PRISMA Y PARALELEPIPEDO EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Así como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros. También en la geometría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo en las construcciones de las casas , edificios , etc. , es muy común ver las columnas de forma prismática o cilíndrica. También las paredes, los tanques de ciertas cisternas u otros objetos que son de nuestra utilidad. Con el presente capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas .
PRISMA
Un prisma es un poliedro en el cual , dos de sus caras son regiones poligonales congruentes y paralelos denominados bases y el resto de caras son regiones paralelogramicas denominadas caras laterales. Las aristas comunes entre las caras laterales y la bases se denominan aristas básicas y las aristas comunes entre las caras laterales se denominan aristas laterales, estas son paralelas y de igual longitud.

Notación :
Prisma pentagonal ABCDE – FGHIJ ; un prisma es nombrado según él número de lados que tenga su base, así tenemos por ejemplo , si la base tiene seis lados , se denomina prisma hexagonal.
SECCIóN TRANSVERSAL
Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a su base.
SECCIóN RECTA
Es la sección determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante a todas sus aristas laterales.

SUPERFICIE PRISMÁTICA
¿Cómo se genera una superficie prismática?
Dada una línea poligonal plana no secante a sí misma y una recta secante al plano que contiene a la línea poligonal en algún punto de dicha poligonal, la superficie prismática se genera mediante el deslazamiento de la recta por la poligonal, manteniéndose paralela a su posición inicial.
A la poligonal se le denomina directriz y a la recta que genera la superficie, generatriz.
Superficie prismática abierta

Superficie prismática cerrada

PRISMA
Es aquel poliedro determinado por una superficie prismática cerrada y dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices.
El prisma tiene dos caras paralelas y congruentes a las cuales se les denomina bases y las otras caras son regiones paralelográmicas y éstas son denominadas caras laterales.
Toda arista contenida en alguna base del prisma es denominada arista básica y el lado común a dos caras laterales se denomina arista lateral, todas las aristas laterales son paralelas y de igual longitud.
Los prismas se nombran según el número de lados que tiene la base, por ejemplo: si tiene siete lados, se le denomina prisma heptagonal.
Sección transversal
Es la sección plana determinada en el prisma por un plano paralelo a su base.
Sección recta
Es la sección plana determinada en el prisma por un plano perpendicular y secante a todas sus aristas laterales.

Notación: Prisma hexagonal
ABCDEF – A’B’C’D’E’F’
• Área de la superficie lateral (ASL)

2PSR: Perímetro de la sección recta

• Área de la superficie total (AST)

Abase: área de la base

• Volumen (V)

h: longitud de la altura.

ASR: área de la sección recta.
aL: longitud de la arista lateral

Clasificación
• Prisma oblicuo
Es aquel prisma cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

En al gráfico, se tiene el prisma cuadrangular oblicuo ABCD – A’B’C’D’.
Se cumple:

• Prisma recto
Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

1. En unprisma recto ABCDE – FGIHJ,
, la suma de las longitudes de todas las aristas es 120cm. Calcular el área de la superficie lateral del prisma.

Rpta.:

2. En un prisma cuadrangular regular ABCD – EFGH, O es centro de la base ABCD.
Si DG2 – EO2 = 4m, calcular el área de su base.

Rpta.:

3. Calcular el área total de un rectoedro en el cual el área de su base es 60m2, de una cara lateral es 20m2 y de la sección diagonal es 52m2.

Rpta.:

4. Calcular la diagonal del prisma recto en el cual su altura mide 6m, la base es un rectángulo cuyo largo es el duplo de su ancho. Además, el área total del prisma es 144.

Rpta.:

5. En un prisma regular ABC – A’B’C’, M y N son puntos medios de .
La medida del ángulo formado por es 37º y MN = 10cm. Calcular el volumen del prisma.

Rpta.:

6. En la figura, ABCD – EFGH es un prisma recto de base cuadrada. Los planos P y ABGH son perpendiculares y se intersectan en . Los vértices D y E distan del plano P 9cm y 16cm respectivamente. Calcular el volumen del prisma.

Rpta.:

7. En la figura, un prisma regular pentagonal, cuya cara APEQ es rociada con un insecticida, por lo que una hormiga parte de A hacia E.
Calcular la menor trayectoria ABCDE, siendo

Rpta.:

8. En el prisma cuadrangular regular de altura y lado de la base de longitud, siendo BN = NF, calcular .

Rpta.:

9. En una batea de 10 pies de largo y sección trapecial isósceles de altura 2 pies, base inferior 2 pies y base superior 3 pies, se vierte agua a una razón constante, cuando el volumen del agua es de pies3, ¿a qué altura de la base se encuentra el agua?

Rpta.:

10. Calcular el volumen del prisma recto ABC – DEF tal que los volúmenes de los prismas rectos APQ – DST y QRB – TUE son V1 y V2; además

Rpta.:

1. En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es igual a 8m2. Si la longitud de una diagonal del sólido es 8m, calcule el área de la superficie lateral.
A) B)
C) D)
E)

2. En un prisma triangular regular ABC – DEF, la longitud de la arista lateral es iguasl a 18m. Si la región EAF determina con la base un diedro que mide 60º, calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma.

A) 16m2 B) 196m2 C) 206m2
D) 216m2 E) 226m2

3. Calcular el área total de un rectoedro cuya diagonal es de 26m de longitud y las dimensiones de sus bases: 6m y 8m.
A) 760m2 B) 764m2 C) 766m2
D) 768m2 E) 770m2

4. Calcular el volumen del prisma recto ABC – DEF, siendo , DE = 6m, BM = MC y EBCF es un cuadrado.

5. De la figura: ABCD – EFGH es un prisma regular, siendo: PD=4(AP)=4(DS)=4(RC)=4(BQ).
Calcule la razón de volúmenes del prisma ABCD – EFGH y el prisma PQRS – TUVW.

6. El volumen de un prisma cuadrangular regular es de 128cm3. Su altura es el doble del lado de la base. Calcular el área de la superficie total del prisma.
A) 120m2 B) 160m2 C) 180m2
D) 210m2 E) 215m2

7. Calcular el volumen de un prisma regular tal que su base es un pentágono cuyo apotema mide 8m y conociendo además que el área de una cara lateral es 32m2.
A) 610m3 B) 620m3 C) 640m3
D) 650m3 E) 680m3

8. Se tiene un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero. Si la diagonal de una de sus caras mide 4m y el ángulo que hace ésta con la base es 60º, calcular su volumen.
A) 4m3 B) 6m3 C) 7m3
D) 8m3 E) 123

9. Calcular el volumen del sólido mostrado siendo ABCD y HIJK cuadrados y CDGF un rectángulo, además: AB = 8, HK = 4 y CF = 10.

A) 480 B) 640 C) 540
D) 720 E) 800

10. Calcular el volumen de un prisma recto de base triangular si en uno de sus vértices se puede ubicar un triedro trirrectángulo donde el producto de las aristas que parten de dicho vértice es k.
A) B) C) k
D) E)

PARELELEPÍPEDO
Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

Paralelepípedo rectangular, rectoedro
u ortoedro
Es aquel perelelepípedo cuyas caras son regiones rectangulares.

a, b y c: Dimensiones del
paralelepípedo rectangular

• Tiene cuatro diagonales, las cuales son concurrentes y de igual longitud.

• Área de la superficie total (AST)

• Volumen (V)

Tronco de prisma
Es una porción de prisma comprendida entre una de sus bases y un plano no paralelo a las bases secante a todas sus caras laterales.
Tronco de prisma triangular oblicuo
Es aquel determinado en un prisma triangular.

En el gráfico se tiene el tronco de prisma:
ABC – A’B’C’.

• Volumen (V)

Analizar los casos en los que:
• BB’ = 0
• BB’ = 0 y CC’ = 0

1. Calcular el volumen de un prisma oblicuo de 25m de arista lateral y la proyección de dicha arista sobre el plano que contiene a la base es de 15m de longitud, sabiendo que la base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5m de radio.

Rpta.:

2. La base de un prisma oblicuo es una región triangularcuyos lados miden 5, 7 y 8m de manera que su altura es igual al triple del inradio de su base. Calcular el volumen del prisma.

Rpta.:

3. Calcular el volumen de un prisma triangular oblicuo tal que el área de una cara lateral es 60m2 y la distancia de la arista opuesta a dicha cara es 8m.

Rpta.:

4. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular oblicuo si su área lateral es de 100m2 y el radio de la circunferencia insrita en su sección recta es 6m.

Rpta.:

5. Sea ABCD – A’B’C’D’ un prisma oblicuo de volumen V; P es un plano que determina una sección transversal recta de área S dividiendo al prisma en dos sólidos cuya suma de todas sus aristas en cada sólido son dle mismo valor. Calcular la suma de las aristas laterales de uno de los sólidos.

Rpta.:

6. Calcular el área total de un paralelepípedo rectangular si las medidas de sus aristas están en progresión aritmética de razón 2 y su diagonal mide

Rpta.:

7. Calcular la suma de las longitudes de todas las aristas de un parelelepípedo rectangular, siendo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de tres caras congruentes 116m y la suma de las áreas de dichas caras es 26m2.

Rpta.:

8. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular si su diagonal mide 20m y forma un ángulo que mide 45º con la base y un ángulo que mide 30º con una cara lateral.

Rpta.:

9. El área de la proyección de un tetraedro O-ABC sobre un plano exterior es 40m2 de manera que la proyección de sobre dicho plano es F y OA = 8. calcular el volumen de dicho tetraedro.

Rpta.:

10. En un cubo ABCD-A1B1C1D1 cuya arista es de longitud a, un plano intersecta a las aristas, en los puntos P, Q, R y M respectivamente de modo que: AP = PA y
CR = 2RC1. Calcular el volumen del tronco PQRM-A1B1C1D1.

Rpta.:

1. De la figura, calcular el volumen del prisma recto regular siendo A’P = 16 cm y PC = 9 cm.

2. Un prisma tiene por base un rectángulo cuyas dimensiones son 4, 5m, sus aristas laterales de 3m de longitud están inclinadas a 30º sobre el plano de la base y se proyectan siguiendo la dirección de los menores lados del rectángulo de la base. Calcular el volumen del prisma.
A) 48m3 B) 56m3 C) 60m3
D) 64m3 E) 72m3

3. El producto de las longitudes de todas las aristas básicas de un prisma triangular oblicuo es de 16m6 y la altura del sólido es el triple del radio d ela circunferencia circunscrita a la base. Calcular el volumen de dicho prisma.
A) 2m3 B) 2,5m3 C) 3m3
D) 3,5m3 E) 4m3

4. Calcular el volumen de un prisma oblicuo si su sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m de radio y el área lateral del sólido es de 36m2.
A) 42m3 B) 48m3 C) 50m3
D) 52m3 E) 54m3

5. La sección recta de un prisma oblicuo es un trapecio rectángulo cuyas bases miden 3cm y 6 cm y su altura mide 4cm. Calcular el área lateral del prisma si su arista mide 8cm.
A) 62cm2 B) 86cm2 C) 96cm2
D) 132cm2 E) 144cm2

6. Calcular el área total de un paralelepípedo rectangular si sus tres dimensiones están en progresión aritmética de razón 4 y que su diagonal mide
A) 454m2 B) 458m2 C) 460m2
D) 468m2 E) 480m2

7. El volumen de un paralelepípedo es 4u3. calcular el volumen de otro paralelepípedo semejante al primero,cuyas aristas homólogas sean 4 veces las del primero.
A) 156u3 B) 256u3 C) 144u3
D) 356u3 E) 220u3

8. Un paralelepípedo rectangular tiene por dimnesiones 9m, 8m y 3m. Calcular las dimensiones de un paralelepípedo semejante cuyo volumen es a3m3.
A) B)
C) D)
E)

9. En un tronco de paralelepípedo oblicuo se sabe que tres aristas laterales consecutivas miden 6u, 7u y 9u. Calcular la medida de la cuarta arista lateral.
A) 4u B) 5u C) 8u D) 10u E) 12u

10. La base de un tronco de prisma recto es un rectángulo de lados 8m y 10m y la otra base es un paralelogramo. ¿Cuál es el volumen del tronco si tres de sus aristas laterales contiguas miden 5m, 8m y 9m?
A) 480m3 B) 540m3 C) 560m3
D) 610m3 E) 640m3