PIRAMIDE EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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Pirámide
Es aquel poliedro en el cual una de sus caras es una región poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones triangulares denominadas caras laterales , todas ellas tienen un vértice en común el cual se le denomina vértice o cúspide de la pirámide.
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Pirámide regular
Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero , cuadrado , pentágono regular, etc.) y, Además, tiene todas sus aristas laterales de igual longitud.
En toda pirámide regular las caras laterales son congruentes y el pie de altura es el centro de la base
Apotema de la Pirámide Regular (Ap)
Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista básica .
En toda pirámide regular se cumple:
Las caras laterales están limitados por triángulos isósceles congruentes entre sí.
Las caras laterales y la base forman ángulos diedros de medidas iguales.
Las aristas laterales forman con la base ángulos de medidas iguales.

PIRÁMIDE
Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que ahí sirvieron de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2600 a.J.C. aproximadamente y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesa aproximadamente 20 toneladas.
La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice.
La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.
Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en:
• Pirámides rectas y oblicuas.
• Pirámides regulares e irregulares.
• Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.
En una pirámide regular, Apotema es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Es de notar que el apotema de la pirámide forma, junto con el apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo rectángulo.

Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono cualquiera y como caras laterales triángulos escalenos que tienen un vértice común que viene a ser el vértice de la pirámide.

CLASIFICACIÓN
I. Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. según sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc.
II. PIRÁMIDE REGULAR: Es aquella pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de una pirámide regular cae en el centro de gravedad de la base.

APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR:
Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica.

III. PIRÁMIDE IRREGULAR
Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular, puede ser: acutángulo u obtusángulo.

Teorema
Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide parcial semejante a la pirámide total.

Pirámide O – MNF Pirámide O – ABC
Luego se cumple:

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Es el sólido que se determina al cortar a una pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales.
Apotema del Tronco de Pirámide Regular
Es el segmento que une los puntos medios de las bases de una cara lateral.

En la figura:
S1: Área de la base superior del tronco de pirámide
S2: Área de la base inferior del tronco de pirámide
Ap: Apotema del tronco de pirámide

TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR
Es el sólido que se determina al cortar a una pirámide irregular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios escalenos.

Rpta.:

2. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular de arista lateral igual a 13u y altura igual a 12.

Rpta.:

3. Calcular el área de la superficie lateral de una pirámide pentagonal regular de altura apotema de la base y arista básica 3u.

Rpta.:

4. Calcular la medida de la arista de un tetraedro regular de altura

Rpta.:

5. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular de altura 6u si sus caras laterales son triángulos equiláteros.

Rpta.:

6. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calcular el volumen de la pirámide V–ABCD si: VA=3u; VC = 13u y VD = 5u.

Rpta.:

7. Calcular el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular si el perímetro de su base es 12u.

Rpta.:

8. Calcular el volumen de un tetaedro regular inscrito en un cubo de arista 3u.

Rpta: ………………………………………………..

9. Calcular el volumen de la pirámide regular mostrada en la figura.

Rpta.:

10. Si el volumen de la pirámide regular mayor es 27u, calcular el volumen del tronco de pirámide.

Rpta.:

11. En una pirámide pentagonal regular el área de la superficie total es 45u2 y el área de la superficie lateral es 25u2. Calcular la medida del ángulo diedro por la base y una cara lateral.

Rpta.:

12. Calcular el volumen de un tronco de pirámide regular cuadrangular, si las áreas de sus bases son 4u y 9u. Además la arista lateral mide .

Rpta.:

13. Calcular el volumen de la pirámide hexagonal regular de altura 3u y arista lateral igual a

Rpta.:

14. La base de una pirámide triangular regular está inscrita en una circunferencia de radio 2u; el área de la superficie lateral de la pirámide es igual al doble del área de su base. Calcular el volumen de la pirámide.

Rpta.:

15. En la figura ABCD–A’B’C’D’ es un cubo de arista 2u. M; N; P y S son puntos medios y V es centro de la cara ABCD. Calcular el volumen de la pirámide V–ABCD.

Rpta.:

1. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular de perímetro de la base 6u y altura 9u.
A) B) C) 6u3
D) 9u3 E)

2. Calcular el número de caras que tiene una pirámide de 30 aristas.
A) 20 B) 30 C) 16 D) 36 E) 20

3. Calcular la altura de la pirámide regular mostrada.

4. En la figura el volumen de la pirámide mayor es 128u. Calcular el volumen de la pirámide menor.

5. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular si la diagonal de su base mide 8u y las aristas laterales toman su mínimo valor entero.
A) 64u3 B) 32u3 C) 48u3
D) 36u3 E) 54u3

6. Calcular el área de la superficie de una pirámide triangular de arista básica si sus caras laterales son triángulos rectángulos .
A) B)
C) D)
E)

7. En la figura calcular el área de la superficie lateral de la pirámide regular.

8. En la figura, el volumen del tronco de pirámide es 28u3. Calcular el volumen de la pirámide mayor.

9. Calcular el volumen de un tetaedro regular si el área de su superficie total es igual a 72u2.
A) 9u3 B) 8u3 C) 12u3
D) 16u3 E) 27u3

10. Calcular el volumen del tronco de pirámide regular mostrado.