POLINOMIO PRIMO EJEMPLOS RESUELTOS DE FACTORIZACION

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Un polinomio P(x) se llama primo o irreductible cuando no se puede descomponer en producto de polinomios de grado positivo, menor que el grado de P.
En caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo.
Ejemplos:
Transformar los siguientes polinomios en un producto de un polinomio de grado cero por otro polinomio.
De acuerdo con los ejemplos considerados concluimos que: Todo polinomio de primer grado es primo.
Ejemplo 1 Factorizar: P(x) = x2-49
Resolución:
P(x) = x2-49 = x2-72
Aplicando:
a2-b2 = (a+b)(a-b) ; obtenemos:
P(x) = x2 – 72 = (x + 7) (x – 7)

Ejemplo 2 Factorizar: F(x) = 4×2 – 25
Resolución:
F(x) = 4×2-25 = (2x)2 – 52
Aplicando: a2 – b2 = (a + b) (a – b) ; obtenemos:
F(x) = (2x + 5) (2x – 5)

Ejemplo 3 Factorizar: Q(x) = 5×3 – 180x
Resolución:
Factorizamos primero, sacando el factor común monomio “5x”, así:
Q(x) = 5×3 – 180x = 5x · x2 – 5x · 36 = 5x (x2-36)

Q(x) = 5x(x2-36) = 5x(x2-62)
= 5x(x+6) (x-6)

\ Q(x) = 5x(x+6)(x-6)
Ejemplo 4 Factorizar: R(x) = 3×4 – 192x
Resolución:
Factorizamos primero, sacando el factor común monomio “3x”, así:
R(x) = 3x · x3 – 3x · 64 = 3x (x3-64)

= 3x (x3 – 43)

= 3x(x-4) (x2+x · 4 + 42)
R(x) = 3x(x-4)(x2+4x+16)
\ R(x) = 3x (x-4) (x2 + 4x+16)
1 Factoriza completamente cada uno de los polinomios siguientes:
a) 4xy3 – 4xy e) 3ax2 + 15ax + 18a i) (a2 – 1)x – (a – 1)y m) (x – 2)2 – (y + 3)2
b) 6a3 + 6 f) x4 – (3y – 1)4 j) (a3 – 1)x-(a2 + a + 1)y n) ax2n – a – xn + 1
c) x8 – 16a2x2 g) 9 – x2 – 2ax – a2 k) (a + b)3 + 1 o) (x + y)2 – (2x – y)2
d) x4 – 81y4 h) (x – y)2 – 1 l) x2 + 6x + 9 – y2
2 Factoriza completamente cada uno de los polinomios siguientes:
a) x6 – 1 e) 3ax3 – 3ay3 i) m) x3 – x2 – 16x + 16
b) x8 – y8 f) x5 – xy4 + x4y – y5 j) x4 – y4 – 3×2+3y2 n) x3 + 2×2 – 9x – 18
c) 4×4 – 36y4 g) (2x – 3)2 – (3x – 1)2 k) x3 – x2z – x2 + xz – 2x + 2z o) x2y – 3×2 + xy – 3x – 2y + 6
d) x5 – x h) x2 + y2 + 2xy – z4 l)

Clave de respuestas
1. a) 4xy(y + 1)(y – 1) f) [x2 + (3y – 1)2](x + 3y – 1)(x – 3y+1) k) (a+b+1)[(a+b)2 – (a+b)+1]
b) 6(a + 1)(a2 – a + 1) g) (3 + x + a)(3 – x – a) l) (x + y + 3)(x – y + 3)
c) x2(x3 + 4a)(x3 – 4a) h) (x – y + 1)(x – y – 1) m) (x + y + 1)(x – y – 5)
d) (x2 + 9y2)(x + 3y)(x – 3y) i) (a – 1)[(a + 1)x – y] n) (xn – 1)[a(xn + 1) – 1]
e) 3a(x + 2)(x + 3) j) (a2 + a + 1)[(a – 1)x – y] o) 3x(2y – x)
2. a) (x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1) f) (x – y)(x + y)2(x2 + y2) k) (x – 2)(x + 1)(x – z)
b) (x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4) g) (x + 2)(4 – 5x) l) a(x + 1)(x – 1)(x2 + 1)
c) 4(x+y)(x -y)(x2+3y2) h) (x + y + z2)(x + y – z2) m) (x – 1)(x + 4)(x – 4)
d) x(x + 1)(x – 1)(x2 + 1) i) ax(x + 1)(x – 1) n) (x – 3)(x + 2)(x + 3)
e) 3a(x – y)(x2 + xy + y2) j) (x + y)(x – y)(x2 + y2 – 3) o) (y – 3)(x + 2)(x – 1)