PROBABILIDADES EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 3 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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Probabilidad condicionada , Función de probabilidad y de distribución ,Esperanza, varianza y
desviación estándar , Distribución binomial ,
La presente unidad es la continuación de los contenidos tratados en años
anteriores y además permite una mirada, desde un ámbito distinto a las
probabilidades. En la primera sección de la unidad se aborda el tema de las
probabilidades condicionadas.
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Teniendo en cuenta que, en nuestra vida
cotidiana los sucesos o eventos que ocurren rara vez son independientes
unos de otros, es bueno mostrar a los alumnos como aborda la matemática,
en el ámbito de las probabilidades, el tratamiento de sucesos que están
relacionados o son dependientes unos de otros. La segunda y tercera
sección de esta unidad, están referidas al tratamiento de las probabilidades
bajo el modelamiento de funciones. Esta mirada, del todo nueva para
nuestros estudiantes, une conceptos de funciones y probabilidades y,
muestra el método de trabajo de la matemática, profundamente entrelazado
y complementario. La riqueza de ver las probabilidades bajo el prisma de las
funciones se basa en que un estudio de este tipo nos permite modelar
diferentes sucesos a través de las llamadas distribuciones de probabilidad.
Está en el ámbito de esta unidad la distribución binomial. Otras, como la
distribución normal, se abordarán en años posteriores.
Objetivos y planificación
Como en las unidades anteriores se presenta aquí, antes de comenzar el
desarrollo de los temas de la unidad las metas de aprendizaje de la unidad y
una propuesta de planificación.
Metas de aprendizaje
• Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de
probabilidad y distribución de probabilidad, en diversas situaciones que
involucran experimentos aleatorios.
• Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en forma teórica y
experimental, considerando diversas situaciones o fenómenos.
• Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir resultados de
experimentos binomiales.
• Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo en
diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilidades.
• Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar
proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los
diversos temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver
problemas combinando, modificando o generalizando estrategias
conocidas, fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución
de problemas.
• Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la
flexibilidad y la originalidad.
Probabilidad condicionada
Se abordan aquí los sucesos dependientes y la probabilidad de que
ocurra uno de ellos dado que cierta ocurrencia del otro ya ha
sucedido.
Se resuelven algunos ejercicios con la ayuda de diagramas de árbol,
para luego aplicar la fórmula de probabilidad condicionada. Siempre
un buen esquema ayuda a clarificar lo que se pide y a resolver los
ejercicios y problemas.
Se define, entonces, el cálculo de una probabilidad condicionada como:
Si dos sucesos, A y B, son dependientes, donde P ( B ) …,
entonces, la probabilidad de que A suceda dado que B ha ocurrido
se puede calcular por la siguiente fórmula:

Se sugiere trabajar con datos de actualidad, incluso se puede realizar
una encuesta de interés en su curso y trabajar con ella. Por ejemplo,
que prefiere el curso para sortear la forma de evaluación de esta
unidad: prueba o trabajo. Si es trabajo: grupal o individual; si es
prueba: de alternativas o desarrollo y calcular sobre las preferencias
de los alumnos probabilidades como: “que un alumno o alumna
elegida de una prueba de desarrollo si había elegido prueba”.
Recuerde que, para que los contenidos de esta sección sean bien
aprendidos, los estudiantes, deben tener claro que deben fijar su
espacio muestral primero según la primera condición establecida y, a
partir de éste, calcular la probabilidad pedida. Revisemos uno de los
ejemplos dados.
• En un curso hay 35 alumnos, de ellos 20 son hombres. Hay en el
curso 5 mujeres y 8 hombres que tienen pelo rubio y el resto tienen
el pelo castaño. Se elige un joven al azar del curso y éste es hombre,
¿cuál es la probabilidad que tenga el pelo castaño?

I. Coloca verdadero (V) o falso (F) frente a cada una
de las siguientes afirmaciones según corresponda:
1. ____ La probabilidad calculada de obtener
un número par si ya ha salido un impar
en el lanzamiento consecutivo de dos
dados es una probabilidad
condicionada.
2. ____ Si P ( B )  = 0,3 y P ( A/B )  = 0,45,
entonces, la probabilidad P ( A  B )
es 0,15.
3. ____ El dominio de una función de
probabilidades es siempre el conjunto
de los números reales.
4. ____ El recorrido de una función de
distribución es siempre conjunto ] 0,1 [ .
5. ____ El valor esperado de una variable
aleatoria es similar a un promedio
ponderado.
6. ____ La varianza de una variable aleatoria
nos entrega información sobre la
distribución de sus probabilidades.
7. ____ La variable “número de la cara que se
obtiene al lanzar un dado” es una
variable que distribuye binomialmente.
8. ____ Todas las variables que tienen como
recorrido de su función de probabilidad
solo dos valores, distribuyen
binomialmente.
9. ____ Al representar gráficamente la
desviación estándar de una variable, es
posible visualizar el intervalo en el que
oscilarán los posibles resultados a
obtener de la variable aleatoria, si el
experimento dado se realizara
muchas veces.
10. ___ Si dos sucesos son dependientes,
entonces, de cumple que
P ( A/B )  = P ( B/A ) .
II. Resuelve los siguientes ejercicios, colocando
todo el desarrollo en cada uno de ellos:
1. Se lanzan dos dados, si la suma ha sido 9,
¿cuál es la probabilidad de que alguno de los
dados halla salido un 4?
2. Una urna A tiene 5 bolas rojas y 4 verdes. Otra
urna B tiene 8 bolas rojas y 2 negras.
Escogemos una de las urnas al azar y de ella
extraemos una bola. Determina:
a. La probabilidad de que la bola sea roja
dado que se escogió la urna A.
b. La probabilidad de que la bola sea roja
dado que se escogió la urna B.
c. La probabilidad de que la bola sea de la
urna A y sea roja.
3. Una urna contiene 4 bolas marcadas con los
números 1, 3, 5 y 7. Se extraen dos bolas al
azar de la urna, se miran sus números y luego
se vuelven a introducir a la urna. Si se define
la variable aleatoria “la suma de los valores
obtenidos en las dos bolas”, determina:
a. La función de probabilidad.
b. La función de distribución.
c. El valor esperado.
d. La varianza.
e. La desviación estándar.
f. P ( 6 )
g. F ( 10 )
4. La probabilidad de que una jugadora de golf
haga hoyo en un lanzamiento a cierta
distancia es 0,3. Si lo intenta 5 veces, calcula
la probabilidad de que acierte:
a. Exactamente dos veces.
b. Alguna vez.
c. Ninguna vez.
5. Una moneda cargada es lanzada al aire para
ver su resultado. La probabilidad de que salga
sello es _ 53_ . Determina la probabilidad de que al
lanzarla 12 veces: (escribe tu respuesta en
forma de porcentaje, aproximado a la
centésima. Puedes usar calculadora):
a. Se obtengan exactamente 8 sellos.
b. Se obtengan al menos dos caras.
III. Resuelve los siguientes problemas de planteo:
1. Rolando es un ingeniero especializado en
artículos electrónicos de la famosa Industria
especializada “Etronik”. Lo han enviado a
hacer una demostración, ante un grupo
supervisor externo a la industria, de un nuevo
aparato electrónico que consta de dos
motores, para un primer control de calidad. El
explica minuciosamente las partes y el
funcionamiento del aparato. Uno de los
supervisores le pregunta acerca de la
posibilidad de que fallen los motores.
Rolando responde diciendo que, la
probabilidad de que falle el primero de ellos
es de un 20%, de que fallen los dos es de
15% y que falle sólo el segundo es de un
30%. Los supervisores, le piden que encienda
el aparato y transcurridos unos segundos,
falla el segundo motor, pero igual sigue
funcionando. Rolando, preparado para esta
situación, continua dando más explicaciones
técnicas hasta que pronto, falla el primer
motor. Entonces un segundo supervisor le
pregunta ¿qué tan frecuente es que ocurra
este tipo de fallas que están presenciando?
Otro agrega diciendo, “y si hubiera sido al
revés, ¿qué tan probable es que falle el
primero y un poco después, el segundo?” El
grupo supervisor encontró que el producto
no podía pasar este primer control. Rolando,
un poco amargado, se preguntó “¿qué tan
probable es que no hubiera ocurrido ninguna
falla? Calcula tú, las probabilidades pedidas.
2. La fiesta de baile de antifaces organizado por
la refinada Penélope Lambar, está
realizándose en uno de los salones de un
lujoso hotel. Ella porta un antifaz dorado y,
para el resto de los invitados, ha designado
antifaces rojos y negros: Nueve de los rojos
los usan damas, de las veintitrés invitadas y
los trece rojos restantes, los llevan algunos de
los veinticinco caballeros invitados. En medio
de la fiesta donde están ya todos los
invitados, un caballero invita a hacer un
brindis en honor a la bella Penélope.
Secundando la iniciativa, una dama improvisa
magistralmente algunas arias de óperas
famosas. Y finalmente, Edgar, único en
romper el protocolo, se retira su antifaz por
un momento y recita un poema. La velada
continúa con música, grata conversación y
baile. Una persona invitada, presa de un
estado de decepción, es la primera en
retirarse lanzando a la salida del hotel suelo
su máscara roja. Sin a considerar a la bella
Penélope ¿cuál es la probabilidad de que:
a. El caballero del brindis porte antifaz negro?
b. La dama que improvisa arias tenga
antifaz rojo?
c. El color del antifaz de Edgard sea rojo
o negro?
d. La persona que se ha retirado, presa de un
estado de decepción, sea hombre?
3. Benito tiene un problema que la ha quitado
el sueño por muchos días. No sabe si
importar o no esa máquina para la
construcción que algunas empresas le han
pedido. Según sus averiguaciones, la
máquina es muy buena, pero falla en algunas
ocasiones, exactamente en 45 de 100, y sus
repuestos son carísimos. Benito ha estimado
que ganará $ 320 000 por cada máquina en
buen estado que venda y perderá $ 250 000
por cada máquina que deba reparar. Ayuda a
Benito a decidir que hacer, respondiendo las
siguientes preguntas:
a. ¿Se podría asociar a esta situación una
función de probabilidad? De ser así,
¿cuál sería?
b. ¿Cuál es el monto de la ganancia que
debiera esperar obtener Benito, en
promedio, por máquina?
c. Si Benito quisiera que su promedio de
ganancia fuera de $ 100 000 por cada
máquina y pudiera mejorar el porcentaje
de maquinas que no fallan trayéndolas
desde otro país, ¿cuántas máquinas de un
total de 100 debería esperar que fallaran?
Aproxima tu respuesta al entero.
4. José Manuel le ha pedido a su hermana
mayor que le ayude a decidir, con
argumentos irrefutables, si le conviene el
negocio que su amigo le ha propuesto. El – le
dijo José Manuel a su hermana – me ha dicho
que lancemos dos dados y que sumemos los
puntos obtenidos. Por cada suma entre 2 y 5,
incluidos, el me dará $ 100, por cada suma
entre 6 y 9, ambos incluidos, me dará $ 300 y
por cada suma entre 10 y 12, ambos
incluidos, yo le debo dar $ 400. Si el me
propone lanzar muchas veces los dados, ¿me
conviene? Su hermana no pudo contener su
sonrisa, niños de 10 años haciendo negocios,
pensó. Sin embargo ayudó a José Manuel
haciendo algunos cálculos. Te pedimos ahora
que tú también los hagas y des la información
que obtuvo la hermana de José Manuel.
a. ¿Cuál es el valor que debiera esperar para la
ganancia por cada uno de los
lanzamientos?
b. ¿Cuál es el rango en el que se encuentra la
ganancia por cada lanzamiento, si se
hacen muchos lanzamientos?
5. Un laboratorio ha lanzado un nuevo
medicamento para el tratamiento contra las
jaquecas. En su último informe se ha
informado que según lo estimado, solo 4 de
cada 100 pacientes que toman el
medicamento no sienten ningún efecto
positivo. En la universidad donde trabaja
Viviana se ha querido corroborar la
efectividad de este medicamento. Para esto
han escogido una muestra de 35 personas
que sufren de jaquecas y le han pedido a
Viviana que, antes de comenzar este estudio,
calcule la probabilidad de que:
a. Exactamente a 30 de las personas el
medicamento les haga algún efecto
positivo.
b. En al menos 10 personas, el medicamento
surja efecto.
c. Solo en 4 personas de la muestra el
medicamento no surja el efecto esperado.
6. En la granja educativa en la que trabaja
Tobías, se ha hecho una reunión para evaluar
el nuevo alimento que les están dando a los
animales acuáticos. El veterinario encargado
ha comenzado la reunión diciendo que, como
lo sostiene el fabricante, 35 de cada 50
animales tolera de buena forma el alimento.
Al finalizar la reunión, a Tobías se le ha
encomendado calcular algunas
probabilidades para compararlas con la
realidad de los animales de la granja. Las
probabilidades que Tobías tuvo que calcular
fueron las siguientes, te invitamos a que
ahora las calcules tú.
a. ¿Cuál es la probabilidad que 45 de los 60
animales acuáticos de la granja toleren
bien el nuevo alimento?
b. ¿Cuál es la probabilidad que solo 10 de los
animales no tolere el nuevo alimento?
IV. Marca la alternativa correcta:
1. De un total de 100 entrevistados el 20% de
ellos dice preferir las bebidas a los jugos
naturales. De aquellos que prefieren los
jugos, el 10% prefiere el de frutilla, el 20%
de melón y el resto de naranja. Si se escoge
un encuestado al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que prefiera el jugo de
frutilla si se sabe que prefiere los jugos?
a. 8%
b. 10%
c. 20%
d. 40%
e. 60%
2. La tabla adjunta muestra los resultados del
control de calidad de dos artículos, A y B, en
una fábrica. Los artículos se clasifican en alta
calidad y calidad media. ¿Cuál es la
probabilidad de que al escoger un artículo al
azar, éste sea de alta calidad, sabiendo que
era del tipo B?
a. 46%
b. 48%
c. 52%
d. 54%
e. 100%
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. En una reunión de ex alumnos de un colegio
se han juntado 100 personas entre hombres
y mujeres. De ellas 70 son hombres, el 50%
de las mujeres no está casada y el 30% de los
hombres está casado. Según estos datos,
determina la probabilidad de que, al escoger
una persona del grupo al azar:
a. No esté casada si se sabe que es hombre.
b. Esté casada si se sabe que es mujer.
c. Sea mujer si se sabe que no está casada.
d. Sea hombre si se sabe que está casada.
2. Se lanza una moneda cuatro veces al aire y se
anota el resultado obtenido en cada
lanzamiento. Determina la probabilidad de que:
a. Salgan 2 caras si se sabe que en el primer
lanzamiento salió sello.
b. Salgan dos caras si en el primer
lanzamiento salió una cara.
c. Salgan por lo menos 2 caras si se sabe que
en el primer lanzamiento salió una cara.
d. Salga como máximo un sello si se sabe que
en las dos primeras tiradas salieron caras.
3. Un programa computacional genera números
formar claves de bancos. La probabilidad que
en esos números generados aparezca al
menos una vez un determinado número está
dada en la siguiente tabla:
Aparezca el número P ( x )
0 0,04
1 0,09
2 0,18
3 0,06
4 0,08
5 0,12
6 0,09
7 0,11
8 0,13
9 0,10
En base a esto, determina:
a. El gráfico de la función de probabilidad
dada.
b. La función de distribución asociada a esta
función de probabilidad.
c. El gráfico de la función de distribución.
d. La probabilidad de obtener en las claves
números al menos un número menor
que 5.
e. La esperanza matemática.
4. En una estación de servicios que vende
bencina para automóviles se ha hecho un
estudio sobre la probabilidad de que un auto
que llegue a cargar combustible llene su
estanque. Así, han determinado que dicha
probabilidad es del 35%. En base a esto
determina la probabilidad de que:
a. De un total de 98 autos que se esperan
para esta mañana, exactamente 20 llenes
sus estanques.
b. De un total de 140 autos que se esperan
para este día, por lo menos 20 llenen sus
estanques.
III. Resuelve los siguientes problemas:
1. “Se ha detectado un tráfico ilegal de animales
exóticos por tres pasos fronterizos cercanos
entre sí. Tenemos evidencia que es una sola
banda y por esto, tenemos que organizarnos
para intervenir y detener, en primera
instancia, a los traficantes”- explica el
prefecto, mientras abre la reunión ante el
comisario y los brigadistas competentes del
caso. Mi asistente les explicará la situación
mediante el siguiente mapa. Por Quebrada
roja, ingresan casi el 55% de estos animales
y el resto, por Quebrada amarilla. Ambas van
a desembocar a Punta Destino. De los
animales que aquí llegan, 35% los sacan por
Cuesta Tenebrosa; 30% por el Camino del
Norte y 10% por el Camino del Centro, el
resto por el Camino del Sur. Se les dará el
mapa geográfico y se reunirán con sus jefes.
Buena Suerte. Una de las brigadistas se
levanta, pide la palabra y consulta. “Señor, en
la ciudad ya hemos detectado a uno de estos
animales exóticos que ha sido ingresado por
alguna de las rutas descritas. Quisiera que
usted me respondiera, ¿qué tan probable es
que:
a. Sabiendo que ingresó por la “Quebrada
amarilla”, haya seguido por “Camino del
Norte”?
b. Haya ingresado a la Región mediante
“Cuesta Tenebrosa”; dado que primeramente
atravesó por “Quebrada roja“?
Contesta tú estas preguntas.
2. Mira Jacinta, no puede ser lo que está
diciendo este alcalde. El plantea que de las
300 personas que recibirán el beneficio de las
entradas al teatro todas tienen igual
probabilidad de conseguir una. Ahora calcula tú conmigo, de estas 300 personas el 60%
son adultos mayores. Del resto solo el 30%
son dueñas de casa que pueden ir a buscar
las entradas a cualquier hora. Ahora bien, el
40% de los adultos mayores pueden ir a
buscar su entrada a toda hora, el resto debe
esperar que alguien, que también trabaja, los
acompañe. Si es así, me puedes responder,
¿cuál es la probabilidad de que si escoges a
una persona al azar de este grupo
a. este la haya conseguido a cualquier hora
del día, si se sabe que es un adulto mayor?
b. este no sea un adulto mayor, si se sabe
que la consiguió en una hora que es
después del trabajo?
Responde las preguntas y decide si el alcalde
tenía razón o no.
3. Don Belisario ha estado estudiando el tema
de las probabilidades después de haber
hablado con su nieto acerca de ellas. Como el
tiene más tiempo porque recién ha jubilado y
siempre le ha gustado la matemática, decidió
que una buena manera de ocupar su tiempo
sería estudiar probabilidades. El ha
encontrado las siguientes tablas que
muestran las ganancias de dos empresas del
mismo rubro al transar un producto y
perdidas pérdidas producidas si este falla y el
producto es devuelto. En las tablas se
muestran estas pérdidas y ganancias
asociadas a la probabilidad que estas ocurran.
Empresa A Empresa B
Ingreso P ( x )
250 000 0,65
 − 100 000 0,35
Ingreso P ( x )
120 000 0,78
− 56 000 0,22
A partir de estos datos, a Don Belisario le
gustaría comparar ambas empresas en
cuanto a las ganancias que recibirán a largo
plazo. Mientras él sigue estudiando, tú
responde las siguientes preguntas en relación
a las interrogantes de Don Belisario.
a. ¿Cuál es el valor esperado para los
ingresos de la empresa A?
b. ¿Cuál es el valor esperado para los
ingresos de la empresa B?
c. ¿Cuál es la desviación estándar para los
ingresos de empresa A?
d. ¿Cuál es la desviación estándar para los
ingresos de la empresa B?
e. ¿Cómo se pueden comparar ambas
empresas a partir de los datos obtenidos
anteriormente? ¿Cuál empresa será mejor
a largo plazo?
4. Fabiola, acabo de cometer una infracción de
tránsito y me han pasado un parte. No me di
cuenta y en el trayecto de La Serena a Los
Vilos excedí la velocidad permitida. Este auto
nuevo y la carretera tan recta, en buen estado
y con pocos automóviles hicieron una
combinación perfecta. Cierto, amiga – dijo
Fabiola – mi hermana que es carabinero me
ha contado que hay un alta probabilidad que
en ese lugar los automovilistas no respeten la
velocidad permitida, de hecho, dice ella que
es alrededor de un 45%. Nada que hacer, lo
peor es que tendré que viajar de nuevo a
pagar el parte y a buscar mis documentos…
Mientras la amiga de Fabiola usa el transporte
público estos días, tu puedes calcular las
siguientes probabilidades (escribe tu
respuesta en porcentaje, aproximando a la
centésima cuando sea posible):
a. ¿Cuál es la probabilidad de que de 30 autos
que transitan por esa vía, exactamente 16
excedan la velocidad permitida?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que de 40
autos que usan ese camino, como máximo
3 no excedan la velocidad permitida?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que de 15
autos que pasen por el camino, entre 7 y
12 vayan a la velocidad permitida?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que de 22
autos que transitan por ese camino, por lo
menos 5 respeten la velocidad?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que de 40
autos que pasan por esa ruta, todos ellos
respeten la velocidad permitida?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que de 50
autos que pasan por ese camino, todos
cometan una infracción?
IV. Marca la alternativa correcta:
1. Marco va a un club de video a arrendar una
película, pero esta vez lo quiere hacer al azar.
En la tienda hay 70 películas de acción, 50 de
romance, 80 de terror y 60 infantiles. De las
películas de acción, el 20% de ellas ya las ha
visto; de las de romance ha visto sólo el 10%;
de las de terror ha visto el 35% y de las
infantiles sólo ha visto el 5%. ¿Cuál (es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?