PROBABILIDAD Y CONVERSIONES ENTRE UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS , Experimentos deterministas y experimentos aleatorios,Espacio muestral , Sucesos ,Concepto de probabilidad ,Frecuencia absoluta y frecuencia relativa ,Definición de probabilidad, Cálculo de probabilidades ,Asignación de probabilidades,Técnicas de recuento.,Magnitudes y su medida ,Sistema Internacional de unidades, Longitud, masa, capacidad, superficie y volumen , Unidades
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Prerrequisitos
Recuerda
• Dos fracciones son equivalentes si cumplen:
a · d = b · c.
• La frecuencia absoluta de un valor de la variable
estadística es el número de veces que se repite
dicho valor.
La frecuencia relativa de un valor de la variable estadística
es el resultado de dividir la frecuencia absoluta
de dicho valor por el número total de datos.
Las frecuencias relativas pueden expresarse en forma
fraccionaria, en forma decimal o en porcentaje.
• El metro es una unidad de longitud. Tiene varios
múltiplos y submúltiplos.
El gramo y el litro, respectivamente, son unidades
de masa y de capacidad. También se utilizan
sus múltiplos y sus submúltiplos.
Evaluación diagnóstica
• Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes.
a) y b) y
• Al lanzar un dado se obtienen los siguientes
valores: 5, 3, 2, 2, 1, 4, 6, 3, 1, 5, 6, 4, 1, 1,
3, 2, 3, 2, 5 y 6.
a) Dispón los datos en una tabla de distribución
de frecuencias.
b) ¿Qué porcentaje de resultados corresponde
al valor 2?
• Las siguientes frecuencias relativas se presentan
en forma de porcentaje. Exprésalas en forma
fraccionaria y en forma decimal.
a) 23,4 b) 76,6
• Indica qué situación es más probable.
a) Acertar el número que sale al tirar un dado.
b) Acertar en el bingo.
• Describe tres situaciones en tu entorno que muy
probablemente sucederán y otras tres que muy
probablemente no sucederán.
• Busca en el diccionario los significados de estas
palabras: experimento, aleatorio, determinista,
suceso.
• Escribe las unidades de masa y de capacidad
que conozcas ordenadas de mayor a menor.
— ¿Cómo pasamos de una unidad a otra?
— Pasa 145 g a centigramos y a decagramos.
a
b
c
d
y
13
65
3
15
3
51
7
119
Destrezas con criterios de desempeño
Identificarás experimentos deterministas y experimentos aleatorios, y calcularás la probabilidad de que ocurra un determinado
suceso. También realizarás reducciones y conversiones de unidades del S.I.

DDCCDD
• Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones.
• Reconocer situaciones susceptibles de ser tratadas
mediante la teoría de la probabilidad.
• Utilizar las unidades de medida más adecuadas a
cada situación.
• Comparar y ordenar diversas medidas expresadas
en distintas unidades.
• Conocer las posibilidades que ofrece el uso de la
calculadora y el computador.
• Reconocer e interpretar el lenguaje relacionado con
la probabilidad que se presenta en la vida
cotidiana.
1 Conceptos iniciales
1.1. Experimentos deterministas
y experimentos aleatorios
Si observamos algunos de los experimentos o fenómenos que ocurren a nuestro
alrededor, comprobaremos que para unos de ellos podemos predecir o determinar
el resultado. En cambio, para otros resulta prácticamente imposible predecir
o determinar su resultado.
Fíjate en los siguientes experimentos y comprueba si es posible o no predecir
el resultado.
Los experimentos deterministas son aquéllos en los que es posible
predecir el resultado antes de que se realicen.
Los experimentos aleatorios son aquéllos en los que no es posible
predecir el resultado antes de que se realicen.

Lanzar un dado y observar la
puntuación de la cara superior.
Averiguar el tiempo que tarda
un automóvil en recorrer
una distancia si conocemos
su velocidad constante.
Adivinar el número que saldrá
premiado en el próximo
sorteo de la lotería de Navidad.
Extraer una manzana al coger
una fruta de una cesta
que sólo contiene naranjas.
Indica cuáles de los experimentos siguientes son aleatorios y cuá les no.
a) Extraer una carta de una baraja y observar de qué palo es.
b) Calentar una olla con agua y observar a qué temperatura hierve el agua.
c) Extraer una bola de una bolsa opaca que contiene bolas azules y observar su color.
d) Extraer una bola de una bolsa opaca que contiene bolas rojas, azules y violetas, y mirar su color.
e) Lanzar una moneda trucada que siempre sale cara al lanzarla.
2 Escribe tres experimentos aleatorios y otros tres deterministas, diferentes de los expuestos en esta página.
1
Actividades 
http://nosolo.eu http://www.loteria.com.ec
En los experimentos segundo y cuarto podemos determinar su resultado antes
de realizarlos, mientras que en el primero y en el tercero no los podemos predecir.
Tenemos así experimentos deterministas y experimentos aleatorios.
1.2. Espacio muestral
Para estudiar un experimento aleatorio debemos conocer, en primer lugar, todos
los posibles resultados que pueden darse.
Suceso elemental es cada uno de los resultados posibles que pueden obtenerse
en un experimento aleatorio.
El espacio muestral, representado por la letra Ω, es el conjunto de todos
los resultados posibles de un experimento aleatorio.

ejemplo 1
Experimento Sucesos elementales Espacio muestral
Lanzar un dado.
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Elegir un color para
jugar este divertido
juego de mesa.
{rojo}, {verde}, {amarillo}, {azul}
Ω = {rojo, verde, amarillo, azul}
Tirar una moneda.
{cara}, {cruz}
Ω = {cara, cruz}
1
2
3
4
6
7
8
26
27
28
30
31
32
33
42
41
40
38
37
36
35
67
66
65
64
62
61
60
43 44 45 47 48 49 50
59 58 57 55 54 53 52
18 19 20 21 23 24 25
16 15 14 13 11 10 9
Indica el espacio muestral y los sucesos elementales de cada uno de los siguientes experimentos.
a) Lanzar un dado.
b) Tirar una moneda.
c) Elegir un color para jugar al parchís.
La letra griega omega, Ω, representa
el espacio muestral de un
experimento.
Notación
Generalmente, al hablar de un
dado, nos referimos al dado de
seis caras con forma de cubo.
Sin embargo, también existen dados
con otras formas: tetraedro,
octaedro, dodecaedro…
 FÍJATE
Escribe el espacio muestral del experimento tirar un
dado con forma de tetraedro y anotar la puntuación
que se obtiene.
Determina el espacio muestral del experimento sacar
una bola de una bolsa opaca que contiene cinco
bolas numeradas del 1 al 5.
Determina para cada uno de los siguientes espacios
muestrales un posible experimento aleatorio
realizado.
a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}
b) Ω = {rojo, amarillo, azul}
c) Ω = {cc, cx, xc, xx}, c = salir cara, x = salir cruz
5
3 4
Actividades 
172
1.3. Sucesos
A menudo, lo que nos interesa de un experimento aleatorio es estudiar aspectos
particulares de dicho experimento.
Decimos que se verifica o que ocurre un suceso cuando al realizar un experimento
el resultado es uno de los que caracterizan este suceso.
De entre todos los sucesos que podemos definir al realizar un experimento aleatorio,
hay algunos que tienen características especiales. A continuación, describiremos
los más importantes: suceso seguro, suceso imposible, suceso contrario,
sucesos compatibles y sucesos incompatibles.
Suceso seguro y suceso imposible
Puede ocurrir que sea cual sea el resultado de un experimento, este suceso
ocurra con absoluta certeza o bien que no ocurra.
Se llama suceso a cada uno de los aspectos que pueden estudiarse de un
experimento aleatorio. Se corresponde con una parte del espacio muestral
Ω.

Suceso seguro es el suceso que ocurre siempre que se realiza el experimento
aleatorio. Coincide con el espacio muestral Ω.
Suceso imposible es el suceso que no ocurre jamás al realizar el experimento
aleatorio. Se representa por el símbolo ∅.

ejemplo 2
Señala distintos sucesos en el experimento lanzar un dado y observar el resultado.
Algunas situaciones que pueden estudiarse son:
A: Obtener un número impar.
B: Obtener un número mayor que 2.
C: Obtener un 4.
Los resultados que caracterizan cada uno de los sucesos son:
A: Obtener un número impar, A = {1, 3, 5}
B: Obtener un número mayor que 2, B = {3, 4, 5, 6}
C: Obtener un 4, C = {4}.
ejemplo 3
Señala un suceso seguro y un suceso imposible en el experimento
lanzar un dado y observar el resultado.
Consideremos el suceso A: Obtener un número menor o
igual a 6, y escribimos el conjunto de los resultados favorables
a este suceso.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
Observamos que este suceso contiene todos los resultados
posibles del experimento y, por tanto, coincide con el
espacio muestral. Es un suceso seguro.
Si consideramos ahora el suceso B: Obtener un 7, este
suceso no tiene ningún resultado favorable. Es un suceso
imposible. Escribiremos:
B = ∅
Un suceso A es seguro si A = Ω.
Un suceso A es imposible
si A = ∅.
 FÍJATE
El símbolo ∅ se lee «conjunto vacío
» y es el conjunto que no tiene
ningún elemento.
Notación
Suceso contrario
En el experimento lanzar un dado consideramos los sucesos A: Obtener un
número par y B: Obtener un número impar, y escribimos el conjunto de los resultados
favorables a cada uno de los sucesos.
A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5}
Observa que el suceso B está formado por todos los resultados del experimento
que no están en A y, por lo tanto, estos sucesos no se verifican simultáneamente.
Sea cual sea el resultado del experimento lanzar un dado, el suceso B se verificará
si no se verifica el suceso A.
Sucesos compatibles y sucesos incompatibles
Si tenemos un experimento aleatorio con varios sucesos definidos, puede
ocurrir que, al obtener un resultado, se verifiquen simultáneamente más de uno
de los sucesos considerados.
Los sucesos compatibles tienen algún resultado en común y los incompatibles
ninguno.
El suceso contrario a un suceso A es aquel que se verifica siempre y cuando
no se verifica A, y se representa mediante A.

Dos sucesos son compatibles si pueden verificarse a la vez. En caso contrario,
son incompatibles.

ejemplo 4
Señala en el ejemplo 2 los sucesos compatibles e incompatibles, y el suceso contrario
de B.
Los sucesos A y B tienen resultados favorables comunes, 3 y 5, por lo que son sucesos
compatibles. Los sucesos B y C también son compatibles porque tienen en común
el resultado 4.
Los sucesos A y C no tienen ningún resultado en común, por lo que son incompatibles.
El suceso contrario de B es el formado por los resultados que no están en B, es
decir, B = {1, 2}.
Realizamos el experimento tirar un dado con forma de dodecaedro y observar la puntuación de la cara superior.
Describe los resultados que forman los siguientes sucesos.
A: Obtener un número par. C: Obtener un número impar mayor que 5.
B: Obtener un número impar. D: Obtener un 15.
— Al realizar una prueba del experimento se obtiene un 9. Indica cuáles de los sucesos anteriores ocurren.
— ¿Algunos de los sucesos anteriores son compatibles? ¿Y contrarios? ¿Es algún suceso imposible?
6
Actividades 
El suceso contrario de A es
A = Ω −A.
 FÍJATE
• Dos sucesos A y B son compatibles
si A  B ≠ ∅.
• Dos sucesos A y B son incompatibles
si A  B = ∅.
 FÍJATE
174
2 Concepto de probabilidad
2.1. Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
En un experimento aleatorio no podemos conocer de antemano cuáles serán los
resultados, pero es interesante saber si éstos presentan algún tipo de regularidad.
Para ello, podemos repetir el experimento un elevado número de veces y analizar
los resultados obtenidos.
Por otra parte, si lo que queremos es comparar el comportamiento de un suceso
cuando varía el número de realizaciones, no basta con conocer la frecuencia
absoluta.
En este caso calculamos el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y
el número total de realizaciones. El valor obtenido es la frecuencia relativa del suceso.
Elige los nombres de ocho compañeros y compañeras de clase. Anota el número
de veces que aparece cada vocal en los nombres y calcula la frecuencia absoluta
y la frecuencia relativa de cada una de las vocales.
Compara tus resultados con los de los demás y analízalos.
7
Actividades 
Se llama frecuencia absoluta del suceso al número de veces que
ocurre un suceso al realizar un expe rimento aleatorio un número determinado
de veces.

Se llama frecuencia relativa del suceso al cociente entre la frecuencia absoluta
de un suceso y el número de realizaciones.

ejemplo 5
Al lanzar un dado obtenemos los siguientes resultados: 1, 5, 4, 4, 6, 2, 3, 1, 3, 6, 2, 1,
4, 2, 6, 2, 3, 3, 5, 1, 3, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 4, 2, 4. Calcula la frecuencia absoluta y la frecuencia
relativa de cada uno de los sucesos.
Construimos una tabla estadística.
Suceso Recuento
Frecuencia
relativa
1 0,167
2 0,233
3 0,200
5 0,100
6 0,100
4 0,200
7
6
Frecuencia
absoluta
5
3
3
6
La frecuencia relativa de un suceso
está comprendida entre
0 y 1.
La suma de las frecuencias relativas
de todos los sucesos elementales
es 1.
MUCHO OJO 
Considera el experimento lanzar una moneda y anota en una tabla el comportamiento
de las frecuencias relativas de los sucesos C: Obtener cara y X: Obtener
cruz para las 25, 50, 75, 100 y 125 realizaciones del experimento. ¿Qué
probabilidad asignarías a los sucesos C y X?
8
Actividades 
2.2. Definición de probabilidad
Consideremos el experimento lanzar un dado y vamos a anotar en una tabla el
comportamiento de sus frecuencias relativas para los sucesos A: Obtener un 1
y B: Obtener un 5, al aumentar el número de realizaciones del experimento.
Observamos que las frecuencias relativas de cada suceso tienden a estabilizarse
en torno a un determinado valor a medida que aumenta el número de
realizaciones del experimento.
Esto se hace más evidente si representamos en un sistema de coordenadas
los valores de las frecuencias relativas de cada uno de los sucesos en función
del número de realizaciones del experimento.
En general, el comportamiento de las frecuencias relativas que acabamos de observar
en este experimento es común a todos los experimentos aleatorios.
Este hecho se conoce como ley de los grandes números y nos permite
enunciar:
La probabilidad se considera como una medida de la posibilidad de que
ocurra un suceso.
Suceso
A = {1} 0,173 0,162 0,163
100 200 300 400 500 600
Realizaciones del experimento: lanzar un dado
0,200 0,180 0,160
B = {5} 0,100 0,135 0,163 0,178 0,166 0,168
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
100 200 300 400 500 600
Frecuencia relativa
Realizaciones del experimento
fB
fA
Al repetir un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso A
tiende a estabilizarse en torno a un determinado valor que llamamos probabilidad,
P(A), a medida que aumenta el número de realizaciones.
 Al aumentar el número de realizaciones
de un suceso A, su frecuencia
relativa, fA, tiende a ser
su probabilidad.
fA P (A)
 FÍJATE
¿A qué matemático se debe la ley
de los grandes números? Puedes
encontrar información en la página
http://www.educa.aragob.es/
cursofpg/msolana/Biografias.
htm
@
La probabilidad de un suceso A
se representa P(A).
Notación
176
Puesto que la frecuencia relativa de un suceso A tiende a ser su probabilidad,
ésta se medirá asignándole un número comprendido entre 0 y 1, al que representaremos
por P (A).
Cuanto mayor es la probabilidad, mayor es la posibilidad de que ocurra el suceso
al realizar el experimento.
Así, P (A) = 0 significa que al realizar el experimento aleatorio el suceso A no
sucederá nunca; mientras que P (A) = 1 significa que el suceso A se verificará
siempre.
Los valores intermedios de P (A) se corresponden con diversos grados de certeza:
muy improbable, improbable…
A P (A)
0 P (A) 1
ejemplo Indica qué es más probable al lanzar un dado: sacar más de 3 o menos de 3.
Los resultados que forman el suceso A: Sacar más de 3 son A = {4, 5, 6}, y los que
forman el suceso B: Sacar menos de 3 son B = {1, 2}.
El suceso A tiene más resultados que el suceso B; por tanto, el suceso A es más
probable que el B.
• La probabilidad de un suceso
imposible es 0.
• La probabilidad de un suceso
seguro es 1.
• La probabilidad del suceso contrario
es igual a 1 menos la probabilidad
del suceso.
• La probabilidad de un suceso
es igual a la suma de las probabilidades
de los sucesos elementales
favorables.
• La suma de la probabilidad de
un suceso y la probabilidad del
suceso contrario es igual a 1.
 FÍJATE
Repite hasta cien veces el experimento lanzar una moneda,
copia la tabla en tu cuaderno y anota el número
de veces que obtienes los sucesos cara y cruz.
— Razona, a partir del experimento realizado, si es
igual de probable obtener cara o cruz al lanzar una
moneda.
Ordena de menos probable a más probable los siguientes
sucesos, correspondientes a distintos experimentos
aleatorios.
A: Acertar un número de una cifra.
B: Acertar una lotería de la localidad.
C: Obtener simultáneamente cara y cruz al lanzar
una moneda.
D: Extraer una bola numerada de un bombo que
contiene bolas numeradas.
E: Obtener cara al lanzar una moneda.
9 10
Actividades 
Suceso
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
cara
cruz
3 Cálculo de probabilidades
3.1. Asignación de probabilidades
No siempre es posible realizar un gran número de veces un experimento para
determinar la probabilidad de un determinado suceso.
En el experimento lanzar un dado es lógico pensar que tan fácil es obtener un
1 como resultado que obtener un 6. Así pues, los sucesos elementales {1}, {2},
{3}, {4}, {5} y {6} del experimento lanzar un dado presentan la misma probabilidad.
Esta situación se llama situación de equiprobabilidad.
En una situación de equiprobabilidad es posible calcular la probabilidad de cualquier
suceso A con la llamada regla de Laplace:
Veamos un ejemplo de aplicación de la regla de Laplace.
P(A)
A
=
Númeroderesultadosfavorablesde
Númeroderesultadosposibles
Material concreto: Construye este dado y
observa el desarrollo de un juego con dados
en la figura de la derecha.
— Efectúa cien lanzamientos con uno de ellos
y anota el número de veces que sale cada
signo. Calcula la frecuencia relativa de los
sucesos 1, X y 2. ¿Son equiprobables?
— Asigna la probabilidad de obtener 1, X o
2 al tirar el dado sin necesidad de realizar
el experimento.
— Compara la frecuencia relativa de los sucesos con la probabilidad obtenida.
11
Actividades 
Cuando en un experimento aleatorio puede suponerse que los diferentes
sucesos elementales tienen la misma probabilidad, diremos que estamos
en una situación de equiprobabilidad.

ejemplo 7
Lanzamos un dado y observamos el resultado. Halla la probabilidad de los siguientes
sucesos: A: Sacar un 1, B: Sacar más de 4 y C: Sacar un número par.
Podemos suponer que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad,
por lo que estamos en una situación de equiprobabilidad.
Así pues, podemos aplicar la regla de Laplace. Para ello, determinamos los resultados
que forman los sucesos A, B y C: A = {1}, B = {5, 6} y C = {2, 4, 6}.
Puesto que el número de resultados es 6, tenemos que:
P( A) = P(B) = = P(C) = =
1
6
2
6
1
3
3
6
1
2
En el experimento lanzar un dado
las probabilidades de los sucesos
elementales son:

Observa que la suma de la probabilidad
de todos y cada uno de los
sucesos elementales del experimento
aleatorio es igual a 1.
P( 6 )
1
6
=
P( 2 )
1
6
=
P(1)
1
6
=
 FÍJATE
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para asegurarte un 14 en la lotería?
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http://aula.elmundo.es
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@
178
3.2. Técnicas de recuento
En muchas ocasiones, para conocer el número de resultados posibles en un
experimento aleatorio y el número de resultados favorables a un suceso, utilizamos
las técnicas de recuento.
Dos técnicas muy utilizadas son los diagramas en árbol y las tablas de contingencia.
• Los diagramas en árbol consisten en un recuento gráfico de las distintas
posibilidades que presenta un experimento aleatorio compuesto de dos o más
experimentos simples.
• Las tablas de contingencia son tablas de doble entrada entre variables estadísticas.
Se utilizan cuando se dispone de datos agrupados a los que puede
accederse por dos vías.
ejemplo 8
En el cajón de un armario tenemos tres camisetas de distinto color (roja, blanca y azul) y dos pantalones, unos son negros,
los otros grises. Si cogemos al azar una camiseta y un pantalón, ¿qué probabilidad tenemos de llevar puesta la
camiseta roja y el pantalón gris? Efectúa el recuento de resultados posibles a partir de un diagrama en árbol.
En primer lugar, representamos la camiseta roja por C1, la camiseta
blanca por C2 y la camiseta azul por C3. Y los pantalones negros por P1
y los pantalones grises por P2.
Dibujamos el diagrama en árbol (figura de la derecha).
Designamos el suceso Llevar puesta camiseta roja y pantalón gris como
suceso A.
Observamos que el suceso A corresponde al resultado C1 – P2. Es decir,
hay 1 resultado favorable. Y el número de resultados posibles es 6.
Si aplicamos la regla de Laplace, tenemos que la probabilidad del suceso
Llevar puesta camiseta roja y pantalón gris es P( A) = = .
1
6
0,167
Camisetas Pantalones Resultados
C1
C2
C3
P1
P2
C1 – P1
C1 – P2
C2 – P1
C2 – P2
C3 – P1
C3 – P2
P1
P2
P1
P2
ejemplo 9
La tabla 1 es una tabla de contingencia de una encuesta a 1 000 personas sobre si practican
o no deporte. Las filas corresponden al sexo de los encuestados (H y M) y las
columnas corresponden a si practican o no deporte (D y ). ¿Qué probabilidad hay
de ser hombre y practicar deporte?
Si observamos la tabla, tenemos que el número de resultados totales es 1 000 y que
el número de hombres que practican deporte es 300.
Si escogiéramos una de las personas encuestadas al azar, la probabilidad de ser hombre
y practicar deporte sería P( H y D ) = = .
300
1000
0,30
D
Una rifa consiste en acertar un número de dos cifras
formado por los dígitos 1, 2 y 3. ¿Qué probabilidad
tenemos de que salga el número 33 si pueden
repetirse las cifras? ¿Y si no pudieran repetirse?
Confecciona una tabla de contingencia de los compañeros
y compañeras de clase en la que en las filas
aparece el sexo y en las columnas si es diestro
o zurdo. ¿Qué probabilidad hay de que al elegir al azar
un alumno sea una chica zurda?
12 13
Actividades 
H 300
D
150
M 275 275
D
■ Tabla 1.
Las tablas estadísticas permiten
llevar a cabo el recuento de resultados
a partir de la frecuencia
absoluta del suceso.
MUCHO OJO 
Simulaciones aleatorias con la computadora
En este apartado veremos cómo utilizar una hoja de cálculo para simular el experimento aleatorio lanzar
un dado.
Encendemos la computadora y abrimos el programa. Aparece una hoja de cálculo vacía.
En ella vamos a escribir los comandos necesarios
para que aparezcan los cálculos
que observamos en la figura: