ≤ 10 x + 3y ≤ 20 Representamos:    x + y ≤ 10 x 0 10 y 10 0 x + 3y ≤ 20 x 0 20 y 6′66 0 Ahora la función igualada a 0: f(x, y) = 30x + 50y = 0 x 0 −5 y 0 3 2 4 6 8 10 −2 2 4 6 8 10 12 −2 b A b B b C a) Para maximizar la ganancia tomaríamos la paralela a f(x, y) = 0 que pasa por el punto A. Hallemos sus coordenadas:  x + y = 10 x + 3y = 20 A = (5, 5) C(5, 5), o sea 5 parejas y 5 de cuatro. El beneficio sería: f(5, 5) = 30 · 5 + 50 · 5 = 400 e . b) Ahora la nueva función de beneficio sería: f∗(x, y) = 30x + 30y = 0 x 0 −2 y 0 2 Ahora el máximo se da en cualquier punto de la recta AC pues: f∗(5, 5) = 30 · 5 + 30 · 5 = 300 e . f∗(10, 0) = 30 · 10 = 300 e . Los puntos de esa recta que tengan coordenadas enteras son: (5, 5)(6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0) CUESTIÓN 2.A. [2 PUNTOS] Dada la función f(x) = x x + 1 , se pide: (a) Calcular su dominio y asíntotas. (b) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Hacer su representación gráfica aproximada. selcs Jun 2005 Solución: Se trata de una hipérbola por tanto para representarla veremos los puntos de corte y las asíntotas: a) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 0 1 = 0 con OX : y = 0, resulta el mismo b) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales, anulamos el denominador x + 1 = 0, x = −1 pues l´ım x→−1 f(x) = l´ım x→−1 x x + 1 = ±∞ Asíntota horizontal y = n : n = l´ım x→∞ f(x) = l´ım x→∞ x x + 1 = 1; y = 2 Como piden el crecimiento hacemos la derivada: f′(x) = 1 (x + 1)2 , como es siempre positiva f es siempre creciente. 1 2 3 −1 −2 1 2 −1 −2 CUESTIÓN 2.B. [2 PUNTOS] La curva y = 4 x + 4 , el eje OX, el eje OY y la recta x = 4 limitan una superficie S. Calcular el área de S. selcs Jun 2005 Solución: La curva es una hipérbola. S = Z 4 0 4 x + 4 dx = [4 ln |x + 4|]4 0 = 4(ln 8 − ln 4) = 2′77 u2 1 2 3 CUESTIÓN 3.A. [1.5 PUNTOS] Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie de papel. selcs Jun 2005 Solución: Área texto: x · y = 18 cm2 Área folio: S = (x + 2)(y + 4) mínima. Sustituyendo: S(x) = (x + 2)( 18 x + 4) = 36 x + 4x + 26 mínimo Derivamos y anulamos la derivada: S′(x) = − 36 x2 + 4 = −36 + 4×2 x2 ; −36 + 4×2 = 0, x = ±3 x 3 y′ − + y ց ր MÍNIMO En consecuencia y = 18 3 = 6 Por tanto el folio tiene 5 de ancho por 10 de alto. x y CUESTIÓN 3.B. [1.5 PUNTOS] Dibuja la parábola f(x) = x2 − 5x + 8. (a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes? (b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P(1, 2). (nota: El punto es exterior a la parábola se puede resolver haciendo que la recta y − 2 = m(x − 1) toque en un solo punto a la parábola; preferimos cambiar enunciado: tangente por P(1, 4)) selcs Jun 2005 Solución: Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x = 0, resulta y = 8 con OX : y = 0, resulta x2 − 5x + 8 = 0, x = 5 ± √25 − 40 2 no tiene solución, la parábola no corta al eje OX El mínimo lo hallamos derivando y anulando la derivada: f′(x) = 2x − 5 = 0, x = 2′5; f(2′5) = 1′75 Mínimo en (2′5, 1′75) a) La bisectriz del del primer y tercer cuadrantes tiene de pendiente m = 1 luego nos piden encontrar en qué punto la derivada es 1. f′(x) = 2x − 5 = 1 x = 3; f(3) = 9 − 15 + 8 = 2 El punto es (3, 2) b) La recta tangente en el punto x0 es y − y0 = m(x − x0) donde: y0 = f(x0) = f(1) = 4 m = f′(x0) = f′(1) = 2 − 5 = −3 Queda y − 4 = −3(x − 1) Por tanto la recta tangente en el punto x = 2 es y = −3x + 7 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 CUESTIÓN 4.A. [1.5 PUNTOS] Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma. Cada uno lanzará el dado a lo sumo una vez. Si el primero en lanzar saca un seis, gana y se acaba la partida; si no saca un seis, lanza el segundo, que gana si obtiene un cuatro o un cinco, acabando la partida. Si tampoco gana éste, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene tres, dos o uno. Aunque no gane el tercero, la partida se termina. Hallar la probabilidad que tiene cada uno de ganar y la probabilidad de que la partida termine sin ganador. selcs Jun 2005 Solución: Llamamos A ganar el primero, C ganar el segundo,C ganar el tercero. a) Ganar el primero: p(A) = 1 6 b) Ganar el segundo: p( ganar el segundo ) = p( no gana el primero ) · p( gana el segundo ) = 5 6 · 2 6 = 5 18 c) Ganar el tercero: p( ganar el tercero ) = p( no gana el primero ) · p( no gana el segundo ) · p( gana el tercero ) = 5 6 · 4 6 · 3 6 = 5 18 No gana nadie: p( no gana nadie ) = p( no gana el primero ) · p( no gana el segundo ) · p( no gana el tercero ) = 5 6 · 4 6 · 3 6 = 5 18 N A . . . . . . Ac B . . Bc C Cc CUESTIÓN 4.B. [1.5 PUNTOS] Una fábrica dispone de tres máquinas A1, A2 y A13 que fabrican tornillos. Se sabe que la máquina A1 produce un 1% de tornillos defectuosos, la máquina A2 un 3% y la máquina A3 un 2%. La máquina A1 produce el 25% del total de unidades, la A2 el 40% y la A3 el 35%. Al cabo de un día, se toma un tornillo al azar de la producción total y se pide: (a) Calcular la probabilidad de que ese tornillo sea defectuoso. (b) Si ha resultado defectuoso, calcular la probabilidad de que pertenezca a la máquina A2 . selcs Jun 2005 Solución: a) Teorema de la probabilidad total p(D) = p(D/A1) · p(A1)+p(D/A2) · p(A2)+(D/A3) · p(A3) = 1 100 · 25 100 + 3 100 · 40 100 + 2 100 · 35 100 = 0′0215 b) Teorema de Bayes p(A2/D) = p(D/A2) · p(A2) p(D/A1) · p(A1) + p(D/A2) · p(A2) + +(D/A3) · p(A3) = 0′03 · 0′4 0′0215 = 0′5581 CUESTIÓN 5.A. [2 PUNTOS] Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia, obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable ”inteligencia de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce la media. ¿Entre qué limites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0.99? selcs Jun 2005 Solución: Los datos son: ¯x = 100,  = 10, n = 25. Para el nivel de confianza del 99% corresponde el valor crítico z 2 = 2′58. Entonces el intervalo de confianza tiene de extremos: ¯x±z 2  √n = 100±2′58· 10 √25 = 100±5′16  105′16 94′84 El intervalo de confianza para la media de la inteligencia de todos los estudiantes es (94′84, 105′16) CUESTIÓN 5.B. [2 PUNTOS] Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene de media 370C y de desviación típica 0.850C. Se elige una muestra de 105 personas y se pide: (a) Calcular la probabilidad de que la temperatura media sea menor de 36.90C (b) Calcular la probabilidad de que la temperatura media esté comprendida entre 36.50C y 37.50C selcs Jun 2005 Solución: Distribución muestral Los parámetros de la población son: μ = 370C,  = 0′850C La muestra es de n = 105 personas. La distribución muestral es por tanto N(37, 0′85 √105 ) = N(37, 0′082) a) p( ¯X ≤ 36′9) =  tipificando z = 36′9 − 37 0′082 = −1′2  = p(Z ≤ −1′2) = 1 − p(Z ≤ −1′2) = 1 − 0′8869 = 0′1131 b) p(36′5 ≤ ¯X ≥ 37′5) = ( tipificando z1 = 36′5−37 0′082 = −6′09 z2 = 37′5−37 0′082 = 6′09 ) = p(Z ≤ 6′9) − p(Z ≤ −6′9) ≈ 1 − 0 = 1 CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS] En una compañía envasan los bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kilo de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros, ¿cuántas cajas se han envasado de cada tipo? CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS] Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos tendrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? CUESTIÓN 2.A. [1.5 PUNTOS] Hallar los valores de a y b para que la función f(x) = ax3 +bx2 +x+1 tenga un máximo en el punto x = 1 y un mínimo en el punto x = 2. CUESTIÓN 2.A. [1.5 PUNTOS] Hallar el área comprendida entre las dos parábolas y = x2 e y = −2×2 + 3. CUESTIÓN 3.A. [2 PUNTOS] Dada la curva y = 1 x − 1 se pide: (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproximada de la curva. CUESTIÓN 3.B. [2 PUNTOS] Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: A 100 euros el kilo, si 0 ≤ x < 5 A 90 euros el kilo, si 5 ≤ x < 10 A 75 euros el kilo, si 10 ≤ x < 20 A 55 euros el kilo, si 20 ≤ x, donde x representa el peso en kilos. Escribir la función que representa la ganancia obtenida por el vendedor, representarla gráficamente y estudiar su continuidad CUESTIÓN 4.A. [1.5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, sabiendo que sólo pueden lanzarse tres torpedos y que la probabilidad de hacer blanco con un torpedo es 0.20? CUESTIÓN 4.B. [1.5 PUNTOS] Una determinada pieza puede ser fabricada por dos máquinas M1 y M2 que funcionan independientemente. La máquina M1 fabrica el 70% de las piezas y la máquina M2 el 30%. El 15% de las piezas fabricadas por M1 y el 2% de las fabricadas por M2 salen defectuosas. Calcular la probabilidad de que una pieza sea defectuosa. CUESTIÓN 5.A. [2 PUNTOS] En una determinada población juvenil el peso, en kilos, sigue una distribución normal con una desviación típica 10 kg. Se extrae una muestra aleatoria de 25 jóvenes cuya media muestral es de 48 kg. Para un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la hipótesis de que la media poblacional es de 50 kg? CUESTIÓN 5.B. [2 PUNTOS] Una agencia de alquiler de automóviles necesita estimar el número medio de kilómetros diarios que realiza su flota de automóviles; para tal fin, en varios días de la semana toma los recorridos de 100 vehículos de su flota y obtiene que la media muestral es de 165 km/día y la desviación típica muestral 6 km/día. Bajo la hipótesis de normalidad de la característica en estudio (número de kilómetros por día), construir un intervalo de confianza para la media de dicha distribución con un nivel de confianza del 95%. CUESTIÓN 1.A. [3 PUNTOS] Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80. CUESTIÓN 1.B. [3 PUNTOS] Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, ¿cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio? CUESTIÓN 2.A. [2 PUNTOS] Determinar las condiciones más económicas de una piscina abierta al aire, de volumen 32 3 m con un fondo cuadrado, de manera que la superficie de sus paredes y del suelo necesite la cantidad mínima de material. CUESTIÓN 2.B. [2 PUNTOS] Hallar el área de la región limitada por las gráficas f(x) = x3 − x y g(x) = x2. CUESTIÓN 3.A. [1.5 PUNTOS] Dada la curva: y = x x2 − 1 se pide: (a) Dominio y asíntotas. (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máximos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproximada de la misma. CUESTIÓN 3.B. [1.5 PUNTOS] Calcular a, b, c y d para que sea continua la función f(x) y representarla gráficamente. f(x) =   1 2x si x < 2 3x − a si 2 ≤ x < 3 b si 3 ≤ x < 5 −x + c si 7 ≤ x < 7 d si 7 ≤ x