PERIMETRO , AREA Y VOLUMEN EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 7–SEPTIMO AÑO PDF

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• Analizar figuras en dos y tres
dimensiones.
, Perímetro de rectángulos y paralelogramos.
, Volumen de prismas y pirámides.
Volumen de prismas rectos y pirámides
• Identificar y usar el milímetro cúbico, centímetro cúbico
y metro cúbico como unidades de volumen.
• Determinar y aplicar fórmulas para el cálculo de volúmenes
de prismas rectos de base rectangular y triangular.
• Calcular el volumen de cuerpos que pueden descomponerse
en prismas rectos de base rectangular y triangular.
• Resolver problemas que involucran cálculos de volumen.
LABORATORIO Explorar cambios de dimensiones.
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Los artistas y los arquitectos toman medidas
cuidadosamente para construir figuras
tridimensionales, como la pirámide del museo de
Louvre, en París, Francia.
En el mundo real
decimal
denominador
fracción
décimas
centésimas
numerador
¿Estás listo?
Vocabulario
Elige el término de la lista que complete mejor cada enunciado.
1. Un(a) es un número que representa una parte de un
entero.
2. Un(a) es otra forma de escribir una fracción.
3. Para multiplicar 7 por la fracción 2
3 , multiplica 7 por el/la
de la fracción y luego divide el resultado entre el/la de
la fracción.
4. Para redondear 7,836 a la décima más cercana, observa el dígito
que está en el lugar de los/las .
Resuelve los ejercicios para practicar las destrezas que usarás en este capítulo.
Números elevados al cuadrado y al cubo
Evalúa.
5. 162 6. 93 7. (4,1)2 8. (0,5)3
9. (1
4 )2
10. (2
5 )2
11. (1
2 )3
12. (2
3 )3
Multiplicar con fracciones
Multiplica.
13. 1
2 (8)(10) 14. 1
2 (3)(5) 15. 1
3 (9)(12) 16. 1
3 (4)(11)
17. 1
2 (82)16 18. 1
2 (52)24 19. 1
2 (6)(3 + 9) 20. 1
2 (5)(7 + 4)
Multiplicar con decimales
Multiplica. Escribe cada respuesta a la décima más cercana.
21. 2(3,14)(12) 22. 3,14(52) 23. 3,14(42)(7) 24. 3,14(2,32)(5)
Multiplicar con fracciones y decimales
Multiplica. Escribe cada respuesta a la décima más cercana.
25. (3,14)(52)(7) 26. 1
3 (3,14)(53)
27. 1
3 (3,14)(3,2)2(2) 28. 4
3 (3,14)(2,7)3
29. 1
5 (22
7 )(42)(5) 30. 4
11(22
7 )(3,23)
31. 1
2 (22
7 )(1,7)2(4) 32. 7
11(22
7 )(9,5)3
De dónde vienes
En este capítulo
Antes
· Construiste y comparaste triángulos de
acuerdo a la medida de sus lados y/o
ángulos.
· Comprendiste el concepto de área de
superficie en cubos y paralelepípedos.
· Calculaste la superficie de cubos
y paralelepípedos expresando el
resultado en cm2 y m2.
Estudiarás
· Cómo hallar el perímetro de
paralelogramos.
· Cómo describir los efectos
en el perímetro cuando las
dimensiones de una figuran cambian
proporcionalmente.
· Cómo hallar el volumen de prismas y
pirámides.
· Cómo describir el efecto en el
volumen cuando las dimensiones
de un cuerpo geométrico cambian
proporcionalmente.
A dónde vas
Puedes usar las destrezas aprendidas en
este capítulo
· Para determinar la cantidad de
materiales necesarios para construir
una casa para el perro.
· Para convertir las dimensiones de un
modelo a dimensiones del mundo real.
Vocabulario
Conexiones de
vocabulario
Considera lo siguiente para familiarizarte con
algunos de los términos de vocabulario del
capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario
o un diccionario si lo deseas.
1. El prefijo peri- significa “alrededor” y la raíz
metro significa “manera de medir”. ¿Qué
supones que significa perímetro?
2. Cuando hablamos de altura nos referimos
a la medida vertical de un objeto o cuerpo.
¿Cómo relacionas este concepto con la
altura en geometría?
3. Ya conoces lo que es un cubo (figura
tridimensional). ¿Qué podrías inferir que se
trata de definir al hablar de unidad cúbica?
perímetro
altura
unidad cúbica
volumen
Guía de estudio: Vistazo previo C
A P Í T U L O 5 Vistazo previo
C A P Í T U L O 5
Inténtalo
Estrategia de estudio: Prepárate para la prueba final
Matemáticas es una materia acumulativa; por lo tanto, tu prueba abarcará todo lo que
aprendiste desde el comienzo del curso. La clave para alcanzar el éxito en la prueba es estar
preparado.
1. Crea una línea cronológica que usarás para estudiar para tu prueba final.
Leer y escribir matemáticas
Sábado Viernes Jueves Miércoles Martes Lunes Domingo
Sábado Viernes Jueves Miércoles Martes Lunes Domingo
Sábado Viernes Jueves Miércoles Martes Lunes Domingo
Sábado Viernes Jueves Miércoles Martes Lunes Domingo
prueba
nal
prueba
nal
prueba
nal
prueba
nal
prueba
nal
2 semanas antes de la prueba final
• Repasar las notas y el vocabulario de las lecciones.
• Repasar exámenes y tareas anteriores; volver a
resolver problemas que resolví incorrectamente o
que dejé sin completar.
• Hacer una lista de todas las fórmulas, reglas y
pasos importantes.
• Crear una prueba de práctica con problemas
del libro similares a los problemas de pruebas
anteriores.
1 semana antes de la prueba final
• Tomar la prueba de práctica y revisarla; por cada
problema que responda mal, hallar dos o tres
problemas similares y resolverlos.
• Leer la Guía de estudio: Repaso de cada capítulo.
• Preguntarme o preguntarle a un amigo sobre las
fórmulas y los puntos principales de mi lista.
1 día antes de la prueba final
• Asegurarme de tener lápices y calculadora (¡Y de
que la calculadora tenga pilas!).
• Repasar por última vez cualquier área problemática.
La colcha de retazos conmemorativa por las
víctimas del sida de la Fundación Proyecto
NAMES es un tributo a los que murieron a
causa del sida. Esta colcha contiene más de
91 000 nombres escritos en más de
46 000 paneles rectangulares que miden
3 m por 6 m. Para hallar el tamaño de la
colcha, debes hallar el perímetro y el área
de un rectángulo.
Cualquier lado de un rectángulo o
paralelogramo puede ser su base. La
altura se mide a lo largo de una línea
perpendicular a la base.
Aprender a
hallar el perímetro
de rectángulos y
paralelogramos.
Vocabulario
perímetro
altura
EJEMPLO 1 Hallar el perímetro de rectángulos y paralelogramos
Halla el perímetro de cada figura.
5–1 Perímetro de rectángulos
y paralelogramos
C A P Í T U L O
A
B
P = 6 + 6 + 4 + 4 Suma las longitudes de todos los lados.
= 20 cm
o P = 2b + 2h Perímetro del rectángulo
= 2(6) + 2(4) Sustituye b por 6 y h por 4.
= 12 + 8 = 20 cm
P = 5 + 5 + 7 + 7 = 24 m Suma las longitudes de todos los lados.
¡Atención!
A veces, los
términos longitud
(l) y ancho (a) se
usan en lugar de
base (b) y altura
(h). Por lo tanto,
la fórmula para
hallar el perímetro
de un rectángulo
se puede escribir
como
P = 2b + 2h =
2l + 2a = 2(l + a).
El perímetro es la distancia alrededor del contorno de una figura. Para hallar el
perímetro de una figura, suma las longitudes de todos sus lados.
Rectángulo Paralelogramo
7 m
5 m
6 cm
4 cm
Base
Altura
Base
Altura
Lado
EJEMPLO 2 Usar una gráfica para hallar el perímetro
Representa gráficamente y halla el perímetro de cada figura con los
vértices dados.
A
B
(–3, –2), (3, –2),
(3, 1), (–3, 1)
P = a + a + b + b Perímetro
del rectángulo
= 3 + 3 + 6 + 6 Sustituye a por
3 y b por 6.
= 18 unidades
P = a + a + b + b Perímetro
del rectángulo
= 6 + 6 + 4 + 4 Sustituye a por
6 y b por 4.
= 20 unidades
(–3, –2), (3, –2),
(3, 1), (–3, 1)
Pista útil
La fórmula para
hallar el perímetro
de un paralelogramo
también se puede
escribir como
P = 2a + 2b.
EJEMPLO 3 Hallar el perímetro de una figura compuesta
Halla el perímetro de la figura
La longitud del lado que no está rotulado es igual a la longitud del lado
opuesto, 2m.
P = 3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 2 + 2
= 32 m
x
y
(–3, –2) (–3, 2)
(–3, 1)( 3, 1) ) b
a
b
a
x
y
(–2, –4) (3, –4)
(–2, 0 3, 0) ) )
a
b
2m
2m
2m
2m
4m
5m
3m 3m
3m
3m
1m
Razonar y comentar
1. Indica cómo el conocimiento del cálculo de perímetro te puede ser
de utilidad para la vida cotidiana, por ejemplo, en el campo.
2. Explica en qué caso es posible calcular el perímetro de un
cuadrilátero conociendo la medida de sólo uno de sus lados.
5–1 Ejercicios
1
2
2
3
3
1
Representa gráficamente y halla el perímetro de cada figura con los vértices dados.
4. (–2, –3), (–2, 0), (4, 0), (4, –3)
5. (–2, 3), (0, 3), (0, –4), (–2, –4)
Representa gráficamente y halla el perímetro de cada figura con los vértices dados.
10. (–1, –1), (–1, –6), (2, –6), (2, –1)
11. (3, –2), (6, –2), (6, 2), (3, 2)
6. Halla el perímetro de la figura.
12. Halla el perímetro de la
figura.
Halla el perímetro de cada figura.
7. 8. 9.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
PRÁCTICA Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Halla el perímetro de las figuras.
13. 14.
Halla el perímetro de cada figura.
1. 2. 3.
9 cm
5 cm 8 mm
10 mm
4.6x m
1.5x m
5 m
2 m
2 m
7 m
3 m
3 m
2 m
1 m
13 cm
8 cm 3,0 cm
0,9 cm
5x m
8x m
7 cm
12 cm
8 cm
6 cm
4 cm
2 cm
4 cm 3 cm
9
23
x 52
x
1 m
Halla el perímetro de cada figura.
15. 16.
17. Observa las siguientes figuras e indica cuál de ellas, a tu juicio, tiene un
perímetro mayor.
20. ¿Cuál es la pregunta? Un rectángulo tiene una base de 6 mm y una altura de
5,2 mm. Si la respuesta es 22,4 mm2, ¿cuál es la pregunta?
21. Escríbelo Se muestran un rectángulo entero y otro igual al que se le recortó un
pequeño rectángulo que se colocó sobre el borde superior. ¿Las
dos figuras tienen el mismo perímetro? Explica.
22. Desafío Una regla mide 30 cm de largo y 5 cm de ancho.
¿Cuántas reglas de este tamaño se pueden hacer con un trozo
de madera rectangular de 544 cm2 con una base de 32 cm de
longitud?
23. Representa gráficamente la figura con los vértices (2, 5), (–3, 5), (–5, 1) y (0, 1). Halla el
perímetro de la figura. Explica cómo hallaste el perímetro.
Resuelve. Comprueba tu respuesta.
24. 5x + 2 = –18 25. b
–6 + 12 = 5 26. a + 4
11 = –3 27. 1
3 x – 1
4 = 5
12
?
4,5 cm
4,5 cm
2 cm
1,5 cm
2 cm
2,5 cm
1,5 cm
6 mm
6 mm
5 mm 5 mm
3 mm
3 mm
2 mm
4 mm
2 mm
9 mm
Repaso
18. Mide las figuras del ejercicio anterior y comprueba si tu hipótesis era correcta.
19. Varios pasos Una pista rectangular de patinaje sobre hielo mide 50 metros
por 75 metros. Cuesta $1 350 por metro instalar una valla protectora de
plástico transparente alrededor de la pista. ¿Cuánto cuesta rodear la pista con
la valla de plástico transparente?
Para usar con la lección 5-1
PRÁCTICA
Laboratorio de
5-1
Explorar los efectos de
dimensiones que cambian
Actividad
Razonar y comentar
Inténtalo
1. Observa los rectángulos B y C. ¿Qué observas al comparar las bases, las alturas y
los perímetros?
2. Haz una conjetura ¿Qué proporción relaciona el perímetro y la base de un
rectángulo semejante con el perímetro y la base de A?
Usa papel cuadriculado para hacer cuatro figuras semejantes a cada figura dada.
Haz una tabla de las bases, las alturas y los perímetros de cada una.
¿Es válida tu conjetura?
1. rectángulo: 2 • 6 unidades 2. cuadrado: 3 • 3 unidades 3. rectángulo: 2 • 8 unidades
Dibuja los siguientes rectángulos semejantes en papel
cuadriculado.
A: 1 • 2 unidades, B: 2 • 4 unidades, C: 4 • 8 unidades
Copia la siguiente tabla. Completa la información que falta.
Rectángulo Base Altura Perímetro Perímetro
Base
A
B
C
Dibuja otros dos rectángulos que sean semejantes a los rectángulos de la Parte 1.
Llámalos Rectángulos D y E.
a. Halla la base, la altura y el perímetro.
b. Agrega esta información a tu tabla.
1
2
Puedes usar papel cuadriculado para explorar cómo
el cambio de las dimensiones de una figura afecta el
perímetro y el área de la figura. 12 12
2
4
8
4
A
B
C
Actividad
Razonar y comentar
Inténtalo
1. Al observar los cuadrados A y C, ¿qué relación puedes establecer entre las áreas y
perímetros de cada uno de ellos?
2. Haz una conjetura ¿Qué relación puede existir entre el lado de un cuadrado y su
perímetro? ¿Qué relación de proporción existe entre el cuadrado A y el cuadrado C?
Dibuja tres cuadrados semejantes entre sí (no necesariamente semejantes a los del ejercicio anterior),
y luego completa la tabla de datos con las bases, alturas, perímetros y áreas de cada uno de ellos. ¿Es
válida tu conjetura para los cuadrados? Escribe tu respuesta en el cuaderno.
1. rectángulo: 2 • 6 unidades 2. cuadrado: 3 • 3 unidades 3. rectángulo: 2 • 8 unidades
Dibuja los siguientes cuadrados semejantes en papel cuadriculado.
A: 3 cm de lado B: 6 cm de lado C: 9 cm de lado
Completa la siguiente tabla con la información que falta.
Rectángulo Base Altura Perímetro Área
A
B
C
Dibuja otros dos cuadrados: el primero con lado 1,5 cm y el segundo con lado 18 cm. Llámalos
cuadrados D y E.
a. Calcula su perímetro y área
b. Agrega esta información a tu tabla de datos anterior
1
2
C
B
A
9
6
3
EJEMPLO 1
Cualquier figura tridimensional puede llenarse completamente con cubos
congruentes y partes de cubos. El volumen de una figura tridimensional es la
cantidad de cubos que puede contener. Cada cubo representa una unidad de
medida llamada unidad cúbica.
Para hallar el volumen de un prisma rectangular, puedes contar los cubos o
multiplicar las longitudes de las aristas.
El volumen de un prisma es el área de su base multiplicada por su altura.
Usar una fórmula para hallar el volumen de un prisma
Hallar el volumen de cada figura.
Aprender a hallar
el volumen de prismas y
pirámides
5–2 Volumen de prismas
y pirámides
C A P Í T U L O
Vocabulario
volumen
unidad cúbica
4 cm • 2 cm • 2 cm = 16 cm3
longitud • ancho • altura = volumen
área de la base • altura = volumen
A
B
Leer matemáticas
Cualquier unidad de
medida con un 3
como exponente es
una unidad cúbica.
Por ejemplo, m3
significa “metro
cúbico” y cm3
significa “centímetro
cúbico”.
V = Ah Usa la fórmula. La base es un
rectángulo: Abase = 8 • 2 = 16
V = 16 • 12 Sustituye A y h.
V = 192 Multiplica.
El volumen de la caja de cereales es de 192 cm3.
V= Abase • h Usa la fórmula. La base es un
triángulo: Abase = 1
2 • 4 • 3 = 6.
V = 6 • 15 Sustituye B y h.
V = 90 Multiplica.
El volumen de la encomienda es 90 cm3.
Volumen de un prisma
El volumen V de un prisma es
el área de su base Abase por su
altura h.
V = Ah
Base
Altura
4 cm
2 cm
2 cm
3 cm
4 cm
15 cm
ENCOMIENDA
12 cm
8 cm
2 cm
Razonar y comentar
1. Explica qué es una unidad cúbica. ¿Qué unidades usarías para
expresar el volumen de una figura medida en metros?
2. Compara y comenta las fórmulas del volumen de un prisma y de
una pirámide. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?
EJEMPLO 2 Hallar el volumen de una pirámide
Halla el volumen de cada pirámide redondeado a la décima más
cercana. Estima para comprobar si tu respuesta es razonable.
A V = 1
3 • (Abase • h) Usa la fórmula.
La base es un
rectángulo:
Abase = 4 • 8 = 32.
V = 1
3 • 32 • 14 Sustituye B y h.
V ≈ 149,3 cm3 Multiplica.
Estima.
V ≈ 1
3 • 30 • 15 Redondea las medidas.
≈ 150 cm3 La respuesta es razonable.
Volumen de una pirámide
El volumen V de una
pirámide es un tercio el
área de su base B por
su altura h.
V = 1
3 (Abase • h)
Halla el volumen de la pirámide redondeado a la décima más cercana.
Estima para comprobar si tu respuesta es razonable.
B V = 1
3 Bh Usa la fórmula.
La base es un triángulo;
por lo tanto,
B = 1
2 ah = 1
2 • 4 • 8 = 16.
V = 1
3 • 16 • 5 Sustituye B y h.
V ≈ 26.7 m3 Multiplica.
Estima.
V ≈ 1
3 • 15 • 5 Redondea las medidas.
≈ 25 m3 La respuesta es razonable.
4 cm 8 cm
14 cm
Base
Altura
4 m
8 m
5 m
5–2 Ejercicios
1
1
2
Halla el volumen de cada figura.
1. 2. 3.
Halla el volumen de cada figura.
10. 11. 12.
Calcula el volumen de la figura compuesta.
13.
Ver ejemplo
Ver ejemplo
Ver ejemplo
PRÁCTICA CON SUPERVISIÓN
PRÁCTICA INDEPENDIENTE
Ver ejemplo 2 ¿Cuál es el volumen de cada pirámide redondeado a la décima más cercana? Estima
para comprobar si tu respuesta es razonable.
4. 5. 6.
Calcula el volumen de cada pirámide redondeado a la décima más cercana. Estima para
comprobar si tu respuesta es razonable.
7. 8. 9.
3 mm
2 mm
5 mm
4 m
4 m
6 m
8 mm
11 mm
6 mm
6 mm 30 mm
B 18 mm 15 mm
3,5 mm
0,5 mm
2,25 mm
22,5 mm2
5,6 mm
0,4 mm
A
B
7 cm
5 cm
6 cm
14. Varios pasos La base de un prisma triangular es un triángulo rectángulo con una
hipotenusa de 10 m de largo y un cateto de 6 m de largo. Si la altura del prisma es 12 m,
¿cuál es el volumen del prisma?
15. Recreación La carpa de la figura tiene
forma de prisma triangular. ¿Cuántos metros
cúbicos de espacio hay en la carpa?
15. Varios pasos Halla el volumen de una
pirámide triangular de 8 cm de altura que
tiene como base un triángulo rectángulo con
una hipotenusa de 5 cm y un cateto de 3 cm.
17. Arquitectura La torre de un edificio es una pirámide cuadrangular de 12 metros
cuadrados de base y una altura de 15 metros. ¿Cuántos metros cúbicos de concreto se
usaron para hacer la torre?
18. Razonamiento crítico Escribe una
proporción de volúmenes para las
figuras dadas.
19. Escríbelo Explica las semejanzas y
las diferencias entre hallar el volumen de una pirámide y hallar el volumen de un prisma
triangular.
20. Desafío ¿Qué efecto tiene duplicar el área de la base de una pirámide en el volumen de
la pirámide?
21. ¿Cuál es el volumen de un prisma triangular de 10 cm de largo, 7 cm de ancho y 4 cm de
altura?
A 110 cm3 B 140 cm3 C 205 cm3 D 280 cm3
22. ¿Qué figuras tienen el mismo volumen?
I II III
A I y II B I y III C II y III D I, II y III
23. ¿Cuál es el volumen de un cubo que tiene 20 cm de arista?
A 40 cm3 B 8 000 cm3 C 200 cm3 D 800 cm3
Figura 1
4 cm
3 cm
5 cm 4 cm 5 cm
3 cm
Figura 2
Repaso
3 cm
8 cm 3 cm 3 cm 16 cm
3 cm
3 cm
3 cm
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para usar con la lección 5-2
PRÁCTICA
Laboratorio de
5-2
Explorar cambios de
dimensiones
Actividad
Razonar y comentar
Inténtalo
1. Explica por qué el volumen de la pirámide no cambia al duplicar la
longitud de la base y reducir la altura a la mitad.
2. ¿De qué otras maneras puedes cambiar las dimensiones de la pirámide
sin que cambie su volumen?
Usa una hoja de cálculo para calcular y analizar los cambios de dimensiones de cada prisma dado:
1. Longitud de la base = 12 cm; ancho de la base = 8 cm; altura = 4 cm.
2. Longitud de la base triangular = 10 cm; ancho de la base triangular = 6 cm;
altura del prisma triangular = 8 cm.
En una hoja de cálculo, escribe los siguientes títulos:
Longitud de la base en la celda A1,
Ancho de la base en la celda B1,
Altura en la celda C1 y
Volumen en la celda D1.
En la fila 2, escribe los números 15, 7 y 22, como se
muestra a la derecha.
Luego, escribe la fórmula del volumen de una
pirámide en la celda D2. Para hacerlo, escribe
( 1/3 ) *A2*B2*C2. Oprime ENTER y observa
que el volumen es 770.
Escribe 30 en la celda A2 y 11 en la celda
C2 para hallar qué sucede con el volumen
cuando duplicas la longitud de la base y
reduces la altura a la mitad.
1
2
3
Puedes usar una hoja de cálculo para explorar qué ocurre con
el volumen de una pirámide de base rectangular cuando se
cambian sus dimensiones.
Actividad
Razonar y comentar
Inténtalo
1. Explica cuál es el efecto que produce la alteración de la altura de un cubo, y establece, si es
que hay un cambio, la proporción entre las alturas de ambos cubos y su volumen.
2. Haz una conjetura ¿Que pasaría con el cubo si la altura inicial se redujera a la mitad?
Dibuja los siguientes cubos en tu cuaderno y aplica los cambios que se indican en cada caso para
confirmar tu conjetura.
1. Cubo de altura 6, que luego se reduce en 1
3 .
2. Cubo de altura 1, que luego se aumenta 4 veces.
Utilizaremos nuestros conocimientos de área y perímetro para
explorar los cambios que ocurren en el volumen de un cubo
(prisma recto), cuando se alteran sus dimensiones.
Dibuja en tu cuaderno el cubo de la figura, respetando las
dimensiones (la imagen se muestra a escala, es decir, con
dimensiones que no corresponden, por lo tanto no debes copiarla
exactamente igual).
Aplicando las fórmulas de volumen de prismas rectos, calcula esta
dimensión del cubo.
Área de la base • altura = volumen
9 cm2 • 3 cm = 27 cm3
Duplica la medida de la altura del cubo (y por ende de todo el
cuerpo geométrico) y calcula nuevamente su volumen. Una vez
hecho el cálculo, compara el volumen de la figura inicial con el
volumen de la figura con los cambios realizados.
1
2
3
3 cm
3 cm
5 cm
12 cm
5 ¿Listo para seguir?
Prueba de las Lecciones 5-1 a 5-2
5-1 Perímetro de rectángulos y paralelogramos
Halla el perímetro de cada figura
1.
7 cm
3 cm
2.
6,6 cm
3,5 cm
Representa gráficamente cada figura con los vértices dados.
3. (–5, 0), (–1, 0), (–6, –3), (–2, –3) 4. (–3, 4), (1, 4), (–4, –3), (0, –3)
C A P Í T U L O
¿Listo para seguir?
5-2 Volumen de prismas y pirámides
6. Una caja tiene forma de prisma rectangular. Mide 60 cm de largo, 20 cm
de ancho y 30 cm de altura. Halla su volumen.
7. Una caja con forma de pirámide triangular se desea llenar con caramelos.
Encuentra su volumen si su base mide 5 cm, la altura 8 cm y la altura de
la pirámide es de 7 cm.
Halla el volumen de cada figura compuesta redondeado a la décima más
cercana.
8. 9.
Halla el perímetro de las siguiente figura
5. 6 m
3 m
3 m
6 m
12 m
3 cm
2 cm
4 cm
3 cm
5 C A P Í T U L O
El cubo Rubik en Chile
En nuestro país, existen diferentes agrupaciones que se
dedican a crear comunidades, competencias e incluso
colecciones de diferentes cubos Rubik. Basta con investigar
por internet para encontrarse con que en Chile son muchos
los fanáticos de este popular juego.
En todo el mundo, se conoce el cubo Rubik como uno de los
juegos más entretenidos, y que genera incluso concursos para
comprobar quién es capaz de armarlo en el menor tiempo
posible.
El cubo Rubik es un rompecabezas mecánico tridimensional inventado por el
escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974. Originalmente
llamado “cubo mágico”, el rompecabezas fue licenciado por Rubik para ser
vendido en 1980 y ganó el premio alemán a mejor juego del año en la categoría
Mejor rompecabezas ese mismo año. Se han vendido más de 350 millones de
cubos en todo el mundo, haciéndolo el juego de rompecabezas más vendido . Por
otra parte, se ha comprobado que el cubo Rubik es un excelente material para
comprender matemática, permitiendo conocer, entre otros temas, el volumen de
prismas regulares.
La medida oficial del cubo Rubik tiene una altura de 5,6 cms por lado. Existen
diferentes versiones, de acuerdo a los lanzamientos que el producto ha ido
generando.
Conexiones con el mundo real
1. Completa la tabla con la información de diferentes posibilidades de cubo rubik, de
acuerdo a su altura.
Altura Base Perímetro Área Volumen
5,6 cm
3 cm
7 cm
2. Compara el volumen de cada uno de los cubos Rubik del ejemplo y responde si
efectivamente el proporcional el cambio de altura con el cambio de volumen.
3. Crea tu propia versión del cubo Rubik asignando la medida de la altura que desees,
calcula su área y su volumen para comprobar nuevamente la proporcionalidad de un
cambio en la altura y el volumen del prisma rectangular.
4. Dibuja en tu cuaderno el cubo Rubik con las dimensiones que definiste en el ejercicio
anterior.
Bingo de ecuaciones
El objetivo de este juego es formar tríos pitagóricos,
que son grupos de tres números naturales a, b y
c tales que a2 + b2 = c2. Se coloca una baraja de
cartas con los números hacia abajo. Los jugadores
levantan 3 cartas por turno para intentar formar un trío
pitagórico. Si las cartas no forman un trío pitagórico,
se vuelven a colocar en su posición original. Una
versión de este juego lo puedes encontrar en http://
anagarciaazcarate.wordpress.com/2012/07/25/
bingo-de-ecuaciones-equivalentes/
Construyendo cuerpos geométricos
Es posible, usando las medidas adecuadas, construir cuerpos geométricos a partir de un modelo
plano. A estos modelos planos a partir de los cuales es posible construir cuerpos geométricos se
les denomina redes.
Para construir un cubo podemos usar una red como la que se muestra.
¡Vamos a Jugar!
Toma un trozo de cartulina y dibuja
la red anterior con medidas de 5 cm
de lado por cada cara. (Cuídate de
mantener las pestañas exteriores que
te servirán para armar tu cuerpo
geométrico)
Recorta la red y dobla por los lados que
están marcados.
Pega las pestañas
exteriores al interior de las
caras correspondientes.
Pinta con tempera tu cubo y dibuja en sus
caras los adornos que prefieras.
ACTIVIDAD
GRUPAL
PROYECTO El diario tubular
Usa este diario para tomar notas sobre perímetro, área y
volumen. Luego, ¡enrolla el diario y guárdalo en un tubo!
Instrucciones
Toma varias hojas de papel. Recorta el extremo de cada hoja.
Apila las hojas y dóblalas por la mitad a lo largo para formar
un diario. Cubre la parte exterior con papel decorativo,
recórtalo si fuera necesario y corchetea todas las hojas por el
borde. Figura A
Haz un orificio en la esquina superior izquierda del diario. Ata
un cordel o hilo. Figura B
Usa pegamento para cubrir un tubo de cartón con papel
decorativo. Luego, escribe el nombre y número del capítulo
en el tubo.
1
2
3
4
Tomar notas de matemáticas
Usa tu diario para tomar notas sobre perímetro y volumen.
Luego enrolla el diario y guárdalo en el tubo de cartón.
Asegúrate de que el cordel cuelgue del tubo, de modo que el
diario pueda extraerse fácilmente.
CAPÍTULO
PERÍMETRO Y
VOLUMEN
Materiales
• papel blanco
• tijeras
• papel decorativo
• corchetera
• perforadora
• cordel o hilo
• tubo de cartón
• pegamento
• plumones
A
B
C A P Í T U L O 5
Vocabulario
Guía de estudio: Repaso
EJEMPLOS EJERCICIOS
Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario.
1. En una figura bidimensional, el/la_______________es la distancia alrededor del contorno de la
figura.
2. En una figura tridimensional, podemos llenar su espacio con cubos congruentes, cada uno
de los cuales se conoce como_______________
3. El espacio que ocupa un cuerpo geométrico, o la cantidad de unidades cúbicas que puede
contener, recibe el nombre de _______________
Halla el perímetro de cada figura.
4. Un rectángulo con una base de 1 2
3 m y
una altura de 4 1
3 m.
5. Un paralelogramo con una base de 18 m,
una longitud lateral de 22 m y una altura
de 11 m.
6. Un rectángulo con una base de 3,5 cm y
una altura de 5,2 cm.
7. Un paralelogramo con una base de 4 cm,
una longitud lateral de 14 cm y una altura
de 9 cm.
8.
9.
Guía de estudio: Repaso
Halla el área y el perímetro de un
rectángulo con una longitud de 2 m y un
ancho de 5 m.
P = 2l + 2a
= 2(5) + 2(2)
= 10 + 4 = 14 m
Usa este ejemplo de modelo para resolver los
ejercicios 5 al 14.
5-1 Perímetro de rectángulos y paralelogramos
4 cm 6 cm
9 cm
8 cm
26 cm
10 cm
14 cm
Perímetro………………………………184
Altura……………………………………184
Volumen………………………………..190
Unidad cúbica……………………….190
EJEMPLOS EJERCICIOS
10. Calcula el perímetro de un cuadrado de
lado 8 cm.
11. Calcula el perímetro de un cuadrado de
lado 16 m.
12. ¿Qué medida tienen los lados de un
cuadrado que tiene un perímetro de
16 mm?
13. Si tengo un terreno cuadrado de lados de
11 metros y deseo cerrarlo con 5 corridas
de alambre. ¿Cuánto alambre necesito?
14. (–5, –2), (5, –2), (5, 6), (–5, 6)
15. (–6, –3), (6, –3), (6, 4), (–6, 4)
16. (–2, –1), (2, –1), (2, 1), (–2, 1)
17. (–2, 4), (–2, –2), (1, –2), (1, 4)
18. (–1, –3), (1, –3), (1, 1), (–1, 1)
19. (–3, –6), (0, –6), (0, 0), (–3, 0)
Prueba del capítulo
Usa una gráfica para hallar el perímetro
Halla el perímetro de la figura representada en
la gráfica con los siguientes vértices:
(–4, –3), (4, –3), (4, 3), (–4, 3)
P = a + a + b + b perímetro del rectángulo
= 6 + 6 + 8 + 8 sustituye a por 6 y
b por 8
= 48 unidades
x
y
b
b
a a
(4, –3)
(4, 3)
(–4, –3)
(–4, 3)
Representa gráficamente y halla el
perímetro de cada figura con los vértices
dados.
Guía de estudio: Repaso
Halla el volumen a la décima más cercana.
22. 23.
24. 25.
26. 27.
Halla el perímetro de la figura compuesta.
20.
21.
Halla el volumen a la décima más cercana.
V = 1
3Abase h = 1
3 (5)(6)(7)
= 70 m3
Halla el perímetro de la figura compuesta.
La longitud del lado que no está rotulado es
igual a la longitud del lado opuesto, 2m.
P = 3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 +
3 + 5 + 2 + 2
= 32m
5-2 Volumen de prismas y pirámides.
7 m
6 m
5 m
8 cm
9 cm 5 cm
13 cm
8 cm
7 cm
EJEMPLOS EJERCICIOS
2m
2m 2m
2m
1m
3m
5m
3m
4m
3m
3m
1cm
2cm 2cm
2cm
1cm
1cm
2cm
2cm
2cm
1cm
1cm
3cm
4m
2m 2m
2m
2m
1m
1m
1m
4m
1m
1m
24 cm
18 cm
18 cm 11 cm
13 cm
16 cm
22,5 cm
19,6 cm
19,6 cm
15
17,9
16,2
Prueba del capítulo
5 Prueba de capítulo C A P Í T U L O
Calcula el perímetro de las figuras.
1. 2. 3.
Representa gráficamente y halla el perímetro de cada figura con los vértices dados.
4. (–3, 2), (–3, –2), (5, –2), (5, 2)
5. (2, 4), (7, 4), (5, 0), (0, 0)
6. (–5, 0), (0, 0), (4, 4)
7. (0, 4), (3, 6), (3, —3), (0, —3)
Halla el volumen de cada figura a la décima más cercana.
8. Un cubo con una longitud lateral de 8 cm.
9. Un prisma rectangular con una base de 5 m por 3 m y una altura de 6 m.
10. Una pirámide con una base cuadrada de 3 cm y una altura de 4 cm.
Calcula el perímetro total de cada figura.
3 cm
3 cm
2,2 m
4,5 m
10 mm 8 mm
14 mm
13 cm
15 cm
24 cm
9 cm
11 cm
9 cm
6 m
4 m
4 m
5 m
5 m
11. 12.
13.
5
1. Si tenemos un rectángulo de lado a = 4 cm y
lado b = 7 cm, entonces su perímetro es:
A 11 cm
B 15 cm
C 18 cm
D 22 cm
2. Si tenemos un cuadrado de lado 3 m, y
triplicamos la medida de sus lados, el perímetro
total de la nueva figura será de:
A 48 m
B 24 m
C 12 m
D 36 m
3. El perímetro de la figura representada en la
gráfica es:
x
y
b
b
a a
(4, –1)
(4, 2)
(–4, –1)
(–4, 2)
A 22 unidades
B 16 unidades
C 24 unidades
D 28 unidades
4. El perímetro de la figura representada en la
gráfica es:
2m
1m
1m
2m
1m 1m
6m
2m
2m
1m
3m
4m
1m 2m
1m
4m
A 29 m
B 34 m
C 32 m
D 36 m
5. Si una pirámide rectangular tiene una base de
8 m • 3 m, y una altura de 12 m, tal como
muestra la figura, entonces su volumen es:
12 m
8 m
3 m
A 24 m
B 48 m
C 96 m
D 288 m
6. Si tenemos un cubo de lado 6 m, y duplicamos la
medida de sus lados, entonces su volumen:
A Se mantiene
B Se multiplica por dos
C Se multiplica por cuatro
D se multiplica por ocho
C A P Í T U L O Evaluación acumulativa
Capítulos 1-5
7. Susana quiere instalar una cerca alrededor
del perímetro de su terreno. ¿Cuánta cerca
necesita?
68 m
48 m
60 m
36 m
A 212 m C 2 448 m
B 368 m D 2 800 m
8. Si tenemos una pirámide triangular de lado
4 m, y altura de 6 m, entonces su volumen es:
A 16 m2
B 48 m2
C 96 m2
D 36 m2
9. Representa en una gráfica el cuadrilátero que
se forma con los siguientes puntos del plano:
(-3,-1), (3,-1), (3, 2), (-3,2)
10. Calcula el área de la figura dibujada, utilizando
la fórmula aprendida en las lecciones
anteriores.
11. Dibuja en una gráfica la misma figura anterior,
pero reduciendo sus lados al 50%.
12. Calcula y escribe el perímetro de la nueva
figura.
13. Dibuja un rectángulo con una longitud de
base de 7 cm y 4 cm de alto. Luego, dibuja un
rectángulo con una longitud de base de 14
cm y 1 cm de alto. ¿Qué rectángulo tiene el
el perímetro más largo? Muestra tu trabajo o
explica con palabras cómo determinaste tus
respuestas.
14. Un poliedro tiene dos bases cuadradas paralelas
con aristas de 9 metros de largo y una altura de
9 metros. Identifica la figura y halla su volumen.
Muestra tu trabajo.
15. Dibuja una pirámide de base triangular de lado
3 cm (triángulo equilátero) y altura 4 cm. Calcula
su volúmen total.
16. Usa la figura para resolver los siguientes
problemas. Redondea tus datos a la centésima
más cercana si es necesario.
15 cm
5 cm
3 cm
A
B
a. ¿Qué figuras tridimensionales forma la
escultura?
b. ¿Cuál es el volumen combinado de las
figuras A y B? Muestra tu trabajo.
c. ¿Cuál es el volumen del espacio que rodea
las figuras A y B? Muestra tu trabajo y
explica tu respuesta.
Responde verdadero (V) o falso (F)
17. ______ El perímetro de un paralelogramo
se calcula de la misma forma que el
perímetro de un rectángulo.
18. ______ Al doblar la medida de los lados de un
rectángulo, su perímetro se duplica
19. ______ Al doblar la medida de los lados de un
rectángulo, su área se duplica.
Índice tematico
46. 8 cuadros
47. a. 8 cuadrados, 1 sin usar, b. 9
cuadrados
48. la raíz debe ser positiva
49. se suma la raíz, luego se saca y se

EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
Latinstock
El cartón corrugado es uno de los materiales más usados para envase
y embalaje debido a sus diversas ventajas, como la protección de su
contenido durante su transporte y almacenamiento; su economía;
así como su naturaleza reciclable y reciclada.
Muchas veces se usan cajas de este material para los cambios de
casa. Pero, ¿qué hacemos con las cajas después de usarlas?
Las cajas que aparecen en la imagen son de cartón corrugado y tienen
distintos tamaños, según las dimensiones de los productos que
queremos guardar en ellas. ¿Sabías que existen muchos materiales
como este que se pueden reciclar y que esto aporta al cuidado del
medioambiente? Por ejemplo, una tonelada de papel reciclado
salva la vida de 5 árboles adultos, una tonelada de papel reciclado
ahorra más de 30 000 litros de agua.
Observa las cajas de la imagen:
1. ¿Qué forma tienen?
2. ¿En todas se pueden guardar los mismos productos?, ¿cómo se puede
describir la capacidad de una caja?
3. ¿Todas ocupan el mismo espacio dentro de una habitación?, ¿por qué?
CONVERSEMOS DE…
¿CUÁNTO SABES?
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve los siguientes ejercicios
en tu cuaderno.
1. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros y explica el procedimiento que
usaste.
a) d)
b) e)
c) f)
2. Calcula el área de los siguientes triángulos y explica el procedimiento que
usaste.
a) d)
b) e)
c) f)
3. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de longitud.
Milímetros (mm) Centímetros (cm) Metros (m)
12,5
4500
10,8
3750
25
8 cm
8 cm
12 mm
2,5 cm
2,8 cm
2,8 cm
7 mm
15 cm 18 mm
15 cm
9 cm
4 cm
12 cm
14 m
24 m
9 cm
18 cm
24 cm
7 cm
40 mm
3,2 m
6,4 m
4,5 m
185 cm
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
• Para obtener el área de un cuadrado de lado a, se calcula a2.
• Para obtener el área de un rectángulo de lados a y b, se calcula a • b.
• Para obtener el área de un triángulo de base b y altura h, se calcula .
• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su
base y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.
• Algunas equivalencias entre las unidades de medida de longitud son:
• Las equivalencias entre las unidades de medida de superficie son:
b • h
2
4. Completa la tabla con las equivalencias entre las unidades de medida de
superficie.
5. El papá de Bernardo tiene un viñedo en un terreno rectangular de 800 m
de ancho y 1200 m de largo.
a) ¿Cuántos rollos de alambre de 50 m se necesitarán para cercar el terreno?
b) Si en un metro cuadrado de terreno produce 10 kg de uvas, ¿cuál es
el máximo de kilogramos de uvas que puede dar el terreno del papá
de Bernardo?
c) Si se quiere considerar ahora un terreno cuadrado para la plantación
de uvas y con el mismo perímetro del terreno anterior, ¿cuáles serían
las dimensiones de este nuevo terreno?
d) ¿Cuántos kilogramos de uvas en total puede producir con este nuevo
terreno? ¿Por qué sucede esto?
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue
el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
Milímetro cuadrado
(mm2)
Centímetro cuadrado
(cm2)
Metro cuadrado
(m2)
1600
720
0,25
9,6
196
1 m = 100 cm = 1000 mm
1 cm = 0,01 m = 10 mm
1 mm = 0,001 m = 0,1 cm
1 m2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
1 cm2 = 0,0001 m2 = 100 mm2
1 mm2 = 0,000001 m2 = 0,01 cm2
Prismas rectos
Los minerales pueden aparecer en la naturaleza, básicamente,
de dos maneras: sin una forma definida (amorfos), o bien con una
forma geométrica bastante definida. A estos últimos se les llaman
minerales cristalinos o cristales.
Los cristales se encuentran
con frecuencia en las grietas
o en las cavidades vacías de las
rocas, ya que para que estos
se formen se necesita espacio.
Observa las imágenes de
algunos minerales.
Los cristales tienen forma de cuerpos geométricos. Un cuerpo geométrico
es un sólido, que ocupa un lugar en el espacio, limitado por una o
más superficies.
Recordando lo visto en años anteriores podemos decir que:
• Si todas las superficies de un cuerpo son planas, corresponde a un
cuerpo poliedro. En este caso, a estas superficies las llamamos caras.
• Si alguna de sus superficies no es plana, como
por ejemplo en un cilindro, corresponde a un
cuerpo redondo.
• Dentro del conjunto de cuerpos poliedros, se
llama prisma a los que están formados por dos
polígonos congruentes y paralelos entre sí, que
llamamos caras basales, y tantos paralelogramos
como lados tienen las caras basales.
Estos paralelogramos son las caras laterales.
• Si las aristas que unen dos caras laterales son perpendiculares a las
de las caras basales, se dice que es un prisma recto.
• Cuando las caras basales son cuadrados o rectángulos, al prisma se
le llama también paralelepípedo.
PARA DISCUTIR
• Considerando su forma, ¿qué tienen en común estos minerales?
• ¿Tienen superficies curvas?, ¿tienen superficies que correspondan
a figuras geométricas? ¿A cuáles?
• ¿Cómo podrías describir la forma de estos minerales?
h
1. ¿Cuáles de los siguientes cuerpos geométricos son prismas rectos? Explica tu decisión.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
2. Escribe cinco ejemplos de objetos con forma de prismas rectos que encuentres en tu vida cotidiana.
3. Describe las características que tienen los prismas rectos.
4. ¿Los siguientes cuerpos son prismas rectos?, ¿por qué?
EN TU CUADERNO
NO OLVIDES QUE
• Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son todas planas.
• Un prisma es un poliedro que tiene dos caras basales paralelas e iguales y sus caras
laterales son paralelógramos.
• La línea que se forma al intersectar dos caras es una arista. Los puntos donde concurren
tres aristas se llaman vértices.
• Los prismas rectos son aquellos en que sus caras basales son perpendiculares a sus
caras laterales.
Volumen: unidades de medida
Cada uno de los siguientes cuerpos se formó con cubos del mismo
tamaño, cuyo volumen es 1 m3 y corresponde a la medida del
espacio que ocupa un cubo cuyas aristas miden 1 m. Observa:
PARA DISCUTIR
• ¿Cómo podrías describir el tamaño de cada uno de estos cuerpos?,
¿con cuántos cubos se formó cada uno?
• ¿Es correcto decir que tienen el mismo tamaño?, ¿y que ocupan el
mismo espacio? Explica.
• Si desarmamos los cuerpos, ¿podemos guardar todos los cubos en una
caja, si en ella caben cinco cubitos a lo largo, tres cubitos a lo ancho y
dos cubitos a lo alto? Explica.
• Si el volumen de cada uno de los cubos que forman los cuerpos es
1 m3, ¿cuánto es el volumen de cada cuerpo?, ¿cómo lo supiste?
• Si desarmamos los cuerpos, ¿podemos armar con todos los cubos un
prisma recto cuyo volumen sea 24 m3?, ¿cuántos cubos tendría de
largo, de ancho y de alto ese prisma?, ¿es la única posibilidad?, ¿por qué?
NO OLVIDES QUE
• La unidad de medida que se utiliza para el volumen es el metro cúbico (m3), pero tiene
múltiplos y submúltiplos como el centímetro cúbico (cm3) y milímetro cúbico (mm3), entre
otros. Al igual que con las unidades de medida lineales y de superficie, al
expresar el volumen de un objeto es recomendable escoger la unidad de medida que
permita comprender más fácilmente sus dimensiones. Por ejemplo, el volumen de un
líquido que está dentro de una taza, puede expresarse como 200 000 mm3 pero es más
adecuado 200 cm3.
1. Si todos los cuerpos están formados por cubitos cuyo volumen es 1 cm3, ¿cuál de los cuerpos tiene
un volumen mayor? Explica cómo lo supiste y expresa su volumen en centímetros cúbicos.
EN TU CUADERNO
La es la
medida del volumen que
puede contener un
cuerpo. A pesar de que
volumen no es lo mismo
que capacidad, para
calcular la capacidad se
suelen utilizar las mismas
fórmulas que para el
volumen.
D ato interesante
Cuando hablamos de
nos referimos
a la medida que ocupa
un cuerpo en el espacio.
A yuda
2. Observa los datos de la siguiente tabla y responde.
a) Si comparo un cubo cuya arista mide 1 mm con uno cuya arista mide 1 cm, ¿qué cubo tiene un
volumen mayor?, ¿y si lo comparo con uno cuya arista mide 1 m?, ¿por qué?
b) ¿Qué operación puedes realizar para encontrar la equivalencia en metros cúbicos de 1 dm3,
de 1 cm3 y de 1 mm3?, ¿y de 1 dam3, de 1 hm3 y de 1 km3?
3. Determina qué unidad de medida de volumen es pertinente para medir el volumen en cada caso.
a) Un camión de mudanzas. c) Una caja de fósforos.
b) Una caja de zapatos. d) Un dormitorio.
4. Completa las siguientes equivalencias.
a) 6,54 m3 = cm3 d) 67 500 cm3 = m3
b) 0,28 m3 = mm3 e) 8 400 000 mm3 = m3
c) 4900 mm3 = cm3 f) 3 650 000 cm3 = mm3
Cubo cuya arista mide Volumen Equivalencia del volumen en m3
1 milímetro (mm) 1 milímetro cúbico (mm3) 0,000000001 m3
1 centímetro (cm) 1 centímetro cúbico (cm3) 0,000001 m3
1 decímetro (dm) 1 decímetro cúbico (dm3) 0,001 m3
1 metro (m) 1 metro cúbico (m3) 1 m3
1 decámetro (dam) 1 decámetro cúbico (dam3) 1000 m3
1 hectómetro (hm) 1 hectómetro cúbico (hm3) 1 000 000 m3
1 kilómetro (km) 1 kilómetro cúbico (km3) 1 000 000 000 m3
Si te fijas, las unidades de volumen aumentan o disminuyen de 1000 en 1000, como se
muestra en el siguiente diagrama.
Observa las siguientes equivalencias entre unidades de medida.
5000 mm3 = (5000 : 1000 : 1000 : 1000) m3 = 0,000005 m3
8,16 m3 = (8,16 • 1000 • 1000) cm3 = 8 160 000 cm3
Calcula las siguientes equivalencias.
a) 160 000 cm3 = m3 c) 0,000125 m3 = cm3
b) 32 mm3 = cm3 d) 75 cm3 = mm3
ESTRATEGIA MENTAL
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
• 1000 • 1000 • 1000 • 1000 • 1000 • 1000
: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000
Volumen de prismas rectos
de base rectangular
Don Alberto está a cargo de coordinar los fletes de una distribuidora
de alimentos hacia los supermercados y almacenes del sector. Hoy debe
despachar varios pedidos que suman 100 cajas de 60 cm de ancho,
80 cm de largo y 50 cm de alto cada una. El camión que utiliza
usualmente no está disponible, por lo que debe contratar un
camión especialmente para esta oportunidad.
PARA DISCUTIR
• ¿Cómo puede estimar don Alberto qué capacidad necesita para su flete?
• Si pudiéramos poner cubos de 1 cm3 en cada caja, ¿cuántos cubitos
caben en el fondo de cada una?, ¿y con cuántos “pisos de esos cubitos”
se llenaría cada caja?
• ¿Cuál es el volumen de cada caja en centímetros cúbicos?, ¿cómo lo
calculaste?
• A don Alberto le ofrecen dos camiones, uno con 20 m3 de capacidad y
otro con 25 m3 de capacidad. ¿Cuál le sirve para transportar los pedidos
del día?
NO OLVIDES QUE
• Para calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular,
puedes utilizar la siguiente fórmula:
Volumen = área basal • altura
Para el prisma de base rectangular de la figura, el área de la
base es a • b y su altura es h, luego su volumen es: V = a • b • h.
• Siempre debes revisar que las medidas utilizadas estén en la
misma unidad, si no es así, debes aplicar las equivalencias
correspondientes antes de multiplicar.
1. Observa las dimensiones de la caja de la figura y aplica la fórmula para calcular su volumen.
EN TU CUADERNO
15 cm
10 cm
25 cm
h
a b
2. Calcula el volumen de los siguientes prismas:
a) b) c)
d) e) f)
• ¿Qué ocurrirá con el volumen de estos prismas si su altura se duplica?, ¿y si las medidas de los
lados de sus bases se reducen a la mitad? ¿Ocurrirá siempre lo mismo? Explica.
3. Una piscina de 3 m de profundidad tiene forma de prisma de base
rectangular con las dimensiones que se observan en la imagen.
¿Cuántos litros de agua son necesarios para llenarla?, ¿cómo lo supiste?
• Si el largo de la piscina se redujera a la mitad, ¿con cuántos litros de agua se llenaría la piscina?
4. Un granero de 3 m de largo y 2,5 m de ancho debe contener 45 m3 de trigo, ¿cuál debe ser su altura?
5. Una tina con forma de prisma tiene 150 cm de largo, 60 cm de ancho y 50 cm de alto.
a) ¿Cuántos litros de agua caben en la tina?
b) Si se llena de agua hasta cierto nivel y luego, cuando se sumerge completamente
un niño aumenta el nivel en 5 cm. ¿Cuál es el volumen del niño?
1 m3 = 1000 litros.
A yuda
15 cm
6 cm 9 cm
25 mm 17 cm 5 cm
7 cm 14 cm
18 mm 20 cm 35 mm
25 m
3 m
15 m
11 mm
14 cm 5 cm 14 cm
7 cm 28 mm
7 cm
Volumen de prismas rectos de base
triangular
En la Municipalidad están conscientes de que todo edificio, sea de
uso privado o público, debe contar con entradas y espacios comunes,
accesibles para personas con discapacidades físicas, por lo que han
decidido construir rampas de acceso en sus edificios. Para que una
persona que se desplaza en silla de ruedas pueda hacerlo sin ayuda,
la inclinación debe ser de a lo más un 12%.
Se decidió entonces que la primera parte de la rampa sería con las
medidas que se muestran en la siguiente figura:
PARA DISCUTIR
• ¿Cómo se puede estimar la cantidad de hormigón que se necesita
para construir la primera sección de la rampa?
• Si se considera un paralelepípedo de 2 m de largo, 1 m de ancho
y 24 cm de altura, ¿cuál sería el volumen de hormigón utilizado?
• ¿Qué relación tiene el volumen de un paralelepípedo con el de un
prisma de base triangular, si sus dimensiones son las mismas?
• Entonces, ¿cuál es el volumen de hormigón utilizado para construir
la rampa?
NO OLVIDES QUE
• Para calcular el volumen de un prisma recto de base
triangular, se puede utilizar la siguiente fórmula:
Volumen = área basal • altura
Para el prisma de base triangular de las figuras, el área de la base es =
Como la altura del prisma es h, su volumen es V = a • b • h.
• Recuerda revisar que las medidas utilizadas estén en la misma unidad, si no es así, debes
aplicar las equivalencias correspondientes antes de multiplicar.
base • altura
2
a • b
2
1 m
24 cm
2 m
h
a
b
b
a
h
2
1. Calcula el volumen de los siguientes prismas:
a) c)
b) d)
2. La directora de una escuela básica decidió que se construya un cajón de arena para que jueguen los
niños y niñas de prekinder y kinder. Luego consiguió que le donaran arena de una empresa del sector,
la que le envió 1,5 m3 de arena. La parvularia le indicó que el cajón debía llenarse con arena al
menos 30 cm de altura.
a) Expresa el volumen de arena recibida en centímetros cúbicos.
b) Si ocupa un antiguo cajón de 3 m de largo y 2 m de ancho y lo llena con la arena recibida,
¿alcanzará la altura sugerida por la educadora?
c) ¿Cuál debe ser la superficie del cajón para que la arena quede a buena altura?
d) Si le donaran el doble de arena, ¿podrían llenar un cajón construido con el doble de largo y el
doble de ancho?
EN TU CUADERNO
Además del metro, centímetro y milímetro cúbico, existen otras unidades de medida de volumen.
Por ejemplo, en los países anglosajones se usan los galones y onzas líquidas, entre otras unidades.
Para determinar a cuántos centímetros cúbicos corresponde, por ejemplo, una onza líquida se utilizan
los factores de conversión. La calculadora que se puede descargar al computador desde Internet,
llamada calculator plus, permite calcularlo directamente, aunque no conozcamos estos factores.
Para usar el conversor de unidades de la calculadora,
en “Ver” se debe escoger “Conversión”. Luego, en
“Categoría”, se escoge Volumen, en “Convertir de” se
escoge la unidad en la que está expresado el volumen,
y en “Convertir a” se escoge la unidad en que
necesitamos que se exprese el volumen. Se anota
la cantidad y luego se hace clic en “Convertir”.
En la imagen se convirtió una onza líquida a
centímetros cúbicos.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
17 cm
2 m
5 m
8 m
15 cm
9 cm 36 cm 8 cm
25 cm 4 cm
12 cm
32 cm
En esta actividad, verificarás que el volumen de un cuerpo es igual a la suma de los
volúmenes de los cuerpos en los que se puede descomponer.
Formen parejas y sigan las instrucciones.
1. Cada uno modele con plasticina el cuerpo que se representa en la figura con las medidas indicadas.
2. Con el hilo, hagan los cortes que se muestran en la imagen.
3. Uno calcule el volumen de los tres prismas
que se obtuvieron al hacer los cortes.
Luego suma estos volúmenes.
4. El otro forma un prisma de base rectangular
con los prismas obtenidos y luego calcula el
volumen del prisma que formó.
5. Comparen los resultados obtenidos, ¿cómo
son?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?
Volumen de cuerpos que se pueden
descomponer en prismas rectos de base
rectangular y triangular
Martín y Javiera construyeron un mueble de madera, observa cómo
les quedó.
• ¿Cómo se puede calcular el volumen de este cuerpo geométrico?
• Martín dice que para construirlo, primero armaron un paralelepípedo
y luego dos prismas de base triangular. Considerando esto, ¿cuánto es
su volumen?, ¿cómo lo calculaste?
PARA DISCUTIR
EN EQUIPO Materiales:
• Plasticina
• Hilo
• Regla
6 cm 4 cm
5 cm 4 cm
3 cm
5 cm
20 cm
14 cm
28 cm
14 cm
7 cm 32 cm
En una universidad se desea construir una rampa de acceso para personas con discapacidades
físicas. El arquitecto explicó que por la altura que debía alcanzar, la rampa debe
construirse en dos tramos. Observa las dimensiones de la rampa en centímetros.
1. Calcula el volumen del
prisma triangular del
primer tramo inclinado.
2. Planifica cómo desglosar la
rampa en prismas de base
rectangular y/o triangular.
3. Calcula el volumen total de
la rampa.
MI PROGRESO
1. Los siguientes cuerpos están compuestos por prismas rectos. Descomponlos para calcular su volumen.
• Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.
2. Las caras basales de los siguientes prismas rectos son polígonos regulares. Descompón cada cuerpo
en prismas de base triangular y calcula el volumen.
• Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.
3. El frente del granero es un rectángulo de lados 3 m de alto y 5 m de ancho, y el sector del techo
es un triángulo de 4 m de altura. Si toda la construcción tiene 12 m de largo, ¿cuál es el volumen
del granero?
EN TU CUADERNO
NO OLVIDES QUE
• El volumen de un cuerpo que se puede descomponer en prismas de base rectangular y
triangular se puede obtener calculando el volumen de cada uno de los prismas en los
que se descompuso el cuerpo y luego sumarlos.
4 m 6 m
4 m 3 cm
6 cm
10 mm
10 mm
5 mm
5 mm
12 cm 20 mm
8 m
8 m
7 cm
4 cm
16 m
12 cm 9 cm
6 cm
4,13 cm
8 cm
6,9 cm
240
120
800
15 cm
10 cm
10 cm
Volumen de pirámides
Marcela tiene un juguete con forma de pirámide, cuya altura mide
15 cm y su base es de forma cuadrada de 10 cm de lado. Si lo guarda
en una caja como se ve en la imagen, la altura del juguete es igual a la
altura de la caja.
PARA DISCUTIR
• ¿Cuál es el volumen de la caja?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Cómo podrías calcular el volumen del juguete con forma
de pirámide?
• ¿El volumen del juguete crees que será menor o mayor que la
mitad que el volumen de la caja?, ¿por qué?
Para encontrar una fórmula general que nos permita calcular el
volumen de una pirámide, observa que, en este caso, se puede
formar un prisma que contiene a la pirámide.
El volumen de la pirámide es equivalente a la tercera parte del
volumen del prisma. Es decir:
V = 10 • 10 • 15
3
= 500 cm3
En esta actividad podrán comprobar que el volumen de una pirámide es un tercio
del volumen de un prisma que tiene la misma altura y base que la pirámide.
Formen grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones:
1. Construyan con cartulina un prisma y una pirámide cuyas de alturas y bases
de iguales medidas. Dejen un agujero en la parte superior de cada uno para
que los puedan llenar con arena.
2. Llenen con arena el prisma.
3. Saquen la arena con que llenaron el prisma y repártanlas en las tres bolsas o recipientes
en partes iguales.
4. Echen la arena de una bolsa o recipiente en la pirámide. ¿Qué ocurre?
EN EQUIPO Materiales:
• Cartón o
cartulina
• Regla.
• Tijeras.
• Arena.
• 3 bolsas o
recipientes
iguales.
1. ¿Cuál de las siguientes pirámides de bases regulares tiene mayor volumen? Justifica.
a) b) c)
2. En la siguiente caja de base cuadrada se ha introducido una pirámide. ¿Cuántos litros de agua
podrían caber entre la caja y la pirámide?
3. La pirámide de Keops, la mayor pirámide construida en Egipto, tiene base cuadrada cuyos lados
miden 230,36 m, su altura es de 146,59 m y la apotema lateral (altura de las caras laterales) mide
186,43 m. ¿Cuál es su volumen?
4. Una pirámide recta tiene de altura 12 cm. Si la base de la pirámide es un cuadrado de lado 5 cm.
a) Calcula el volumen de la pirámide.
b) ¿Cuántas aristas tiene la pirámide?
c) ¿Cuántos vértices tiene?
d) Si la altura de la pirámide se reduce a la mitad, ¿qué ocurre con su volumen?
e) Si el lado del cuadrado de la base aumenta al doble, ¿qué ocurre con su volumen?
2 cm
EN TU CUADERNO
NO OLVIDES QUE
• Recuerda que el área total de una pirámide está dada por la suma de las áreas de cada una
de sus caras.
El volumen de la pirámide está dado por: V = área de la base • altura
3
5 cm 2 cm 2 cm
3 cm
3 cm
1,37 cm
h = 6 m
5 m
Camila necesita calcular el volumen del
siguiente cuerpo. Observa el dibujo.
¿Cómo puede Camila calcular el
volumen?
Comprender
• ¿Qué sabes del problema?
El cuerpo tiene solo dos caras paralelas e iguales y las demás son todas distintas, su altura
mide 15 cm. Luego, el volumen de este cuerpo se calcula multiplicando el área del trapecio,
que es la base de este cuerpo, por la longitud de su altura. La altura del trapecio es de 12 cm
y sus bases miden 22 cm y 18 cm.
• ¿Qué debes encontrar?
El volumen del cuerpo.
Planificar
• ¿Cómo resolver el problema?
Una posible solución es imaginar que se corta el trapecio en dos figuras: un rectángulo y
un triángulo rectángulo.
Resolver
• Este cuerpo geométrico se divide en dos
cuerpos: un prisma de base rectangular y un
prisma de base triangular.
El volumen del prisma de base rectangular
es 12 • 18 • 15 = 3240 cm3
El volumen del prisma de base triangular es • 15 = 360 cm3
Luego, el volumen del cuerpo original es 3240 + 360 = 3600 cm3
Revisar
• Para comprobar el resultado puedes desarrollar el problema imaginando un prisma de
base rectangular mayor al que se le quita un prisma de base triangular.
El volumen del prisma de base rectangular
es 12 • 22 • 15 = 3960 cm3
El volumen del prisma de base triangular
es • 15 = 360 cm3
Luego, El volumen del prisma es 3960 – 360 = 3600 cm3
12 • 4
2
12 • 4
2
BUSCANDO ESTRATEGIAS
12 cm
18 cm
22 cm 15 cm
Unidad 6
1. Calcula los siguientes volúmenes, aplicando la estrategia de la página anterior.
a) El trapecio de la base es isósceles.
b) El hexágono es regular, de lado 8 cm y 21 cm de altura del prisma.
2. Ahora resuelve el problema de la página anterior utilizando otra estrategia de resolución.
Explica, paso a paso, cómo lo resolviste y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros
y compañeras.
3. Calcula los siguientes volúmenes utilizando la estrategia que tú quieras. Compara el procedimiento
que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a) El trapecio de la base
es isósceles.
b) El octágono es regular,
de lado 10 cm y 7 cm
de altura del prisma.
36 cm
30 cm
48 cm
5 mm
4 mm
12 mm
12 mm
60 cm
5 mm
En un triángulo equilátero
de lado , el área
aproximada es 0,433 a2 .
A yuda
Si la diagonal de un
cuadrado mide 10 cm,
su lado mide
aproximadamente 7,07 cm.
A yuda
CONEXIONES
La fortaleza de Superman, pero en México
En abril de 2000 encontraron en México una
caverna con cristales que tienen hasta doce
metros de largo y hasta el momento, son los
cristales aislados más grandes del mundo.
Esta caverna con columnas de más de un metro
de perímetro y hasta 15 metros en longitud y
filas superpuestas de formaciones cristalinas con
forma de diente de tiburón, que alcanzan hasta
un metro de alto, recuerda a la fortaleza de
Superman.
El mismo año se descubrió otra caverna adyacente
más grande que la primera, que es la única que
está abierta bajo visita restringida para el público,
solo para científicos, geólogos, mineralogistas o
cualquier persona que tiene interés en la admiración
de los maravillosos cristales sin dañarlos.
INTERNACIONAL
Formen grupos de 3 integrantes y desarrollen las siguientes actividades.
1. Suponiendo que su base es cuadrada, calculen qué volumen tiene uno de los cristales descritos en
la noticia.
2. Midan el largo, ancho y altura de su sala de clases y calculen su volumen. Expliquen el procedimiento
que usaron para calcularlo.
3. Si la primera caverna tiene aproximadamente 20 m de largo, 10 m de ancho y 8 m de altura, ¿cuántas
veces cabría su sala de clases en esta caverna?, ¿cómo lo supieron?
4. Seleccionen en su barrio una construcción que tenga forma similar a un prisma recto, ya sea de base
rectangular, triangular, o incluso que se pueda descomponer en prismas de ese tipo. Comparen el
volumen de la construcción que escogieron con el volumen de su sala de clases, ¿cuántas salas cabrían
en esa construcción?
1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda.
Luego, comparen y comenten sus respuestas.
2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
Respeté las opiniones de los demás integrantes.
Cumplí con las tareas que me comprometí.
Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3
Fuente: http://www.neoteo.com/la-fortaleza-de-supermanpero-
en-mexico.neo (consultado en abril de 2008,
adaptación).
Gentileza Richard Fisher
SÍNTESIS Unidad 6
A continuación, se presentan algunos de los conceptos fundamentales de la unidad. Haz un listado
con los conceptos que faltan y construye un mapa conceptual que los organice y relacione.
Utilizando los contenidos aprendidos en la unidad y apoyándote en el esquema anterior, responde en
tu cuaderno.
1. ¿Cómo explicarías qué es el volumen de un cuerpo?
2. ¿En qué se diferencian volumen y capacidad?
3. ¿Qué fórmula te permite calcular el volumen de un prisma recto de base rectangular?, ¿y uno de
base triangular?
4. ¿Qué fórmula te permite calcular el volumen de una pirámide?
5. ¿Qué unidades de medida de volumen conoces?
6. ¿Qué operación realizas para transformar una 1 m3 a centímetro cúbico?, ¿y 1 mm3 a metro
cúbico?
7. ¿Cuál es la ventaja de usar la unidad de medida adecuada a las dimensiones del objeto para
expresar su volumen?
8. Comenta tus respuestas con tus compañeros y compañeras, y aclara tus dudas.
Volumen
Unidades de medida
Prismas rectos
Capacidad
Pirámides
1. ¿Cuál de estos cuerpos geométricos no es un
poliedro?
A. cubo.
B. prisma de base triangular.
C. cilindro.
D. pirámide.
2. Un prisma siempre tiene:
A. solo dos caras laterales.
B. solo dos caras basales.
C. solo dos aristas laterales.
D. solo dos aristas basales.
3. Un prisma de base triangular tiene en total:
A. tres caras.
B. cuatro caras.
C. cinco caras.
D. seis caras.
4. La unidad de medida pertinente para el
volumen de un refrigerador es:
A. Metros cúbicos.
B. Centímetros cúbicos.
C. Milímetros cúbicos.
D. Decímetros cúbicos.
5. 340 000 cm3 es equivalente a:
A. 3,4 m3
B. 0,34 m3
C. 34 000 000 mm3
D. 340 m3
6. Una piscina tiene forma de prisma de base
rectangular de 24 m de largo, 12 m de ancho
y 240 cm de profundidad. ¿Cuántos litros de
agua son necesarios para llenarla?
A. 691 200 litros
B. 691 200 000 litros
C. 345 600 litros
D. 345 600 000 litros
7. Si un prisma de base rectangular es tal que sus
dimensiones son cada una el doble de las de
otro prisma de base rectangular, su volumen es:
A. el doble del otro prisma.
B. la mitad del otro prisma.
C. el cuádruple del otro prisma.
D. el óctuple del otro prisma.
8. El volumen del siguiente prisma de base
rectangular es:
A. 432 cm3
B. 216 cm3
C. 108 cm3
D. 72 cm3
9. El volumen de la siguiente pirámide de base
cuadrada es:
A. 16 cm3
B. 30 cm3
C. 32 cm3
D. 48 cm3
¿QUÉ APRENDÍ?
Marca, en tu cuaderno, la alternativa correcta en las preguntas 1 a la 9.
9 cm
4 cm
6 cm
6 cm
4 cm 4 cm
10. Tamara está preparando una caja de arena para su gato Teo. Si la caja mide
80 cm de largo y 60 cm de ancho, y ella estima que la arena tiene que alcanzar
una altura de 12 cm, ¿cuánta arena debe conseguir Tamara?
11. Guillermo está diseñando un nuevo envase para vender bombones. Tiene forma
de prisma de base triangular, y ahora está decidiendo qué tamaño es el mejor.
Uno tiene 425 cm2 de área en su cara basal y 0,25 m de altura. El otro tiene como
base un triángulo rectángulo de catetos iguales de 12 cm, y altura 185 mm.
¿Cuál de los dos tiene mayor volumen?
12. Calcula el volumen de la casa de la perrita
Kika, según las medidas que se señalan
en el dibujo.
Compara tus respuestas en tu curso. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error?
Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
1. Marca según tu apreciación.
Prismas rectos.
Volumen: unidades de medida.
Volumen de prismas rectos de base rectangular.
Volumen de prismas rectos de base triangular.
Volumen de cuerpos que se pueden descomponer en
prismas rectos de base rectangular y triangular.
Resolución de problemas.
2. Reflexiona y aprende.
a) ¿Qué dificultades tuviste en la unidad?, ¿cómo las superaste?
b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la unidad?, ¿por qué?
c) Vuelve a la página 138 y revisa el recuadro “En esta unidad podrás…”,
¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.
¿QUÉ LOGRÉ?
No lo
entendí
Lo
entendí
Puedo
explicarlo
1 m
1 m
1,2 m
75 cm
Página 137
9. 108 cm2
10. 450 metros
11. Carlos pierde 19 monedas, Javier 7 monedas y
Aldo 14 monedas.
12. Hay 8 avestruces y 7 jirafas.
Página 140
¿CUÁNTO SABES?
1. a) 64 cm2
b) 225 cm2
c) 36 cm2
d) 84 mm2
e) 4,5 cm2
f) 7,84 cm2
2. a) 54 cm2
b) 216 cm2
c) 168 m2
d) 14 cm2
e) 2,96 m2
f) 14,4 m2
3.
Página 141
4.
5. a) 80 rollos de alambre.
b) 9 600 000 kg de uvas.
c) 1000 m por lado.
d) 10 000 000 kg de uvas.
Página 143
1. Son prismas rectos los cuerpos representados en a),
c), e), g) y h), porque tienen dos caras basales que
son polígonos, sus caras laterales son rectángulos y
sus caras laterales son perpendiculares a sus caras
basales.
4. No, porque tienen solo una cara basal y sus caras
laterales son triángulos, es decir, son pirámides.
Página 144
1. El tercer cuerpo es el que tiene mayor volumen,
16 cm3.
Página 145
2. a) Es mayor el cubo cuya arista mide 1 cm;
es mayor el cubo cuya arista mide 1 m
b) Dividir por 1000; dividir por 1 000 000;
1 000 000 000; multiplicar por 1000; multiplicar
por 1 000 000; multiplicar por 1 000 000 000.
3. a) m3 b) cm3 c) cm3 d) m3
4. a) 6 540 000 cm3 d) 0,0675 m3
b) 280 000 000 mm3 e) 0,0084 m3
c) 4,9 cm3 f) 3 650 000 000 mm3
Unidad 6
Milímetros (mm) Centímetros (cm) Metros (m)
125 12,5 0,125
4500 450
1080
3750
2,5
4,5
10 800 10,8
37 500 37,5
25 0,025
Milímetro
cuadrado (mm2)
Centímetro
cuadrado (cm2)
Metro
cuadrado (m2)
160 000 1600 0,16
720 7,2
2500
96 000
196
0,00072
250 000 0,25
9 600 000 9,6
19 600 0,0196
Página 146
1. 3750 cm3
Página 147
2. a) 735 cm3
b) 1176 m3
c) 630 cm3
d) 4950 mm3
e) 2380 cm3
f) 49 000 mm3
• El volumen se duplica. El volumen se reduce a la
cuarta parte. En prismas de base rectangular, sí.
3. 1 125 000 litros
• Con la mitad de los litros que llenan la piscina,
es decir, con 526 500 litros
4. La altura debe ser 6 m.
5. a) 450 litros
b) 45 000 cm3
Página 149
1. a) 432 cm3
b) 1600 cm3
c) 4590 cm3
d) 40 m3
2. a) 1 500 000 cm3
b) No alcanza la altura.
c) 5 m2
d) No con la altura mínima que pide la educadora.
Página 151
1. 576 m3, 450 cm3, 1250 mm3
2. 1987,2 cm3, 557,55 cm3
3. 300 m3
MI PROGRESO
1. 3,84 m3
3. 38,88 m3
Página 153
1. La del ítem a, ya que tiene 16,666… cm3,
en cambio, la del ítem b tiene 4 cm3 y la del ítem c
tiene 6,85 cm3.
2. 100 000 litros.
3. 2 592 968,434 m3
4. a) 100 cm2
b) 8 aristas.
c) 5 vértices.
d) Se reduce a la mitad.
e) Aumenta al cuádruple.
Página 155
BUSCANDO ESTRATEGIAS
1. a) 69 120 cm3
b) 3491,712 cm3
3. a) 1128 mm3
b) 482,8 cm3
Página 158
¿QUÉ APRENDÍ?
1. C 6. A
2. B 7. D
3. C 8. B
4. A 9. C
5. B
Página 159
9. 57 600 cm3
10. Tiene mayor volumen el envase de 425 cm2 de
área basal y 0,25 m de altura.
11. 1,575 m3