POTENCIAS Y RAICES , NUMEROS APROXIMADOS 3 ESO – TERCERO DE SECUNDARIA EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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Nuestro sistema de numeración llegó a la civilización
occidental por medio de los árabes (siglo ix), quienes,
a su vez, lo aprendieron de los indios entre los siglos
vii y viii. Por eso, lo que hoy llamamos “numeración
arábiga” debería llamarse “hindú” o “indoarábiga”.
Los antiguos indios fueron muy aficionados a los números
enormes. En su gran poema Mahabarata (siglo
vi a.C., aproximadamente), se cuenta que Buda
tuvo 6 · 1011 hijos y se habla de 24 · 1015 divinidades.
Y una leyenda popular describe una batalla en la
que intervinieron 1040 monos.
Arquímedes, gran matemático, ingeniero e inventor
griego (siglo iii a.C.), con el fin de demostrar
que el número de granos de arena “no era infinito”,
se propuso escribir un número mayor que el número
de granos de arena que cabrían en el universo. Y
para ello escribió todo un libro, El Arenario, en el
que tuvo que inventar una nueva forma de escribir
números extraordinariamente grandes.

aproximados
DEBERÁS RECORDAR
■ Operaciones con potencias de base 10.
■ Aproximación de números decimales: truncamiento
y redondeo.
Potencias y
raíces. Números
1 a m · a n = a m + n
2 (a · b )n = a n · b n
3 (a m )n = a m · n
4 a m
a n = a m – n
5 (ab
)n
= a n
b n
Potencias de exponente positivo
Las potencias de exponente entero positivo (1, 2, 3, …) son fáciles de interpretar:
a1 = a a n = 1a ·4 a 2· …4 ·3 a
n veces
Por ejemplo: 81 = 8, (– 6)4 = (– 6) · (– 6) · (– 6) · (– 6), (27
)3
= 27
· 27
· 27
Propiedades
Por ejemplo: a 3 · a 4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a 3 + 4
Por ejemplo: (a · b)3 = (a · b) · (a · b) · (a · b) =
= (a · a · a) · (b · b · b) = a 3 · b 3
Por ejemplo: (a 2)3 = a2 · a2 · a2 =
= (a · a) · (a · a) · (a · a) = a 2 · 3
Por ejemplo: a 6
a 4 = a · a · a · a · a · a
a · a · a · a
= a 6 – 4
1
= a 6 – 4
Por ejemplo: (ab
)3
= ab
· ab
· ab
= a · a · a
b · b · b
= a 3
b 3
Reducir a una sola potencia.
a) 52 · 56 · 53 b) (23)4
c) 58
56
d) 145
75
e) 27 · 57
Ejercicio resuelto
a) 52 · 56 · 53 = 52 + 6 + 3 = 511 (Propiedad 1 )
b) (23)4 = 23 · 4 = 212 (Propiedad 3 )
c) 58
56 = 58 – 6 = 52 (Propiedad 4 )
d) 145
75 = (14
7 )5
= 25 (Propiedad 5 )
e) 27 · 57 = (2 · 5)7 = 107 (Propiedad 2 )
1 Completa estos productos con los
34 · 3 = 3h b) 25 · 22 = 2h
c) 45 · 43 = 4h d) 5h · 52 = 56
e) 73 · 7h = 75 f ) 43 · 4h = 46
2 Completa las siguientes divisiones
con los exponentes que faltan:
a) a5 : a3 = ah b) x9 : x6 = xh
c) n4 : n2 = nh d) 29 : 2h = 24
e) 3h : 34 = 32 f ) 57 : 5h = 52
3 Completa estas potencias con los
exponentes que faltan:
a) (a2)3 = ah b) (b2)2 = bh
c) (c3)3 = ch d) (23)h = 26
e) (43)h = 412 f ) (54)h = 58
Entrénate
1 Calcula las siguientes divisiones como en el ejemplo:
153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27
a) 164 : 84 b) 124 : 44 c) 323 : 83
d) 752
252 e) 213
73 f ) 354
74
2 Reduce a una sola potencia.
a) 43 · 44 · 4 b) (56)3 c) 76
74
d) 153
33 e) 210 · 510 f ) 125
35 · 45
Actividades
Potenciación
exponentes que faltan:
a) 3
4
7
1
Potencias de exponente cero o negativo
La propiedad 4 solo era válida para m > n.
Veamos qué ocurriría si fuera m = n o m < n: a 3 a 3 = a 3 – 3 = a 0. Pero a 3 a 3 = 1. Por tanto, tendría que ser a 0 = 1. a 3 a 5 = a 3 – 5 = a –2. Pero a 3 a 5 = a · a · a a · a · a · a · a = 1 a 2 8 a –2 = 1 a 2 Estas igualdades nos sugieren la siguiente definición: Si a es un número racional distinto de cero y n es entero positivo: a 0 = 1 a –n = 1 a n Por ejemplo: 6 –2 = 1 6 2 1 6 –2 = 62 (23 )–5 = (32 )5 2 3–4 = 2 · 34 Las propiedades que teníamos para las potencias de exponente positivo también son válidas para potencias de exponentes enteros cualesquiera. 1 Escribe en forma de fracción: a) 3–2 b) 2–3 c) 5–1 2 Expresa como un entero: a) 1 3–2 b) 1 2–3 c) 1 5–1 3 Calcula. a) a–3 · a5 b) a2 · a–6 c) x3 x4 d) 1 x2 · x3 4 Calcula. a) 43 · 4–2 b) 32 · 3–3 c) 42 · 2–2 d) 53 · 5–4 e) 64 · 6–4 f ) 35 · 3–2 Entrénate 3 Simplifica y completa los siguientes productos: a) (ab )3 · b4 b 3 b) (ab )3 · (ba )3 c) (ab )–3 · a4 b 3 d) (ab )3 · (ab )–3 4 Expresa como potencia de base 10 esta operación y, después, halla su resultado: 0,00001 : 10 000 000 5 Expresa como fracción simplificada. a) 34 35 b) 5–1 c) a –6 d) 4 –1 5 –2 e) (3 2)–2 f ) 5 · 3–1 · x –2 6 Escribe como una potencia de base a y exponente un número entero: a) 1 a –3 b) a6 a 8 c) a2 · a–6 d) 1 a 2 · a 3 e) a a 3 f ) a–4 a 7 Calcula: a) 2–3 b) 1 3–2 c) (15 )–1 8 Reduce a un único número racional. a) (15 )2 b) (15 )–2 c) (–1 5 )–2 d) (34 )0 e) (15 · 12 )–6 f ) (12 )6 · (15 )6 Actividades 2 Raíces exactas Observa: 32 = 9, (–3)2 = 9 Por tanto, 9 tiene dos raíces cuadradas: 3 y –3. Pero, ¡atención!, cuando ponemos √9 nos estamos refiriendo a la raíz positiva, es decir, √9 = 3. Análogamente, 16 tiene dos raíces cuartas: 2 y –2. Pero 4√16 = 2. Dos raíces cuadradas ■ Raíces cuadradas Como sabes, √25 = 5, porque 52 = 25. Análogamente, √25 4 = 52 , porque (52 )2 = 52 22 = 25 4 . ■ Raíces cúbicas Las raíces cúbicas se comportan de forma similar a las raíces cuadradas: 3√8 = 2, porque 23 = 8 √3 8 1 000 = 2 10 , porque ( 2 10)3 = 23 103 = 8 1 000 ■ Otras raíces Del mismo modo, interpretamos raíces de índice superior a 3: Puesto que 25 = 32, 5√32 = 2. 4√10 000 = 10, porque 104 = 10 000 En general: si a = b n, entonces n√a = b. 1 Calcula las siguientes raíces: a) 3√8 b) 5√32 c) 3√27 d) 4√16 e) 4√81 f ) 3√125 g) 3√1 000 h) 5√100 000 2 Calcula las siguientes raíces: a) 4√625 b) 5√243 c) 3√343 d) 6√1 000 000 e) 6√64 f ) 7√128 g) 4√28 561 h) 3√10 648 Actividades Calcular las siguientes raíces: a) √49 16 b) √4 356 c)√ 3 1 000 64 d)√ 5 1 243 Ejercicio resuelto a) (74 )2 = 72 42 = 49 16 . Por tanto, √49 16 = 74. b) Puesto que piden √4 356 , supondremos que 4 356 es un cuadrado perfecto. Para comprobarlo, lo descomponemos en factores primos: 4 356 = 22 · 32 · 112. Es decir, 4 356 = (2 · 3 · 11)2 = 662. Por tanto, √4 356 = 66. c) 1 000 = 103, 64 = 43. Por tanto, √3 1 000 64 = 10 4 . d) 243 = 35. Por tanto, √5 1 243 = 13 . Los números decimales son especialmente útiles para expresar cantidades aproximadas. Por qué usar números aproximados Con mucha más frecuencia de la que somos conscientes, usamos números aproximados. Lo hacemos, en general, por uno de estos motivos: — o bien porque no es conveniente o no es necesario dar una cantidad exacta que sí conocemos, — o bien porque, simplemente, no tenemos forma de medirla (o no la conocemos) con exactitud. Por ejemplo: • Al comunicar (o comentar) que a alguien le han tocado 3 527 834,56 € en la primitiva, diremos “tres millones y medio” o, acaso, “3 millones 528 mil euros” (no es necesario decir la cantidad exacta). • Al medir la longitud de una mesa con una cinta métrica, nos aproximaremos hasta los centímetros o, como mucho, a los milímetros (con una cinta métrica no somos capaces de medir con más exactitud). Cifras significativas La altura a la que vuela un avión se puede expresar de diversas formas (nos fijamos en el número de cifras que usamos en cada caso): 9 km 8 solo una cifra 9,2 km 8 dos cifras 9 200 m 8 cuatro cifras (¿o, tal vez, solo dos?) 9 246 m 8 cuatro cifras Está claro que cuantas más cifras se utilizan con más precisión se está dando la medida. Pero, a veces, no es conveniente dar demasiadas: ¿es razonable que la altura de un avión se dé afinando hasta los metros? Fijémonos ahora en la medición 9 200 m. ¿Han querido ser exactos hasta los “metros” o solo hasta los “cientos de metros”? Muy probablemente sea esto último y, en este caso, los dos ceros finales no son cifras significativas. Se llaman cifras significativas aquellas con las que se expresa un número aproximado. Solo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste. Los ceros del final de un número no son cifras significativas si solo se han utilizado para poder expresar la cantidad en la unidad deseada (9 200 m en lugar de 92 cientos de metros). Las estimaciones que hacemos en la vida corriente, sin ánimo de que sean muy precisas, tienen una o, a lo sumo, dos cifras significativas: “estas casas cuestan cuatrocientos veinte mil euros” Una cantidad dada con tres cifras afina mucho. Solo en la ciencia se necesitan precisiones de cuatro o más cifras. Número de cifras significativas Recuerda que para aproximar un número a un determinado orden de unidades: • Se suprimen todas las cifras de la derecha de dicho orden. • Si la primera cifra suprimida es igual o mayor que cinco, se suma 1 a la cifra anterior. Recuerda Aproximaciones y errores 3 Control del error cometido Es claro que cuando damos una medida aproximada estamos cometiendo un error, que consiste en la diferencia, en valor absoluto, entre el valor exacto (o real) y el valor aproximado. Se llama error absoluto. Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado| En general, el error absoluto es desconocido (porque no conocemos el valor real), pero puede controlarse. Por ejemplo, al dar la altura del avión, 9,2 km, podemos saber que el error cometido es menor que 0,05 km = 50 m, ya que si se da 9,2 es porque está más cerca de esta medida que de 9,1 y que de 9,3. No es lo mismo cometer un error de 50 m al medir la altura de un avión, que al medir la altura de un edificio o la altura de un satélite. Por eso se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y la medida exacta. Error relativo = Error absoluto Valor real Cuantas más cifras significativas se utilicen para dar la medida aproximada, menor es el error relativo cometido. Por ejemplo, si comparamos el error relativo de las mediciones 87 m, 5 km y 453 km, podemos asegurar que el menor error relativo se da en 453 km, ya que en ella se utilizan tres cifras significativas. 1 ¿Qué podemos decir del error absoluto y del error relativo de estas mediciones? a) Volumen de una bañera, 326 litros. b) Volumen de una piscina, 326 m3. 2 Compara el error relativo cometido al hacer las siguientes pesadas: a) Una ballena, 37 toneladas. b) Un pavo, 3 kg. 3 Aproxima al orden de la unidad indicada: a) 2,3148 a las centésimas. b) 43,18 a las unidades. c) 0,00372 a las milésimas. d) 13 847 a las centenas. e) 4 723 a los millares. f ) 37,9532 a las décimas. 4 Expresa con dos cifras significativas estas cantidades: a) Presupuesto de un club: 1 843 120 €. b) Votos de un partido político: 478 235. c) Precio de una empresa: 15 578 147 €. d) Tamaño de un ácaro: 1,083 mm. 5 ¿En cuál de las aproximaciones dadas se comete menos error absoluto? a) 14 3 ≈ 4,6 4,7 b) √6 ≈ 2,44 2,45 6 Calcula el error absoluto cometido en cada caso: cantidad real cantidad aproximada precio de un coche 12 387 € 12 400 € tiempo de una carrera 81,4 min 80 min distancia entre dos pueblos 13,278 km 13,3 km Actividades 9,1 9,15 9,2 9,25 9,3 Los números siguientes están puestos en notación científica: 3,56 · 1013 (= 315 64040 400204 00404 0300) 13 cifras 9,207 · 10–16 (= 0,0104004004020040040040309207) 16 cifras La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy pequeños. Un número puesto en notación científica consta de: • Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades). • El resto de las cifras significativas, si las hay, puestas como parte decimal. • Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. PARTE ENTERA (SOLO UNA CIFRA) PARTE DECIMAL N = a , b c d … · 10n POTENCIA ENTERA DE BASE 10 Si n es positivo, el número N es “grande”. Y si n es negativo, entonces N es “pequeño”. 1 Expresa como potencias enteras de base 10. a)100 000 b)10 c)10 000 000 2 Expresa como potencias enteras de base 10. a)0,001 b)0,1 c)0,000001 3 Escribe con todas sus cifras. a) 2,3 · 105 b)6,8 · 10–4 c) 1,94 · 107 d)2,26 · 10–8 Entrénate 1 Escribeestos números con todas sus cifras: a) 4 · 107 b) 5 · 10– 4 c) 9,73 · 108 d) 8,5 · 10–6 e) 3,8 · 1010 f ) 1,5 · 10–5 2 Opera y expresa el resultado como una potencia de base 10: a) 1 000 · 100 000 b) 1 000 · 0,01 c) 1 000 : 0,01 d) 1 000 : 0,000001 e) 1 000 · 0,000001 f ) 0,0001 · 0,01 g) 0,0001 : 0,01 3 Escribe estos números en notación científica: a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000 d) 0,0000173 4 Escribe estos números en notación científica: a) 27 800 000 b) 950 000 000 000 c) 0,00057 d) 0,00000000136 5 Expresa en notación científica. a) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km. b) Caudal de una catarata: 1 200 000 l/s. c) Velocidad de la luz: 300 000 000 m/s. d) Emisión de CO2: 54 900 000 000 kg. Actividades 4 Notación científica a) (3,214 · 10–5) · (7,2 · 1015) b) 3,214 · 10–5 7,2 · 1015 c) 3,2 · 108 + 7,3 · 10–14 – – 4,552 · 108 Ejercicios resueltos a) 3,214 P 5 ±* 7,2 P 15 = {∫∫“…«‘¢≠°À’’} b) 3,214 P 5 ±/ 7,2 P 15 = {∫¢…¢\«°°°£À—”’} c) 3,2 P 8 + 7,3 P 14 ±- 4,552 P 8 = {∫∫∫∫–‘…«∞“À} Si los números que queremos sumar son muy diferentes en orden de magnitud, el resultado que muestra la calculadora es de orden igual al mayor de ellos. Por ejemplo: 7,32 P 4 + 5,35 P 17 = {∫∫∫∫∫∞…«∞À’Í} Calculadora para notación científica Las teclas para poner el exponente en una notación científica son, dependiendo del modelo de calculadora, P o @. ■ Interpretación Cuando la calculadora obtiene un resultado con más cifras de las que caben en su pantalla, recurre a la notación científica. Por ejemplo: 123 000 000 * 45 000 = {∫∫∫∞…∞«∞À’”} 0,000123 / 50 000 = {∫∫∫“…¢\À—ÒÔ} ■ Escritura Para poner 5,74 · 109, hacemos: 5,74 P 9 [o bien 5,74 @ 9] Para poner 2,95 · 10–13, hacemos: 2,95 P 13 ± [o bien 2,95 @g 13] ■ Operaciones Las operaciones se encadenan como si fueran números cualesquiera. La propia calculadora, al presionar la tecla =, da el resultado en forma científica. prefijos para órdenes de unidades tera 1012 giga 109 mega 106 kilo 103 hecto 102 deca 10 deci 10–1 centi 10–2 mili 10–3 micro 10–6 nano 10–9 6 Calcula: a) (3,25 · 107) · (9,35 · 10–15) b) (5,73 · 104) + (–3,2 · 105) 7 Efectúa con la calculadora: a) (2,5 · 107) · (8 · 103) b) (5 · 10–3) : (8 · 105) c) (7,4 · 1013) · (5 · 10– 6) 8 Efectúa con la calculadora: a) (2 · 105) · (3 · 1012) b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5) c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017) e) (9 · 10–7) : (3 · 107) f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5) Actividades ■ Opera y calcula Potencias y raíces 1 Calcula las potencias siguientes: a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3 d) –32 e) – 4 –1 f ) (–1)–2 g) (12 )–3 h) (– 12 )–2 i) (43 )0 2 Calcula. a) 3–2 b) 2–3 c) 5–1 d) 1 3–2 e) 1 2–3 f) 1 5–1 3 Calcula. a) 43 · 4–2 b) 32 · 3–3 c) 42 · 2–2 d) 53 · 5–4 e) 64 · 6–4 f) 35 · 3–2 4 Opera. a) a–3 · a5 b) a2 · a–6 c) a–1 · a5 d) x3 x4 e) 1 x2 · x3 f) 1 x–2 5 Opera y simplifica los siguientes productos: a) (ab )3 · b4 a3 b) (ab )3 · (ba )3 c) (ab )–3 · a4 b3 d) (ab )3 · (ab )–3 6 Expresa como potencia única. a) 34 3–3 b) 2 –5 23 c) (2–3 2–2 )–1 7 Calcula. a) 4√16 b) √16 25 c) 3√18 d) 5√–1 8 Calcula las siguientes raíces: a) 6√64 b) 3√216 c) √14 400 d)√ 6 1 64 e) √3 64 216 f ) √3 3 375 1 000 9 Justifica si son ciertas o no las siguientes frases: a) Como (–5)2 = 25, entonces √25 = –5. b) –5 es una raíz cuadrada de 25. c) 81 tiene dos raíces cuadradas: 3 y –3. d) 27 tiene dos raíces cúbicas: 3 y –3. Notación científica 10 Di cuál debe ser el valor de n para que se verifique la igualdad en cada caso: a) 3 570 000 = 3,57 · 10n b) 0,000083 = 8,3 · 10n c) 157,4 · 103 = 1,574 · 10n d) 93,8 · 10–5 = 9,38 · 10n e) 14 700 · 105 = 1,47 · 10n f ) 0,003 · 108 = 3 · 10n 11 Efectúa estas operaciones con la calculadora: a) 3,6 · 1012 – 4 · 1011 b) 5 · 109 + 8,1 · 1010 c) 8 · 10–8 – 5 · 10–9 d) 5,32 · 10– 4 + 8 · 10– 6 ■ Aplica lo aprendido 12 Si la edad del Sol es 5 · 109 años, y la de la Tierra, 4 600 millones de años, ¿cuál de los dos es más viejo? Calcula la diferencia entre la edad del Sol y la de la Tierra y exprésala en notación científica y en millones de años. Consolida lo aprendido utilizando tus competencias Ejercicios y problemas 13 Si una persona respira unas 15 veces por minuto, ¿cuántas veces habrá respirado esa persona si vive hasta los 80 años? 14 El número estimado de estrellas de nuestra galaxia es de 1,1 · 1011, y el número estimado de galaxias en el universo es de 1,2 · 1012. Si suponemos que, en todas las galaxias, el número de estrellas es aproximadamente el mismo, ¿cuál será el número de estrellas en el universo? 15 En un gramo de arena hay alrededor de 250 granos. ¿Cuántos granos habrá en un contenedor en el que hay una tonelada de arena? 16 El volumen de una gota de agua es 1/4 de mililitro, aproximadamente. ¿Cuántas gotas habrá en un depósito que contiene 1 m3 de agua? 17 El diámetro de un virus es 5 · 10– 4 mm. ¿Cuántos de esos virus son necesarios para rodear la Tierra? (Radio medio de la Tierra: 6 370 km). 18 El presupuesto en educación de una comunidad autónoma ha pasado de 8,4 · 106 € a 1,3 · 107 € en tres años. ¿Cuál ha sido la variación porcentual? 19 En España se consumen, aproximadamente, 7,2 millones de toneladas de papel al año. ¿Cuál es el consumo anual per cápita? (Población de España: 45 millones). 20 Los veterinarios estiman que el 5% de la población mundial tiene un perro. Según esta estimación, ¿cuántos perros hay en el mundo? (Población mundial: 6,8 · 109 habitantes). 21 La velocidad de la luz es 3 · 108 m/s. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. a) ¿Qué distancia recorre la luz del Sol en un año? b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia del Sol a Plutón: 5,914 · 106 km). c) La estrella Alfa-Centauro está a 4,3 años luz de la Tierra. Expresa en kilómetros esa distancia. 22 En un reloj que mide el crecimiento de la población mundial, observo que aumentó en 518 personas en 30 minutos. Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, ¿cuándo llegaremos a 7 mil millones? (Población mundial: 6,8 · 109). 1 Calcula: a) 50 b) 3–2 c) (–2)3 c) (–5)–1 2 Simplifica: a) (3–2 · 3 4)3 b) 53 : 5–2 3 Calcula aplicando la definición: a) 3√–8 b) 4√81 c) 5√1/32 4 Expresa en notación científica: a) 234 000 000 b) 0,000075 5 Escribe con todas las cifras: a) 5,2 · 106 b) 8 · 10–5 6 Efectúa con la calculadora: a) (3,5 · 107) · (8 · 10–13) b) (9,6 · 108) : (3,2 · 1010) c) (2,7 · 108) + (3,3 · 107) 7 La población mundial está estimada en 6,8 · 109, y el número de internautas es, aproximadamente, de 1 600 millones de personas. ¿Qué porcentaje de la población mundial utiliza internet? Autoevaluación 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL PIENSA Y CALCULA Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla de cuadrados y cubos perfectos: CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 597,81 : 4,5 C = 132,84; R = 0,03 APLICA LA TEORÍA 1. Escribe en forma de potencia: a) 5 · 5 · 5 · 5 b) –5 · (–5) · (–5) a) 54 b) (– 5)3 2. Calcula mentalmente: a) 23 b) (–2)3 c) (–2)4 d) 07 e) (–7)1 f ) (–9)0 a) 8 b) –8 c) 16 d) 0 e) –7 e) 1 3. Calcula: a) 34 b) (–3)4 c) 35 d) (–3)5 a) 81 b) 81 c) 243 d) – 243 4. Calcula: a) 132 b) 0,252 c) 173 d) 2,53 a) 169 b) 0,0625 c) 4 913 d) 15,625 5. Usando la calculadora, halla las siguientes potencias: a) 210 b) 3,7518 c) 264 d) π10 a) 1024 b) 2,15 · 1010 c) 1,84 · 1019 d) 93 648,05 6. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 25 · 24 b) 59 : 53 c) (24)3 d) 32 · 33 · 34 a) 29 b) 56 c) 212 d) 39 7. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x2 · x3 b) x5 : x2 c) (x3)4 d) x2 · x3 · x4 a) x 5 b) x 3 c) x 12 d) x 9 8. Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 3a2b(2ab2 – 5a2b3) b) 2x3y2z (3xy2z 2 + 4x2yz3 – 6x3z 4) a) 6a3b3 – 15a4b4 b) 6x 4y 4z 3 + 8x 5y 3z 4 – 12x 6y 2z 5 9. Saca factor común todos los factores que puedas: a) 6a3b2 – 8a4b5 b) 18x2y5z 2 + 12x2y3z 3 – 6x3y3z 4 a) 2a3b2(3 – 4ab3) b) 6x 2y 3z 2(3y 2 + 2z – xz 2) 10. Se tiene un depósito de gasoil para la calefacción con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litro de gasoil de calefacción cuesta a 0,65 €, calcula lo que cuesta llenar el depósito. Coste: 2,253 · 1000 · 0,65 = 7 403,91 € 2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO PIENSA Y CALCULA Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias y calcula el resultado: a) 27 : 24 b) 25 : 24 c) 25 : 25 d) 24 : 27 a) 23 = 8 b) 21 = 2 c) 20 = 1 d) 2 – 3 = 1/8 CARNÉ CALCULISTA Calcula: · – : = – APLICA LA TEORÍA 11. Calcula mentalmente en forma de fracción el resultado de las siguientes potencias: a) 2–1 b) (–2)–2 c) 2–3 d) (–2)–3 e) 1–9 f) (–5)–1 g)( )–1 h)( )–1 a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) –1/8 e) 1 f) –1/5 g) 4/3 h) 6 12. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 2–5 · 24 b) 54 : 57 c) (2–4)3 d) 32 · 3–3 · 34 a) 2–1 b) 5– 3 c) 2– 12 d) 33 13. Aplicando la potencia de un producto o de un cociente, escribe como una sola potencia: a) 35 · 55 · 75 b) 76 : 96 c) 6–3 · 7–3 d) 3–4 : 5–4 a) (3 · 5 · 7)5 b) (7 : 9)6 c) (6 · 7)– 3 d) (3 : 5)– 4 14. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los signos = o ≠: a) 43 12 b) (–7)5 –75 c) 732 76 d) (8 – 5)2 9 a) ≠ b) = c) ≠ d) = 3 4 1 6 3 5 7 6 4 3 8 7 7 15 Número 1 2 3 4 5 6 10 Cuadrado perfecto 1 4 9 16 25 36 100 Cubo perfecto 1 8 27 64 125 216 1 000 Número 1 2 3 4 5 6 10 Cuadrado perfecto 1 4 25 Cubo perfecto 1 8 216 5 m A = 25 m2 2. Potencias y raíces 15. Simplificando reduce a una sola potencia: a) b) a) 3 b) 5–4 16. Escribe en notación científica: a) 54 689 000 000 000 000 b) La diezmillonésima parte de 4 unidades. a) 5,4689 · 1016 b) 4 · 10–7 17. Calcula: a) 3,45 · 1012 + 6,3 · 1011 b) 2,35 · 10–23 : (2,5 · 10–18) a) 4,08 · 1012 b) 9,4 · 10–6 18. Nuestro sistema solar se encuentra situado a 27 700 años luz del centro de la galaxia. Expresa en kilómetros y en notación científica esta distancia sabiendo que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año a 300 000 km/s 27 700 · 300 000 · 365 · 24 · 60 · 60 = 2,6206416 · 1017 km 19. El disco duro de un ordenador portátil tiene 400 Gb de capacidad, y un CD-ROM, 650 Mb. ¿Cuántos CD-ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210Mb? N.º de CD: 400 · 210 : 650 = 630 3. RADICALES PIENSA Y CALCULA Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla: CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 784,5 : 5,76 C = 136,19; R = 0,0456 APLICA LA TEORÍA 20. ¿Cuántas raíces reales tienen los siguientes radicales? a) b) c) d) e) f) a) Dos b) Una c) Ninguna d) Una e) Dos f) Una 21. Calcula mentalmente si es posible: a) b) c) d) a) ± 5 b) –5 c) No tiene. d) –3 22. Simplifica los radicales: a) b) c) d) a) 3 √—52 b) 3 √—52 c) 3 √—52 d) 4 √—52 23. Calcula las siguientes raíces factorizando el radicando: a) b) c) a) 180 b) 15 c) 4 24. Extrae todos los factores posibles de: a) b) a) 9a2c 3√— ab b) 4a2c 5 3√—2a2b2 25. Suma y resta los siguientes radicales: a) – + b) 5 –3 + 4 a) 4√—2 b) 13√—2 26. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los signos = o ≠: a) + b) ±8 c) + a) ≠ b) = c) ≠ 27. Un contenedor tiene forma de cubo. Si tiene una capacidad de 8 m3, ¿cuánto mide la arista? Arista: 3√—8 = 2 m 4. PROPIEDADES Y RELACIÓN ENTRE POTENCIAS Y RADICALES PIENSA Y CALCULA Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a) · b) : c) ( )3 d) a) ± 35 b) ± 2 c) ± 8 d) ± 2 CARNÉ CALCULISTA Calcula: ( – )= APLICA LA TEORÍA 28. Aplicando las propiedades de los radicales, expresa como una sola raíz: a) · b) : c) ( )2 d) a) √— 15 b) √—2 c) 3√—52 d) 6√—5 29. Aplica las propiedades de los radicales y calcula: a) · b) : c) · d) a) ± 6 b) ± 2 c) 5 d) ± 2 30. Escribe los siguientes radicales en forma de potencia: a) b) c) d) a) 31/5 b) 5– 1/6 c) 35/7 d) 7– 2/3 5√ 2 1 6 √5 7√ 25 1 3 √72 3√ 25 3√ 5 √3√ — 64 √6 √6 √20 √5 √5 √3 √6 √3 3√ 5 3√√—5 2 5 7 6 3 4 1 6 √25 √49 √36 √9 √4 3 √√—64 3√ 8 + 27 3√ 8 3√ 87 √100 – 36 √36 + 64 √36 √64 √50 √32 √18 √98 √200 √8 √81a5bc6 3 √128a8b2c15 √32 400 3√ 3 375 5√ 1024 6√ 54 9√ 56 12 √58 24 √518 √25 3√ –125 √–49 3√ –27 3√ –8 √1 3√ 1 √36 √0 √–25 Número 2 2 3 4 5 3 9 10 5 10 Cuadrado o cubo perecto 4 8 9 16 25 27 81 100 125 1 000 Número 2 Cuadrado o cubo perfecto 4 8 9 16 25 27 81 100 125 1 000 125 34 · 210 34 154 31. Escribe las siguientes potencias en forma de radical y calcula el resultado: a) 271/3 b) 49–1/2 c) 1283/7 d) 243–2/5 a) 3 √—27 = 3 b) = ± c) = ( )3 = ( )3 = 23 = 8 d) = = = = 32. Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) b) c) d) – + a) 24,15 b) 9,56 c) 2,19 d) 4,64 33. Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) 2,35 · – : 4,83 b) (9,23 – ) · 1,517 a) 575,45 b) 583 669,35 34. Las cuatro paredes de un cuarto de baño son cuadradas y tienen en total 324 azulejos cuadrados. Si cada azulejo mide 25 cm de lado, ¿cuánto mide de longitud cada pared? Cada pared tiene: 324 : 4 = 81 azulejos. Cada lado tiene: √—81 = 9 azulejos. Cada lado mide: 9 · 25 = 225 cm = 2,25 m EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL 35. Escribe en forma de potencia: a) 2 · 2 · 2 · 2 b) –2 · (–2) · (–2) c) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 d) –3 · (–3) a) 24 b) (– 2)3 c) 35 d) (– 3)2 36. Calcula mentalmente: a) 33 b) (–3)3 c) (–3)4 d) 70 e) (–1)7 f) (–1)8 a) 27 b) – 27 c) 81 d) 1 e) –1 f) 1 37. Calcula: a) 192 b) 0,752 c) 233 d) 1,53 a) 361 b) 0,5625 c) 12 167 d) 3,375 38. Expresa el resultado en forma de una sola po tencia utilizando las propiedades de las po tencias: a) 32 · 36 b) 57 : 56 c) (32)5 d) 52 · 5 · 53 a) 38 b) 5 c) 310 d) 56 39. Expresa el resultado en forma de una so la potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) x3 · x4 b) x7 : x4 c) (x3)5 d) x · x2 · x3 a) x 7 b) x 3 c) x 15 d) x 6 40. Multiplica para eliminar el paréntesis: a) 2a3b(3a2b – 6a3b3) b) 3xy2z 3 (4x2y3z + 5x3y – 7x5z) a) 6a5b2 – 12a6b4 b) 12x 3y 5z 4 + 15x 4y 3z 3 – 21x 6y 2z 4 41. Saca factor común todos los factores que puedas: a) 12a4b5 – 18a3b6 b) 6x5y 2 z 3 + 15x2y5 z 3 – 18x2y3z5 a) 6a3b 5(2a – 3b) b) 3x 2y 2z 3(2x 3 + 5y 3 – 6yz 2) 42. Calcula el número de bytes que caben en un disco duro de 50 Gb, sabiendo que: 1 Kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 Kb; 1 Gb = 210 Mb 50 Gb = 50 · 210 · 210 · 210 = = 50 · 230 = 5,37 · 1010 bytes 2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO 43. Calcula mentalmente en forma de fracción el re sultado de las siguientes potencias: a) 3–1 b) (–3)–2 c) 3–3 d) (–3)–3 e) 7 –1 f) (–7)–1 g) ( )–1 h) ( )–1 a) 1/3 b) 1/9 c) 1/27 d) –1/27 e) 1/7 f) –1/7 g) 3/5 h) 2 44. Simplifica: a) b) a) 28 · 3 d) 45. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los signos = o ≠: a) 43 64 b) (–7)5 75 c) 732 79 d) (8 – 5)2 32 a) ≠ b) ≠ c) = d) = 46. Escribe en notación científica: a) 0,000 000 000 253 b) La centésima parte de una milésima. a) 2,53 · 10–11 b) 10–5 47. Calcula: a) 4,56 · 10–11 – 1,6 · 10–10 b) 4,5 · 1020 · 3,5 · 10–12 a) –1,144 · 10–10 b) 1,575 · 109 48. Escribe en notación científica: a) Tres billones de euros. b) 128 458 millones de toneladas. a) 3 · 1012 euros. b) 1,28458 · 1011 toneladas. 32 · 5 22 25 · 37 · 42 2–1 · 34 · 62 2–3 · 54 · 62 2–5 · 53 · 43 5 3 1 2 √34 703 √80 √675 √85 3√ 805 5√ 2 345 7√ 35 3√ 875 √583 1 5 √2432 1 ( 5 √243)2 1 ( 5 √35)2 1 32 1 9 7 √1283 7 √128 7 √27 1 √49 1 7 3. RADICALES 49. Calcula mentalmente si se puede: a) b) c) d) a) ± 7 b) –2 c) No tiene. d) 5 50. Simplifica los radicales: a) b) c) d) a) 3 √—7 b) 5 √—74 c) 5 √—73 d) 5 √—73 51. Extrae todos los factores posibles de: a) b) c) d) a) 6√—3 b) 6 3 √—5 c) 9a4bc3√—3bc d) 5a3b5c 8 3 √—b 2c 52. Suma y resta los radicales: a) 3 – 2 + b) 2 – 3 – 4 a) 8√—2 b) – 17√—2 53. Sustituye en tu cuaderno los recuadros por uno de los signos = o ≠ : a) b) – c) + a) = b) ≠ c) ≠ 54. Un cartón de leche es de forma cúbica y contiene dos litros. Otro cartón de 2 litros tiene forma de prisma cuadrangular y la arista de su base mide 10 cm. Calcula la superficie de ambos. ¿Cuál es menor? Arista del cubo: 3√—2 = 1,26 dm = 12,6 cm Superficie del cubo: 6 · 12,62 = 952,56 cm2 Altura del prisma: 2 000 : 102 = 20 cm Superficie del prisma: 2 · 102 + 4 · 10 · 20 = 1000 cm3 Es menor el área del cubo. 4. PROPIEDADES Y RELACIÓN ENTRE POTENCIAS Y RADICALES 55. Aplicando las propiedades de los radicales, ex presa como una sola raíz: a) · b) : c) ( )3 d) a) √—21 b) √—7 c) 5√—73 d) 10√—3 56. Aplica las propiedades de los radicales y calcula: a) · b) : c) · d) a) ± 9 b) ± 3 c) 4 d) ± 2 57. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales: a) b) c) d) a) 21/3 b) 7– 1/2 c) 32/5 d) 2– 3/5 58. Escribe en forma de radical las siguientes po tencias: a) 31/5 b) 5–1/3 c) 64/5 d) 7–3/5 a) 5√—3 b) a) 5√—64 b) 59. Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) b) c) 5,37 : d) + + a) 26,87 b) 4,45 c) 3 922,90 d) 9,51 60. Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) (7,82– ): 2,5 b) · · c) · · a) 20,61 b) 6,76 c) 2,88 d) 1 778,28 PARA AMPLIAR 61. Calcula el valor de x en cada uno de los si guientes casos: a) 2x = 32 b) 34 = x c) x3 = 125 d) x3 = –8 a) x = 5 b) x = 81 c) x = 5 d) x = –2 62. Calcula: a) 25 + 33 + 52 b) (–2)5 + 32 – 53 c) (–2)6 + 34 – (–5)3 d) 106 – (–10)3 + 102 a) 84 b) –148 c) 270 d) 1001100 63. Calcula: a) ( )3 b) (– )3 c) ( )4 d) (– )4 a) 8/27 b) – 8/27 c) 16/81 d) 16/81 64. Calcula: a) 5–1 b) (–5)–1 c) 223 d) (– )–1 a) 1/5 b) –1/5 c) 256 d) –3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 √1 000 3√ 1 000 4√ 1 000 √2 3√ 3 4√ 4 √87 √896,7 √23 3√ 23 5√ 23 √722 3√ 87,95 1 5 √73 1 3 √5 3√ 2 1 √7 5√ 32 1 5 √23 3√ 4 3√ 16 5 √√—1 024 √27 √3 √45 √5 5√ 7 5√√—3 √3 √7 √14 √2 4√ 16 + 81 4√ 16 4√ 81 √100 – 36 √100 √36 √36 + 64 √100 √200 √18 √98 √32 √50 √72 √243a8b3c7 3√ 125a9b17c25 √108 3√ 1 080 6√ 72 15 √712 20 √712 30 √718 √49 3√ –8 4√ –16 3√ 125 65. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las po tencias: a) 5–3 · 5– 4 b) 3–4 : 3–7 c) (7–3)–5 d) 13–2 · 13–3 · 13–4 a) 5– 7 b) 33 c) 715 d) 13– 9 66. Sustituye en tu cuaderno los recuadros por uno de los signos = o ≠: a) 53 15 b) (–2)5 – 32 c) 235 215 d) (7 – 3)5 45 a) ≠ b) = c) ≠ d) = 67. Calcula mentalmente: a) b) c) d) a) 5 b) –5 c) 0,1 d) – 0,2 68. ¿Entre qué dos números enteros están las si guientes raíces? a) b) c) d) a) Entre 7 y 8 b) Entre 4 y 5 c) Entre 3 y 4 d) Entre 2 y 3 69. Introduce dentro del radical los factores que están fuera: a) 32ab3c b) 23a2b5c2 c) 32ab3c4 d) 23a2bc4 a) √405a3b7c 2 b) 3 √2 560a8b16c 8 c) 4 √65 610a5b15c 18 d) 5 √491 520a14b6c 22 70. Calcula el valor de x en cada uno de los si guientes casos: a) = ±5 b) = x c) = 5 d) = 2 a) x = 25 b) x = ± 7 c) x = 125 d) x = 5 71. Calcula descomponiendo en factores primos: a) b) c) d) a) = 6 b) = 9 c) = d) = 72. Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 43/2 b) 82/3 c) 163/4 d) 324/5 a) √—( 23)2 = ± 8 b) 3 √—( 22)3 = 4 c) 4 √—( 23)4 = ± 8 d) 5 √—( 24)5 = 16 CON CALCULADORA 73. Utilizando la calculadora, halla: a) 310 b) 7,2513 c) (3/2)15 d) π2 e) 3–5 f) (–3)8 a) 59 049 b) 1,53 · 1011 c) 437,89 d) 9,87 e) 4,12 · 10– 3 f) 6 561 74. Realiza las siguientes operaciones con la calculadora y redondea los resultados a dos decimales: a) 5,23 ( – ) : 7,25 b) (7,255 – ) · 1,757 c) ( + ) a) – 0,31 b) 1002 023,47 c) 6,76 75. Calcula: a) 5,74 · 1011 + 6,5 · 1012 b) 2,62 · 10–24 – 7,53 · 10–23 c) 2,3 · 1028 · 4,5 · 10–19 d) 3,85 · 10–15 : (3,5 · 10–29) a) 7,074 · 1012 b) –7,268 · 10–23 c) 1,035 · 1010 d) 1,1 · 1014 PROBLEMAS 76. Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo lado mide 14,75 m. Calcula el precio de venta sabiendo que el metro cuadrado vale 23 € Precio: 14,752 · 23 = 5 003,94 € 77. Calcula el número de bytes que caben en un dis - co duro de 200 Gb, sabiendo que 1 kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 kb; 1 Gb = 210 Mb. Capacidad: 200 · 210 · 210 · 210 = 200 · 230 = 2,15 · 1011 bytes. 78. La masa de la Tierra es 5,98 · 1024 kg y la masa de Neptuno es 17 veces la de la Tierra. Calcula la masa de Neptuno. 17 · 5,98 · 1024 = 1,0166 · 1026 kg 79. Alba tiene una caja en forma de cubo llena de canicas. Tiene 5 canicas de largo, otras 5 de ancho y otras 5 de alto. Escribe en forma de potencia el número total de canicas y calcula el precio sabiendo que cada canica cuesta 0,15 € N.o de canicas: 53 Coste: 53 · 0,15 = 18,75 € 3 √7 √2 5√ 42,7 3 √874 658 √209 √3 217 2 5 3 3 3 2 5 3 2 5 5 5 3 2 3 √23 · 33 3 √36 8 125 3 243 32 5 3√ 216 3√729 3√ x x√ 32 √x √49 4√ 10ab3c2 5√ 15a4bc2 √5ab 3√ 5a2bc2 4√ 93 5√ 100 √55 3√ 84 3√ 0,001 3√ –0,008 3√ 125 3√ –125 80. Tenemos 12 cajas de cocos y cada caja tiene 12 cocos. Escribe en forma de potencia el número total de cocos y halla el precio sabiendo que cada uno cuesta 1,5 € N.º de cocos: 122 Coste: 122 · 1,5 = 216 € 81. Escribe en forma de potencia el número de abuelos que tiene cada persona, y calcula el resultado. N.º de abuelos: 22 = 4 abuelos. 82. Tenemos un bloque de hielo de 1 m de largo, 20 cm de ancho y 20 cm de alto. Lo cortamos en cubitos para enfriar refrescos. Cada cubito mide 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de alto, y en cada refresco ponemos dos cubitos. ¿Para cuántos refrescos tendremos? Volumen del bloque: 100 · 20 · 20 = 40 000 cm3 Volumen de cada cubito: 23 = 8 cm3 N.º de cubitos: 40 000 : 8 = 5 000 cubitos. N.º de refrescos: 5 000 : 2 = 2 500 refrescos. 83. Una finca cuadrada de 100 m de lado está plantada de nogales. Si cada nogal ocupa 25 m2, ¿cuántos nogales hay plantados? Superficie: 1002 = 10 000 m2 N.º de nogales: 10 000 : 25 = 400 nogales. 84. El patio de butacas de un teatro tiene igual número de filas que de columnas, y se venden todas las entradas para una sesión, obteniéndose 675 €. Si cada entrada cuesta 3 €, ¿cuántas filas tiene el teatro? N.º de entradas: 675 : 3 = 225 entradas. N.º de filas: √—225 = 15 filas. 85. Queremos poner baldosas en el suelo de una habitación cuadrada, y en cada lado caben 13 baldosas. Si cada baldosa cuesta 1,5€, ¿cuánto cuestan todas las baldosas que necesitamos? N.º de baldosas: 132 = 169 baldosas. Coste: 169 · 1,5 = 253,5 € 86. Una finca es cuadrada y tiene una superficie de 1 369 m2. ¿Cuánto mide el lado? Lado: √—1 369 = 37 m 87. Un bloque de casas tiene x plantas, y en cada planta hay x viviendas. Si viven x personas de media en cada vivienda, calcula el valor de x sabiendo que en la casa viven 64 personas. x 3 = 64 ⇒x = 3 √—64 = 4 PARA PROFUNDIZAR 88. Expresa en forma de potencia de 2 el número total de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez, sabiendo que posee 8 filas y 8 columnas. N.º de cuadrados: 8 · 8 = 23 · 23 = 26 cuadrados. 89. Escribe en forma de potencia el número de bisa bue - los que tiene cada persona y calcula el resultado. N.º de bisabuelos: 23 = 8 bisabuelos. 90. Una célula se reproduce cada hora por bipartición. ¿Cuántos días tardará en sobrepasar un millón? 2x > 1 000 000
El menor x que lo verifica es x = 20 horas.
Lo alcanza en el primer día.
91. Un velero cuesta 0,5 millones de euros y se devalúa
cada año un 18%. ¿Cuántos años tardará en valer menos
de 150 000 €? Observa que si se devalúa un 18%,
su valor será un 82% del precio inicial.
500 000 · 0,82x < 150 000 El menor x que lo verifica es x = 7 años. 92. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de 3,375 m3. Calcula su superficie. Arista: 3 √— 3,375 = 1,5 m Superficie: 6 · 1,52 = 13,5 m2 93. Un año luz es el espacio que recorre la luz en un año. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 00 km/s, espresa en kilómetros y en notación científica un año luz. 300 000 · 365 · 24 · 60 · 60 = 9,4608 · 1012 km APLICA TUS COMPETENCIAS 94. Un CD-ROM tiene 640 Mb. Halla su capacidad en bytes. Capacidad: 640 · 210 · 210 = 640 · 220 = 671 088 640 bytes 95. Un teléfono móvil tiene una capacidad de 8,67 Gb, Halla su capacidad en bytes. 9 309 341 614 bytes. 96. El disco duro de un ordenador tiene 400 Gb. Halla su capacidad en bytes. Capacidad: 400 · 210 · 210 · 210 = 400 · 230 = 4,29 · 1011 bytes COMPRUEBA LO QUE SABES 1. ¿Qué son radicales equivalentes? Pon un ejemplo. Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas raíces. Si en un radical multiplicamos el índice y el exponente por el mismo número, obtenemos otro radical equivalente. Ejemplo: 3√ —5 2 = 6√ —5 4 = 9√ —5 6 = 12√—58 = … = 2,92… 2. Expresa el resultado en forma de una sola potencia utilizando las propiedades de las potencias: a) 35 · 34 b) a9 : a3 c) (xn)p d) x3 : x7 a) 39 b) a6 c) xn · p d) x– 4 3. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o ≠: a) 53 15 b) (–6)5 – 65 c) 352 310 d) (7 – 5)4 16 a) ≠ b) = c) ≠ d) = 4. Extrae todos los factores posibles de: a) √—2 592 b) 3√ —8 640 c) d) a) 36 b) 12 c) 9a2c 3√—ab d) 2a2c 4 3√ —2 2a2b2 5. Suma y resta los radicales: a) 3 – 2 + b) 2 – 4 + 5 a) 12√—2 – 10√—2 + 6√—2 = 8√—2 b) 10√—3 – 12√—3 + 10√—3 = 8√—3 6. Escribe en forma de radical las siguientes potencias y calcula el resultado: a) 251/2 b) 125–1/3 c) 163/4 d) 32–2/5 a) = ± 5 b) = c) = ± 8 d) = 7. El disco duro de un ordenador portátil tiene una capacidad de 40 Gb, y un CD ROM, de 650Mb. ¿Cuántos CD ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb? N.º de CD: 40 · 210 : 650 = 63,02 8. Una finca tiene forma de cuadrado. Si se vende a razón de 3,6 €/m2 y se han obtenido por la venta 3 802,5 €, ¿cuánto mide de lado la finca? √—3 802,5 —: 3,6 = 32,5 m WINDOWS/LINUX PASO A PASO 97. Calcula: ( )5 Resuelto en el libro del alumnado. 98. Calcula: 3,285 Resuelto en el libro del alumnado. 99. Calcula con 15 dígitos: Resuelto en el libro del alumnado. 100. Calcula con 10 dígitos: Resuelto en el libro del alumnado. 101. Simplifica el siguiente radical, sacando del radicando todos los factores posibles: Resuelto en el libro del alumnado. 102. Suma y resta los siguientes radicales: 4 – 7 + 5 Resuelto en el libro del alumnado. 103. Calcula 3,5 · 1018 : (4,75 · 10–9) Resuelto en el libro del alumnado. 104. Se tiene un depósito de gasoil para la calefacción con forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litro de gasoil de calefacción cuesta 0,65€/L, calcula lo que cuesta llenar el depósito. Resuelto en el libro del alumnado. PRACTICA 105. Calcula las siguientes potencias: a) (2/3)6 b) (–2/3)7 a) 64/729 b) –128/2 187 106. Calcula las siguientes potencias: a) 264 b) 239,725 a) 18 446 744 073 709 551 616 b) 7,916283613 · 1011 107. Calcula con 15 dígitos: a) b) a) 16,0079980009994 b) 3,84941718350978 108. Simplifica los siguientes radicales sacando del radicando todos los factores posibles: a) b) a) 36√—2 b) 6 3√ —2 109. Suma los radicales: a) 7 – 2 + 5 b) 9 – 5 + 3 a) 76√—2 b) 44√—3 110. Calcula y luego redondea mentalmente a dos decimales: a) b) + 5,27 a) 23,43 b) 1,03 · 105 5 √45,52 – 7,253 √473,5 + 75,47 √147 √75 √12 √50 √8 √162 3√ 432 √2 592 √256,256 5 √845,23 √50 √8 √18 3 √3 125 7 √865 √12 607,25 3 4 4√163 1 5√322 1 4 √25 1 3√125 1 5 √75 √27 √12 √32 √50 √72 3 √5 √2 √81a5bc6 3 √32a8b2c12 111. Calcula: a) 9,74 · 1012 – 8,5 · 1013 + 9,3 · 1014 b) 3,5 · 10–25 : (2,5 · 10–34) a) 8,5474 · 1014 c) 1,4 · 109 Escribe las expresiones numéricas correspondientes a los siguientes enunciados y halla el resultado: 112. El número 23,45 elevado al cuadrado, menos la raíz cuadrada de 825,83 23,452 – √—825,83 = 521,1652419 113. El número 1,5 elevado a la quinta, menos la raíz cuadrada de 1,83, más la raíz cúbica de 2,5 1,55 – √—1,83 + 3√ —2 ,5 = 7,598183881 Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 114. Queremos vender los chopos de una finca que tiene 54 filas y 54 columnas, al precio de 54 €cada chopo. Expresa en forma de potencia el valor de los chopos y halla el resultado. Valor: 543 = 157 464 € 115. Calcula la arista de un depósito de forma cúbica que ha costado llenarlo de leche 3 215,625 €, si el litro de leche se ha pagado a 0,6 € Arista: 3√ —3 215, — 625/0,6 = 17,5 dm = 1,75 m 116. Calcula el número de bytes que caben en un CD-ROM de 650 Mb, sabiendo que: 1 kb = 210 bytes y 1 Mb = 210 kb Capacidad: 650 · 210 · 210 = 681 574 400 bytes.