POTENCIAS Y RAICES EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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• Usar potencias y la notación
científica para describir números.
Potencias
y raíces
, Potencias
, Multiplicación de potencias con igual base o
exponente.
, División de potencias con igual base o exponente
, Notación científica
LABORATORIO Multiplicar y dividir números en
notación científica
, Cuadrados y raíces cuadradas
, Cómo estimar raíces cuadradas
Potencias
• Interpretar potencias de exponente natural y cuya base es
un número natural, una fracción positiva o un número
decimal positivo como multiplicación de factores iguales.
• Interpretar potencias de base 10 con exponente entero,
como una generalización de las potencias de 10 con
exponente natural, y aplicarlas en la representación de
números decimales.
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• Calcular multiplicaciones de potencias que tienen igual
base o igual exponente.
• Establecer y aplicar, en situaciones diversas, procedimientos
de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o
de igual exponente.
La notación científica se puede usar para expresar
un número tan pequeño como el peso del ala
de un avispón o tan grande como la cantidad de
insectos que hay en el mundo.
En el mundo
¿Estás listo?
Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada
enunciado.
1. Los(las) , son el conjunto de números que incluyen los
números naturales, los negativos y el cero.
2. Una expresión algebraica es un enunciado matemático que
contiene por lo menos un(a) .
3. En un(a) , el signo de igualdad se usa para mostrar
que dos cantidades son iguales.
4. Un(a) sirve para mostrar que una cantidad es mayor
que otra.
decimal
enteros
variable
expresión
signo >
Resuelve los ejercicios para practicar las destrezas que usarás en este capítulo.
Orden de las operaciones
Resuelve usando el orden de las operaciones.
5. 12 + 4(2) 6. 12 + 8 : 4 7. 15(14 – 4)
8. (23 – 5) – 36 : 2 9. 12 : 2 + 10 : 5 10. 40 : 2 · 4
Ecuaciones
Resuelve.
11. x + 9 = 21 12. 3z = 42 13. w/4 = 16
14. 24 + t = 24 15. p – 7 = 23 16. 12m = 0
Usar la multiplicación repetida
Halla el producto.
17. 7 • 7 • 7 • 7 • 7 18. 12 • 12 • 12 19. 3 • 3 • 3 • 3
20. 11 • 11 • 11 • 11 21. 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 22. 2 • 2 • 2
23. 100 • 100 • 100 • 100 24. 9 • 9 • 9 • 9 • 9 25. 1 • 1 • 1 • 1
Multiplicar y dividir entre potencias de diez
Multiplica o divide.
26. 358 • 10 27. 358 • 1 000 28. 358 • 100 000
29. 358
10 30. 358
1 000 31. 358
100 000
De dónde vienes
Antes
• Calculaste el valor de expresiones que
incluían orden de las operaciones y
exponentes.
En este capítulo
Estudiarás
• Cómo multiplicar o dividir potencias
de igual base o igual exponente.
• Cómo expresar números en notación
científica.
A dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas en
este capítulo
• Para resolver potencias y raíces
cuadradas.
• Para expresar como notación
científica números extremadamente
grandes como la masa de un planeta
y números tan pequeños como la
masa de un virus.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos del vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
1. Cuando hablamos de un elemento o situación
que se potencia, nos referimos a que puede
crecer de manera importante. En ese
contexto, ¿cómo podríamos definir lo que
significa la potencia de un número?
2. Sabemos que un número cuadrado es un
número multiplicado por sí mismo. ¿Qué
crees tú que significa un cuadrado perfecto?
exponente
base
potencia
multiplicación de potencias
división de potencias
potencia de una potencia
notación científica
raíz cuadrada
cuadrado perfecto
Guía de estudio: Vistazo previo C
A P Í T U L O 4 Vistazo previo
C A P Í T U L O 4
Inténtalo
Estrategia de estudio: Toma notas útiles
Tomar notas correctamente es una estrategia de estudio importante. El sistema Cornell es
una forma muy eficaz de tomar notas, organizar y repasar ideas principales. Este método
sugiere dividir el cuaderno en tres secciones (http://canasto.es/2011/10/tomar-notas-conel-
metodo-cornell/). Durante la lección, toma notas en la columna para tomar notas. Cuando
repases tus notas, anota preguntas y frases clave en la columna de claves. Escribe un
resumen de la lección en la zona de resumen.
1. Investiga y escribe un párrafo en el que describas el sistema Cornell para tomar notas.
Explica cómo puedes aprovechar este tipo de sistema.
2. En tu próxima clase, usa el sistema Cornell para tomar notas. Compara tus notas con las
de una lección anterior. ¿Crees que te servirán más tus notas anteriores o las que tomaste
usando el sistema Cornell para prepararte para las pruebas y los exámenes?
Leer y escribir matemáticas
Notas de matemáticas – 18/10
Sumar y restar
enteros
• Signos iguales se suman y
se mantiene el signo.
• Signos diferentes se
restan y se pone el signo
del mayor valor absoluto.
• Signos diferentes se restan
y se pone el signo del
mayor módulo.
Para sumar y restar enteros hay que tener en cuenta los signos y
los valores absolutos, si a > b entonces:
a + b = (a+b)
a – b o a + (-b) = +(a – b)
PASO 2: Claves
Después de la clase,
anota frases clave o
preguntas en la columna
de la izquierda.
PASO 3: Resumen
Usa las claves para
volver a escribir los
puntos principales con
tus propias palabras.
PASO 1: Notas
Traza una línea vertical
a unos 6 centímetros del
margen izquierdo del
papel. Durante la clase,
escribe tus notas sobre
los puntos principales de
la lección en la columna
derecha.
Dobla por la mitad una hoja tamaño carta. Si lo pliegas nuevamente, el papel tendrá
4 capas. Después de doblarlo por la mitad por tercera vez, el papel tendrá 8 capas.
¿Cuántas capas tendrá el papel después de plegarlo 7 veces?
Con cada pliegue se duplica la cantidad de capas.
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128 capas después de 7 pliegues
Este problema de multiplicación también se puede escribir como potencia.
2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 27 El número 2 es factor 7 veces.
Aprender a
evaluar expresiones con
exponentes.
Vocabulario
exponente
base
potencia
EJEMPLO
EJEMPLO
1
2
Escribir exponentes
Escribe como potencia.
Desarrollar potencias
Desarrolla.
4–1 Potencias
C A P Í T U L O
A
A
B
B
C
5 • 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5
5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 57 Identifica cuántas veces 5 es un factor.
4 • 4 • 4
4 • 4 • 4 = 43 Identifica cuántas veces 4 es un factor.
8 • 8 • 8 • 8 • p • p • p
8 • 8 • 8 • 8 • p • p • p = 84p3 Identifica cuántas veces 8 y p son factores.
34
34 = 3 • 3 • 3 • 3 Halla el producto de cuatro 3
= 81
Q 1
4 R
2
Q 1
4 R
2
= Q 1
4 R • Q 1
4 R Halla el producto de dos 1
4
= 1
16
En un número que está en forma de potencia,
el exponente representa la cantidad de veces
que se usa la base como factor. Un número
que es el producto de elevar una base a un
exponente se llama potencia. Tanto 27 como
33 representan una potencia.
Base Exponente
27
Razonar y comentar
1. Explica la diferencia entre (52) y 25.
2. Compara 3 • 2, 32 y 23.
3. Muestra que (4 — 11)2 no es igual a 42 — 112.
EJEMPLO
EJEMPLO
3
4
Calcular el valor de las expresiones considerando la prevalencia
de las operaciones
Calcula el valor de la expresión si x = 20, y = 4 y z = 2 = 20, y = 4, y z = 2.
= x – y(z • yz)
= 20 – 4(2 • 42) Sustituye x por 20, y por 4 y z por 2.
= 20 – 4(2 • 16) Desarrolla la potencia.
= 20 – 4(32) Multiplica dentro de los paréntesis.
= 20 – 128 Multiplica de izquierda a derecha.
= –108 Resta de izquierda a derecha.
Aplicación a la Geometría
La cantidad de diagonales en una figura de n lados es 1
2 (n2 – 3n). Usa
la expresión para hallar la cantidad de diagonales en una figura de 6
lados.
= 1
2 (n2 – 3n)
= 1
2 (62 – 3 • 6) Sustituye n por la cantidad de lados.
= 1
2 (36 – 18) Desarrolla dentro de los paréntesis.
= 1
2 (18) Resta dentro de los paréntesis.
= 9 Multiplica.
Una figura de 6 lados tiene 9 diagonales. Puedes
comprobar tu respuesta trazando las diagonales.
C
D
(8)2
(8)2 = (8) • (8) Halla el producto de dos 8.
= 64
23
23 = (2 • 2 • 2) Halla el producto de tres 2.
= 8
Calcula.
Ejercicios
1
2
2
3
3
4
4
1
Escribe en forma de potencia.
1. 12 2. 18 • 18 3. 2b • 2b • 2b • 2b 4. (3) • (3)
Desarrolla.
5. 26 6. (7)2 7. Q 1
2 R
3
8. 74 9. 84
Desarrolla.
21. 44 22. (–3)6 23. Q 1
6 R
5
24. 29 25. Q 1
6 R
2
Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables.
10. a5 + 4b para a = 3 y b = 12
11. 2×9 – (y + z) para x = —1, y = 7 y z = —4
12. s + (tu – 1) para s = 13, t = 5, u = 3
13. 100 – n(pq – 4) para n = 10, p = 3 y q = 8
Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables.
26. b2 para b = –7
27. 2c + 3d(g + 2) para c = 7, d = 5 y g = 1
28. m + np para m = 12, n = 11 y p = 2
29. x : yz para x = 9, y = 3 y z = 2
14. La suma de los primeros enteros positivos n es 1
2 (n2 + n). Comprueba la expresión
para los primeros 5 enteros positivos. Luego usa la expresión para hallar la suma de los
primeros 14 enteros positivos.
30. Un círculo se puede dividir en n líneas hasta un máximo
de 1
2 (n2 + n) + 1 regiones. Usa la expresión para hallar la
cantidad máxima de regiones para 7 líneas.
Escribe usando potencias.
15. 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 16. (–9) • (–9) • (–9) 17. 3d • 3d • 3d
18. 8 19. (–4) • (–4) • c • c • c 20. x • x • y
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
4–1
Escribe usando potencias.
31. (–3) • (–3) • (–3) • (–3) 32. 5h • 5h • 5h
33. 6 • 6 • 6 • 6 • 6 • 6 34. (4) • (4) • (4) • (4) • (4)
3 líneas → 7 regiones
1
2
3 4 5
6 7
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
52. ¿Qué expresión tiene el valor más grande?
A 25 B 34 C 43 D 52
53. El volumen de un cubo se calcula usando la fórmula V = l3, donde l es la longitud de los
lados del cubo. ¿Cuál es el volumen de un cubo con lados de 8 metros de largo?
A 24 m3 B 512 m3 C 888 m3 D 6 561 m3
54. ¿Cuál es el valor de 54?
Suma.
55. –18 + –65 56. –123 + 95 57. 87 – (–32) 58. –74 – (–27)
Escribe cada fracción como decimal.
59. 7
50 60. 4
15 61. 3
8 62. 5
24
Biológía
La mayoría de
las bacterias
se reproducen
mediante un tipo
de división celular
simple conocido
como fisión binaria.
Cada especie se
reproduce mejor a
una temperatura y
nivel de humedad
determinados.
Escribe sin usar potencias. Luego, calcula.
35. 53 36. 82 37. (–14)3 38. 45
Desarrolla.
39. 44 –(5 • 42) 40. (4 + 44) 41. (6 — 71) 42. 84 — [8 — (—2)3]
Calcula el valor de cada expresión para los valores dados de las variables.
43. m[p – nq) para m = 2, n = 6, p = 3 y q = 3
44. r + (t • sv) para r = 42, s = 4, t = 3 y v = 2
45. Biología Las bacterias se pueden dividir cada 20 minutos, por lo que 1 bacteria
se puede multiplicar por 2 en 20 minutos, por 4 en 40 minutos, etc. ¿Cuántas
bacterias habrá en 6 horas? Escribe tu respuesta usando potencias y luego
desarrolla.
46. Razonamiento crítico Dado un número natural n, 5n – 1 es divisible entre 4.
Comprueba esto para n = 4 y n = 6.
47. Estimación Un regalo con forma de cubo tiene lados de 11,93 cm de largo. ¿Cuál
es el volumen aproximado del regalo? (Pista: Vcubo = l3)
48. Escribe la descomposición en factores primos de 768 usando potencias.
49. Elige una estrategia Coloca los números 1, 2, 3, 4 y 5 en los siguientes casilleros
para que el enunciado sea verdadero: • 3 = 2 –
50. Escríbelo Compara 102 y 210. Dados dos números, haz una conjetura sobre qué
operación da como resultado el número más grande: usar el número más grande
como base o como exponente. Indica una excepción como mínimo: 32 > 23
51. Desafío Escribe (42)3 como potencia de 4 usando sólo un exponente.
Repaso
EJEMPLO
EJEMPLO
Los factores de una potencia, como 74, se
pueden agrupar de diferentes formas usando
la propiedad asociativa. Observa la relación
de los exponentes en cada producto.
7 • 7 • 7 • 7 = 74
(7 • 7 • 7) • 7 = 73 • 71 = 74
(7 • 7) • (7 • 7) = 72 • 72 = 74
4–2 Multiplicación de
potencias con igual base o
exponente
C A P Í T U L O
¡Recuerda!
Aprendiste acerca
de la propiedad
asociativa de la
multiplicación en
cursos anteriores:
a · b · c = (a · b) · c =
a · (b · c)
Vocabulario
multiplicar potencias
potencias de igual base
potencias de igual
exponente
Multiplicación de potencias de igual base, cuando la base es un número
natural
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
Multiplicación de potencias de igual base, cuando la base es un número
decimal
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
A
A
54 • 53 B
54 + 3
57
2,54 ∙ 2,53
2,5 4 + 3
2,57
a10 • a4
a10 + 4
a14
1
2
Aprender a
multiplicar potencias.
En palabras Con números En álgebra
Para multiplicar
potencias de igual
base, se mantiene la
base y se suman los
exponentes.
Para multiplicar
potencias de igual
exponente, se
multiplican las bases
y se mantiene el
exponente.
32 • 35 = 32 + 5 = 37
3,22 • 3,25 = 3,22 + 5 = 3,27
( 35
2
• ( 35
5
=
( 35
2 + 5 = ( 35
7
35 • 25 = (3 • 2)5 = 65
3,25 • 2,55 = (3,2 • 2,5)5 = 85
( 35
5 • ( 25
5 = ( 35
• 25
5 = ( 6
25
5
am • an = am + n
am • bm = (a • b)m
Cómo multiplicar potencias
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
Razonar y comentar
1. Explica por qué no se pueden sumar los exponentes en el producto
143 • 183.
2. Escribe dos formas de expresar 45 como un producto de potencias.
Multiplicación de potencias de igual exponente, cuando la base es un
número natural
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
Multiplicación de potencias de igual exponente, cuando la base es un
número decimal
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
Multiplicación de potencias de igual base, cuando la base es una fracción
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
Multiplicación de potencias de igual base, cuando la base es una fracción
Multiplica. Escribe el producto como potencia.
A
A
A
A
B
B
B
B
54 • 64
(5 • 6)4
304
2,54 • 5,14
(2,5 • 5,1)4
12,754
a10 • b10
(a • b)10
ab10
10,53 • 23
(10,5 • 2)3
213
4
5
3
6
( ) 1–2
4 ( ) 1–2
3

( ) 1–2
3 ( ) 1–4
3
• ( ) a
–b
4 ( ) c
–d
4

( ) a
–b
10 ( ) a
–b
4

( ) a
–b
10 ( ) a
–b
4
( ) • 1–2
4 ( ) 1–2
3

( ) 1–2
3 ( ) 1–4
3
• ( ) a
–b
4 ( ) c
–d
4

( ) 1–2
4 • 3
( ) 1–2
7
=
=
( ) a
–b
10 • 4
( ) a
–b
14
=
=
( 1–2 ) 1–4
3

( ) 1–8
3
=
=
( a
–b
) c
–d
4

( ac
––
bd
4 )
=
=
4–2 Ejercicios
Ver ejemplo 1 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
1. 64 • 67 2. 48 • 49 3. 102 • 105 4. 201 • 207
5. 82 • 80 6. 117 • 113 7. 99 • 95 8. 33 • 34
Ver ejemplo 2 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
9. 6,15 • 6,16 10. 4,37 • 4,310 11. 10,43 • 10,46 12. 2,72 • 2,78
13. 8,12 • 8,10 14. 1,96 • 1,93 15. 8,27 • 8,28 16. 2,53 • 2,54
Ver ejemplo 4 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
25. 66 • 36 26. 27 • 107 27. 76 • 26 28. 32 • 82
29. 52 • 82 30. 95 • 35 31. 86 • 26 32. 54 • 104
Ver ejemplo 5 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
33. 6,46 • 3,86 34. 2,37 • 10,17 35. 7,26 • 2,126 36. 3,142 • 8,52
37. 5,032 • 8,92 38. 9,15 • 3,095 39. 8,256 • 2,836 40. 5,554 • 10,324
Ver ejemplo 1 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
49. 74 • 77 50. 68 • 69 51. 122 • 126 52. 103 • 107
Ver ejemplo 2 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
53. 6,55 ∙ 6,57 54. 4,47 ∙ 4,48 55. 1,43 ∙ 1,46 56. 3,12 ∙ 3,15
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Ver ejemplo 3 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
( ) 6–3
5 ( ) 6–3
6

( ) 8–5
2 ( ) 8–5
0

( ) 2–7
3 ( ) 2–7
6

( ) 8–2
6 ( ) 8–2
2

( ) 1–3
2 ( ) 1–3
8

( ) 2–5
4 ( ) 2–5
5

( ) 1–2
7 ( ) 1–2
10

( ) 1–9
5 ( ) 1–9
4

Ver ejemplo 6 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
( ) 4–7
6 ( ) 3–8
6

( ) 5–3
5 ( ) 8–9
5

( ) 7–2
7 ( ) 2–3
7

( ) 8–5
3 ( ) 2–8
3

( ) 3–4
2 ( ) 8–5
2

( ) 5–6
4 (11
––
2
4

( ) 2–3
5 ( ) 4–3
5

( ) 9–3
5 ( ) 3–9
5
• )
Ver ejemplo 4 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
61. 65 • 55 62. 207 • 27 63. 57 • 67 64. 83 • 73
Ver ejemplo 5 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
65. 6,36 • 4,86 66. 1,36 • 7,16 67. 5,48 • 2,128 68. 3,73 • 7,13
73. Existen 263 formas de crear una “palabra” de 3 letras (de aaa a zzz) y 265 formas de
crear una palabra de 5 letras. ¿Cuántas formas más hay de crear palabras de 5 letras
que de 3 letras?
74. Desafío La masa del Sol es aproximadamente 1027 toneladas métricas, o 1030
kilogramos. ¿Cuántos kilogramos hay en una tonelada métrica?
75. Las bacterias son organismos unicelulares (compuestos por una sola célula) y muchas
de ellas se reproducen mediante un proceso llamado división celular. Suponemos una
bacteria que se divide cada una hora. Pasadas dos horas tendríamos cuatro bacterias y
a las 3 horas ocho bacterias. Construye un esquema y predice cuántas bacterias habrán
luego de 12 horas. Expresa como potencia.
76. La distancia entre A y B es de aproximadamente 224 km. La distancia entre A y C
es de aproximadamente 227 km. ¿Qué distancia es mayor? ¿Cuántas veces mayor,
aproximadamente?
77. En informática, un kilobyte equivale a 210 bytes. Un gigabyte equivale a
230 bytes. El tamaño de un terabyte es el producto del tamaño de un kilobyte y el tamaño de
un gigabyte. ¿Cuál es el tamaño de un terabyte?
A 220 bytes B 240 bytes C 2300 bytes D 4300 bytes
78. Un estudiante dice que 103 • 10–5 es mayor que 1. Explica si está en lo cierto.
Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables.
79. 19,4 – x para x = –5,6 80. 11 – r para r = 13,5 81. p + 65,1 para p = –42,3
82. – 3
7 – t para t = 1 5
7 83. 3 5
11 + y para y = –2 4
11 84. – 1
19 + g para g = 18
19
Desarrolla.
85. (3)2 86. (2)3 87. 13 88. 24
Repaso
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Ver ejemplo 3 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
57. ( ) 58. 59. 60. 6–5
5 ( ) 6–5
6
• ( ) 2–5
3 ( ) 2–5
6
• ( ) 1–8
2 ( ) 1–8
8
( ) • 1–4
7 ( ) 1–4
10

Ver ejemplo 6 Multiplica. Escribe el producto como una potencia.
69. ( ) 70. 71. 72. 4–3
5 ( ) 3–
4
5
• ( ) 9–2
7 ( ) 9–3
7
• ( ) 5–4
3 ( ) 7–5
3
( ) • 4–8
5 ( ) 5–3
5

En la lección anterior aprendiste que era posible
multiplicar las potencias, pero es importante que tengas
en cuenta que también es posible dividirlas.
Aprender a dividir
potencias y a determinar la
potencia de una potencia.
4–3 División de potencias con
igual base o exponente
C A P Í T U L O
Vocabulario
dividir potencias
elevar una potencia a
otra potencia
EJEMPLO División de potencias de igual base, cuando la base es un número natural
Divide. Escribe el resultado como potencia.
A 54 : 53 B
54 – 3
51
a10 : a4
a10 – 4
a6
1
EJEMPLO División de potencias de igual base, cuando la base es un número decimal
Divide. Escribe el resultado como potencia.
A 2,54 : 2,53 B
2,5 4 – 3
2,51
10,55 : 10,5 3
10,55 – 3
10,52
2
EJEMPLO División de potencias de igual base, cuando la base es una fracción
Divide. Escribe el producto como potencia.
A B
3
( ) 1–2
4 ( ) 1–2
3
: ( ) a
–b
10 ( ) a
–b
4
:
( ) a
–b
10 ( ) a
–b
4
( ) : 1–2
4 ( ) 1–2
3
:
( ) 1–2
4 – 3
( ) 1–2
1
=
=
( ) a
–b
10 – 4
( ) a
–b
6
=
=
En palabras Con números En álgebra
Para dividir potencias de igual base,
conserva la base y resta los exponentes.
69
64 = 69 – 4 = 65
bm
bn = bm – n
Cómo dividir potencias
b distinto de cero.
Para dividir potencias de igual exponente, se
dividen las bases y se mantiene el exponente.
an
bn
a
b
n
= 505
105
50
10
5
= = (5)5
Leer matemáticas
(94) 5 se lee “nueve
elevado a la cuarta, a
la quinta”.
Cómo elevar una potencia a otra potencia
En palabras Con números En álgebra
Para elevar una potencia a otra
potencia, se conserva la base y
multiplican los exponentes.
(94)5 = 94 • 5 = 920 (bm)n = bm • n
EJEMPLO 6 Elevar una potencia a otra potencia
Desarrolla.
A
C
B
D
(75)3
(75)3
75 • 3 Multiplica los exponentes
715
(27)2
(27)2
27 • (2) Multiplica los exponentes
214
(89)11
(89)11
89 • 11 Multiplica los
899 exponentes
(x10)6
(x10)6
x10 • (6) Multiplica los
x60 exponentes
Atención
Todo número elevado
al exponente 0 es
igual a 1.
EJEMPLO
EJEMPLO
División de potencias de igual exponente, cuando la base es un número
natural
Divide. Escribe el resultado como potencia.
División de potencias de igual exponente, cuando la base es un número
decimal o una fracción
Divide. Escribe el resultado como potencia.
A
A
B
B
254 : 54
(25 : 5)4
54
2,54 : 0,14
(2,5 : 0,1)4
254
a10 : b10
(a : b)10
4
5
( ) 1–2
3 ( ) 2–4
3
: ( = 23 1–2 ) 1–4
3
= :
Razonar y comentar
1. ¿Cómo puedes expresar 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 como una potencia de potencias?
2. Idea el enunciado de un problema basado en una situación cotidiana y que tenga que
ser resuelto utilizando la potencia de potencias que resultó del ejercicio anterior.
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
4–3 Ejercicios
Ver ejemplo 1 Divide. Escribe el resultado como potencia.
1. 69 : 67 2. 415 : 49 3. 219 : 215 4. 163 : 161
5. 86 : 80 6. 27 : 25 7. 87 : 85 8. 317 : 34
Ver ejemplo 4 Divide. Escribe el resultado como potencia.
25. 96 : 36 26. 27 : 107 27. 166 : 26 28. 32 : 12
29. 722 : 82 30. 95 : 35 31. 86 : 26 32. 1004 : 104
Ver ejemplo 6 Desarrolla.
41. (46)6 42. (57)3 43. (26)7 44. (32)5
45. (52)8 46. (95)0 47. (86)3 48. (44)3
Ver ejemplo 1 Divide. Escribe el resultado como potencia.
49. 77 : 72 50. 311 : 38 51. 29 : 27 52. 68 : 61
Ver ejemplo 2 Divide. Escribe el resultado como potencia.
53. 3,26 : 3,24 54. 5,310 : 5,310 55. 0,46 : 0,46 56. 3,922 : 3,918
Ver ejemplo 2 Divide. Escribe el resultado como potencia.
9. 6,18 : 6,16 10. 9,320 : 9,310 11. 1,47 : 1,46 12. 3,512 : 3,58
13. 8,12 : 8,10 14. 10,96 : 10,93 15. 9,0217 : 9,028 16. 8,56 : 8,54
Ver ejemplo 3 Divide. Escribe el resultado como potencia.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
( ) 8–3
5 ( ) 8–3
2
:
( ) 9–5
2 ( ) 9–5
0
:
( ) 2–7
9 ( ) 2–7
6
:
( ) 3–2
6 ( ) 3–2
2
:
( ) 1–3
8 ( ) 1–3
8
:
( ) 7–5
11 ( ) 7–5
5
:
( ) 5–2
13 ( ) 5–2
10
:
( ) 1–9
5 ( ) 1–9
4
:
Ver ejemplo 5 Divide. Escribe el resultado como potencia.
33. 6,46 : 36 34. 10,57 : 2,57 35. 16,26 : 86 36. 3,142 : 22
37. 38. 39. 40. ( ) 5–6
2 ( ) 8–9
2
: ( ) 8–5
2 ( ) 3–2
2
: ( ) 5–4
4 ( ) 10
––
2
4
( ) : 9–4
5 ( ) 3–9
5
:
Halla el exponente que falta.
80. b • b4 = b8 81. (v2) = v–6 82. w
w3 = w–3 83. (a4) = a0
84. Un googol es el número 1 seguido de 100 ceros.
a. ¿Cómo se escribe un googol como una potencia de 10?
b. ¿Cuánto es un googol multiplicado por un googol escrito como una potencia de 10?
85. ¿Dónde está el error? Un estudiante dijo que 35
95 es igual a 1
3 . ¿Qué error cometió el
estudiante?
86. Escríbelo ¿Por qué restas los exponentes cuando divides potencias de igual base?
87. Desafío Un número elevado a la 11ª potencia y dividido entre el mismo número a la 8ª
potencia es igual a 64. ¿Cuál es ese número?
Repaso
?
SCHROEDER, ¿QUÉ
PROBABILIDAD
HABRÁ DE QUE
TÚ Y YO NOS
CASEMOS
ALGÚN DÍA?
OH, YO DIRÍA
QUE MÁS O
MENOS UNA EN
UN “GOOGOL”.
¿CUÁNTO ES
UN “GOOGOL”?
10,000,000,000,000,000,000,000, MHH
000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000,000,
000,000,000,000,000,000,000,000 ,
Peanuts: © United Features Syndicate, Inc.
Ver ejemplo 4 Divide. Escribe el resultado como potencia.
61. 66 : 26 62. 107 : 57 63. 206 : 26 64. 95 : 35
Ver ejemplo 6 Desarrolla.
69. (32)4 70. (103)2 71. (50)7 72. (102)3
Ver ejemplo 3 Divide. Escribe el resultado como potencia.
57. 58. 59. 60. ( ) 5–3
6 ( ) 5–3
1
: ( ) 3–7
9 ( ) 3–7
8
:
Ver ejemplo 5 Divide. Escribe el resultado como potencia.
65. 3,43 : 23 66. 12,54 : 1,24 67. 68. ( ) 3–9
2 ( ) 10
––
11
2
( ) : 2–3
4 ( ) 8–4
4
:
( ) 2–3
8 ( ) 2–3
6
( ) : 8–2
12 ( ) 8–2
8
:
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Simplifica si es posible. Escribe el producto como una potencia.
73. 47
43 74. a4
a3 75. 1018
109 76. (74)3
77. 104
54 78. 117
116 79. y8
y8
EJEMPLO 1
Una moneda común de cien pesos contiene
aproximadamente 97 700 000 000 000 000 000 000
de átomos. En promedio, un átomo mide
aproximadamente 0,00000003 centímetros de ancho.
La longitud de estos números expresada en forma
estándar dificulta su uso. La notación científica es una
forma abreviada de estos números.
Ya sabes que al aumentar en una unidad el exponente en una potencia de 10 es lo
mismo que multiplicar el número por 10. Observa cómo se mueve la coma decimal
en los siguientes ejemplos.
Convertir entre notación científica y forma habitual (estándar)
Escribe cada número en forma habitual.
Aprender a expresar
números grandes y pequeños
en notación científica y a
comparar dos números escritos
en notación científica.
A
B
3,12 • 109
= 3,12 • 109
= 3,12 • 1 000 000 000 109 = 1 000 000 000
= 3 120 000 000 Razona: Mueve la coma 9 lugares
hacia la derecha.
1,35 • 10–4
= 1,35 • 10–4
= 1,35 • 1
10 000 10–4 = 1
10 000
= 1,35 ÷ 10 000 Divide entre el recíproco.
= 0,0 0 0 1 3 5 Razona: Mueve la coma 4 lugares
hacia la izquierda.
4–4 Notación
científica
C A P Í T U L O
Vocabulario
notación científica
Leer matemáticas
9,77 • 1022 se lee
“nueve coma setenta
y siete por diez
elevado a la vigésima
segunda potencia”.
2,345 • 100 = 2,3 4 5
2,345 • 101 = 2 3,4 5
2,345 • 102 = 2 3 4,5
2,345 • 103 = 2 3 4 5 ,
Se mueve un lugar hacia la derecha
con cada potencia de 10 en aumento.
2,345 • 100 = 2,3 4 5
2,345 • 10–1 = 0,2 3 4 5
2,345 • 10–2 = 0,0 2 3 4 5
2,345 • 10–3 = 0,0 0 2 3 4 5
Se mueve un lugar hacia la izquierda con
cada potencia de 10 en descenso.
Los números escritos en notación científica se escriben como dos factores. Un factor
es un número mayor o igual a 1 y menor que 10. El otro factor es una potencia de
10.
9,77 1022
Para comparar dos números escritos en notación científica, primero compara
las potencias de diez. El número con la potencia de diez más grande es mayor.
Si las potencias de diez son iguales, compara los valores entre uno y diez.
2,7 • 1013 > 2,7 • 109 3,98 • 1022 > 2,52 • 1022
1013 > 109 3,98 > 2,52
2 Convertir entre forma habitual y notación científica
Escribe 0,0000003 en notación científica.
0,0000003
3 Razona: Es necesario mover la coma 7 lugares para
obtener un número entre 1 y 10.
3 • 10-7___ El número es menor que 1; por lo tanto, el exponente de 10
será negativo.
Por lo tanto, 0,0000003 escrito en notación científica es 3 • 10–7.
Comprueba. 3 • 10–7 = 3 • 0,0000001
= 0,0000003 ✔
EJEMPLO
EJEMPLO 3 Aplicación a la Biología
Los principales componentes de la sangre humana son los glóbulos
rojos, los glóbulos blancos, las plaquetas y el plasma. Un glóbulo rojo
común tiene un diámetro de aproximadamente 7 • 10–6 metros. Una
plaqueta común tiene un diámetro de aproximadamente 2,33 • 10–6
metros. ¿Cuál tiene el diámetro mayor: el glóbulo rojo o la plaqueta?
7 • 10–6 2,33 • 10–6
10–6 = 10–6 Compara las potencias de 10.
7 > 2,33 Compara los valores entre 1 y 10.
7 • 10–6 > 2,33 • 10–6
Un glóbulo rojo tiene un diámetro mayor que el de una plaqueta común.
Razonar y comentar
1. Explica la ventaja de escribir los números en notación científica.
2. Escribe 2,977 • 106 en forma habitual.
3. Determina qué medición es menos probable que se escriba en
notación científica: el tamaño de una bacteria, la velocidad de un
automóvil o la cantidad de estrellas de una galaxia.
Cómo escribir números en notación cientifica
Para números mayores o iguales a
10, usa un exponente positivo.
15 237 = 1,5237 • 104
la coma se mueve 4 lugares a la izquierda
Para números menores que 1, usa
un exponente negativo.
0,00396 = 3,96 • 10–3
la coma se mueve 3 lugares a la derecha
1
2
3
Escribe cada número en forma habitual.
1. 4,17 • 103 2. 1,33 • 10–5 3. 6,2 • 107 4. 3,9 • 10–4
Escribe cada número en notación científica.
5. 0,000057 6. 0,0004 7. 6 980 000 8. 0,000000025
9. La longitud máxima de una partícula capaz de atravesar una máscara quirúrgica es
1 • 10–4 milímetros. La longitud promedio de un ácaro es aproximadamente 1,25 • 10–1
milímetros. ¿Qué es más largo: la partícula más grande capaz de atravesar una máscara
quirúrgica o un ácaro de longitud promedio?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
4–4 Ejercicios
1
2
3
Escribe cada número en forma habitual.
10. 9,2 • 106 11. 6,7 • 10–4 12. 3,6 • 10–2 13. 5,24 • 108
Escribe cada número en notación científica.
14. 0,00007 15. 6 500 000 16. 100 000 000 17. 0,00000003
18. Las órbitas de Neptuno y Plutón se cruzan entre sí. La distancia promedio
de Neptuno al Sol es de aproximadamente 4,5 • 109 kilómetros. La distancia
promedio de Plutón al Sol es de aproximadamente 5,87 • 109 kilómetros. ¿Cuál de
los dos planetas tiene la mayor distancia promedio al Sol?
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Escribe cada número en forma habitual.
19. 1,4 • 105 20. 3,24 • 10–2 21. 7,8 • 101 21. 2,1 • 10–6
23. 5,3 • 10–8 24. 8,456 • 10–4 25. 5,59 • 105 26. 7,1 • 103
27. 7.,13 • 106 28. 4,5 • 10–1 29. 2,9 • 10–4 30. 5,6 • 102
Compara
31. 7,6 • 10-1 7,7 • 10-1 32. 8,2 • 10-7 8,1 • 10-6
33. 2,8 • 10-6 2,8 • 10-7 34. 5,5 • 10-2 2,2 • 10-5
Resuelve
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
35. 43,7 • 106
36. 1 • 107
37. 3,85 • 102
38. 0,5 • 109
Biología
Esta rana está
cubierta de unas algas
llamadas lentejas
de agua, las cuales
pueden crecer tanto al
sol como a la sombra
y producen pequeñas
flores blancas.
a. Escribe este número en notación científica.
b. Si no se le controla, una lenteja de agua, que se reproduce cada
30–36 horas, podría producir 1 • 1030 (un quintillón) de plantas en
cuatro meses. ¿Cuánto pesaría un quintillón de lentejas de agua?
49. Biología El diámetro de un glóbulo rojo humano varía entre
aproximadamente 6 • 10–6 y 8 • 10–6 metros. Escribe este rango en forma
estándar.
50. Física La masa atómica de un elemento es la masa, en gramos, de un
mol, o 6,02 • 1023 átomos.
a. ¿Cuántos átomos hay en 2,5 mol de helio?
b. Si sabes que 2,5 mol de helio pesan 10 gramos, ¿cuál es la masa
atómica del helio?
c. Usando tu respuesta de la parte b, halla la masa aproximada de un
átomo de helio.
Halla los números que faltan.
45. Historia Los antiguos egipcios martillaban el oro hasta formar láminas tan
delgadas que se necesitaban 3,67 • 105 láminas para formar una pila de
2,5 centímetros de alto. Escribe la cantidad de láminas en forma estándar.
46. Marte está a 7, 83 • 107 kilómetros de la Tierra. Venus está a 4,14 • 107
kilómetros de la Tierra. ¿Qué planeta está más cerca de la Tierra?
47. En el vacío, la luz viaja a una velocidad de alrededor de doscientos
noventa y nueve mil kilómetros por segundo. Escribe esta velocidad en
notación científica.
48. Biología Las algas llamadas lentejas de agua viven en la superficie de
pantanos calmos y son las plantas con flores más pequeñas del mundo.
Estas algas pesan aproximadamente 0,00015 g.
39. 24 500 = 2,45 • 10 40. 16 800 = • 104
41. = 3,40 • 102 42. 280 000 = 2,8 • 10
51. Sociedad Taiwán se encuentra ubicado en el Océano Pacífico y frente a
las costas de la provincia china de Fujian:
a. Expresa la población y el área de Taiwán en notación científica.
b. Divide la cantidad de kilómetros cuadrados entre la población para
hallar la cantidad de kilómetros cuadrados por persona que hay en
Taiwán. Expresa tu respuesta en notación científica.
TAIWÁN
Población: 22 858 872
(estimación de julio de 2007)
Área: 35 980 km2
Capital: Taipei
Idiomas: taiwanés (min),
mandarín,
dialectos hakka
43. 5,4 • 102 = 44. 60 000 000 = • 10
Escribe cada número en notación científica.
52. 0,00858 53. 0,0000063 54. 5 900 000
55. 7 045 000 000 56. 0,0076 57. 400
58. Estimación La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 1,5 • 107 kilómetros.
¿Esta distancia es más cercana a 15 000 000 de km o a 150 000 000 de km? Explica.
59. Ordena la siguiente lista de números del menor al mayor.
1,5 • 10–2, 1,2 • 106, 5,85 • 10–3, 2,3 • 10–2, 5,5 • 106
60. Escribe un problema Un electrón tiene una masa de aproximadamente
9,11 • 10–31 kg. Usa esta información para escribir un problema.
61. Escríbelo Hay dos números escritos en notación científica. ¿Cómo puedes distinguir cuál
es el más grande?
62. Desafío ¿En qué lugar de una recta numérica se ubica el valor de un número positivo
escrito en notación científica con un exponente negativo?
63. Explica cómo determinar el signo del exponente si 29 600 000 000 000 lo escribimos en
notación científica.
64. La distancia que puede recorrer la luz en un año es 9,46 • 1012 kilómetros. ¿Cómo se
expresa esta distancia en forma habitual?
A 94 600 000 000 000 000 km C 9 460 000 000 000 km
B 946 000 000 000 km D 0,000000000946 km
Usa cada tabla para hacer una gráfica y escribir una ecuación.
65. x 0 5 6 8
y –4 11 14 20
66. x 0 1 3 6
y 6 7 9 12
Desarrolla. Escribe cada producto o cociente como una potencia.
67. 74
72 68. 53 • 58 69. t8
t5 70. 109 • 10–3
Repaso
Para usar con la lección 4-4
Multiplicar y dividir números
en notación científica TECNOLOGÍA
Laboratorio de
4-4
Actividad 1
Razonar y comentar
Inténtalo
Puedes usar una calculadora científica para realizar operaciones con números
escritos en notación científica. Usa la combinación de teclas ENG o EXP
para escribir números en notación científica. En una calculadora científica,
9,5 •1016 se muestra como 9,5E16.
Usa una calculadora para hallar (4,8 • 1012) (9,4 • 109).
Oprime 4,8 ENG o EXP 12 x 9,4 ENG o EXP 9 =
En la calculadora, se muestra la respuesta 4,512 e22,
que es igual a 4,512 • 1022.
1. Cuando usas la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa para multiplicar
4,8 • 1012 y 9,4 • 109, obtienes (4,8 • 9,4) (1012 • 109) = 45,12 • 1021. Explica por qué
esta respuesta es diferente de la respuesta obtenida en la actividad anterior.
Usa una calculadora científica para multiplicar o dividir.
1. (5,76 • 1013) (6,23 • 10–20) 2.
9,7 • 1010
2,9 • 107 3. (1,6 • 101) (9,65 • 109)
4.
5,25 • 1013
6,14 • 108 5. (1,1 • 109)(2,2 • 103) 6.
8,96 • 1097
2,34 • 1080
7. (2,74 • 1011) (3,2 • 10–5) 8.
5,82 • 10–11
8,96 • 1011 9. (4,5 • 1012) (3,7 • 108)
10. La estrella Betelgeuse, de la constelación de Orión, está a aproximadamente
5,67 • 1015 km de la Tierra. Esto es cerca de 24 • 106 veces más que la distancia mínima
entre Plutón y la Tierra. ¿Cuál es la distancia mínima aproximada entre Plutón y la Tierra?
Escribe tu respuesta en notación científica.
11. Si 8,5 millones de usuarios del servicio telefónico en Chile hicieran 446 mil millones de
llamadas telefónicas, ¿qué cantidad promedio de llamadas haría cada usuario?
4 ¿Listo para seguir?
Prueba de las lecciones 4-1 a 4-4
4–1 Potencias
Simplifica.
1. 101 2. 86 3. 34 4. (—5)3
5. Escribe 5 • 5 • 5 • 5 usando potencias.
6. Encuentra el valor de la expresión a7 – 4b para a = 3 y b = —1.
4-2 Multiplicación de potencias con igual base o exponente
Desarrolla. Escribe el producto o cociente como una potencia.
7. 93 • 95 8. 510
510 9. q9 • q6 10. 33 – 32
4-3 División de potencias con igual base o exponente
Resuelve.
11. (33)2 12. (42)0 13. (x2)4 14. (42)5
15. (2,53 · 3)3 16. 165
885 17. ( 34
2
·
( 47
2 18. ( 69
4
( 95
4
19. La masa del universo conocido es aproximadamente 1023 masas solares, lo que equivale a 1050
toneladas. ¿A cuántas toneladas equivale una masa solar?
4-4 Notación científica
Escribe cada número en notación científica.
20. 0,00000015 21. 99 980 000 22. 0,434 23. 100
Escribe cada número en forma estándar.
24. 1,38 • 105 25. 4 • 106 26. 1,2 • 10–3 27. 9,37 • 10–5
28. La población promedio de la Región del Biobío es de casi 2 millones y el ingreso per cápita es
de aproximadamente $ 280 400. Escribe el ingreso total estimado para los residentes de la
Región del Biobío en notación científica.
29. Desafío El plancton es el conjunto de organismos microscópicos que flotan en aguas saladas
o dulces. Los fitoflagelados son organismos que pertenecen al plancton y son considerados
nanoplancton, pudiendo medir 0,000001 cm. Los radiolarios son otros organismos que
pertenecen al plancton y son considerados microplancton, y son aproximadamente 100 veces
más grandes que el nanoplancton. ¿Cuánto mide aproximadamente un radiolario? Expresa tu
respuesta como notación científica.
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
Resuelve
• Elige una operación
Para decidir si es mejor sumar, restar, multiplicar o dividir para
resolver un problema, es necesario determinar la acción que ocurre
en el problema.
María hace un collar de cuentas. Si cada
cuenta mide 7,0 • 10–1 cm de ancho,
¿cuántas cuentas necesita para hacer un
collar de 35 cm de largo?
El área total de Chile es 1,25 • 106
kilómetros cuadrados. El área total de
Argentina es 9,69 • 105 kilómetros
cuadrados. ¿Cuál es el área total de ambos
países?
Supongamos que 1
3 de los peces de un
lago son aptos para la pesca deportiva. De
esta cantidad, 2
5 cumplen con el tamaño
mínimo requerido por ley. ¿Qué fracción de
los peces del lago son aptos para la pesca
deportiva y cumplen con el tamaño mínimo?
Un curso ha decidido llevar por escrito la
contabilidad para tener constancia del dinero
con que cuentan para su paseo de fin de
curso. En la siguiente tabla se muestra el
movimiento de los primeros 3 meses. ¿Con
cuánto dinero cuentan?
1
3
2
4
Determina la acción para cada problema. Escribe el problema usando las acciones.
Luego, muestra qué operación usaste para obtener la respuesta.
Resuelve
Acción Operación
Combinar o reunir números Suma
Quitar números o hallar la distancia entre dos números Resta
Combinar grupos iguales Multiplicación
Separar en grupos iguales o hallar cuántos grupos iguales se
pueden obtener
División
Enfoque en resolución de problemas
Ingresos y gastos Marzo Abril Mayo
Ingreso por cuota mensual $ 20 000 $ 20 000 $ 20 000
Ingreso por recolección de latas vacías $ 10 000 $ 5 500 $ 6 000
Ingreso por ventas de completos $ 20 000 $ 30 000 $ 67 000
Gastos por actividades colectivas $ 45 000 $ 35 000 $ 55 000
EJEMPLO 1
Piensa en la relación entre el área de un
cuadrado y la longitud de uno de sus lados.
área = 36 unidades cuadradas
longitud del lado = 6 unidades
porque 62 = 36
Un número multiplicado por sí mismo que
forma un determinado producto es la raíz
cuadrada de ese producto. Hallar la raíz
cuadrada de un número no negativo es lo
opuesto a elevar ese número al cuadrado.
62 = 36 √36 = 6
Todo número positivo tiene dos raíces
cuadradas, una positiva y una negativa.
Puedes usar el símbolo más o menos, ±,
para indicar ambas raíces cuadradas.
Los números 16, 36 y 49 son ejemplos de
cuadrados perfectos. Un cuadrado perfecto
es un número que tiene enteros como
Hallar las raíces cuadradas positivas y negativas
de un número
Halla las dos raíces cuadradas de cada número.
Aprender a hallar raíces
cuadradas.
A
B
C
9 es una raíz cuadrada, ya que 9 • 9 = 81.
–9 también es una raíz cuadrada, ya que –9 • –9 = 81.
1 es una raíz cuadrada, ya que 1 • 1 = 1.
–1 también es una raíz cuadrada, ya que –1 • –1 = 1.
12 es una raíz cuadrada, ya que 12 • 12 = 144.
–12 también es una raíz cuadrada,
ya que –12 • –12 = 144
4–5 Cuadrados y
raíces cuadradas
C A P Í T U L O
Vocabulario
raíz cuadrada
cuadrado perfecto
Los combates de karate pueden realizarse en
una alfombra cuadrada con un área de 64 m2.
raíces cuadradas. Otros cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 25, 64 y 81.
¡Atención!
√–49 no es igual
a –√49. Un número
negativo no tiene
raíces cuadradas
reales.
√16 = 4 42 = 16
–√16 = –4 (–4)2 = 16
±√16 = ±4
± √81 = ± 9
± √1 = ± 1
± √144 = ±12
EJEMPLO 3 Desarrollar expresiones con raíces cuadradas
Desarrolla la siguiente expresión.
A
B
3√25 + 4
3√25 + 4 = 3(5) + 4 Simplifica la raíz cuadrada.
= 15 + 4 Multiplica.
= 19 Suma.
16
4 + 1
2
16
4 + 1
2 = √4 + 1
2 16
4 = 4.
= 2 + 1
2 Simplifica las raíces cuadradas.
= 21
2 Suma.
Razonar y comentar
1. Describe qué significa un cuadrado perfecto. Da un ejemplo.
2. Explica cuántas raíces cuadradas puede tener un número positivo.
¿En qué se diferencian estas raíces cuadradas?
3. Decide cuántas raíces cuadradas tiene el número 0. Indica lo que
sabes acerca de las raíces cuadradas de los números negativos.
En la prevalencia de las operaciones, todo elemento que está debajo del
símbolo de la raíz cuadrada se trata como si estuviera encerrado entre
paréntesis.
√5 – 3 = √(5 – 3)
2 Aplicación a la informática
El ícono cuadrado hecho por
computadora tiene 676 píxeles.
¿Cuántos píxeles de altura tiene el icono?
Escribe y resuelve una ecuación para hallar
la longitud de un lado.
l 2 = 676
l = √676
l = ±26 676 es un cuadrado perfecto.
Usa la raíz cuadrada positiva; una longitud
negativa no tiene sentido. El ícono tiene
26 píxeles de altura.
EJEMPLO
El icono cuadrado hecho por
computadora tiene 676 puntos de
color que forman la imagen. Estos
puntos se denominan píxeles.
¡Recuerda!
El área de un
cuadrado es l2
donde l es la
longitud del lado.
4–5 Ejercicios
1
1
2
3
2
3
Halla las dos raíces cuadradas de cada número mediante el cálculo mental, luego
revisa tu resultado mediante el cálculo escrito.
1. 4 2. 16 3. 64 4. 121
5. 1 6. 441 7. 9 8. 484
Halla las dos raíces cuadradas de cada número mediante el cálculo mental, luego
revisa tu resultado mediante el cálculo escrito.
14. 25 15. 144 16. 81 17. 169
18. 196 19. 400 20. 361 21. 225
22. Elisa encontró una imagen digital cuadrada de una pintura famosa en un sitio Web. La
imagen contiene 360 000 píxeles. ¿Cuántos píxeles de altura tiene la imagen?
Desarrolla las expresiones.
23. √25 – 6 24. 64
4 25. –(√36 √9) 26. 5(√225 – 10)
9. Un terreno cuadrado tiene una superficie o área de 296 m2. ¿Cuánto mide cada lado
del terreno?
Desarrolla las expresiones.
10. √5 + 11 11. 81
9 12. 3√400 – 125 13. –(√169 – √144)
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Halla las dos raíces cuadradas de cada número.
27. 529 28. 289 29. 576 30. 324
Compara. Escribe <, > o =
31. 4 + √4 8 – √4 32. 16√9 9√16 33. –√1 1 – √36
34. Las habilidades matemáticas de Zacharias Dase se hicieron famosas a través del Crelle’s
Journal en 1844. Dase creó una tabla de factores con todos los números entre 7 000
000 y 10 000 000. Anotó 7 022 500 como cuadrado perfecto. ¿Cuál es la raíz cuadrada
de 7 022 500?
35. Un combate de karate se realiza en una alfombra cuadrada con un área aproximada de
64 cm2. ¿Cuál es la longitud de la alfombra?
36. Estimación El señor Parada compró una alfombra cuadrada. El área de la alfombra es de
aproximadamente 49 m2. Estimó que la longitud de cada lado es de aproximadamente 7 m.
¿Es razonable la estimación del señor Parada? Explica.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
51. ¿Qué número NO tiene una raíz cuadrada que sea un número entero?
A 81 B 196 C 288 D 400
52. Javiera sabe que la superficie de su jardín es un cuadrado de 169 metros cuadrados de
área. Podemos hallar el perímetro del jardín sumando las longitudes de todos sus lados.
¿Cuál es el perímetro del jardín de su casa? Explica tu respuesta.
Desarrolla las potencias.
53. 54 54. 87
55. 1010 56. 122
Escribe cada número en notación científica.
57. 1 970 000 000 58. 2 500 000
59. 31 400 000 000 60. 5 680 000 000 000 000
Juegos
En el juego de
ajedrez, el número
de diferentes
partidas que pueden
jugarse (alrededor
de 10123) excede el
número de átomos
en el universo
(alrededor de 1080)
?
37. Varios pasos Un edificio de oficinas tiene un patio cuadrado con un área de
289 m2. ¿Cuál es la distancia alrededor del borde del patio?
Halla las dos raíces cuadradas de cada número.
38. 1
9 39. 1
121 40. 16
9 41. 81
16
42. 9
4 43. 324
81 44. 1 000
100 000 45. 169
676
46. Juegos Un tablero de ajedrez tiene 32 cuadrados negros y 32 cuadrados blancos.
¿Cuántos cuadrados tiene cada lado del tablero?
47. Un fabricante de cubrecamas con retazos de tela quiere usar la mayor
cantidad de los 65 pequeños cuadrados de género que tiene
para confeccionar un gran cubrecama de retazos de tela
cuadrada.
a. ¿Cuántos cuadrados pequeños puede usar? ¿Cuántos
cuadrados pequeños quedarían sin usar?
b. ¿Cuántos cuadrados pequeños más necesitaría para
confeccionar el próximo cubrecama de retazos de tela más grande
posible?
48. ¿Dónde está el error? Un estudiante dijo que, debido a que las raíces cuadradas
de un número determinado son 1,5 y –1,5, el número debe ser su producto,
–2,25. ¿Qué error cometió el estudiante?
49. Escríbelo Explica los pasos que seguirías para desarrollar la expresión
√14 + 35 – 20.
50. Desafío La raíz cuadrada de un número es tres por siete menos cuatro. ¿Cuál es el
número?
Repaso
EJEMPLO
EJEMPLO
1
2
Cómo estimar las raíces cuadradas de los números
√30 se encuentra entre dos enteros consecutivos. Nombra los enteros.
Explica tu respuesta.
√30
16, 25, 36, 49 Haz una lista de los cuadrados perfectos cercanos a 30.
25 < 30 < 36 Halla los cuadrados perfectos más cercanos a 30. √25 < √30 < √36 Halla las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. 5 < √30 < 6 √30 está entre 5 y 6 porque 30 está entre 25 y 36. Aplicación a la recreación Un helicóptero cubre un área cuadrada de 390 km2 mientras busca a un excursionista perdido. ¿Cuál es la longitud aproximada de cada lado del área cuadrada? Redondea tu respuesta al kilómetro más cercano. 324, 361, 400, 441 Haz una lista de los cuadrados perfectos cercanos a 390. 361 < 390 < 400 Halla los cuadrados perfectos más cercanos a 390. √361 < √390 < √400 Halla las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. 19 < √390 < 20 √390 ≈ 20 390 está más cerca de 400 que 361; por lo tanto, √390 está más cerca de 20 que 19. Cada lado del área mide aproximadamente 20 km de largo. Aprender a estimar raíces cuadradas y a resolver problemas usando raíces cuadradas. 4–6 Cómo estimar raíces cuadradas C A P Í T U L O Una pareja desea instalar un vitral cuadrado enmarcado en madera. Puedes calcular la longitud del marco usando tus conocimientos de cuadrados y raíces cuadradas. Recuerda que un cuadrado perfecto es un número cuyas raíces cuadradas son enteros. Por ejemplo, 25 y 100 son cuadrados perfectos. Puedes usar las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos para estimar las raíces cuadradas de otros números. Vocabulario cuadrado perfecto EJEMPLO EJEMPLO Razonar y comentar 1. Comenta si 9,5 es un buen cálculo a primera vista para √75. 2. Determina qué raíz o raíces cuadrada(s) tendría(n) a 7,5 como un buen cálculo a primera vista. Puedes usar las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos para aproximar la raíz cuadrada de un valor que no es un cuadrado perfecto. También puedes usar una calculadora para aproximar la raíz cuadrada de un valor que no sea un cuadrado perfecto. 3 4 Cómo aproximar las raíces cuadradas al centésimo más cercano Aproxima √200 a la centésima más cercana. Paso 1: Halla el valor del número natural. 196 < 200 < 225 Halla los cuadrados perfectos más cercanos a 200. √196 < √200 < √225 Halla las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. 14 < √200 < 15 El número se encontrará entre 14 y 15. La parte entera de la respuesta es 14. Paso 2: Halla el valor del decimal. 200 — 196 = 4 Halla la diferencia entre el número dado, 200, y el cuadrado perfecto más bajo. 225 – 196 = 29 Halla la diferencia entre el cuadrado perfecto más alto y el cuadrado perfecto más bajo. 4 29 Escribe la diferencia como una razón. 4 : 29 ≈ 0,138 Divide para hallar el valor decimal aproximado. Paso 3: Halla el valor aproximado. 14 + 0,138 = 14,138 Combina el número natural y el decimal. 14,138 ≈ 14,14 Redondea a la centésima más cercana. El valor aproximado al centésimo más cercano de √200 es 14,14. Usar una calculadora para estimar el valor de una raíz cuadrada Usa una calculadora para hallar √700. Redondea el número al décimo más cercano. √700 ≈ 26,45751311 Usa una calculadora. √700 ≈ 26,5 Redondea a la décima más cercana. √700 Leer matemáticas El símbolo ≈ significa “es aproximadamente igual a“. 4–6 Ejercicios 1 2 3 4 1 2 3 4 Cada raíz cuadrada está entre dos números enteros consecutivos. Menciona los números enteros. Explica tu respuesta. 1. √40 2. √90 3. √156 4. √306 5. √250 6. Con 4 litros de sellador de agua se puede cubrir una terraza cuadrada con un área de 18 metros cuadrados. ¿Aproximadamente qué longitud tiene cada lado de la terraza? Redondea tu respuesta a la unidad más cercana. Aproxima cada raíz cuadrada a la centésima más cercana. 7. √42 8. √73 9. √156 10. √236 11. √275 Usa una calculadora para hallar cada valor. Redondea al décimo más cercano. 12. √74 13. √341 14. √3 600 15. √190 16. √5 120 Cada raíz cuadrada está entre dos números enteros consecutivos. Menciona los números enteros. Explica tu respuesta. 17. √52 18. √3 19. √600 20. √2 000 21. √410 22. El área de un campo cuadrado es 225 m2. ¿Cuál es la longitud aproximada de cada lado del campo? Redondea tu respuesta a la unidad más cercana. Aproxima cada raíz cuadrada a la centésima más cercana. 23. √19 24. √84 25. √123 26. √251 27. √290 Usa una calculadora para hallar cada valor. Redondea a la décima más cercana. 28. √58 29. √915 30. √550 31. √150 32. √330 Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo Ver ejemplo PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN PRÁCTICA INDEPENDIENTE Escribe la letra que identifica la posición de cada raíz cuadrada. 33. –√3 34. √5 35. √7 36. –√8 37. √14 38. √0,75 39. Se desea instalar un vitral cuadrado cuya área es 576 centímetros cuadrados. Redondeando al décimo de centímetro más cercano, ¿qué longitud de marco de madera se necesita para cubrir el borde vitral? 40. Cada cuadrado del tablero de ajedrez mural de Laura mide 13 centímetros cuadrados. Un tablero de ajedrez tiene 8 cuadrados por lado. Redondeando a la centésima más cercana, ¿cuál es el ancho del tablero de ajedrez de Laura? –3 –2 –1 0 1 2 3 4 A B C D E F PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 50. ¿Cuál de las siguientes raíces tiene un valor entre 14 y 25? A √188 B √200 C √227 D √324 51. Halla el producto de √42 • √94 y aproxímalo a la centésima más cercana. Calcula el valor de cada expresión para los valores dados de las variables. 52. 4x + 5y para x = 3 e y = 9 53. 7m – 2n para m = 5 y n = 7 54. 8h + 9j para h = 11 y j = 2 55. 6s — 2t para s = 7 y t = 12 Halla las dos raíces cuadradas de cada número. 56. 100 57. 64 58. 484 59. 1296 Ciencias Los pilotos usan información visual e instrumentos para guiarse cuando vuelan. 41. En la sala de clase hay 3 dados. El dado rojo tiene un volumen de 125 centímetros cúbicos, el dado azul tiene un volumen de 343 centímetros cúbicos y el verde tiene un volumen de 1 331 centímetros cúbicos. ¿Que dimensiones tienen las aristas de cada uno de los dados? Ordena los números del menor al mayor. 42. √50 ; 15 2 ; 7,7 ; √160 2 43. 1,1 ; 1 3 √9 ; 8 9 ; √2 44. Varios pasos Halla el perímetro del siguiente cuadrado. 45. Ciencias La fórmula D = 0,013 • √A da la distancia en kilómetros hacia el horizonte desde un avión que vuela a una altitud de A kilómetros. Si un piloto está volando a una altitud de 3 500 metros, ¿a qué distancia está el horizonte aproximadamente? Redondea tu respuesta al kilómetro más cercano. 46. Varios pasos Un cartel cuadrado está hecho de 40 hileras de 40 fotos cada una. El área de cada foto cuadrada es 4 cm2. ¿Cuál es la longitud de cada lado del cartel? 47. ¿Dónde está el error? Para hallar √5 , Leonor dijo que como 22 = 4 y 32 = 9, el número está entre 2 y 3 y; por lo tanto, la mejor estimación es 2 + 3 2 = 2,5. ¿Qué error cometió? 48. Escríbelo Explica cómo sabes si √29 está más cerca de 5 o de 6 sin usar la calculadora. 49. Desafío La rapidez de un tsunami en metros por hora puede hallarse con V = √9,8 p , donde p es la profundidad del agua en metros. Supongamos que la profundidad del agua es de 118 metros. a. ¿A qué rapidez se mueve el tsunami en metros por segundo? b. ¿Cuánto tiempo le llevaría al tsunami recorrer 3 000 metros si la profundidad del agua fuera de unos 297 metros constantes? ? Área = 121 centímetros cuadrados Repaso 4 ¿Listo para seguir? Prueba de las lecciones 4-5 a 4-6 4–5 Cuadrados y raíces cuadradas Halla las dos raíces cuadradas de cada número. 1. 16 2. 121 3. 9 801 4. 10 000 5. 10 404 6. 1 024 7. 529 8. 324 9. 484 10. 14 400 11. 8 100 12. 576 13. 3 721 14. 6 724 15. 5 625 16. 2 116 17. 1 521 18. 9 409 19. 11 664 20. 62 500 21. Si la sala de Juan mide 10 metros • 8 metros, ¿cabrá una alfombra de 85 metros cuadrados? Explica tu respuesta. 22. ¿Cuántos azulejos cuadrados de 2 centímetros • 2 centímetros cabrán a lo largo de un lado de un mosaico cuadrado cuya área es 196 centímetros cuadrados? 4–6 Cómo estimar raíces cuadradas Cada raíz cuadrada está entre dos números enteros consecutivos. Menciona los números enteros. Explica tu respuesta. 23. –√72 24. √46 25. √200 26. √104 27. –√340 28. √19 29. √610 30. √29 31. –√26 32. √504 33. √353 34. √78 35. –√98 36. √235 37. √1 480 38. √41 39. –√75 40. √780 41. √2 300 42. √78 43. –√97 44. √1 427 45. √4 230 46. Tonga es un país que se encuentra ubicado en Oceanía y tiene una superficie de 747 km2. Si tuvieras que construir un cuadrado que tuviera la misma superficie de Tonga, ¿qué longitud tendría cada uno de sus lados? Realiza el mismo cálculo para los países que se muestran en la tabla: 47. El área de un tablero de ajedrez es 576 centímetros cuadrados. Halla la longitud de un lado del tablero redondeando a la centésima más cercana. 48. El área de un jardín es 46 m2. Si el jardín es rectangular y tiene un lado A de 8 metros, calcula su lado B. C A P Í T U L O ¿Listo para seguir? País Área (km2) Longitud de lado si fuera un cuadrado Chile 756 102 Brasil 8 514 877 Argentina 2 780 400 Perú 1 285 216 Colecciones del Museo Nacional de Historia Natural Categoría Cantidad de especímenes Coleópteros 7,3 • 104 Dípteros 1,5 • 104 Himenópteros 4,5 • 104 Lepidópteros 1 • 104 Arácnidos 2,3 • 104 4 C A P Í T U L O Conexiones con el mundo real El Museo Nacional de Historia Natural de la Quinta Normal La atracción turística más visitada en la comuna de Quinta Normal es el Museo Nacional de Historia Natural fundado en 1830. Entre sus atracciones se encuentra la Colección Nacional de Insectos. En la tabla se muestra la cantidad de algunos tipos de especímenes de la Colección Nacional de Insectos del museo. Usa la información de la tabla para resolver los problemas del 1 al 4. 1. Escribe la cantidad de coleópteros en forma habitual. 2. ¿El museo contiene una cantidad mayor de dípteros o de himenópteros? Explica cómo lo sabes. 3. ¿Cuántos especímenes más de arácnidos que de lepidópteros hay en el museo? 4. El museo contiene un total de 16,6 • 104 insectos. ¿Aproximadamente, qué fracción de los especímenes del museo son lepidópteros? Explica cómo determinaste tu respuesta. 5. En el museo hay un esqueleto de una ballena de 35 metros de largo que se encuentra en una vitrina de exhibición. Si la vitrina tiene el mismo largo de la ballena y la longitud de la diagonal de la ventana rectangular es 37 m, ¿cuál sería la altura de la vitrina redondeada a la décima de metro más cercana? Bingo de ecuaciones Para jugar al Bingo de ecuaciones es necesarios que te juntes con varios compañeros y compañeras de curso. Cada tarjeta del bingo contiene varios números El coordinador tiene una lista de ecuaciones que leerá en voz alta. Cada vez que lea una ecuación, los jugadores la resuelven para hallar la variable y, si tienen la solución en sus tarjetas, colocan una ficha sobre ella. Gana el primer jugador que complete una hilera de fichas en forma vertical, horizontal o diagonal. La copia completa de las reglas y las piezas del juego se encuentran disponibles en línea. (http://recursoseducativosdematemtica.blogspot.com/2012/01/bingo-de-ecuaciones-deprimer- grado.html) Completa los siguientes cuadrados mágicos. √36 22 80 √9 32 – 2 –(√4 + 4) –(90) –(√16) 03 –(√9 ) 20 + 1 Usa los números –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 y 4 para hacer un cuadrado mágico en el cual la suma de sus filas, columnas y diagonales sea 0. 1 2 Según una antigua leyenda china, una tortuga del rio Lo tenía el diseño de este cuadrado mágico dibujado en su caparazón. Cuadrados mágicos Un cuadrado mágico es un cuadrado con números dispuestos de tal forma que las sumas de los números de cada fila, columna y diagonal son las mismas. ¡Vamos a Jugar! ACTIVIDAD GRUPAL Materiales • hoja de papel blanco (36 cm por 15 cm) • trozo de papel decorativo (12 cm por 12 cm) • cinta • trocitos de papel decorativo • marcadores • pegamento PROYECTO Paquetes matemáticos Instrucciones 1 2 3 4 A B LOS EXPONENTES SE USAN PARA ESCRIBIR EXPRESIONES DE MULTIPLICACIÓN QUE TIENEN FACTORES REPETIDOS. SIMPLIFICA NOS PERMITEN SIMPLIFICAR EXPONENTES LOS CUADRADOS Y LAS RAÍCES CUADRADAS SON CONCEPTOS IMPORTANTES Y NECESARIOS EN ÁLGEBRA, SUPERIORES DE MATEMÁTICA EJEMPLOS EJEMPLOS NOTACIÓN CIENTÍFICA FORMA ESTÁNDAR no está definido EXPONENTES EXCELENTES DEFINICIÓN PROPIE UNA MANERA ÚTIL DE EXPRESAR NÚMERO NÚMEROS,PARA EXPRESAR NÚMEROS MUY PEQUEÑOS NOTACIÓN CIENTÍFICA, NECESITAMOS EXPONENTES NEGATIVOS. EL CUADRADO CUADRADOS A B Diseña tu propio paquete para guardar tus notas sobre potencias y raíces. Haz pliegues tipo acordeón en el papel blanco de forma tal que queden seis paneles de aproximadamente 6 cm de ancho. Figura A Pliega el papel en forma de acordeón. Envuelve la parte del medio del acordeón con el papel decorativo. El acordeón sobresaldrá a cada lado. Une con cinta los extremos del papel decorativo para formar una faja. Figura B Escribe el número y título del capítulo en pedacitos de papel decorativo y pégalos a la faja. Tomar notas de matemáticas Usa los paneles del papel con forma de acordeón para tomar notas de los conceptos clave de este capítulo. Incluye ejemplos que te servirán para recordar operaciones con exponentes, raíces y el teorema de Pitágoras. Pliega el papel y guárdalo nuevamente dentro de la faja. C A P Í T U L O 4 Vocabulario Guía de etudio: Repaso EJEMPLOS EJERCICIOS 2 Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Una potencia consta de un(a) ____________ elevado(a) a un(a) ____________. 2. El/La ____________ es una forma abreviada de escribir números extremadamente grandes o pequeños. 3. Un____________ es un número que tiene enteros como raíces cuadradas. 4. En la multiplicación de __________________________ se mantienen las bases y se suman los exponentes. 5. En la división de __________________________ se dividen las bases y se mantiene el exponente. 4–1 Potencias Escribe en forma de potencias. 6. 7 • 7 • 7 7. (–3) • (–3) 8. k • k • k • k 9. 9 10. (–2) • (–2) • d • d 11. 3n • 3n • 3n 12. 6 • x • x 13. 10 000 Desarrolla. 14. 54 15. (–2)5 16. (–1)9 17. 28 18. (3)1 19. 43 20. (–3)3 21. (5)2 22. 151 23. 64 24. 105 25. (–2)7 Guía de estudio: Repaso Escribe en forma de potencia. 4 • 4 • 4 43 Indica cuántas veces se usa el 4 como factor. Desarrolla. (2)3 (2) • (2) • (2) 8 Halla el producto de tres 2. exponente..................................142 base............................................142 potencia......................................142 multiplicar potencias................146 potencias de igual base............146 potencias de igual exponente..146 dividir potencias........................150 elevar una potencia a otra potencia......................................150 notación científica.....................154 raíz cuadrada.............................162 cuadrado perfecto.....................162 EJEMPLOS EJERCICIOS Prueba del capítulo 24-4 Notación científica Escribe en forma habitual. 54. 1,62 • 103 55. 1,62 • 10–3 56. 9,1 • 105 57. 9,1 • 10–5 Escribe en notación científica. 58. 385 59. 0,04 60. 0,000000008 61. 73 000 000 62. 0,0000096 63. 56 400 000 000 64. Un colibrí pesa aproximadamente 0,0068 kilogramos. Escribe el peso de 50 colibríes en notación científica. 65. Completa la tabla escribiendo como notación científica cada uno de los números: Notación científica 25 000 000 000 4 000 0,000012 0,113 0,0025 789 000 000 Escribe en forma habitual. 3,58 • 104 3,58 • 10–4 3,58 • 10 000 3,58 • 1 10 000 35 800 3,58 : 10 000 0,000358 Escribe en notación científica. 0,000007 = 7 • 10–6 62 500 = 6,25 • 104 4-2 Multiplicación de potencias con igual base o exponente Escribe el producto como una potencia. 25 • 23 25 + 3 Suma los exponentes. 28 ( 2 3 3 · ( 5 4 3 Multiplica las bases y mantén el exponente. ( 2 3 · 5 4 3 4-3 División de potencias con igual base o exponente Escribe el cociente como una potencia. Escribe el cociente como una potencia. (2,5)2 : (2)2 (2,5 : 2)2 : Divide las bases y mantén el (1,25)2 exponente. 109 102 109 – 2 Resta los exponentes. 107 44. 82 85 45. 93 9 46. m7 m2 47. 35 3–2 48. 4–5 4–5 49. y6 y–3 50. y6 ÷ y 51. k4 ÷ k4 52. y6 ÷ y 53. k4 ÷ k4 Escribe el producto como una potencia. 26. 42 • 45 27. 92 • 94 28. p • p3 29. 15 • 152 30. 62 • 32 31. x4 • x6 32. 50 • 53 33. 50 • 53 34. 22 • 52 35. 22 : 52 36. ( 2 3 2 · ( 5 7 2 37. ( 2 3 2 · ( 5 7 2 38. (2,1)5 • (5,5)5 39. 25 : 55 40. ( 3 8 3 · ( 1 6 3 41. ( 7 8 4 · ( 5 6 4 42. ( 1 7 6 · ( 2 9 6 43. ( 6 11 3 · ( 6 11 2 Guía de estudio: Repaso EJEMPLOS EJERCICIOS 4-6 Cómo estimar raíces cuadradas Halla la longitud de los lados de un cuadrado que tiene un área de 359 metros y exprésala con un solo lugar decimal. Luego halla el perímetro del cuadrado redondeando a la décima más cercana. Lado = √359 ≈ 18,9 Perímetro ≈ 4(18,9) ≈ 75,6 metros Halla el perímetro de cada cuadrado con el área dada. Redondea al décimo más cercano. 87. El área del cuadrado ABCD es 500 cm2. 88. El área del cuadrado MNOP es 1 750 cm2. 89. El área del cuadrado HIJK es 250 m2. 90. El área del cuadrado QRST es 900 m2. 91. El área del cuadrado FGHI es 496 m2. 92. El área del cuadrado DEFG es 441 m2. 93. El área del cuadrado VWXY es 6 561 m2. 94. El área del cuadrado LMNÑ es 625 m2. 95. El área del cuadrado DEFG es 1 024 m2. Estima las raíces. Comprueba tu resultado con la operación inversa. 96. √(6 225) 97. √490 98. √(100 000) 99. √28 100. √139 101. √745 102. √200 103. √90 104. √72 105. √60 106. √99 107. √111 108. √12 109. √79 110. √43 111. √225 112. √56 113. √150 114. √345 115. √140 116. √72 0 117. √258 118. √35 119. √20 120. √33 121. √40 122. √191 123. √59 124. √70 125. √10 4-5 Cuadrado y raíces cuadradas Halla las dos raíces cuadradas de cada número. 66. 16 67. 900 68. 676 Simplifica y desarrolla las expresiones. 69. √4 + 21 70. √100 20 71. √34 Calcula. 72. √625 73. √49 74. √(10 000) 75. √100 76. √121 77. √841 78. √225 79. √729 80. √324 81. √64 82. √144 83. √81 84. √196 85. √484 86. √256 Halla las dos raíces cuadradas de 400. 20 • 20 = 400 (–20) • (–20) = 400 Las raíces cuadradas son 20 y –20. Prueba del capítulo 4 Prueba de capítulo C A P Í T U L O Desarrolla. 1. 109 2. 11–3 3. 27 4. 3–4 Desarrolla. Escribe tu respuesta como una potencia. 5. 33 36 6. 79 • 72 7. (510)6 8. 11–7 117 9. 273 • 2718 10. (527)3 11. 130 • 139 12. 812 87 Escribe cada número en forma habitual. 13. 2,7 • 1012 14. 3,53 • 10–2 15. 4,257 • 105 16. 9,87 • 1010 17. 4,8 • 108 18. 6,09 • 10–3 19. 8,1 • 106 20. 3,5 • 10–4 Escribe cada número en notación científica. 21. 19 000 000 000 22. 0,0000039 23. 1 980 000 000 24. 0,00045 25. Una bolsa de granos de cacao pesa aproximadamente 60 kilogramos. ¿Cuánto pesarían 1 000 bolsas de granos de cacao? Escribe tu respuesta en notación científica. Halla las dos raíces cuadradas de cada número. 26. 196 27. 1 28. 10 000 29. 625 30. El área mínima de una colchoneta cuadrada para lucha es de 144 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud de los lados de la colchoneta? Cada raíz cuadrada está entre dos números enteros consecutivos. Menciona los números enteros. Explica tu respuesta. 31. √230 32. √125 33. √89 34. –√60 35. Un cuadrado tiene un área de 13 m2. Redondeando a la décima más cercana, ¿cuál es su perímetro? Halla la longitud que falta de cada triángulo rectángulo. Redondea a la décima más cercana. 36. a = 5, b = 7, c = 37. a = 9, b= 10, c = 38. a = 23, b = 25. c = 39. Lupe quiere instalar una cerca para dividir su jardín cuadrado por la mitad en forma diagonal. Si cada lado del jardín mide 16 metros de largo, ¿qué longitud deberá tener la cerca? Redondea tu respuesta a la centésima de metro más cercana. 4 Opción múltiple 1. ¿Qué expresión equivale a 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3? A 36 B 63 C 93 D 729 2. Un número elevado a la 8ª potencia dividido entre el mismo número elevado a la 4ª potencia es 16. ¿Cuál es ese número? A 2 B 4 C 6 D 8 3. ¿Qué expresión equivale a 81? A 29 B 92 C Q 1 9 R 9 D Q 1 3 R 4 4. En los aeropuertos de Estados Unidos se investigó a más de 739 000 000 de personas en 2005. ¿Cuál de las siguientes opciones expresa el mismo número escrito en notación científica? A 7,39 • 106 B 7,39 • 10–8 C 7,39 • 108 D 7,39 • 109 5. La población de India es aproximadamente 1,14 • 109. ¿Cuál de las siguientes opciones representa esta cantidad escrita en forma habitual? A 1 140 000 000 B 140 000 000 C 1 140 000 D 114 000 6. Matilde descubre que una cría de lagartija crece aproximadamente 0,15 cm por semana. ¿Qué ecuación representa mejor la cantidad de semanas que tardará la lagartija en alcanzar una longitud de 30 cm si medía 10 cm de largo cuando salió del cascarón? A 0,15x + 10 = 30 B s + s + 10 20 = 0,51 C 0,15 + 10 = 20 D s 1 + 10 = 30 7. Se resta 8 de un número k y se multiplica el resultado por 8. Luego se divide el producto entre 2. ¿Cuál es el resultado final? A 8k – 4 B 4k – 32 C 4k – 8 D 8k – 64 8. ¿Para qué par de catetos 15 es el valor de la hipotenusa en un triángulo rectángulo? A (5 y 7) B (8 y 11) C (9 y 12) D (10 y 12) 9. Se confecciona una colcha de retazos con 10 piezas cuadradas de género. Si el área de cada cuadrado es 169 milímetros cuadrados, ¿cuál es la longitud de cada cuadrado? A 12 mm B 14 mm C 13 mm D 15 mm 10. ¿Qué número NO está entre 1,5 y 1,75? A 11 4 B 1,62 C 1,73 D 113 25 11. ¿Entre qué par de números se encuentra √18? A 8 y 9 B 4 y 5 C 7 y 8 D 3 y 4 C A P Í T U L O Evaluación acumulativa Capítulos 1-4 12. Gabriela compró una alfombra cuadrada para poner en el comedor de su casa. Según el fabricante la alfombra tiene un área 16 m2. ¿Cuánto mide la alfombra por cada lado? Cada lado de la alfombra mide: A 4 m B 12 m C 2 m D 8 m 13. ¿Qué exponente hace que el enunciado 3? = 272 sea verdadero? 14. El patio de Fernando tiene forma de cuadrado. Fernando quiere tomar una de las esquinas del patio para hacer un pequeño jardín japonés. Si cada cateto de triángulo rectángulo que forma el jardín mide 7 m y 8 m respectivamente, ¿cuántos metros mide aproximadamente la hipotenusa? Explica el método que seguiste. 15. Laura tiene 25 años más que su perro. La suma de sus edades es 37. ¿Cuántos años tiene el perro de Laura? 16. Calcula el valor de la expresión, 4 5 – Q 1 2 – x R para x = 1 5 . 17. El área de un cuadrado es 169 centímetros cuadrados. ¿Cuál es la longitud de un lado? 18. Desde su casa, Eli recorrió en bicicleta 8 cuadras hacia el Norte y luego 15 cuadras hacia el Oeste hasta la casa de una amiga. ¿A qué distancia en cuadras estaba de su casa por un camino recto? 19. Una bolsa de porotos pesa 95 kilogramos. a. ¿Cuánto pesan 10 000 bolsas de porotos Escribe tu respuesta en forma estándar. b. Escribe los números 210 y 10 000 en notación científica. c. Explica cómo usar las reglas de los exponentes para escribir el peso de 10 000 bolsas de porotos en notación científica. 20. Juan Ignacio trabaja medio día con su padre colocando alfombras industriales. Deben instalar una alfombra en una bodega cuadrada de aproximadamente 876 m2. La alfombra sólo se puede encargar en metros cuadrados completos. a. ¿Aproximadamente, cuántos metros de largo tiene la habitación? b. ¿Aproximadamente, cuántos centímetros cuadrados de alfombra necesitarán Juan Ignacio y su padre para cubrir todo el piso de la habitación? Explica tu razonamiento. 21. El gato de Marisol está atrapado en una rama de un árbol a 7 metros del suelo. Marisol mide 1,67 metros de altura y tiene una escalera de 5 metros de altura. a. Crea una tabla en la que se muestre la altura del árbol que podrá alcanzar el extremo superior de la escalera si Marisol coloca la base de la escalera a 1, 2, 3, 4 y 5 metros del árbol. b. ¿A qué altura llegará Marisol si coloca la base de la escalera a las distancias indicadas en la parte a y se para sobre un peldaño a 1 metro del extremo superior de la escalera? c. ¿Crees que Marisol puede usar esta escalera para rescatar a su gato? Explica tu razonamiento. Responde verdadero (V) o falso (F) 22. ______ Una potencia corresponde al producto de elevar una base a un exponente. 23. ______ Un exponente negativo es un exponente que no produce cambios en la base. 24. ______ Al multiplicar dos potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Índice tematico 20. x = -3 Página 117 1. En un triángulo equilátero 2. Sí es posible, un ángulo de 230° es mayor que un ángulo de 180°. EN ESTA UNIDAD PODRÁS... Latinstock Las bacterias son microorganismos de tamaño muy pequeño, invisibles al ojo humano. Cuando las bacterias se encuentran en un medio favorable, son capaces de reproducirse rápidamente, de manera que, a partir de una bacteria progenitora, se generan dos bacterias hijas, y así sucesivamente. Una alimentación sana y libre de bacterias es muy importante para la salud de un ser humano. ¿Sabías que la Escherichia coli de la imagen es una bacteria que habita comúnmente en el intestino humano y puede producir desde infecciones intestinales y urinarias hasta meningitis en el recién nacido o neumonías en pacientes con baja inmunidad? Piensa y responde: 1. La colonia de bacterias Escherichia coli se duplica cada 20 minutos. Si en un comienzo la vejiga y el tracto urinario de una persona contienen 10 bacterias de este tipo, ¿cuántas habrá al cabo de una hora?, ¿y al cabo de dos?, ¿y al cabo de un día? Explica cómo lo calculaste. 2. Si en un comienzo hubiese contenido 108 bacterias Escherichia coli, ¿cuántas bacterias tendría al cabo de un día? CONVERSEMOS DE... ¿CUÁNTO SABES? Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1. Escribe como multiplicación y resuelve. a) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = b) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = d) + + + + + + + + = e) (0,2) + (0,2) + (0,2) + (0,2) = f) (0,1) + (0,1) + (0,1) + (0,1) + (0,1) = 2. Determina la factorización prima de los siguientes números: a) 144 d) 1025 g) 2100 b) 216 e) 1680 h) 3780 c) 735 f) 2000 i) 4096 3. Resuelve las siguientes multiplicaciones: a) 27 • 81 = m) • = b) 125 • 25 = n) • = c) 12 • 144 = ñ) • = d) 49 • 343 = o) • = e) 13 • 169 = p) 0,42 • 0,183 = f) 100 • 10 000 = q) 1,25 • 0,457 = g) 100 000 • 1000 = r) 0,4 • 0,123 = h) • • = s) 0,009 • 0,3 = i) • = t) 1000 • 0,001 = j) • • = u) 0,01 • 0,001 = k) • = v) 1,27 • 2,439 = l) • = w) 3,98 • 12,8 = 27 1000 9 10 100 125 25 10 000 41 48 36 41 13 24 8 39 1 100 1 10 125 4 15 27 2 9 21 10 5 6 20 21 5 6 3 7 2 7 2 7 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4. Antes de calcular, estima si cada producto es menor o mayor que 1. Luego, resuelve y compara el resultado con tu estimación. a) ( ) • ( ) = f) ( )•( )= k) 1,12 • 0,75 = b) ( ) •( )= g)( )•( )= l) 1,08 • 0,99 = c) ( )•( )= h) ( )•( )= m)1,797 • 0,89 = d)( )•( )= i) ( )•( )= n) 1,32 • 0,68 = e) ( )•( )= j) 1,021 • 0,92 = ñ) 2,25 • 0,32 = 5. Calcula el área de las siguientes figuras: a) b) Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 1000 630 63 100 1225 1000 7 10 100 121 81 100 62 64 32 31 26 27 15 13 25 21 12 17 12 7 9 11 10 9 5 8 8 7 2 7 ¿QUÉ DEBES RECORDAR? • En la multiplicación de números naturales, se cumple: – Clausura: si a y b son números naturales, entonces a • b es un número natural. – Conmutativa: si a y b son números naturales, entonces: a • b = b • a – Asociativa: si a, b y c son números naturales, entonces: (a • b) • c = a • (b • c) – Distributiva respecto a la adición: si a, b y c son números naturales, entonces: a • (b + c) = a • b + a • c • Para multiplicar fracciones, se deben multiplicar los numeradores entre sí y luego los denominadores entre sí. • Para multiplicar números decimales, se deben multiplicar como si fueran números enteros y luego separar el producto tantas cifras decimales como cifras decimales tengan en total los factores que fueron multiplicados. 3 cm 3 cm 4 cm 1 cm 2 cm 5 cm NO OLVIDES QUE... Potencias como interpretación de factores iguales Una empresa constructora edificó un condominio de 6 edificios con 6 pisos cada uno y 6 departamentos por piso. Si cada departamento fue pensado para ser habitado cómodamente por 6 personas, ¿cuántas personas podrían vivir en esa condición si se ocuparan todos los departamentos? Observa que la multiplicación anterior tiene el mismo factor (6) cuatro veces, luego se puede escribir en forma abreviada como 64. 6 • 6 • 6 • 6 = 64 Esta forma de escribir abreviadamente una multiplicación de factores iguales se denomina potencia. PARA DISCUTIR • ¿Cuántos departamentos hay en cada edificio? • ¿Cuántos departamentos hay en el condominio?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuántas personas podrían vivir en el condominio?, ¿cómo lo calculaste? • La situación anterior la podríamos resolver rápidamente calculando el producto de 6 • 6 • 6 • 6, ¿por qué?, ¿qué significa cada 6 en el contexto del problema? base exponente base exponente • Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. En ella se reconocen la base y el exponente. Ejemplo: a n Se lee: “a elevado a n”. • La base corresponde al factor que se repite; el exponente indica cuántas veces debe repetirse dicho factor. • El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente, es decir: a n = a • a • … • a = b n veces valor de la potencia a) Dos elevado a cuatro. e) Dos tercios al cuadrado. b) Cinco elevado a dos. f) Tres décimos al cubo. c) Un medio elevado a cinco. g) Veintisiete centésimos elevado a ocho. d) Siete al cuadrado. h) Sesenta y cuatro milésimos elevado a seis. 2. Escribe con palabras las siguientes potencias: a) 35 c) 162 e) ( )8 b) 83 d) ( )7 f) 0,74 3. Desarrolla y calcula el valor de cada potencia. a) 64 = c) 53 = e) 0,35 = b) 35 = d)( )4 = f) 0,83 = 4. Reduce las siguientes expresiones utilizando potencias. a) 18 • 18 • 18 + 9 • 9 • 9 = e) (1,25) • (1,25) • (1,25) • (1,25) = b) 4 • 4 • 4 + 4 • 4 • 4 + 4 • 4 • 4 = f) (6,65) • (6,65) • (6,65) • (6,65) = c) 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = g) (6,3) • (6,3) + (6,3) • (6,3) + (6,3) • (6,3) = d) ( )•( )•( )•( )•( )= h) ( )•( )•( )•( )+ ( )•( )= 5. Completa el exponente de cada potencia para que la igualdad sea verdadera. a)2 = 8 d) 5 = 125 g) 0,5 = 0,125 b) 2 = 32 e) 0,1 = 0,001 h) 10 = 1 000 000 c) 3 = 81 f) 0,2 = 0,008 i) 0,5 = 0,0625 6. Luisa llama a cuatro personas y les informa de una campaña de recolección de alimentos. Cada una de estas cuatro personas, llama a otras cuatro personas distintas para contarles sobre la campaña y así, una a una, le van contando a cuatro nuevas personas. a) ¿Cuántas personas son informadas en el nivel 4?, ¿y en el nivel 6? Explica cómo lo calculaste. b) Si cada una de las personas informadas en el nivel 7 aportan un alimento no perecible, ¿cuántos alimentos no perecibles se reunirán en este nivel? 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 9 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 4 7 10 1 2 1. Escribe como potencia los siguientes enunciados: EN TU CUADERNO Nivel 0 Potencias con base natural y exponente natural Como se mencionó antes, las bacterias se reproducen por bipartición, esto quiere decir que una bacteria se divide en dos iguales en un tiempo determinado. Observa el diagrama que muestra lo que ocurre si se introduce en un tubo de ensayo una bacteria que se divide en dos cada 5 minutos. 1. Calcula el valor de cada potencia y luego responde: a) 24 = b) 26 = c) 42 = d) 44 = e) 102 = f) 104 = • ¿En qué se parecen las bases, los exponentes y el valor de la potencia?, ¿qué puedes concluir? 2. Mario está embaldosando una terraza y necesita saber cuánto mide el lado de cada baldosa, pero no tiene ningún instrumento para medir. Solo sabe que las baldosas son todas iguales, cuadradas y cada una cubre un área de 100 cm2. Observa el procedimiento que utiliza. El área de un cuadrado es igual a la medida de un lado al cuadrado, entonces busco un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 100. a) ¿Es correcto el procedimiento de Mario?, ¿por qué? b) ¿Cuánto mide el lado de cada baldosa? c) Digita en una calculadora el número 100 y luego calcula la raíz cuadrada de este número, digitando √ . ¿Qué obtienes? Compara el valor obtenido con la medida del lado de cada baldosa. d) Calcula cuánto mediría el lado de una baldosa, si su área fuera: 225 cm2 289 cm2 441 cm2 625 cm2 1296 cm2 e) Verifica tus resultados con la calculadora repitiendo lo que hiciste en la letra c). ¿Obtuviste los mismos resultados? f) Mario dice que para un número a positivo se cumple que si x2 = a, entonces x = √a. ¿Qué opinas?, ¿por qué? EN TU CUADERNO 1 2 = 21 4 = 2 • 2 = 22 8 = 2 • 2 • 2 = 23 5 min 5 min 5 min PARA DISCUTIR • ¿Cuántas bacterias hay a los 20 minutos?, ¿y a los 25 minutos? • ¿Cuántas veces debe dividirse una bacteria para que el tubo tenga 128 organismos? ¿A qué potencia de 2 corresponde ese número? • ¿Cuánto tiempo pasa desde que se introduce una bacteria en el tubo hasta que tenga 128 organismos? El símbolo √ representa la raíz cuadrada de un número. A yuda 3. Compara los resultados en cada caso y completa con < o >, según corresponda.
a) (3 + 2)2 ___ 32 + 22 c) (4 + 1)2 ___ 42 + 12 e) (5 + 2)2 ___ 52 + 22
b) (3 – 2)2 ___ 32 – 22 d) (2 – 1)2 ___ 22 – (1)2 f) (6 – 4)2 ___ 62 – 42
4. Si a y b son dos números positivos, con a > b, completa con el signo < o >, según corresponda.
a) (a + b)2 ____ a2 + b2 b) (a – b)2 ____ a2 – b2
• ¿Crees que siempre ocurre lo mismo? Explica.
5. Macarena está analizando el grado de descomposición de un alimento. Ella considera que el alimento
está contaminado si la cantidad de bacterias por milímetro cuadrado es 512 o más. Si en un comienzo
hay una bacteria por milímetro cuadrado y se sabe que esta bacteria tarda cerca de 20 minutos en
reproducirse, ¿cuánto tiempo tardará el alimento en estar descompuesto?
0
200
400
600
800
1000
1200
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Tiempo transcurrido
(min)
Nº de
bacterias Crecimiento de una población bacteriana
Tiempo
transcurrido
Período
de 20 min
Número de
bacterias
Número de
bacterias como
potencias
0 0 1 20
20 min 1 2 21
40 m 2 4 22
1 h 3 8 23
1 h, 20 min 4 16 24
1 h, 40 min 5 32 25
2 h 6 64 26
2 h, 20 min 7 128 27
2 h, 40 min 8 256 28
3 h 9 512 29
3 h, 20 min 10 1024 210
a) Si se continúa observando el comportamiento de las bacterias, ¿cuántas habrá por mm2 en
240 minutos?, ¿en 6 horas?, ¿y en 4 horas, 40 minutos?
b) ¿En cuánto tiempo es posible esperar 65 536 bacterias por mm2?
c) Si el experimento comenzó a las 12:20 horas, ¿a qué hora hay 128 bacterias por mm2?, ¿a qué
hora el alimento se considera contaminado?, ¿cuántas bacterias por mm2 hay a las 18:40?
• Si la base de una potencia es 1, el valor de la potencia para cualquier exponente es 1.
• Si el exponente de una potencia es 1, el valor de la potencia es igual a la base.
• Si el exponente de una potencia es 0 y la base es distinta de cero, el valor de la potencia
es 1. Si es cero este valor no existe. En general: 1n = 1; a1 = a; a0 = 1 con a = 0
• Para calcular la raíz cuadrada de un número positivo a (√a. ), puedo buscar un
número (x) cuyo cuadrado sea a. Es decir, x2 = a, entonces x = √a.
NO OLVIDES QUE…
Potencias con base fraccionaria
y exponente natural
Como ya vimos, las bacterias crecen exponencialmente, lo que les
permite colonizar rápidamente un cierto medio, normalmente
vacío. Luego de alcanzar grandes densidades poblacionales,
experimentan reducciones en su número e incluso la extinción total
debido, por ejemplo, a la falta de alimento o a la acumulación de
residuos tóxicos. La disminución del número de bacterias producto
de la sobrepoblación también puede ser exponencial, pero como
una potencia de base fraccionaria menor que 1.
Considera un grupo de 65 536 bacterias que decrecen exponencialmente
a un cuarto de su población cada día.
Completa en tu cuaderno una tabla como la siguiente, que relaciona
los días transcurridos y la cantidad de bacterias.
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántas bacterias han muerto al primer día?, ¿y al tercer día?
• ¿Qué día mueren 3072 bacterias?
• ¿Qué día quedan 16 bacterias?
• ¿En qué momento la población se puede considerar extinta?
• Divide el número de bacterias de un día por el número de bacterias del
día anterior, ¿qué sucede?
10 000
0
0 1 2 3 4 5
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
Tiempo
transcurrido
(días)
Nº de
bacterias Decrecimiento de una
población bacteriana
Días
transcurridos
Factor de
crecimiento
Cantidad de bacterias
0 (1 )0
4 ( )1 0
4
( )1 1
4
( )1 2
4
( )1 3
4
( )1 4
4
( )1 5
4
• 65 536 = 65 536
1 ( )1 1
4
• 65 536 = 16 384
2 ( )1 2
4
• 65 536 =
3 ( )1 3
4
• 65 536 =
4 ( )1 4
4
• 65 536 =
5 ( )1 5
4
• 65 536 =
(2 )1
3
• 250 000 = 166 666,6
( )2 0
3
• 250 000 = 250 000
• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción, se puede calcular el
valor de la potencia del numerador y del denominador.
En general: ( )n
=
a
b
an
bn
NO OLVIDES QUE…
1. Una población de 250 000 insectos decrece por acción de un depredador natural cada año.
Completa la tabla y luego responde.
a) ¿En qué año la población es de
74 074 insectos?
b) ¿Cuántos insectos hay al 5º y 6º año,
respectivamente?
c) ¿Después de cuántos años se
extinguiría este tipo de insecto?
2. Desarrolla y calcula el valor de cada potencia.
a) ( )3
c) ( )7
e) ( )2
b) ( )4
d)( )5
f) ( )3
3. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda.
a) ( )4
c) ( )8
b) ( )3
d) ( )4
4. Si a, b y c son números positivos, completa con el signo <, > o =, según corresponda.
( )c a
b
ac
bc
6
5
6
5
5
7
5
7
2
3
2
3
2
3
2
3
16
20
21
25
3
10
2
3
4
7
1
5
EN TU CUADERNO
Años
transcurridos
Factor de
crecimiento
Tamaño de la población
0 ( )2 0
3
1 ( )2 1
3
2
3
4
4
4
3
3
8
8
4
4
1. Alicia pide un préstamo de $ 2 000 000 en el mismo banco, pero lo va a pagar al cabo de 4 meses.
¿Cuánto deberá pagar Alicia por su préstamo? Explica paso a paso cómo lo calculaste.
2. Desarrolla y calcula el valor de cada potencia.
a) (1,2)3 = f) (0,9)4 =
b) (0,5)4 = g) (1,35)2 =
c) (0,1)8 = h) (2,5)3 =
d) (0,01)4 = i) (0,7)2 =
e) (10,001)2 = j) (0,99)3 =
3. Observa tus resultados y completa:
a) Si un número decimal positivo es menor que 1, el valor de sus potencias (de exponente natural)
es siempre que 1.
b) Si un número decimal positivo es mayor que 1, el valor de sus potencias (de exponente natural)
es siempre que 1.
EN TU CUADERNO
Potencias con base decimal y exponente
natural
Don Sergio va a pedir un préstamo al banco de $ 1 000 000. Recibirá
el pago de un negocio, así que podrá pagarlo en una sola cuota,
pero dentro de tres meses. Las tasas de interés del banco se ven en
la siguiente tabla, donde C es el monto del préstamo.
PARA DISCUTIR
• ¿Cuánto deberá pagar don Sergio luego de los tres meses?
• ¿Le conviene pedir un préstamo a menor plazo? Calcula los valores a
pagar en cada caso y justifica tu respuesta.
• ¿Cuánto aumentaría lo que debe pagar si lo cancela al cuarto mes?
Plazo Total a pagar
30 días C • (1,012)
60 días C • (1,010)2
90 días C • (1,008)3
120 días C • (1,006)4
En las calculadoras científicas la tecla se usa para elevar un número a cualquier exponente.
Ejemplo:
Utiliza la calculadora para verificar tus respuestas d) y e) del trabajo en equipo.
Un conjunto habitacional ocupa ocho cuadras. En cada cuadra se construyeron ocho
edificios. Cada edificio tiene ocho pisos. En cada piso hay ocho departamentos. En cada
departamento viven ocho personas.
1. Representa la operación que te permite calcular el total de habitantes del conjunto
habitacional.
2. Expresa el total de habitantes utilizando potencias.
3. Si cada departamento debe pagar $ 10 000 por gastos comunes al mes, ¿cuánto se
recauda mensualmente por este concepto en cada edificio?
4. Sabiendo que 8 = 23, ¿cómo se puede representar el número de habitantes de todo
el conjunto habitacional utilizando una potencia de base 2?
MI PROGRESO
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
xy
37 3 xy 7 2187
En esta actividad, deberán reconocer la relación entre las potencias de 3 y el volumen
de un cubo. Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones:
1. Armen entre todos, como mínimo, 64 cubitos de lados de igual medida. Esta medida corresponderá
a 1 unidad. Luego, comenzando por un cubito y agregando los cubitos que sean necesarios,
formen cubos de mayor tamaño.
2. Completen una tabla como la siguiente:
3. Según lo obtenido, comenten y respondan:
a) ¿Cuántos cubitos de aristas 1 unidad son necesarios para formar cubos de aristas 2, 3 y 4?
b) ¿Cuántos cubitos son necesarios para formar cubos de aristas 5, 6, 7, 8, 9 y 10, respectivamente?
c) ¿Podrías escribir el total de cubitos con que se forma cada cubo grande con potencias?, ¿a
qué corresponde la base de cada potencia?, ¿y a qué se puede asociar el exponente?
d) ¿Cuál es el volumen de un cubo de arista 2,5 cm?, ¿cómo lo calculaste?
e) Si la arista de un cubo mide 9,75 cm y este cubo se forma con 27 cubitos iguales, ¿cuánto
mide el volumen de cada cubito?
EN EQUIPO
Materiales:
• Cartulina
• Tijeras
Cantidad de cubitos
por largo
1
Cantidad de cubitos
por ancho
Cantidad de cubitos
por alto
Total de cubitos
que lo forman
2
Notación científica
La notación científica se estableció como un acuerdo entre los
científicos, para estandarizar, en forma práctica, la escritura de
números muy grandes o muy pequeños con los que trabajan a diario.
Es una forma de representación que se basa en escribir números
usando potencias de base 10. Por ejemplo, según la teoría del
big bang, sobre el origen del universo, el instante que demoró la
explosión que le dio origen fue de 0,00…01 segundos (43 cifras
decimales), que en notación científica se expresa: 1 • 10–43 segundos.
Un número está expresado en notación científica cuando está
escrito como el producto de una potencia de 10 y un número mayor
o igual que 1 y menor que 10.
PARA DISCUTIR
• El siguiente número está expresado de diferentes maneras, pero solo
una de ellas corresponde a notación científica. ¿Cuál es?
2 358 000 = 235,8 • 104 2 358 000 = 23,58 • 106
2 358 000 = 2,358 • 105 2 358 000 = 0,2358 • 107
• La masa de la Tierra es aproximadamente
5 983 000 000 000 000 000 000 000 kg, ¿cómo escribirías este
número en notación científica?
1. Escribe los siguientes números utilizando notación científica.
a) 2 400 000 000 000 = c) 0,00000000000000757 =
b) 420 000 000 000 000 000 = d) 0,0000000000000000000033 =
EN TU CUADERNO
Según la teoría del big
bang,el universo se originó
a partir de una gran
explosión.
• En una potencia, el exponente indica la cantidad de veces que la base se multiplica por
sí misma. Si la base de la potencia es 10 y el exponente es positivo, el valor de la potencia
queda expresado con la cantidad de ceros que indica el exponente. Si la base es 10 y
el exponente es negativo, el valor de la potencia queda expresado con tantas cifras
decimales como indica el valor absoluto del exponente. Por ejemplo:
103 = 1000 108 = 100 000 000 10–3 = 0,001 10–8 = 0,00000001
• Todo número decimal se puede descomponer como suma de productos entre cifras y
potencias de 10. Por ejemplo:
0,0023 = 2 • 0,001 + 3 • 0,0001 = 2 • 10–3 + 3 • 10–4
1,305 = 1 • 1 + 3 • 0,1 + 5 • 0,001 = 1 • 100 + 3 • 10–1 + 5 • 10–3
NO OLVIDES QUE…
2. Escribe el producto de las siguientes expresiones.
a) 3,87 • 109 = c) 4 • 1020 = e) 3,677 • 10–5 = g) 9,8 • 10–19 =
b) 1,204 • 1014 = d) 7,589 • 108 = f) 2,54 • 10–12 = h) 1,42 • 10–8 =
3. Determina cuáles de los siguientes números están expresados en notación científica. Explica tu decisión.
a) 6,7 • 10 c) 7 • 108 e) 5,6 • 10–15
b) 52,8 • 1015 d) 0,22 • 1029 f) 8,4 • 10–7
4. Compara los resultados en cada caso y completa con <, > o =, según corresponda.
a) 4,67 • 10–21 4,67 • 10–23 c) 300 000 000 3 • 108
b) 3,8 • 1014 3,8 • 1010 d) 597 000 000 5,97 • 109
5. Escribe en notación usual y notación científica.
a) De acuerdo a investigaciones paleontológicas, los primeros seres humanos llegaron a Europa
hace 170 • 104 años.
b) La estrella más cercana a nuestro planeta es Épsilon Eradami, ubicada a una distancia,
astronómicamente hablando, bastante pequeña: unos 100 000 • 109 km.
c) Júpiter se encuentra a una distancia media al Sol de 778,33 • 106 km y su diámetro es de
0,0142984 • 107 km.
d) El pez de agua dulce más pequeño que existe es un diminuto gobio de las islas Filipinas;
los especímenes adultos alcanzan una masa de 0,0032 • 10–3 kg.
e) Los zancudos miden entre 50 • 10–4 y 900 • 10–5 metros.
f) El pez luna puede alcanzar hasta los 3 metros de longitud y pesar hasta una tonelada.
La hembra desova hasta 90 • 104 huevecillos para preservar la especie.
Cuando la cría nace es 60 millones de veces más pequeña que sus padres.
Al realizar cálculos con algunas calculadoras científicas, aparecen a veces resultados como el siguiente:
1,5–04
Este valor no corresponde a la potencia de 1,5 sino que a la expresión matemática 1,5 • 10–4
y que numéricamente es 0,00015.
Para introducir números en notación científica se usa la tecla .
Si quieres ingresar 3,52 • 10–3 debes pulsar:
Obteniendo en la pantalla: 3,52–03
1. Escribe las teclas que permiten introducir los siguientes valores como notación científica.
a) 0,00025 b) 0,00235 c) 3 000 000 d) 0,0000000091
2. Calcula ingresando a tu calculadora los valores como notación científica.
a) 30 000 000 • 2 500 000 000 = b) 0,0005 • 0,0000017 =
EXP
3 . 5 2 EXP (–) 3
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
• Para multiplicar potencias de igual base, puedes conservar la base y sumar los exponentes.
Ejemplo: 23 • 22 = (2 • 2 • 2) • (2 • 2) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 32
3 veces 2 veces 5 veces
En general: an • am = (a • a •…• a) • (a • a •…• a) = a • a • a •…• a = an + m
n veces m veces n + m veces
NO OLVIDES QUE…
1. Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia y luego calcula su valor.
a) 23 • 25 = e) 32 • 35 • 33 = i) ( )2
•( )2
=
b) 32 • 34 = f) 23 • 22 • 24 = j) ( )3
•( )2
=
c) 51 • 53 = g) 105 • 103 • 101 = k) (0,3)3 • (0,3)2 =
d) 104 • 102 = h) ( )3
•( )2
= l) (0,2) • (0,2) • (0,2)3 =
1
10
1
10
1
2
1
2
1
3
1
3
EN TU CUADERNO
Multiplicación de potencias de igual base
Rocío tiene 8 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatos. Ella desea
saber de cuántas formas diferentes se puede vestir combinando su
vestuario.
PARA DISCUTIR
• ¿Cómo puede contar Rocío todas las formas distintas de vestirse?
• Rocío lo calcula de la siguiente manera: 23 • 22 • 21 = 26. ¿Es correcto el
cálculo que hizo Rocío? Explica.
• Existe una relación entre los exponentes de los factores y el exponente
del resultado. ¿Cuál es esta relación?
• ¿De cuántas formas distintas se puede vestir Rocío combinando su ropa?
2. Completa de tal forma que se cumplan las igualdades.
a) 7 • 72 = 75 b) 26 • 2 = 29 c) ( )2
•( ) = ( )4
d) (0,25) • (0,25)3 = ( )10
3. Lee y resuelve.
a) El equipo de fútbol de un colegio debe elegir su tenida deportiva para el próximo año. Como
propuesta llegaron 3 marcas distintas de zapatos de fútbol, 9 poleras y 27 pantalones. ¿Cuántas
combinaciones de ropa pueden formar? Usa las potencias para resolver.
b) El casino de un colegio ofrece para la hora de colación 2 platos distintos, con 4 opciones de postre
y 4 tipos distintos de jugos. ¿De cuántas maneras puedes pedir tu colación en este casino? Usa las
potencias para resolver.
c) Andrea puede escoger entre dos caminos distintos para llegar caminando al colegio. Después de su
jornada escolar tiene cuatro rutas distintas para llegar al departamento de su tía Francisca. En la
noche, puede tomar ocho caminos distintos para volver a su casa. ¿De cuántas maneras distintas
puede realizar el recorrido completo del día? Usa potencias para resolver.
4. A Lucas le gusta pensar en otras maneras para resolver las cosas. Tenía que multiplicar 6 • 4 • 24,
y pensó en descomponerlo en factores primos. Ahora tiene (3 • 2) • (22) • (23 • 3) y, utilizando las
propiedades que conocía, obtuvo 26 • 32 = 64 • 9 = 576. Usando este procedimiento, calcula:
a) 15 • 75 • 27 = b) 100 • 25 • 16 = c) 21 • 49 • 28 • 9 = d) 18 • 72 • 6 =
1
4
1
3
1
3
1
3
Memorizar los valores numéricos de las potencias que son utilizadas frecuentemente
agilizará tus cálculos.
1. Calcula mentalmente los valores de cada potencia que se presenta a continuación y escríbelos en
tu cuaderno.
ESTRATEGIA MENTAL
2. ¿En qué se parecen las potencias que están en cada recuadro?, ¿y en qué se diferencian?
3. ¿Qué regularidades puedes observar en estos ejercicios?
22 23 (0,2)2
32 33 (0,3)2
42 43 (0,4)2
52 53 (0,5)2
( )1 2
2
( )1 2
3
( )1 2
4
( )1 2
5
• Para multiplicar potencias con igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el
exponente.
En general: an • bn = (a • a •…• a) • (b • b •…• b) = (a • b) • (a • b) •…• (a • b) = (a • b)n
n veces n veces n veces
NO OLVIDES QUE…
Multiplicación de potencias de igual
exponente
Una empresa productora de lácteos ha sacado al mercado un
nuevo envase de su producto. Sus medidas son las siguientes:
ancho de 9 cm, largo de 16 cm y alto de 25 cm.
1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de potencias de igual exponente, calculando primero el
valor de cada potencia y, luego, multiplícalas.
a) 52 • 42 = c) 54 • 34 = e) ( )2
•( )2
=
b) 33 • 23 = d) 25 • 55 = f) 0,16 • 0,26 =
2. Escribe como una potencia los resultados que obtuviste en el ejercicio anterior y compáralos con
tus compañeros y compañeras. Luego responde:
a) ¿Cómo se relacionan, en cada caso, los exponentes que obtuviste con los de las potencias que
se están multiplicando en el ejercicio anterior?
b) ¿Y cómo se relacionan las bases correspondientes?
c) En el ejercicio anterior, si multiplicas las bases y conservas el exponente, ¿obtienes los mismos
resultados? ¿Ocurrirá siempre lo mismo?
1
3
1
2
EN TU CUADERNO
PARA DISCUTIR
• ¿Cuál es el volumen de la caja?, ¿cómo lo calculaste?
• Descompón cada una de las medidas en sus factores. ¿Se pueden
escribir como potencias?
• Felipe calcula el volumen de la caja de la siguiente manera:
(3 • 4 • 5)2 = 602. ¿Cuál es el valor de esta potencia?, ¿es igual al
que calculaste al principio?
3. Escribe cada expresión como una sola potencia. Guíate por el ejemplo.
25 • 35 = (2 • 3)5 = 65
a) 92 • 52 = c) 23 • 33 = e) ( )3
•( )3
= g) ( )3
• 23 =
b) 92 • 32 = d) 72 • 102 = f) ( )2
•( )2
= h) ( )3
• 103 =
4. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a) (100 • 10)3 = c) (5 • 25)2 = e) (2 • 0,5)2 =
b) (3 • 2)3 = d) ( • )3
= f) ( • )2
=
5. El largo de un rectángulo mide 63 cm y su ancho, 23 cm. ¿Cuál es su área?
6. Lucas, como siempre, prefiere factorizar primero para resolver algunas multiplicaciones. Observa:
16 • 25 • 9 = 42 • 52 • 32 = (4 • 5 • 3)2 = 602 = 3600. Usando esta misma estrategia, calcula:
a) 49 • 25 • 4 = b) 27 • 8 • 64 = c) 216 • 125 = d) 32 • 243 =
7. Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones como una potencia.
a) (62 • 22) • 32= c) 35 • (25 • 55) = e) 34 • ((0,5)4 • (0,2)4) =
b) (82 • 22) • 32= d) ( )2
•( )2
•( )2
= f) ( )3
•( )3
•( )3
=
8. Los siguientes ejercicios están mal resueltos. Explica el porqué y luego corrígelos.
a) 22 • 42 = 84 b) 54 • 74 = 124 c) ( )3
•( )3
= ( )9
9. Matilde dice que si multiplicas una potencia por sí misma, puedes utilizar la regla para multiplicar
potencias de igual base o de igual exponente. ¿Estás de acuerdo con Matilde? Da 3 ejemplos.
10. Patricio dice que multiplicar una potencia por sí misma es equivalente a elevar a 2 el valor de la
potencia. ¿Estás de acuerdo? Justifica.
2
3
1
3
1
2
1
5
1
2
1
6
1
2
1
4
1
10
1
5
1
2
1
10
2
3
1
5
2
3
1
2
1
4
1
3
1
2
Se considera a Sedna un planeta menor, el más lejano del Sistema Solar, y se estima que
la distancia entre Sedna y el Sol es de aproximadamente 13 500 millones de kilómetros.
1. Expresa esta cantidad utilizando notación científica.
2. Representa esta cantidad utilizando solo potencias de 2, 3 y 5.
3. Calcula a cuántos centímetros corresponde esta distancia.
4. Los astrónomos no usan kilómetros para referirse a distancias en el espacio, sino que
UA (unidad astronómica) que corresponde a 150 millones de kilómetros. ¿Cuál es la
distancia entre Sedna y el Sol, medida en UA?
MI PROGRESO
Hay algunos problemas que los puedes solucionar resolviendo otros más sencillos y así obtener
conclusiones acerca del problema original. Por ejemplo, ¿cuál es la última cifra de 227?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
227 es 2 • 2 • 2 … 27 veces
• ¿Qué debes encontrar?
El valor de la cifra de la unidad.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Calcula 21, 22, 23, 24, 25 … y observa la cifra de las unidades en cada caso para observar
alguna regularidad.
Resolver
• 21 = 2 25 = 32 29 = 512 225 = 2
22 = 4 26 = 64 210 = 1024 226 = 4
23 = 8 27 = 128 211 = 2048 227 = 8
24 = 16 28 = 256 212 = 6
La cifra de la unidad del número equivalente a la potencia 227 es 8.
Revisar
• Compara la respuesta con el valor real de 227.
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. Calcula la cifra de las unidades de los números equivalentes a cada una de las siguientes potencias,
aplicando la estrategia de la página anterior:
a) 235 b) 327 c) 357 d) 418
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución. Explica paso
a paso cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.
3. Calcula la cifra de las unidades de los números equivalentes a cada una de las siguientes potencias,
utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún
compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a) 712 b) 824 c) 930
4. Imagina que tienes una hoja de papel muy, pero muy grande, y que comienzas a doblarla por la mitad
una y otra vez. A medida que el tamaño de la hoja se va achicando (a la mitad, a la cuarta parte, a la
octava parte…), el grosor de las hojas dobladas juntas se va agrandando (al doble, al cuádruple, al
óctuple…).
a) Ahora, si el grosor de una hoja de papel
es aproximadamente 0,01 centímetros,
¿cuál sería el grosor de la hoja luego de
doblarla 10 veces?
b) ¿Después de cuántos dobleces el espesor
de papel sobrepasará los 300 metros?
c) ¿Cuál sería el grosor de la hoja (si es que
existiera una hoja tan grande) luego de
doblarla 50 veces?
d) ¿Cómo es esta medida en comparación con
la distancia aproximada del Sol a Venus,
que es de 108 450 000 km?
5. Una de las leyendas sobre el origen del ajedrez nos sitúa su nacimiento en la India, cerca del siglo VI d. C.
Nos cuenta que el inventor del ajedrez fue un brahmán llamado Sissa Ben Dari, que lo creó para distracción
y ocio de un rey, y fue tal el éxito que alcanzó en el palacio, que el rey le concedió al inventor la posibilidad
de elegir la recompensa que quisiera. El brahmán solicitó entonces que le fuera concedido un grano de
trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y seguir así doblando la
cantidad hasta completar las 64 casillas del tablero. En un principio, el rey se rió de él por lo poco que
pedía y por lo mucho que podría haberle dado. Pero esa sonrisa burlona no le duró mucho tiempo…
a) ¿Cuántos granos de trigo corresponden a la décima casilla?, ¿y a la casilla número veinte?
b) Si hay 6000 granos de trigo en un kilogramo, y una tonelada equivale a 1000 kilogramos,
¿en qué casilla, por sí sola, hay más de una tonelada de trigo?
Unidad 2
CONEXIONES
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego, comparen y comenten sus respuestas.
Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo colaborativo?
Respeté las opiniones de los demás integrantes.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Nuevos DVD podrían guardar hasta
5 terabytes de datos
Una nueva tecnología de la empresa israelita
Mempile aseguró que puede guardar un terabyte
(TB) de datos, es decir, mil gigabytes (GB) en un
disco óptico que en apariencia es igual a los DVD
que hoy conocemos.
La compañía pretende mejorar su capacidad con
una versión reproducida por un láser azul que la
aumentará a 5 TB. El nuevo disco está dividido en
200 capas, cada una capaz de almacenar 5 GB,
las que, a diferencia del sistema actual, no se
apilan y no se distribuyen físicamente juntas.
Actualmente, Mempile dice que ha desarrollado
prototipos que han alcanzado de 600 a 800 GB
de capacidad y que pronto logrará la de 1 TB.
Según un portavoz, la vida útil de estos discos
es de 50 años y se cree que podrán estar a la
venta en dos o tres años más.
Fuente: El Mercurio online,
29 de agosto de 2007
TECNOLOGÍA
1. Averigüen:
a) la capacidad de almacenamiento de información de un CD, un DVD normal y un pendrive;
b) el nombre que recibe 1024 terabytes y cómo le llaman a 1024 de esas unidades.
2. Comenten y respondan:
a) Para guardar la cantidad total de información que se puede guardar en un DVD de un terabyte,
¿cuántos CD se necesitarían?, ¿y cuántos DVD normales?
b) Un documento estándar usa 27 kilobytes. ¿Cuántos de estos documentos se pueden guardar en
un CD?, ¿y cuántos en un DVD?, ¿y en este nuevo DVD?
c) ¿Cuándo creen que lanzarán un dispositivo capaz de almacenar 1024 terabytes?
SÍNTESIS Unidad 2
A continuación, se presenta un mapa conceptual que relaciona los principales conceptos trabajados en
la Unidad. Cópialo en tu cuaderno y complétalo con los términos que correspondan.
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde:
1. ¿Qué ventajas tiene el uso de potencias?
2. ¿Qué es el valor de la potencia?
3. ¿Qué utilidad tiene la notación científica para representar grandes números?
4. ¿A qué se le llama crecimiento exponencial?, ¿y decrecimiento exponencial?
5. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras, y aclara tus dudas.
Potencias
tienen
Exponente
Multiplicación
de potencias
de igual base
cumplen con se aplican en
como la
que involucra
Propiedades
se pueden expresar como
sus productos corresponden al
Multiplicaciones de factores iguales
Valor de la potencia
Base
Decrecimiento exponencial
Notación científica
Multiplicación de potencias de igual exponente
Resolución
de problemas
Crecimiento
exponencial
se relacionan con
Raíces
cuadradas
1. El valor de la potencia (1,2)3 es:
A. 1,728
B. 1728
C. 1,44
D. 1,8
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es
equivalente a ( )4
?
A. 0,0081
B.
C.
D.( )2
3. La afirmación falsa es:
A. 32 • 33 = 35
B. ( )3
=
C. 23 • 25 = 25 + 23
D. (0,4)4 = 0,0256
4. El producto de 0,0003 • 0,003 • 0,03 en
notación científica es:
A. 2,7 • 10–10
B. 0,27 • 10–7
C. 27 • 10–9
D. 2,7 • 10–8
5. El número 10 000 000 escrito usando una
potencia de 10 es:
A. 105
B. 106
C. 107
D. 108
6. El producto 3 • 2 • 81 • 4 es equivalente a:
A. 23 • 35
B. 24 • 35
C. 23 • 34
D. 2 • 35
7. ¿Cuál de las siguientes expresiones es
equivalente a 200?
A. 2 • 103
B. 25 • 52
C. 23 • 25
D. 23 • 52
8. La relación incorrecta es:
A. ( )n
= ( )
B. an • bn = (a • b)n
C. an + bn = (a + b)n
D. an • am = a(n + m)
an
bn
a
b
1
8
1
2
9
100
81
1000
81
10 000
3
10
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 8.
9. Encuentra los errores y corrígelos:
a) 25 + 35 + 52 + 22 = 55 + 72 = 3125 + 49 = 3174
b) 2 • 34 + 3 • 42 + 4 • 23 = 64 + 122 + 83
c) 23 + ( )3
+ ( )2
+ 32 = ( )3
+ ( )2
= +
10. Completa de tal forma que se cumplan las igualdades.
a) 5 • 53 = 57 d) (3 • 4) = 144
b) 23 • 2 = 28 e) ( )3
•( ) =
c) 27 • 37 = 7 f) (0,5) • (0,5)3 = ( )6
11. Se coloca en un recipiente una bacteria a las 12:00 horas. A las 12:20 el recipiente
está lleno de bacterias. Si se sabe que la bacteria se divide en dos cada 2 minutos,
¿a qué hora el recipiente está a la mitad de su capacidad?
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error?
Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
1
2
1
32
1
2
1
2
100
9
125
8
10
3
5
2
1
3
1
2
Unidad 2
1. Marca según tu apreciación.
2. Reflexiona y responde.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 34 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
Potencias como interpretación de factores iguales.
¿QUÉ LOGRÉ?
No lo
entendí
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
Potencias de base natural y exponente natural.
Potencias de base una fracción positiva y exponente natural.
Potencias de base un decimal positivo y exponente natural.
Potencias de 10 y notación científica.
Multiplicación de potencias de igual base.
Multiplicación de potencias de igual exponente.
Resolución de problemas.
2. a) 1 e) 19 i) 3
b) 7 f) 18 j) –3
c) –22 g) –10 k) 2
d) –8 h) –26 l) 5
Página 27
3. a) 5 c) 11 e) 0
b) 3 d) 10 f) –6
4. a) $ 18 000 b) 14 pisos
MI PROGRESO
1. Andrés e Ignacio.
2. Andrés: 1 punto, Camilo: –6 puntos, Felipe:
–13 puntos, Ignacio: 4 puntos y Nicolás: –3 puntos.
3. El entrenador otorgó el menor puntaje a Felipe y el
técnico otorgó el menor puntaje a Andrés.
4. Nicolás.
Página 29
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) $ 200 000
b) A diez metros.
c) A 50 m de profundidad.
d) Entre el tercer y cuarto piso.
3. a) –16 ºC
b) Va subiendo; entre el 2º y el 3º.
Página 32
¿QUÉ APRENDÍ?
1. C 3. C 5. A 7.A
2. B 4. C 6. A 8.C
Página 33
9. a) 75 años. b) 212 años.
10. No tiene suficiente dinero, aún le faltan $ 550.
11. a) 30, 55, –35, 40, –25
b) 65 kilómetros al norte.
c) 185 kilómetros.
Página 36
¿CUÁNTO SABES?
1. a) 3 • 6 = 18 c) 10 • 7 = 70 e) 0,2 • 4 = 0,8
b) 5 • 8 = 40 d) • 9 = 6 f) 0,1 • 5 = 0,5
2. a) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
b) 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3
c) 3 • 5 • 7 • 7
d) 5 • 5 • 41
e) 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7
f) 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5
g) 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 7
h) 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5 • 7
i) 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
3. a) 2187 i) p) 0,07686
b) 3125 j) q) 0,57125
c) 1728 k) r) 0,0492
d) 16 807 l) s) 0,0027
e) 2197 m) t) 1
f) 1 000 000 n) u) 0,00001
g) 100 000 000 ñ) v) 3,09753
h) o) w) 50,944
Página 37
4.a) f) 1 k) 0,84
b) g) l) 1,0692
c) h) m) 1,59933
d) i) 1 n) 0,8976
e) j) 0,93932 ñ) 0,72
5. a) 9 cm2 b) 22 cm2
2
3
10
9
343
400
81
121
100
119
108
77
25
36
16
49
3
4
12
343
1
9
1
500
243
10 000
1
1000
625
36
7
18
50
63
Unidad 2
Página 39
1. a) 25 d) 72 g) 0,278
b) 52 e) ( )2
h) 0,0646
c) ( )5
f) ( )3
2. a) Tres elevado a cinco.
b) Ocho al cubo.
c) Dieciséis al cuadrado.
d) Un medio elevado a siete.
e) Tres cuartos elevado a ocho.
f) Siete décimos elevado a cuatro.
3. a) 1296 d)
b) 243 e) 0,00243
c) 125 f) 0,512
4. a) 183 + 93 e) 1,254
b) 3 • 43 f) 6,654
c) 77 g) 3 • 6,32
d) ( )5
h) ( )4
+ ( )2
5. a) 3 d) 3 g) 3
b) 5 e) 3 h) 6
c) 4 f) 3 i) 4
6. a) 256 personas son informadas en el nivel 4
y 4096 personas son informadas en el nivel 6.
b) 16 384 alimentos no perecibles.
Página 40
1. a) 16 c) 16 e) 100
b) 64 d) 256 f) 10 000
2. a) Sí.
b) 10 cm
c) Pregunta abierta.
d) 15 cm, 17 cm, 21 cm, 25 cm, 36 cm
e) Pregunta abierta.
f) Pregunta abierta.
Página 41
3. a) > c) > e) >
b) < d) < f) < 4. a) > b) < 5. a) 4096 bacterias, 262 144 bacterias y 16 384 bacterias. b) En 5 horas y 20 minutos. c) A las 14:40; a las 15:20; 524 288 bacterias. Página 43 1. a) En el tercer año. b) 32 921,81 y 21 947,87 insectos aproximadamente. c) Después de 31 años. 2. a) c) e) b) d) f) 3. a) = b) = c) = d) = 4. = Página 44 1. $ 2 048 434 2. a) 1,728 e) 100,020001 i) 0,49 b) 0,0625 f) 0,6561 j) 0,970299 c) 0,00000001 g) 1,8225 d) 0,00000001 h) 15,625 3. a) Menor b) Mayor Página 45 EN EQUIPO 3. a) 8, 27 y 64 cubitos respectivamente. 64 125 243 100 000 256 2401 441 625 128 2187 1 125 2 3 3 10 4 9 4 9 3 8 2401 10 000 1 2 Años transcurridos Factor de crecimiento Tamaño de la población 0 ( )0 2 3 ( )0 2 • 250 000 = 250 000 3 1 ( )1 2 3 ( )1 2 • 250 000 = 166 666,6 3 2 ( )2 2 3 ( )2 2 • 250 000 =111 111,1 3 3 ( )3 2 3 ( )3 2 • 250 000 = 74 074,074 3 4 ( )4 2 3 ( )4 2 • 250 000 = 49 382,716 3 b) 125, 216, 343, 512, 729 y 1000 cubitos respectivamente. c) La base corresponde a la medida de la arista del cubo y el exponente siempre es el número tres. d) 15,625 cm3 e) 34,328125 cm3 MI PROGRESO 1. 8 • 8 • 8 • 8 • 8 2. 85 personas. 3. $ 640 000 por cada edificio. 4. 215 Página 46 1. a) 2,4 • 1012 b) 4,2 • 1017 c) 7,57 • 1015 d) 3,3 • 10–21 Página 47 2. a) 3 870 000 000 b) 120 400 000 000 000 c) 400 000 000 000 000 000 000 d) 758 900 000 e) 0,00003677 f) 0,00000000000254 g) 0,00000000000000000098 h) 0,0000000142 3. a) Sí c) Sí e) Sí b) No d) No f) Sí 4. a) > c) =
b) > d) < 5. a) 1 700 000; 1,7 • 106 b) 100 000 000 000 000; 1 • 1014 c) 778 330 000; 7,7833 • 108; 142 984; 1,42984 • 105 d) 0,0000032; 3,2 • 106 e) 0,005; 5 • 10–3; 0,009; 9 • 10–3 f) 3; 3 • 100; 900 000; 9 • 105; 60 000 000; 6 • 107 Página 48 1. a) 28 = 256 b) 36 = 729 c) 54 = 625 d) 106 = 1 000 000 e) 310 = 59 049 f) 29 = 512 g) 109 = 1 000 000 000 h) ( )5 = i)( )4 = j)( )5 = k) (0,3)5 = 0,00243 l) (0,2)5 = 0,00032 Página 49 2. a) 3 b) 3 c) 2 d) 7 3. a) 3 • 9 • 27 = 3 • 32 • 33 = 36 = 729 combinaciones de ropa. b) 2 • 4 • 4 = 2 • 22 • 22 = 25 = 32 combinaciones de colación. c) 2 • 4 • 8 = 2 • 22 • 23 = 26 = 64 caminos posibles. 4. a) 30 375 b) 40 000 c) 259 308 d) 7776 Página 50 1. a) 400 b) 216 c) 50 625 d) 100 000 e) f) 6,4 • 10–11 1 36 1 100 000 1 10 1 81 1 3 1 32 1 2 Página 51 3. a) 452 d) 702 g) ( )3 b) 272 e) ( )3 h) 23 c) 63 f) ( )2 4. a) 1 000 000 000 d) b) 216 e) 1 c) 15 625 f) 5. 123 cm2 = 1728 cm2 6. a) (2 • 5 • 7)2 = 4900 b) (2 • 3 • 4)3 = 13 824 c) (6 • 5)3 = 27 000 d) (2 • 3)5 = 7776 7. a) 362 b) 482 c) 305 d) ( )2 e) 0,34 f) ( )3 8. a) 82 b) 354 c) ( )3 9. Sí 10. Sí MI PROGRESO 1. 1,35 • 1010 km 2. 28 • 33 • 59 km 3. 1,35 • 1015 cm 4. 90 UA Página 53 BUSCANDO ESTRATEGIAS 1. a) 8 b) 7 c) 3 d) 6 3. a) 1 b) 6 c) 1 4. a) 10,24 cm b) Después de 22 dobleces. c) 1,126 • 1013 cm aproximadamente. d) El grosor de la hoja es mayor por 4 150 000 km. 5. a) 512 granos, 524 288 granos. b) A partir de la casilla 24. Página 56 ¿QUÉ APRENDÍ? 1. A 3. C 5. C 7.D 2. C 4. D 6. A 8.C Página 57 9. a) El resultado correcto es 304 b) El resultado correcto es 242 c) El resultado correcto es 17,2361 10. a) 4 d) 2 b) 5 e) 2 c) 6 f) 3 11. a) A las 12:18 horas. 1 48 1 9 1 8 1 6 4 3 1 225 1 1000 1 10