PERIMETROS-RAZONAMIENTO GEOMETRICO EJEMPLOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO DE SECUNDARIA EN PDF

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Perímetro
Es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que conforman el borde o contorno de una región.

1. Calcula la suma de las longitudes de las semicircunferencias construidas sobre el diámetro AB = 2; “O” es centro.

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2. Halla el perímetro de la región sombreada, si el lado de cuadrado es 8 cm; las curvas están formadas por semicircunferencias.

Origen de una ciencia

Creer que una ciencia existe a partir de determinado momento o de tal acontecimiento parece una ingenuidad. Sin embargo, en sus historias, Herodoto, que vivió en Grecia en el siglo V a. C., relata el origen de la geometría indicando como causa de tal origen el desbordamiento que todos los años tenía el río Nilo. Esto hacía que se borrasen las lindes de los campos, y obligaba a los «tensores de la cuerda» a hacer nuevas mediciones de las tierras.
«Se cuenta también que el rey Sesostris dividió la tierra entre todos los egipcios, otorgando a cada uno un rectángulo de igual tamaño, con la intención de cobrar la renta por medio de un impuesto que sería recaudado anualmente. Pero cuando el paso del Nilo redujese una porción, el súbdito correspondiente debía acudir al rey para notificarlo. Entonces éste mandaba a sus inspectores, que controlasen la reducción del terreno, de manera que el propietario pagase la parte proporcional del impuesto. De esta forma, me parece, se originó la geometría, que se difundió más tarde por la Hélade.»

LOS ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA
La Geometría, como ciencia práctica, nace de la necesidad del hombre de medir el suelo que habitaba, es así que en Egipto se empezó a desarrollar dichos conocimientos pues las inundaciones periódicas del río Nilo destruían los linderos de los campos de cultivo y había necesidad de reestablecerlos.
De esta manera, aparece el nombre de Geometría que se le ha dado a esta ciencia: de Geos (tierra) y Metrón (medida) o bien: Medida de la Tierra.
Pero fue desde tiempos más remotos en los que el hombre, mediante la observación de la naturaleza y todo cuanto lo rodeaba, fue formando conceptos de formas, figuras planas, cuerpos, volúmenes, rectas y curvas.
De esta manera, a la Luna y al Sol los veía proyectados como discos planos en el espacio; el rayo de luz le dio la idea de línea recta; los bordes de algunas hojas, y el arco iris, la idea de curvas; los troncos de algunos árboles y las cadenas le dieron la idea de las formas más diversas e impresionantes.
De la construcción de las casas con paredes verticales y sus techos horizontales surgió la noción de perpendicularidad y paralelismo. Se llegó a descubrir que la distancia más corta entre dos ciudades es el camino recto, etc.; así, los primeros hombres fueron acumulando una serie de conocimientos prácticos geométricos que luego al compendiarse formarían parte de la nueva y apasionante ciencia: la Geometría.
Los documentos matemáticos más antiguos provienen de Babilonia y se escribieron unos 2000 años a.N.E. en pequeñas tablas o planchas de arcilla, cocidas al sol; estas revelan que los autores ya tenían algunos conocimientos de los procedimientos de medida de tierras y, probablemente, ya habían llegado a determinar el área del trapecio.
También, proveniente de Egipto, se conoce una copia hecha en papiro por Ahmés, sacerdote egipcio. El original, del que procede la copia, escrito por el año 2300 a.n.e., no se ha llegado a encontrar; la copia se conserva en el Museo Británico. Este manuscrito, que en la mayor de sus partes está dedicado a las fracciones, contiene algo relativo a la medida de áreas.

ÁNGULOS
Concepto
Es la reunión de dos rayos que tienen el mismo origen llamado vértice del ángulo y los rayos son sus lados.

Simbólicamente

CLASIFICACIÓN:
I) Según su medida
1) Ángulo Agudo: Es aquel cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º.

2) Ángulo Recto: Aquel cuya medida es de 90º.

3) Ángulo Obtuso: Es aquel cuya medida es mayor que 90º y menor de 180º.

II) Según su relación
1) A. Complementarios: Cuando las medidas de dos ángulos suman 90º.

Complemento (C): Es lo que le falta a un ángulo para ser igual a 90º.

2) A. Suplementarios: Cuando las medidas de dos ángulos suman 180º.

Suplemento (S): Es lo que le falta a un ángulo para ser igual a 180º.

PROPIEDADES:
1. SCb = (90º+ b) ….. (0º < b < 90º) 2. CSb = (b – 90º) ….. (90º < b < 180º) 3. SCSb = (270º – b) ….. (90º < b < 180º) 4. 5. III) Según su posición 1) Ángulos Adyacentes: Son aquellos que tienen un lado común y están situados a distinto lado del mencionado lado común. 2) Ángulos Consecutivos: Son tres o más ángulos si cada uno de ellos es adyacente con su anterior. 3) Ángulos adyacentes Complementarios: Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º. 4) Ángulos Adyacentes Suplementarios: Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 180º. A estos también se les denomina “par lineal”. 5) Ángulos Opuestos por el vértice: Son aquellos que tienen el mismo vértice y sus lados tienen sentidos opuestos. Estos tienen medidas iguales. 6) Angulos alrededor de un punto de una recta: Son aquellos ángulos cuyas medidas suman 180º. 7) Ángulos alrededor de un punto del plano: Son aquellos ángulos cuyas medidas suman 360º. * “Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios forman un ángulo recto”. * “La bisectriz de dos ángulos adyacentes complementarios forman un ángulo de 45º”. TRIÁNGULOS Situaciones geométricas Una reducción o una ampliación de una fotografía preserva las proporciones de las partes de la fotografías, y las proporciones de las partes de la ampliación o de la reducción son las mismas. Si dos triángulos tiene la misma forma, aunque no tengan igual tamaño son semejantes. Dos triángulos congruentes tiene el mismo tamaño y la misma forma y por consiguiente son semejantes. Si se mira uno de estos triángulos a través de una lupa, se verá un triángulo de un tamaño menor pero que tiene la misma forma del triángulo inicial, el triángulo inicial y el que se observa a través de la lente son semejantes. Al comparar los triángulos EFG y SUT y se hace corresponder el vértice S con el vértice E, ya que y el vértice U con el vértice G, de manera que los lados más cortos en ambos triángulos se correspondan, se obtiene la correspondencia S « E, U « G, T « F entre los dos triángulos. Esta correspondencia puede visualizarse mejor si el triángulo FEG se hace girar un cuarto de vuelta en el sentido que indica la flecha. En esta posición se aprecia mejor que los triángulos tiene la misma forma: son semejantes, pero ¿qué quiere decir que dos triángulos son semejantes? Dos triángulos son semejante si existe una correspondencia entre ellos, de tal forma que los ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de los lados correspondientes proporcionales. En símbolos, los triángulos ABC y PQR son semejantes si existe una correspondencia entre los dos triángulos; por ejemplo: A « Q, B « R, C « P de tal manera que: Cuando se escribe: se da a entender que los triángulos son semejantes y que la correspondencia entre ellos es la misma. A « Q, B « P, C « R Para determinar si dos triángulos son congruentes o no, no se necesita comparar todos los elementos de un triángulo con los correspondientes del otro; pues, como en la congruencia, hay criterios que facilitan la decisión. CRITERIOS PARA RECONOCER LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Criterio AA Si en los triángulos ABC y PQR se da: entonces:   Esto quiere decir, que si dos de los tres ángulos de un triángulo tiene la misma medida que dos de los tres ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes. Criterio LAL Si en los triángulos ABC y PQR, se tiene: entonces: Debe considerarse, según este criterio que los ángulos congruentes o que miden lo mismo, son los ángulos incluidos por los lados que son proporcionales. Criterio LLL Si en los triángulos ABC y PQR, se tiene: Es decir, si los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de un segundo triángulo, los triángulos son semejantes. CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN.- Es la figura determinada por cuatro puntos no colineales mediante segmentos de recta. La suma de sus ángulos interiores es 360º. CLASIFICACIÓN: A. Cuadriláteros Convexos: Es aquel cuadrilátero en el cual todos sus ángulos son convexos : Diagonales. B. Cuadriláteros no Convexos: Es aquel cuadrilátero en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo no convexo PROPIEDADES I. II. III. IV. CIRCUNFERENCIAS DEFINICIÓN Centro: Es el punto equidistante a todos los puntos del lugar geométrico (O). Radio: Es la distancia del centro de la circunferencia a cualquier parte de la misma. Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia . Diámetro: Es la cuerda máxima que pasa por el centro de la circunferencia (AB=2R). Tangente: Es la recta que corta a la circunferencia en un punto llamado: “punto de tangencia” . Secante: Es la recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos. . Flecha o Sagita: Es el segmento de recta que une el punto medio de una cuerda con el punto medio de su respectivo arco . La longitud de la circunferencia es igual a 2pR ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo Central Ángulo Inscrito Ángulo Semiinscrito Ángulo Ex Inscrito Ángulo Interior Ángulo Exterior PERIMETROS Y AREAS RELACIONES ENTRE LAS ÁREAS DE 2 O MÁS REGIONES A. Si 2 triángulos tienen una altura igual, entonces la relación entre sus áreas es igual a la relación entre sus bases. CONSECUENCIAS 1. Si es ceviana, entonces: 2. Si es mediana, entonces: 3. Si son medianas, entonces: 4. Si G es baricentro, entonces: 5. Si G es baricentro y M, N y L puntos medios, entonces: 6. Si: M, N y L son puntos medios, entonces: B. Si 2 triángulos tienen ángulos iguales o suplementarios entonces la relación entre sus áreas es igual a la relación entre los productos de los lados que forman dichos ángulos  Si: a = q  Si: a + q = 180° C. Si 2 triángulos son semejantes, entonces la relación entre sus áreas es igual a la relación entre los cuadrados de sus elementos homólogos. D. En todo cuadrilátero de lados paralelos 2 a 2, se cumple que: E. En todo cuadrilátero ABCD, si M, N, P y Q son puntos medios, entonces: F. En todo trapecio se cumple que: 1. En el trapecio ABCD se sabe que S1+S2=18 cm2. Calcule Sx. A) 20 cm2 B) 27 cm2 C) 9 cm2 D) 10 cm2 E) 18 cm2 2. Halle el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado; T punto de tangencia y AE=4. A) 100 p B) 50 p C) D) E) 3. Halle el área de la región sombreada, si y P; Q; S y T son puntos de tangencia. A) 6p B) 8p C) 10p D) 18p E) 4p 4. En el cuadrante AOB, cuyo radio mide 10 cm., se ha inscrito un cuadrado PQRS. Determine el área de la región cuadrada. A) 25 cm2 B) 40 cm2 C) 45 cm2 D) 20 cm2 E) 50 cm2 5. Si el área de la región sombreada es S2, entonces halle el área de la región cuadrada ABCD, se sabe que POQ un sector circular. A) S2/(6 – p) B) 6S2/(6 + p) C) 2S2/(6 – p) D) 6S2/(6 – p) E) (6 – p) /S2 6. Según el gráfico, OB=6 cm. y º. Calcule el área de la región sombreada. A) 3p cm2 B) 4p cm2 C) 5p cm2 D) 7p cm2 E) 2p cm2 7. Halle el área de la región sombreada, si ABCD y MNPQ son cuadrados de lado 6 m. y 4 m. respectivamente. A) 4 m2 B) C) D) 8 m2 E) 16 m2 8. ¿En qué relación se encuentra el área de la región sombreada con el área de una de las regiones circulares? A) B) C) D) E) 9. En la circunferencia de centro O y radio R de la figura, se inscribe el trapecio ABCD tal que es paralelo a si AD=a, halle el área del triángulo OBC. A) B) C) D) E) 10. En el cuadrado ABCD, calcule el área de la región sombreada. A) 100 cm2 B) 125 cm2 C) 275 cm2 D) 345 cm2 E) 415 cm2 11. En la figura ABCD es un cuadrado. Halle la relación entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada. A) 2/3 B) 3/2 C) 1/2 D) 3/4 E) 4/3 12. En el siguiente trapecio calcule el valor de S, si A=5 m2, B=10 m2; C=6 m2 y M es el punto medio. A) 11 m2 B) 9m2 C) 16 m2 D) 1 m2 E)