GEOMETRIA : PERIMETRO Y AREA EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 5–QUINTO AÑO PDF

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Longitud, Álgebra Usar las fórmulas del perímetro,Taller de resolución de problemas
Álgebra Relacionar el perímetro y el área,Taller de resolución de problemas
Estrategia: comparar estrategia,Manos a la obra: Representar el área de
los triángulos,Álgebra Área de los triángulos,Álgebra Área de los paralelogramos
EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
• Clasificar ángulos según su medida y medirlos con
transportador o herramientas tecnológicas, empleando
el grado como unidad de medida.
• Interpretar fórmulas para calcular el perímetro de un triángulo,
de un cuadrado o de un rectángulo.
• Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de cuadrados,
rectángulos y triángulos.
• Determinar y aplicar fórmulas para calcular áreas de figuras
que pueden ser descompuestas en triángulos, cuadrados
y rectángulos.
• Identificar y usar el milímetro, centímetro y metro como
unidades de longitud; y el milímetro cuadrado, centímetro
cuadrado y metro cuadrado como unidades de superficie.
• Resolver problemas en situaciones variadas que implican
el cálculo de perímetros y de áreas.
CONVERSEMOS DE…
Al planificar una nueva vivienda, el arquitecto debe considerar:
• las dimensiones del terreno disponible.
• los requerimientos de la familia a la que está destinada la
vivienda: cuántos dormitorios se necesitan, cuántos baños, o si
se considera un escritorio, terrazas, etc.
• las dimensiones de los distintos sectores de la vivienda:
dormitorios, baños, sala de estar, comedor, cocina, clóset, etc.
En consecuencia, el arquitecto debe asegurarse de que la vivienda
sea confortable para vivir, es decir, tenga un tamaño adecuado,
proteja a la familia de la lluvia, el viento, la humedad, los cambios
de temperatura, la luz del sol, etc. A su vez debe decidir qué tipo
de materiales puede adquirir, considerando el presupuesto
estimado para la construcción.
Observa el plano de la página 126 y responde:
• ¿Cuál es el largo total de la vivienda?
• ¿Cuál es el ancho de la vivienda?
• ¿Cuál es la superficie de los dormitorios?
• Si la alfombra que se piensa utilizar en los dormitorios cuesta
$ 1250 por metro cuadrado, ¿cuál sería el costo de alfombrarlos?
• ¿Cuál es la superficie del baño más grande?
• Si con 16 baldosas se cubre 1 metro cuadrado, ¿cuántas baldosas
se necesitan para cubrir el piso del baño?
• ¿Cuál es la superficie total de la vivienda, aproximadamente?
Figuras planas
cuadrado
triángulo
paralelogramo
trapecio
Medición y perímetro
La idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir
usando unidades métricas y unidades usuales.
Investiga
Imagina que eres un
arqueólogo que trabaja en
una excavación en el Valle de
la Luna. Marca el contorno de
un área rectangular de 5
metros por 15 metros usando
una cuerda. Muestra y
describe otras tres figuras
planas que se puedan hacer
con la misma cantidad de
cuerda.
A 13 kilómetros al oeste
de San Pedro de Atacama,
perteneciente a la región
de Antofagasta, se
encuentra ubicado el Valle
de la Luna, llamado así por
su extraña apariencia lunar.
9
DATO
BREVE
214
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se
necesitan para completar con éxito el Capítulo 9.
u Perímetro: contar unidades
Halla el perímetro de cada figura.
u Elegir la unidad apropiada
Elige la unidad usual apropiada.
11. altura de una habitación 12. longitud de tu dedo 13. ancho de una cancha de fútbol
centímetros o metros milímetros o centímetros metros o kilómetros
o decimetros
Elige la unidad métrica apropiada.
14. longitud de tu escritorio 15. distancia recorrida en 16. ancho de una habitación
centímetros o metros bicicleta en 1 hora centímetros o metros
o decímetros metros o kilómetros o decímetros
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
fórmula
perímetro
polígono
paralelepípedo
PREPARACIÓN
perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada.
polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más
segmentos.
fórmula Un conjunto de símbolos que expresan una regla
matemática.
paralelepípedo Una figura 3D cuyas seis caras son
rectángulos.
13 km 8 m 4 m 6 cm 19 cm
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
9 m
3 m 6 cm 10 cm
11 km
Capítulo 9 215
Longitud
OBJETIVO: identificar y convertir unidades usuales y unidades métricas de longitud.
PROBLEMA Mario necesita 200 centímetros de cadena para su proyecto de
artesanía. La cadena se vende por metro. ¿Cuántos metros de cadena necesita?
1. 15 • 3
2. 60 : 12
3. 8 • 12
4. 4 • 5 280
5. 15 840 : 5 280
Ejemplo 1 Convierte centímetros en metros.
Halla la cantidad de metros que hay en 200 centímetros.
Piensa: 200 centímetros 5 j metros 200 : 100 5 y
Para convertir unidades más pequeñas en unidades más
grandes, divide.
cantidad de
4
cantidad de centímetros
5
cantidad
centímetros que hay en 1 metro de metros
↓ ↓ ↓
200 : 100 5 2
Por lo tanto, Mario necesita 2 metros de cadena.
Ejemplo 2 Convierte metros en milímetros.
Javiera necesita 4 metros de tela para su proyecto de
artesanía. ¿Cuántos milímetros de tela necesita?
Halla el número de milímetros que hay en 4 metros.
Piensa: 4 metros 5 j milímetros 4 • 1 000 5 x
Para convertir unidades más grandes en unidades más
pequeñas, multiplica.
cantidad
3
cantidad de milímetros
5
cantidad
de metros que hay en 1 metro de milímetros
↓ ↓ ↓
4 • 1 000 5 4 000
Por lo tanto, Javiera necesita 4 000 milímetros de tela.
Más ejemplos
Convierte 3 kilómetros en metros.
cantidad
3
cantidad de metros que
5
cantidad
de kilómetros hay en 1 kilómetro d e metros
↓ ↓ ↓
3 • 1 000 5 3 000
Por lo tanto, 3 kilómetros equivalen a 3 000
metros.
Convierte 130 centímetros.
cantidad
4
cantidad de centímetros
5
cantidad de
de centímetros que hay en 1 decímetro decímetros
↓ ↓ ↓
130 4 10 5 13
Por lo tanto, 130 centímetros equivalen a 13
decímetros.
1
LECCIÓN
Aprende
:
:
:


216
Unidades métricas
de longitud
10 milímetros (mm)
100 centímetros
1 000 metros
1 centímetro (cm)
1 metro (m)
1 kilómetro (km)
Longitud en unidades métricas
Puedes usar la multiplicación y la división para convertir unidades métricas de
longitud.
1. ¿Cuántos centímetros hay en 1 500 metros?
Piensa: Se convierte en unidades más grandes; por lo
tanto, se divide.
100 centímetros 5 1 metro
1 500 : 100 5 j metros
2. ¿Cuántos milímetros hay en 12 centímetros?
Piensa: Se convierte en unidades más pequeñas; por lo
tanto, se multiplica.
1 centímetro 5 10 milímetros
12 • 10 5 j milímetros
Convierte las unidades dadas.
3. 7 cm 5 j mm 4. 3 000 m 5 j km 5. 8 m 5 j mm 6. 800 000 cm 5 j km
7. 22 cm 5 j mm 8. 30 mm 5 j cm 9. 2 km 5 j m 10. 5 m 5 j cm
11. 2 000 mm 5 j m 12. 12 km 5 j m 13. 5 km 5 j mm 14. 700 cm 5 j m
15. Explica cómo convertir 6 kilómetros en milímetros.
Ejemplo 3 Convierte centímetros en metros.
Alberto mide un pedazo de cartulina gruesa de
125 centímetros. ¿Cuál es la longitud en metros?
Piensa: 125 centímetros 5 j metros 125 : 100 5 m
Para convertir unidades más pequeñas en unidades
más grandes, divide.
cantidad
4
cantidad de cm
5
cantidad
de cm que hay en 1 m de m
↓ ↓ ↓
125 4 100 5 1,25
Por lo tanto, hay 1,25 metros en 125 centímetros.
Ejemplo 4 Convierte centímetros en milímetros.
Por lo tanto, hay 150 milímetros en 15 centímetros.
Fran mide un trozo de hilo de 15 centímetros de
largo. ¿Cuál es la longitud en milímetros?
Piensa: 15 centímetros 5 j milímetros 15 • 10 5 n
Para convertir unidades más grandes en unidades más
pequeñas, multiplica.
cantidad
3
cantidad de mm
5
cantidad
de cm que hay en 1 cm de mm
↓ ↓ ↓
15 • 10 5 150
Idea matemática
Dado que hay 10 mm en
1 cm, 1 mm es igual a 1_10_ ,
o 0,1 cm.
Práctica con supervisión
:
:

Capítulo 9 217
Comprensión de los aprendizajes
Longitud de
la madera
viga
tabla
poste
Artículo Medida
2 m 13 cm
2 m 67 cm
3 m 81 cm
Convierte las unidades dadas.
16. 48 cm 5 j mm 17. 5 km 5 j m 18. 50 cm 5 j m 19. 25 m 5 j cm
20. 70 mm 5 j m 21. 4,2 km 5 j m 22. 3,5 m 5 j cm 23. 480 mm 5 j cm
24. 1,6 km j m 25. 6,4 cm 5 j mm 26. 2,5 m 5 j cm 27. 4 200 cm 5 j m
28. 2,5 km 5 j m 29. 110 mm 5 j cm 30. 5,6 m 5 j cm 31. 6,8 cm 5 j mm
Completa.
32. 145 cm 5 j m 45 cm 33. 4 m 30 cm 5 j mm 34. 7 km 5 6 m j m
35. 2 cm 35 mm 5 j mm 36. 8 m 50 cm 5 6 mm j cm 37. 12 m 5 10 m j cm
43. En la ecuación 32 + = 51, ¿qué número
va en el recuadro para hacer verdadero este
enunciado numérico?
44. Si Miguel desde el origen avanza 8 pasos a
la derecha y 5 hacia arriba, ¿cuáles serían las
nuevas coordenadas?
45. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente
a una longitud de 3,28 metros?
A 32,8 cm C 0,328 km
B 328 cm D 328 km
46. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente
a una longitud de 2 m 30 cm?
A 23 cm C 2 030 mm
B 230 cm D 0,23 m
USA DATOS Para 38–42, usa la tabla.
38. ¿Cuántos pedazos de 10 cm puede cortar Luis
de una viga? ¿Cuántos centímetros de viga
sobran?
39. Rita corta un pedazo de 1 m 50 cm de un poste
para acortarlo. ¿Cuánto mide el poste ahora?
40. Juan corta una tabla en tres pedazos iguales.
¿Cuántos centímetros de largo mide cada pedazo?
41. Aarón corta un poste en dos pedazos de igual
tamaño. Le queda un pedazo que mide 1 m y
41 cm de largo. ¿Cuánto miden los dos pedazos
que cortó?
42. Explica cómo restarías la longitud
de una tabla de la longitud de un poste. Usa la
tabla ilustrada arriba.
Práctica independiente y resolución de problemas
218
Tamaño Longitud Ancho
Grande A
Grande B
Mediano A
Mediano B
Pequeño A
Pequeño B
2,7
2,1
2,1
1,2
2,0
1,7
2,4
3,0
2,5
2,5
2,1
2,3
Formula un problema
1. Convierte la longitud y el ancho de un
columpio de centímetros a milímetros.
2. Compara la longitud en milímetros de dos
columpios en el grupo grande, mediano o pequeño.
Resolución de problemas Formula un
problema usando los datos de los columpios de
las siguientes maneras.
Se pueden formular problemas diferentes usando un conjunto dado de
datos. Para hacerlo, se deben convertir las unidades de los datos. La
señorita Serra pidió a su clase que usara los datos de la tabla para
escribir un problema relacionado con las dimensiones de los columpios.
Para formular un problema:
• Comprender de qué se trata el
problema.
• Estudiar los datos.
• Completar todos los cálculos
necesarios para resolver el
problema.
• Resolver el problema para
comprobar que otros puedan
resolverlo según lo que has escrito.
Columpios
Grande A
Grande B
Mediano A
Mediano B
Pequeño A
Pequeño B
Tamaño Longitud (cm) Ancho (cm)
270
210
210
120
200
170
240
300
250
240
210
230
Primero, convierto las dimensiones de los columpios a metros
para poder comparar con exactitud las longitudes dadas
y el espacio descrito en mi problema.
Finalmente, escribo este problema sobre los datos. “En su jardín, el señor Torres tiene un espacio
que mide 5 m de largo y 2 m de ancho. ¿Qué columpios puede instalar en el espacio que hay en
la mitad de su jardín?”
Solución: el señor Torres puede instalar los columpios Mediano B, Pequeño A o Pequeño B.
Capítulo 9 219
12 m
14 m
12 m
a
b
c
d
e f m
2 m
8 m
8,4 m
7,5 m 6,4 m
8,4 m
7,5 m 6,4 m
ÁLGEBRA
Usar las fórmulas del perímetro
OBJETIVO: hallar el perímetro de polígonos usando fórmulas.
PROBLEMA Carolina está poniendo papel pintado en las paredes de
su casa. Su casa tiene un perímetro de 52 metros. El plano ilustrado
a la derecha indica la longitud de las paredes de su casa. ¿Cuánto
papel pintado necesitará Carolina para colocar en el lado de la longitud
desconocida?
Puedes usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado
cuando conoces el perímetro y la longitud de los otros lados.
Resuelve la ecuación.
1. a 1 24 1 32 5 71
2. 28 1 x 1 28 1 14 5 84
3. 45 1 18 1 m 1 12 5 91
4. (2 • r) 1 (2 • 16) 5 74
5. (2 • 34) 1 (2 • t) 5 102
Ejemplo
P 5 la suma de las longitudes de los lados
52 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f
52 5 14 1 12 1 12 1 8 1 2 1 f
52 5 48 1 f
f 5 4
Piensa: Usa una variable para
representar la longitud de cada
lado.
Reemplaza f con 4 para comprobar
tu solución. 48 1 4 5 52 ✓
Por lo tanto, Carolina necesitará 4 metros de papel pintado para el lado final.
• Imagina que sabes que el perímetro de un hexágono regular es de
48 metros. ¿Qué fórmula usarías para hallar la longitud de cada lado?
Ejemplos Halla la longitud desconocida.
Usa el perímetro dado.
P 5 29 m
P 5 a 1 b 1 c 1 d
29 5 7,5 1 8,4 1 6,4 1 d
29 5 22,3 1 d
d 5 6,7
Compara los lados iguales.
lado d 1 lado f 5 lado b, o d 1 f 5 b
d 5 10 y b 5 17
10 1 f 5 17
f 5 7
Por lo tanto, la longitud desconocida
es de 6,7 m.
Por lo tanto, la longitud desconocida es de
7 cm.
La casa de Carolina
2
LECCIÓN
Aprende
220
Comprensión de los aprendizajes
10 mm
10 mm
6 mm
c
b
a
e
d
P
5 mm j
1. Completa para hallar la longitud desconocida.
P 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e
38 5 6 1  1 10 1 5 1 e
38 5  1 e
e 5 
Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.
2. P 5 36 cm 3. P 5 98 cm 4. P 5 144,25 m
35 cm
14 cm 7 cm
7 cm
d
34
15 cm
5. Explica cómo usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado.
Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.
6. P 5 51 m 7. P 5 50 cm 8. P 5 48 cm
13 m
8m
12 m
12 m
m
24 cm
t
1
94 cm
9. P 5 64,5 m 10. P 5 117 cm 11. P 5 41,4 cm
44 cm
25 cm
8 cm
11 cm
x
12 cm
12. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ilustrado a la derecha?
13. Explica cómo hallarías la longitud del lado d del
Ejercicio 3 si no te hubieran dado el perímetro.
14. 1
__
3
+ 2
__
4
5
15. Un cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. ¿Cuál es la longitud de cada
lado?
A 16 cm C 6 cm
B 8 cm D 4 cm
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
Capítulo 9 221
Usa la destreza
PROBLEMA El Trump World Tower y el Leighton House, rascacielos de la
ciudad de Nueva York, son de la misma forma. El Trump World Tower es un
prisma rectangular. Su base mide 44 metros de largo y 23 metros de ancho.
El perímetro de la base del Leighton House mide 34 metros menos que el
perímetro de la base del Trump World Tower. ¿Cuál es el perímetro de la
base del Leighton House?
A veces necesitas hacer generalizaciones para resolver un problema.
Cuando generalizas, partes de un enunciado que es verdadero para todo un
grupo de situaciones u objetos similares.
Por lo tanto, el perímetro de la base del Leighton House es de 100 m.
Piensa y comenta
Haz una generalización. Luego resuelve el problema.
a. Una figura plana tiene 5 lados congruentes. El perímetro de la figura es
de 90 m. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
b. Un cuadrilátero tiene un perímetro de 24 cm. Tres de sus lados miden,
cada uno, 6 cm. ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?
Lo que sabes Generalización Conclusión
El Trump World Tower es un
prisma rectangular. El Leighton
House tiene la misma forma.
El Trump World Tower mide
44 m de largo y 23 m de
ancho.
El perímetro de la base del
Leighton House mide 34 m
menos que el perímetro de la
base del Trump World Tower.
Los paralelpípedos tienen
bases rectangulares.
El perímetro de un rectángulo
equivale a (2 · largo) 
(2 · ancho).
Para hallar una cantidad menor
que una cantidad dada, se
resta.
El Leighton House tiene una
base rectangular.
El perímetro de la base del
Trump World Tower mide
(2 · 44m)  (2 · 23m), o
134 m.
El perímetro de la base del
Leighton House mide
134 m 34 m, o 100 m.
Destreza: hacer generalizaciones
OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza hacer generalizaciones.
Trump World Tower
Leighton House
3
LECCIÓN
222
Haz generalizaciones para resolver un problema.
1. Paula compró una caja de cereal y 1 de avena con la misma forma. La caja de
copos de maíz es un paralelepípedo. Su base mide 12 centímetros de largo y
4 centímetros de ancho. El perímetro de la base de la caja de avena mide 4
centímetros más que el perímetro de la base de la caja de copos de maíz. ¿Cuál
es el perímetro de la base de la caja de avena?
Haz una tabla similar a la de la página 222. Escribe lo que sabes sobre las cajas
de cereales. Luego haz una generalización y saca una conclusión.
El perímetro de la base de la caja de avena mide  centímetros.
2. ¿Qué pasaría si la base de la caja de copos
de maíz midiera 10 centímetros de largo y 3
centímetros de ancho? ¿Cuál sería el perímetro
de la base de la caja de avena?
3. Dos cajas de pañuelos de papel son cubos
congruentes. Si el perímetro de la base de una
de las cajas de pañuelos de papel es de 16
centímetros, ¿cuál es la longitud de un lado de
la base de la otra caja de pañuelos de papel?
Aplicaciones mixtas
USA DATOS Para 4–7, usa las imágenes.
4. La pirámide de Micerinos es una pirámide
cuadrada. La pirámide de Kefrén tiene la misma
forma. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la
base de la pirámide de Kefrén?
6. En la pirámide de Micerinos hay tres pirámides
cuadradas ubicadas a lo largo de su pared al
sur. El perímetro de la base de la más grande
de estas tres pirámides mide 240 metros
menos que el perímetro de la base de la
pirámide de Micerinos. ¿Cuál es la longitud de
cada lado de la base de la más grande de estas
tres pirámides?
5. La pirámide de Keops es también una pirámide
cuadrada, con una altura original de 144
metros aproximadamente. ¿Cuál es la longitud
de cada lado de la base de la pirámide de
Keops?
7. Javier dice que la longitud
de cada lado de la base de la pirámide de
Micerinos es mayor que la longitud de cada
lado de la base de la pirámide de Keops. ¿Es
razonable el enunciado de Javier? Explica tu
respuesta.
Pirámide de Micerinos
Perímetro de la base:
413,4 metros
Pirámide de Kefrén
Perímetro de la base: 844,8 m
Pirámide de Keops
Perímetro de la base:
907,2 m
Resolución de problemas con supervisión
Capítulo 9 223
Grupo A Convierte la unidad dada.
1. 18 cm 5  m 2. 60 mm 5  m 3. 8 m 5  mm 4. 7 km 5  m
5. 12 cm 5  mm 6. 4,3 km 5  m 7. 3 400 mm 5  cm 8. 900 cm 5  m
9. Miguel necesita 40 decímetros de cuerda para su velero. La cuerda
se vende por metros. ¿Cuántos metros de cuerda necesita Miguel?
Grupo B Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.
1. P 5 19 cm 2. P 5 18 m 3. P 5 20 mm 4. P 5 27 cm
4 m
7 m
3 m
a
b
4,5 mm
7,9 mm
3,6 mm
2 mm
x
3,5 cm 3,5 cm
10 cm
Práctica adicional
2 m
3 m
3 m
7 m
s
1 m
Grupo C Halla el perímetro de cada polígono.
1.
8 cm
6 cm
10 cm
2.
4 m
2 m
3.
1,5 m
1,5 m
1,8 m
3,2 m 4.
10 cm
5. Pedro va a cortar una cuerda para marcar
el perímetro de su jardín. ¿Cuánta cuerda
debe cortar?
Grupo D Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula.
1.
5 cm
2. 3.
4mm
4. 4 m
1 m
5. María va a cortar cinta zigzag para usar
de borde en un mantel cuadrado. ¿Cuánta
cinta debe cortar?
8 m 8 m
15 m
15 m
6 m
2 m
80 cm
224
La vuelta a la manzana
¡Caminantes!
2 jugadores
¡Equipo!
• fichas de 2 colores diferentes
• flecha giratoria con 3 secciones
rotuladas del 1 al 3
• papel cuadriculado
¡A caminar!
Cada jugador elige una ficha de un color
diferente y la coloca en la SALIDA.
Los jugadores hacen girar la flecha giratoria
y mueven su ficha el número de espacios
indicado.
Cada cuadrado contiene un perímetro.
El jugador 1 traza la mayor cantidad de
rectángulos posibles con ese perímetro sobre
papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar
en unidades enteras.
El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo
trazado. Cada rectángulo congruente cuenta
como un solo punto. Por ejemplo, por un
rectángulo de 3 · 4 y un rectángulo de 4 · 3 se
anota 1 punto solamente.
El jugador 2 hace girar la flecha y el juego
continúa.
Después de que cada jugador haya dado
una vuelta a la manzana, gana el que haya
acumulado el mayor número de puntos.
Capítulo 9 225
Comprueba los conceptos
1. Explica cómo puedes estimar el perímetro de un polígono regular.
2. Explica cómo usar papel para calcar, lápiz, un trozo de cuerda y una regla para estimar el perímetro
de un objeto.
Comprueba tus destrezas
Convierte la unidad dada.
3. 24 cm 5  m 4. 5,2 cm 5  mm 5. 6 cm 5  mm 6. 4 m 5  cm 7. 4 km 5  m
Halla el perímetro de cada polígono.
8.
3,5 cm
5,5 cm 9. 8 m 10.
7 mm 7 mm
4 mm
11.
3 m 3 m
5 m
2 m
12. 5 m
2 m
6 m
2 m
Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula.
13.
3 m
6,5 m
14.
9
1
2
m
12
1
2
m
15.
9,5 cm
16.
12 cm
17.
2,2 m
Comprueba la resolución de problemas
Resuelve.
18. Dos rectángulos son congruentes. Si
un rectángulo tiene una longitud de 10
centímetros y un ancho de 2 centímetros, ¿cuál
es el perímetro del otro rectángulo?
19. Un triángulo tiene un perímetro de
12 centímetros. Un cateto tiene una longitud
de 3 metros y el otro cateto tiene una longitud
de 5 metros. ¿Cuál es la longitud del tercer
cateto?
20. Un pentágono regular tiene un lado que mide
12 centímetros. ¿Cuál es su perímetro?
21. La base del Cubo A y la base
del Cubo B tienen el mismo perímetro. ¿Son
congruentes los cubos? Explica tu respuesta.
Repaso/Prueba del capítulo 9
226
Enriquecimiento • Gráficos de red
Inténtalo
Empieza en A. Halla todas las rutas que puedas, incluyendo cada vértice.
Identifica la ruta más corta.
¡Piénsalo!
Explica cómo se usa un gráfico de red para hallar la ruta más corta.
1. 2.
Por lo tanto, la ruta más corta en el gráfico de red de Roberto es ADCB.
Ejemplo
Paso 1
Haz una lista de las diferentes rutas.
Halla la distancia total de cada una.
Paso 2
Compara las distancias.
ABDC 5 35 1 42 1 28 5 105
ABCD 5 35 1 26 1 28 5 89
ADBC 5 31 1 42 1 26 5 99
ADCB 5 31 1 28 1 26 5 85
ACBD 5 44 1 26 1 42 5 112
ACDB 5 44 1 28 1 42 5 114
Un gráfico de red es una figura compuesta de vértices y
aristas. A veces, un gráfico de red se usa para representar
distancias entre lugares.
Roberto trazó esta red para mostrar las distancias
desde su casa (A) a la biblioteca (B), a la
municipalidad (C) y al correo (D). Empezando en A,
halla la ruta más corta que incluya los cuatro lugares.
Casa de
Roberto
Correo
Municipalidad
Biblioteca
Las distancias están en metros.
Capítulo 9 227
Las distancias están en metros.
Las distancias están en metros.
Números y operaciones
1. ¿Qué letra de la recta numérica representa
mejor 2,5?
Patrones y álgebra
6. ¿Cuál es el valor de la expresión?
32 − (8 + 9)
A 3 C 17
B 15 D 49
7. Divide ambos lados de la ecuación entre 7.
¿Cuál es el nuevo valor de cada lado de la
ecuación?
3 + 32 = 42 − 9 + 2
A 5 = 5 C 245 = 245
B 35 = 35 D 249 = 249
10. La ecuación “ Rafa tiene el doble de la
edad de su hermano y al sumar las edades
obtenemos 18.
A x + x = 18 C x + 18 = x
B 2x + x =18 D 2x + 18 = x
Comprensión de los aprendizajes
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones es
equivalente a 0,78?
A C
B D
3 3,2
M L N O
2
19
25
3
4
3
4
39
50
87
100
2
100
78
1000
3. ¿Cuál de los decimales representa ?
A 0,02
B 0,2
C 2,0
D 2,2
4. ¿Olivia vive a de kilómetro de la escuela.
¿Cuál de los siguientes es una fracción
equivalente a ?
A C
B D
5. ¿Qué fracción es equivalente a 0,15?
A C
B D
1
3
6
8
2
3
9
10
7
50
5
20
30
200
15
100
9. La inecuación “La distancia x kilómetros de la
casa de Juan a la estación de metro, es menos
de 5 kilómetros” se representa como:
A x < 5 C x > 245
B x = 5 D x  249
A L C N
B M D O
8. ¿Cuál número convierte en verdadera la
ecuación?
5 +  + 7 = 13 + 7
A 13 C 8
B 7 D 14
228
15. El área de la figura formada es:
A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos
B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos
20. ¿Cuántos estudiantes juegan béisbol?
A 3 C 7
B 5 D 9
11. ¿Cómo se determina el
perímetro de un pentágono regular?
12. ¿Cuántos metros son 3 kilómetros?
A. 300 m
B. 3 000 m
C. 30 000 m
D. 300 000 m
13. La figura tiene un perímetro
de 29 cm. ¿Cuál es el valor de x? Explica
cómo hallaste tu respuesta
2 m x
2 m 3 m
9 m
10 m
14. Al unir los puntos A, B, C, D, ¿cuál es el
perímetro de la figura que se forma?
A. 18 cuadraditos C. 22 cuadraditos
B. 20 cuadraditos D. 24 cuadraditos
Geometría – Medición
A
B C
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Datos y probabilidades
16. Usa el gráfico de barras. ¿En qué mes la
venta de limonada de Seba muestra el mayor
incremento?
A Mayo
B Junio
C Julio
D Agosto
18. ¿Cuántos estudiantes más juegan fútbol que
básquetbol?
17. Ana sacó una ficha del frasco. ¿Cuál opción
muestra la probabilidad de que la ficha que
sacó sea un 2?
A
B
C
D
Venta de limonada de Seba
Mayo Junio Julio Agosto
Limonada vendida
Mes
40
20
0
5
20
30 25
Juegos que practican los estudiantes
Fútbol Básquetbol Béisbol
Número de estudiantes
8
4
2
6
10
12
0
2
8
8
10
2
10
3
10
1
3
2
4
1
3
1
2
5
2
A 3 C 7
B 5 D 9
Capítulo 9 229
CAPÍTULO
75 metros
50
metros
Área
La idea importante Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir.
Investiga
Tienes un terreno rectangular
donde quieres sembrar
frutilla. El terreno mide 75
metros por 50 metros. Imagina
que quieres dividirlo en
secciones más pequeñas.
Describe una manera de
dividir todo el terreno en dos
o más secciones de menor
tamaño, e indica cuáles son
sus áreas.
La frutilla chilena
pertenece a la familia de
los rosáceos, es originaria
de Chile y su cultivo es
anterior a la llegada de los
españoles.
10
230
DATO
BREVE
Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que
se necesitan para completar con éxito el capítulo 10.
u Hallar el área usando papel cuadriculado
Halla el área de cada figura en unidades cuadradas.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
u Multiplicar números de 2 dígitos por números de 1 dígito
Halla el producto.
9. 39 • 6 10. 45 • 3 11. 18 • 7 12. 70 • 4 13. 56 • 8
14. 27 • 5 15. 98 • 6 16. 32 • 2 17. 65 • 7 18. 49 • 5
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
área
base
altura
unidad cuadrada
PREPARACIÓN
área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir
una superficie.
unidad cuadrada Una unidad de área cuyas dimensiones son
de 1 unidad • 1 unidad.
base Un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve
para hallar el área.
Capítulo 10 231
Paso
Paso Paso
ÁLGEBRA
Relacionar el perímetro y el área
OBJETIVO: identificar la relación entre el perímetro y el área.
Problema Los estudiantes de la escuela Valle Central están
pintando un panel rectangular para una obra de teatro. El panel tiene
la mayor área posible para un perímetro de 16 metros. ¿Cuál es la
longitud y el ancho del panel?
Halla la medida que falta.
1. l 5 6 cm
a 5 12 cm
A 5 j
2. l 5 8,2 m
a 5 5,5 m
A 5 j
Actividad
Materiales: papel punteado
Puedes usar cuadrícula para hallar el rectángulo que tenga la mayor área.
Traza rectángulos con perímetros de 16 unidades en el papel punteado.
Halla y registra el área de cada rectángulo. Cada
unidad cuadrada representa 1 m2.
Haz una tabla para registrar la longitud, el ancho,
el perímetro y el área de cada rectángulo. ¿Qué
longitud y qué ancho dan el área mayor?
Longitud (m)
7
Ancho (m)
1
Perímetro (m)
16
Área (m2)
7
Por lo tanto, para tener el área mayor, el panel debe ser un cuadrado de 4 m
de lado. El área es 4 m • 4 m, o 16 m2. El área es el resultado de multiplicar la
longitud por la anchura.
• Si el panel tuviera un perímetro de 12 m, ¿cuáles serían la longitud y el
ancho para que el panel tuviera la mayor área?
• ¿Cuál sería la forma del rectángulo?
Idea matemática
Dado el perímetro, el
área del cuadrado es
mayor que la de cualquier
rectángulo.
1 • 7 2 • 6 3 • 5 4 • 4
A 5 7
1
LECCIÓN
Vocabulario
área
232
Paso
Paso
Longitud (m)
36
j
j
j
j
Ancho (m)
1
2
3
j
j
Perímetro (m)
j
j
j
j
j
Área (m2)
36
36
36
36
36
Longitud (m)
20
10
5
Ancho (m)
1
2
4
Perímetro (m)
42
24
18
Área (m2)
20
20
20
El padre de Ana quiere plantar un jardín y cercarlo con ladrillos. Quiere
usar la menor cantidad posible de ladrillos. El jardín tendrá un área de 36 m2.
¿Qué rectángulo de esta área tendrá el menor perímetro?
Actividad
Materiales: fichas cuadradas, papel cuadriculado
Puedes usar cuadrículas para hallar el rectángulo que tenga el menor perímetro.
Usa fichas cuadradas para crear diferentes
rectángulos que tengan 36 m2 de área. Cada
ficha representa 1 m2. Puedes usar papel
cuadriculado para registrar cada rectángulo.
Copia y completa la tabla para registrar
tus resultados. (PISTA: Para determinar la
longitud y el ancho de todos los enteros
posibles, halla todos los factores de 36.)
Por lo tanto, el menor perímetro es de 24 metros. El jardín debe ser un
cuadrado con lados de 6 metros.
• A medida que los rectángulos de áreas iguales se aproximan a ser
cuadrados, ¿qué pasa con sus perímetros?
Ejemplo
El padre de Ana hizo otro jardín con un área de 20 m2. Usando
solo números naturales, ¿qué rectángulo de esta área tiene el menor
perímetro?
Usa fichas cuadradas y haz una tabla.
Usa factores de 20 para la longitud y
el ancho.
Por lo tanto, el menor perímetro es de 18 metros. La longitud
del rectángulo es de 5 metros y el ancho es de 4 metros.
• ¿Por qué no tiene forma de cuadrado este jardín?
Idea matemática
Dada el área, el
perímetro del cuadrado
es menor que el de
cualquier rectángulo.
Capítulo 10 233
Para 1–3, usa los rectángulos de la derecha.
1. ¿Cuál es el perímetro de cada
rectángulo?
2. ¿Qué rectángulo tiene la mayor área?
3. ¿Cuál es la forma del rectángulo que
tiene la mayor área?
Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo
que tiene la mayor área. Usa solo números naturales.
4. 8 mm 5. 28 m 6. 34 m 7. 10 cm 8. 44 cm
Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que
tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales.
9. 28 cm2 10. 32 km2 11. 64 cm2 12. 54 m2 13. 49 km2
14. Explica qué sucede con el área de un rectángulo
que tiene un perímetro, dado a medida que la diferencia entre la
longitud y el ancho aumenta.
Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo
que tiene la mayor área. Usa solo números naturales.
15. 60 m 16. 54 cm 17. 4 km 18. 100 cm 19. 46 mm
Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que
tiene el menor perímetro. Usa solo números naturales.
20. 40 mm2 21. 9 km2 22. 15 m2 23. 45 cm2 24. 100 cm2
25. Copia y completa la tabla para hallar
el área de rectángulos que tengan
un perímetro de 10 m. Describe los
patrones que ves.
26. Formula un problema sobre una piscina que
tiene una longitud de 40 m y un ancho de 20 m.
27. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse
con 100 metros de material? ¿Y la menor? Usa
números naturales.
28. ¿Cuál es el error? Julián dice
que dado un perímetro, el rectángulo con el
mayor ancho tiene la mayor área. ¿Qué error
cometió Julián?
A B C
Práctica con supervisión
Práctica independiente y resolución de problemas
Ancho (m)
Longitud (m)
Área (m2)
0,5


1


1,5


2


2,5


234
Comprensión de los aprendizajes
Un pentominó es una figura formada por cinco cuadrados.
Cada cuadrado debe estar unido por un lado a otro cuadrado.
A la derecha se muestran dos ejemplos.
¿Tienen todos los pentominós el mismo perímetro?
Materiales papel cuadriculado
Usa papel cuadriculado para trazar por lo menos,
otros tres ejemplos de pentaminós. Luego halla
los perímetros.
En las ilustraciones a la derecha, dos
pentominós tienen un perímetro de 12 unidades,
y un pentominó tiene un perímetro de 10 unidades.
Por lo tanto, no todos los pentominós tienen el
mismo perímetro.
Usa el razonamiento lógico para responder las preguntas.
1. ¿Tienen todos los pentominós la misma área?
Explica tu respuesta.
2. Traza tantos pentominós diferentes como
puedas. Luego muéstraselos a un compañero.
¿Cuántos pentaminós se pueden hacer?
P 5 12 unidades P 5 10 unidades P 5 12 unidades
29. Halla el valor de la expresión.
(5 • m) 1 21 si m 5 12.
30. ¿Cuál es el área del patio?
4,5 m
6 m
3 m
3 m
31. Raúl quiere cercar su jardín con alambre. El
jardín tiene un largo de 3,5 metros y un ancho
de 2,7 metros, ¿cuánto alambre necesitará Raúl?
32. ¿Cuál es la mayor área posible de un rectángulo
que tiene un perímetro de 24 metros?
33. ¿Cuál es el menor perímetro posible de un
rectángulo que tiene un área de 144 metros
cuadrados?
A 12 metros C 50 metros
B 24 metros D 148 metros
A 10 m2
B 24 m2
C 30 m2
D 35 m2
Capítulo 10 235
Usa la estrategia
PROBLEMA El padre de Juan está construyendo un tablero de juegos con 5 filas de
cuadrados de dos centímetros. Empieza con una fila de 3. Cada una de las filas siguientes
tiene 2 más que la anterior. ¿Cuál es el área de la 5a fila del tablero?
Estrategia: comparar estrategias
OBJETIVO: comparar distintas estrategias para resolver problemas.
• ¿Cómo sabes que la respuesta es correcta?
• ¿Cómo puedes usar cada estrategia para resolver el problema?
Hacer un diagrama Buscar un patrón
fila 5 2 cm
fila 4
fila 3
fila 1
fila 2
Fila
Cantidad de
ladrillos
Área (cm2)
1
12
2
20
3
28
4
36
5
?
18 18 18 18
3 5 7 9 11
área de 1 cuadrado: 2 · 2 5 4 cm2
área de 11 cuadrados en la 5a fila: área de cuadrados de la 5a fila:
4 · 11 5 44 cm2 36 1 8 5 44 cm2
Por lo tanto, el área de la 5a fila del tablero es de 44 cm2.
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes usar más de una estrategia para resolver un problema.
Usa las estrategias hacer un diagrama y buscar un patrón.
• ¿Qué visualizas cuando lees el problema?
• ¿Qué información se da?
2
LECCIÓN
236
ESTRATEGIA
ELIGE UNA
5 m huerta
jardín de
hierbas
jardín
de rosas
12 m
9 m
9 m
1. Raquel está construyendo una pared con 6 filas de bloques cuadrados.
La fila inferior tiene 17 bloques. Cada una de las
demás filas tiene 3 bloques menos que la anterior. El lado
de cada bloque es de 10 centímetros. ¿Cuál es el área de la fila
superior?
Primero, haz un diagrama para resolver el problema. Traza
los bloques de cada fila. Halla el área de 1 bloque. Luego
multiplica esa área por la cantidad de bloques de la fila superior.
10 cm
10 cm
fila superior
fila 5
fila 4
fila 3
fila 2
fila inferior
Luego, busca un patrón para resolver el problema. Haz una tabla
y registra la cantidad de bloques de cada fila. Halla el área de cada una
de las 3 primeras filas y busca un patrón.
Fila
Cantidad de bloques
Área (cm2)
inferior
17
1 700
2
14
1 400
3
11

4


5


superior


Por último, compara las respuestas que hallaste usando las dos
estrategias.
2. ¿Qué pasaría si cada fila tuviera 2 bloques menos que la anterior?
¿Cuál sería el área de la fila superior?
3. En el centro de un jardín hay 5 cajas rectangulares de flores dispuestas
en una fila. La primera caja de flores tiene 24 cm de longitud y 4 cm
de ancho. Todas las cajas de flores tienen la misma longitud, pero cada
una es 2 centímetros más ancha que la anterior. ¿Cuál es el perímetro
de la quinta caja de flores?
Práctica de estrategias mixtas
USA DATOS Para 4–5, usa el diagrama.
4. El área total de los jardines es de 366 m2. ¿Cuál es el área del jardín
cuadrado de hierbas? ¿Cuál es el perímetro del jardín de hierbas?
5. Pamela plantó otros 6 jardines de rosas como el del diagrama. Cada
jardín es un cuadrado cuya longitud en uno de sus lados mide 1 metro
menos que la del jardín anterior. ¿Cuál es el área de los siete jardines
de rosas?
6. Carlos pagó $ 8 700 por una estatua y una fuente. La
estatua le costó $1 500 más que la fuente. Explica cómo puedes hallar
el precio de cada artículo que compró Carlos. ¿Cuánto costó cada
artículo?
Hacer un diagrama o dibujo
Hacer una representación o
una dramatización
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hasta el
principio
Resolver un problema más
sencillo
Escribir una ecuación
Usar el razonamiento lógico
Resolución de problemas con supervisión
Capítulo 10 237
Representar el área
de los triángulos
OBJETIVO: representar el área de triángulos.
Materiales ■ papel cuadriculado en centímetros ■ regla
Puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el
área de un rectángulo para hallar el área de un triángulo.
Traza un rectángulo de 6 • 15 en el papel cuadriculado.
Recorta el rectángulo, halla su área y regístrala.
Traza una diagonal en el rectángulo. Corta por la línea
para formar dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el
área de cada triángulo?
Repite los Pasos A a C con un rectángulo de 8 • 18.
¿Cuál es el área de cada nuevo triángulo?
Sacar conclusiones
1. Explica cómo hallaste el área de cada triángulo.
2. ¿Resultan siempre dos triángulos congruentes al trazar
una diagonal en un rectángulo? Explica tu respuesta.
3. Aplicación ¿Cómo se compara el área de uno de los
triángulos con el área del rectángulo?
1. 1__
2
• 8 2. 1__
2
• 20
3. 1__
2
• 15 4. 1__
2
• 4,2
5. 1__
2
• (2 • 5)
3
238
Puedes usar papel cuadriculado para hallar el área de cualquier triángulo.
Por lo tanto, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo.
Traza y sombrea una
representación de un triángulo
dentro de un rectángulo.
Recorta el rectángulo y luego
recorta el triángulo sombreado.
Coloca las partes del rectángulo
que no están sombreadas sobre
el triángulo sombreado. ¿Qué
notas?
La fórmula para el área de un
rectángulo es A 5 l • a. ¿Qué
fórmula podrías usar para el
área de un triángulo?
Usa el rectángulo a la derecha para 1–3.
1. ¿Cuántas unidades de longitud tiene el rectángulo? ¿Cuántas
unidades de ancho tiene?
2. ¿Cuál es el área del rectángulo en unidades cuadradas?
3. ¿Cuál es el área de cada triángulo en unidades cuadradas?
Halla el área de cada triángulo sombreado en centímetros cuadrados.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. Explica cómo usar un rectángulo para hallar el área de un triángulo.
Paso Paso Paso
Capítulo 10 239
Paso Paso Paso
Actividad Materiales: ■ papel cuadriculado ■ tijeras
Álgebra
Área de los triángulos
OBJETIVO: Hallar el área de los triángulos.
PROBLEMA ¿Cuánto material se necesita para hacer un
estandarte triangular de 6 m de base y 4 m de altura?
Halla la suma.
1. 1__
2
• 4 2. 1__
2
• 21
3. 1__
2
• 16 4. 1__
2
• 4 • 2
5. 1__
2
• 3 • 4
Vocabulario
altura base
Traza y sombrea una
representación del
estandarte.
altura = 4 m
base = 6 m
La altura es la longitud de
un segmento perpendicular
a la base del triángulo.
Traza un rectángulo
alrededor del triángulo, como
se muestra en la figura. Halla
el área del rectángulo.
altura
= 4 m
base = 6 m
Rectángulo:
A 5 b (base) • h (altura)
A 5 6 • 4 5 24
Recorta el rectángulo. Córtalo
por la mitad para formar dos
triángulos congruentes.
El área de cada triángulo
es la mitad del área del
rectángulo.
Triángulo:
A 5 _ 1_
2
• (b • h)
A 5 _ 1_
2
• 24 5 12
Por lo tanto, la cantidad de material necesaria para el estandarte es de 12 m2.
Más ejemplos Usa la fórmula.
Halla el área.
altura
= 3 cm
base = 5 cm
A 5 _ 1_
2
• (b • h)
A 5 _ 1_
2
• (5 • 3) 5 7,5
El área es de 7,5 cm2.
Halla el área.
altura
= 4 m
base = 5 m
A 5 _ 1_
2
• (b • h)
A 5 _ 1_
2
• (5 • 4) 5 10
El área es de 10 m2.
Halla el área de cada triángulo. 1.
altura
= 6 m
base = 9 m
2. altura
= 5 cm
base = 8 cm
Idea matemática
Puedes usar la fórmula
A 5 2_1 • (b • h) para hallar el
área de cualquier triángulo.
Aprende
Práctica con supervisión
4
LECCIÓN
240
Comprensión de los aprendizajes
Halla el área de cada triángulo.
3.
altura =
5 unidades
base = 5 unidades
4.
base = 8 unidades
altura = 5 unidades 5. altura = 5 unidades
base = 7 unidades
6. Explica la relación entre el área de un rectángulo y el
área de un triángulo.
Halla el área de cada triángulo.
7. altura = 3 unidades
base = 7 unidades
8. altura = 5 unidades
base = 6 unidades
9.
altura =
4 unidades
base = 7 unidades
10. base (b) 5 14 m 11. base (b) 5 7 cm 12. base (b) 5 6 m
altura (h) 5 8 m altura (h) 5 11 cm altura (h) 5 10 m
Área (A) 5  Área (A) 5  Área (A) 5 
Para 13–14, usa el diagrama.
13. Para completar el centro del patrón, Natalia compró baldosas
blancas del mismo tamaño y de la misma forma que las baldosas
moradas. ¿Cuántas baldosas blancas compró?
14. Razonamiento Las baldosas del patrón son triángulos isósceles
rectángulos. Los dos lados más cortos de cada triángulo miden 1
decímetro cada uno. Estima el área de la parte morada.
15. ¿Cuál es el error? Un triángulo tiene una base
de 4 m y una altura de 8 m. Paula dice que su área es de 32 m2.
Describe y corrige su error.
16. Tomás está pintando un cartel de 4 m por
4 m. ¿Cuál es su área?
17. ¿Cuál es el perímetro de un cuarto de 12 m
por 15 m?
18. Una bandera triangular tiene una base de 5
metros y un área de 25 m2. ¿Cuál es la altura
de la bandera?
A 5 m C 15 m
B 10 m D 20 m
Práctica independiente y resolución de problemas
Capítulo 10 241
Paso Paso Paso
Recuerda
Álgebra
Área de los paralelogramos
OBJETIVO: Hallar el área de los paralelogramos.
PROBLEMA El perro de Julia va a un
corral para perros que tiene la forma de un
paralelogramo. El corral está cubierto de
arena. Una bolsa de arena cubre 1 metro
cuadrado. ¿Cuántas bolsas de arena se
necesitan para cubrir el corral?
Las longitudes de la base y de la altura del
corral aparecen a continuación. Halla el área
del paralelogramo.
base 9 m
altura 6 m
Un paralelogramo
es un cuadrilátero
cuyos lados opuestos
son paralelos y
congruentes.
Usa el área de un rectángulo.
Para hallar el área de un paralelogramo puedes usar papel cuadriculado y lo
que sabes sobre el área de un rectángulo.
Por lo tanto, se necesitan 54 bolsas de arena para cubrir el corral para perros.
• ¿Cómo se relacionan la base y la altura del paralelogramo en el Paso 1 con
la longitud y el ancho del rectángulo en el Paso 3?
Traza un diagrama del
paralelogramo sobre papel
cuadriculado y recórtalo. Traza
un segmento para formar un
triángulo rectángulo como el
de la ilustración.
Cuenta los cuadrados de la
cuadrícula para hallar el área
del paralelogramo.
Hay 6 hileras de 9 cuadrados,
o 54 cuadrados.
Recorta el triángulo rectángulo
de la izquierda y muévelo a la
derecha del paralelogramo para
formar un rectángulo.
Halla el área de cada
rectángulo.
1. 5 km • 11 km
2. 4 dm • 12 dm
3. 6,2 cm • 5,3 cm
4. 10, 5 m • 13 m
5. 35 km • 40 km
Aprende
5
LECCIÓN
242
Paso Paso Paso
ADVERTENCIA
ADVERTENCIA
ADVERTENCIA
ADVERTENCIA
A 5 b • h
A 5 6 • 4
A 5 24
4 m
6 m
El área es de
24 m2.
A 5 b • h
A 5 6,2 • 5,4
A 5 33,48
5,4 cm
6,2 cm El área es de 33,48 cm2.
Halla el área de un triángulo.
A 5 _ 1_
2
• 11 • 5
A 5 27,5
El área de los dos triángulos es
2 3 27,5 o 55 m2.
Por lo tanto, el área del corral para perros sería 55 m2.
• ¿Cómo se relaciona el área de cada triángulo con el área del
paralelogramo?
Usa el área de un triángulo.
¿Cuál sería el área del corral para perros si la base fuera de 11 metros y la
altura fuera de 5 metros?
Traza un paralelogramo de
5 m • 11 m en papel cuadriculado
y recórtalo.
Corta el paralelogramo por
una diagonal para formar dos
triángulos congruentes.
11 m
El lado inclinado de un
paralelogramo no es su
altura. La altura debe
formar un ángulo de 90°
con la base.
Escribe la base y la altura de cada paralelogramo. Luego,
halla su área en unidades cuadradas.
1. 2.
3.
El área de un paralelogramo es igual al área de un
rectángulo que tenga la misma base (longitud) y la misma
altura (ancho).
Área de un rectángulo 5 longitud • ancho A 5 l • a
Área de un paralelogramo 5 base • altura A 5 b • h
Más ejemplos Halla el área.
Práctica con supervisión
Capítulo 10 243
10,2 cm
12,4 cm
45 m
51 m
Halla el área de cada paralelogramo.
8.
4 km
7 km
9. 10.
11. 12. 13.
Halla el área de cada paralelogramo.
4. 5. 6.
7. Compara el área de un rectángulo de 5 cm de longitud y 6 cm
de ancho con el área de un paralelogramo con una base de 5 cm y una
altura de 6 cm.
14. Un patio de juegos tiene la forma de un
paralelogramo con una base de 34 m y una
altura de 20 m. El patio de juegos está dividido
en dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área
de cada triángulo?
16. DATO BREVE La región del Maule tiene
más o menos la forma de un paralelogramo.
Tiene aproximadamente 30 469,1 km2 de
área o superficie. Estima la base si su altura es
aproximadamente 180 km.
17. ¿Cuál es la pregunta? La base
de un paralelogramo es 7 m. El área es 28 m2.
La respuesta es 4 m.
15. Razonamiento La base de un paralelogramo
es el doble de su altura. Si la base es de
12 cm, ¿cuál es su área?
Superficie Región del Maule 30 469,1 km2
p Región del Maule
Talca
Curicó
Cauquenes
Linares
8 cm
12 cm
6 m
5 m
15 cm
15 cm
Práctica independiente y resolución de problemas
9 m
421 m
244
Comprensión de los aprendizajes
Paso Paso
18. Empieza en el origen. Avanza 8 unidades
hacia arriba y luego desciende 3 a la derecha
y por último desciende 6 unidades. ¿Qué par
ordenado está representado?
19. Una vela triangular tiene una base de 5 metros
y una altura de 6 metros. ¿Cuál es el área?
20. Gina está haciendo un cubo de madera hueco.
Ya cortó 4 piezas cuadradas de madera para las
caras del cubo. ¿Cuántas piezas más necesita?
21. El área de un paralelogramo es de 112 km2. La
altura es de 7 kilómetros. ¿Cuál es la longitud
de la base?
A 16 kilómetros C 392 kilómetros
B 56 kilómetros D 784 kilómetros
22. ¿Cuál es el área de toda la figura si está dividida
en dos paralelogramos congruentes?
A 74 cm2 C 840 cm2
B 420 cm2 D 1 680 cm2
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Para hallar el área de un trapecio puedes usar papel
cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un paralelogramo.
Usa los trapecios para contestar las preguntas.
Ordena los trapecios para formar un
paralelogramo.
1. ¿Cuánto mide la base del paralelogramo?
3. ¿Cómo se relacionan las áreas de los trapecios
con el área del paralelogramo?
2. ¿Cuál es el área del paralelogramo?
4. Halla el área de un trapecio. Explica cómo
hallaste tu respuesta.
Traza estos dos trapecios idénticos sobre papel
cuadriculado. Rotúlalos y recórtalos.
5. La fórmula del área de un trapecio es Área 5 1_2 • altura • (base 1 1 base 2).
Usa la fórmula para verificar el área de cualquiera de los trapecios.
14 cm
30 cm
Capítulo 10 245
Grupo A Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área.
Usa solo números naturales.
1. 20 m 2. 18 cm 3. 32 mm 4. 40 km 5. 30 cm
Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene
el menor perímetro. Usa solo números naturales.
6. 14 cm2 7. 24 m2 8. 18 cm2 9. 42 mm2 10. 36 km2
11. Carla tiene una tira de flecos de 24 metros de
longitud que planea usar en el borde de una
pieza de tela rectangular. ¿Cuál es la longitud y
el ancho del rectángulo de mayor área?
12. ¿Cuál es el área del patio de juegos?
13. María está diseñando un tapiz rectangular de 3 m2 de
área para la pared. Quiere usar la menor cantidad posible
de hilo dorado para el borde. ¿Qué rectángulo tendrá el
menor perímetro?
Práctica adicional
Grupo B Halla el área de cada triángulo.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
8 m
10 m
12 m
16 m
18 cm
24 cm
5 m
12 m
8 mm
10 mm
12 cm
246
7. La vela triangular de un barco tiene una base de
1 metro y una altura de 3 metros. ¿Cuál es el
área de la vela?
8. Otra embarcación tiene una bandera triangular
en el extremo del mástil. La bandera tiene una
base de 30 centímetros y una altura de
15 centímetros. ¿Cuál es el área de la bandera?
Grupo C Halla el área de cada paralelogramo.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
6 cm
24 cm
15 cm
3 m
9 m
10,2 m
8 m
15 cm
3,5 mm
10,5 mm
7. Un patio tiene forma de paralelogramo. Su base es de 7 metros y
su altura es de 4 metros. ¿Cuál es el área del patio?
7 m
4 m
Capítulo 10 247
19. Julia usó piezas de tela cuadradas de 3 cm
para hacer un patrón. La primera hilera tenía
3 piezas. Cada una de las demás hileras tenía
3 piezas más que la hilera de arriba. ¿Cuál es el
área de la cuarta hilera de piezas de tela?
Vocabulario
área
base
altura
Comprueba el vocabulario y los conceptos
Para 1–2, elige la mejor palabra del recuadro.
1. El ____________ de una figura es el número de unidades cuadradas
necesarias para cubrirla.
2. La longitud de un segmento perpendicular a la ____________ de un triángulo
es la altura.
Comprueba tus destrezas
Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado
de la cuadrícula mide 1 cm2.
3. 4. 5.
Halla el área de cada figura.
6.
13
8
7. 8. 9.
6 cm
7 cm
9 cm
3,5 cm
Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo
de mayor área. Usa solo números enteros.
10. 12 mm 11. 34 km 12. 14 cm 13. 20 cm 14. 24 m
Halla el área de cada triángulo o paralelogramo.
15. 4 m
6 m
16. 17.
10 cm
18.
12 mm
6 mm
Comprueba la resolución de problemas
Resuelve.
Repaso/Prueba del capítulo 10
20. Explica cómo podrías hallar el
área de las piezas de un patrón como el del
Ejercicio 19, pero con 6 hileras. ¿Cuál es el
área?
6 cm
11 cm
m
m
3,5 cm
15 mm
15 mm
12,2 cm
248
14 3 12 5 168
10 3 8 5 80
168 2 80 5 88
Enriquecimiento • Hallar el área
complejas
¡Piénsalo!
Maca quiere empapelar la pared de una tienda de 8 metros
por 12 metros. La pared tiene una ventana cuadrada. Un lado de la
ventana es de 3 metros. ¿Cuánto papel necesita? Explica cómo hallaste la
respuesta.
Áreas
El área es el número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir
una superficie. El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud
por el ancho: A 5 l • a. Algunas veces solo es necesario hallar una parte del
área total.
Ejemplo
Raúl está poniendo baldosas decorativas en
los bordes de un piso. La parte sombreada del
diagrama muestra el área que se cubrirá con
baldosas. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas
decorativas necesita Raúl?
Por lo tanto, Raúl necesita 88 m2 de baldosas.
Inténtalo
1. El diagrama muestra la pared que Ana quiere empapelar. Las áreas
blancas son ventanas que tienen 3 metros de largo y 2 metros de
ancho. ¿Cuánto papel de empapelar necesitará Ana?
2. David está pintando el decorado para una obra. La parte sombreada
del diagrama será de color verde. Cada cuadrado tiene 2 metros
por 2 metros. ¿Qué parte del decorado será verde? ¿Qué parte será
amarilla?
8 m 14 m
9 m
14 m
13 m
10 m
8 m
12 m
14 m
10 m
8 m 14 m
9 m
14 m
13 m
10 m
Paso 1
Halla el área de todo el piso.
Paso 2
Halla el área del piso que no se cubrirá con
baldosas.
Paso 3
Resta. La diferencia es el área de la parte
sombreada del diagrama.
Capítulo 10 249
Opción múltiple
1. ¿Qué par de líneas parecen ser
perpendiculares?
A
B
C
D
2. ¿Cuál de las siguientes figuras parece ser
congruente con esta figura?
A
B
C
D
3. ¿Qué enunciado acerca de esta figura es
verdadero?
A La figura no tiene simetría
B La figura solo tiene simetría axial
C La figura está rotada
D La figura no tiene simetría
4. ¿Cuál es la mejor estimación del perímetro del
trapecio?
1 cm
1,25 cm
0,75 cm 0,75 cm
A 2 centímetros C 6 centímetros
B 4 centímetros D 8 centímetros
5. El perímetro de la siguiente figura es de
132 cm. ¿Cuál es la longitud del lado
desconocido?
20 cm
46 cm
23 cm
23 cm
X
5 cm
A 15 cm C 20 cm
B 18 cm D 22 cm
6. Jacinta está cosiendo una bandera para un
edificio oficial. ¿Cuánto material necesitará para
hacer una bandera triangular con una
base de 5 metros y una altura de 7 metros?
A 6 metros cuadrados
B 12 metros cuadrados
C 17,5 metros cuadrados
D 35 metros cuadrados
Repaso/Prueba de la unidad
5 m
7 m
250
7. ¿Cuál es el área total de la caja formada por el
siguiente patrón?
A 31 unidades cuadradas
B 50 unidades cuadradas
C 62 unidades cuadradas
D 75 unidades cuadradas
8. Se pondrá una cerca de alambre, con cuatro
corridas, a un terreno rectángular. ¿Cuánto
alambre se necesita?
Respuesta breve
10. Halla el perímetro del pentágono en
centímetros.
24 m
13 m
1,8 cm
1,8 cm
1,8 cm 1,8 cm
1,8 cm
A 37 metros C 148 metros
B 74 metros D 296 metros
9. Romina va a pintar una pared en su dormitorio
que mide 5 metros de largo y 3 metros de
ancho. Un tarro de pintura alcanza para 5 m2.
¿Cuántos tarros tiene que comprar Romina?
A 5 tarros C 3 tarros
B 4 tarros D 2 tarros
11. Renato quiere envolver con papel de regalo
una caja que mide 11 centímetros • 14 cm • 3 cm.
¿Qué unidades debe usar para decidir cuánto
papel de regalo necesita? ¿Cuánto papel de
regalo necesita Renato? Muestra tu trabajo.
Respuesta desarrollada
15. Imagina que tienes que elegir uno de los
lingotes planos de oro que se muestran en
la tabla. Cada uno tiene el mismo perímetro
y grosor. Quieres el lingote más grande, el
que tenga la mayor área. ¿Cuál lingote de
oro deberías elegir? Explica tu razonamiento.
Verdadero o falso
Escribe una V si es verdadero o una F si es falso
cada enunciado.
12. ______ El perímetro de un triángulo equilátero
de 15 cm por lado es 40 cm.
13. ______ Un cuadrado de área 64 cm2, sus lados
miden 8 cm cada uno.
14. ______ Todo polígono regular posee simetría
axial.
Lingote
de oro
A
B
C
Longitud
(en cm)
5
4
3
Ancho
(en cm)
Perímetro
(en cm)
12
12
12
Área (en
cm2)
16. En la siguiente figura, EFGH es un
paralelogramo. Si el área del triángulo EFH es
de 18 cm2, ¿cuál es el área de EFGH? Explica
tu respuesta.
Capítulo 10 251
De aquí y
de allá
Resolución
de problemas
A L M A N A Q U E P A R A E S T U D I A N T E S
252
Juegos de agua
Construidos para estremecer
Has estado alguna vez en un parque
acuático? En Chile hay aproximadamente
20 parques acuáticos.
Thermas Internacional es uno de los parques
acuáticos más grandes de Chile. Se ubica en la
ciudad de Til til, al norte de la Región
Metropolitana. Cuenta con más de diecisiete
piscinas, súper toboganes y otras atracciones.
1 Seis pistas de toboganes con circuitos de más de 1 200 metros de emocionantes
caídas y adrenalina los transportan sinuosamente hasta cuatro refrescantes
piscinas hexagonales. ¿Cuántos centímetros de longitud tienen las seis pistas de
toboganes?
2 Original Castillo Acuático Medieval con más de 500 m² de espectaculares
piscinas, espejos de agua y una mini piscina para niños de hasta 5 años. ¿Qué
longitud y qué ancho puede tener el Castillo?
3 El espacio necesario para construir el Castillo se llama planta. Supongamos que
la planta del Castillo tiene las medidas mostrada en la figura.
Usa la planta que se
encuentra en la derecha
para estimar su perímetro.
4 Explica cómo
cambiarías los números
si estimaras el área en
centímetros.
¿
50 metros
10 metros
Planta
Capítulo 10 253
¡Hacer olas!
uchos parques acuáticos tienen piscinas
de olas, al igual que juegos acuáticos. Las
piscinas de olas más grandes del mundo miden
desde los 75 000 a los 140 000 metros cuadrados.
¡Las bombas hidráulicas pueden crear olas que
miden 9 metros de altura, permitiendo a las
personas practicar surf en una piscina de olas!
Ubicada en Wild Water Adventure, Blue
Wave es la piscina de olas más grande de
California (EE. UU.), con una capacidad de
más de un millón de galones de agua.
Diseña un área de chapoteo para una piscina de olas. Una de las
piscinas más grandes contiene 350 000 litros de agua, lo que es
igual a 700 m3 cúbicos aproximadamente. El área de chapoteo
de tu piscina debe tener una planta rectangular o triangular. Asegúrate de que tenga
la misma profundidad en todas partes.
u ¿Qué pasaría si el área de chapoteo de tu
piscina de olas fuera larga y angosta y tuviera
la misma profundidad en todas partes? ¿Qué
tan cerca estarías de tener una piscina de olas
con un volumen de 700 m3?
u ¿Cuáles serían las dimensiones si mantuvieras
una profunidad de 2 metros pero convirtieras
el área de chapoteo de la piscina en un
cuadrado?
M