POLIGONOS REGULARES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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OBJETIVOS :
* Definir el polígono regular , indicando sus elementos .
* Conocer los teoremas fundamentales de un polígono regular.
* Deducir la relaciones métricas entre las principales líneas asociadas al polígono regular .
* Conocer a un polígono regular inscrito y circunscrito a una circunferencia y sus elementos : lados , apótema , ángulo central y área .
* Deducir y usar las fórmulas de la apotema del polígono regular de «n» lados , así como el lado del polígono regular de 2n lados .
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INTRODUCCIÓN :
Desde la antigüedad. Se sabe que el hombre ha decorado sus viviendas con dibujos y ornamentos regulares. Estos gráficos repetitivos que nos dan la idea de prolongarse indefinidamente en el espacio se encuentra , hoy en día , en los tapices , en los papeles, pintados para empapelar paredes , en los enlosados y otros revestimientos del suelo , en los adornos arquitectónicos exteriores o interiores (mosaicos): también se usa las formas poligonales regulares en el diseño de las tuercas, en la distribución de los terrenos, etc. Inclusive hay poblaciones en las cuales la distribución de sus manzanas tienen una forma poligonal regular.
La naturaleza también nos brinda ejemplos de estas figuras y de esa armonía de proporciones que satisface los sentidos; por ejemplo, los cristales de nieve , las ondas en la superficie del agua, el panal de abejas, etc.

Se llama polígono regular al polígono equiángulo y equilátero a la vez .
Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a circunferencias concentricas , siendo el centro de estas circunferencias el centro del polígono regular .

NÚMERO ÁUREO
Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado habitualmente con la letra griega f) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea.
LA SECCIÓN ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO
La sección área es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como éste es a la totalidad. De esta manera se establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud y hagamos en él la división indicada anteriormente.

Aplicando la porporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver:

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es:
Lo sorprendente ahora es calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el menor:

es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro.

EL RECTÁNGULO ÁUREO
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos más adelante, se han utilizado en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnés, cajetillas de tabaco, etc.).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán entonces:

Vamos a demostrar que los vectores:

son proporcionales:

Por lo tanto, los tres puntos están alineados.
POLÍGONO REGULAR
Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez, todo polígono regular puede estar inscrito y circunscrito a una circunferencia siendo ambas circunferencias concéntricas.

Ln : Longitud del lado del polígono regular.
Ap : Longitud del apotema del polígono regular.
: Medida del ángulo central del polígono regular.

Apotema (Ap), es el segmento perpendicular a un lado de un polígono regular, trazado desde su centro.

ÁNGULO CENTRAL
Es un ángulo que tiene su vértice en el centro del polígono regular, los lados que lo determinan pasan por dos vértices consecutivos.

n : Número de lados del polígono regular.

Cálculo de la longitud del apotema de un polígono regular en función de su circunradio y la longitud de uno de sus lados.

R : Circunradio
Ln : Longitud del lado del polígono regular.

Cálculo de la longitud del lado de un polígono regular, de 2n lados en función de su circunradio y de la longitud del lado del polígono regular de n lados inscrito en la misma circunferencia.

R : Circunradio.
Ln : Longitud del lado del polígono regular.

POLÍGONOS REGULARES NOTABLES
Los principales polígonos regulares a estudiarse son: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono, octágono, decágono y el dodecágono regular.

I. TRIÁNGULO REGULAR (L3)

Si;
f = 120º
Se demuestra:

II. CUADRADO (L4)

Si;
f = 90º
Se demuestra:

III. PENTÁGONO REGULAR (L5)

Si;
f = 72º
Se demuestra:

IV. HEXÁGONO (L6)

Si;
f = 60º
Se demuestra:

V. OCTÁGONO REGULAR (L8)

Si;
f = 45º
Se demuestra:

VI. DECÁGONO REGULAR (L10)

Si:
f = 36º
Se demuestra:

VII. DODECÁGONO REGULAR (L12)

Si;
f = 30º
Se demuestra:

SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO
La sección Áurea de un segmento se obtiene por división de un segmento en media y extrema razón, esto quiere decir que la parte mayor del segmento llamado sección áurea es media proporcional entre la longitud del segmento y la parte menor.

Del gráfico, si P divide en medio y extrema razón al segmento AB, tal que: AP > PB; por definición se cumple: (AP)2 = (PB)(AB)
: Sección áurea de
Reemplazando:
x2 = (l – x)l
x2 + lx – l2 = 0

Luego por fórmula general:

Donde:

Observación:

TRIÁNGULOS ELEMENTALES
1.
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10.

11.
1. En una circunferencia de centro O y radio R se inscribe un trapecio, tal que tres de sus lados son l3, l4, l12. Las diagonales del trapecio se intersecan en P. Calcule OP.

Rpta.:

2. En la figura: , , y . Calcule MN.

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

5. En el octágono regular ABCDEFGH:
. Calcule AF.

Rpta.:

6. El lado de un pentágono regular mide . Se trazan sus diagonales y al intersecarse determinan otro pentágono. Calcule el lado de dicho pentágono.

Rpta.:

7. El circunradio de un decágono regular ABCDEFGHIJ mide 2. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

10. En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide a dicha hipotenusa en media y extrema razón, la hipotenusa mide . Calcule la longitud del segmento áureo en la hipotenusa.

Rpta.:

1. En la figura: son los lados de un triángulo y cuadrilátero regular respectivamente. Calcule la

2. En la figura: son los lados de un triángulo y un dodecágono regular respectivamente. Calcule x.

3. En la figura: y CD = R.
Calcule la

A) 10º B) 20º C) 30º
D) 45º E) 60º

4. En la figura: AB = R, .
Calcule la .

5. En la figura: AB = BC = AC, son los lados de un cuadrilátero, pentágono y decágono respectivamente. Calcule x.

6. El lado de un dodecágono regular ABCDEFGHIJKL mide . Calcule AE.
A) 2 B) C)
D) E) 4

7. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una semicircunferencia, , PF = a y
PD = b. Calcule PH.
A) a + b B) a – b C)
D) E)

8. En la figura: las dos circunferencias son congruentes, AB = AD y AC = 2, AB es la sección áurea, . Calcule PC.

A) 1 B) C)
D) E)

9. En el dodecágono regular ABCDEFGHIJKL, de centro O, , AL=4. Calcule OP.
A) 2 B) 4 C) 1 D) E)

10. En un pentágono regular ABCDE, se traza la diagonal . F es punto medio de ,
y . Calcule el lado del pentágono.
A) B)
C) D)
E)