LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO Y DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS

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OBJETIVOs :
* Expresar sumas o diferencias de senos y / o cosenos en forma de producto para reducir expresiones.
* Trasformar productos de seno y/o cosenos en forma de sumas y/o diferencia de los mismos.

IDENTIDADES PARA LA SUMA
Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS
A menudo se presenta el problema de transformar la suma de dos funciones trigonométricas en un producto y viceversa. Esto puede lograrse utilizando las identidades de arcos compuestos.
PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO

* Los ángulos resultantes en el producto serán la semisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.
No necesariamente A>B, solo interesa su orden.
DEMOSTRACIÓN :
* Para comprobar la primera identidad, recordemos que:

* Sumando miembro a miembro tenemos:

* Haciendo:

* Obtenemos:

* Reemplazando en (I) se tiene :

* Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga.
Ejemplos:

PROPIEDADES
I) Si: A + B +C = 180°
* Se cumple:

II) Si:

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Este caso consistente en el desdoblamiento del producto. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la diferencia y la suma de los ángulos iniciales. No necesariamente A>B. sólo interesa su orden.

Demostración :
* Partimos:

* Sumando:

* Es decir:

Ejemplos :

Sumatoria de Senos y Cosenos de ángulos en Progresión Aritmética
Para simplificar sumatorias de senos o cosenos de ángulos en progresión aritmética se deben reconocer:

* Luego aplicamos:

Ejemplo s:
* sen2°+sen4°+sen6°+…+sen48°

P=2° ; n=24; r=2°; u=48°

* cos4°+cos8°+cos12° +…+cos48°

P=4° ; n=12; r=4°;u = 48°

PROPIEDAD :

* Para el caso de una productoría, debemos tener presente las siguientes expresiones: