POLÍGONOS: TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS , INICIACIÓN AL ÁLGEBRA EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Elementos de un polígono , Clasificación de los polígonos , Propiedades , Congruencia de polígonos , Triángulos , Elementos de un triángulo , Clasificación de los triángulos , Congruencia de triángulos , Rectas notables , Cuadriláteros , Elementos de un cuadrilátero . , Clasificación de los cuadriláteros , Construcción , Hexágono , Octágono , Polígonos estrellados , Iniciación al álgebra. Expresiones algebraicas , Términos y coeficientes , Operaciones con expresiones algebraicas , Adición y sustracción , Multiplicación , Propiedad distributiva , Factor común , Representación concreta de monomios hasta grado 2 , Agrupación de monomios semejantes con material concreto ,
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Objetivo del módulo
• Aplicar los conceptos elementales del álgebra y la geometría en la construcción de figuras geométricas
y en la resolución de problemas.

Destrezas con criterios de desempeño
• Construir figuras geométricas con el uso de la regla y del compás siguiendo pautas específicas.
• Conocer los conceptos geométricos elementales y aplicarlos en problemas de la vida cotidiana.
• Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un triángulo en gráficos.
• Determinar el baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro en gráficos.
• Expresar un enunciado simple en lenguaje matemático.
• Reconocer y agrupar monomios homogéneos.
• Utilizar los medios informáticos para la representación de figuras geométricas

Para la activación de conocimientos previos
• Muchas veces, los estudiantes solo reconocen como polígonos a los que son regulares. Por este motivo,
es conveniente utilizar polígonos irregulares en los diferentes ejemplos, siempre que no sea precisa
su regularidad. Se sugiere revisar los polígonos en el entorno en la Crónica matemática, en la página
137 del texto para estudiantes.
• También se debe acostumbrar a los alumnos a describir los polígonos y sus elementos con precisión y a
clasificarlos correctamente según diferentes criterios.
• Para las descripciones puede hacerlo construyendo figuras mediante el uso del origami y realizando
preguntas que permitan evaluar los conocimientos previos. Por ejemplo:
¿Qué significa equilátero y equiángulo?
¿Cuándo dos rectas son paralelas, cuándo son perpendiculares?
¿Qué es vértice, qué es ángulo?
¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre un cuadrado y un rectángulo, entre un cuadrado y un rombo?
¿Qué es un ángulo central?
• Para comprobar si los alumnos tienen clara la clasificación de los cuadriláteros es conveniente formular
preguntas como: ¿En qué se diferencian y en qué se parecen un cuadrado y un rombo? ¿Y un rectángulo
y un cuadrado? Es necesario que los alumnos efectúen con precisión y corrección las construcciones
de los paralelogramos.
• También pueden proponerse construcciones de cuadriláteros, conocidos algunos de sus elementos.
Por ejemplo: Dibuja un cuadrilátero conocida la amplitud de tres de sus ángulos: 32°, 55° y 72°.

Para la construcción del conocimiento
• Es necesario que todos los alumnos identifiquen el material geométrico y utilicen adecuadamente el compás.
• Indique a los estudiantes lo que pretende dibujar, marque el tiempo que deben tardar en realizar determinado
trazo.
• Sea muy claro al dar las indicaciones, utilice el lenguaje matemático adecuado.
• Trabaje con los estudiantes realizando los trazos de las páginas 111 y 114 del texto, ya que, en el primer
caso son trazos sencillos y en el segundo la dificultad se incrementa.
• Una vez realizados las construcciones permita a los estudiantes que demuestren su creatividad coloreando
o creando otros polígonos guiándose en los procesos ya aprendidos.
Para la aplicación del conocimiento
• En la página 115 del texto del estudiante, usted encontrará el proceso para realizar construcciones geométricas
en la computadora, léalas y previo al trabajo es importante que usted haya realizado trazos que
le servirán de ejemplo en la clase.
• Permita que los estudiantes se familiaricen con la pantalla del programa a usarse para realizar los trazos
geométricos.
• Lea con los estudiantes las descripciones que se dan a cada uno de las opciones sobre el trazo o las
características de los elementos geométricos que se presentan en la pantalla.
• Solicíteles que bosquejen, en la pantalla, elementos sencillos como un punto, una recta entre otros.
• Trabaje conjuntamente con los alumnos para realizar los trazos en la computadora siguiendo un adecuado
proceso.
• Aproveche la oportunidad para realizar un repaso del cálculo de perímetros y áreas de los polígonos trazados
en la computadora.
y
Para la evaluación

• Forme grupos de trabajo. Entregue a cada grupo pautas específicas para el trazo de polígonos.
• Verifique que el grupo haya cumplido con las consignas indicadas.
• Asegúrese de integrar en las consignas grupales, no solo el proceso para el trazo de figuras sino también
actitudes ante el trabajo colectivo y el buen uso de los materiales geométricos y el compás.
Para la activación de conocimientos previos
• Recuerde qué es un triángulo y cuáles son sus elementos, qué caracteriza los triángulos rectángulos y
cómo se produce igualdad de triángulos.
• Indique un lado y dos ángulos contiguos del triángulo para que los estudiantes construyan la figura.
Apóyese en los prerrequisitos presentados en el texto para estudiantes.
• Es importante insistir en que los alumnos/as sean muy precisos en la clasificación de los triángulos,
para esto puede ser conveniente utilizar una tabla de doble entrada o mediante un diagrama en árbol.
También se sugiere realizar y mantener en el aula un cartel como el que se presentará a continuación
para que se pueda verificar la correcta aprehensión de los conocimientos previos:

Para la construcción del conocimiento
• Entregue a los estudiantes diferentes triángulos de papel (pueden ser equiláteros, escalenos, isósceles y
triángulos rectángulos).
• A partir de las definiciones, usando plegados de papel (origami) señalen en los triángulos los puntos de intersección
de las medianas, alturas, mediatrices y bisectrices, pida que escriban conclusiones en una tabla.
• Verifique que entre las conclusiones que hacen los estudiantes, se mencione dónde se ubican los puntos
notables en cada uno de los triángulos o cómo son las rectas notables con respecto a los lados.
• Realice la lectura de la página 109 del texto y solicite a los estudiantes que comparen la información
con las conclusiones que sacaron en la actividad anterior.
• Forme grupos de trabajo y designe a cada uno de los grupos dos clases de triángulos para que realicen
su trazo.
• Solicite a los estudiantes que tracen las rectas notables de los triángulos correspondientes y señalen los
puntos notables.
• Pida que tracen circunferencias inscritas y circunscritas a los triángulos trazados.
• Utilizando la tabla del trabajo con plegados solicite que corrijan y completen las conclusiones.
Para la evaluación

Utilizando el segundo ejercicio integrador de la página 129 solicite a los estudiantes que realicen la práctica
de la página 130 y en grupos preparen una clase demostrativa del tema tratado. Observe la creatividad
con la que cada grupo muestra sus conocimientos.
Para la aplicación del conocimiento
• Guíe a los estudiantes a encontrar el centro de gravedad (baricentro) de cada uno de los triángulos y a
argumentar sus conclusiones.
• Pídales que contesten a estas interrogantes y justifiquen sus respuestas.
¿Puede coincidir una de las medianas del triángulo con un lado?
La mediana correspondiente a un lado del triángulo ¿lo corta siempre?
¿Se puede afirmar que el baricentro de un triángulo es siempre un punto interior de dicho triángulo?
¿Puede coincidir el baricentro de un triángulo con alguno de sus vértices?
¿Cuál es la relación entre las distancias del baricentro a un vértice y al punto medio del lado opuesto?

Recomendaciones para docentes
Polinomios
Anteriormente se consideraba monomio a la expresión algebraica que constaba de un término; binomio: que tenía
dos términos; trinomio: con tres términos. Polinomio: que poseía cuatro o más. Muchos docentes han considerado
únicamente esta información sin embargo, es importante conocer lo siguiente:
: es una serie de números y letras unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas.
: es una expresión algebraica en las que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el
producto y la potencia de exponente natural.
: en una variable x es una expresión algebraica definida por: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3+ … + anxn, donde
a es número real y n es un número natural.
Si después de reducir los términos semejantes, el polinomio tiene un solo término, se le llama monomio; si tiene
dos es un binomio; y si tiene tres se trata de un trinomio.
Los polinomios 5x; 2×4 y5 son monomios; x7+ 7y3 es un binomio y 9×9+ x − 3 es un trinomio.
Se llama valor numérico de un polinomio P(x) con respecto a un número real a al número que se obtiene luego de
efectuar operaciones en P(x) cuando se sustituye la variable x por a (notaremos P(a)).
Hallar P(1) y P(−2) en el polinomio: P(x) = –3×4 + 6×3 − 2×2 + x − 2.
P(1) = −3(1)4 + 6(1)3 – 2(1)2 + (1) − 2 = −3 + 6 − 2 + 1 − 2 = 0
P(−2) = −3(−2)4 + 6(−2)3 − 2(–2)2 + (−2) − 2 = −3(16) + 6(−8) − 2(4) – 2 − 2 = −108

Polígonos: triángulos y cuadriláteros
Iniciación al álgebra
Prerrequisitos
Recuerda
• Dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro
ángulos iguales son perpendiculares.

• Una potencia es un producto de factores iguales.
El factor que se repite se denomina base y el
número de veces que se repite el factor es el
exponente, por ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5.
• Una potencia de exponente 1 es igual a la base.
• El producto de potencias de igual base es otra
potencia de la misma base cuyo exponente es
la suma de los exponentes de los factores. Observa:
24 × 23 = 24 + 3 = 27
Evaluación diagnóstica
• Dibuja un segmento AB y traza su mediatriz.
• Dibuja un ángulo ^A y traza su bisectriz.
• ¿Qué edad tendrás dentro de 4 años? ¿Qué
edad tenías hace 6 años?
• Elena mide 170 cm y es 8 cm más alta que
Juan. ¿Cuál es la estatura de Juan?
• Calcula el área de un rectángulo de 50 cm de
base y 35 cm de altura.
• Efectúa: 22 × 25 ; 33 × 32 × 37 ; 23 × 34 × 25 × 36
• Escribe el número que falta en las siguientes
expresiones.
a) 3 + …… = 21 c) …… × 9 = 45
b) 12 − …… =7 d) …… ÷ 8 = 5
• Completa cada apartado con un mismo número.
a) 4 × (…… − 5) = 3 × ……
b) 5 − …… = 4 × …… − 5
c) 7 × …… − 2 = 16 + …..
• Rectas
secantes
Rectas
paralelas
Rectas
coincidentes
Ángulo convexo
< 180o Ángulo cóncavo > 180o

Con tus conocimientos sobre los polígonos, profundizarás en el estudio de los triángulos y los rectángulos y trazarás
figuras geométricas con la computadora. Además, te iniciarás en el estudio del álgebra: aprenderás a utilizarla
para expresar información, efectuar operaciones con expresiones en las que aparecen letras y números.
Destrezas con criterios de desempeño
1 Polígonos
Fíjate en las siguientes señales de tránsito.
El borde de estas señales son segmentos consecutivos, no alineados y
sus extremos están unidos. Forman una línea poligonal cerrada.
Cada una de estas señales se identifica con una región del plano limitada
por una línea poligonal cerrada. Se trata de polígonos.
1.1. Elementos de un polígono
En un polígono podemos diferenciar los siguientes elementos:
En todo polígono se cumple:
Número de lados = Número de vértices = Número de ángulos
3 segmentos 4 segmentos 8 segmentos
Polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal
cerrada.
Ë
• Lados: segmentos que forman la línea poligonal.
• Vértices: extremos de los lados del polígono.
• Ángulos interiores: regiones del plano interior del polígono comprendidas
entre dos lados contiguos.
• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no adyacentes.
Vértice: A
A
B
Ángulo: A
C
F E
D
Lado: CD
Diagonal: BE
Líneas poligonales
Abierta
Cerrada
Cuando hablamos de ángulos
de un polígono nos referimos
a los ángulos interiores.
Ú FÍJATE
Identifica cuáles de las siguientes figuras son
polígonos.
Dibuja en tu cuaderno estos polígonos y escribe
los vértices y los ángulos que faltan en estos polígonos.
Traza una diagonal en cada uno de ellos.
— Anota en una tabla todos los vértices, ángulos,
lados y diagonales de los polígonos anteriores.
1 2
Actividades §
a
b
c e
d f
A B A B
C
D
a b
….. …..
…..
…..
…..
A
I PARE
Esta figura no constituye un
polígono:
CONTRAEJEMPLO
1.2. Clasificación de los polígonos
Los polígonos pueden clasificarse según diferentes criterios.
Según el número de lados
3 lados
Triángulo
4 lados
Cuadrilátero
5 lados
Pentágono
6 lados
Hexágono
7 lados
Heptágono
8 lados
Octágono
u octógono
9 lados
Eneágono
10 lados
Decágono
11 lados
Endecágono
12 lados
Dodecágono
20 lados
… Icoságono …
Según la longitud relativa de sus lados y la amplitud relativa de sus ángulos
Un polígono es equilátero
si tiene todos sus lados
de igual longitud.
Un polígono es equiángulo
si tiene todos sus
ángulos de igual amplitud.
Un polígono es regular si
tiene todos sus lados y todos
sus ángulos iguales.
Un polígono es irregular si
todos sus lados y ángulos
no son iguales, es decir, si
no es regular.
Un polígono tiene siete ángulos. ¿Cuántos vértices
y cuántos lados tiene? ¿Qué nombre recibe?
¿Cómo se llama el cuadrilátero regular?
¿Existe algún polígono regular cóncavo? Razona
tu respuesta.
¿Un polígono irregular puede ser equilátero? ¿Y
equiángulo? Justifica tus respuestas con ejemplos.
Identifica y dibuja señales de tránsito comunes
en nuestro medio que tengan los siguientes polígonos.
a) Un octógono cóncavo.
b) Un hexágono regular.
c) Un cuadrilátero equiángulo pero no equilátero.
d) Un pentágono convexo.
7
6
5
4
3
Actividades §
Un polígono es cóncavo si alguno de
sus ángulos es cóncavo.
Un polígono es convexo si tiene
todos sus ángulos convexos.
Según sus ángulos
1.3. Propiedades
A partir del número de lados de un polígono, podemos calcular el número
de diagonales y la suma de los ángulos de dicho polígono.
Número de diagonales
Observa la tabla.
¿Encuentras alguna relación entre el número de vértices de los polígonos y
el número de diagonales que parten de un vértice?
Puesto que desde un vértice no podemos trazar diagonales ni a él mismo
ni a los dos vértices adyacentes, la relación que existe es:
= − 3
Para obtener el número total de diagonales de un polígono, debemos
multiplicar el número de diagonales que parten de un vértice por el número
de vértices y dividir el resultado entre 2, ya que contamos cada diagonal
dos veces (fig. 1).
Puesto que un polígono de n lados tiene n vértices, para un polígono de
n lados se tiene:
Número de vértices
del polígono
Número de diagonales
que parten de un vértice
El número total de diagonales de un polígono es igual al número
de vértices por el número de vértices menos 3, todo ello dividido
entre 2.
Ë
Número de diagonales = n ⋅ n − ( 3)
2
Ë
ejemplo 1
Calcula el número de diagonales de un icoságono.
Número de diagonales de un icoságono =
20 (20 3)
2
20 17
2
170
⋅ −
= ⋅ =
D
E C
A B
■ Fig. 1. La diagonal AD que parte
del vértice A y la diagonal DA que
parte del vértice D son la misma.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados?
¿Cuál es el número mínimo de lados que debe tener
un polígono para que podamos trazar en él
diagonales?
Un polígono tiene en total 9 diagonales. ¿De qué
polígono se trata?
¿Cuál es el polígono que tiene el mismo número
de lados que de diagonales?
11
10
9
8
Actividades §
Polígono
Número de diagonales
que parten de un vértice 1 2 3
Número de vértices 4 5 6
Suma de los ángulos
Consideremos de nuevo el cuadrilátero, el pentágono y el hexágono en los
que hemos trazado todas las diagonales desde uno de los vértices.
Comprobamos que, en todos los casos:
• Número de triángulos obtenidos = Número de lados − 2
• =
Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180°, tendremos:
Esta suma nos permite obtener el valor de cada uno de los ángulos de un
polígono en el caso particular en que éste sea regular.
Suma de los ángulos
de los triángulos obtenidos
Suma de los ángulos
del polígono
Calcula la suma de los ángulos interiores de este
polígono convexo a partir del número de lados.
— Comprueba con un graduador la suma de
ángulos calculada.
Calcula la suma de los ángulos de un eneágono.
¿Cuánto mide cada ángulo si se trata de un polígono regular?
Calcula cuánto mide cada uno de los ángulos de un pentágono regular. Con
ayuda de un graduador, traza un pentágono regular de 3 cm de lado.
14
13
12
Actividades §
Polígono
Número de lados
Número de triángulos en que
hemos descompuesto el polígono 3
4 5 6
2 4
La suma de los ángulos de un polígono de n lados es igual a:
180° · (n − 2)
Ë
Calcula el valor de los ángulos de un heptágono regular.
Aplicamos la expresión anterior para calcular la suma de los ángulos de un
heptágono regular.
180° · (7 − 2) = 180° · 5 = 900°
Por ser regular, todos los ángulos miden lo mismo. Así, el valor de cada ángulo
será:
900° ÷ 7 = 128,6°
ejemplo 2
La suma de los ángulos de
un triángulo es 180°.
Para comprobarlo, recorta
un triángulo y procede del
mismo modo que se indica
en la fi gura.
Sea cual sea el triángulo,
siempre podrás formar un
ángulo llano.
MUCHO OJO 9

Centro, apotema y ángulo central de un polígono regular
Hemos estudiado que los polígonos regulares son aquellos que tienen todos
sus lados y sus ángulos iguales.
Estos polígonos tienen unos elementos característicos y exclusivos: el
centro, las apotemas y los ángulos centrales.
Fíjate en que todas las apotemas de un polígono regular miden lo mismo y
que cada apotema es perpendicular al lado correspondiente.
Sabemos que hay tantos ángulos centrales como lados. Puesto que todos
ellos suman 360° y son iguales, tendremos que:
Punto interior del polígono que
está a la misma distancia de todos
sus vértices.
Segmento que une el centro del
polígono con el punto medio de
cualquier lado.
Centro
Apotema
Ángulo con vértice en el centro del
polígono cuyos lados son semirrectas
que pasan por dos vértices
adyacentes.
Ángulo
central
Ángulo Centro
central
Apotema
El valor de un ángulo central de un polígono regular de n lados es
igual a:
360° ÷ n
Ë
Calcula el valor del ángulo central de un pentágono regular.
360° ÷ 5 = 72°
ejemplo 3
Dibuja un cuadrado y halla su centro. A continuación,
dibuja un ángulo central y una apotema.
¿Cuánto mide el ángulo central? ¿Qué relación
existe entre la apotema y el lado del cuadrado?
Determina el valor del ángulo central de un octógono
regular.
¿Es posible que el ángulo central de un decágono
regular mida 30°? Razona tu respuesta.
Halla las medidas de los ángulos señalados en el
siguiente octógono regular.
18
17
16
15
Actividades §
C
A
B
Si un polígono gira 180°
respecto a una perpendicular
por un punto c tal
como indica la figura y se
ve idéntico, c es centro de
simetría del polígono.
Así, el centro de un cuadrado
es centro de simetría
del cuadrado.
Centro de simetría
Si un polígono gira 180°
respecto a un eje e tal
como indica la figura y se
ve idéntico, e es eje de simetría
del polígono.
Así, una altura de un triángulo
equilátero es eje de simetría
del triángulo.
Observa que el número de
ejes de simetría de un polígono
regular coincide con
el número de vértices (o lados)
que lo forman.
Eje de simetría
e e
180
C C
º
a a
180º
1.4. Congruencia de polígonos
Si calcamos y recortamos dos polígonos y los superponemos, podemos
comprobar si son iguales.
Observa qué sucede si intentamos hacer coincidir estos polígonos.
Para que podamos superponer cualquier polígono, es preciso que tengan
los lados y los ángulos correspondientes iguales.
Dibuja dos triángulos que tengan los ángulos interiores iguales pero que
no sean iguales entre sí.
Dos cuadrados tienen igual los lados. ¿Son congruentes?
¿Son iguales dos pentágonos regulares de 5 cm de lado?
— ¿Es cierto que dos polígonos regulares con el mismo número de lados
son iguales si tienen igual el lado? Razona tu respuesta.
Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado y comprueba si puede
dividirse en dos triángulos iguales, en tres triángulos iguales y en cuatro
triángulos iguales.
¿Son iguales estas parejas de polígonos?
a) b)
23
22
21
20
19
Actividades §
5
6
1 2
3 4
No se superponen.
Los cuadriláteros 1 y 2 no son
iguales.
Observa que tienen los lados iguales,
pero los ángulos correspondientes
son diferentes.
No se superponen.
Los cuadriláteros 3 y 4 no son
iguales.
Observa que tienen los ángulos
iguales, pero los lados son diferentes.
Se superponen.
Los triángulos 5 y 6 son iguales.
Observa que tienen los lados y
los ángulos correspondientes
iguales.
Dos polígonos son congruencia si tienen iguales los lados y los ángulos
correspondientes.
Ë
La repetición indefinida de
motivos geométricos permite
crear mosaicos de
gran belleza.
En la Universidad Andina
de Quito hay un mosaico
creado con repeticiones de
polígonos.
¿Te atreves a construir un
mosaico con polígonos regulares?
Ú FÍJATE http://www.uasb.edu.ec
2 Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Propiedad de los triángulos
En la construcción de la fotografía de la
derecha se usan triángulos para reforzar
la estructura.
Los triángulos se utilizan frecuentemente
en estructuras metálicas, tendidos eléctricos…,
debido a una propiedad que los caracteriza
y diferencia del resto de los polígonos:
son indeformables.
Si construyes otros polígonos, por ejemplo,
un cuadrilátero con piezas de mecano, comprobarás que puedes deformarlo
fácilmente obteniendo un nuevo cuadrilátero; pero si construyes
un triángulo te resultará imposible deformarlo.
2.1. Elementos de un triángulo
Para referirnos a un triángulo nombraremos sus vértices siguiendo el sentido
contrario de las agujas del reloj.
Así, el triángulo de la figura es el triángulo ABC.
Diremos que el lado a es opuesto al ángulo ^A, el lado b es opuesto al ángulo
^By el lado c
es opuesto al ángulo ^
C.
Fíjate que los lados se designan con la misma letra que su ángulo opuesto,
pero en minúscula.
Asimismo, diremos que los ángulos ^A y ^B son contiguos al lado c, que ^B
y ^C son contiguos al lado a y que ^A y ^C son contiguos al lado b.
C
C
B
B
A
b a
c
A
Triángulo: ABC
Vértices: A, B y C
Ángulos: ^ A,^B y ^C
Lados: a, b y c
Nombra los siguientes triángulos e indica sus
elementos.
— ¿Tienen los triángulos diagonales?
24
Actividades §
E
a b
C
C
D A
B
■ Eros, de P. Klee. En esta obra
puede apreciarse la utilización del
triángulo como elemento artístico.
http://2.bp.blogspot.com
http://4.bp.blogspot.com
2.2. Clasificación de los triángulos
Los triángulos pueden clasificarse según sus lados o según sus ángulos.
Observa que:
• En un triángulo equi látero, los tres ángulos son iguales; por tanto, es polígono
regular.
• En un triángulo isósceles, los dos ángulos contiguos al lado desigual son
iguales.
Triángulos rectángulos
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo
de 90°.
Los lados de este triángulo reciben nombres especiales.
• El lado opuesto al ángulo recto, a, se denomina hipotenusa.
• Los lados b y c que forman el ángulo recto se llaman catetos.
Además, en todo triángulo rectángulo se cumple que:
• La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos.
• Los ángulos agudos son complementarios, ya que:
^A + ^B + ^C = 180°
^A
= 90°
^B+ ^C
=
90°
Según sus lados Según sus ángulos
3 lados de
igual longitud
3 lados de diferente
longitud
2 lados de
igual longitud
3 ángulos
agudos
1 ángulo
recto
1 ángulo
obtuso
     
Equilátero Isósceles Escaleno Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno. ¿Es posible que un triángulo tenga dos ángulos
rectos? Razona tu respuesta.
Clasifica cada uno de estos triángulos según sus
lados y según sus ángulos.
27
25 26
Actividades §
Escaleno ………
Isósceles ………
Acutángulo Rectángulo
………
………
Obtusángulo
Equilátero ……… No existe. ………
1
2 3
5
4
A B
C
a
b
c
■ Fig. 1
Dos ángulos son complementarios
si suman 90°.
MUCHO OJO 9
2.3. Congruencia de triángulos
Recuerda que dos polígonos son iguales si tienen iguales los lados y los
ángulos correspondientes.
Sin embargo, para saber si dos triángulos son iguales, no es necesario
comparar los tres lados y los tres ángulos.
En cada uno de los cuatro casos anteriores hemos visto que para construir
un triángulo sólo nos hacen falta tres datos:
• Los tres lados.
• Un lado y sus dos ángulos contiguos.
• Dos lados y el ángulo que forman.
• Dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
Por consiguiente, para que dos triángulos sean iguales basta con que lo
sean algunos de sus elementos.
Estas condiciones son los criterios de igualdad de triángulos.
Dos triángulos son congruentes si se cumple una de las cuatro
condiciones siguientes:
1. Tienen iguales los tres lados.
2. Tienen iguales un lado y sus dos ángulos contiguos.
3. Tienen iguales dos lados y el ángulo que forman.
4. Tienen iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
ellos.
Ë
Construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa
mida 8 cm y uno de sus ángulos agudos, 23°.
Los triángulos de la siguiente figura cumplen:
^A
= ^M, c = n y b = p. ¿Son congruentes? ¿En qué
criterio te basas?
Dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales.
¿Son congruentes?
Dos triángulos isósceles tienen igual su ángulo desigual.
¿Podemos asegurar que son congruentes?
Dos triángulos tienen igual la suma de las longitudes
de sus lados. ¿Son necesariamente congruentes?
Razónalo.
Dos triángulos rectángulos tienen iguales sus dos
catetos. ¿Son congruentes?
Dos triángulos rectángulos tienen iguales las hipotenusas
y un ángulo agudo. ¿Son congruentes?
34
33
32
31
30
29
28
Actividades §
M
N P
B
C
A
a
c
b
p
m
n
En un triángulo rectángulo, uno
de sus ángulos es de 90° por lo
que sus dos ángulos agudos
son complementarios.
Además, como estudiaremos
en el siguiente tema,
conocidas las longitudes de
dos de sus lados, podemos
calcular la otra mediante el
teorema de Pitágoras.
a2 = b2 + c2
Estas propiedades posibilitan
que para construir un
triángulo rectángulo sea suficiente
con conocer:
• Dos lados.
• Un lado y un ángulo agudo.
Construcción de
triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos
son iguales si:
• Tienen dos lados iguales.
• Tienen iguales un lado y un
ángulo agudo.
Criterios de congruencia de
triángulos rectángulos
c
a
b
A B
C
A B
C
B + C = 90o
2.4. Rectas notables
Puesto que los lados de un triángulo son segmentos, podemos trazar las
mediatrices de sus lados.
También podemos trazar las bisectrices de sus ángulos.
Las mediatrices y las bisectrices de un triángulo, junto con las medianas y las
alturas, que definiremos a continuación, constituyen las denominadas rectas
notables del triángulo y sus intersecciones se denominan puntos notables.
Dibuja un triángulo
escaleno y acutángulo
como el
de la figura, y halla
su circuncentro,
su baricentro
y su ortocentro.
— Comprueba que estos tres puntos se encuentran
sobre una línea recta, llamada recta de Euler, y
que el baricentro se sitúa a doble distancia del
ortocentro que del circuncentro.
Visita la página http://descartes.cnice.mecd.
es/Geometria/Triangulos_propiedades_metri
cas/Triangulos. Propiedades metricas.htm
a) Comprueba las construcciones que has realizado
en la actividad anterior y halla el incentro
para el mismo triángulo.
b) Traza las rectas notables y los puntos notables
de los distintos triángulos clasificados según
sus ángulos.
35 36
Actividades §
Mediatrices Bisectrices
Las mediatrices de un
triángulo son las mediatrices
de sus lados.
Las tres mediatrices de un
triángulo se cortan en un
pun to denominado circuncentro,
O.
El circuncentro está a la
misma distancia de cada vértice, por lo que es el centro
de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Las bisectrices de un
triángulo son las bisectrices
de sus ángulos internos.
Las tres bisectrices de
un triángulo se cortan en
un punto denominado
in cen tro, I.
El incentro está a la misma distancia de cada lado del
triángulo, por lo que es el centro de la circunferencia
inscrita en el triángulo.
Medianas Alturas
Las medianas de un triángulo
son los segmentos
que unen un vértice con el
punto medio del lado
opuesto.
Las tres medianas de un
triángulo se cortan en un
punto denominado baricentro,
G.
El baricentro divide cada mediana en dos segmentos,
uno cuya longitud es el doble de la del otro.
Las alturas de un triángulo
son los segmentos perpendiculares
a un lado y que
unen dicho lado (o su prolongación)
con el vértice
opuesto.
Las tres alturas de un triángulo
(o sus prolongaciones)
se cortan en un punto denominado
ortocentro, H.
Si el triángulo es obtusángulo, el ortocentro es exterior.
Si es un triángulo acutángulo, el ortocentro es interior y
si es un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con
el vértice del ángulo recto.
G
H
l
O
@
3 Cuadriláteros
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
3.1. Elementos de un cuadrilátero
Para referirnos a un cuadrilátero, nombraremos sus vértices, siguiendo el
sentido contrario a las agujas del reloj.
Así, el cuadrilátero de la figura es ABCD.
3.2. Clasificación de los cuadriláteros
Según el paralelismo de sus lados, los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
A su vez, los paralelogramos y los trapecios se clasifican según se muestra
en el siguiente esquema.
B
AA
D
C
A
D C
B
Cuadrilátero: ABCD
Vértices: A, B, C y D
Ángulos: ^ A, ^ B,^C y^D
Lados: AB, BC, CD y DA
Romboide
Lados y ángulos
iguales dos a dos
Paralelogramos
Dos pares de lados paralelos
Trapecios
Un par de lados paralelos
Trapezoides
Ningún par de
lados paralelos
Cuadriláteros
Trapecio
escaleno
Lados no paralelos
desiguales y no
perpendiculares a
los paralelos
Trapecio
isósceles
Lados no
paralelos
iguales
Trapecio
rectángulo
Un lado no paralelo
perpendicular a los
lados paralelos
Rombo
4 lados iguales
Rectángulo
4 ángulos rectos
Cuadrado
4 ángulos rectos y
4 lados iguales
Dibuja un romboide, un trapecio rectángulo y un trapezoide con vértices A, B, C y D, e indica sus elementos.
¿Tienen estos cuadriláteros diagonales? ¿Cuáles son?
38 Averigua el valor de la suma de los ángulos de un cuadrilátero.
37
Actividades §
■ Señal de tráfico que indica la situación
de un paso para peatones.
3.3. Construcción
Veamos cómo pueden construirse los diferentes paralelogramos con la regla y el compás.
Cuadrado Rectángulo
Rombo Romboide
l
Datos:
1 2
3 4
l
l
1 2
3 4
Datos: a
b
a
b
1 3
4 5
Datos:
2
A
A
Datos:
1 3
4 5
2
qq
p
q
p
A
A
Explica con tus propias palabras los pasos realizados
en la construcción de los distintos paralelogramos
con la regla y el compás.
Construye con la regla y el compás los siguientes
paralelogramos.
• Un cuadrado de 2,5 cm de lado.
• Un rectángulo de lados 4 cm y 3 cm.
• Un rombo de 4 cm de lado y ^A = 60°.
• Un romboide de lados 5 cm y 4 cm, y ^A = 60°.
Elabora una tabla de cuatro columnas (para los cuatro
paralelogramos) y tres filas (para la figura, cómo
son los lados y cómo son los ángulos). Complétala.
Di si estas afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) Todo cuadrilátero es un cuadrado.
b) Todo rectángulo es un paralelogramo.
c) Algunos trapecios son paralelogramos.
Construye un rectángulo cuyos lados midan
5 cm y 3 cm.
Construye un rombo de 4 cm de lado sabiendo
que uno de sus ángulos mide 40°.
—¿Qué figura se forma si el ángulo es recto?
Construye un romboide cuyos lados formen un
ángulo de 110° y midan 6 cm y 4 cm.
44
43
42
41
40
39
Actividades §
4 Hexágono
Obverva el panal de abejas de la fotografía.
Fíjate en que cada celda del panal tiene forma de hexágono
y en que cada uno de estos está unido por
el lado a otros seis, dando forma a este conjunto.
El radio de la circunferencia
que circunscribe un hexágono
regular y el lado de dicho
hexágono miden lo mismo.
Ú FÍJATE
Observa la imagen. ¿Crees que podría hacerse lo mismo con
pentágonos? Razona tu respuesta.
—¿Con qué otra figura podrías hacerlo?
45
Actividades §
Inscrito
Imagina que nos piden que diseñemos una red compuesta de hexágonos y del tamaño que deseemos.
Se pueden construir hexágonos de una forma muy sencilla partiendo de su circunferencia circunscrita.
Dado el lado
Supón ahora que, por cuestiones técnicas, es necesario que los hexágonos tengan un determinado
tamaño, y te proporcionan la longitud del lado. Para diseñar entonces la estructura necesitas saber
cómo construir hexágonos a partir del lado.
En este caso recurrimos a la construcción del triángulo equilátero.
Trazamos una circunferencia de
radio r y determinamos su diámetro
vertical AB.
Si unimos los puntos A, C, E, B,
F y D, obtenemos el hexágono
ACEBFD.
Con centro en A y radio r, describimos
un arco que corta a la circunferencia
en los puntos C y D.
Con centro en B y radio r, describimos
un arco que corta a la circunferencia
en los puntos E y F.
Situamos el lado AB y sobre
éste reproducimos la reconstrucción
de un triángulo equilátero
a partir del lado, con lo que
obtenemos el punto C.
Con centro en C y radio AC, trazamos
una circunferencia.
Si unimos los puntos A, B, E, G,
F y D, obtenemos el hexágono
ABEGFD.
Con centro en A y en B y radio AB,
trazamos dos arcos que cortan a la
circunferencia en los puntos D y E.
Con centro en D y en E y radio AB,
describimos de nuevo dos arcos que
cortan a la circunferencia en los puntos
F y G.
5 Octágono
Si vas al zoológico y observas los reptiles, podrás comprobar que en algunos casos
su piel está formada por la unión de polígonos. Y, en particular, algunas de las
especies tienen su piel formada por octágonos, como en el caso de las tortugas.
Observa la siguiente fotografía.
—¿Cómo crees que resulta más sencillo reproducirlo, inscrito o a partir del lado?
Razona tu respuesta.
46
Actividades §
Inscrito
Imagina que quieres desarrollar un diseño imitando la piel de las tortugas. La forma más sencilla de
reproducir octágonos es inscritos en una circunferencia. En este caso recurriremos a la construcción
del cuadrado.
Dado el lado
Supón que, por una cuestión de diseño, algunos de los octágonos deben tener un tamaño determinado,
para lo que nos proporcionan la longitud del lado. Veamos cómo podemos construir octágonos
dado el lado.
En este caso también recurriremos a la construcción del cuadrado.
Trazamos una circunferencia de
radio r y determinamos su diámetro
vertical AB, y su diámetro
horizontal CD.
Con lo que ya tenemos cuatro
vértices del octágono.
Si unimos los puntos A, E, C, F,
B, G, D y H, obtenemos el octágono
AECFBGDH.
Podemos obtener los cuatro vértices
que faltan trazando:
1. Las mediatrices de los lados del
cuadrado ACBD.
2. La bisectriz de los ángulos que
forman los diámetros.
En ambos casos obtenemos los
puntos E, F, G y H.
Situamos el lado AB, y sobre
éste construimos un cuadrado.
Trazamos sus diagonales, que
se cortan en el punto C.
Con centro en D y radio DA, trazamos
una circunferencia. Sobre
ella, y a partir del punto B, trasladamos
la medida del segmento
AB, con lo que obtenemos los
puntos E, F, G, H, I y J. Si unimos
dichos puntos, obtendremos el
octágono ABEFGHIJ.
Con centro en C y radio CA, trazamos
una circunferencia. La mediatriz
del segmento AB corta a la circunferencia
en el punto D.
6 Polígonos estrellados
Seguramente habrás visto alguna estrella de mar, o mirando de
noche el cielo estrellado te habrás preguntado cuántas puntas
tendría esa estrella tan luminosa… Seguidamente veremos
cómo construir polígonos estrellados.
En general, se obtienen al unir los vértices de dos en dos, de
tres en tres…, a partir de uno arbitrario, y recorriendo todos los
demás: del correspondiente polígono convexo hasta completar
el polígono estrellado en el vértice de partida.
Pentágono dado el lado
Trazamos la mediatriz al lado AB, para lograr
O. Con centro en A y una abertura
A-O, cortamos a la perpendicular de A
en C. Con centro en C y un radio C-A,
trazamos un arco que corta a la prolongación
BC en D. Con centro en B y abertura
hasta D trazamos un arco, luego desde
A y el mismo radio trazamos otro que
corta al interior en E. Con radio A-B y
centros encontramos F y G con lo cual describimos
al polígono.
MUCHO OJO 9
Estrella de cinco puntas
Estrella de seis puntas
Estrella de ocho puntas
Construimos
un pentágono
regular convexo,
conocido
el lado.
Si unimos sus vértices de dos en
dos, es decir, el vértice 1 con el 4, el
4 con el 2, el 2 con el 5, el 5 con el 3
y el 3 con el 1, cerramos en el vértice
1 un polígono estrellado de cinco
puntas después de recorrer dos veces
la circunferencia.
Construimos
un hexágono
regular convexo.
Si unimos sus vértices de dos en
dos, es decir el vértice 1 con el 5, el
5 con el 3 y el 3 con el 1, cerramos
un triángulo equilátero después de
recorrer una vez la circunferencia.
Si, a continuación, unimos el vértice 2
con el 6, el 6 con el 4 y el 4 con el 2,
cerramos otro triángulo equilátero,
concéntrico y en posición invertida
respecto al anterior, y los dos forman
un polígono estrellado de seis puntas.
Construimos
un octágono
regular convexo.
Si unimos sus vértices de tres en
tres, es decir, el vértice 1 con el 4, el
4 con el 7, el 7 con el 2, el 2 con el 5,
el 5 con el 8, el 8 con el 3, el 3 con el
6 y el 6 con el 1, cerramos en el vértice
1 un polígono estrellado de ocho
puntas.
E
G
A O B
C
D
F
Resuelve los siguientes apartados.
a) Comprueba qué sucede si unes de tres en
tres, a partir de uno arbitrario, los vértices de
un pentágono regular.
b) Comprueba qué sucede si unes de tres en
tres y de cuatro en cuatro, a parir de uno arbitrario,
los vértices de un hexágono regular.
c) Comprueba qué sucede si unes de dos en
dos, de cuatro en cuatro y de seis en seis, a
partir de uno arbitrario, los vértices de un octágono
regular.
d) Comprueba qué sucede si unes de dos en
dos y de cuatro en cuatro, a partir de uno arbitrario,
los vértices de un decágono regular.
47
Actividades §
Construcciones geométricas con la computadora
En la actualidad podemos utilizar varios programas de licencia libre que sirven para
trazar figuras geométricas, algunos de estos, que los puedes descargar en tu computadora
son: GEONext, GeoGebra y Winplot.
Los menús generales que ofrece la mayoría de programas que permiten
construir figuras geométricas son generalmente comunes, aunque tienen comandos
propios, como por ejemplo, Revisar construcción o Regenerar dibujo
en el menú Edición.
Veamos algunas opciones que nos ofrece uno de estos programas de uso libre.
— Nos situamos en el programa.
— Abrimos los menús superiores (Archivo, Edición…) y observamos las opciones
que podemos utilizar.
— Las opciones de dibujo aparecen
en los menús inferiores.
Cada una de ellas se identifica
mediante un icono.
Observa las opciones que aparecen
al pulsar el icono .
El icono sólo identifica
la opción Recta; si seleccionamos
cualquier otra, el icono
cambia.
— Si activamos la opción Ayuda,
se abre un espacio en la parte
inferior de la ventana, donde aparece la finalidad de la opción de dibujo
que hemos seleccionado.
Así, si está seleccionada la opción Recta, en la parte inferior de la ventana
aparece el texto siguiente:
Si está seleccionada la opción Triángulo ( ), la ayuda nos informa de que:
Si dispones de un programa informático para llevar a cabo construcciones
geométricas, explora las diferentes opciones de cada menú, dibuja
los iconos que tengan asociados en tu cuaderno y escribe cuáles son sus
finalidades.
48
Actividades §
Construya la recta determinada por un punto y su dirección o por dos
puntos.
Construya el triángulo determinado por tres puntos.
Las TIC y la Matemática
Dibujos elementales
Para dibujar cualquier elemento geométrico debemos tener activada la
opción correspondiente y hacer clic dentro de la ventana de dibujo.
Veamos cómo dibujar los siguientes elementos:
— Dibujo de un punto. Activamos la opción Punto ( ) y pulsamos, dentro
de la ventana de dibujo, en el lugar donde queramos situarlo.
— Dibujo de un segmento. Para crearlo, con la opción Segmento
( ) activada, haz clic en los puntos inicial y final de este segmento.
— Dibujo de un polígono regular. Activamos la opción Polígono regular
( ) y pulsamos, primero, en el centro del polígono y, después, en uno
de los vértices. A continuación, nos alejamos del vértice trazado y observamos
que aparece en el centro del polígono un número que varía.
Éste nos indica el número de lados del polígono. Pulsamos cuando
aparece el apropiado.
Construcción de un paralelogramo a partir de tres puntos
— Dibujamos tres puntos cualesquiera con la opción Punto ( ). Con la
opción Etiqueta creamos tres etiquetas, una para cada punto, que contengan
los nombres A, B y C.
— Con la opción Recta ( ) dibujamos una recta r que una los puntos A
y B, y otra recta s que una los puntos B y C.
— Con la opción Recta paralela ( ) creamos una recta paralela a r que
pase por C y una recta paralela a s que pase por A. Creamos un punto
(opción Punto) en la intersección de estas dos rectas, le ponemos una
etiqueta (opción Etiqueta) y le llamamos D.
— Convertimos las líneas de las rectas en punteadas
con la opción Punteado ( ). A continuación, utilizamos
la opción Polígono para crear un polígono
cuyos vértices sean A, B, C y D.
— Pintamos el polígono de color con la opción
Llenar ( ).
Movemos las etiquetas utilizando la opción
Puntero hasta que se sitúen donde queramos.
Para guardar la construcción geométrica escogemos
Archivo > Guardar; y para salir del programa,
Archivo > Salir.
Dibuja una recta, una semirrecta, un triángulo, un polígono, un pentágono regular, una circunferencia y un
arco de circunferencia seleccionando la opción adecuada en cada caso.
— Construye un rectángulo a partir de tres puntos. ¿Cómo deben situarse estos tres puntos?
49
Actividades §
Para leer una expresión algebraica podemos nombrar las letras y los signos en el orden en que aparecen
o hacer una pequeña frase que las defina. Así:
Antes de expresar en lenguaje algebraico cualquier frase, es conveniente seguir estos pasos:
—Leer con atención el enunciado que debe traducirse.
—Escoger la letra o letras para representar las cantidades desconocidas.
—Si es un enunciado compuesto, proceder por partes.
Veamos unos ejemplos en la página siguiente.
7 Iniciación al álgebra.
Expresiones algebraicas
Para representar cantidades generalmente utilizamos números. Pero hay ocasiones
en que también empleamos letras.
Observa la figura del margen. Si sabemos que Toa tiene 8 años, podemos
calcular fácilmente la edad de sus hermanos.
Si desconocemos la edad de Toa y la representamos con la letra x, podemos
expresar la edad de sus hermanos de la siguiente forma.
Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas.
Para escribir una expresión algebraica debemos tener en cuenta las siguientes
normas:
Juan
x − 2
Carla
x + 2
Patricio
2 x
Juan
8 − 2 = 6
Carla
8 + 2 = 10
Patricio
2 × 8 = 16
3 × a → 3 a
3 × a × b → 3 a b → 3 ab
1 x2y → x2y
a2b1 → a2b
El signo × de la multiplicación puede sustituirse por el
signo .
Cuando el signo de la multiplicación aparece entre letras
o entre un número y una letra, suele suprimirse.
El factor 1 no se escribe.
El exponente 1 no se escribe.
Norma Ejemplos
a + b → a más b → suma de a y b
(a + b)2 → a más b al cuadrado → cuadrado de la suma de a y b
2 x → dos por equis (o dos equis) → doble de equis
3 a2 → tres por a al cuadrado → triple del cuadrado de a
(o tres a cuadrado)
Se lee… O bien…
■ Toa tiene tres hermanos: Juan, que
es dos años menor que ella, Carla, que
es dos años mayor, y Patricio, que
le dobla la edad.
Una expresión algebraica es una serie de números y letras unidos
mediante los signos de las operaciones aritméticas.
Ë
Las expresiones algebraicas también nos sirven para describir diferentes situaciones.
Escribe la expresión algebraica correspondiente a la siguiente frase: «La diferencia entre el triple del cuadrado de
un número y el doble del cubo de otro número es igual a 12».
— En el texto aparecen dos números; representamos el primero por a y el segundo por b.
— Como se trata de un enunciado compuesto, procederemos por partes:
• Primer número: a → Cuadrado de a÷ a2 → Triple del cuadrado de a÷ 3 a2
• Segundo número: b → Cubo de b÷ b3 → Doble del cubo de b÷ 2 b3
• Diferencia entre el triple del cuadrado de a y el doble del cubo de b÷ 3 a2 − 2 b3
• Finalmente, expresamos que dicha diferencia es igual a 12 ÷ 3 a2 − b3 = 12
ejemplo 4
ejemplo 5
Escribe una frase que defina cada una de las siguientes
expresiones algebraicas.
a) 2 a + b c) (a − b)2 e) 3 a2 + b
b) a − 3 b d) a2 + b f)
Expresa con números, signos y letras:
a) La suma del doble del cuadrado de a más su
cubo es igual a 96.
b) La diferencia de a menos el triple de b es igual
a 12.
El tiempo que queda de una película de Sebastián
Cordero es el doble del que ha transcurrido
ya. Si llamamos x al tiempo transcurrido, expresa
algebraicamente el tiempo que queda de película.
Completa en tu cuaderno esta tabla.
Escribe la expresión que nos permite obtener el
núme ro de palillos necesarios para construir la
siguiente figura, según el número de triángulos.
54
53
52
51
a
b +
2
50
Actividades §
3 a2
La mitad
El doble
El cuadrado
b
3
2 (c + 1)
El doble
del cuadrado
Mercedes plantó una semilla de maíz en una maceta. Cierto día observó que había brotado una planta de 1 mm
de altura y cada día sucesivo la planta creció 3 mm de altura. Encuentra una expresión algebraica que nos permita
obtener la altura de la planta con relación al tiempo transcurrido.
—Calculamos la altura de la planta tras 1, 2 y 3 días de la primera observación.
—Observamos que la altura es el triple del número de días transcurridos más uno.
Si representamos mediante la letra t el tiempo transcurrido (en días), la altura de la planta (en mm) será 3t + 1.
Primera observación Tras 1 día → 4 mm Tras 2 días → 7 mm Tras 3 días → 10 mm
(0 días) → 1 mm
7.1. Valor numérico
En el ejemplo 5 de la página anterior establecimos que la expresión algebraica
que nos permite obtener la altura de la planta con relación al tiempo transcurrido
es 3t + 1.
Para determinar cuántos días se necesitan para tener una altura determinada
de la planta, solo tenemos que sustituir la letra t por el número dado en la
expresión 3t + 1. Obtendremos así su valor numérico.
Así, la altura de la planta en 5 días será:
3 t + 1 = 3  5 + 1 = 16 mm
Y al cabo de 8 días será de:
3 t + 1 = 3  8 + 1 = 25 milímetros
Observa que el valor numérico de una expresión algebraica no es único,
depende del valor que demos a la letra o letras que intervienen en ella.
Calcula el valor numérico de 3 a2 − 2 ab2.
a) Para a = 3 y b = 2 b) Para a = −2 y b = −1
• Sustituimos la letra a por 3 y la b por 2 en la expresión 3 a2 − 2 a b2. Así:
3  32 − 2  3  22 = 3  9 − 2  3  4 = 27 − 24 = 3
• Sustituimos la a por −2 y la b por −1 en 3 a2 − 2 a b2 . Tendremos:
3  (−2)2 − 2  (−2)  (−1)2 = 3  4 + 2  2  1= 12 + 4 = 16
ejemplo 6
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.
a) 3 x 2 + 2 para x =3 b) (a + b)2 para a = 2 y b = 3
c) para x = 6 e y = 2
El número de habitantes de una población de la Costa ecuatoriana aumenta
en 500 personas cada año.
a) Expresa algebraicamente el aumento del número de habitantes dentro
de x años.
b) ¿En cuántos habitantes habrá aumentado la población en 6 años?
¿Y en 10 años?
2
3
2
x y
x
+
56
55
Actividades §
Aunque podemos utilizar
cualquier letra para simbolizar
cantidades desconocidas,
las que se emplean con
más frecuencia son x e y.
Ú FÍJATE
El valor numérico de una expresión algebraica es el número obtenido
al sustituir las letras que aparecen en ella por números determinados
y realizar las operaciones indicadas.
Ë
7.2. Términos y coeficientes
Fíjate en la siguiente expresión algebraica.
a2 + b2 − 2 a b + 5
Cada uno de los sumandos de esta expresión algebraica se denomina término.
Así pues, tendremos cuatro términos:
a2 b2 − 2 a b 5
Cada término puede constar de dos partes: una numérica, llamada coeficiente,
y otra formada por las letras con sus exponentes, que se denomina
parte literal.
Ten en cuenta que en algunos de los términos no se observa el coeficiente
y en otros no se observa la parte literal. Así:
— La parte numérica o coeficiente de los términos a2 y b2, 1, no aparece
explícita.
— El cuarto término consta sólo de parte numérica, 5.
Observa los siguientes términos.
−5 x y 2 2 x y 2 x y 2
Todos ellos presentan algo en común: tienen las mismas letras elevadas a
los mismos exponentes, es decir, su parte literal es la misma.
2
5
Indica el número de términos de cada una de estas expresiones algebraicas.
a) 5 abc c) 2 + 4 a − 3 ab − b
b) 5 x2 + y d) 2 a + 3 b − 2 ab + a 2b − 3
— Señala el coeficiente y la parte literal de cada uno de los términos que
aparecen en las expresiones algebraicas anteriores.
De los siguientes términos, indica los que son se mejantes.
5 ab ; 4 b ; x y ; 2 a 2b ; −7 ab ; 12 a ; 2 x y
Escribe tres términos diferentes que sean se me jantes a −2 x y2.
Escribe un término cuya parte literal sea x 2y y cuyo valor numérico para
x = 2 y para y = 1 sea 20.
60
59
1
2
58
57
Actividades §
−6 x2y
Coeficiente
Parte literal


Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte
literal.
Ë
A una expresión algebraica
basada únicamente en potencias
enteras no negativas
de una o más variables y que
no contenga variables en un
denominador se le llama polinomio.
Si después de combinar los
términos semejantes, el polinomio
tiene un solo término,
se le llama monomio; si
tiene dos es un binomio; y si
tiene tres se trata de un trinomio.
Los polinomios 5x ; 8x 2y5
son monomios; x4+7y2 es un
binomio y 9×2+ x−8 es un trinomio.
Ú FÍJATE
En el lenguaje matemático se utilizan
muchas veces las letras como
sustitutos de los números.
Por ejemplo, en la fórmula de la longitud
de la circunferencia, l = 2 π r,
π es el número pi de valor 3,14…,
r un valor cualquiera del radio y l la
longitud resultante.
En cambio, en la expresión el doble
de la edad, 2 x, la x expresa un valor
desconocido que, generalmente,
se ha de determinar.
8 Operaciones con expresiones Ú FÍJATE
algebraicas
En ocasiones, es necesario operar con expresiones algebraicas del mismo
modo que lo hacemos con los diferentes tipos de números. Veamos
cómo proceder para efectuar la suma, la resta y la multiplicación
de expresiones algebraicas.
8.1. Adición y sustracción
En la adición y la sustracción de expresiones algebraicas, sólo pueden
sumarse y restarse los términos semejantes. El procedimiento es
el siguiente:
8.2. Multiplicación
La multiplicación de dos términos de una expresión algebraica siempre
puede efectuarse, aunque dichos términos no sean semejantes.
Procedimiento Ejemplos
Si todos los términos son semejantes:
— Se suman o restan los coeficientes.
— Se deja la misma parte literal.
2 a + 4 a = a + a + a + a + a + a = 6 a
5 x − 2 x = x + x + x + x + x − (x + x) = 3 x
Si no son semejantes todos los términos:
— Se suman o restan los términos semejantes entre ellos. 2 a + 3 b + 3 a − b = 5 a + 2 b


5 − 2 = 3
2 + 4 = 6

3 − 1 = 2

2 + 3 = 5
Procedimiento Ejemplos
— Se multiplican los coeficientes.
— Se multiplican las partes literales. 3 a  4 a = 12 a  a = 12 a2 4 x  5 y = 20 x y 

 
4  5 = 20

Efectúa las siguientes operaciones.
a) 2 x + 3 x +1 b)2 + 3 b − a − 2 b c) 3 a − 2 b + a − 3 b + 5 a d) 5 x − 2 x y + 4 x − y + 3 x y
Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos polígonos.
a) b) c) d)
Calcula estos productos.
a) 5 x  3 x 2 b) 2 x  4 x 2  3 x c) 2 ab  3 ab2 d)
1
2
2
3
a b ⋅ a b c
63
62
61
Actividades §
x
2x
x x
3  4 = 12
8.3. Propiedad distributiva
Observa las siguientes figuras y las propiedades que se deducen.
8.4. Factor común
La aplicación de la propiedad distributiva nos ha permitido transformar una
multiplicación en sumas o restas de multiplicaciones. Esta misma propiedad
nos permite también realizar el proceso inverso, es decir, transformar sumas
o restas en multiplicaciones, proceso denominado sacar el factor común.
Veamos cómo extraer el factor común en unos ejemplos.
• 5 a + 5 b = 5 (a + b) • a x + a y + a = a (x + y + 1)
Si a una expresión algebraica en la que hemos sacado el factor común le
aplicamos la propiedad distributiva, obtenemos de nuevo la expresión algebraica
original.
Propiedad distributiva
6 bz − 6 b − 6 bzy2 = 6 b (z − 1 − z y 2) = 6 bz − 6 b − 6 bzy2
Factor común
El área del rectángulo
grande es igual
a la su ma de las
áreas de los dos rectángulos
que lo forman.
El área del rectángulo
azul es igual al área
del rectángulo grande
menos el área del
rectángulo verde.
Propiedad distributiva
de la multiplicación respecto
de la resta.
Propiedad distributiva
de la multiplicación respecto
de la suma.
a (b + c) = ab + ac
a (b − c) = ab − ac
a
c b
b + c
a
c
b
b – c
 
Desarrolla los siguientes productos aplicando la propiedad distributiva.
a) 3 (5 x − 4 y) b) 4 y (y + 2 y 2) c) 2 a (3 a − b + 1) d) x (1 + 2 x − y)
Completa en tu cuaderno:
a) 6 x 3 + 3 x 2 = 3 x 2 (2 x + ……..) b) 2 a 3 + 4 a 2b − 6 a 3b = 2 a 2 (……. + ……. − …….)
Saca el factor común en las siguientes expresiones al ge braicas.
a) 4 x + 4 y b) 5 x + 10 x y +5 c) 3 x y + 6 x z − x 2 d) 4 a 2 − ab
66
65
64
Actividades §
En las fórmulas de la propiedad
distributiva de las
operaciones con expresiones
algebraicas, las letras a,
b y c representan expresiones
algebraicas cualesquiera.
Así, si a = 2 n, b = 3 n y
c = n, la propiedad
a (b + c) = ab + ac
nos indica que
2n (3n + n) = 2n 3n + 2 n n
Ú FÍJATE
x
x
8.5. Representación concreta de monomios hasta grado 2
En algunas ocasiones, para realizar operaciones con expresiones algebraicas
es útil construir material concreto. Con lo que podemos realizar las
operaciones matemáticas de una manera fácil y divertida.
Observa el procedimiento:
— Designamos una letra que será nuestra variable: x, cada variable debe
tener un material concreto con distinto tamaño.
— Construimos rectángulos verdes de cartulina o de foamy, por ejemplo
de 4 cm de largo por 1 cm de ancho.
— Para construir el cuadrado de x, verificamos que tengan de ancho y
de largo la longitud de la variable.
— Para representar la parte numérica de las expresiones algebraicas,
creamos el número uno, formando cuadrados de 1 cm de lado.
Como no conocemos el valor de las variables, las dimensiones y la forma
de la figura que representa la unidad de la parte numérica no está relacionada
con las figuras que representan las variables.
Representa en material concreto la expresión algebraica: 2 x.
a) En primer lugar, expandimos cada término de la expresión, para eliminar los coeficientes.
2 x = x + x
b) Agrupamos las figuras que representan a cada variable:
ejemplo 7
x2
x x
x + x = 2x
2x
x = 4 cm
x 1 cm
Crea el material concreto necesario para poder representar seis elementos de las variables X y Y, con sus respectivos
cuadrados y valores negativos. También crea seis unidades numéricas positivas y seis negativas.
Representa los siguientes monomios:
a) 5 x 2 b) −4 x c) 6 d) 3 y e) −y2
f) 3y g) −6y2 h) −2×2 i) −2 j) x
68
67
Actividades §
Ahora vamos a diseñar material concreto para los números y las variables
que están precedidas por un signo negativo. Cuando realizamos operaciones
con material concreto no se utilizan signos.
— Utilizamos la misma letra que empleamos para las variables, precedidas
por el signo positivo.
— Construimos las variables y los cuadrados de las variables de las mismas
dimensiones que utilizamos para la variable con signo positivo,
pero lo hacemos de color rojo.
— Para crear la parte numérica negativa de las expresiones algebraicas, creamos
el número −1, usando las mismas dimensiones que usamos para
el 1 pero cambiando el color a rojo.
Representa la siguiente expresión algebraica: -3 x2 ejemplo 8
x = 4 cm
1 cm
x
−x2 x −x
−x2 −x2 −x2 −3×2
−x2 + −x2 + −x2 = −3×2
8.6. Agrupación de monomios semejantes con material concreto
Para calcular el perímetro o el área de figuras geométricas regulares podemos
utilizar material concreto.
Utilizando material concreto, encuentra el perímetro de un hexágono regular
de lado x.
Con material concreto encuentra el perímetro del cuadrado que se encuentra
dentro del rectángulo.
69
70
Actividades §
Encuentra el perímetro de la siguiente figura geométrica.
A cada lado de la figura lo representamos por una variable y aplicamos la fórmula
para calcular el perímetro, es decir sumamos los lados.
Este es un cuadrado de lado x.
P = x + x + x + x
P = 4x
Cuando debamos calcular el perímetro, de una figura geométrica más compleja
que la anterior, podemos utilizar el material concreto que representa a las variables
negativas.
ejemplo 9
Encuentra el perímetro de esta figura geométrica
ejemplo 10
El material concreto de una
variable no tiene ninguna relación
con el de otra variable.
MUCHO OJO 9
2x
x
x x
x x
x x
x x
P = x + 2x + + = 6x
x x
2x
x
x
x
P = x
x
x
x
x
x
x
x
+ + + = 4x
y
x y – x
x x
x
x
Utilizando material concreto también es posible calcular el área de algunas
figuras geométricas, observa el ejemplo.
Representa el área de un triángulo rectángulo isósceles, en el que un cateto es
igual a x.
Como la variable que aparece en el problema es x, el área de la figura, será en función
de x2.
Construimos la figura geométrica considerando las medidas que hemos empleado
para construir la variable.
Analizamos las dimensiones y la forma de la figura geométrica, para hallar alguna
relación entre ésta con el material concreto.
En este caso, el área del triángulo es la mitad del cuadrado de la variable.
ejemplo 11
Encuentra el área de las figuras geométricas coloreadas, con ayuda de material concreto.
a)
71
Actividades §
Monomios de distinto signo
pero igual variable y orden, se
anulan entre sí.
MUCHO OJO 9
-x2
x2 = 0
x2
x
x
2x
2x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
b) c)
x2
2
A triángulo =
Lee el siguiente problema: en qué punto del espejo
debe incidir un rayo láser que pasa por A para
que el rayo reflejado pase por B. Abserva la gráfica.
Expresa el enunciado del problema con tus palabras.
Imagina la posible solución. Recuerda que esto
es muy útil en problemas geométricos.
Resuelve el problema y comprueba la solución.
72 73
74
75
Actividades §
Comprensión del enunciado
— Expresa el enunciado del problema con tus palabras.
Planificación de la resolución
Supongamos que la bola choca en un punto M de
la banda. Puesto que ^A = ^ B, si colocáramos un espejo
en la banda, ve ría mos a través de él que la
bola continúa en línea recta después de chocar
con ésta.
Para que la bola blanca golpee a la roja, esa recta
deberá pasar por la imagen de la bola roja en el
espejo. Basta pues con unir la bola blanca con el
simétrico de la bola roja respecto del espejo.
Ejecución del plan de resolución
— Trazamos Q, el simétrico de Q respecto del espejo.
— Unimos P y Q. El punto M es la solución.
Revisión del resultado y del proceso
seguido
Comprobamos con el transportador de ángulos que
los ángulos formados por la trayectoria de la bola
con la banda, antes y después de chocar en el
punto M, son iguales.
Averigua en qué punto de la banda debe chocar la bola
blanca para que al rebotar golpee la bola roja. Considera
que los ángulos formados por la trayectoria de la bola con
la banda, antes y después de chocar con ésta, son iguales.
P
Q
M
A B
P
Q
M
Q
A
B
Resolución de problemas
Estrategia: Experimentación con la posible solución
En ocasiones, imaginar la posible solución del problema nos conduce a la solución real de éste.
Esta estrategia es especialmente útil en problemas geométricos.
Síntesis
Repasa los conocimientos de geometría y completa mentalmente lo que hace falta:
la porción limitada por una
línea poligonal cerrada es un
y en caso de
que sea un
polígono
regular se
define su
se clasifica
entre sus
propiedades
destacan
según sus lados en
de los cuales se estudia su
según sus ángulos en
según tamaño
relativo de
lados y ángulos
Si n es el número
de lados del
polígono:
• El número de
diagonales es ……….
• La suma de sus
ángulos es ………….
…………… • Pentágonos
• Hexágonos
• Heptágonos
• …
• Convexos
• Cóncavos
• Equilátero
• Equiángulo
• Regular
• Irregular
• ……………
• ……………
• ……………
Plano
Polígono
……………
Clasificación Construcción
° Una expresión algebraica es una serie de números
y letras unidos mediante los signos de las
operaciones aritméticas.
° Al sustituir las letras de una expresión algebraica
por números se obtiene el valor numérico de dicha
expresión.
° Cada uno de los sumandos de una expresión algebraica
se denomina término.
Cada témino puede constar de dos partes: una
numérica, llamada coeficiente, y otra formada
por las letras con sus exponentes, que se denomina
parte literal.
Términos semejantes son aquellos que tienen
la misma parte literal.
° Podemos operar con expresiones algebraicas
del mismo modo que lo hacemos con los diferentes
tipos de números. Así, podemos efectuar
la suma, la resta y la multiplicación de expresiones
algebraicas, aplicar la propiedad distributiva y
sacar factor común.
En resumen
° Un polígono es la región del plano limitada por
una línea poligonal cerrada.
° Elementos de un polígono.
Lados: segmentos que forman la línea poligonal.
Vértices: extremos de los lados del polígono.
Ángulos interiores: regiones del plano interior
del polígono comprendidas entre dos lados contiguos.
Diagonales: segmentos que unen dos vértices
no adyacentes.
Lado
Vértice
Diagonal
Ángulo
interior
Ejercicios y problemas integradores
Calcula el perímetro de la siguiente figura sabiendo que x = 2 cm, y = 1,4 cm
y z = 0,39 cm.
• Observamos que la medida de cada uno de los lados de la figura es una expresión
algebraica y por los datos presentados hay que hallar el valor numérico
de cada lado.
y + z + 1,55 cm
3y – 1,07 cm
y + z + 0,85 cm
x + 0,9 cm
x – 0,64 cm
x + y + z cm
a
b
c
d
f e
Lado a:
y + z + 1,55 =
1,4 + 0,39 + 1,55 =
3,34 cm
Lado b:
x − 0,64 =
2 − 0,64 =
1,36 cm
Lado c:
x + y + z =
2 + 1,4 + 0,39 =
3,79 cm
Lado d:
3y − 1,07 =
3(1,4) − 1,07 =
4,2 − 1,07 =
3,13 cm
Lado e:
y + z + 0,85 =
1,4 + 0,39 + 0,85 =
2,64 cm
Lado f:
x + 0,9 =
2 + 0,9 =
2,9 cm
• Si sabemos que el perímetro de una figura es igual a la suma de sus lados:
P = l + l + l + l + l + l
P = (3,34 + 1,36 + 3,79 + 3,13 + 2,64 + 2,9) cm
P = 17,16 cm
• Podemos realizar la suma de forma
vertical, de tal forma que se ubiquen
los monomios semejantes uno bajo
otro:
a y +z +1,55
b x -0,64
c x +y +z
d 3y -1,07
e y +z +0,85
f x +0,9
3x +6y +3z +1,59
La expresión algebraica del perímetro de la figura es: 3x + 6y + 3z + 1,59
Ahora con esta expresión simplificada es más fácil hallar el valor numérico.
3(2) + 6(1,4) + 3(0,39) + 1,59 =
6 + 8,4 + 1,17 + 1,59 = 17,16
R: El perímetro de la figura es 17,16 cm
A
2x + 1
x
3x – 5,5
B
C
Traza las tres alturas del siguiente
triángulo e indica
cómo se llama el punto en
el que se cortan. Calcula el
valor de x sabiendo que el
perímetro del triángulo es
19,5 cm.
Total


• El triángulo que se observa según sus lados es obtusángulo y según sus lados
es escaleno.
• Para trazar las alturas de este triángulo es necesario prolongar los lados que
forman el ángulo obtuso.
• Prolongamos las alturas y el punto donde se cortan las tres alturas se llama ortocentro.
• En un triángulo obtusángulo el ortocentro se encuentra en el exterior.
Si conocemos que el perímetro del triángulo es 19,5 cm, podemos plantear la siguientes
igualdad: x + 2x + 1 + 3x − 5,5 = 19,5
Sumando los monomios semejantes: 6x − 4,5 = 19,5
Por tanteo vamos a probar cuál puede ser el valor de x para que exista una igualdad:
6x – 4,5 = 19,5
A
hc
hb
ha
x
B
C
Ortocentro
Si x = 1
Si x = 2
Si x = 3
Si x = 4
6 x 1 − 4,5  19,5
6 x 2 − 4,5  19,5
6 x 3 − 4,5  19,5
6 x 4 − 4,5 = 19,5
6 − 4,5  19,5
12 − 4,5  19,5
18 − 4,5  19,5
24 − 4,5 = 19,5
R: El valor de x es 4 cm, cada uno de sus lados mide: 4,9 cm y 6,5 cm
Practica
• Traza las mediatrices, bisectrices y medianas del triángulo del problema anterior
y calcula el valor de cada uno de sus lados sabiendo que x = 1,5 cm
Polígonos
¿Qué diferencia existe entre una línea poligonal
cerrada y un polígono?
Investiga qué nombres reciben los polígonos de
13 y 15 lados.
Dibuja cuatro señales de tráfico que tengan formas
poligonales diferentes.
a) Explica el significado de cada una de ellas.
b) Escribe debajo de cada señal el nombre del
polígono que representa.
¿Cuál es el menor número de lados que puede
tener un polígono cóncavo? ¿Y un polígono convexo?
Los ángulos interiores de un polígono miden
106°, 60°, 110° y 84°. ¿Cuántos vértices y cuántos
lados tiene? ¿Es cóncavo o convexo?
Dibuja un pentágono y un hexágono convexos.
Calcula mentalmente:
a) El número de diagonales de un pentágono y el
de un hexágono.
b) La suma de los ángulos de un pentágono y de
un hexágono.
c) El número de ejes de simetría de un pentágono
y de un hexágono.
¿Existe algún polígono que tenga mayor número
de lados que de diagonales? ¿Y que tenga el
mismo número de lados que de diago nales?
¿Cuántas diagonales tiene un eneágono?
Si un polígono tiene 35 diagonales, ¿cuál es su
número de vértices?
Calcula las sumas de los ángulos interiores de
los polígonos de 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 lados.
Determina cuál es la amplitud del ángulo ^D de
un cuadrilátero ABCD, si los ángulos ^A, ^B y ^C miden,
respectivamente, 90°, 80° y 70°.
El ángulo central de un polígono regular mide
30°. ¿De qué polígono se trata?
¿Existe un polígono regular cuyo ángulo central
sea 36°? ¿Y cuyo ángulo central mida 37,5°?
Razona tus respuestas.
¿Qué ángulo forman las apotemas correspondientes
a dos lados contiguos de un pentágono regular?
Empareja los polígonos que sean iguales, haciendo
las mediciones oportunas. Explica el criterio
seguido.
Triángulos
Dibuja, si existe, un triángulo que sea:
a) Isósceles y obtusángulo.
b) Escaleno y rectángulo.
c) Equilátero y obtusángulo.
¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?
¿E isósceles? ¿Por qué?
Construye un triángulo rectángulo cuyos lados
midan 3 cm, 4 cm y 5 cm.
a) Traza las mediatrices y señala el circuncentro.
¿Está situado en el punto medio de la hipotenusa?
b) Dibuja la circunferencia que pasa por los tres
vértices del triángulo y cuyo centro es el circuncentro.
Di cuáles de los siguientes enunciados son ciertos
y explica el porqué.
a) Una de las medianas de un triángulo rectángulo
coincide con uno de sus lados.
b) En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide
con uno de sus vértices.
c) En un triángulo equilátero las medianas coin –
ciden con las alturas.
d) El baricentro de un triángulo es el punto donde
se cortan las tres mediatrices.
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
89
90
91
92
93
94
Ejercicios y problemas
a b
c d
9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
En tu cuaderno
Cuadriláteros
Señala los diferentes cuadriláteros que aparecen
en esta pintura y clasifícalos.
Completa las siguientes frases en tu cuaderno.
a) La suma de todos los ángulos de un paralelogramo
es ……………………………………….
b) Cada uno de los ángulos de un cuadrado
mide …………………………………….
c) El cuadrilátero que no tiene lados paralelos se
denomina ……………………………………
d) El cuadrilátero con los 4 lados iguales y los
ángulos iguales dos a dos se denomina
………………….
Nombra los cuadriláteros que poseen estas
caracterís ticas.
a) Tienen los cuatro lados iguales y los ángulos
no son rectos, pero son iguales dos a dos.
b) No tienen lados paralelos.
c) Tienen dos lados paralelos y los lados no paralelos
son iguales.
d) Tienen los ángulos y los lados iguales dos a
dos.
Indica si los siguientes enunciados son ciertos y
explica por qué.
a) Un cuadrilátero es un cuadrado cuando todos
sus lados tienen la misma longitud.
b) Un cuadrilátero es un cuadrado cuando sus
diagonales tienen la misma longitud.
Uno de los ángulos de un romboide mide 35°.
¿Cuánto miden los demás ángulos?
Construye un rectángulo cuya base mide 6 cm y es
de la altura.
Representa los rectángulos distintos que no sean
cuadrados que pueden formarse sobre esta cuadrícula.
Dos lados contiguos de un paralelogramo son
iguales y el ángulo que comprenden mide 120°.
Constrúyelo y di de qué paralelogramo se trata.
Construye un rombo de 3 cm de lado sabiendo
que uno de sus ángulos mide 60°.
¿Son perpendiculares las diagonales de un rombo?
¿Se cortan en partes iguales?
— Construye un rombo cuyas diagonales midan
6 cm y 4 cm.
Formen grupos y realicen un trabajo sobre los
polígonos en nuestro entorno. Recojan fotografías
de su localidad o de distintas publicaciones
que presenten objetos con formas poligonales.
— Clasifiquen los polígonos según el número de
lados y según sus ángulos.
Expresiones algebraicas
Representamos por x la edad actual de Marcos.
Escribe mediante una expresión algebraica su edad
en cada uno de los siguientes casos.
a) Dentro de 5 años.
b) Hace 4 años.
c) Cuando tenga el triple de la edad que tiene ahora.
d) Cuando su hermana que ahora tiene 7 años tenga
el doble de esta edad.
Escribe las expresiones algebraicas correspondientes
a las siguientes frases.
a) El resultado de añadir 5 al triple de un número
es 20.
b) La suma de las tres quintas partes de un número
más tres medios es uno.
c) El 5 % de un número es 20.
d) La suma de dos números pares consecutivos es
30.
105
104
103
102
101
3—2
100
99
98
97
96
95
106
107
_
En tu cuaderno
Expresa el perímetro y el área de cada uno de los
nueve rectángulos de la siguiente figura.
Escribe una frase que defina cada una de estas expresiones
algebraicas.
a) 3 a − b c) −4 e)
b) 3 a2 + b d) a2 − b2 f) (a + b)2
Señala el coeficiente y la parte literal de ca da uno
de los siguientes términos y clasifí calos en términos
semejantes.
a) 4 x y d) 3 x y 2 g) 26 x 2y
b) x y e) 2 x 2y h)
c) f ) 5 a i) x y
Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas
siguientes.
a) 2 x + 5 para x = 4
b) a + ab + b para a = 5 y b =
c) para x = 12
El valor numérico de 2 x + 6 para x = 2 coincide con
el valor numérico de 5 y para un determinado valor
de y. Halla dicho valor de y.
Operaciones con expresiones algebraicas
Efectúa:
a) 3 y + 2 x − 5 y + x − 3 y + 2 x
b) 5 ab  4 a 2b
c) x y 2  x 2y 3  5 x
Desarrolla los siguientes productos aplicando la
propiedad distributiva.
a) 2 a (b − a) c) 2 x y (x + 3 y − x2)
b) (a − 3 ab) b d) x 2 (1 + 2 x − y2)
Saca factor común en la siguiente expresión algebraica:
2 xy − 4 x + 2 x 2 y.
2 x y − 4 x + 2 x 2 y = 2 x (y − 2 + x y)
Saca factor común en las siguientes expresio nes
algebraicas.
a)
b) 3 x y − 9 x 2y + 6 x y2
c) 5 a − 25 ca2 + 15 abc
Completa en tu cuaderno:
a) 25 x 2 + 5 x = 5 x (5 x + ……..)
b) a3b − 9 a2b2 = a2b (…….. − ……..)
c) 8 a3 + 16 a2b − 24 a2b2 + 18 a3b7 =
= 2 a2 (…….. + …….. − …….. + ……..)
Usando material concreto representa y simplifica
los siguientes monomios:
a) 3 x2
b) 4 y
c) 2
d) 5 x
Aplicación en la práctica
Tenemos 88 palillos y 68 cerillas, y queremos
construir con ellos polígonos con el mismo número
de lados y que éste sea el mayor posible.
Además, no mezclaremos en una misma figura
palillos y cerillas y no queremos que nos sobre
ninguno de ellos.
a) Determina el número de lados de estos polígonos.
b) ¿Cuántos polígonos construidos con palillos
resultan? ¿Y cuántos con cerillas?
Una plaza tiene forma de triángulo y sus lados miden
18 m, 15 m y 18 m. Se quieren disponer postes
de luz equidistantes entre sí bor deando la plaza
y de manera que haya una en cada esquina.
a) ¿Cuál es el mínimo número de postes de luz
que debemos colocar?
b) ¿Cuántos postes de luz se distribuirán en
cada uno de los lados?
117
1
2
ab2 c − 2 a2 bc2
116
115
114
5
4
2
3
113
112
x − 6
2
1
3
111
a
3
3
7
1 2 x y 2
2
110
a + b
2
a
3
109
108
120
119
118
a b
c
d
À
.
Representa los centros y los ejes de simetría de
las siguientes figuras planas:
Rectángulo Triángulo isósceles
Rombo Trapecio rectángulo
Triángulo rectángulo Trapecio isósceles
Un automóvil tiene un consumo medio de 7,6 litros
de gasolina cada 100 kilómetros.
a) Escribe una expresión algebraica que indique su
consumo al cabo de x kilómetros.
b) Aproximadamente, ¿cuántos litros consume al
recorrer 150 kilómetros? ¿Y al recorrer 180 kilómetros?
Una empresa de alquiler de vehículos cobra $ 18
diarios por el alquiler de un automóvil más $ 0,75
por kilómetro recorrido.
a) Escribe mediante una expresión algebraica el
precio que debe pagarse por alquilar el automóvil
durante x días y recorrer y kilómetros.
b) Halla el precio que debe pagarse por alquilar
un automóvil 3 días y recorrer 523 kilómetros.
El número de libros de la biblioteca de un colegio
es igual al triple de alumnos del centro más 150.
El número de alumnos que asisten, entre los dos
turnos, es el doble de la capacidad de las aulas, que
es de 200 personas. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
Entra en Internet en la página http://platea.pntic.
mec.es/~anunezca/Revista/Ingenioso2/Alkhwarizmi.
htm e indica a quién se conoce como padre
del álgebra, y su lugar y su fecha de nacimiento.
En la página http://aula.elmundo.es/aula/laminas/
lamina1079950514.pdf aparece otro significado de
la palabra álgebra. Comprueba si es cierto en el diccionario.
Más a fondo
Busca información sobre la construcción de polígonos
estrellados a partir de polígonos regulares en
http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/poli
restrellado.htm y construye mediante la aplicación
todos los polígonos estrellados que aparecen
para un polígono regular de 15 lados.
Trazamos dos segmentos desde el vértice A, uno
hasta el punto medio del segmento BC y otro hasta
el punto medio del segmento CD, y la diagonal que
no pasa por dicho vértice.
Como puedes comprobar, en
la figura se cumple que los
tres segmentos en los que se
divide la diagonal son iguales.
¿Sabrías decir por qué?
Indicación. Considera dos
triángulos rectángulos con
vértice en A y aplícales la propiedad
enunciada en la actividad 32.
El tangram es un rompecabezas
chino constituido por
siete piezas con las que pueden
obtenerse infinidad de figuras.
Observa la de la derecha.
a) Clasifica los diferentes
triángulos y cuadriláteros
que aparecen, e indica si hay figuras iguales.
b) Construye con cartulina tu propio tangram e
intenta obtener las siguientes figuras.
Aplica la propiedad distributiva y reduce los términos
semejantes que obtengas en cada una de
estas expresiones.
a) (a + b)2 c) (a − b)2
b) (a + b) (a − b) d) (a + b)3
Obtén la suma de los cien primeros números naturales.
A partir de ella, deduce la suma de los
cien primeros números pares y la de los cien primeros
números impares.
— ¿Te atreves a encontrar la fórmula general de
la suma de los n primeros números na tu rales?
¿Y la de los n primeros números pa res? ¿Y la de
los n primeros números impares?
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
121
:
@
@
@
e
a g
d
b
c
f
A D
B C
En tu cuaderno
Demuestra tu ingenio
Figuras con palillos
Observa las siguientes figuras formadas con palillos.
Mueve dos palillos en cada una de las figuras y
obtén:
• En ①, una figura que tenga sólo 6 triángulos.
• En ②, una figura formada por 7 cuadrados.
Construye figuras sin levantar el lápiz del papel
Dibuja la figura de la derecha
formada por 8 segmentos
consecutivos sin levantar el
lápiz del papel y sin pasar
por el mismo segmento más
de una vez. ¿Por cuántos
triángulos está formada?
¿Cómo son?
Une los 25 puntos
de este cuadrado
con 8 segmentos
consecutivos sin
levantar el lápiz
del papel.
Une los 4 puntos
con 3 segmentos
consecutivos de
manera que obtengas
un triángulo
rectángulo.
① ②
Buen Vivir
Los siguientes artículos de la Declaración de
los Derechos Humanos sustentan y garantizan
el derecho de las personas a la vivienda.
Art. 17
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad,
individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su
propiedad.
Art. 25
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de
vida adecuado que le asegure, a sí como
a su familia, la salud y el bienestar, y en especial
la alimentación, el vestido, la vivienda,
la asistencia médica y los servicios
sociales necesarios; tiene asimismo derecho
a los seguros en caso de desempleo,
enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros
casos de pérdida de sus medios de subsistencia
por circunstancias independientes
de su voluntad.
Actividades
Investiguen los datos de las personas sin
vivienda en el Ecuador.
Observa la situación de tu localidad: ¿hay
más personas con vivienda o sin vivienda?;
¿dónde y cómo viven quienes no
la poseen?
Si el acceso a la vivienda es un derecho,
¿por qué creen que existen tantas
personas sin casa?
Generen una campaña sobre los Derechos
Humanos en su institución. Para ello,
busquen las mejores estrategias para comunicar
y crear conciencia entre sus compañeros,
sobre todo relacionado con el
derecho a la vivienda.
Recuerda que no solo tenemos derechos,
también la obligación de respetar la naturaleza,
preservar un ambiente sano y utilizar
los recusrsos naturales de modo racional,
sustentable y sostenible.
Todos teemos el derecho y la obligación
de conocer la realidad de nuestro
país. ¿Sabías que muchos ecuatorianos
carecen de lo indipensable para vivir?
¿Qué podemos hacer para construir una
sociedad más justa?
1
3
4
2
5
6
Buen
Hábitat y vivienda Vivir
_
Historia Sección de historia
Autoevaluación
1. Nombra tres objetos de tu entorno en los que observes
triángulos y cuatro objetos de tu entorno en los
que observes cuadriláteros.
2. Dibuja un hexágono convexo irregular y un heptágono
cóncavo irregular.
3. ¿Cuándo son iguales dos polígonos?
4. Escribe una frase que defina cada una de las siguientes
expresiones algebraicas.
a) 2 a3 b) (a − b)3 c)
5. Halla el valor numérico que adquiere la expresión
para x = 6.
— Escribe una expresión algebraica cuyo valor
numérico para x = 1 sea 12.
6. Aplica la propiedad distributiva y reduce los términos
semejantes.
4 (x + 2) + x2 − 2 x − x (x + 1)
7. Efectúa:
a) 5 ab − 2 b + 3 a + 2 ab − b
1. De las proposiciones siguientes, indiquen cuáles son
verdaderas y cuáles son falsas.
a) Los lados de los polígonos son segmentos.
b) Un polígono con dos diagonales es un cuadrilátero.
c) Un octógono tiene ocho ángulos.
d) Todo polígono tiene por lo menos tres ángulos
cóncavos.
2. Calculen el número de diagonales de un decágono regular
y el valor de cada uno de sus ángulos centrales.
3. Hagan un esquema que incluya toda la clasificación
de los cuadriláteros.
4. En un estacionamiento hay el triple de autos que de
motos. Representen por x el número de motos y exprésenlo
en lenguaje algebraico:
a) El número de automóviles.
b) El número de vehículos.
5. Saquen factor común en las siguientes expresiones
algebraicas.
a) 2 x2 + 3 x b) 5 a2b − ab
a + b
2
3
2
x2
x

Algunos animales son capaces
de identificar figuras
geométricas sencillas:
triángulos, cuadriláteros,
círculos…
Los egipcios utilizaban métodos
geométricos para re partir
las parcelas de tierra, inundadas
periódicamente por el
Nilo.
Tales (600 a. C.), tras haber
estado en Egipto, introduce
la geometría en Grecia.
Las primeras civilizaciones, al
utilizar objetos con formas
geo métricas, se plantean
cuestiones sobre medidas, lo
que motiva el nacimiento de la
geometría.
En la Edad Media, los árabes y los griegos
bizantinos traducen y co men tan textos
griegos clásicos de geometría.
Actualmente, sólo se estudian
polígonos en geometría
proyectiva.
En el siglo XV, la geometría proyectiva
estudia los polígonos desde el punto
de vista de la perspectiva.
La pirámide mide
tanto como su
sombra.
Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Crónica matemática
Los ladrillos de la materia
Los átomos se unen para formar moléculas y redes cristalinas
que determinan las características de las sustancias. Muchas
de estas estructuras presentan una geometría poligonal.
Grafito. En cada vértice se sitúa un
átomo de carbono.
Azufre. Molécula de 8 átomos
de azufre.
Los silicatos, combinación de
silicio y oxígeno, forman cadenas,
dobles cadenas, láminas…
Los polígonos en el entorno
¿Alguna vez te has parado a observar detenidamente
la naturaleza?
Si es así, quizás te has dado cuenta de que en
ella aparecen numerosas formas poligonales.
Observa las distintas formas poligonales que pueden aparecer en la naturaleza tanto a nivel macroscópico
(«Los polígonos en el entorno») como a nivel microscópico («Los ladrillos de la materia»).
Poliedros
Un poliedro es una figura del espacio cerrada
limitada por polígonos planos.
Las caras de los poliedros regulares son polígonos
regulares y todas son iguales.
Observa que sólo existen 5 poliedros regulares:
Volúmenes de revolución
Un volumen de revolución es aquel que se forma
cuando una figura plana gira 360° respecto a un eje.
Así, la rotación del rectángulo genera el cilindro.
La rotación de un triángulo rectángulo genera el
cono.
La rotación del semicírculo genera la esfera.
e
e
Triángulos Cuadriláteros
Pentágonos Hexágonos
e
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http://galeria.porcolombia.info http://users.frii.com
Coevaluación
1. a) 150; b) 1080.
3. a) , b) .
Ejercicios y problemas
73. 10; 100 000.
75.
no es posible.
77. a) 7,23; b) 0,016; c) 0,000 0015.
81. 3,44 < 3,45 < 4 < 5,00 < 5,012 < 5,210. 83. 0,23 < 0,5 < 2 < 2,34 < 3 < 3,12 < 4,2 85. 87. a) 0,07; b) 2,04. 89. a) 4,325; b) 0,186; c) 7,458; d) 0,16. 91. a) 12,4; b) 7,7; c) 6,34. 93. 3,14; 2,72; 0,09; 27,30; 4,56. 95. a) 6 000; b) 8; c) 10 000; d) 15. 99. El volumen del semicilindro grande es 125,6 cm3. El volumen del semicilindro pequeño es 31,4 cm3. Hallamos el volumen del cuerpo geométrico: El volumen del cuerpo geométrico es 94,2 cm3. 101. No es correcto. — Revisar las dos multiplicaciones (2 de agua y 6 de leche), la suma de los cuatro artículos para el total; la resta total de efectivo. Leche: 1,12 × 6 = 6,72 Total: 2,58 + 6,72 + 0,47 + 1,90 = 11,67 Cambio: 15,00 − 11,67 = 3,33 103. Cada piso mide (29,52 − 3,56) ÷ 7 = 3,708 m. 105. a) 1 453 − 142,3 = 1 310,7 1 310,7 ÷ 30 = 43,69 Un bombón pesa 43,69 g. 11 18 149 140 V V V semicilindro grande semicilindro pequeño − = 125,6 − 31,4 = 94,2 cm3 b) 43,69 × 10 = 436,9 1 453 − 436,9 = 1 016,1 La caja pesará 1 016,1 g. 107. 39 y 42. 109. Respuesta abierta. Varios atletas tendrían la misma marca. 111. Llamamos x, y y z a las dimensiones del ortoedro. Las dimensiones del ortoedro son 3 cm, 6 cm y 7,5 cm. Calculamos el área total: El área total del ortoedro es 171 cm2. Calculamos el volumen: El volumen del ortoedro es 135 cm3. 113. En efecto, es lo mismo, pues multiplicar por equivale a dividir por , y = 5 ÷ 4 = 1,25. 115. Respuesta abierta. 117.Calculamos el área de la base: Por tanto, el área lateral será: Calculamos el perímetro de la base: Y así podemos hallar la altura: El volumen del cilindro es: V = 201 · 12 = 2412 cm3. Ejercicios y problemas 77. Tridecágono y pentadecágono. El prefijo corresponde al numeral griego (trideca = 13 y pentadeca = 15) y el elemento -gono significa ángulo; como para todo polígono, n.° ángulos = n.° lados. 79. 4, porque un triángulo es siempre convexo; 3. 81. a) 5, 9; b) 540°, 720°; c) 5, 6. 83. diagonales. 10 vértices, ya que tiene 10 lados. P A Ph cm A lateral base = + + + = = ⋅ = ⋅ = 3 6 3 6 18 18 7,5 135 2 = ⋅ = = + ⋅ = 3 6 18 2 13 cm2 A A A A total lateral base total 5 + 2 ⋅ 18 = 171cm2 V A h cm base = ⋅ = 18 ⋅ 7,5 = 135 3 4 5 5 4 5 4 A cm base = π ⋅ 82 = 201 2 A cm lateral = 3 ⋅ 201 = 603 3 Perímetro = 2 ⋅ π ⋅ 8 = 50,24 cm 50,24 ⋅ h = 603⇒h = 12 cm 9 2 ⋅ ( 9 − 3 ) = 27 3 Módulo Números decimales. Volúmenes de prismas y cilindros 6 15 2 5 4 10 0 4 4 5 8 10 = = = , ; = = 0,8; 10 4 5 2 25 10 = = = 2,5; 3 400 75 10000 0 0075 5 6 = = , ; 0,5 2 3 4 4,2 0,2 0,3 2,3 2,4 3,1 3,2 0,23 2,34 3,12 + 0,6 2,1 0,06 0,66 2,16 1,2 1,8 3,3 5,5 4,36 4,3 0,25 0,85 2,35 4,55 − 1,2 3,1 10,8 9,6 7,7 6,5 5,3 3,4 1,2 5,5 5,3 8,4 7,2 5,3 3,1  x y z x y z x x 2 4 5 2 4 5 16 5 11 1 5 2 1 5 2 1 = = = + + + + = = = ⇒ = ⋅ , , , ,5 3 4 1 5 4 1 5 6 5 1 5 5 1 5 7 5 = = ⇒ = ⋅ = = ⇒ = ⋅ = cm y y cm z z c , , , , , m 4 Módulo Polígonos: triángulos y cuadriláteros. Iniciación al álgebra 85. Polígono de 4 lados: 180° · (4 − 2) = 360° Polígono de 5 lados: 180° · (5 − 2) = 540° Polígono de 6 lados: 180° · (6 − 2) = 720° Polígono de 7 lados: 180° · (7 − 2) = 900° Polígono de 8 lados: 180° · (8 − 2) = 1 080° Polígono de 9 lados: 180° · (9 − 2) = 1 260° Polígono de 10 lados: 180° · (10 − 2) = 1 440° 87. Se trata de un dodecágono, ya que 360° : 12 = 30°. 89. 72°, pues su valor coincide con el ángulo central. 91. a) y b) Respuesta abierta. c) No existe, ya que en un triángulo equilátero todos los ángulos son de 60°. 93. a) El circuncentro está situado en el punto medio de la hipotenusa. b) 95. Simple observación. 97. a) Rombo; b) trapezoide; c) trapecio isósceles; d) romboide. 99. [360° − (2 × 35°)] ÷ 2 = 145° 101. 103. 107. a) 3 x + 5 = 20; b) ; c) ; d) 2 n + 2 n + 2 = 30. 109. a) La diferencia entre el triple de a y b; b) la suma del triple del cuadrado de a más b; c) la diferencia entre un tercio de a y 4; d) la diferencia entre el cuadrado de a y el cuadrado de b; e) la mitad de la suma de a más b; f) el cuadrado de la suma de a más b. 111. a) 2 · 4 + 5 = 13; b) 5 + 5 · + = 7; c) = 3. 113. a) 5 x − 5 y ; b) 20 a3b2; c) x4y5. 117. a) 1; b) a − 9 b ; c) 4 a + 8 b − 12 b2 + 9 ab7. 119. a) El número de lados de los polígonos es: M.C.D. (88, 68) = 4 b) Se obtienen 88 ÷ 4 = 22 cuadriláteros con palillos y 68 ÷ 4 = 17 cuadriláteros con cerillas. 121. Los trapecios rectángulos no tienen centro ni ejes de simetría y los triángulos rectángulos, en general, tampoco. 123. a) 18 x + 0,75 y b) 18 · 3 + 0,75 · 523 = 446,25 Debe pagar $ 446,25. 125. Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi nació en la ciudad de Khwarizmi (actual Khiva, en Uzbekistán) en el año 783. 127. Polígonos estrellados a partir del polígono regular de 15 lados. 129. a) a, b, c, d y f son triángulos isósceles, e es un romboide y g un cuadrado; a y b son iguales, y c y d también. 131. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = … Hay tantas sumas como la mitad de términos: 101 · 50 = 5 050 La suma de los 100 primeros números naturales es 5 050. Para los números pares, observamos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = 5 050 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 200 = ? Por tanto: 2 + 4 + 6 + … + 200 = 2 · (1 + 2 + 3 + … + 100) = 2 · 5 050 = 10 100 Para los números impares: 1 + 3 + 5 + … + 199 2 + 4 + 6 + … + 200 Por tanto: 1 + 3 + 5 + … + 199 = (2 + 4 + … + 200) − 100 = 10 100 − 100 = 10 000 — La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales es: La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales pares es: n (n + 1) La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales impares es: n2 49. 51. Llamamos x a la longitud del segmento AB y llamamos y a la longitud del segmento BC. La longitud del segmento AB es 0,4 dm y la del segmento BC es 1,6 dm. 53. La altura del rectángulo mide 8 cm. 55. Podemos establecer las siguientes proporciones: Las medidas de los segmentos x, y y z son 1,5 cm, 4,5 cm y 6 cm, respectivamente.