PLANO CARTESIANO Y HOMOTECIA EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 3 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A:
1 Deducir la distancia entre dos puntos en
el plano cartesiano y aplicarla al cálculo
de magnitudes lineales en fi guras planas.
2 Describir la homotecia de fi guras
planas mediante el producto de un
vector y un escalar.
3 Usar un procesador geométrico para
visualizar las relaciones que se
producen al desplazar fi guras
homotéticas en el plano.
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Antiguamente, los matemáticos se habían dedicado a estudiar y dar
respuestas a variados temas matemáticos y a establecer relaciones
entre los elementos de dos grandes áreas: los números y las figuras.
La aritmética y la geometría habían ido desarrollándose por
caminos paralelos, y era impensable poder reunir ambas disciplinas
tan distintas en un mismo estudio. Aunque ya en el año 350 a. C. un
matemático llamado Menecmo había convertido el problema
geométrico de construir un cubo con el doble de volumen de otro
dado en una ecuación, fue hasta el siglo XVII cuando René Descartes
formalizaría uno de los más brillantes aportes a la matemática y su
desarrollo. Así lo expresó en su libro llamado “La Geometría” que
consta de tres tomos. En el primero de ellos, Descartes dirá: “Y yo no
temeré introducir estos términos de aritmética en la geometría, a fin
de hacerme más inteligible”. Fue así como Descartes imaginó y
formalizó el estudio de la geometría a través del álgebra. Si bien es
cierto que Descartes solo trabajó con los ejes positivos, él dio las
bases para que luego matemáticos como Fermat, Newton y Leibniz,
entre otros, pudieran utilizarlas para desarrollar lo que hoy
conocemos como geometría analítica, herramienta que sustentaría
disciplinas como el cálculo, la geometría infinitesimal y otras que
actualmente se estudian.
Otro aporte de los tiempos de Descartes lo hizo Fermat, quien
estableció la verdadera relación entre una curva y una ecuación,
tema fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, la
geometría analítica, tal como la conocemos hoy en día, fue
desarrollada por el matemático Leonhard Paul Euler.
Pero la geometría analítica no solo ha permitido el desarrollo de
ramas más algebraicas o analíticas, también ha permitido el estudio
de temas como las transformaciones isométricas, tema que ya has
estudiado en años anteriores. El mirar aquellas transformaciones en
el plano como resultantes de operaciones angulares y vectoriales
hace que su estudio sea más sencillo y mucho más rico en
aplicaciones, que si solo se estudiara bajo un punto de vista
geométrico euclidiano. En esta unidad te mostraremos otras
aplicaciones de la geometría analítica al estudio de variación de
figuras geométricas llamado homotecia. Sin duda, algo ya sabes de
ella; si piensas en figuras dibujadas en perspectiva encontrarás allí
figuras homotéticas. Además, aplicaremos los principios básicos de
la geometría analítica para el cálculo de distancias y temas
relacionados con áreas y perímetros y la demostración de algunos
teoremas de la geometría. Te invitamos a estudiar y a aprender…
Plano cartesiano y sus elementos…
volvamos a mirarlo
Al colegio de Paulina iba a llegar un nuevo alumno, ¿o sería tal vez
alumna?… Paulina no lo sabía, iría a conversar con su profesora jefe,
pensó. Si era algo que debería saber, su profesora le diría lo que
pasaba…
–Dime Paulina, ¿qué me querías preguntar?
–¿Es cierto que tendremos un alumno nuevo a esta altura del año?
–Sí, será tu compañero y lo conocerás en 10 minutos más, después
del recreo –le respondió la profesora.
Paulina se fue más tranquila, era tan simple como preguntar, se
dijo, mientras sonaba el timbre para entrar a clases.
Ernesto impresionó a Paulina, la verdad es que ella no pensaba que
aquel chico en silla de ruedas que había visto en el hall de entrada
sería su nuevo compañero. Nunca habían tenido un compañero
con una situación así… ¿Pero qué tan distinto sería?, –se dijo
Paulina–. Él es una persona como todos nosotros y aunque parece
muy callado, todo estará bien…
–Hola, Ernesto, me llamo Paulina –le dijo.
–Hola –respondió y calló por el resto de las clases.
Paulina no tenía muy claro cómo acercarse a él. Averiguó que un
accidente lo había dejado parapléjico, que había estado casi dos
años sin ir al colegio mientras se recuperaba y que ahora volvería a
terminar sus estudios. La primera clase de matemática a la que
asistía Ernesto fue la excusa perfecta, su profesor había dicho antes
de irse que debían hacer un resumen de todo lo que habían
aprendido en I y II medio sobre el plano cartesiano… ¡Tarea para la
próxima clase!
–¿Quieres que hagamos juntos esta tarea? –dijo Paulina.
–¿En serio? –respondió Ernesto–. No me acuerdo de nada de esto,
nunca he sido muy bueno en matemática y después de dos años…
–Será genial trabajar juntos, son cosas muy fáciles que hay que
recordar, escucha y anota: Definiremos un plano cartesiano como
un plano que contiene un sistema de referencia que está formado
por dos rectas numéricas perpendiculares. Ellas se intersectan en
un punto llamado origen, denotado por la forma O. Los números
positivos de ambas rectas van hacia la derecha y hacia arriba, y los
negativos a la izquierda y hacia abajo. Como en la siguiente figura.

Distancia entre dos puntos y sus aplicaciones
A la mañana siguiente, Ernesto entró en la sala y le pidió a Paulina
sentarse con ella. Era a la que mejor conocía de su curso y, además,
Paulina lo trataba como si no estuviera en esa silla. Eso era un alivio.
–Bien, muy bien hecho –dijo el profesor, luego de revisar la tarea.
–Quiero situarlos un poco en el contexto de la unidad que estamos
comenzando. Como les parecerá, esto no es nada nuevo… Y tienen
razón. El contenido que trataremos hoy, tampoco es nuevo. De
hecho, ya lo hemos revisado desde un punto de vista distinto
durante la unidad de los números complejos. Pero es importante
por dos razones: lo utilizaremos para abordar bajo otra mirada
algunos temas de geometría y preparará nuestro camino para la
próxima unidad que abordaremos.
–¿Señor? –dijo Paulina–. ¿Esto es o no geometría?
–Estos contenidos pertenecen en realidad a una rama de la
matemática llamada geometría analítica, que nos ayuda a trabajar la
geometría usando el álgebra. El desarrollo de este tipo de geometría
permitió grandes avances durante los años…
–¡La idea es mezclar las cosas siempre, ya me basta con lo que
hemos pasado! –dijo alguien desde el fondo de la sala.

2 Asunción leyó en algún sitio de Internet que si
se construía un polígono cualquiera y se
determinaban los puntos medios de sus lados,
entonces, el polígono resultante de unir esos
puntos medios tendría exactamente la mitad
del perímetro y la cuarta parte del área del
polígono original. Ella, para comprobar esto,
tomó los puntos A: ( 1,5) , B: ( −2,3) ,
C: ( −1,−3) , D: ( 4,−4) y E: ( 5,1) . Ahora,
responde tú:
a. ¿Cuál es el perímetro del polígono ABCDE?
b. ¿Cuáles son los puntos medios de los lados
del polígono?
c. ¿Cuál es el perímetro del polígono que
resulta de unir dichos puntos medios?
d. ¿Se cumple lo que leyó Asunción?
e. Realiza nuevamente estos pasos con un
nuevo polígono determinado por los puntos
medios de los lados del polígono menor, ¿se
cumple lo enunciado para los perímetros?
f. Calcula el área de ambos polígonos: ABCDE y
el que resulta de unir los puntos medios, ¿se
cumple lo enunciado respecto de las áreas?
g. ¿En qué tipo de polígonos se cumple este
enunciado?
3 Cristóbal era uno de los alumnos de su curso al
que le gustaba la matemática. Un día hizo una
apuesta con su profesor, debía contestar a las
siguientes preguntas, a partir de dos puntos
dados en el plano, A: ( 2,1) y B: ( 4,5) . Ayuda a
Cristóbal a ganar su apuesta:
a. Determina un punto C, en el II cuadrante, de
modo que el ΔABC que se forma sea
equilátero.
b. Encuentra los puntos medios de los lados
del triángulo ABC.
c. Determina la medida de la bisectriz del
ángulo ∡ABC.
d. Determina la medida de la altura trazada
con respecto al lado
__
CB .
e. Determina la medida de la transversal de
gravedad trazada desde el vértice C.
f. Determina la medida de las medianas del
triángulo ABC.
g. Determina el perímetro del triángulo ABC.
h. Determina el área del triángulo ABC.

Homotecia… una mirada en perspectiva
Esa semana había sido entretenida, una buena semana, como las
solía llamar Paulina. Le había ido bien en el colegio y su curso había
acogido a Ernesto muy bien. Paulina y Ernesto trabajaban juntos en
todas las asignaturas, aunque a veces discutían porque Paulina
siempre creía tener la razón… Ernesto pensaba que ella era muy
divertida y por supuesto, salvo temas de real importancia, dejaba
que ella pensara que tenía la razón…
Esa mañana tenían clase de matemática, esta sería una clase
especial, estaba instalado el data y el computador donde su
profesor usaba esos programas que te facilitaban las cosas al
graficar. Además sobre cada pupitre había un geoplano de puntos
que invitaba a jugar… pero no exactamente a jugar “a los puntitos”
sino con flechas…
– ¡Buenos días, jóvenes! –dijo su profesor–, con aquel enérgico
vozarrón que lo caracterizaba.
– ¡Buenos días, señor! –respondió el curso a coro.
Escuché hablar a algunos de ustedes a la salida de la clase de física
que decían que dibujar

a +

a +

a +

a era equivalente a dibujar un
vector que podemos llamar 4

a , y me pregunté… ¿qué tanto saben
mis alumnos del tema que trataremos hoy y que está muy
relacionado con lo que yo oí? Hoy aprenderemos sobre el producto
entre un escalar y un vector y para ello les voy a pedir que miren el
geoplano de hoja que se está proyectando en la pantalla.

semejante a ella, con respecto a punto en plano, llamado
centro de homotecia, y a una razón dada, llamada razón de
homotecia.

vectorial , mediante la ponderación de vectores dirección
(cuyos orígenes común conforman el centro de homotecia
y cuyo extremos está en cada punto de la figura) por un
escalar (razón de homotecia), los vectores ponderados
tienen también sus puntos de orígenes en el centro de
homotecia, pero sus extremos conformarán los puntos de la
figura homotética.

haciéndolo | k | veces el primero, siendo k la razón de
homotecia. De aquí que, ésta se pueda obtener dividiendo
la longitud del segmento homotético por la longitud del
segmento original.

figura semejante será más grande y estará en el mismo
sentido de la original. Se produce una ampliación de la
figura original.

figura semejante será más pequeña y estará en el mismo
sentido de la original. Se produce una reducción de la
figura original.

figura semejante será más grande, pero habrá
experimentado una rotación con respecto a la figura original.

figura semejante será más pequeña, pero habrá
experimentado una rotación con respecto a la figura original.

original y la razón de homotecia es distinto de 1, su figura
homotética estará separada de la original.

figura original, su figura homotética estará unida a la
primera por dicho vértice.

el valor absoluto de la razón de homotecia es mayor que 1,
entonces la figura original se encontrara dentro de su
homotética.

y el valor absoluto de la razón de homotecia es menor que
1, entonces la figura homotética se encontrará dentro de
la original.

12 Conforme a lo que has respondido en la parte
b. de la pregunta anterior, responde ahora:
a. Para dos homotecias que tienen el mismo
centro, ¿qué relación hay al comparar las dos
razones de homotecias respectivas?
b. Propón una forma de establecer una
transformación homotética entre tres
puntos colineales dados.
c. ¿Son todas ellas las posibles homotecias que
se pueden realizar usando únicamente M, A,
N? ¿Qué vínculo se puede establecer entre
el número de relaciones homotéticas que
has escrito anteriormente y el número total
de permutaciones, sin repetición, a partir de
estos tres elementos?
d. A partir de solamente cuatro puntos
colineales dados, ¿cuántas posibles
homotecias se pueden efectuar? ¿Y con cinco?
e. Propón una fórmula que te permita calcular
el número de homotecias posibles, usando
únicamente n puntos colineales distintos,
con n≥3.
13 Haciendo uso del programa GeoGebra:
a. Ubica los puntos A: ( 9,8) , B: ( 4,−2) ,
C: ( −2,4) y D: ( 5,7) para formar un
cuadrilátero.
b. Obtén el perímetro respectivo.
c. Localiza H, de tal manera que esté a tres
unidades del eje y, y la unidad sobre el eje x.
Este es el centro de homotecia de razón
−0,3 y que se aplica al polígono formado
anteriormente. Obtén el polígono
homotético.
Ahora bien, con respecto a éste polígono:
d. Escribe las coordenadas de sus vértices.
e. Obtén las medidas de cada lado de este
último.
f. ¿Por qué H es exterior al polígono
homotético?
g. Encuentra −
___
_C__H__ 
___
C’H
y explica su significado

1 Una homotecia de razón mayor que 1 o
menor que −1 la figura.
2 Uno de los campos de aplicación de la
homotecia, que dice relación con la plástica
es el .
3 Punto desde donde se construye una
homotecia.
4 Una homotecia de razón mayor que −1 o
menor que 1, distinta de 0,
la figura.
5 La transformación de una figura en una
semejante a ella, según un punto y una
razón, se llama
6 Una figura homotética de razón negativa
resulta en otra figura con
respecto a la primera.
7 Un campo de la física relacionado con la
homotecia es la .
8 El punto que está a igual distancia de otros
dos puntos del plano se llama
entre estos puntos.
9 En una homotecia, el cociente de los lados
homotéticos de dos figuras representa la
Ejercicios de resumen de la unidad
I. Completa cada una de las siguientes oraciones
según corresponda:
1 Se define como un
sistema de referencia de un plano que está
formado por dos rectas numéricas
, que se intersectan en el
punto ( H_,  H_).
2 Usando el sistema cartesiano, el
queda dividido en
partes llamadas
, los que se nombran con
números y en sentido
a los punteros del reloj.
3 Si A*( x A y A) y B*( x B y B) , entonces el
del trazo
___
AB , será
M
___
AB = ( _______,_______) .
4 La del segmento cuyo
extremos son P*( x 1 y 1) y Q: ( x 2 y 2) , se
calcula usando d
__
PQ = .
Evaluación Unidad 3
5 Una es una transformación
de una figura en otra a ella,
con respecto a un punto en plano, llamado
, y a una razón dada, llamada
.
6 Si la razón de homotecia es positiva y mayor
que 1, la figura homotética tendrá
tamaño, pero estará en el
mismo sentido de la original.
7 Para que la figura homotética tenga igual
tamaño, pero esté girada con respecto a la
figura original, el valor de la razón de
homotecia debe ser .
8 Si el está en uno de los
vértices de la figura original, su figura
homotética estará unida a la primera por
dicho vértice.
9 Para que la figura obtenida mediante una
homotecia sea igual tamaño y esté en el
mismo sentido con respecto a la figura de
origen, la razón debe valer .
10 Si el centro de homotecia está dentro de la
figura original y la razón, en módulo, es
menor que 1, entonces la figura homotética
se ubicará de la original.
II. Resuelve los siguientes ejercicios, coloca todo
el desarrollo en tu cuaderno y no olvides revisar
tus respuestas en el solucionario:
1 ¿En cuál (es) cuadrante(s), o bien, eje(s), se
ubica un punto:
a. Cuya abscisa es 0, y su ordenada negativa?
b. Si el producto entre la abscisa y la
ordenada es positivo?
c. Tal que su abscisa corresponde a la raíz
cuadrada de su ordenada?
2 ¿En cuál (es) cuadrante(s), o bien, eje(s), se
localizan dos puntos si:
a. Su punto medio es ( 0,0) ?
b. Tienen la misma ordenada negativa, pero
sus abscisas tienen el mismo signo?
3 ¿En cuál (es) cuadrante(s) se localizan todos
los puntos, si cada uno de ellos tiene:
a. Su ordenada igual a 14, pero su abscisa
no es nula?
b. Su abscisa y su ordenada con signo
contrario, pero de igual valor absoluto
entre sí, y no está en el origen?
c. Su abscisa vale

y su ordenada es
negativa.
4 Los puntos P: ( −9,−7) , R: ( 11,8) y
S: ( −9,8) se unen entre sí. Ahora bien,
haciendo uso de desarrollos con fórmulas,
responde:
a. Muestra que P, R y S no son colineales.
b. ¿Es este un triángulo acutángulo?
Justifica claramente tu respuesta.
c. Sabiendo que la intersección de la altura
con el lado mayor está en H: ( −1,8 ;−1,6)
determina el valor de ella.
d. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
medio, M, del lado mayor?
e. ¿Cuántas veces cabe
___
HM con la longitud
del trazo que representa la transversal de
gravedad que intersecta al lado mayor?
Expresa tu respuesta redondeando la
décima.
5 Por el vértice V: ( 2,−1) de un polígono, se
realiza una homotecia, cuyo centro H, es el
punto medio del trazo cuyos extremos son
A: ( −6,7) y B: ( 4,3) . Si V’: ( −7,17) es el
vértice homólogo del polígono homotético:
(haz uso de tu calculadora).
a. Indica las coordenadas de H.
b. ¿Cuál es la distancia entre H y V? Expresa
tu respuesta con aproximación a dos
decimales.
c. Encuentra longitud de
___
HV’ con
aproximación a la centésima.
d. ¿Cuál es la razón homotética?
e. Explica el significado del valor obtenido
en d.
6 En el programa GeoGebra se han hecho
varias homotecias sucesivas conservando el
centro de homotecia H. Se inicia con Δ XYZ
para obtener Δ X 1 Y 1 Z 1 , luego a partir de
este, se realiza una nueva homotecia para
obtener Δ X 2 Y 2 Z 2 . El proceso se repite para
detenerse en Δ X 3 Y 3 Z 3 , que te presentamos
a continuación. Advertimos que en la
ventana de la izquierda no alcanza a
aparecer toda la información de los objetos
dependientes, por la cual tendrás que hacer
cálculos adicionales, usando tu calculadora.
Llamando r 1 , r 2 y r 3 a las razones de homotecias
respectivas, y con la información dada en la
pantalla, responde a lo que te solicitamos:
a. ¿Cuál es el perímetro del triángulo
original?
b. ¿Cuál es el perímetro del Δ X 3 Y 3 Z 3 ?
Aproxima tu respuesta a la centésima.
c. Halla r 1 , r 2 y r 3 .
d. ¿Qué se obtiene al efectuar el producto
de las razones de homotecia r 1 , r 2 y r 3
con el perímetro del Δ XYZ?
e. Verifica que Z, Z 1 , Z 2 , Z 3 y H sean
colineales. Usa dos decimales en tus
cálculos.
f. Con el uso de una regla, comprueba que
los vértices homólogos y H sean colineales.
g. Haciendo uso de las razones de
homotecias, ¿de qué manera puede
obtenerse la razón de homotecia que
permite obtener el triángulo invertido, si
tomamos como referencia Δ XYZ? ¿Cuál
es este valor?
7 Observa con mucha atención los polígonos
regulares que, a continuación, se han
dibujado en un plano cartesiano.
16
14
12
10
8
6
4
2
–2
–4
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 16
0 x
0
y A’
C’
F’
E’
D’
B’
D
C
B
A
F
E
G
Algunos puntos con sus coordenadas son:
C= ( 4,27;2,46) , D= ( 0,54;4,93) ,
C’= ( 7,73;9,54) , D’= ( 11,46;7,07) y
F’= ( 15,73;13,54)
a. ¿Cuál es la medida del lado de cada
hexágono? ¿Son congruentes? ¿Por qué?
b. Determina las coordenadas del centro de
la circunferencia circunscrita al polígono
que está completamente en el primer
cuadrante.
c. Encuentra las coordenadas de los puntos
medios de
___
CC’ y
___
DD’ . ¿Con qué punto del
gráfico coincide cada uno?
d. Suponiendo que el hexágono ABCDEF es
homotético del otro polígono y siendo G
el centro de homotecia, ¿cuál es la razón
de esta homotecia?
e. Y si el hexágono ABCDEF es el polígono
de origen, y siendo G el centro de
homotecia. ¿El valor de la razón es la
misma? ¿Por qué?
8 En un plano ubica los puntos H, A 1 y A 2 , tal
como se presentan a continuación.
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4
0 x
0
A
4
A
y
A
3
A’
A
1
B
A
2
H
B’
a. Si H es el centro de la homotecia y la
razón es 0,6, ¿cuáles son las coordenadas
de A?
b. Obtén la coordenadas de B,
multiplicando cada coordenada de A 2 ,
por el valor de la razón de homotecia.
¿Cuáles son ellas?
c. Comprueba que
___
_H_B_
___
HA 2
es el valor de la
razón, y por tanto tu punto B está
correcto.
d. Conservando el centro de homotecia,
pero efectuando una nueva
transformación en la figura completa que
aparece tercer cuadrante, ¿cuál es el valor
de la nueva razón de homotecia que se
debe aplicar para obtener la figura que
aparece en el primer cuadrante y que son
congruentes?
e. Indica las coordenadas de los nuevos
puntos que has encontrado.
f. Se requiere repetir ambas figuras en los
demás cuadrantes, de tal manera, que
quede una figura simétrica con respecto
a los ejes. Indica, en el menor número de
pasos posibles, el o los nuevos centros de
homotecia, con sus razones
correspondientes.
9 Consideremos una homotecia cuya razón
sea estrictamente mayor a uno y que está
aplicada a un triángulo de lados 5, 12 y 13
centímetros, desde un centro de homotecia
H, responde:
a. Si la razón opera aumentando en dos
unidades el lado menor ¿cuántas veces
aparece aumentado el lado mayor en el
triángulo homotético?
b. Si el valor de la razón indica que por cada
1cm que se mide en un lado del
triángulo original, se miden 2,5cm en el
lado homólogo. ¿Cuánto es su valor?
c. Suponiendo que la razón valga 1,8,
encuentra el área del triángulo
homotético.
d. Dividiendo el área anterior por el área del
triángulo original, ¿qué relación existe
entre este cociente y el valor de la razón
en c.?
III. Resuelve los siguientes problemas, coloca el
desarrollo en tu cuaderno y revisa tus
respuestas en el solucionario:
1 Tracy cuadriculó muy mal el retrato del
desaparecido Elliot, para ampliarlo. Incluso
la gran mancha triangular que lleva,
inspector Adams, observe sus vértices. Si lo
llevamos a coordenadas para ser más
precisos, lo que aparece en “A”, por llamar
así a esta punta, está a tres unidades a la
derecha y dos hacia arriba de donde debiera
haber estado. Pero mire esta otra, la
manchita que está en la punta de oreja “B”,
no coincide con esta otra punta que es la
verdadera… ve, está desviada tres unidades
hacia la izquierda. Sin embargo, la otra
punta “C”está bien….en medio de la frente,
en el ( 0,9) … ¿Quiere la relación que tiene
este punto con “A” y “B”? ok, se lo diré….“A”
está a diez unidades hacia abajo y una a la
izquierda, y “B”, tres unidades hacia abajo y
seis a la derecha… Conforme al relato,
encuentra las coordenadas correctas y las
incorrectas de los puntos mencionados.
2 Como te contaba, en mis tiempos, las clases
eran muy estrictas. Un día, el profesor de
matemática preguntó: “¿Cuál es la mitad
de uno?”.
Alguien en la clase gritó: “El ombligo”. Todos
empezamos a reír, incluso el profesor. Pero
enseguida dijo: “¿Qué característica tienen
dos puntos en un plano, que para conocer
su punto medio, basta saber la semisuma de
sus ordenadas?”, prosiguió pero riéndose, “¿y
cómo serán aquellos dos puntos que para
averiguar su punto medio, es suficiente
calcular el total de sus abscisas y dividirla
por dos?… ¡quién ríe último, ríe mejor!”….
Terminé de escuchar el ingrato relato de tío
Liborio, y empecé a responder las preguntas
de su cuento… ¿cuáles son tus respuestas?
¿Puedes dar un ejemplo de cada pregunta
para entender mejor?
3 Ustedes ya no me recuerdan. Aquí les traigo
otro maravilloso problema para que ustedes
integren sus materias. Se los dicto:
“Imaginen ustedes que han dibujado en un
plano complejo −4+5i y 3−2i. ¿Qué
tan “lejos” está uno del otro? ¿Qué tiene que
ver el resultado anterior, con el módulo de la
diferencia entre ellos? ¿Qué pueden concluir
en general, a partir de las dos preguntas
anteriores?”.
Pueden utilizar la fórmula de distancia entre
dos puntos que ustedes ya han aprendido,
aproximando a dos decimales sus
respuestas. No olviden escribirme a mi
correo electrónico. Soy la abuela que vive
en Quillota.
4 ¿Cuál es el perímetro de los polígonos?…
Miren, papá y mamá, les cuento que me
hicieron hacer un plano cartesiano, ubicar
unos puntos… Me acuerdo clarito de sus
coordenadas porque tomé ( −1,−1)
y
dibujé un trazo hasta llegar a ( −1,5) . Luego,
y siempre siguiendo con trazos, llegué a
( 1,3) y después a ( 3,5) . ¡Ah! y de ahí bajé
con un trazo cruzando el eje x para
detenerme en ( −1,−1) y de allí terminé
formando un polígono… No me fijé que
había realizar una homotecia de razón −2,7
con centro en el origen para responder la
pregunta… Responde tú lo solicitado, con
aproximación a la centésima.
5 El profesor de matemática de Dominique les
ha dado como tarea que calculen algunos
datos sobre el dibujo que él realizó a partir
de figuras geométricas. No ha podido
avanzar en su tarea pues necesita saber:
x