POTENCIAS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 8 – OCTAVO AÑO PDF

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2–1 Potencias
2–2 Notación científica
2–3 Multiplicación de potencias
2–4 División de potencias
2–5 Potencia de una potencia
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En el mundo real
Frecuentemente las potencias y en particular la
notación científica, se usan para expresar grandes
números u otros muy pequeños de una forma
abreviada. Por ejemplo: 235 es la cantidad de
bacterias que hay en un cultivo determinado;
3,844 • 108 m es la distancia que hay entre la
Tierra y la Luna.
capítulo del Enfoque
• Desarrollar potencias de base entera, fraccionaria o
decimal positiva.
• Aplicar propiedades de las potencias
• Utilizar estrategias de cálculo mental
De dónde vienes
Antes
●• Usaste la multiplicación para resolver
problemas con números naturales y
enteros.
●• ・Escribiste números grandes en forma
estándar.
●• ・Desarrollaste una potencia.
En este capítulo
Estudiarás
• Cómo multiplicar potencias
usando propiedades.
• Cómo dividir potencias usando
propiedades.
• Escribir números en notación
científica.
Hacia dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas
en este capítulo
• Para expresar distancias entre objetos
y tamaños de objetos en disciplinas
científicas como Astronomía y
Biología.
• ・Para resolver problemas en las clases
de Matemáticas y Ciencias.
Vocabulario
Conexiones de vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte
con algunos de los términos del vocabulario.
Puedes consultar el capítulo o un diccionario
si lo deseas:
1. El nombre “notación científica” se debe
a que se usa en ciencias para escribir
números muy grandes o números muy
pequeños como el peso del ala de una
libélula.
2. El término “racional” alude a fracción
o parte de un todo. El nombre “número
racional” es porque estos números se
pueden escribir como una razón o división
entre dos números enteros.
La escala de Richter mide la fuerza o
magnitud de un terremoto. Cada categoría
de la tabla es 10 veces más intensa que la
categoría inmediatamente anterior. Por
ejemplo, un terremoto grande es 10 veces
más intenso que uno moderado. ¿Cuántas
veces más intenso es un terremoto fuerte
que uno moderado?
Un terremoto con una magnitud de 6 es 10
veces más intenso que uno con una magnitud de 5.
Un terremoto con una magnitud de 7 es 10 veces más intenso que uno
con una magnitud de 6.
Un terremoto con una magnitud de 8 es 10 veces más intenso que uno
con una magnitud de 7.
10 10 10 10 3 1 000
Un terremoto fuerte tiene una magnitud 1 000 veces mayor que uno
moderado.
Fuerza de los terremotos
(escala Richter)
Categoría
Fuerte 6,0 – 6,9
Mayor 7,0 – 7,9
Gran terremoto 8,0 – 9,9
Razonar y comentar
1. Describe la relación entre 3 5 y 3 6 .
2. Indica qué potencia de 8 es igual a 26 . Explica.
3. Explica por qué cualquier número elevado a la primera potencia
es igual a ese mismo número.
Magnitud
Moderado 5,0 – 5,9
Para expresar un número natural como potencia, escribe el número como
producto de factores iguales. Luego escribe el producto usando la base y un
exponente. Por ejemplo, 10 000 10 10 10 10 104.
Expresar números naturales como potencias
Escribe cada número usando un exponente y la base dada:
49, base 7
49 7 7 7 se usa como factor 2 veces.
7 2
81, base 3
81 3 3 3 3 3 se usa como factor 4 veces.
3 4
Aplicación a las Ciencias de la Tierra
La escala de Richter mide la fuerza o
magnitud de un terremoto. Cada categoría
de la tabla es 10 veces más intensa que la
categoría inmediatamente anterior. Por
ejemplo, un terremoto grande es 10 veces
más intenso que uno moderado. ¿Cuántas
veces más intenso es un terremoto fuerte
que uno moderado?
Un terremoto con una magnitud de 6 es 10
veces más intenso que uno con una magnitud de 5.
Un terremoto con una magnitud de 7 es 10 veces más intenso que uno
con una magnitud de 6.
Un terremoto con una magnitud de 8 es 10 veces más intenso que uno
con una magnitud de 7.
10 10 10 10 3 1 000
Un terremoto fuerte tiene una magnitud 1 000 veces mayor que uno
moderado.
Fuerza de los terremotos
(escala Richter)
Categoría
Fuerte 6,0 – 6,9
Mayor 7,0 – 7,9
Gran terremoto 8,0 – 9,9
Razonar y comentar
1. Describe la relación entre 3 5 y 3 6 .
2. Indica qué potencia de 8 es igual a 26 . Explica.
3. Explica por qué cualquier número elevado a la primera potencia
es igual a ese mismo número.
Magnitud
Moderado 5,0 – 5,9
A
B
47. Ciencias Sociales Si la población de las
ciudades de la tabla se duplica cada 10 años,
¿qué población tendrán estas ciudades en 2034?
48. Razonamiento crítico Explica por qué 6 3 3 6 .
49. Amalia está haciendo una colcha de retazos con un patrón de anillos.
En el anillo central, usa cuatro estrellas. En cada uno de los siguientes tres anillos,
usa tres veces más estrellas que en el anillo anterior. ¿Cuántas estrellas usa en el
cuarto anillo? Escribe la respuesta usando una potencia y halla su valor.
Ordena cada conjunto de números del menor al mayor.
50. 29, 2 3 , 62 , 160 , 35 51. 43 , 33, 62 , 53 , 101 52. 72 , 24 , 80, 10 2 , 18
53. 2, 18 , 34 , 161 , 0 54. 52 , 21, 112 , 131 , 19 55. 25 , 33 , 9, 5 2 , 81
56. Dos semanas antes del cumpleaños de Jackie, sus padres le regalaron 1 centavo.
Tienen planeado duplicar la cantidad de centavos que recibe cada día hasta el
día de su cumpleaños. Usa exponentes para escribir un patrón que represente la
cantidad de centavos que Jackie recibirá los primeros 5 días. Luego usa el patrón
para predecir cuántos centavos recibirá el día de su cumpleaños.
57. Biología Las células de ciertas clases de bacterias se dividen
cada 30 minutos. Si el proceso empieza con una sola célula,
¿cuántas células habrá después de 1 hora? ¿Después
de 2 horas? ¿ Después de 3 horas?
58. ¿Dónde está el error? Un estudiante escribió 64 como
8 2. ¿Qué error cometió el estudiante?
59. Escríbelo ¿Es 2 5 mayor o menor que 3 3 ? Explica tu respuesta.
60. Desafío ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo si su
volumen es de 1 000 metros cúbicos?
Las bacterias se dividen
separándose en dos. Este
proceso se llama fisión binaria.
Ciudad Población (2004)
Yuma, Arizona 86,070
Phoenix, Arizona 1,421,298
61. ¿Cuál es el valor de 4 6 ?
A 24 B 1,024 C 4,096 D 16,384
62. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es igual a 64?
A 6 4 B 4 3 C 2 6 D 8 2
63. 2 3 3 2 .
Calcula
64. 15 27 5 3 11 16 7 4
65. 2 6 5 7 100 1 75
Identifica un posible patrón y úsalo para escribir los siguientes tres números:
66. 100, 91, 82, 73, 64, . . . 67. 17, 19, 22, 26, 31, . . . 68. 2, 6, 18, 54, 162, . . .
47. Ciencias Sociales Si la población de las
ciudades de la tabla se duplica cada 10 años,
¿qué población tendrán estas ciudades en 2034?
48. Razonamiento crítico Explica por qué 6 3 3 6 .
49. Amalia está haciendo una colcha de retazos con un patrón de anillos.
En el anillo central, usa cuatro estrellas. En cada uno de los siguientes tres anillos,
usa tres veces más estrellas que en el anillo anterior. ¿Cuántas estrellas usa en el
cuarto anillo? Escribe la respuesta usando una potencia y halla su valor.
Ordena cada conjunto de números del menor al mayor.
50. 29, 2 3 , 62 , 160 , 35 51. 43 , 33, 62 , 53 , 101 52. 72 , 24 , 80, 10 2 , 18
53. 2, 18 , 34 , 161 , 0 54. 52 , 21, 112 , 131 , 19 55. 25 , 33 , 9, 5 2 , 81
56. Dos semanas antes del cumpleaños de Jackie, sus padres le regalaron 1 centavo.
Tienen planeado duplicar la cantidad de centavos que recibe cada día hasta el
día de su cumpleaños. Usa exponentes para escribir un patrón que represente la
cantidad de centavos que Jackie recibirá los primeros 5 días. Luego usa el patrón
para predecir cuántos centavos recibirá el día de su cumpleaños.
57. Biología Las células de ciertas clases de bacterias se dividen
cada 30 minutos. Si el proceso empieza con una sola célula,
¿cuántas células habrá después de 1 hora? ¿Después
de 2 horas? ¿ Después de 3 horas?
58. ¿Dónde está el error? Un estudiante escribió 64 como
8 2. ¿Qué error cometió el estudiante?
59. Escríbelo ¿Es 2 5 mayor o menor que 3 3 ? Explica tu respuesta.
60. Desafío ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo si su
volumen es de 1 000 metros cúbicos?
Notación científica
EJEMPLO 1
A
B
La distancia de Venus al Sol es mayor que
100,000,000 de kilómetros. Puedes escribir
este número como potencia de diez usando
una base diez y un exponente.
10 10 10 10 10 10 10 10 10 8
Potencia de diez
En la tabla se muestran varias potencias de diez.
Puedes hallar el producto de un número y una potencia de diez multiplicando
o moviendo el punto decimal del número. Con potencias de diez con
exponentes positivos, mueve el punto decimal hacia la derecha.
Multiplicar por potencias de diez
Multiplica 137 10 3.
Método 1: Desarro lla r la potencia
137 10 3 137 (10 10 10) Multiplica 10 por sí mismo 3 veces.
137 1 000 Multiplica.
137 000
Método 2: Usar el cálculo mental
137 10 3 137 000 Mueve el punto decimal 3 lugares.
137 000 (Necesitas agregar 3 ceros).
Notación científica
EJEMPLOS EJERCICIOS
Escribe el producto como una potencia:
Escribe el cociente como una potencia:
Expresa los siguientes resultados en forma de
otra potencia:
Desarrolla la potencia de 10 y multiplica:
Escribe usando notación científica:
2–3
2–5
2–4
Multiplicación con potencias
Potencia de una potencia
División de potencias
n Escribe el producto como una potencia:
25 • 23
25 + 3
28
n 43 • 33
(4 • 3)3
123
n Expresa los siguientes resultados en
forma de otra potencia:
(74)6 =
74 ·• 6 =
724
n Escribe el cociente como una potencia:
n Desarrolla la potencia de 10 y multiplica:
3,58 • 104
3,58 • 10000
35 800
n Escribe usando notación científica.
62 500 = 6,25 • 104
25. 1,62 • 103 26. 9,1 • 105
27. 2,345 • 106 28. 8,002 • 105
29. 56 800 000 000 30. 73 000 000
31. 200 000 32. 480 000 000
33. 32 ·• 62 = 34. 55 ·• 185 =
35. 56 ·• 54 = 36. 95 ·• 910 =
37. 84 · • 54 = 38. 73 • 143 =
39. 34 •· 94 = 40. 22 ·• 152
41. = 42. 45 : 44 =
43. (20 : 4)3 = 44. 183 : 63 =
45. 88 : 85 = 46. 73 : 72 =
47. 45 : 45 = 48. 28 : 24 =
49. (85)7 = 50. (–23)6 =
51. [(–5)5]7 = 52. (–32)5 =
53. (126)2 = 54. =
55. (38)5 = 56. (–42)7 =
Escribe cada expresión usando potencias:
Expresa los siguientes resultados en forma de otra potencia.
Desarrolla la potencia de 10 y encuentra el producto:
Escribe cada número en forma estándar:
Escribe cada número usando notación científica:
Escribe cada número en notación científica
Encuentra el valor de:
1. (–2) • (–2) • (–2) • (–2) 2. 5 • 5 • 5 • 5
3. • • 4. 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8
5. 100 = 6. 111 = 7. 27 =
8. 34 = 9. 83 = 10. 54 =
11. = 12. 79 • 72 = 13. (510)6 =
14. = 15. 273 • 2718 = 16. (527)3 =
17. 130 • 139 = 18. = 19. 23 : 53 =
20. 165 : 25 = 21. 188 : 184 = 22. 154 : 34 =
36
33
117
117
812
87
23. 2,7 • 10 12 24. 3,53 • 10 2 25. 4,257 • 10 5 26. 9,87 • 10 10
27. 4,8 • 10 8 28. 6,09 • 10 3 29. 8,1 • 10 6 30. 3,5 • 10 4
31. 3,08 • 10 5 32. 1 472 • 10 6 33. 2 973 • 10 4
34. 16 900 35. 39 000 000 36. 180 500 37. 45 000
38. Una bolsa de granos de cacao pesa aproximadamente 60 kilos.
¿Cuánto pesarían 1 000 bolsas de granos de cacao? Escribe tu respuesta
usando notación científica.
39. 521,7 • 100 000 40. 16 900 41. 3 190 000
42. 516 • 10 000 43. 16,82 • 100 44. 19 000 000 000
45. 1 980 000 000 46. 3 800 000 47. 124 500 000
1. ¿Cuál es el valor de 34 ?
2. En un estadio de fútbol hay 58 000
asientos. ¿Cuál de las siguientes es la
forma correcta de escribir 58 000 en
notación científica?
3. ¿Cuál es el producto de 24 y –8?
–182 –192
–216 228
4. ¿Qué expresión NO equivale a
3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
3 6 18
9 3 729
5. Un número elevado a 8 dividido entre el
mismo número elevado a 4 es 16. ¿Cuál
es ese número?
2 6
4 8
6. ¿Qué expresión equivale a 81?
2 9 ( _13 ) 24
3 4 ( _13 ) 4
2 C A P Í T U L O
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
26 25
48 128
9. El valor de:
(−2)0 + (−2) + (−2)2 + (−2)3 es
10. Carolina compró 3 ramos de margaritas y
4 ramos de claveles. En cada ramo hay
6 margaritas y 10 claveles. ¿Cuántas flores
tiene Carolina en total?
Responde verdadero (V) o falso (F).
–11 –5
11 15
(–3)4 • (–2)8 • (–15)3
(–4)2 • (–3) • (5)
11. Samuel tiene 10 cajas con juegos de
computadora. En cada caja caben 13 juegos.
¿Cuántos juegos tiene Samuel?
12. ¿Qué exponente hace que el enunciado
3 ? 5 27 2 sea verdadero?
13. El área de un cuadrado es 169 metros cuadrados.
¿Cuál es la longitud en metros de un lado?
14. Encuentra el valor de:
15. Escribe como una potencia.
Josefa dice que el ejercicio es muy largo pues
debe desarrollar cada multiplicación y división
aplicando las propiedades.
16. Una bolsa de porotos negros pesa 210 gramos.
a. ¿Cuánto pesan 10 000 bolsas de porotos
negros? Escribe tu respuesta en forma
estándar.
b. Escribe los números 210 y 10 000 usando
notación científica.
c. Explica cómo usar las reglas de los exponentes
para escribir el peso de 10 000 bolsas de
porotos negros usando notación científica.
17. Una bola cae a un hoyo de 2 metros de
profundidad. ¿A qué profundidad se encuentra
una cañería que está 5 veces más profunda que
la bola? Escribe en números enteros.
18. ___ Todo número elevado a la primera
potencia es igual a ese mismo número.
19. ___ El número 27 000 000 expresado en
notación científica es 27 • 105.
20. ___ Al dividir una potencia de igual base y
distintos exponentes , se conserva la
base y se suman los exponentes.