FUNCIONES y MODELOS FUNCIONALES CONCEPTOS Y EJEMPLOS PDF

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Objetivos
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Identificar e interpretar las distintas representaciones que tiene una
función de variable real.
• Analizar y evaluar funciones básicas de variable real determinando su
dominio y rango.
• Identificar y realizar el álgebra de funciones de variable real: suma,
producto, cociente y composición de funciones.
• Reconocer las gráficas de algunas funciones básicas de variable
real con su dominio y recorrido: polinómicas, a trozos, racionales,
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
• Realizar problemas de aplicación que requieran la modelación de
funciones de variable real.
• Identificar funciones inyectivas y determinar sus inversas.
• Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar algunas
expresiones algebraicas.
• Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas aplicando las
propiedades de los exponentes y los logaritmos.
• Identificar las asíntotas verticales y horizontales de algunas funciones
racionales.
• Identificar los elementos básicos de las funciones hiperbólicas:
ecuaciones y gráficas.
Dominio de una función
Casos para hallar el dominio de una función
Caso I
Caso II
Restricción del dominio
Construcción de funciones
Gráfica de una función
Función par
Función impar
Álgebra de funciones
Composición de funciones
Función inyectiva o uno a uno
Definición de función inyectiva
Criterio de la línea vertical
Criterio de la línea horizotal
Función inversa
Tipos de funciones
Asíntotas verticales y horizontales
Transformaciones de funciones
Función cuadrática:   
F u n c ió n r a í z c u a d rada: C oe ÈB
C oe È$ B
C oe ”
B
Ð ” Ñ
#
B
”  ”
#
C oe ÈB
Función cúbica:   
Función raíz cúbica:
C oe ÈB
C oe È$ B
C oe ”
B
oe Ð ” Ñ
#
B
 ”  ”
#
C oe ÈB
Función exponencial:    con 
Función lineal:
Función idéntica:
Función constante:
Traslaciones verticales y horizontales
Traslaciones horizontales
Reflexiones verticales y horizontal
Contracción y alargamiento vertical
Contracción y alargamiento horizontal
Valor absoluto de una función
Función cuadrática
Función exponencial
Clasificación de las funciones exponenciales
Función exponencial natural
Propiedades
Logaritmos
Propiedades
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Problemas
Aplicaciones de la función exponencial
El número 
Función logarítmica
Aplicaciones
Función logística
Funciones hiperbólicas
Identidades hiperbólicas
Modelos funcionales
Resumen del capítulo 4
Logarítmos
Exponentes
Tabla de resumen del capítulo 4
Funciones y modelos funcionales
El área de un círculo depende del radio  del mismo. La ecuación que relaciona
el radio  con el área A es Aπ, es decir, que para cada valor mayor
que cero que se asigne a , existe un valor asociado al área A, por lo tanto,
podemos asegurar que A es una función de .
De acuerdo al ejemplo anterior, una función es una regla de asignación,
en la cual a cada valor del radio  del círculo, se le asigna un único elemento
llamado A, designado como el área del círculo es decir, el área A del círculo
en función del radio se escribe   π.
Definición: una función  es una regla que asigna a cada elemento 
de un conjunto , un único elemento llamado  en el conjunto .
Relacionando un gráfico con respecto a la definición anterior:
Dominio de una función
Definición: el conjunto  para el cual  asigna una única imagen
   se denomina dominio de la función , denominado como
.
Recorrido: es el conjunto de imágenes de la función , denotado
como .
En lo que se refiere al recorrido de la función , este se calcula con
base al dominio ya establecido.
El recorrido de una función se determina por la propia ley (fórmula)
que define la función, mientras que el dominio se fija por las condiciones
o por el sentido del problema a resolver.
Cuando definimos una función como , el   son los valores
que toma , por lo tanto, para hallar el recorrido expresamos 
en función de , hallamos los valores  para los cuales  está definida.

Construcción de funciones
En el mundo real se presentan muchas situaciones concretas en las que intervienen
variables relacionadas entre sí, en las cuales el valor de cada una
de ellas depende del valor de la otra, por ejemplo, el ingreso mensual de una
empresa puede depender del número de artículos producidos y vendidos.
El crecimiento de una planta medida en centímetros depende de la variable
tiempo. Son diversas las aplicaciones que tienen las funciones a las ciencias
como la física, química, administración, economía e ingeniería, entre otras.
Antes de mencionar algunos ejemplos de modelos funcionales es importante
destacar la variable independiente de la variable dependiente.

“Variable Independiente” es un símbolo que representa a un número
arbitrario en el dominio de una función , mientras que la variable dependiente
es un símbolo que representa a un número en el recorrido de .
Por ejemplo, la función que extrae la raíz cuadrada a un número , se
podría definir con más precisión. Como que a cada número  se le asigna un
número y mediante la regla de asignación 
Por lo tanto  es la variable independiente mientras que  es la variable
dependiente.
Ejemplos
1. El ingreso de la venta de un producto depende del número de
unidades y del precio unitario; si el precio unitario es de $1.000
y el número de unidades vendidas es , el ingreso , es:
.
2. Si  representa la temperatura expresada en grados Fahrenheit,
la temperatura en grados centígrados, es una función de , dada
por:
      

Si queremos o necesitamos expresar una temperatura de 95°F
(Fahrenheit) en grados Centígrados tenemos:

    , es decir 95°F equivalen a 35°C

3. El valor futuro de un capital de $5’000.000 colocado a un interés
compuesto del 3% mensual depende, del número de meses que
esté colocado. Si  representa el número de meses tenemos:

Gráfica de una función
Una manera de percibir intuitivamente propiedades de una función es graficarla,
partimos de poder asignar números a los puntos; cuando estos puntos
corresponden al plano para asignar números reales a los puntos, se establecen
dos rectas perpendiculares de referencia denominadas ejes coordenados,
uno, el eje horizontal o de las , y el otro, el eje vertical o de las . El
punto de intersección de los ejes se denomina el origen y al plano se identifica
como el plano  o plano cartesiano.
Una vez establecidos los ejes coordenados, para el eje  a la derecha del
origen se elige un punto cuya distancia al origen es la unidad; análogamente
para el eje  se elige el punto arriba del origen, cuya distancia al origen es la
unidad.
A cada punto del plano se le asigna un pareja ordenada de números
reales , llamadas las coordenadas del punto, donde  se denomina la abcisa
y representa la distancia del punto al eje ,  se denomina la ordenada y
representa la distancia del punto al eje .
Dos parejas ordenadas ,, , corresponden al mismo punto, es decir,
,, si y solo si y  y 
Una curva en el plano cartesiano corresponde a la gráfica de una función
si y solo si, toda recta vertical que intersecte a la curva lo hace en un único
punto, este criterio geométrico que se denomina criterio de la línea vertical
corresponde a la definición formal de función. Una función de  en  es un
subconjunto de parejas ordenadas del producto cartesiano , donde el
primer elemento nunca se repite.

Función par
Si una función  satisface la condición que,   se dice que
es una función par, para todo  del dominio, como se muestra en la
gráfica.

Función impar
Si  satisface la condición de: , es una función
impar en todo su dominio.
Composición de funciones
Existe otra manera de combinar funciones para obtener una nueva función
llamada composición de funciones.

Función inyectiva o uno a uno
Consideremos la función    para lo cual tomamos dos valores reales diferentes
de su dominio, por ejemplo 2 y 2 en el cual su imagen es  
 equivalente a    que son iguales, como se muestra en la siguiente
figura:

Definición de función inyectiva
Una función  con dominio en  y recorrido en  es inyectiva (uno a uno) si
cumple una de las condiciones siguientes:
1. Dados dos elementos del dominio distintos sus respectivas imágenes
son diferentes, es decir:

Criterio de la línea vertical
Para saber si una relación es función mediate su gráfica se traza una línea
paralela al eje  si corta a la gráfica de la relación solamente en un punto, la
relación es función.

Criterio de la línea horizotal
Para saber si una función es uno a uno mediate su gráfica se traza una línea
paralela al eje  y si corta a la gráfica de la función solamente en un punto, la
función es uno a uno o inyectiva

Función inversa
Si tenemos una función inyectiva o uno a uno con dominio  y recorrido
, es decir :  podemos definir una función denotada  en la cuál el
dominio pasa a ser el recorrido de  y el recorrido pasa a ser el domino de
 es decir:

Gráfica de la función inversa
La gráfica  se obtiene reflejando






gráfica de  en la recta   .
Si observamos el punto , al reflejarlo
en  queda en la coordenada
,, ahora si tenemos una gráfica
 y se refleja en  nos da la
gráfica de la inversa de 

Tipos de funciones
Vamos a mencionar algunas funciones que usualmente se utilizan en cálculo
Las funciones se clasifican de la siguiente manera:
• Función constante
• Función potencia
• Función raíz
• Función polinómica
• Función racional
• Función algebraica
• Funciones exponenciales y logarítmicas
• Funciones trigonométricas
• Función valor absoluto.

Transformaciones de funciones
Antes de mencionar los diferentes tipos de transformaciones que se le pueden
aplicar a las funciones, mostraremos un listado de las gráficas de funciones
con sus correspondientes nombres y ecuaciones más usuales, que vamos
a utilizar para facilitar dichas transformaciones, que se deben tener en cuenta
más adelante. Es importante que el lector tenga en cuenta este listado de
funciones más usuales para facilitar el trabajo de las gráficas con sus transformaciones,
como se enseña en la siguiente tabla.

Traslaciones verticales y horizontales
Este tipo de transformación consiste en trasladar una función original 
verticalmente u horizontalmente; si el recorrido es vertical, la función original
la podemos trasladar hacia arriba o hacia abajo  unidades; mientras que si
el recorrido es horizontal, la función se traslada hacia la derecha o izquierda
 unidades.

Traslaciones horizontales
Si suponemos que , para las traslaciones horizontales se puede observar
que la gráfica  o  se traslada la gráfica original 
unidades la derecha y a la izquierda, respectivamente.

Reflexiones verticales y horizontal
Las reflexiones verticales se realizan sobre el eje , mientras que las reflexiones
horizontales se hacen sobre el eje , es decir:
a) (), refleja la gráfica original (), con respecto al eje de 
b) (), refleja la gráfica original () con respecto al eje 
Contracción y alargamiento vertical
Si multiplicamos una función por una constante 1 observamos que la función
 es la gráfica de  alargada verticalmente  veces. En forma
similar, si multiplicamos una función por una constante
C oe È B
C oe ÈB
5  1
C oe 50 ÐBÑ
C oe 0(B)
Contracción y alargamiento horizontal
Supongamos que , entonces la gráfica    se obtiene de la ecuación
   reduciendo esta horizontalmente en un factor , mientras que
la gráfica   

alarga horizontalmente la función original    .

Valor absoluto de una función
Otra transformación importante es tomar el valor absoluto de una función, es
decir, si , la parte de la gráfica de , figura 1, que esta bajo el eje
 se refleja sobre el mismo eje, como se observa el la figura 2.

Función cuadrática
Cuando el crecimiento de la función es constante, tenemos un modelo lineal,
pero en muchos problemas prácticos el crecimiento de una función puede
ser a su vez creciente (concavidad hacia arriba) o decreciente (concavidad
hacia abajo), en principio la función más simple que representa cada una de
estas situaciones es la función polinómica de segundo grado o cuadrática.
La función polinómica de segundo grado  usualmente
se nota  donde . Como en toda función polinómica el
dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.
Unas transformaciones adecuadas nos permiten hacer un análisis de la
función, veamos

Función exponencial
Una ecuación que tiene la forma  se le denomina función
exponencial, donde , acerca de esta función podemos hacer las siguientes
consideraciones, en donde mostramos su gran utilidad.
a Si  la función se convierte en una expresión de la forma
  
b Si evaluamos a cero en dicha función, obtenemos 
c Si evaluamos un número racional 
 , donde  y  son números
enteros y , entonces la función toma la forma
:
;
0( ) oe + oe + :
;
:
:
;
È;
0(  8) oe +8 oe ”
+8
0(B) oe 3B
0(B) oe Ð ” Ñ
$
B
0(B) oe 1B
0 1   ”
este tipo de consideraciones es importante, puesto que de ella surge
la necesidad de cómo evaluar un número real positivo elevado a
una potencia racional, todo se reduce a un problema llamado
radicación.

Función exponencial natural
Si en la función  tomamos  la función se transforma en
, el número  es un número irracional cuyo valor aproximado es
 2.718281828459045, y como  la gráfica de  es creciente
Las características de esta función son