POTENCIACION Y RADICACION ARITMETICA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS




Al finalizar el presenle capítulo , el lector estará en la capacidad de:
* Reconocer cuando un número es una potencia perfecta de grado n .
* Deducir los criterios de inclusión y exclusión de los cuadrados y cubos perfectos.
* Diferenciar cuadrados y cubos perfectos de un conjunto de números.
* Determinar la raíz cuadrada y cúbica de un número .
* Interpretar la raíz inexacta de un número .
* Relacionar el valor real y aproximado de una raíz con la cota de error empleada en el cálculo de la aproximación .
*Aplicar propiedades en la resolución de los problemas.
Potenciación
Es la representación simplificada de una multiplicación donde todos los factores son iguales. La potenciación consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces.
Radicación
Es la operación inversa a ala potenciación, en el cual dados dos números llamados índice y radicando, consiste en calcular un tercer número llamado raíz, que elevado a un exponente igual al índice, resulte el radicando.


introducción

¿Cuál es el valor de 00?
La respuesta más simple es: 00 es una expresión sin significado matemático. Una respuesta más informativa sería: 0º es una expresión indeterminada.
Para explicar estas respuestas, tal vez sea mejor examinar dos ejemplos más simples de fórmulas desprovistas de significado matemático, que son: . De acuerdo con la definición de división: , significa que a = b · c. Por lo tanto, si escribimos y estas igualdades significarían que . Ahora bien, todo número x es tal que 0 · x = 0 y ningún número y es tal que 0 · 1 = y, por eso se dice que es una “expresión indeterminada” y que es una “división imposible”.

POTENCIACIÓN

CONCEPTO
Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.
Ejemplo:
• 512 = 8 · 8 · 8 = 83 ® Potencia perfecta de grado 3.
• 729 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 ® Potencia perfecta de grado 6.
GENERALIZANDO

CASOS PARTICULARES
1. Potencia Perfecta de Grado 2
(Cuadrado perfecto)
Ejemplo:

Aplicación (1)
Halle el menor número tal que al agregarle su quinta parte se convierte en un cuadrado perfecto.
Aplicación (2)
¿Cuántos cuadrados perfectos existen en la sucesión:
18 (1) ; 18 (2) ; 18 (3) ; … ; 18 (200)?
2. Potencia Perfecta de Grado 3
(Cubo perfecto)
Ejemplo:

Aplicación (3)
¿Cuántos cubos perfectos de 3 cifras existen?
Aplicación (4)
Si es un cubo perfecto, determine los valores de a.

CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN
DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS
1. Según su cifra terminal


2. Por su terminación en cifras cero
902 = (9 · 10)2 = 92 · 102 = 8 100
2002 = (2 · 102)2 = 22 · 104 = 40 000
403 = (4 · 10)3 = 43 · 103 = 64 000
8003 = (8 · 102)3 = 83 · 106 = 512 000 000

GENERALIZANDO

Aplicación (5)
Si es un cuadrado perfecto, ¿cuántos valores asume

3. Por su terminación en cifra cinco
• Cuadrado perfecto

• Cubo perfecto

4. Divisibilidad por 4







1. Hallar un número que aumentado en su cuadrado dé 72.

Rpta.:

2. La diferencia de los cuadrados de 2 números Impares consecutivos es 443. ¿Cuál es la suma de dichos números?

Rpta.:

3. ¿Cuál es el menor número por el cual se debe multiplicar a 3234 para que el producto sea un cuadrado perfecto?

Rpta.:

4. Hallar el menor número por el cual hay que dividir a 108 675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto.

Rpta.:

5. Entre 2 cuadrados perfectos consecutivos hay 248 números enteros. Hallar el número mayor y dar como respuesta la suma de sus cifras.

Rpta.:

6. La edad de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número N y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a N. ¿Cuántos años tiene la tortuga?

Rpta.:

7. La diferencia de 2 números es 120 y la diferencia de sus raíces cuadradas es 6. Hallar el número mayor.

Rpta.:

8. Al multiplicar un número por 3, por 5 y por 7 se obtienen 3 números cuyo producto es 230685. Calcular dicho número.

Rpta.:

9. Encontrar un número cuyo cubo, más su triple cuadrado y más su triple dé 39303

Rpta.:

10. Para que N sea cubo perfecto se le debe multiplicar por 2×32 y para que sea cuadrado perfecto se le debe multiplicar por 15. ¿Cuál es el menor valor que puede tener N?

Rpta.:

1. Halle un numeral de 4 cifras, cuadrado perfecto, cuyo producto de cifras sea 300. Indique su cifra de mayor orden.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

2. ¿Cuántos cuadrados perfectos de 3 cifras existen en las cuales la suma de sus cifras extremas es igual a su cifra central?
A) 3 B) 4 C) 2
D) 6 E) Mas de 6

3. ¿Cuál debe ser el menor número entero por el que se debe dividir a 20! para que el cociente sea un cuadrado perfecto?
A) 124 B) 12603 C) 1528
D) 42613 E) 46189

4. Si es un cuadrado perfecto, hallar el valor de a sabiendo además que a + b + c = 10.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. ¿Cuál es el menor número entero que al multiplicarlo por 1260, da un cuadrado perfecto?
A) 5 B) 15 C) 35 D) 21 E) 45

6. En un cuartel forman 1225 soldados de tal modo que construyen un cuadrado perfecto. Si se retiran los soldados que forman el perímetro exterior de manera que se conserve el cuadrado. ¿Cuántos soldados quedarán?
A) 1049 B) 1089 C) 1156
D) 1000 E) 1024

7. Hallar un numeral de 6 cifras que comienza y termina en 4 y es un cubo perfecto. Dar la suma de sus cifras.
A) 16 B) 17 C) 18 D) 15 E) 19

8. ¿Cuántas bases de numeración menores que 50, el número 1331(n) es cubo perfecto?
A) 43 B) 4 C) 44 D) 41 E) 46

9. Encontrar un cuadrado perfecto de 5 cifras, cuyas cifras son 2, 0, 5, 7 y 8. Indique la suma de las cifras de su raíz.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

10. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden ser residuos máximos de la raíz cúbica de un número entero?
A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43
RADICACIÓN
CONCEPTO
Es una operación inversa a la potenciación, que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando, se calcula un tercer número llamado raíz donde este último elevado al índice reproduzca el radicando.

Ejemplo:

Generalizando:

CASOS PARTICULARES
1. Raíz cuadrada
a. Exacta

b. Inexacta

2. Raíz cúbica
a. Exacta

b. Inexacta

1. Hallar
A) 8 B) 14 C) 24 D) 15 E) 25

2. Al encontrar la raíz cuadrada de N se obtuvo 80 de residuo y al obtener la raíz cuadrada de 4N se obtuvo 39 de resto. Dar la suma de las cifras de N.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

3. La suma de los términos de una raíz cuadrada cuyo resto es máximo es 644. Hallar el radicando.
A) 625 B) 576 C) 575
D) 512 E) 528

4. ¿Cuál es el menor número entero que al multiplicarlo por 1260, da un cuadrado perfecto?
A) 5 B) 15 C) 35 D) 21 E) 45

5. En un grupo de 100 personas sólo se dan 4 edades: 22, 18; 30 ó 15 años. Las que tienen 18 años son en número, la raíz cuadrada del número que son las de 30 años y éstas son un número igual a la raíz cúbica del número que son las de 15 años. ¿Cuántas tienen 22 años si estas son menos de 50?
A) 32 B) 16 C) 4 D) 30 E) 12

6. Hallar la suma de las cifras del radicando:

A) 23 B) 22 C) 24 D) 26 E) 27

7. Hallar un número comprendido entre 4000 y 15000 tal que al extraerle su raíz cuadrada y cúbica se obtiene en ambos casos un residuo que es máximo. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25

8. ¿Cuántos números de 4 cifras pueden ser residuos máximos de la raíz cúbica de un número entero?
A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43

9. Hallar un número sabiendo que al extraerle su raíz cuadrada se obtiene un residuo mayor posible que es igual a 80.
A) 1940 B) 1840 C) 2680
D) 1680 E) 1725

10. Al extraer la raíz cuadrada a un número por defecto y por exceso se obtuvo como residuos 41 y 90 respectivamente. ¿Cuál es el valor del radicando?
A) 3244 B) 4266 C) 4356
D) 3656 E) 5366

1. ¿Cuál es el mayor número de 3 cifras que se deja un residuo máximo al extraerle su raíz cuadrada?
A) 960 B) 980 C) 940
D) 950 E) 930

2. Al dividir el número de la forma del sistema quinario entre N, da como resultado un número cuadrado perfecto. Si N toma el menor valor posible, calcular (a + b).
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

3. Sabiendo que:
y . Determinar (a + b).
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. Hallar la suma de todos los enteros positivos n, para los cuales 28 + 211+ 2n es un cuadrado perfecto.
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20

5. Al extraer la raíz cúbica de se obtuvo k de raíz y 37 de residuo. Al extraer la raíz cúbica de se obtuvo (k + 1 ) de raíz y 45 de residuo. Calcular (a + b + c).
A) 3 B) 5 C) 9 D) 11 E) 15

6. En una radicación cuadrada inexacta, el residuo puede tomar 682 valores diferentes sin que se altere la raíz cuadrada entera. La suma de las cifras de la raíz cuadrada entera es:
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

7. ¿Cuántos números menores que 10000 al extraerles su raíz cuadrada se obtiene 40 de residuo?
A) 77 B) 78 C) 79 D) 80 E) 81

8. ¿Cuál es el valor de a si al extraer la raíz cuadrada al número se obtiene 54 como residuo?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

9. ¿Cuántos términos de la sucesión:
13, 16, 19, …, 613 resultan tener raíz cuadrada exacta al sumarles 2 unidades?
A) 7 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10

10. La suma de un número, su raíz cuadrada y el residuo que es máximo suman 234. Hallar el número.
A) 186 B) 194 C) 204
D) 185 E) 195

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