FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización de expresiones notables
1. Factorización de una diferencia de cuadrados
Hemos visto en los productos notables ya estudiados que una diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, o sea:
(a+b)(a – b) = a2 – b2 Diferencia de cuadrados
En consecuencia una diferencia de cuadrados, siempre será igual al producto de la suma de dos términos, por la diferencia de los mismos.
En general: (a2m – b2n) = (am + bn)(am – bn)
Luego: Dada una diferencia de cuadrados para hallar sus factores:
1º Se extrae la raíz cuadrada de cada término.
2º Se forman 2 factores, uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la diferencia de dichas raíces.
Ejercicio 1: Factorizar a2 – 64
Resolución:
2 Extraemos las raíces cuadradas a cada término: ;
2 Luego: a2 – 64 = (a+8)(a – 8)

Ejemplo 2: Factorizar:
Resolución:
2 Extraemos las raíces cuadradas de cada término:
;
2 Luego:
Ejemplo 3: Factorizar: 5t2 – 320
Resolución:
2 Primero factorizamos el factor común 5.
5t2 – 320 = 5(t2 – 64)
2 Luego, factorizamos el binomio (t2 – 64)
5t2 – 320 = 5(t2 – 64)
5t2 – 320 = 5(t+8)(t – 8)

Ejemplo 4: Factorizar: 75 a2n – 3
Resolución:
La expresión dada se puede escribir así:
75a2n – 3 = 3 · 25a2n – 3
Sacamos factor común “3”
75a2n – 3 = 3(25a2n – 1) = 3( + )( – )
Extraemos raíz cuadrada
Extraemos raíz cuadrada
\ 75 a2n – 3 = 3(5an + 1)(5an-1)

Ejemplo 5: Factorizar: (a – b)2 – (c – d)2
Resolución:
(a – b)2 – (c – d)2 = [ + ][ + ]
2 Extraemos las raíces cuadradas de cada término:
y
Luego:
(a – b)2 – (c – d)2 = [(a - b)+(c - d)][(a - b) - (c - d)]
= [a - b+c - d)][a - b - c+d]
\ (a – b)2 – (c – d)2 = [a - b+c - d][a - b - c+d]

Ejemplo 6: Factorizar: x4 + 2×3 – 2x – 1
Resolución:
Agrupando los términos convenientemente, obtenemos:
x4 + 2×3 – 2x – 1 = (x4 – 1) + (2×3 – 2x)
Sacamos factor común “2x”
= (x4 – 14) + 2x(x2 – 1)
Extraemos raíz cuadrada
Extraemos raíz cuadrada
x4 + 2×3 – 2x – 1 = (x2 + 12)(x2 – 12)+2x(x2-1)
= (x2+12)(x2-12) + 2x(x2-12)
Sacamos factor común “(x2 – 12)”
x4+ 2×3 – 2x – 1 = (x2 – 12) [(x2+1)+2x]
Extraemos la raíz cuadrada
Extraemos la raíz cuadrada
= (x2 – 1)(x2+2x+1)
x4 + 2×3 – 2x – 1 = (x+1)(x – 1)(x+1)2
\ x4 + 2×3 – 2x – 1 = (x+1)3 (x – 1)
2. Factorización de una suma de cubos
Una suma de cubos equivale a un producto donde el primer factor es igual a la suma de sus bases, y el segundo factor es un trinomio que se forma por el cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base.
Es decir: a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2)
Ejemplo 1: Factorizar 8a3+27b3
Resolución:
8a3 + 27b3 = ( + )( – + )
Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la suma de estas raíces es el primer factor binomio (la suma de sus bases).

Esta suma (2a + 3b) se multiplica por un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera base (2a)2 = 4a2, menos el producto de las dos bases -2a · 3b = -6ab y más el cuadrado de la segunda base (3b)2 = 9b2
Luego:
8a3 + 27b3 = (2a+3b)(4a2- 6ab+9b2)

Ejemplo 2: Factorizar 64×3 + 1
Resolución:
64×3 + 13 = [ + ][ - + ]
Extraemos raíz cúbica : = 1
Extraemos raíz cúbica = 4x
Suma de bases: (4x + 1)
Luego:
64×3 + 13 = (4x+1)(16×2 – 4x+1)
\ 64×3 + 13 = (4x+1)(16×2 – 4x+1)

Ejemplo 3: Factorizar b6 + 125z3
Resolución:
b6 + 125z3 = (b2 + 5z)[ - + ]
Extraemos la raíz cúbica = 5z
Extraemos la raíz cúbica = b2
Luego:
b6 + 125z3 = (b2 + 5z)[(b2)2 - b2 · 5z + (5z)2]
\ b6 + 125z3 = (b2 + 5z)(b4 – 5b2z + 25z2)

Ejemplo 4: Factorizar:
Resolución:

Extraemos raíz cúbica = 2a
Extraemos raíz cúbica =
Suma de bases:
Luego:
\

Ejemplo 5: Factorizar: 0,008a3 + 0,064×3
Resolución:
La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:
0,008a3 + 0,064×3 =
Extraemos raíz cúbica
Extraemos raíz cúbica

Luego:
3. Factorización de una diferencia de cubos
Una diferencia de cubos equivale a un producto cuyo primer factor es la diferencia de las bases y el segundo factor es un trinomio que se forma por el cuadrado de la primera base más el producto de las dos bases y más el cuadrado de la segunda base.
Es decir: a3 – b3 = (a – b)(a2+ab+b2)
Ejemplo 1: Factorizar: 64×3 – 8y3
Resolución:
64×3 – 8y3 = ( – )[ + + ]
Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la diferencia de estas raíces es el primer factor binomio (diferencia de sus bases)
4x
2y
Diferencia de bases: (4x – 2y)

Esta diferencia (4x – 2y) se multiplica por un trinomio cuyos términos son: El cuadrado de la primera base (4x)2 = 16×2, más el producto de las dos bases
4x · 2y = 8xy y más el cuadrado de la segunda base (2y)2 = 4y2
Luego: 64×3 – 8y3 = (4x – 2y)(16×2 + 8xy + 4y2)

Ejemplo 2: Factorizar: 8×3 – y12
Resolución:
8×3 – y12 = (2x – y4)[ + + ]
Extraemos raíz cúbica y4
Extraemos raíz cúbica 2x
Diferencia de bases: (2x – y4)
Luego: 8×3 – y12 = (2x – y4) [(2x)2 + 2x · y4 + (y4)2]
8×3 – y12 = (2x – y4) [4x2 + 2xy4 + y8]

Ejemplo 3: Factorizar: a3 – a-3
Resolución:
a3 – a-3 = ( – )[ + + ]
Extraemos raíz cúbica a-1
Extraemos raíz cúbica a
Diferencia de bases: (a – a-1)
Luego:
a3 – a-3 = (a – a-1)[a2 + a · a-1 + (a-1)2]
= (a – a-1) (a2 + a · + a-2)
\ a3 – a-3 = (a – a-1)(a2 + 1 + a-2)
Ejemplo 4: Factorizar: m6 – 216n6
Resolución:
m6 – 216n6 = (m2 – 6n2) [ + + ]
Extraemos raíz cúbica 6n2
Extraemos raíz cúbica m2
Diferencia de bases: m2 – 6n2
Luego:
m6 – 216n6 = (m2 – 6n2)[(m2)2 + m2 · 6n2 + (6n2)2]
\ m6 – 216n6 = (m2 – 6n2)[(m4 + 6n2m2 + 36n4]
Ejemplo 5: Factorizar: 8a3 – (a – 1)3
Resolución:
8a3 – (a – 1)3 = [2a - (a - 1)][ + + ]
Extraemos raíz cúbica (a – 1)
Extraemos raíz cúbica 2a
Diferencia de bases: [2a - (a - 1)]
Luego:
8a3 – (a – 1)3 = [2a - (a - 1)][(2a)2 + 2a (a - 1)+(a - 1)2]
= (a+1)(4a2+2a2 – 2a+a2 – 2a+1)
\ 8a3 – (a – 1)3 = (a+1)(7a2 – 4a+1)