METODO CLASICO O DIVISION NORMAL PROBLEMAS RESUELTOS DE DIVISION DE POLINOMIOS

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Método clásico o división noRMal

División de polinomios
La división de dos polinomios D(x) y d(x) [grado D(x) d(x)] llamados dividendo y divisor respectivamente, es la operación que tiene por objeto hallar dos polinomios Q(x) [cociente] y R(x) [resto] . [grado R(x) < grado d(x)] tal que:

En el caso particular de que el resto sea cero, la división es exacta y se cumple:

Ahora explicaremos el procedimiento para hallar el cociente y el residuo en una división, con el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1 Hallar el cociente y el residuo al dividir
1.- Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma decreciente), en caso que falte un término, éste se completa con un cero.

(Se ha ordenado con respecto a la variable “x” tanto al dividendo como al divisor, pues en ambos polinomios no es necesario completar con ceros porque son polinomios completos).
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose el término del cociente.
3.- Luego, se multiplica este primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo.
(En la práctica se acostumbra a cambiar de signo a todos los términos que resultan de multiplicar el primer término del cociente con cada uno de los términos del divisor). Veamos:
4.-  Si el residuo es cero, la división es exacta. Termina la división.
 Si el residuo es diferente de cero y de grado inferior que el grado del divisor, entonces éste es el residuo definitivo y la división concluye. El cociente tendrá un solo término.
 Si el resultado es de grado mayor o igual al grado del divisor, la división continuará considerando al residuo como nuevo dividendo. Se aplicarán los pasos 2o, 3o y 4o.
Se continuará con la división hasta obtener cero o residuo de menor grado que el divisor.
En nuestro ejemplo como el residuo: , es mayor que el grado del divisor: . Continuamos con la división.
Ejemplo 2 Hallar el cociente y el residuo al dividir:

Resolución:
En este caso el polinomio dividendo no es completo, por lo tanto debemos completarlo con ceros, así:

Luego:

MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS ALGEBRAICAMENTE
Antes de dividir polino mio s. v e anlOS un ejempl o d e la d ivisión e ntera d e
números ente ro s . D e b e m os t e n er en c u enta cada uno de los p asos p ara hac
er una analo gía con la división de polinomios.
Ejemplo
Divida 4 7 497 entre 295 .
47497 1295
- 2 95 [ 161
1799
- 1750
Pa,.a lo s polinom Io s. cada c if … a d e
los núme,..os natur a les es compa ,..ab
le con un t é rm ino del polinomio .
0 0497 -> 4 7 497 = 2 9 5· 16 1+ 202
295
202
Método clásico o división nonnal
M étod o realizado en el n ivel escolar. Veámoslo más clarame n te medjante
ejemplo s:
1. D iv ida 6f+Sx – 3 e ntre 3x+L
Resolución
Por ser el p rim.ec ejemplo . se d~oll”", indicando c ada paso a d ar.
Veamos: W + 5 x – 3 13x+l
1. O rde n ar d escend e ntem e n te los p olinom ios divid endo (D(..)) y
divisor (d … ,).
II. Se divide el primer término de D (x) entre el priIner término de
d(x)~ es decir. W +- 3x” obteniéndose 2x:> que a su vez será el primer
ténnino del cociente .

‘GI’t-5x – 3 ~I ~~+:..:l=-
111. Se lT1uJtiplica 2x por cada uno de los ténninos de d (x ) Y los resuJtados
se ubican debajo de D (x) . pero con signos crunbiados. Luego se suma;
dA5~ 3 1 ~1
–;;;- 2x 2X
- 3x – 3
IV. Si el grado del aparente residuo es mayor o igual al dd divisor. la
división aún continúa, corno en el paso anterior.
6f +5x-3 I @;:-1
-~~ 2x+l
- x – 1
- 4
Este proceso seguirá hasta que el resto sea de grado men o r aJ divisor;
de ser así. la división ha teclT1jnado.
Por lo tanto, ya se tendrá tanto el cociente COITIO el resto.
Q(x)= 2.x+ 1 Y R (x )=- 4
2. Divida ~+2x – 2 entre x – l.