PATRONES DE CRECIMIENTO LINEAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF

Share Button

CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Potencias de base real y exponente entero , Simplificación de expresiones con números reales , Sucesiones , Término general , Representación gráfica , Patrones de crecimiento lineal , Función de primer grado , Función lineal o proporcionalidad directa ,
Objetivos del módulo
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

• Aplicar las reglas de potenciación en la resolución de problemas de números reales con exponentes
negativos para desarrollar un razonamiento lógico-matemático.
• Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores o de su gráfico para comprender
y predecir variaciones constantes.
Números reales
Patrones de crecimiento lineal
En este módulo consolidarás los procedimientos de cálculo con potencias y representarás gráficamente patrones
de crecimiento lineal.
• Simplificar expresiones de números reales con
exponentes negativos con la aplicación de las reglas
de potenciación.
• Reconocer patrones de crecimiento lineal en tablas
de valores y gráficos.
• Graficar patrones de crecimiento lineal a partir de
su tabla de valores.
• Presentar de manera clara y ordenada los ejercicios
realizados.
• Confiar en tus propias capacidades para efectuar
operaciones matemáticas.
• Usar la calculadora de forma racional para operar
con potencias.
es el símbolo de la raíz.
b es el radicando.
a es una raíz.
Para la activación de conocimientos previos
• Es necesario que los alumnos sean capaces de aplicar el concepto de potencia a la descripción de situaciones
de la vida real. Por este motivo, sería interesante plantearles actividades operativamente sencillas
en un contexto real; por ejemplo, describir en forma de potencia situaciones del tipo: “Una escuela
tiene seis aulas, en cada aula hay seis alumnos y cada alumno tiene seis lápices de colores.
¿Cuántos lápices tienen entre todos?”.
• También es muy importante que relacionen las propiedades de las potencias con las propiedades de la
multiplicación. Así mismo, puede ser útil utilizar ejemplos de aplicación incorrecta de las propiedades
de la potenciación (por ejemplo, (2 + 3)2 ≠ 22 + 32).
• Hay que insistir en el uso razonable de la calculadora, la cual ha de ser una herramienta utilizada solo
cuando sea necesaria; se tiene que prestar mucha atención, en este caso, a los pasos que hay que seguir
para introducir una expresión numérica. Insistir, de nuevo, en la necesidad de efectuar todas las
operaciones sencillas o inmediatas sin el recurso de la calculadora. En cualquier caso, hay que poner
énfasis en el proceso de introducir paréntesis con el fin de modificar el orden en que se efectuarán las
operaciones.
Para la evaluación

• Solicite a los estudiantes la realización de un resumen de los contenidos tratados en esta sección y luego
la exposición de los mismos.
• Para llevar adelante la observación del trabajo propuesto anteriormente, se debe preparar antes la lista
de control bien elaborada por el propio observador, o bien recogida en algún texto que trate de los aspectos
a observar.
La lista de control evita la pérdida de información que conlleva la simple retención memorística: muchos
datos se pierden o se recuerdan deformados. Durante la sesión, en silencio y de modo que su presencia
pase lo más desapercibida posible, rodea los correspondientes “sí” o “no” según lo que observa.
Para la aplicación del conocimiento
• Solicite que elaboren tablas y analicen gráficas con base a información de situaciones reales. Ejemplo:
El alquiler de auto viene dado por un precio fijo de $ 5 y se cobra $ 1 por cada 10 km de recorrido.
• Buscar en libros, periódicos, revistas, Internet, consultar con profesionales médicos, encontrar tablas de
valores que puedan ser usados para graficar patrones de crecimiento lineal. Estos deberán ser elaborados
en materiales alternativos, con dibujos alusivos al tema, colores a libre elección y presentados en el
aula de clase con la explicación de cómo fueren hechos.

Prerrequisitos

Recuerda
• El conjunto formado por los números racionales y los
irracionales recibe el nombre de conjunto de los
números reales, y se representa por .
• Una potencia de base un número racional y
exponente un número natural n es la multiplicación
de la base por ella misma tantas veces como indique
el exponente.
n veces
• La raíz cuadrada de un número b es otro número a
que, elevado al cuadrado, nos da b.
, si a2 = b
• Dos magnitudes son directamente proporcionales
si, al multiplicar o dividir un valor de una de ellas por
una constante, el valor correspondiente de la otra queda
multiplicado o dividido por la misma constante.
• Si dos magnitudes son directamente proporcionales,
la razón entre pares de valores correspondientes
es constante y se llama constante de proporcionalidad.
Evaluación diagnóstica
• Resuelve:
• Calcula:
a) 2x + 3x b) b · b2 c) 17y2 : 5y
• Expresa como potencias de exponente positivo.
• Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
• Calcula:
• ¿A qué potencia debes elevar 10 para obtener como
resultado 100? Completa la siguiente ecuación para
expresarlo.
10x = ……… ⇒ x = ………
• Escribe cuatro múltiplos de 11 y cuatro divisores
de 125.
• Calcula el valor numérico de para los
siguientes valores de n.
a) n = 3 b) n = 5 c) n = 10

1 Potencias de base real y exponente
entero
Sabemos que el producto de varios números racionales iguales puede expresarse
como una potencia de base racional.
Si el factor que se repite es un número real, podemos expresarlo de manera análoga
como:
π  π  π  π  π = π5
Así, tenemos una potencia de base el número real π y de exponente el número
natural 5.
Pero, ¿qué sucede si el exponente de una potencia es 1? En tal caso no podemos
aplicar la definición de potencia, ya que no existen productos con un único
factor. En este caso se toma como valor de la potencia la propia base. Así,
por ejemplo, π1 = π.
Las operaciones con potencias de base real y exponente natural tienen las mismas
propiedades que las de base racional. Obsérvalas.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
· · · · · =

⎝ ⎜

⎠ ⎟
La potencia de base un número real a y exponente un número natural
n es el producto del número a por sí mismo, n veces.
n veces
an = a  a  a  …  a

La potencia de base un número real a y exponente 1 es igual a a.
a1 = a

a2  a2  a2 = a2+ 2+ 2 = a6
(a2)3 =
a2  3 = a6
Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma
base y se multiplican los exponentes.
(a m)n = a m  n
(a  b)3 = (a  b)  (a  b)  (a  b) =
= a  a  a  b  b  b = a3  b3
Para elevar un producto de números reales a y b a
una potencia de exponente natural n se eleva cada uno
de los factores a dicha potencia.
(a  b)n = an  bn
4 veces
a7 ÷ a3 =
a7− 3 = a4
Para dividir dos potencias de la misma base real am y
an siendo a0, my n números naturales y m> n, se deja
la misma base y se restan los exponentes.
am ÷ an = am− n con a  0 y m > n
a a a a a a a
a a a
a a a a a
· · · · · ·
· ·
= · · · = 4
7 veces
(a  a  a  a  a)  (a  a) = a  a  a  a  a  a  a = a7
a5  a2 =
a5+ 2 = a7
Para multiplicar potencias de la misma base real y
exponentes números naturales, se deja la misma base
y se suman los exponentes.
am  an = am+ n
Multiplicación de potencias de la misma base División de potencias de la misma base
Potencia de un producto Potencia de una potencia
Consideremos seguidamente el caso en que el exponente sea un número entero.
Las potencias de base real y exponente entero positivo son justamente las potencias
de base real y exponente natural que ya hemos visto. Pero, ¿qué ocurre
si el exponente es 0 o un número entero negativo?
Las potencias de exponente 0 o un número entero negativo se definen de manera que
las propiedades de las potencias de exponente natural continúen siendo válidas,
en particular la propiedad de la división de potencias de la misma base.
Expresa:
a) π−4  π 6 en forma de una sola potencia de base π.
b) a7 ÷ a−4 en forma de una sola potencia de base el número
real a.
c) (a3  π 2)−2 como producto de potencias.
d) (a6)−3 en forma de potencia de base el número real a.
ejemplo 1
c) ( · )
( · ) ·
a · ·
a a a
3 2 a
2
3 2 2 6 4 6 4
6 1 1 1 1
π
π π π
− = = = = − π−4
b) a : a a : ·
a
7 4 7 a a a a
4
7 4 7 4 11 1 − = = = + =
a) π ·π ·
π
π π
π
− 4 6 = = = π − = π
4
6
6
4
6 4 2 1
Aplicamos las propiedades de las operaciones con potencias.
Transforma las siguientes potencias para que tengan
exponente positivo.
a) (3π)−2 c) (π − 1)−5
b) d)
Expresa en forma de una sola potencia:
a)
b) (3−5  3−2)−6 ÷ [(5 − 2)2]−3
c) [(3 + π)5 ÷ (3 + π)−2]4
⎛ −
⎝ ⎜

⎠ ⎟
⎛ −
⎝ ⎜

⎠ ⎟
⎛ −
⎝ ⎜

⎠ ⎟

3
4
3
4
3
4
5 4 3
· ·
2
4
3
1
x +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
− 4
9
3
⎛ x
⎝ ⎜

⎠ ⎟

1
Actividades 
Consideramos la división π4 ÷ π4. Consideramos la división π3 ÷ π5.
π4− 4 = π0 π3− 5 = π−2
π4 ÷ π4 = π0 = 1
Si aplicásemos la
regla para dividir
potencias
π3 ÷ π5 =
Si aplicásemos la
regla para dividir
potencias
π π π π
π π π π
· · ·
· · ·
= 1
π π π
π π π π π π π π
· ·
· · · · ·
= =
1 1
2
π
π
−2 =
2
1
La potencia de base un número real a, a ≠ 0,
y exponente 0 es igual a 1.
a0 = 1, con a ≠ 0
 La potencia de base un número real a, a ≠ 0, y exponente
un número entero negativo −n es igual al inverso
de la potencia de base el mismo número real y exponente
positivo.
a
1
a
n
n
− =

Potencias de exponente 0 Potencias de exponente negativo
d) ( )
( )
a
a a
6 a
3
6 3 18
18 − 1 1 − ÷ ÷ = = =
3 Resuelve los siguientes problemas, simplificando primero cada término.
Actividades 
2 Simplificación de expresiones
con números reales
Para realizar operaciones con números reales que están representados por
varios factores, es aconsejable simplificar las expresiones matemáticas antes de
operarlas. Observa los siguientes ejemplos:
Resuelve la siguiente expresión:
ejemplo 2
a) En primer lugar, identificamos los términos en la expresión.
Primer término Segundo término
b) Luego, ordenamos, de acuerdo a una letra, los factores del numerador y del denominador.
c) Siempre que la división sea exacta, dividimos la parte literal y las variables del
numerador para sus similares en el denominador.
4 ÷ 2 = 2
a2 ÷ a = a
d) Finalmente, operamos los términos resultantes:
a)
b)
c)
d)
4
2
a2
a
4 a2
2 a
= 
4 a2
2 a
= 2  a
4a2
2a
+
+
a
{
{
4a2
2a
+ a
4a2
2a
+ a = 2a + a = 3a
Resuelve el siguiente ejercicio:
ejemplo 3
a) En primer lugar, identificamos los términos en la expresión.
c) Luego, operamos los términos.
b) Ordenamos y, dividimos los factores del numerador con los del denominador.
x ÷ x2 = x–1
Primer término Segundo término
4x
3×2 –

{
{
4x
3×2
2
x

4x
3×2
2
x

4x
3×2
4x
3x
= =
2
x
4x–1
3
= = 4 – 6
3x
–2
3x
9a3z
3a2 6az –
18x2b
9b2x
8c2b
16c
7x
14b
+
+ cb
2x3y
4×2
5x4y7
15(xy2)3 –2xy –
Simplificar los términos antes de operar una expresión algebraica ayuda a que las
operaciones que posteriormente desarrollaremos sean más sencillas de realizar.
Cuando simplificamos una expresión matemática el valor de esta no se altera, solo
varía su representación.
Para simplificar varios términos, debemos encontrar el factor común del numerador
y del denominador, observa.
Simplifica:
ejemplo 4
a) Buscamos el término común del denominador y del denominador de las dos expresiones.
• Los numeradores 8x2z y 4xz2 tienen el factor común: 4xz.
• Mientras que el factor común de los denominadores 4 y 12 es 4.
Luego, expresamos los términos sin su factor común, es decir a cada numerador
lo dividimos para su factor común y a los denominadores para el suyo.
8x2z ÷ 4xz = 2x y 4xz2 ÷ 4xz = z
4 ÷ 4 = 1 y 12 ÷ 4 = 3
8x2z
4
– 4xz2
12
8x2z
4
– 4xz2
12
= 4xz
4
 2x
1 ( – z
3 )
b) Finalmente, simplificamos los factores de cada término.
8x2z
4
– 4xz2
12
= 4xz
4
 2x
1 ( – z
3 )
4 Simplifica.
Representa con material concreto las siguientes fracciones y encuentra su expresión
más simple.
5
Actividades  Para simplificar dos términos
de una expresión algebraica,
deben estar multiplicándose o
dividiéndose.
 FÍJATE
x
x
= 1 ó 1
x
 x = 1
x
x x
x
4×2
16
≡ x2
4
a)
b)
8ab2
5ba

4ba2
25a2
c)
d) 7(xy)2
17y3
– 14x2y4
34y5
81xy –9xy + 27yx2
9xy
3×2
45×3 +
3×3
15×4
2x
8
a) 14y2
7
b)
= xz  ( – z
3 2x )
3 Sucesiones
Observa los siguientes conjuntos ordenados:
• Lunes, martes, miércoles…
• Enero, febrero, marzo…
• 2, 4, 6…
• 4, 8, 12…
Todos ellos pueden representarse mediante una función que relaciona un elemento
del conjunto con el lugar que ocupa en él.
Posición Elementos
1 Lunes Enero 2 4
2 Martes Febrero 4 8
3 Miércoles Marzo 6 12
… … … … …
Entre estos conjuntos ordenados, los de números reales que se corresponden
con los números naturales se denominan sucesiones numéricas y cada
elemento, término.
La forma general de representar una sucesión es:
a1, a2, a3,…, an…
Para representar los diferentes términos se emplea una misma letra con distintos
subíndices que indican el lugar que ocupa cada uno de ellos en la sucesión.
3.1. Término general
En algunas ocasiones es posible obtener los términos de una sucesión a partir
de una expresión que permite calcular cualquier término sabiendo el lugar
que ocupa.
Veamos la sucesión de los múltiplos de 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12…
a1, a2, a3, a4, a5, a6…
Cada término se obtiene al multiplicar por 2 el número del lugar que ocupa.
Por tanto, la expresión del término general an será:
an = 2 n
Conocida esta expresión podemos calcular cualquier término. Por ejemplo, el
término decimoctavo será:
a18 = 2 · 18 = 36
< menor que > mayor que
 menor o igual que
mayor o igual que
Observa:
• ab significa que a < b, o bien, que a = b. • a b significa que a > b, o bien,
que a = b.
Notación
Para clasificar una sucesión, comparamos
los términos que la componen.
Así, una sucesión puede ser:
— Sucesión creciente, si:
a1 a2 a3 … an …
Ejemplo: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4…
— Sucesión decreciente, si:
a1 a2 a3 … an …
Ejemplo: 5, 1, 1, −1, −2, −2…
— Sucesión estrictamente creciente,
si:
a1 < a2 < a3 < ... < an < ... Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6... — Sucesión estrictamente decreciente, si: a1 > a2 > a3 > … > an > …
Ejemplo: 4, 2, 0, −2, −4,−6…
Tipos de sucesiones Una sucesión numérica es una función en la que la variable independiente
es un número natural y la variable dependiente es un número real.

El término general de una sucesión es una expresión matemática que
relaciona la posición que ocupa un término con su valor.

¿Qué es una sucesión acotada superiormente?
¿Y acotada inferiormente?
Pon un ejemplo de cada
una de ellas. Puedes consultar la
página http://www.sectormate
matica.cl/contenidos/sucacot.htm.
@
3.2. Representación gráfica
Los términos de una sucesión son números reales, por lo que podremos representarlos
sobre la recta real. Veamos algunos ejemplos:
• 1, 3, 6, 10, 15…

• 1, −2, 4, −8, 16…
También podemos representar gráficamente una sucesión en un sistema de
coordenadas cartesianas en el plano representando los pares (1, a 1),
(2, a2), (3, a3)…
En la figura 1 puedes observar la representación gráfica de la sucesión 1, 3, 6,
10, 15… en un sistema de coordenadas cartesianas.
Esta representación permite visualizar mejor las propiedades y las características
de las sucesiones.
1
2
1
4
1
6
1
8
1
10
, , , , …
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2 4 6 n
an
1 3 5 7
■ Fig. 1
–5 15
a4 a2 a1 a3
0 5
a5
0 1
2
1
a5
14
16
18
1
10
a4 a3 a2 a1
0 5 10 15
a1 a2 a3 a4 a5
De la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
en la que cada término, excepto
los dos primeros, se halla sumando
los dos términos inmediatamente
anteriores, se dice que
es recurrente porque para calcular
un término hay que recurrir
a términos anteriores.
Esta sucesión es conocida como
sucesión de Fibonacci, por ser
este matemático italiano el primero
en describirla. Y, curiosamente, se
encuentra en numerosos ejemplos
de la naturaleza: la disposición de
las formas de la piña, de las hojas
alrededor del tallo en algunas
plantas o de las semillas en la
flor del girasol.
Sucesión de Fibonacci
Escribe doce términos consecutivos de la sucesión de los múltiplos de 5.
¿Puedes escribir todos los múltiplos de 5? Razona tu respuesta.
¿Cómo expresarías los siguientes términos?
a) El anterior a an. c) El siguiente a an − 2.
b) El posterior a an. d) El anterior del anterior a an.
Escribe la expresión del término general de las sucesiones siguientes.
a) 3, 6, 9, 12, 15, 18… c) 3, 5, 7, 9, 11, 13…
b) d) 1, 4, 9, 16, 25, 36…
Escribe los diez primeros términos de la sucesión cuyo término general es:
a) b)
Clasifica estas sucesiones como crecientes o decrecientes, y represéntalas gráficamente.
a) 2, 0, −2, −4, −6… c) Los siete primeros múltiplos de 3.
b) 3, −3, 3, −3, 3… d) 4, 7, 10, 10, 12…
Observa la representación gráfica de una sucesión.
— Escribe los cinco primeros términos de la sucesión
y calcula la expresión del término general.
a
n
n n = +
+
2
2
1
2
11
10
a
n n
n n = − +
+
2 3 1
2
9
2 1
2
3
1
2
2
5
1
3
, , , , , …
8
7
6
Actividades 
1
an
12
10
8
6
4
2
2 3 4 5 n
Busca ejemplos en la naturaleza
en los que esté presente la sucesión
de Fibonacci. Obtendrás
ayuda en la página http://www.
juntadeandalucia.es/averroes/
recursos_informaticos/concurso
02/alumnado/naturaleza.html.
@
4 Patrones de crecimiento lineal
Geométricamente es posible representar las partes de un término algebraico.
En un monomio podemos distinguir al coeficiente y la parte literal, esta última
puede tomar valores de un conjunto ordenado de números, formando así una
sucesión, veamos algunos ejemplos:
En el monomio 4a, la parte literal puede tomar los valores del conjunto de los números
naturales, formando un nuevo conjunto.
El nuevo conjunto representa una sucesión de números que aumenta.
También podemos usar al conjunto de los números enteros positivos para
encontrar una sucesión a partir del monomio .
En este caso, como no existe la división para cero, debemos excluir a este
número e ir asignando otros valores del conjunto de los enteros a la parte
literal del monomio.
Los elementos de este nuevo conjunto, forman una sucesión de elementos
que decrece continuamente al aumentar el valor del conjunto de los
números enteros positivos sin el cero. A las expresiones algebraicas que asociadas
a un conjunto ordenado producen una sucesión creciente, se las
conoce como patrones crecientes, mientras que las que producen una sucesión
decreciente se las conoce como patrones decrecientes.
Antes de encontrar los valores que representan a un patrón de crecimiento,
debemos simplificar los términos de la expresión matemática, para interpretar el
patrón con facilidad.
Encuentra seis términos de la sucesión formada a partir del conjunto de los números naturales y de la expresión algebraica
siguiente:
ejemplo 5
a) En primer lugar, simplificamos la expresión algebraica.
= 4x –2×3–2 = 4x –2x = 2x
b) Luego, reemplazamos los primeros elementos del conjunto de los números naturales, en la expresión algebraica
resultante, 2x:
Para crear cada elemento de las sucesiones anteriores hemos utilizado a un conjunto
ordenado de elementos. Cada par de elementos, uno de la sucesión y otro del conjunto
ordenado, forma un par ordenado al que lo podemos graficar, observa:
2×3
x2
4x –
2×3
x2
4x –
Elementos del conjunto
0
1
2
3
4
5
Elementos de la serie resultante
2x = 2(0) = 0
2x = 2(1) = 2
2x = 2(2) = 4
2x = 2(3) = 6
2x = 2(4) = 8
2x = 2(5) = 10
Grafica la sucesión del ejercicio anterior.
ejemplo 6
a) Primero, formamos los pares ordenados donde el primer elemento del
par es el número del conjunto ordenado y el segundo es el elemento
de la sucesión que se formó a partir de ese elemento.
(0;0) ; (1;2) ; (2;4) ; (3;6) ; (4;8) ; (5;10)
b) Luego, en el eje de las abscisas de un plano cartesiano, representamos
los elementos del conjunto ordenado.
c) Seguido, en el eje de las ordenadas, colocamos los elementos de la
sucesión que se encontraron a partir del conjunto ordenado.
d) Finalmente, graficamos los puntos que forman en el plano los pares
ordenados.
Utilizando el conjunto de los números naturales encuentra los cinco primeros elementos de las sucesiones formada
a partir de los siguientes términos. Indica si son crecientes o decrecientes y realiza su gráfico.
12
Actividades 
N
1
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2 3 4 5
0
(5; 10)
(4; 8)
(3; 6)
(2; 4)
(1; 2)
(0; 0)
a) 2b
3
b) 3x + 1 c) c
3
– 1 d) 2
x
+ 2
5 Función de primer grado
Vamos a estudiar las funciones de primer grado o funciones afines, que son aquellas
cuya expresión algebraica es un polinomio de primer grado en la variable x.
En el caso particular que la ordenada en el origen sea nula estas funciones reciben
el nombre de funciones lineales o de proporcionalidad directa. El dominio
de la función son los números reales.
5.1. Función lineal o de proporcionalidad directa
En primer lugar, vamos a estudiar la función lineal o de proporcionalidad directa.
Para ello, veamos el siguiente ejemplo.
El espacio recorrido por un atleta que se desplaza a una velocidad constante
de 15 km/h está en función del tiempo que invierte en recorrerlo.
Expresamos esta dependencia en la siguiente tabla de valores.
Observamos que se trata de dos magnitudes directamente proporcionales, es
decir, que existe entre ellas una proporcionalidad directa.
La constante de proporcionalidad viene dada por el cociente entre el valor del
espacio recorrido y el valor del tiempo correspondiente.
En general, se cumple que , es decir, la expresión algebraica de esta
función es y = 15 x. Diremos que es una función lineal o de proporcionalidad
directa.
Si consideramos ahora un ciclista que se desplaza a una velocidad constante de
40 km/h, la función que relaciona el espacio recorrido y el tiempo transcurrido
viene dada en la siguiente tabla de valores.
En este caso, la constante de proporcionalidad es:
La expresión algebraica de la función es y = 40 x.
Al representar en el mismo sistema de coordenadas cartesianas las gráficas
de estas dos funciones (fig. 1), observamos que ambas son semirrectas cuyo
punto inicial es el origen de coordenadas.
Además, la inclinación de la semirrecta dada por y = 40 x respecto al semieje positivo
de abscisas es mayor que la de la semirrecta dada por y = 15 x.
40
1
80
2
120
3
160
4
= = = = 40
y
x
= 15
15
1
30
2
45
3
60
4
= = = = 15
Tiempo en horas (x ) 1 2 3 4
Espacio recorrido en kilómetros (y ) 15 30 45 60
Tiempo en horas (x ) 1 2 3 4
Espacio recorrido en kilómetros (y ) 40 80 120 160
Tiempo
(horas)
20
40
60
2 4 5
80
100
120
140
160
1 3
Espacio
(km)
Las funciones de primer grado
son funciones polinómicas de primer
grado, cuya expresión algebraica
es de la forma:
y = mx + b
donde m ≠ 0.
 FÍJATE
Analiza algunas características de
la función lineal y realiza las actividades
que se proponen en la
página http://www.pntic.mec.
es/Descartes/Autoformacion/
Archivos_comunes/La_funcion_
lineal.htm
@
■ Fig. 1
Esta inclinación depende de la constante de proporcionalidad, de manera que
cuanto mayor sea dicha constante, mayor será la inclinación de la recta respecto
al semieje positivo de abscisas.
Así pues, la constante de proporcionalidad es igual a la pendiente de la
recta, que representaremos por m.
Para calcular el valor de la pendiente, efectuamos el cociente entre un valor de
la variable y con relación al valor correspondiente de la variable x.
Consideremos ahora la siguiente situación.
Un embalse se encuentra lleno. Al abrir las compuertas, el nivel del
agua desciende 1,5 cm cada hora.
Expresamos esta dependencia en la siguiente tabla de valores.
En este caso, la constante de proporcionalidad es −1,5 y la expresión algebraica
de la función es y = −1,5 x.
La gráfica de esta función es también una semirrecta cuyo punto inicial es el
origen de coordenadas, pero su pendiente es negativa.
En general, la función lineal o de proporcionalidad directa se define para cualquier
valor de la variable x y expresa la relación entre dos variables directamente
proporcionales.
y
x
= m
Nivel (cm)
–4
–2
–6
1 2 3 4 x
–1
–5
–3
y Tiempo (horas)
Una función lineal o de proporcionalidad
directa es:
• Creciente, si la constante de
proporcionalidad es positiva.
• Decreciente, si la constante de
proporcionalidad es negativa.
 FÍJATE
y = mx (m>0)
y = mx (m<0) m y 1 1 m y x x Tiempo en horas (x ) 1 2 3 4 Nivel (y ) −1,5 −3 −4,5 −6 Una función lineal o de proporcionalidad directa es una función cuya expresión algebraica es de la forma y =mx(m≠ 0), siendo mla constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m.  Representa gráficamente las siguientes funciones lineales. a) y = 3 x b) y = −2 x c) y = 0,4 x — Indica en cada una de ellas la pendiente de la recta. La sandía es una fruta con muy bajo aporte energético: 30 kcal/100 g. Elabora una tabla de la energía aportada en función de la masa de sandía ingerida y dibuja la gráfica correspondiente. Calcula la pendiente de la recta obtenida. Un alimento con un alto aporte energético son las nueces: 675 kcal/100 g. Elabora la gráfica de la energía aportada en función de la masa de nueces ingerida y compárala con la de la actividad anterior. 15 14 13 Actividades  Actividades  Cómo resolver problemas Ejecución del plan de resolución a) Las expresiones algebraicas de las dos funciones son: Opción A: y = f (x) = 1 800 Opción B: y = g (x) = 800 + 50 x b) Representamos gráficamente estas dos funciones. c) A partir de las gráficas, obtenemos: f (25) = 1 800 ; g (25) = 2 050 Por lo tanto, la opción B es la más favorable. d) Observamos en las gráficas anteriores que f (x) < g (x) si x > 20. Así, la opción B es la más beneficiosa siempre
que se vendan más de 20 enciclopedias.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Podemos comprobar el resultado del apartado c) a partir
de las expresiones algebraicas de las funciones f y g.
Podemos comprobar que el resultado del apartado d) es
correcto constatando que se cumple la condición f (x) < g (x) para algunos valores de x mayores que 20. Comprensión del enunciado — Vuelve a leer el enunciado. — Anota los datos conocidos y lo que te piden. Planificación de la resolución Observamos que en ambas opciones la relación de dependencia es una función. Hallamos la expresión algebraica de las funciones correspondientes a la opción A y a la opción B. Realizamos la representación gráfica de estas funciones en un mismo sistema de coordenadas. A partir de las gráficas de ambas funciones, responderemos a los apartados c) y d). Un vendedor de enciclopedias puede elegir dos opciones en el momento de firmar su contrato laboral: Opción A: $ 1 800 fijos mensuales. Opción B: $ 800 fijos mensuales más $ 50 por cada enciclopedia que venda. a) Obtén la expresión algebraica de las funciones que proporcionan el sueldo de un mes en función del número de enciclopedias ven didas. b) Representa gráficamente estas dos funciones. c) Si el vendedor prevé una venta mensual de 25 enciclopedias, ¿qué opción le interesa más? d) ¿Cuántas enciclopedias han de venderse co mo mínimo para que la opción B sea más beneficiosa? x y g f 5 10 15 20 25 30 2 300 1 800 1 300 800 2 050 En la figura de la derecha, la gráfica verde representa la altura en función del tiempo de un globo sonda lanzado desde lo alto de una torre. La gráfica roja representa la altura en función del tiempo de un proyectil disparado verticalmente y hacia arriba. a) ¿Qué altura tiene la torre desde donde se lanza el globo sonda? b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre que se lanzan el globo sonda y el proyectil? c) ¿En qué instantes ambos están a la misma altura? d) ¿En qué intervalo de tiempo el proyectil está por encima del globo? 16 Altura (m) Tiempo (s) y x 120 100 80 60 40 20 2 4 6 8 10 12 14 16 Síntesis En resumen  La potencia de base un número real a y exponente un número natural n es el producto del número a por sí mismo, n veces. n veces an = a  a  a  …  a ; a1 = a ; a0 = 1 a -n = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 1 a a n n Propiedades de las operaciones con potencias de ellas estudiamos se relacionan matemáticamente con Potencias de base real y exponente entero Potencias Raíz cuadrada de un número real de ellos estudiamos Raíz enésima de un número real Radicales an = b operamos con ellas aplicando puede expresarse como Propiedades de las operaciones con radicales operamos con ellos aplicando Potencias de base real y exponente racional a = n b  Una sucesión numérica es una función en la que la variable independiente es un número natural y la variable dependiente es un número real. Cada uno de los elementos del conjunto imagen recibe el nombre de término. La expresión matemática que relaciona la posición que ocupa un término con su valor se denomina expresión del término general.  Una función constante es una función cuya expresión algebraica es de la forma y = b, siendo b la ordenada en el origen. Su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas por lo que tiene pendiente 0.  Una función lineal o función de proporcionalidad directa es una función cuya expresión algebraica es de la forma y =mx (m ≠ 0), siendo m la constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente m.  La raíz enésima del número real b es el número real a si se cumple que an b. Se expresa . es el radical. n es el índice del radical. b es el radicando. a es la raíz. • Propiedades de las operaciones con radicales Dados los números reales a, b, c y d, se cumple: • Para introducir un factor en un radical se eleva dicho factor al índice del radical. • La potencia de base un número real a y de exponente un número racional se define como la raíz de índice n y radicando am. • Propiedades de las operaciones con potencias de base real y exponente racional Si a, b y c son números reales y m y n números racionales, se cumple: a a a a a a (a ) m n p q m n p q m n p q m n p q m n p q ⋅ = = ≠ = + − : 0 a( ) a (a b) a b a = a m n p q m n m n m n m n m n ⋅ ⋅ = ⋅ − 1 a a m n = n m m n a b c b (a c) b a b · c d a · c b · d a b c d a n n n n n n n n + = + = = c b d (a b ) a b a a n n m = m n m ; m n = m·n n b = a n b { ÷ La suma de los primeros n números enteros Vamos a encontrar una expresión que nos permita calcular la suma de los primeros n números enteros. Aplicaremos el método del célebre matemático árabe del siglo X, al-Karhki, para ello, iniciamos desarrollando el cuadrado de un binomio. Así ( k + 1 )2 = k2 +2k +1 Trasponiendo al lado izquierdo la potencia k2 , te quedará: ( k + 1 )2 − k2 = 2k +1 Haciendo que k − obtienes ( − fórmulas. Así por ejemplo, cuando k obtendrás 2 − 2 Cuando k = 2, obtendrás 2 − 2 Y así sucesivamente, hasta cuando k = n-1. Te quedará 2 − − 2 − Juntando convenientemente las fórmulas, resultará: 2 − 2 2 − 2 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − − 2 − Al sumar estas fórmulas, todos los términos del lado izquierdo (señalados en rojo) se cancelan 2 − 2 2 − 2 2 − 2 − 2 − − 2 − 2 − − 2 − excepto dos (señalados en verde), y extrayendo el factor común en la suma del lado derecho se obtiene: 2− 2 − − Reescribiendo y usando la notación de suma, te quedará: 2 − 2 − Ejercicios y problemas integradores Se obtiene al sumar los términos independientes de las n fórmulas enlistadas antes.  n-1 k=1 Trasponiendo términos, te quedará: 2 − 2 − − Destruyendo el paréntesis, se producirá: 2 − − Reduciendo términos semejantes 2 − y factorando, obtendrás: − En el lado derecho obtuviste lo que buscabas, la suma de los primeros ( − números. Despejándola, obtienes: ¡Pero necesitas la suma de los n primeros números enteros! Para ello suma n a los dos lados de la igualdad anterior. Te quedará: Operando en el lado izquierdo tienes Reduciendo términos semejantes, resultará: Es decir, la suma de la sucesión de los primeros n números enteros Has obtenido las siguientes fórmulas: − Junto a tus compañeros puedes encontrar: • La suma de los diez primeros números enteros. Sin usar la fórmula y luego usando la fórmula. • La suma de los cien primeros números enteros. Sin usar la fórmula y luego usando la fórmula, (investiga la anécdota del joven Gauss y la suma de estos números). n-1 k=1 n (n – 1) 2 n (n − 1) 2 + n + n Notación sigma para la suma Es una notación abreviada para las sumas, se la nombra como notación sigma debido al uso de la letra griega mayúscula sigma Σ Donde, i es el índice de la suma, indica el límite inferior de la suma e informa el lugar que ocupa el sumando en la sucesión, ai es el término i-ésimo de la suma (cualquiera de los términos) y n es el límite superior de la suma. Unos ejemplos: Σ Σ  FÍJATE n i =1 a= i 6 i =3 a = a + a + a + a i 3 4 5 6 4 i =1 i = 1 + 2 + 3 + 4 n (n − 1) + 2n 2 + n n (n + 1) 2 n-1 k=1 n-1 k=1 n-1 k=1 n-1 k=1 n-1 k=1 n-1 k=1 n-1 k=1 n k=1 n k=1 n k=1 n (n + 1) 2 n (n − 1) 2 n (n + 1) 2 Ejercicios y problemas Potencias de base real y exponente entero Expresa las siguientes operaciones en forma de una sola potencia de base positiva. a) (+2)3  (+2)−4  (−2)4 b) (+7)−2  (73 )3  (−7)4 Expresa el resultado de cada una de estas operaciones en forma de una sola potencia. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo. a) 12−5 b) (a − 1)−3 Resuelve los siguientes ejercicios, simplificando primero cada término. Simplifica y resuelve los siguientes ejercicios, extrayendo el factor común. Encuentra los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones, y determina si corresponden a un patrón creciente o decreciente. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas y grafica los cinco primeros términos usando el conjunto de los números naturales. Función de primer grado ¿Cuántos puntos de la gráfica de una función lineal necesitamos conocer para deducir su expresión algebraica? ¿Y de una función afín no lineal? ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a funciones lineales, afines o constantes? ¿Cuáles no son funciones? a) y = 8 x − 2 c) x = 4 b) y = −5 d) y = 7x La gráfica de una función lineal pasa por el punto (2, 6). Indica cuál de los siguientes puntos pertenece a la gráfica de dicha función. a) (4, 6) b) (1, 3) c) (2, 4) Representa gráficamente las siguientes funciones lineales. a) y = x b) y = −x c) y = −6 x — Indica en cada una de ellas la pendiente de la recta. Construye una tabla de valores y representa gráficamente las funciones de proporcionalidad directa dadas por estas relaciones. a) El precio de una vivienda y su superficie, si cada metro cuadrado cuesta $ 1 500. b) El gasto en gasolina de un auto y los kilómetros recorridos, si cada 100 km gasta $ 8. Sucesiones ¿Cualquier lista de números es una sucesión? Razona tu respuesta. Expresa con una frase cómo se construye cada una de estas sucesiones y escribe, en su caso, el término siguiente. a) 3, 6, 9, 12, 15… d) 1, 3, 5, 7, 9… b) 64, 60, 56, 52, 48… e) 2, 3, 5, 8, 13… c) 1, 4, 9, 16, 25… f) 0, 2, 6, 12, 20… Considera la sucesión 3, 6, 11, 18, 27… y resuelve los siguientes apartados: a) Halla la expresión del término general. b) Calcula el término a100. Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones cuyos términos generales son: a) an = 4 − 3 n c) b) d) 17 18 a) b) ( ) ( ) ( ) :( )
( ) ( )
− ⋅ + − −
− ⋅−


5 5
5
9 9
9 9
2 5
2
5 4
3 2
19
c)
8
3
2
⎛ x
⎝ ⎜

⎠ ⎟

20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
a
n
n n = − 3 2
a
n
n n = − 2 2
2
a
n
n n = − 5 3
2
2x
x2
+ a) 6
3x
16(zxy)2
4y2
+ b) 40z2x2
10
– 30(xz)2
14y3
7y2
c) – 7y
21c4
14c3a
+ d) 5a
25a2
8yx2
6yx
– a) 4×2
2x
45x3y – 15x2y2
15yx2
b)
12b2a – 14ba2 + 6a2b
9b – 7a
c)
1
x
a)
3
2x
b) + 2
x
2
c)
2x – 3 d)
2xy
4x
a) + 1
9x
b)
5y
15xy
c) –2
4xy – 2y
d)
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos En tu cuaderno
÷
Aplicación en la práctica
La base de un rectángulo mide cm y la diagonal
cm. Halla su altura y su
área.
Observa el tangram de la figura y halla el área de cada
una de las piezas que lo componen.
a) Halla el volumen de una esfera de cm de radio.
b) Halla el radio de una esfera cuyo volumen es 36 πcm3.
Busca en Internet el proyecto Descartes, allí encontrarás
muchos ejercicios matemáticos. En este caso
busca los materiales sobre radicales.Lee atentamente
la página y resuelve los ejercicios propuestos.
Observa la siguiente sucesión de figuras formadas
cada una de ellas por cuadrados blancos y negros.
a) Dibuja dos figuras más de esta sucesión.
b) Copia la tabla en tu cuaderno y complétala.
c) ¿Cuántos cuadrados blancos y cuántos cuadrados
negros son necesarios para construir una figura formada
por 102 cuadrados?
d) ¿Cuántos cuadrados blancos y cuántos cuadrados
negros son necesarios para construir una figura formada
por 121 cuadrados?
Unos amigos recorren una parte del Camino del Inca
durante 6 días. El primer día andan 20 km, y cada
día aumentan de forma progresiva la distancia hasta
acabar con una etapa de 35 km.
¿Cuántos kilómetros hicieron en cada etapa y cuántos
en total?
Al completar la línea poligonal de la figura, la longitud
del último segmento es de 30 cm. ¿Cuál es la
longitud total de la línea poligonal?
Para ir a patinar un día festivo con los compañeros y
las compañeras de clase alquilamos unos patines.
El precio del alquiler es de $ 12 diarios.
a) Representa gráficamente la función que relaciona
el importe del alquiler según el número de horas diarias
de uso de los patines.
b) ¿Cuál es la pendiente de la recta obtenida?
El metro cuadrado de papel que se utiliza para empapelar
una habitación de 40 m2 cuesta $ 3.
a) Confecciona una tabla de valores y representa
gráficamente la función que relaciona los metros
cuadrados de pared con el importe.
b) ¿Cuánto cuesta el papel necesario para empapelar
toda la habitación?
La longitud de la sombra que proyecta un edificio, a
una hora determinada, y la altura del edificio son magnitudes
directamente proporcionales. Indica las expresiones
algebraicas de las funciones de proporcionalidad
directa que se obtienen en los siguientes
casos.
4 7
35
34
33
5 5

5
2
3
36
37
38
39
40
41
42
@
Figura 1 5
Cuadrados negros
Número total
de cuadrados
Cuadrados blancos
2 3 4
9 cm
5 cm
7 cm
3 cm
10 cm
6 cm
2 cm
4 cm
8 cm
1 cm
a) Un edificio de 24 m, a las 8 de la mañana, proyecta
una sombra de 30 m.
b) El mismo edificio, a las 10 de la mañana, proyecta
una sombra de 20 m.
— Construye una tabla de valores para los 6 m,
12 m, 18 m y 24 m de altura del edificio, y representa
gráficamente ambas funciones.
— Determina la pendiente de cada recta.
— ¿Qué crees que ocurrirá a las 11 de la mañana?
¿Las sombras serán mayores o menores?
Lee las condiciones de cada uno de estos hoteles.
a) Confecciona, para cada uno de los hoteles, la tabla
de valores relativa a los diez primeros días de estandía
en el hotel.
b) Expresa algebraicamente cómo varía el costo en
cada uno de los hoteles al aumentar la estadía.
c) Representa gráficamente las funciones obtenidas
en el apartado anterior.
d) ¿Cuánto pagará una persona al cabo de 5 días
en cada uno de los hoteles?
e) ¿Al cabo de cuántos días resulta más económico
el hotel El Mar?
f) El coste de la estadía de una persona en el hotel es
de $ 480. ¿En qué hotel se ha alojado? ¿Cuántos
días?
Una excursionista se encuentra a 100 m de una señal
de un cruce de carreteras y empieza a desplazarse en
línea recta alejándose de la señal a una velocidad
de 1,5 m/s.
a) ¿Qué espacio recorrerá en 5 minutos? ¿A qué distancia
de la señal se encontrará en ese instante?
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo se hallará a 400 m de
la señal?
c) Escribe la expresión algebraica de la función que
relaciona la distancia a la que se halla la excursionista
de la señal con el tiempo transcurrido.
d) Representa gráficamente dicha función.
Más a fondo
Piensa y resuelve:
a) 2x = 8 → x = ……
b) 2x + 3x = 35 → x = ……
c) 4  3x = 405 − 3x → x = ……
Escribe la sucesión de los cuadrados de los diez
primeros números naturales.
— Forma una nueva sucesión cuyos términos sean
las diferencias entre dos términos consecutivos de
la sucesión anterior.
— Repite el proceso anterior con la última sucesión.
¿Qué observas?
Diego quiere recorrer una distancia de 5 m saltando
en un solo pie.
En el primer salto alcanza los 2 m y en cada uno
de los siguientes avanza la mitad que en el anterior.
¿Logrará recorrer la distancia que se había planteado?
44
45
46
47
43
Hotel El Mar 
Precio por persona/día $ 60
Estadía mínima 2 días
Hotel La Laguna
Precio por persona/día $ 70
Primer día gratis
Estadía mínima 5 días
100 m
En tu cuaderno
http://www.visitingbarcelona.info
http://tardor.files.wordpress.com
Demuestra tu ingenio
Buen Vivir
La demanda de vivienda en el Ecuador es
un problema social, ya que, se trata de una
de las necesidades básicas en la población,
principalmente urbana, que ha adquirido
características preocupantes, puesto que ni
todo el presupuesto del Estado podría cubrir
los requerimientos habitacionales de la
actualidad. Las causas para este problema
son muchas: la migración del campo a la ciudad,
con el consecuente crecimiento demográfico
urbano; la falta de acceso a fuentes
de trabajo estables y bien remuneradas que
impiden a las personas adquirir una vivienda;
la escasez de planes habitacionales populares
que provocan invaciones y asentamientos
no planificados. Es preciso que comencemos
a cambiar esta situación.
Actividades
Consulten, en el municipio de su localidad,
sobre las políticas habitacionales que
se implementarán en los próximos cinco
años y el porqué de su decisión.
Investiguen cuántas familias de sus compañeros/
as poseen vivienda propia y
cuántas pagan alquiler.
Consulten, en la página web del INEC,
la demanda de vivienda en el Ecuador
y cuál ha sido el crecimiento de la población
urbana y rural con relación al censo
del año 2000 y 2010.
Reflexionen acerca del siguiente postulado:
“el acceso a la vivienda es un derecho
fundamental de las personas”.
Planteen argumentos que respalden esta
posición si están a favor.
Organicen junto con sus familias y comunidades
una propuesta viable para
cubrir las necesidades habitacionales de
su comunidad. Propongan este proyecto
a las autoridades locales.
Lleven la propuesta anterior a sus colegios
y socialícenla. Recuerden que la
comunidad es un actor fundamental para
el progreso y el desarrollo del país.
1
2
3
4
5
6
Buen
Hábitat y vivienda Vivir
El examen
Un examen tipo test consta de 30 preguntas. Cada respuesta correcta vale 3 puntos, mientras que por
cada respuesta en blanco o incorrecta se resta 1 punto. Si un alumno ha obtenido 70 puntos, ¿cuántas
preguntas ha contestado correctamente?
Para aprobar, hay que obtener un mínimo de 42 puntos. ¿A cuántas respuestas correctas equivalen?
Adivinar el número
Una chica propone a su amiga el siguiente
truco de adivinación.
—Piensa un número. Súmale 10. Ahora, multiplica
el resultado por 2. A continuación, réstale
8. Divide el número que tienes entre 2. Ahora,
resta el número que has pensado inicialmente.
Deja que me concentre. Voy a adivinar el número
que has obtenido. Veamos… Es el 6, ¿no
es cierto?
—Sí, exacto, pero… ¿cómo lo haces?
—Es muy fácil, la respuesta siempre es 6.
Juego de tablero
Dos amigos juegan cinco partidas de un juego
de tablero. Uno gana cuatro partidas y el otro
tres. ¿Cómo es posible?

Historia
1. Expresa en forma de una sola potencia de base :
a) (5 3  6)2
2. Escribe el término siguiente de la sucesión 2, 6, 12, 20,
30…
3. Indica los valores de m y b para que la expresión algebraica
y  mx  b corresponda a:
a) Una función constante.
b) Una función lineal o de proporcionalidad directa.
c) Una función afín.
4. Determina la expresión algebraica de una función lineal
sabiendo que pasa por el punto .
1. Expresen en forma de una sola potencia
de base 2.
2. Hallen la expresión del término general de la sucesión
3. Completen en sus cuadernos los siguientes enunciados:
a) El eje de ……………………………………. viene dado por la recta
y  0 y el eje de ordenadas viene dado por la
recta ……………………..
b) Para conocer la ecuación de una recta basta con
conocer …………………… puntos de ésta, o bien, un punto
de la recta y el valor de su ………………………………
2 2
3 2    
1
2
2
3
5
6
1
7
6
, , , , …
P
7
4
,
7
2


b)   
5 1
2 3    : 
Autoevaluación Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
Sección de historia
El cerebro humano funciona asociando
ideas. Así, la noción de correspondencia
es natural en la persona.
Los babilonios recogieron muchos datos
astronómicos en forma de tabla
de valores y trataron de relacionarlos
para predecir la situación de los cuerpos
celestes.
En la obra De configurationibus qualitarum
te motuum, de Oresme (s. XIV),
se refleja la idea primitiva de gráfica
de una función.
Galileo (s. XVII) recoge la idea de función
en sus estudios sobre el movimiento.
Las coordenadas cartesianas y el perfeccionamiento
del lenguaje algebraico
permiten en el siglo XVII definir la gráfica
y la expresión algebraica de una función.
Desde el siglo XVIII, se estudian y se clasifican
las funciones en la rama de las
matemáticas llamada análisis.
Casa
4
Cine
Luz Oscuridad
De acuerdo
con nuestras
observaciones, de
aquí a 3 meses y
11 días se va a
producir un eclipse
solar hacia las
cuatro.
Velocidad
a tiempo t
Longitud
Latitud
(–2, 5)
(–1, 2)
Y
(0, 1)
(1, 2)
f(x)  x 2  1
(2, 5)
X
X
X
X
Y
Y
Y
Función constante
Función escalonada
La distancia
recorrida depende
del cuadrado
del tiempo.
÷
Pitágoras nació hacia el año 569
a. C. en la isla de Samos. Discípulo
de Tales, fundó una hermandad
de tipo religioso, científico
y filosófico, los pitagóricos.
Entre sus muchas actividades estaba
el estudio de los números.
Los pitagóricos representaban
los números con piedras y los clasificaban
según las formas que
adoptaban al distribuirlos. Así, tenemos:
los números cuadrados
(1, 4, 9, 16…), los números triangulares
(1, 3, 6, 10…), los números
rectangulares (2, 6, 12, 20…)…
— A partir de la figura, calcula
el quinto término de cada una
de las sucesiones anteriores.
— Descubre el término general
de cada una de estas sucesiones.
Según cuenta la tradición, el problema
de hallar el valor de la suma de
los cien primeros números naturales
fue planteado en 1787 por un profesor
a su clase de niños de 10 años
con la intención de mantenerlos ocupados
un buen tiempo. En esa clase
se encontraba el que es conocido
como «príncipe de las matemáticas»,
el alemán Carl F. Gauss.
Gauss observó que si sumaba el primer
término con el último, el segundo
con el penúltimo, el tercero
con el antepenúltimo y, así, sucesivamente,
obtenía siempre el mismo
resultado.
Es decir:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101

Así dedujo que la suma de los cien
primeros números naturales es:
101 · 50 = 5050
Gauss asombró al profesor por la
manera tan rápida e ingeniosa de resolver
el problema.
Gauss dio la primera señal de su genio
antes de cumplir los tres años.
A esa edad aprendió a leer y hacer
cálculos aritméticos mentales con
tanta habilidad que descubrió un
error en los cálculos que había hecho
su padre para pagar unos sueldos.
Poco después de su muerte se acuñaron
monedas en su honor. Gauss
fue gran admirador de Arquímedes
y Newton, a quienes citaba en sus
trabajos llamándolos illustrissimus.
l filósofo griego Zenón de Elea (495-435 a. C.) provocó una crisis en
la matemática antigua al enunciar algunas paradojas llenas de ingenio.
Una de ellas, llamada paradoja del corredor, puede exponerse de la
manera siguiente:
Un corredor no puede alcanzar la meta porque siempre ha de recorrer la
mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando
haya recorrido la mitad de la distancia, le quedará todavía la cuarta parte;
cuando haya recorrido la mitad de la cuarta parte, le quedará todavía la octava
parte; y así sucesiva e indefinidamente.
Hubo que esperar unos 2000 años para que la afirmación de Zenón de
que un número infinito de cantidades positivas no puede tener una suma
finita fuera contradicha con el desarrollo de la teoría de series.
E
1 2 3 4 97 98 99 100
Visita la siguiente página de Internet y amplía tus conocimientos de
la escuela pitagórica: http://thales.cica.es/rd/Recur sos/rd97/
Biografias/12-1-b-pitagoras.html
@
Crónica matemática
17.
19.
21. a) ; b) 3x – y; c) –2ab
23. a) ; b) ; c) ; d)
25. Lineal: d; Afín no lineal: a; constante: b; no es función: c.
27. a)
Pendiente: 1
b)
Pendiente: −1
c)
Pendiente: −6
29. Sí, puesto que una lista de números es un conjunto ordenado de
números que se corresponden con los números naturales.
31. a) an = n2 + 2
b) a100 = 1002 + 2 = 10 002
33. La altura del rectángulo es de cm y el área,
35. a)
b)
37. a )
b)
c) Observamos que el número total de cuadrados es la sucesión
de los cuadrados de los números impares. Por tanto,
no habrá ninguna figura del tipo de las anteriores que tenga
102 cuadrados.

d) 121 = 112. El número de cuadrados blancos será 60 y el de
cuadrados negros, 61.
39. a1 = 1; a n = 30
La longitud total es de 465 cm.
41. a)
b) 40 · 3 = 120
El papel necesario para empapelar toda la habitación cuesta
$ 120.
43. a)
Los valores entre paréntesis indican la estancia mínima en cada
uno de los hoteles.
b) Hotel La Laguna: y = 70x − 70.
Hotel El Mar: y = 60x.
c)
d) Importe en dólares del Hotel La Laguna al cabo de 5 días: 280
dólarres
Importe en dólares del Hotel El Mar al cabo de 5 días: 300
dólares
e) El Hotel El Mar resulta más económico al cabo de los 8 días
de estancia.
f) Ha estado en el Hotel El Mar 8 días.
45. a) 2x = 23 → x = 3; b) 22 + 32 = 13; 23 + 33 = 35 → x = 3;
c) 4 ⋅ 3x + 3x = 405; 5 ⋅ 3x = 405; 3x = 81 = 34 → x = 4.
47. a1 = 2
La suma de los términos de esta progresión geométrica decreciente
o suma ilimitada es:
Por tanto, no logrará recorrer los 5 m.