POTENCIAS EJEMPLOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

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En esta unidad aprenderás a:
Interpretar una potencia como la multiplicación reiterada de un mismo número.
Multiplicar y dividir una potencia de 10 por otra potencia de 10.
Multiplicar y dividir un número natural o decimal por una potencia de 10.
Emplear potencias de 10 en la descomposición canónica de un número natural.
Aplicar potencias para resolver diversos problemas.
Definición de potencia
• Interpretar potencias como multiplicación iterada.
• Escribir multiplicaciones como potencias.
• Calcular potencias de base y exponente natural.
• Multiplicar y dividir por potencias de 10.
• Utilizar las potencias de 10 en la escritura de
grandes números.
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CONVERSEMOS DE…
Calcular y expresar cantidades tan grandes como las
aproximadamente 120 000 000 000 de estrellas de la Vía Láctea,
los 348 000 km que nos separan de la luna, los 6 cuatrillones de
kilogramos de la tierra o los 14,7 billones de dólares del
presupuesto de Chile sería extremadamente complicado sin la
ayuda de una importante herramienta de la matemática: las
potencias, que nos permiten escribir en forma abreviada
estos números.
1. ¿Qué es una estrella? ¿Sabes el nombre de alguna?
2. ¿Cómo crees que se podrían expresar las cantidades anteriores de
manera más simple?
3. Averigua otras unidades de medida que se usen para medir las
distancias en el Universo.
Un país sudamericano ha firmado un convenio comercial para exportar
algas pardas a China. El país enviará mensualmente 4 barcos,
cada uno con 4 contenedores. Si cada contenedor lleva 4 toneladas de
algas, entonces:
ff¿Cuántas toneladas de algas serán exportadas a China el primer mes
gracias a este convenio de intercambio?
Ilustremos la situación (ton: toneladas de algas, cont.: contenedores):
Como puedes ver en los esquemas anteriores, el primer mes se
enviarán 64 toneladas, número que se ha calculado multiplicando 3
veces el número 4. Esta multiplicación sucesiva de un mismo número
puede expresarse utilizando la notación de potencias: 43, donde 4 es
la base y 3 el exponente.
En 1 contenedor hay 4 toneladas de algas.
1 cont. = 4 ton
En 1 barco hay 4 contenedores
y en 4 contenedores hay 4 · 4
= 16 toneladas de algas.
1 barco = 4 cont. = 4 · 4 ton
= 16 ton
En 4 barcos hay 4 · 4 = 16 contenedores
y en 16 contenedores
hay 16 · 4 = 4 · 4 · 4 = 64 toneladas
de algas.
4 barcos = 4 · 4 cont.
= 4 · 4 · 4 ton = 64 ton
Las algas pardas –vegetales
muy sencillos que viven
en el agua– son fuentes de
alginato, macromolécula
utilizada en odontología, en
medicina y en las industrias
papelera, textil, farmacéutica
y de alimentos.
Además, actualmente se
utiliza para la alimentación
del abalón, molusco comestible
que Chile exporta
principalmente a Japón.
La Alimentación
Enlace con…
Problemas
Una empresa internacional dedicada 1. a la generación de energía
limpia selecciona 3 países de Asia, 3 de América y 3 de África
para construir en cada uno de ellos 3 centrales solares experimentales,
cada una de 3 MW de potencia. (MW: megawatt o
megavatio, unidad de energía producida en 1 segundo).
a) ¿Cuántas centrales solares construirá la empresa?
b) ¿Cuántos MW producirá en cada país seleccionado?
c) ¿Cuántos MW producirá con todas las centrales proyectadas
en funcionamiento?
Potencia es una expresión matemática que permite expresar la
multiplicación reiterada de un número por sí mismo.
Una potencia está compuesta por:
Base: número que se multiplica reiteradamente.
Exponente: cantidad de veces que aparece la base en la multiplicación
reiterada.
base exponente
43 = 4 · 4 · 4 = 64
Esto se lee “cuatro elevado a tres es 64”.
Ejercicios individuales
a. Indica la base, el exponente, el desarrollo y el valor de las siguientes potencias. Guíate por el
ejemplo y usa una calculadora cuando sea necesario:
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor
2 2 2 2 2 · 2 4
1 12
4 4
5 8
56 1
14 3
b. Escribe usando la notación de potencias las siguientes multiplicaciones reiteradas y calcula el
resultado con una calculadora:
a) 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =
b) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 =
c) 11 · 11 · 11 · 11 · 11 =
d) 21 · 21 =
e) 14 · 14 · 14 · 14 =
f) 101 · 101 · 101 =
Potencias de 10
El 10 tiene un rol fundamental en el sistema de numeración que
ocupamos en la actualidad. En la historia de la humanidad, muchas
culturas basaron su forma de contar en otros números. Así, la cultura
babilónica desarrolló un sistema sexagesimal (basado en el 60) y la
maya uno vigesimal (basado en el 20). Sin embargo, la numeración
decimal creada en la India y llevada a Europa por los árabes es la que
se impuso y aún hoy nos acompaña.
ff¿Cómo escribimos los números 10, 1 000 y 1 000 000 usando notación
de potencias?
Los tres números presentados arriba están constituidos por un 1
seguido por uno, tres y seis ceros, respectivamente. Diremos que los
tres son potencias de 10 ya que pueden escribirse como una potencia
cuya base es 10 y cuyo exponente corresponde al número de ceros que
acompañan al 1.
Por lo tanto:
10 (1 cero) = 101
1 000 (3 ceros) = 103
1 000 000 (6 ceros) = 106
ff¿A qué números corresponden, entonces, las potencias 105 y 1012?
Los números representados se obtienen escribiendo un 1 seguido de
tantos ceros como indica el exponente de la potencia de 10.
Por lo tanto:
105 = 100 000
1012 = 1 000 000 000 000
Una potencia de 10 es aquella cuya base es el número 10 y cuyo
exponente es un número cualquiera. Fácilmente puedes reconocer
una potencia de 10, ya que se escribe como un 1 seguido de
una determinada cantidad de ceros.
Las primeras diez potencias de 10 con exponente natural son:
100 = 1 (uno) 105 = 100 000 (cien mil)
101 = 10 (diez) 106 = 1 000 000 (un millón)
102 = 100 (cien) 107 = 10 000 000 (diez millones)
103 = 1 000 (mil) 108 = 100 000 000 (cien millones)
104 = 10 000 (diez mil) 109 = 1 000 000 000 (mil millones)
1 000 000 000 se lee “mil
millones” en la mayoría de
los países europeos y todos
los de habla hispana.
Sin embargo, en Estados
Unidos y otros países de
habla inglesa se lee como
“un billón”.
Algunos elementos del
sistema sexagesimal desarrollado
en Babilonia han
perdurado hasta nuestros
días. Por ejemplo, en la medición
de ángulos se ocupa
un sistema sexagesimal
al igual que en la división
del tiempo, donde 1 hora
equivale a 60 minutos y
1 minuto a 60 segundos.
Archívalo
Ejercicios individuales
Identifica cuáles de los siguientes números son potencias de 10 marcando a. Sí o No junto a ellos:
a) 2 000
b) 10 000
c) 10 000 001
d) 100 010
e) 1 000 000 000 000
f) 1 000 100 100
g) 10 101 010
h) 100 000 000
b. Expresa cada uno de los siguientes números como potencia:
a) 10 000 000 000 =
b) 1 000 000 000 000 =
c) 100 000 000 000 =
d) 1 000 000 000 000 000 =
e) 1 000 000 000 000 000 000 000 =
f) 10 000 000 =
c. Escribe el desarrollo y el valor de las siguientes potencias de 10:
a) 104 =
b) 108 =
c) 1013 =
d) 1020 =
e) 107 =
f) 1024 =
Ejercicios grupales
a. El Sistema Internacional de Unidades dispone de una serie de prefijos que se anteponen a las
unidades de medida y que indican numéricamente potencias de 10. Agrupados en parejas investiguen
a qué potencia de 10 hace referencia cada uno de los prefijos de la tabla y escriban
situaciones que involucren estas unidades:
Prefijo Potencia de 10 Prefijo Potencia de 10
Deca Tera
Hecto Peta
Kilo Exa
Mega Zetta
Giga Yotta
b. En la tabla que se muestra a continuación se describen diferentes vistas del Sistema Solar a
determinadas distancias. Escriban estas últimas como potencias de 10:
Distancia (km de altura) Vista Potencia de 10
10 000 Hemisferio terrestre
1 000 000 Órbita de la Luna en torno a la Tierra
10 000 000 Parte de la órbita de la Tierra
100 000 000 Órbitas de la Tierra, Venus y Marte
1 000 000 000 Órbitas de Mercurio, Tierra, Venus, Marte y Júpiter
Multiplicación de potencias de 10
Por el Eurotúnel, que une Inglaterra con Francia a través del Canal
de la Mancha, circulan durante una noche 10 vehículos cada 1 minuto.
Considera que la masa de cada uno de los vehículos es de 1 000 kg,
entonces:
ff¿Cuántos vehículos pasarán por el Eurotúnel en 100 minutos?
ff¿Cuántos kilogramos medirá en total una Central de Pesaje que se
encuentra en el interior del Eurotúnel en 100 minutos?
Como en 1 minuto circulan 10 vehículos, entonces en 100 minutos
lo harán 10 · 100 vehículos y como la masa de cada vehículo es de
1 000 kg, entonces la Central de Pesaje medirá 10 · 100 · 1 000 kg. Esta
multiplicación indica 1 000 000 de kilogramos.
Mostraremos a continuación dos formas sencillas de llegar al resultado
anterior. Primero sumando los ceros que componen los factores
y luego ocupando la notación de potencias.
Primera forma:
El producto corresponde a un 1 seguido de la cantidad de ceros que
existen en todos los factores presentes en la multiplicación.
• 10 · 100 = 1 000 vehículos. (Hay tres ceros, uno en el primer factor
y dos en el segundo).
• 10 · 100 · 1 000 = 1 000 000 kg. (Hay seis ceros, uno en el primer
factor, dos en el segundo y tres en el tercero).
Segunda forma:
Escribimos los factores en forma de potencias con base 10 y el producto
lo obtenemos escribiendo un 1 con tantos ceros como indique la
suma de los exponentes de estas potencias.
• 101 · 102 = 1 000 vehículos = 103 vehículos. (La suma de los exponentes
es 3).
• 101 · 102 · 103 = 1 000 000 kg = 106 kg. (La suma de los exponentes
es 6).
El producto de potencias de 10 lo obtienes escribiendo un 1 seguido
de la misma cantidad de ceros que poseen los factores en
conjunto. Otra forma es expresar cada uno de los factores en forma
de potencia de 10 y luego escribir un 1 seguido de tantos ceros
como te indique el resultado de la adición de los exponentes de
estas potencias.
El Eurotúnel tiene una
longitud de 50 km, 39 de
ellos submarinos, lo que
lo convierte en uno de los
túneles submarinos más
largos del mundo. Al 2008
solo es superado por el
túnel Seikan (Japón), cuya
longitud es de 53 km.
El Eurotúnel fue inaugurado
el 6 de mayo de 1994 y se
estima que el costo de su
construcción superó los
16 000 millones de euros.
La Arquitectura
Enlace con…
Ejercicios individuales
Resuelve las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado a. final en las formas que se te
indican:
Multiplicación Número Potencia
10 · 10 · 10
1 000 · 1 · 100
102 · 10 · 102 · 103
10 000 · 10 · 10 000 000
103 · 104 · 106
10 000 · 10 000 · 100
b. Expresa las siguientes potencias de 10 como una multiplicación con dos y tres factores:
Potencia de 10 Dos factores Tres factores
100
102
107
109
1014
1017
1020
Problemas
1. A una librería llegaron 10 enciclopedias de 10 tomos cada una.
La directora pidió con urgencia a un empleado que calculara
cuántas páginas contienen estas 10 enciclopedias si cada
tomo está compuesto por 1 000 páginas. ¿Cómo puede hacer
este cálculo rápidamente?
2. Un camión transporta 100 bolsas con 1 000 bolitas de plumavit
de 10 g de masa cada una. Cada día parten 10 camiones cargados.
Responde:
a) ¿Cuántas bolitas se transportan en un día?
b) ¿Cuántas en 10 días?
c) ¿Cuál es la carga de plumavit transportada en un día?
Exprésala en gramos.
d) ¿Cuál en 10 días?
Multiplicación de un número natural
por una potencia de 10
En 2007 la Gran Muralla china fue designada como una de las Siete
Maravillas del Mundo Moderno y es, sin duda, un lugar turístico de
visita obligatoria para los viajeros que acuden al gigante asiático. Su
longitud, sin contar ramificaciones, se acerca a los 6 400 kilómetros y
su altura varía entre los 7 y 10 metros.
ff¿Cuál es la longitud total de la Gran Muralla china expresada en
metros?
ff¿Cuál es la longitud total de la gran muralla china expresada en centímetros
y en milímetros?
Primero debemos recordar las equivalencias entre las unidades de
longitud mencionados:
1 kilómetro = 1 000 metros
1 metro = 100 centímetros
1 centímetro = 10 milímetros
Para realizar las transformaciones debemos multiplicar sucesivamente
por las potencias de 10 anteriores.
En metros:
6 400 · 1 000 = 6 400 000 m o, en forma equivalente,
6 400 · 103 = 6 400 000 m
En centímetros:
6 400 · 1 000 · 100 = 640 000 000 cm o, en forma equivalente,
6 400 · 103 · 102 = 6 400 · 105 = 640 000 000 cm
En milímetros:
6 400 · 1 000 · 100 · 10 = 6 400 000 000 mm o, en forma equivalente,
6 400 · 103 · 102 · 101 = 6 400 · 106 = 6 400 000 000 mm
Para multiplicar un número natural por una o varias potencias de
10 debes escribir el número natural seguido de la misma cantidad
de ceros que tienen los otros factores en conjunto. Si estos factores
están escritos en forma de potencia debes escribir el número
natural seguido de tantos ceros como te indique el resultado de la
adición de los exponentes de estas potencias.
La principal importancia
de las potencias de
10 radica en que son la
base del sistema de numeración
que ocupamos
actualmente: el sistema
decimal.
A partir del siglo VII a. de
C. los diversos feudos que
existían en los territorios de
la actual China construyeron
murallas defensivas
para protegerse de las
constantes invasiones de
los Hunos–belicosa tribu
nómade del norte–. En el
siglo III a. de C. el primer
emperador chino Qin Shi
Huang unificó estas murallas
aisladas para conformar
la Gran Muralla china.
La Historia
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Ejercicios individuales
Completa la tabla multiplicando los números de la primera columna a. por las potencias de 10 que
se indican en las columnas siguientes:
Número 100 101 102 103 104 105 106
1
2
9
27
48
1 332
14 480
b. Resuelve mentalmente las multiplicaciones:
a) 6 · 1 000 · 10 000 =
b) 13 · 10 · 1 000 · 100 =
c) 200 · 100 · 100 =
d) 74 320 · 10 000 · 10 =
e) 1 098 702 · 100 · 1 000 =
f) 832 000 · 10 · 1 · 100 =
c. La luz viaja aproximadamente 300 000 km en un segundo.
a) ¿Cuántos metros recorre en 1 segundo?
b) ¿Cuántos centímetros recorre en 10 segundos?
c) ¿Cuántos milímetros recorre en 2 segundos?
d. La torre de Pisa tiene una masa de 14 700 toneladas.
a) ¿Cuál es su masa expresada en kilogramos?
b) ¿Cuál es su masa expresada en miligramos?
c) ¿Cuál es su masa expresada en centigramos?
e. Entre las ciudades Chillán y Arauco hay una distancia aproximada de 177 km.
a) ¿Cuántos metros separan ambas ciudades?
b) ¿Cuántos milímetros separan ambas ciudades?
c) ¿Cuántos centímetros separan ambas ciudades?
f. El Titanic fue registrado con un peso bruto de 46 328 toneladas.
a) ¿Cuál era la masa del Titanic expresada en kilogramos?
b) ¿Cuál era la masa del Titanic expresada en gramos?
g. La Carretera Panamericana, es un sistema de carreteras de 25 800 km que comunica de norte
(Alaska) a sur (Patagonia) el continente americano.
a) ¿Cuántos metros mide la Carretera Panamericana?
b) ¿Cuántos centímetros mide la Carretera Panamericana?
Multiplicación de un número decimal
por una potencia de 10
Ximena estuvo becada estudiando en España y contó que le había
salido muy caro el arriendo. Cada día una habitación en Barcelona le
costaba 20,5 € y como la beca solo cubría la matrícula, el arancel y
otros gastos menores, debió trabajar durante los fines de semana para
financiar su estadía.
ffSi estuvo 100 días en Barcelona, ¿cuánto gastó en arriendo?
Es necesario resolver la multiplicación entre un número decimal
(20,5) y un número natural que es potencia de 10 (100 = 102):
20, 5 · 100 = 20,5 · 102
Evidentemente no podemos agregar ceros a continuación del número
decimal pues este posee una coma. ¿Qué hacer?
Uno de los ceros de la potencia de 10 lo ocupamos para mover la
coma hacia la derecha del número y el otro lo agregamos a continuación
del número sin coma. Observa:
Primer 0 Segundo 0
20,5 205 2 050
Por lo tanto, Ximena gastó en arriendo durante los 100 días que
estuvo estudiando en España 2 050 €.
Al multiplicar un número decimal por una potencia de 10 podemos
diferenciar tres casos que se explican y ejemplifican a continuación:
• Cantidad de dígitos tras la coma es menor que cantidad de ceros en potencia
de 10: los 0 de la potencia de 10 se ocupan primero para mover la
coma hacia la derecha del número decimal y los que sobran se
agregan a continuación del número natural así obtenido.
71,29 · 10 000 = 712 900
• Cantidad de dígitos tras la coma es igual que cantidad de ceros en potencia
de 10: el resultado es el número natural que se obtiene al
eliminar la coma del número decimal original.
14,345 · 1 000 = 14 345
• Cantidad de dígitos tras la coma es mayor que cantidad de ceros en potencia
de 10: el resultado es un número decimal con la coma desplazada
hacia la derecha –respecto al número decimal original– en igual
cantidad de posiciones como ceros hay en la potencia de 10.
47,3428 · 100 = 4 734,28
El Euro (€) fue introducido
en los 11 países miembros
de la Unión Europea como
moneda virtual el 1 de enero
de 1999 y en forma física
el 1 de enero del 2002. Al
2008 son 15 los países que
han adoptado el Euro como
moneda oficial.
La existencia de una moneda
única en Europa ha permitido
una mayor cooperación
e integración económica
entre los estados, facilitando
las transacciones
comerciales y el traslado
de las personas.
La Globalización
Enlace con…
Ejercicios individuales
Multiplica los siguientes números decimales por 10, 100, 1 000 a. y 10 000. Antes de obtener el
producto, intenta predecir si el resultado será un número decimal o un número natural:
· 10 · 100 · 1 000 · 10 000
a) 0,53
b) 1,763
c) 7,001
d) 19,24
e) 1 098,702
f) 767,6435
g) 299,923492
h) 5,74648
b. Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones:
a) 0,95 · 103 =
b) 3,6212 · 102 =
c) 73, 254 · 100 · 105 =
d) 172,5379 · 102 ·101 =
e) 2 054,00442 · 105 · 102 =
f) 74 923,744001 · 101 · 103 · 104 =
Problemas
1. El monte Everest, ubicado en la cadena montañosa Himalaya
(Asia), es la montaña más alta del planeta Tierra, con 8,848 km
sobre el nivel del mar. En contraste, la mayor profundidad de la
corteza terrestre la constituye la fosa de Las Marianas, ubicada
en el Pacífico norte y cuya profundidad es de 11,03 km.
a) ¿Cuántos metros de altura mide el monte Everest?
b) ¿Cuántos centímetros de profundidad mide la fosa de Las
Marianas?
Ejercicios grupales
a. Descubran en grupos de dos o más personas el valor desconocido y escríbanlo en el recuadro
correspondiente:
a) · 102 = 654,2
b) · 101 = 0,043
c) · 104 = 206 500
d) · 102 = 1 400,436
e) · 103 = 93 540,1
f) · 107 = 673 490 000
Descomposición canónica de un
número natural
El sistema de numeración ocupado en la actualidad es el sistema
decimal cuya base es el número 10. Este sistema permite escribir cualquier
número ocupando diferentes potencias de 10.
ff¿Cómo expresamos canónicamente el número 37 ocupando potencias
de 10?
ff¿Cómo expresamos canónicamente el número 1 285 ocupando potencias
de 10?
Para expresar cualquier número utilizando potencias de 10 debemos
realizar la respectiva descomposición canónica, indicando el valor
posicional que cada dígito tiene dentro del número. En el caso del 37,
estos valores son:
Decena Unidad
37
Cada valor posicional lo podemos hacer corresponder con una potencia
de 10. Observa algunas de estas correspondencias:
Cmi Dmi Umi CM DM UM C D U
108 107 106 105 104 103 102 101 100
Una vez que identificamos el valor posicional de cada dígito escribimos
la descomposición canónica utilizando las potencias de 10 que
leemos desde la tabla.
37 = 3D + 7U = 3 · 101 + 7 · 100
Llevando a cabo el mismo procedimiento para el 1 285:
Centena Decena
Unidad de mil 1 285 Unidad
Por lo tanto la descomposición canónica del 1 285 es:
1 285 = 1UM + 2C + 8D + 5U = 1 · 103 + 2 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100
La descomposición canónica de un número natural usando potencias
de 10 se consigue efectuando la adición de los productos
entre cada uno de los dígitos que componen el número y la potencia
de 10 que le corresponde a su valor posicional.
En un dado común de seis
caras las caras opuestas
suman siempre 7.
Considera un dado de seis
caras con los números del
1 al 6 escritos en cada
una de ellas. Este dado
es especial, pues dos
caras opuestas suman
9 y otras dos 8. ¿Cuánto
suman las restantes caras
opuestas?
Desafío
al ingenio
La notación científica utiliza
potencias de 10 para expresar
números muy grandes
y números muy pequeños.
Por ejemplo, la distancia
media de la Tierra al Sol
es de aproximadamente
150 000 000 km, que en
notación científica se escribe
1,5 · 108 km.
Una cantidad expresada en
notación científica consiste
en un número mayor o
igual que 1 y menor que
10 multiplicado por una
potencia de 10.
Archívalo
Ejercicios individuales
Efectúa la descomposición canónica de los siguientes n a. úmeros naturales:
a) 8 =
b) 49 =
c) 8 604 =
d) 71 447 =
e) 549 007 =
f) 2 009 341 =
g) 65 449 100 =
h) 380 000 792 =
b. Encuentra el número natural que ha sido descompuesto canónicamente en cada una de las
siguientes expresiones:
a) 100 =
b) 1 · 102 + 4 · 101 =
c) 2 · 103 + 2 · 102 + 101 =
d) 7 · 103 + 9 · 102 + 6 · 101 + 4 · 104 =
e) 2 · 101 + 5 · 104 + 103 + 5 · 102 =
f) 3 · 100 + 4 · 102 + 7 · 101 + 8 · 104 =
g) 106 + 3 · 104 + 9 · 101 =
h) 9 · 103 + 2 · 105 + 4 · 106 + 7 · 101 + 2 · 102 + 2 · 107 =
Ejercicios grupales
a. Encuentren, reunidos en grupos de 2 o más personas, el número natural a partir de las siguientes
descomposiciones canónicas. Para ello agrupen y sumen los dígitos que acompañan a las
potencias de 10 de igual exponente:
a) 3 · 103 + 2 · 102 + 7 · 103 + 9 · 101 + 4 · 102 + 2 · 102 =
b) 6 · 101 + 2 · 100 + 3 · 102 + 6 · 100 + 100 + 1 · 101 =
c) 2 · 104 + 6 · 102 + 5 · 107 + 6 · 101 + 4 · 102 + 2 · 107 =
d) 5 · 103 + 3 · 103 + 4 · 101 + 8 · 100 + 2 · 102 + 2 · 101 =
e) 2 · 104 + 1 · 104 + 5 · 102 + 2 · 102 + 10 =
División de potencias de 10
La empresa Salmonex, ubicada en la Décima Región del país enviará
una partida de 100 000 unidades de salmón congelado a Japón.
Dentro de los acuerdos firmados con este país asiático, la empresa
chilena se ha comprometido a enviar el pescado en contenedores de
1 000 unidades refrigerados a veinte grados Celsius bajo cero, para la
conservación óptima del alimento.
ff¿Cuántos contenedores debe encargar la salmonera a su abastecedor
para enviar la partida?
Este problema se resuelve dividiendo el total de unidades de salmón
a exportar entre las unidades que es posible empacar en uno de los
contenedores. Observa:
100 000 unidades totales
1000 unidades por contenedor
100 000
1000
105
103
Esta división la puedes resolver de dos formas.
Primera forma:
Eliminar un cero del numerador por cada cero del denominador y
luego dividir. Si el numerador posee igual o mayor cantidad de ceros
que el denominador –como en nuestro ejercicio– el resultado o cociente
es mayor o igual que 1. Si el numerador posee menos ceros que el
denominador, el resultado es un número ubicado entre 0 y 1.
100 000 unidades totales
1000 unidades por contenedor
100 000
1000
105
103 = 100 contenedores
Segunda forma:
Escribir dividendo y divisor en forma potencial y escribir el resultado
como una potencia con base 10 y cuyo exponente es la resta entre los
exponentes del numerador y el denominador.
100 000 unidades totales
1000 unidades por contenedor
100 000
1000
105
103 = 105 – 3 = 102 = 100 contenedores
Una división de potencias de 10 la resuelves eliminando la misma
cantidad de ceros tanto del dividendo como del divisor. Otra
forma es escribir los términos de la división en forma potencial y
expresar el resultado como una potencia cuya base es 10 y cuyo exponente
es el resultado de la resta entre los exponentes de ambas
potencias.
Los primeros salmones
(cohos o plateados) llegaron
Chile a partir de 1921,
gracias a la labor del Instituto
de Fomento Pesquero
(IFOP). En el año 1973, el
Instituto logró implementar
tecnologías pioneras para el
cultivo de distintas especies
acuícolas.
El Comercio
Enlace con…
Ejercicios individuales
Resuelve mentalmente las siguientes d a. ivisiones de potencias de 10:
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 a) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 b) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 c) =
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 d) =
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 e) =
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 f) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 g) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 h) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 i) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 j) =
100
10
100
100
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 k) =
10000
10
1000000
100
100000000
1000000
103
102
103
101
105
102
107
104
106
103
100000
1000
1010
105 l) =
b. Enlaza la división de la columna de la izquierda con su resultado expresado en forma de potencia
de la columna de la derecha:
1 000
10
1 000 000 000
1 000 000
1 000 000 000
100
1 000
1 000107
1 000
10
1 000 000 000
1 000 000
1 000 000 000
100
1 000
1 000
100
1 000
10
1 000 000 000
1 000 000
1 000 000 000
100
1 000
1 000 102
000
1 000 000 000
1 000 000
1 000 000 000
100
1 000
1 000 103
c. La nueva impresora láser que compró la directora de un colegio es de alta velocidad e imprime
en color y en blanco y negro. En sus especificaciones técnicas dice que puede imprimir 10 000
páginas en 100 minutos.
a) ¿Cuántas páginas puede imprimir en 1 minuto?
b) ¿Cuántas páginas puede imprimir en 10 minutos?
d. Mi padre adquirió una deuda por $ 1 000 000 y debe cancelarla en 10 cuotas, una cada mes y
sin intereses. ¿Cuál es el monto de la cuota que debe pagar cada mes?
e. Una nave espacial recorre 100 000 000 000 de metros en 1 000 días.
a) ¿Cuántos kilómetros recorre en 1 000 días?
b) ¿Cuántos kilómetros recorre en 100 días?
c) ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 días?
d) ¿Cuántos kilómetros recorre en 1 día?
Para dividir un número natural por una potencia de 10 debes distinguir
tres casos:
• No hay ceros en el dividendo o están en cantidad menor que la cantidad
de ceros en la potencia de 10: en el caso de un número natural sin
ceros se debe mover la coma hacia la izquierda tantas posiciones
como ceros tiene la potencia de 10. El resultado es un número
decimal. Ejemplo:
27 432 : 10 000 = 2,7432
Si el número natural tiene ceros se elimina un cero del dividendo
por cada cero de la potencia de 10. Por cada cero que queda sin
eliminar de la potencia de 10 se mueve la coma del dividendo
una posición a la izquierda. El resultado es un número decimal.
Ejemplo:
734 500 : 1 000 = 734,5
• Cantidad de ceros en el dividendo es igual a la cantidad de ceros en la
potencia de 10: el resultado corresponde al dividendo sin sus ceros.
Ejemplo:
174 000 : 1 000 = 174
• Cantidad de ceros en el dividendo es mayor que cantidad de ceros en
la potencia de 10: se eliminan del dividendo tantos ceros como
ceros tiene la potencia de 10. El resultado es siempre un número
natural. Ejemplo:
18 000 : 100 = 180
División de un número natural por
una potencia de 10
En 1998 comenzó el armado y puesta en marcha de la Estación Espacial
Internacional, megaproyecto que ha permitido la presencia humana
permanente en el espacio y que ha servido de laboratorio para muchos
experimentos relacionados con muchas ramas del conocimiento.
ffSi esta estación se encuentra orbitando a 360 000 metros de la superficie
terrestre, ¿cuántos kilómetros la separan de la Tierra?
Como ya sabes 1 kilómetro consta de 1 000 metros, por lo que este
problema de transformación de unidades se puede resolver agrupando
en grupos de a 1 000 los 360 000 metros de separación. Esto, matemáticamente
equivale a dividir 360 000 por 1 000:
360 000
1000
Eliminando tres ceros del dividendo con tres ceros del divisor llegamos
rápidamente a la respuesta, que es: 360 kilómetros.
La concepción y construcción
de la Estación Espacial
Internacional fue posible
gracias a la participación
y colaboración de Rusia,
Estados Unidos, Canadá,
Japón y la Comunidad Europea.
La Estación demora
cerca de 92 minutos en dar
una vuelta a la Tierra a la
velocidad de 26 000 km/h
y su masa es de casi 500
toneladas.
La Tecnología
Enlace con…
Problemas
Una industria exportadora de manzanas 1. dispone de bandejas
cuadradas de 10 unidades por lado para transportarlas al puerto.
Para este traslado posee una flotilla de camionetas, cada una
de las cuales puede contener 10 bandejas. La producción de
un día consistió en 13 456 manzanas.
a) ¿Cuántas bandejas se requieren para trasladar las manzanas?
¿Cuántas manzanas sobran?
b) ¿Cuántas camionetas se necesitan para el traslado de las
bandejas? ¿Cuántas bandejas sobran?
2. El dueño de una empresa de informática desea repartir un
porcentaje de las utilidades del año anterior entre sus 100
empleados. El reparto debe ser equitativo, ya que todos los
trabajadores se esforzaron por igual. El monto a repartir asciende
a $ 28 677 043.
a) ¿Cuánto recibirá cada empleado? ¿Cuánto sobrará?
b) Si el jefe de la empresa pide en el banco que el monto se
lo entreguen solo en billetes de $ 1 000, ¿cuántos billetes
recibirá? ¿Cuánto deberán darle en monedas?
Ejercicios individuales
a. Resuelve mentalmente las divisiones:
a) 350 000 : 1 000 =
b) 9 058 000 : 100 =
c) 774 000 000 : 100 000 =
d) 80 000 : 101 =
e) 6 900 000 000 : 107 =
f) 309 000 000 : 103 =
b. Divide:
a) 256 800 : 100 =
b) 3 300 000 : 100 000 =
c) 71 000 : 103 =
d) 55 700 000 : 105 =
c. Divide:
a) 342 : 10 =
b) 866 000 : 100 000 =
c) 181 218 : 10 000 =
d) 59 199 : 105 =
e) 778 900 : 106 =
f) 42 987 175 : 1010 =
Para dividir un número decimal por una potencia de 10 debes
distinguir dos casos:
• Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es mayor que cantidad
de ceros en potencia de 10: se mueve la coma hacia la izquierda
del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia de 10.
Ejemplo:
432,12 : 10 = 43,212
• Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es menor o igual
que cantidad de 0 en la potencia de 10: se mueve la coma hacia la
izquierda del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia
de 10. Cuando se acaba la parte entera se deben agregar todos los
0 que sean necesarios a la izquierda de ella para poder mover la
coma la cantidad de posiciones señaladas. Ejemplo:
72,43 : 10 000 = 0,007243
Un número natural se
puede interpretar como
aquel número cuya parte
decimal es nula, es decir,
podemos escribir:
7 = 7,0000…
184 = 184,0000…
División de un número decimal por
una potencia de 10
Marta se acaba de cambiar a un departamento y aún no tiene acceso
a internet, por ello para comunicarse con sus amigos y amigas debe
ir a la casa de sus padres que, según un mapa de la ciudad, viven a
35 523,65 m.
ff¿Cuántos kilómetros separan el departamento de Marta de la casa
de sus padres?
Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es
convertir los metros que separan el departamento de Marta de la
casa de sus padres a kilómetros y, para ello, debemos recordar que
1 km = 1 000 m = 103 m.
Para dividir un número decimal por una potencia de 10 podemos
primeramente multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia
de 10 que permita convertir el decimal en un entero, en este caso multiplicamos
por 100 y luego dividimos:
(35 523,65 · 100) : (1 000 · 100) = 3 552 365 : 100 000
Utiliza el método de división aprendido en clases anteriores y resuelve
la división; luego comprueba con tu calculadora para no incurrir
en errores.
3 552 365 : 100 000 = 35 523,65 : 1 000 = 35, 52365
La distancia que separa el departamento de Marta de la casa de sus
padres es de 35,52365 km.
El sistema de numeración
decimal que ocupamos
en la actualidad –basado
en las potencias de 10–
tuvo su origen en la India
y fue transmitido por los
matemáticos árabes hacia
Occidente durante la expansión
de la civilización
islámica a Europa, que
se inicia a partir del siglo
VII d. de C.
La Historia
Enlace con…
Ejercicios individuales
a. Resuelve las siguientes divisiones:
a) 5 463,42 : 10 =
b) 934,53 : 10 000 =
c) 73,425 : 1 000 =
d) 0,231 : 100 =
e) 99,34 : 1 000 =
f) 9934,2 : 10 =
g) 8,34 : 100 =
h) 0,21