NUMEROS IRRACIONALES , RAICES Y LOGARITMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 2 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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PROPÓSITO DE LA UNIDAD
En esta unidad, se profundizan y amplían los conocimientos adquiridos en años anteriores por los
alumnos y alumnas en relación al estudio de los conjuntos numéricos. Los números irracionales se
introducen a través del concepto de números decimales infinitos no periódicos ni semiperiódicos. De
aquí se deduce que no es posible escribir un número irracional como un cuociente entre dos racionales.
Como parte de los números irracionales, son estudiadas las raíces enésimas y sus propiedades, para
la resolución de operatoria con raíces y su relación con potencias de exponente fraccionario. Los y
las estudiantes aprenderán a estimar raíces cuadradas no exactas. Además, utilizando las propiedades
de las raíces, podrán calcular algunas cuando estas resulten ser números enteros. Por otro lado, los
alumnos y alumnas trabajarán en esta unidad con las ecuaciones que contienen raíces, aprenderán a
resolverlas e interpretar sus soluciones. También se estudiará el concepto de logaritmo, sus propiedades
y su relación con las potencias además de la resolución de ecuaciones logarítmicas y algunas de sus
aplicaciones en la ciencia como son, por ejemplo, la medición del pH de una sustancia, la energía liberada
durante un sismo o el cálculo del nivel de intensidad sonora.
A lo largo de la unidad, se presentan diversos problemas de aplicación con el propósito de que los y
las estudiantes puedan observar la presencia de los contenidos enseñados en diferentes contextos
matemáticos y cotidianos.
A continuación, se presenta esquema que relaciona los principales conceptos de la unidad.

Los aprendizajes descritos en este mapa progresan considerando tres dimensiones
que se desarrollan de manera interrelacionada:
• Comprensión y uso de los números: se refiere a la comprensión del significado
de los números, la forma de expresarlos y los contextos numéricos a los que
pertenecen, así como las aplicaciones y los problemas que los originaron y/o
permiten resolver.
• Comprensión y uso de las operaciones: se refiere a la comprensión del
significado de las operaciones, los contextos numéricos en los que se realizan, las
relaciones entre ellas, así como sus propiedades y usos para obtener nueva
información a partir de información dada.
• Razonamiento matemático: involucra habilidades relacionadas con la selección,
aplicación y evaluación de estrategias para la resolución de problemas y la
argumentación y la comunicación de estrategias y resultados.
Comprende los diferentes conjuntos numéricos, las relaciones entre ellos y los problemas que les
dieron origen. Comprende que en cada conjunto numérico se puede operar sobre la base de reglas
o propiedades que pueden ser usadas para justificar o demostrar relaciones. Muestra autonomía y
flexibilidad para resolver un amplio repertorio de problemas, tanto rutinarios como no rutinarios,
utilizando diversas estrategias, y para formular conjeturas acerca de objetos matemáticos. Utiliza
lenguaje matemático para presentar argumentos en la demostración de situaciones matemáticas.
Utiliza potencias de base real y exponente racional para resolver problemas. Reconoce a los números
complejos como una extensión del campo numérico y los utiliza para resolver problemas que no
admiten solución en los reales. Usa las cuatro operaciones con números complejos. Resuelve
problemas, utilizando un amplio repertorio de estrategias, combinando o modificando estrategias ya
utilizadas. Realiza conjeturas que suponen generalizaciones o predicciones y argumenta la validez de
los procedimientos o conjeturas.
Reconoce a los números irracionales como números decimales no periódicos que no pueden ser
escritos como fracción entre dos números enteros y a los números reales, como la unión de los
números racionales e irracionales. Realiza las cuatro operaciones con números reales en forma
algebraica, utilizando propiedades, e identifica el conjunto numérico al que pertenecen los resultados.
Utiliza las potencias de base racional y exponente racional y sus propiedades, para simplificar cálculos,
y establece la relación entre potencias y raíces. Resuelve problemas utilizando estrategias que implican
descomponer un problema o situaciones propuestas en partes o subproblemas. Argumenta sus
estrategias o procedimientos y utiliza ejemplos y contraejemplos para verificar la validez o falsedad
de conjeturas.
Comprende que todo número racional es un cuociente entre dos números enteros y los utiliza al
estimar, establecer razones, proporciones y calcular porcentajes. Comprende la conexión entre las
cuatro operaciones en los números racionales positivos y negativos. Utiliza la notación científica y las
potencias de base racional y exponente entero y sus propiedades, para simplificar cálculos. Resuelve
problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer
relaciones entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las conjeturas formuladas y los resultados
obtenidos, utilizando conceptos, procedimientos y relaciones matemáticas.

Reconoce que los números naturales se pueden expresar como producto de factores y los expresa en
forma de potencias. Utiliza números decimales positivos y fracciones positivas para ordenar, comparar,
estimar, medir y calcular. Utiliza números enteros para cuantificar magnitudes, ordenar y comparar.
Comprende el significado de porcentaje y establece equivalencias entre estos y fracciones o números
decimales para calcular porcentajes simples. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números
decimales y con fracciones. Resuelve problemas no rutinarios y/o formula conjeturas en diversos
contextos que requieren reorganizar la información disponible. Argumenta sobre la validez de un
procedimiento, estrategia o conjetura planteada.

Utiliza los números naturales hasta 1 000 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular.
Comprende que las fracciones simples y los números decimales permiten cuantificar las partes de un
objeto, una colección de objetos o una unidad de medida y realiza comparaciones entre números
decimales o entre fracciones. Multiplica y divide (por un solo dígito) con números naturales,
comprendiendo el significado de estas operaciones y la relación entre ellas. Realiza estimaciones y
cálculos mentales de multiplicaciones y divisiones exactas que requieren de estrategias simples.
Resuelve problemas rutinarios y/o formula conjeturas en contextos familiares en que los datos no
están necesariamente explícitos y requieren reorganizar la información del enunciado. Justifica la
estrategia utilizada, explicando su razonamiento o verificando conjeturas a través de ejemplos.

Utiliza los números naturales hasta 1 000 para contar, ordenar, comparar, medir, estimar y calcular
cantidades de objetos y magnitudes. Comprende que, en estos números, la posición de cada dígito
determina su valor. Realiza adiciones y sustracciones comprendiendo el significado de estas
operaciones y la relación entre ellas. Reconoce que los números naturales se pueden expresar como
adiciones o sustracciones de dos números naturales y descomponer en centenas, decenas y unidades.
Realiza estimaciones y cálculos mentales de adiciones y sustracciones que requieren de estrategias
simples, con números menores que 100. Resuelve problemas rutinarios en contextos familiares,
en que los datos están explícitos y cuya estrategia de solución está claramente sugerida en el
enunciado. Describe y explica la estrategia utilizada.
Números racionales en la recta numérica
ANALICEMOS…
Francisca y Claudia resuelven una tarea midiendo con una regla. Observan
que en la regla hay solo números naturales.
En la recta numérica, se pretende representar todos los números, para esto
es necesario asignar a cada punto de la recta un número. Estos números
indican la distancia desde el punto al 0. Si el punto se encuentra a
la derecha del 0, el número correspondiente a ese punto será positivo.
Si está a la izquierda, negativo.
¿Qué conjunto numérico podría representar todos los puntos de una recta?
Se pueden colocar todos los números racionales en una recta con
los siguientes trucos geométricos:
Por ejemplo, considera el número . Como es menor que 1, se divide
la unidad en cinco partes iguales y de estas, se toman tres.
3
5
• ¿Es posible construir una regla que sea capaz de medir cualquier longitud?
• ¿Qué conjunto de números nos permite asignar números a cada punto
de una recta?
• ¿Todo número entero es un número racional?
• ¿Tiene cada número representado en la recta un sucesor en ella?, ¿por qué?
• ¿Cuántos puntos distintos hay en un segmento de una recta?
• ¿Cuántos números racionales hay entre el 0 y el 1?
1° Se marca en una recta el 0 y la unidad. 2° Se dibuja una recta que pase por 0 y se marcan
cinco puntos a igual distancia.
0 1 0 1
¿Te imaginas
una regla tan buena,
que tuviera marcados
todos los números
necesarios para medir? Tendría que tener
todos los números
decimales.
• La recta numérica es una recta en la que a cada punto le corresponde un número que indica su
posición respecto del 0.
• Un segmento se puede dividir en cualquier número de partes. Para esto se procede como en
el ejemplo, pero copiando un segmento tantas veces como se quiera dividir la unidad.
EN RESUMEN
17
Unidad 1
Este método permite dividir la unidad en cualquier número de partes y
determinar un número racional cualquiera entre 0 y 1. También se puede
realizar en otra parte de la recta, por ejemplo, entre 7 y 8, de modo que se
puede dividir, idealmente, toda la recta y señalar todos los números
racionales que se puedan representar en ella.
3° Se dibuja un segmento desde el quinto punto
hasta la unidad.
Se traza un segmento paralelo respecto
al segmento dibujado que pase por el cuarto punto.
4° Se dibujan los otros segmentos paralelos en
los puntos restantes. Los puntos de intersección
entre los segmentos dibujados y el segmento
unidad son , , y .
4
5
3
5
2
5
1
5
15
25
35
45
0 1 0 1
1. Dibuja en tu cuaderno un segmento de 1 centímetro con una regla y divídelo en 10 partes iguales
utilizando el método explicado anteriormente. Verifica con tu regla si la división se corresponde con
los milímetros de la misma.
2. Dibuja una recta numérica y ubica en ella los siguientes números racionales:
; ; – ; – ; 0 ; 1 ; ; 100
99
5
7
99
100
1
100
2
3
7
5
EN TU CUADERNO
RECUERDA QUE…
• < si ad 0
c
d
a
b
•  
2
= , con b ≠ 0 a2
b2
a
b
Números irracionales
En cursos anteriores, aprendiste a reconocer los números racionales como
aquellos que se pueden escribir como una fracción. Los números naturales
y enteros son también números racionales. Los números decimales finitos
también, ya que son equivalentes a una fracción decimal. En el caso de
los decimales infinitos, solo si son periódicos o semiperiódicos
corresponden a números racionales y, de hecho, existen procedimientos
para escribir como fracción estos números.
Pero existen otros números decimales infinitos. Observa.
0,1436487965798085312346574568…
0,0011122223333344444455556789…
1,4142135623730950488016887242…
0,2463547680987540000876432456…
3,1415926535897932384626433832…
Existen números decimales infinitos que, aunque se conozcan 100, 1 000 ó
1 000 000 cifras decimales, no tienen período alguno. Luego, no se podrían
escribir como fracción con alguno de los procedimientos conocidos.
Un número decimal infinito que no es racional se llama número irracional.
Es imposible escribirlos completamente, ya que tienen infinitas cifras
decimales, por lo que usualmente se aproximan a la cantidad de cifras
decimales necesarias, o bien se representan mediante operaciones, como
1 + , o con constantes, como el caso del número π.
Algunos números irracionales destacados
El número irracional más conocido es el número π, que es la razón entre
la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir:
π =
Muchas han sido las aproximaciones de π en el transcurso de los años,
por ejemplo, en 1987 se calculó con una precisión de más de 100 millones
de cifras decimales, sin encontrarse período alguno.
longitud de una circunferencia
diámetro
3
ANALICEMOS…
• ¿Algún número de estos tiene período?, ¿crees que si se conocieran más
cifras decimales se podría observar algún período?, ¿por qué?
• Con los procedimientos conocidos, ¿se podrían escribir como fracción?
Justifica.
• ¿Estos números son racionales?, ¿por qué?
• ¿Reconoces algún número de estos?, ¿cuál o cuáles?
GLOSARIO
número que no
se puede obtener como cuociente de
dos enteros.
se puede expresar
como cuociente de dos enteros.
Unidad 1
Otro importante número irracional es el número e ≈ 2,718281…
El número e data del siglo XVI y aparece en forma natural cada vez que se
estudian fenómenos de crecimiento o decrecimiento poblacional o se modelan
las curvas, por ejemplo, que aparecen en los cables de tendido eléctrico.
El número φ = ≈ 1,61803398…, llamado número áureo o número de
oro fue descubierto en la Antigüedad al observar la proporción que hay en
algunas figuras geométricas (relación entre la diagonal y el lado del pentágono
regular), también en algunas proporciones de la anatomía humana (por ejemplo,
entre la altura de una persona y altura de su ombligo, o la relación entre el
diámetro de la boca y diámetro de la nariz) y en la naturaleza (como en la
disposición de los pétalos de las flores o en la distancia entre espiras de
cualquier caracol).
1 5
2
+
• Un número irracional es un número que no puede representarse como una fracción. Es un número
decimal infinito que no tiene período.
• Algunos números irracionales destacados son π, el número e y el número de oro, φ.
EN RESUMEN
GLOSARIO
= φ =
diagonal
lado
φ ≈ 1,61803398…
1 5
2
+
EN TU CUADERNO
1. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
a. 0,737 c. 154,154154… e. 0,121231234… g. 26,0625
b. 2,1732929… d. 23,242526… f. 14,1010010001… h. 12,4666…
2. Determina si m e y son números irracionales o no. Justifica tu decisión.
a. b.
3. Encuentra un número irracional que cumpla lo siguiente:
a. Sea mayor que y menor que . c. Sea mayor que 1 y menor que .
b. Sea mayor que y menor que 4. d. Sea mayor que y menor que .
4. Completa con los signos <, > o =, según corresponda.
a. 1,4142 c. 1,73 e. 2,23
b. 1,41 d. 1,733 f. 2,236
23 24
2
3
3
5
5
2
2
15
2 3
m = + ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
+ − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
1 6
2
1 6
2
2 2
y = + ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
− − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
1 2
3
1 2
3
3 3
Números reales
Daniel necesita dibujar un diagrama que le permita comprender cómo
se relacionan todos los conjuntos de números que conoce. Él sabe que todos
los números naturales también son números enteros, que todos los enteros
también son racionales y que los números irracionales, por definición,
no son racionales.
La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los
números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales,
y se denota con el símbolo .
Las propiedades de las operaciones que involucran números racionales se
extienden naturalmente a los números reales:
• Las operaciones básicas tienen como resultado números reales; es decir,
de la adición, sustracción, multiplicación y división de números reales se
obtiene siempre un número real. Es decir, el conjunto de los números
reales es cerrado.
• La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades
de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento
neutro y cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como
multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
• Además, la multiplicación es distributiva respecto de la adición.
• Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro
número real.
Los números racionales, cuando se escriben como números decimales,
son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo,
los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero
no periódicos. Considerando su representación en la recta numérica,
los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que
los números irracionales completan todos los espacios dejados por
los racionales en la recta numérica.
Números naturales,
enteros, racionales,
irracionales…
ANALICEMOS…
• ¿Existe un conjunto de números que los agrupe a todos o, al menos, una
manera común de llamarlos a todos?
• ¿Qué propiedades tienen los números de este conjunto que no se
cumplen en los otros?
• ¿Cómo se representarían en la recta numérica?





–3
3,2
0,1
0,5
–1
–4
0
1 2
3
π
– 1
3
2
1
3
GLOSARIO
número decimal cuya
parte decimal es finita.
número
decimal cuya parte decimal está
compuesta por una cifra o un
conjunto de cifras que se repiten
indefinidamente. El número que se
repite se llama período.
21
Unidad 1
• El conjunto de los números reales contiene a todos los números racionales e irracionales.
• Los números reales conservan las propiedades de las operaciones entre números racionales.
EN RESUMEN
EN TU CUADERNO
1. Resuelve las siguientes operaciones y determina si sus resultados son iguales o no, en cada caso.
a. f.
b. g. (20,4 + 12,6) · 3,5 (20,4 · 3,5) + (12,6 · 3,5)
c. h.
d. 7 · (4 – 9) (7 · 4) – (7 · 9) i.
e. j.
• ¿Qué propiedad se está aplicando en cada caso?
2. Encuentra dos números reales que estén entre:
a. y c. y e. y
b. y d. y f. y
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales:
a. , , c. , , 1 e. 0,3–; 0,34–; 0,344; 0,34
b. – , – , d. 0,7501; 0,7051; f. 0,6–; 0,56–; 0,56; 0,65
4. Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. a < b → < 1 a, b > 0 b. a < b → > 1 a, b =/ 0
2
101
1
50
a
b
a
b
3
4
7
5
5
3
1
3
2
5
7
9
6
7
6
5
5
6
2
3
1
2
101
99
99
101
100
99
99
100
8
13
7
13
11
13
7
3
4
7
3
5
1
10
4
7
3
5
1
10
+ +

⎝ ⎜

⎠ ⎟
+

⎝ ⎜

⎠ ⎟
+ 3
7
0 0 3
7
+ +
2
7
2
7
2
7
2
7
+ −

⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟
+
3
8
2
11
2
11
3
8
⋅ ⋅
4
7
7
4
7
4
4
7


⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎝ ⎜

⎠ ⎟⋅
2
7
5
8
7
9
2
7
5
8
7
9
⋅ ⋅

⎝ ⎜

⎠ ⎟


⎝ ⎜

⎠ ⎟

18
3
0 018
3
⋅ ⋅
4
9
5
3
5
3
4
9
+ +
Aproximación de un número irracional
Tatiana quiere decorar un viejo tambor metálico para usarlo de paragüero
en la sala de clases. Tiene un trozo de cuerda muy gruesa que va a pegar
en el contorno del borde superior. El diámetro del tambor mide 58,5 cm.
Ella decide cortar la cuerda de 175,5 cm de longitud para que le quede
justa, pero le faltaron más de 7 cm.
Tatiana calculó el perímetro del tambor usando 3 como aproximación de π,
así: P = 58,5 · 3 = 175,5. Después decidió aproximarlo a 3,2, para que no
le quedara corta, P = 58,5 · 3,2 = 187,2, pero, en este caso, le sobraron
casi 4 cm. Entonces, decidió utilizar una calculadora y obtuvo
P = 58,5 · π = 183,78317… y cortó nuevamente la cuerda, ahora de 183,8 cm,
para cubrir completamente el contorno.
Al realizar una aproximación por defecto, se busca el número, con un
determinado número de cifras decimales, que es inmediatamente menor
que el dado. En cambio, para aproximar por exceso, se busca el número,
con las cifras decimales fijadas, inmediatamente mayor.
Por ejemplo, dado el número π, al aproximarlo con dos cifras decimales:
• por defecto es 3,14.
• por exceso es 3,15.
Al utilizar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el
ejemplo anterior, los errores que se cometen son:
• por defecto: 3,141592… – 3,14 < 0,001592…
• por exceso: 3,15 – 3,141592… < 0,008408…
Entonces, al aproximar por redondeo, se escoge la aproximación con la que
se comete el menor error, en este caso, π ≈ 3,14.
Ahora, si no se conocen las cifras decimales de una raíz no exacta, por
ejemplo , se puede aproximar por tanteo de la siguiente manera:
Sea D tal que D2 = 5, entonces
2 < D < 2,3, ya que 22 = 4 < D2 < 5,29 = 2,32
2,2 < D < 2,25, ya que 2,22 = 4,84 < D2 < 5,0625 = 2,252
2,23 < D < 2,24, ya que 2,232 = 4,9729 < D2 < 5,0176 = 2,242.
Es decir, D ≈ 2,23, aproximado con dos cifras decimales.
ANALICEMOS...
• ¿Cuál fue el error de Tatiana?
• ¿Cómo aproximarías π?, ¿por qué?
• ¿Qué entiendes por aproximar por defecto?, ¿y por exceso?
• ¿Cuál es la mejor aproximación de π con dos cifras decimales?, ¿qué error
se comete con esta aproximación?
• ¿Cuál es la ventaja de aproximar por redondeo?
GLOSARIO
El número π es la razón entre
la longitud de una circunferencia
y su diámetro:
π =
π ≈ 3,141592…
longitud de una circunferencia
diámetro
un número a ciertas cifras
decimales consiste en encontrar un
número con las cifras pedidas que
esté muy próximo al número dado.
un número
consiste en dar la mejor de las
aproximaciones, es decir, aquella con
la que se comete un error menor.
es la
diferencia, en valor absoluto, entre
un número y su aproximación.
RECUERDA QUE...
5
La cantidad de cifras decimales de
una aproximación depende de la
cantidad de cifras de los datos y
también de la precisión requerida,
según el contexto del problema.
NO OLVIDES QUE...
23
Unidad 1
• Si al aproximar el número obtenido es menor, se ha aproximado por defecto. Si es mayor, se ha
aproximado por exceso.
• Si de los dos valores posibles, se ha considerado aquel con el que se comete el menor error
respecto del número original, se ha aproximado por redondeo.
EN RESUMEN
EN TU CUADERNO
1. Aproxima con dos cifras decimales por exceso y luego, por defecto, cada uno de los siguientes
números irracionales. Considerando estos resultados, aproxima por redondeo.
a. 2,718281… d. 1,732050… g. 7,540182…
b. 3,141592… e. 2,645751… h. 4,376525…
c. 1,618033… f. 3,605551… i. 2,231748…
2. Indica, en cada caso, el error cometido al aproximar a:
a. 4,69 c. 4,7 e. 5
b. 4,690416 d. 4,6904 f. 4,69042
3. Determina por tanteo aproximaciones con dos cifras decimales para
a. c. e.
b. d. f.
22
15
10
12
21
17
30
En esta actividad, aprenderás a aproximar números utilizando una planilla de cálculo como Excel.
• Escribe el número decimal que quieres aproximar en la celda A1.
• En la celda B1 escribe =REDONDEAR.MAS(A1;3).
• En la celda C1 escribe =REDONDEAR.MENOS(A1;3).
• En la celda D1 escribe =REDONDEAR(A1;3).
En todos los casos, el número 3 indica que se aproximará con tres cifras decimales.
Observa que los números obtenidos corresponden a aproximaciones por exceso, defecto y redondeo,
respectivamente. Si quieres aproximar varios números simultáneamente, escríbelos en la columna A y copia
las fórmulas correspondientes en las columnas B, C y D.
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
1. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
a. c. e.
b. d. f.
2. ¿Entre qué números enteros se ubican los números irracionales de la pregunta anterior?
3. Usando que ordena de mayor a menor los siguientes números:
a. c.
b. d.
4. Ordena de menor a mayor los números: .
5. Con ayuda de una calculadora, aproxima por exceso y por defecto con dos cifras decimales.
a. c. e.
b. d. f.
2 ≈ 1, 41; 3 ≈ 1,73; 5 ≈ 2,24;
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Reconocer números racionales e irracionales. 1 / 6
2 / 6
3 y 4 / 5
5 / 6
Ubicar números irracionales en la recta numérica.
Ordenar números irracionales.
Aproximar números irracionales.
2
2
3+1
3 1
6
+
2 1
3
2 1
3
⎛ +
⎝ ⎜

⎠ ⎟
− − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2 1
3
2 1
3
⎛ +
⎝ ⎜

⎠ ⎟
+ − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
4
4
3
3
2
2
5
5
, , ,
3 1
6
3 1
7
3 2
6
+ , + , +
2 2 1
6
2 2 2
6
2 2 1
5
+ , – , –
5
10
5 1
10
5
11
, + ,
1
2
3
3
1
4
5
5
3
4
2 5
5
, , , , ,
2 2
4
2 2
4
2 2
⎛ +
⎝ ⎜

⎠ ⎟
− − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2 2
4
2 2
4
2 2
⎛ +
⎝ ⎜

⎠ ⎟
+ − ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
4– 5
7 –3
4– 10
11–4
6–2 10
25
Raíces cuadradas y raíces cúbicas Unidad 1
Enrique decidió hacer un marco de madera para poner una fotografía con
forma cuadrada de los Juegos Olímpicos de Atenas, cuya superficie es
de 1 225 cm2. Sin embargo, esta información no parece servir mucho para
determinar la medida de los lados.
Por otro lado, su hermana Paula dispone de un pliego de papel de regalo,
de 70 cm de ancho y 100 cm de largo, para envolver un joyero con forma
de cubo, cuyo volumen es de 3 375 cm3.
Enrique debe calcular qué número al cuadrado es igual a 1 225. Este número
se escribe con el símbolo y se lee como “raíz cuadrada de 1 225”. En
este caso, ya que 35 · 35 = 1 225, el lado del cuadrado mide 35 cm. Y como
4 · 35 = 140, entonces, debe comprar al menos 140 cm de madera para cubrir
el perímetro de la fotografía.
También podría considerarse al número –35 como raíz cuadrada de 1 225,
ya que se cumple que (–35) · (–35) = 1 225, pero esto no corresponde.
Para evitar confusiones, al referirse a solo se considera el valor
positivo, que en este caso es 35.
Además, la raíz cuadrada solo puede aplicarse a números reales positivos o al
cero, ya que el cuadrado de todo número real es siempre positivo o cero.
Paula, en cambio, para determinar la medida del lado del cubo debe calcular
qué número al cubo es igual a 3 375. En este caso, se escribe con el
símbolo y se lee como “raíz cúbica de 3 375”, que en este caso es
igual a 15, ya que 153 = 15 · 15 · 15 = 3 375. Entonces, si Paula dispone de
un pliego de 7 000 cm2, el papel de regalo le alcanza para cubrir el joyero,
ya que su superficie total es de 1 350 cm2.
3 3 375
1 225
1 225
ANALICEMOS...
• ¿Cuánto mide el lado de la fotografía que va a enmarcar Enrique?,
¿cómo lo calculaste?, ¿cuánta madera necesita?
• ¿Cuánto mide el lado del joyero que quiere envolver Paula?, ¿le alcanza
con el pliego de papel que tiene?
• Dada la superficie de una región cuadrada, ¿existe una forma de
obtener la medida del lado del cuadrado?, ¿cómo?
• Dado el volumen de un cuerpo cúbico, ¿se puede calcular la medida
del lado?, ¿cómo?
GLOSARIO
dada la
expresión , n es el índice de la
raíz y a es la cantidad subradical.
n a
• Recuerda que si a es un número positivo o 0 (a>–
0), la expresión denota al único número (mayor
• x= si a = x2 •
• Si a es un número real cualquiera, la expresión corresponde al único número cuyo cubo es a, y su
signo es el mismo que el de a, y se lee “raíz cúbica de a”.
• x= si x3 = a • •
• Los números negativos no tienen raíz cuadrada real, pero sí tienen raíz cúbica.
Por ejemplo: , ya que (–2)3 = –8
3 a a 3 0 = 0 3 3 a ( ) =
( a ) = a
2
a
a
3 −8 = −2
3 a
EN RESUMEN
1. Resuelve:
a. Encuentra la medida del lado de un cuadrado de área igual a 121 m2.
b. Determina el radio de un círculo cuya área es de 81π cm2.
c. Si la medida del lado de un cuadrado se expresa por , donde A es el área del cuadrado,
¿cuál es la expresión del perímetro del cuadrado?, ¿y de la mitad del perímetro del cuadrado?
d. Encuentra el perímetro de una circunferencia que encierra un área de 361π m2.
2. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica tu decisión.
a. c. e.
b. d. f.
3. Responde:
a. Determina el área de una cara de un cubo si su volumen es de 64 cm3.
b. El volumen de un cubo es 125 m3. Se quiere calcular el área de una de sus caras, por lo que se
plantea que este cálculo es equivalente a resolver . ¿Es correcta la afirmación anterior?,
¿por qué?
c. Si la medida de la arista de un cubo se expresa por , ¿cómo se expresa el área de una
de sus caras?, ¿cómo se expresa el volumen del cubo?
d. Calcula la medida de la arista de un cubo, cuyo volumen es de 24 m3.
A
EN TU CUADERNO
2 + 3 = 2+3
32 = 8 2
32 = 4 + 2
28 = 2 + 7
60 = 2 15
40 = 2 10
o igual a 0) cuyo cuadrado es a. : se lee “raíz cuadrada de a”. Si a >–
a 0:
(3 125)2
3 V
0 1
2
2
Unidad 1
27
Ubicación de raíces en la recta numérica
ANALICEMOS…
Los números racionales son un conjunto que no completa la recta numérica;
es decir, que por más números decimales que usemos, siempre existirán
“huecos” entre ellos. Estos huecos corresponden a los números irracionales,
como 2 , que completan la recta numérica.
Para ubicar las raíces no exactas, por ejemplo , se puede aplicar el
teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos
miden 1 unidad: la hipotenusa de este triángulo será . Luego, al trazar
un arco de circunferencia centrada en el punto 0 de la recta numérica de
radio igual a la hipotenusa, en la intersección con la recta numérica estará
ubicado el número .
En general, para localizar de manera geométrica , siendo n cualquier
número natural, se puede aplicar el teorema de Pitágoras a un triángulo
rectángulo de catetos 1 y la raíz cuadrada del número natural anterior,
es decir, .
Por ejemplo, con el segmento de longitud y un segmento de longitud 1,
se construye un nuevo triángulo rectángulo. Se traza un arco de circunferencia
centrada en el punto 0, y de radio igual a la hipotenusa de este nuevo triángulo.
La intersección de este arco con la recta numérica es el punto .
n –1
n
2
3
2
2
2
• ¿Cómo pueden ubicarse en la recta numérica algunos números irracionales?
• ¿Es posible representar todos los números correspondientes a raíces
cuadradas?
Algunos números irracionales pueden representarse en la recta numérica, como, por ejemplo, las raíces
cuadradas de un número natural y expresiones compuestas que contienen raíces cuadradas.
EN RESUMEN
0 1 2
2
3
2 3
1
1 1
EN TU CUADERNO
1. Ubica los números en la recta numérica.
2. Completa la construcción gráfica del número áureo siguiendo las instrucciones:
• Copia en tu cuaderno la siguiente figura.
Observa que ABCD es un cuadrado.
• Marca el punto medio del lado AB como el punto E.
• Con la ayuda de un compás, traza un arco de circunferencia con centro en E y radio EC.
• La intersección entre el arco de circunferencia y la recta AB determina el punto F.
Demuestra que la medida del segmento AF es igual a φ.
5, 7, 10, 17
En esta actividad, aprenderás a ubicar números en la recta numérica usando el programa GeoGebra, que se
encuentra disponible en el sitio web: www.geogebra.at
• Una vez instalado el programa, selecciona
Cuadrícula y Vista algebraica en el menú Vista.
• Selecciona Redondeo en el menú Opciones para
cambiar la cantidad de lugares decimales.
• Con el botón Círculo marca en el plano cartesiano,
primero el punto (0, 0) y luego el punto (1, 1).
De esta manera, se dibujará el círculo de centro (0, 0)
y radio , que es la diagonal del cuadrado
correspondiente.
• Ahora, con el botón Punto, marca el punto de
intersección entre la circunferencia dibujada y el eje
horizontal de la rejilla. Para que efectivamente sea
un punto de la circunferencia, esta debe ennegrecerse.
Observa las coordenadas de este punto. ¿Corresponde a ?, ¿cómo lo supiste?
Ejercicio
• Siguiendo el mismo procedimiento, ubica en la recta otras raíces no exactas.
2
2
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
A B
D C
29
Unidad 1
Observa cómo se determina
geométricamente la longitud de
la diagonal de un cuadrado.
Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que D2 = 2. Luego, D= .
¿Cuánto es ?
Al utilizar una calculadora, arrojará algo como: = 1,4142135
Esto no significa que: =
Al observar el resultado de la calculadora, se podría pensar que es un
decimal finito, pero con muchos decimales, o bien infinito, cuyo período sea
más largo que la precisión de la calculadora, o bien infinito, pero que no
tenga período.
¿Es un número racional? Si así fuera, se debe poder escribir como
una fracción irreducible, con denominador distinto de 0.
Para demostrar que no es un número racional, se debe demostrar
primero que:
Sea p un número natural. Si p2 es un número par, entonces p es par.
Demostración por reducción al absurdo: supón que la propiedad no es cierta.
Luego, debe haber un p impar cuyo cuadrado sea par. Para este número p
existen números n y m naturales que cumplen:
p = 2n + 1 (porque p es impar)
p2 = 2m (porque p2 es par)
Pero si p = 2n + 1, entonces, calculando p2 se obtiene:
p2 = 4n2+ 4n + 1 = 2(2n2 +2n) + 1, y, necesariamente, p2 es impar.
Por lo tanto, p2 es un número par e impar. Lo cual es una contradicción.
Entonces, la suposición era incorrecta y la propiedad queda demostrada.
2
2
2 2
2
14 142 135
10 000 000
2
2
2
0
1
1 D
D
2
ANALICEMOS…
• Según los datos de la figura, ¿cuánto mide la diagonal del cuadrado D?,
¿cómo lo supiste?
• ¿D es un decimal finito, o un decimal infinito (periódico o
semiperiódico)?
• ¿Es D un número racional?, ¿se puede representar como fracción?
Irracionalidad de algunas raíces cuadradas
Si a y b son los catetos y c la
hipotenusa de un triángulo
rectángulo, entonces:
a2 + b2 = c2
RECUERDA QUE…
a
b
c
GLOSARIO
argumento
de demostración, que consiste en
suponer que la propiedad que se
quiere demostrar y
deducir a partir de esto una
contradicción. Entonces, como tal
contradicción se debe a que la
suposición era incorrecta, la
propiedad debe ser cierta.
GLOSARIO
segmento que une
dos vértices no consecutivos de un
polígono.
conjunto ordenado
de argumentos que permiten obtener
una verdad como consecuencia
lógica de otra.
EN TU CUADERNO
1. De manera similar, demuestra que y no son números racionales. Recuerda demostrar primero
la propiedad anterior correspondiente.
3 5
Ahora, se puede demostrar que no es un número racional.
Demostración por reducción al absurdo:
Supón que es un número racional, en tal caso existen p y q, primos relativos,
tales que con q ≠ 0. De modo que , y p2 = 2q2, por lo que
p2 es par.
Pero si p2 es par, por la demostración anterior, se sabe que p debe ser par.
Si p es par, existe un natural n tal que p = 2n.
2q2 = 4n2 . Simplificando se obtiene: q2 = 2n2.
Por tanto, q2 es par y, como ya vimos, q es par.
En consecuencia, si , entonces p y q son ambos pares. Entonces,
no es posible que exista una fracción irreducible. Pero todo número racional
debe tener una fracción irreducible que lo represente. Esta es la
contradicción. Luego, no es un número racional. Por lo tanto,
se dice que es un número irracional.
La medida de la diagonal de un cuadrado, que hoy nos parece natural, generó
una crisis en la escuela pitagórica, en el siglo VI a. C. en Grecia pues
aparecieron cantidades “inexpresables”; es decir, que no se pueden representar
como una fracción, algo que los egipcios y los babilonios ya dominaban.
Este descubrimiento afectó el curso del pensamiento matemático griego
y les hizo abandonar la idea de que la medición sea un gran puente entre
la geometría y la aritmética de los números racionales. De hecho, el conjunto
de números racionales es notoriamente inadecuado para propósitos
geométricos simples, ya que en su gran mayoría aparecen números irracionales.
2
2
2 =
p
q
p = 2q
2
2
GLOSARIO
número cuyos
divisores son el 1 y él mismo.
GLOSARIO
es aquella
cuyo numerador y denominador
no poseen divisores comunes
distintos de 1.
2 =
p
q
Ahora, , y elevando al cuadrado 2 de donde: 2 2
2 =
( n)
q
2 2
= =
p
q
n
q
31
Raíces enésimas Unidad 1
ANALICEMOS…
En cursos anteriores, aprendiste a calcular el promedio o media aritmética,
ahora veremos cómo se puede obtener la media geométrica. Observa.
Para obtener la media geométrica de 2 y 18, se calcula: .
Geométricamente, este resultado se puede interpretar como la medida
del lado del cuadrado que tiene igual área que un rectángulo de lados 2 y 18.
Para obtener la media geométrica de 6, 16 y 18, se calcula:
= 12, es decir, 123 es igual al producto de 6, 16 y 18.
Geométricamente, este resultado se puede interpretar como la medida
de la arista de un cubo que tiene igual volumen que un prisma rectangular
de dimensiones 6, 16 y 18.
3 6 16 18 3 1 728 ⋅ ⋅ =
2⋅18 = 36 = 6
La media geométrica depende de la cantidad de números involucrados.
Luego, no se puede usar siempre la raíz cuadrada.
La media geométrica de 2, 4, 9 y 18 corresponde a la solución de la ecuación:
x4 = 2 · 4 · 9 · 18 = 1 296, es decir, expresado con notación de raíces:
, lo que se lee “raíz cuarta de 1 296”.
De la misma forma, la solución de x5 = a corresponde a y se lee
“raíz quinta de a”, y así sucesivamente.
En general, la raíz enésima de un número a es el número que resuelve la
ecuación xn = a. Es decir, se busca el número cuya potencia enésima sea a.
Por ejemplo, para calcular , se puede calcular por tanteo primero
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, luego revisar 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 64, y también
x = 5 a
• Si se necesita obtener la media geométrica de 2, 4, 9 y 18, ¿cómo se
puede calcular?, ¿corresponde a ?, ¿por qué?
• ¿Cómo se relaciona el producto de los cuatro números con su
media geométrica?
• En este caso, ¿la media geométrica se puede interpretar
geométricamente?, ¿por qué? Comenta.
• En el caso de calcular la media geométrica de cinco números,
¿cómo se podría expresar ese número?
2⋅ 4 ⋅ 9 ⋅18
2
18 6
12
12
18
16
6
12
6
x = 4 1 296
4625
GLOSARIO
La de n términos
x1, x2, … xn es la raíz enésima del
producto de los n términos
G x x xn = n 1· 2 ·…
GLOSARIO
expresión que se puede representar
por , cuya enésima potencia es
igual al número a.
n a
• Si a es un número real y n un número natural, entonces la expresión denota al número cuya
potencia enésima es a.
• Si a>–
0 y n un número par, existe y es siempre un número positivo.
• Si a < 0 y n un número par, n a no es un número real.
n a
n a
• Cuando n es un número impar, conserva el signo de a y es siempre un número real.
• Al número n se le llama índice, y al número a se le llama cantidad subradical.
n a
EN RESUMEN
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Entonces, por lo anterior, = 5.
Al igual que en el caso de las raíces cuadradas y cúbicas, no todas
las raíces enésimas son exactas, ni todas son números reales. Por ejemplo,
la raíz cuarta de un número negativo no es un número real, porque ningún
número elevado a su cuarta potencia es un número negativo.
Cuando las raíces enésimas no son exactas, existen dos posibilidades para
realizar cálculos y estimaciones con ellas:
• Calcular el valor aproximado de la raíz enésima, con las cifras decimales
que se requieran, por tanteo, tal como para aproximar raíces cuadradas.
• Simplificar la expresión cuando se pueda, factorizando el número
apropiadamente y aplicando las propiedades de multiplicación y división
de raíces.
O bien, según las características del problema, ocupar la notación de raíces,
porque representa exactamente el número irracional correspondiente.
1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a. e. El número es real. i.
b. para cualquier valor de n. f. El número es real. j.
c. , n impar. g. k.
d. h. l.
EN TU CUADERNO
n a b bn a = ↔ =
5 −243 = −3
4 −256 = − 4 256
7 −128 = − 7 128
6 64 + 4 81 = 5
4 625 + 5 32 = 2
4 81+ 81 = 6
3 32 = 5 32
n 0 = 0
(−b) = −a ↔ −a = −b n n
6 64 = 3 8 = 2
6 −17
7 −5
4625
33
Cálculo de raíces enésimas y sus propiedades Unidad 1
ANALICEMOS...
Felipe está buscando una estrategia para calcular raíces usando las que
ya conoce. Observa.
Para comprobar si los cálculos de Felipe están correctos, debemos calcular
las potencias que corresponden. En ambos casos vemos que:
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Y por lo tanto, ambos resultados son correctos.
Pese a lo anterior, los cálculos anteriores no justifican la estrategia usada
por Felipe de separar las raíces de índice mayor, de modo que para
comprobar usaremos algunas propiedades de las potencias.
Observando los resultados obtenidos, vemos que podemos escribirlos como:
26 = 23 · 2 = (23)
2
= 82 = 64
54 = 52 · 2 = (52)
2
= 252 = 625
Y por tanto, la propiedad de potencia de potencia justifica el uso de
la separación de raíces de índice mayor.
Por otro lado, para calcular por ejemplo 65, podemos descomponerlo como
25 · 35, obteniendo 65 = 25 · 35 = 32 · 243 = 7 776. Asimismo, podemos
calcular la raíz quinta de 7 776 a partir del producto anterior, obteniendo:
De modo que la propiedad de potencias de igual exponente permite obtener
la raíz enésima de un producto como producto de raíces enésimas.
• ¿Están correctos los cálculos de Felipe? Comprueba calculando
la potencia correspondiente del resultado en cada caso.
• ¿Esta estrategia se puede usar siempre?, ¿sirve para calcular
una raíz quinta, por ejemplo?
• Las propiedades de las operaciones de producto y cuociente
de raíces cuadradas y cúbicas, ¿se extienden a las raíces enésimas?,
¿qué puedes concluir?
6 64 = 3 64 = 3 8 = 2
4 625 = 625 = 25 = 5
Con la adición y la sustracción no se
puede desarrollar:
NO OLVIDES QUE...
a b a b
a b a b
n n n
n n n
+ ≠ +
– ≠ –
5 7 776 = 5 32·243 = 5 32 · 5 243 = 2· 3 = 6
Si a y b son números reales, n y m números naturales, se cumplen las siguientes propiedades:
• Adición y sustracción de raíces: para que dos o más raíces se puedan sumar o restar, es necesario
que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo índice y la misma cantidad subradical.
• Multiplicación de raíces de igual índice (si n es par, a, b ≥ 0)
• División de raíces de igual índice , con b ≠ 0.
• Raíz de una raíz
EN RESUMEN
1. Resuelve.
a. c.
b. d.
2. Calcula las siguientes multiplicaciones de raíces de igual índice.
a. b. c. d.
3. Expresa las siguientes raíces o productos de raíces de la forma más simple posible.
a. c. e.
b. d. f.
4. Simplifica las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las raíces.
a. c. e.
b. d. f.
EN TU CUADERNO
n a · n b = n a · b
a
b
a
b
n
n
n
=
a a a a
n m n m m n m n
= = =
· ·
5 7 + 55 7 − 25 7 +115 7
4 12 + 64 12 − 44 12 + 34 12
6 9 − 36 9 − 46 18 +156 18
3 25 + 24 25 + 53 25 − 74 25
5 3 · 5 4 · 5 7 4 3 · 4 27 5 64 : 5 2 6 256 : 6 4
4 3 · 4 54
2 4 12 4 ⋅ 6 2 1
25
· 3 · 6
1 2
8
2 2
4
12
2
3
3
− + − + 8 128
3 6 2
6
5 5
6 3 6
( ⋅ ) −
⎛ ⋅ ⋅
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
2 2 2 2 2
2
2
4 2
⋅ ⋅ = 5 9 12 6 − 34 48
36
7
7
3 2
9
49
4
3
4
3
⋅ ⋅
63
2
63
6
− − 10 7 ⋅ 5 49 =
4 93 729 3 37 3 4
5 10 25
4
4 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 4 5
35
Unidad 1
Relación entre raíces enésimas
y potencias de exponente racional
Es posible ampliar el concepto de potencia a potencias con exponente
racional, como por ejemplo: 7 8 4 .
1
2
1
3
3
, , 2
En cursos anteriores, se estudiaron las potencias con exponente entero.
Por ejemplo:
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3
2–4 = = · · · =
1
16
1
2
1
2
1
2
1
2
1
24
8 8
1
3
3 ( ) = 8 8 2
1
3 = 3 =
4 4 64
3
2
2
( ) 3 = = 4 4 64 8
3
2 3 = = =
3 a = 6 a
ANALICEMOS...
• Supón que se cumple (an)
m
= an • m, con n y m fracciones,
¿cuál es el resultado de ?
• Por otra parte, ¿qué número elevado al cuadrado da como resultado 7?,
¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿cómo lo sabes?
• ¿Qué puedes concluir?
7
1
2
2 ( )
3 a 3 a a a a 6 a
1
2
1
3
1
2 1
3
1
2
1
= = 6 ( )( ) = = =
·
7 7 7 7
1
2
1
2
2
2
( ) 1 = = =
⎛⎝ ⎜
⎞⎠ ⎟
·
7 ( )2
7 7
1
2 =
Observa que , y por otra parte = 7 (por
definición de raíz cuadrada), luego .
De la misma manera:
, por lo tanto
, por lo tanto
Representar las raíces como potencias con exponente fraccionario permite
verificar ciertas propiedades de las raíces aplicando las propiedades
de las potencias.
Ejemplo
; con a >– 0, ya que
En general:
• Si n ≠ 0, entonces
EN RESUMEN
an n a • Si n ≠ 0, entonces
1
= a a
m
n n m =
1. Expresa las siguientes potencias en forma de raíz:
a. b. c. d.
2. Escribe las siguientes raíces en forma de potencia, y luego calcúlalas:
a. b. c. d.
3. Utilizando las propiedades anteriores:
a. ¿Cómo expresarías en forma de raíz ? b. De manera análoga, expresa como raíz .
4. Expresa en términos de una sola raíz las siguientes expresiones:
a. b. c. d.
5. Encuentra el valor de x.
a. b.
6. Responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado de área m2?
b. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo que tiene por volumen cm3?
7. Observa el ejemplo y luego resuelve:
a. b.
8. Dada la siguiente figura, contesta.
a. Calcular el área del cuadrado DBEF si AB = 6 cm.
b. Si el área ABCD es 30 cm2, calcula el lado del cuadrado
y el área del cuadrado DBEF.
c. Calcula el área de cada cuadrado si:
• el lado del cuadrado menor mide x cm.
• el área del cuadrado menor es y cm2.
3 5
5 2
EN TU CUADERNO
45
1
3 −27
5
3 7
10
2
⎛ 3
⎝ ⎜

⎠ ⎟
(0,00032)
1
5
3 −343 4 324 5 −0,00001 9 512
(x )
2
3
1
5 ( ) (a)
1
3
1
3 ( )
a3 2
x 5 = 20 5
a ⋅ a = a = a = a = a a
3 2 + 6 7 6
1
2
2
3
7
6
5 2 ⋅ 2 x ⋅ x ⋅ x 3 4 4 12
x x x 13 8 13 =
3 4 5 2 5 3 ⋅ 2 2 2 2
A
B
C
E
F
D
37
Situaciones que involucran raíces Unidad 1
Mediante la experimentación y la aplicación de modelos matemáticos, se ha
logrado determinar que la relación entre distancia d (medida en metros)
desde la que cae un objeto partiendo del reposo y el tiempo transcurrido
t (medido en segundos) está expresada por la fórmula: .
Antonio y Eduardo decidieron verificar esta fórmula dejando caer una piedra
desde un puente y tomando el tiempo que la piedra tarda en llegar al río.
Para solucionar este problema, es necesario resolver una ecuación que
contiene raíces y cuya incógnita forma parte de su cantidad subradical.
Observa el siguiente ejemplo y explica los pasos realizados:
Remplaza la solución en la ecuación original y comprueba que la satisface.
Siempre, al resolver una ecuación que posea alguna incógnita en la cantidad
subradical, debe comprobarse que la o las soluciones encontradas realmente
satisfacen la ecuación.
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación .
Se considera primero las restricciones de los valores que puede tomar x.
Como la cantidad subradical de una raíz cuadrada debe ser positiva o cero,
se tiene que x + 5 ≥ 0 y x + 2 ≥ 0, por lo tanto, las soluciones no pueden
ser menores que –2. Ahora, se resuelve la ecuación. Observa.
ANALICEMOS…
• ¿Cuál es la altura del puente, según la fórmula, si la piedra cayó en
2 segundos? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.
Observa la ecuación :
la solución no pertenece a los
números reales, pues la expresión
, debe ser positiva o cero,
según la definición de raíz cuadrada.
RECUERDA QUE…
En la expresión , n indica el
índice de la raíz y a señala la
cantidad subradical.
n a
RECUERDA QUE…
( x + ) = x

⎝ ⎜

⎠ ⎟
2 + =
33
12
2
2
2 1 089
144
x= =
801
144
89
16
12 x + 2 = 33
x + 5 = 36 – 12 x + 2 + x + 2
( x + 5) = (6 – x + 2)
2 2
x + 5 = 6 – x + 2
x + 5 + x + 2 = 6
x + 5 + x + 2 = 6
t d = 20 m
d d d
= = =
5
2
5
4
5
t
d
=
5
Elevando al cuadrado
Elevando al cuadrado
Desarrollando
x +1 = –3
x +1
GLOSARIO
igualdad
en la que intervienen raíces cuyas
incógnitas forman parte de una o
más cantidades subradicales.
Finalmente, se verifica que la solución realmente satisface la ecuación:
Como se satisface la igualdad original, la solución encontrada es válida.
Ejemplo 2
Considera la ecuación .
Antes de resolverla, se debe considerar las restricciones para el valor de x,
ya que 6x + 1 y 3x deben ser ambos positivos. Para esto, se considera 3x ≥ 0
y 6x + 1 ≥ 0, lo que da x ≥ 0 y x ≥ – . Luego, la solución no puede ser
Como se observa en la imagen que la solución hallada es menor que el
valor determinado como restricción, esta ecuación no tiene solución en los
números reales. Naturalmente, no es necesario comprobar la solución.
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación .
Las restricciones para los valores de x están dadas solo por x2 + 2 ≥ 0, pero
como todo cuadrado de un número es positivo, no existen restricciones en
este caso. Ahora, se resuelve la ecuación:
x2 + 2 = x − 2
1
6
6x +1+ 3x = 0
89
16
5 89
16
2 89 80
16
89 32
16
169
16
121
16
1
+ + + =
+
+
+
= + =
33
4
11
4
24
4
+ = = 6
6 1 3 0
6 1 3
6 1 3
6 3 1
1
3
2 2
x x
x x
x x
x x
x
+ + =
( + ) = (− )
+ =
− = −
= −
x x
x x x
x
x
2
2 2
2 2
2 4 4
4 4 2
1
2
+ = −
+ = − +
= −
=
menor que – . Observa.
1
6
16
13
–1 – – 0
39
Unidad 1
Observa qué sucede al remplazar esta solución en la ecuación:
Como la igualdad de la última línea no es cierta, la solución encontrada
no satisface la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución
en los números reales.
Ejemplo 4
Resuelve la ecuación .
Las restricciones para los valores de x están dadas por la relación x – 1 ≥ 0,
ya que los coeficientes restantes son positivos, de donde x ≥ 1.
Ahora, se resuelve la ecuación:
Y es fácil comprobar que la solución encontrada sí satisface la ecuación
original.
7 3 x −1 = 14 3
• Una ecuación con radicales es una igualdad en la que intervienen raíces cuya incógnita forma
parte de una o más cantidades subradicales.
• En una ecuación con radicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre
comprobadas, de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.
EN RESUMEN
1
2
2 1
2
2
1
4
2 1 4
2
9
4
3
2
2 ( ) + = −
+ = −
≠ −
7 3 1 14 3
3 1 2 3
3 1 12
1 16
17
x
x
x
x
x
− =
− =
− =
− =
=
?
?
1. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Luego, comprueba la solución.
a. e. i.
b. f. j.
c. g. k.
d. h. l.
2. ¿Por qué existen valores que no satisfacen una ecuación radical? Menciona un ejemplo para
responder la pregunta.
3. Analiza las siguientes proposiciones:
a. La solución a la ecuación = 3 es x = –9. Justifica tu respuesta.
b. El valor real de x que satisface la ecuación = –1 es x = 1.
4. ¿Existe algún número natural tal que su raíz cuadrada tenga tres unidades más que la raíz cuadrada
de su antecesor?, ¿por qué?
5. Indica si los siguientes procedimientos están correctos. En caso contrario, señala el error.
a. b.
2x + 1 = x
x = –1
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. b.
7. ¿En cuántos centímetros cuadrados se incrementa el área de un cuadrado de 20 cm de perímetro
cuando al lado se agregan 2 cm? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.
x
x
EN TU CUADERNO
x + 5 + 3 = x + 8
3
4
x = 1
3 x +1 = 1
9x + 1– 1= 3 x
2 3x = 4 x + x + 2 = 2
x – 5 = 5
2 3x +4 =16
2
3
x –1= 7
x2 +8x +3 = x +1
2 5x –1+1= 7
2 2 3 x =6
2x +1+ x = 0
2 1 2 x + = – x / ( )
2 1
2 2
( x + ) = (– x )
x – 1– x = 2
x – 1 x 2 /
2
= + ( )
x –1 x 2
2 2 ( ) = ( + )
x –1= x + 4 x + 4
–5 = 4 x
x =– ⇒ x =
5
4
25
16
x
x
– 3
3 2
1
2
8
3
=
+
2 3 2
2
1
2
18 2
x
x

=
+
41
Unidad 1
1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica.
a. b. c.
2. Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado cuando sea posible.
a. c. e.
b. d. f.
3. Realiza las siguientes operaciones y reduce el resultado, si es posible, expresándolo como una sola raíz.
a. c. e.
b. d. f.
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a. b. c.
5. Si tengo un terreno que tiene una superficie de 11 m2, ¿a qué se parecería? Escoge entre
las siguientes alternativas:
A. Una cancha de tenis.
B. Una mesa de comedor.
C. Una habitación.
D. Una sala de clases.
MI PROGRESO
7 2 = 98 14 = 2 + 7 43 3 ⋅ 3 5 = 3 60
4 4 + 4 64
35 9 ⋅ 2 5 27
37 4 ⋅ 57 2 ⋅7 16
143 1296 : 7 3 6
7 4 3 − 34 243 + 4 3
146 256 : 26 4
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Aproximar raíces cuadradas. 5 / 1
1 y 2 / 9
3 / 6
4 / 3
Resolver operaciones con raíces enésimas.
Relacionar potencias con raíces.
Resolver ecuaciones con radicales.
5 53 25 2 2 3 24 2
4 3 x = 12 2 2 x – 1 = 21 x + 8 − x − 1 = 1
3 3 27
7 7 7
5
6
1
3
1
⋅ ⋅ 2 a a
2
3
3
4 1
3
1
2 ( ) ⋅ ( ) (11) (11)
3
5
3
6 3
5
1
2 ( ) ⋅( )
n 2n 3n 4n 5n
1 2 3 4 5
2 4 9 16 25
3 8 27 64 125
4 16 81 256 625
5 32 243 1024 3125
6 64 729 4096 15 625
7 128 2187 16 384 78 125
8 256 6561 65 536 390 625
9 512 19 683 262 144 1 953 125
10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625
11 2048 177 147 4 194 304 48 828 125
12 4096 531 441 16 777 216 244 140 625
Logaritmos
ANALICEMOS…
Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agotadora, imagina
calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar raíces, no solo de
números enteros sino también de fracciones y números decimales, obviamente,
sin tener una calculadora.
Observa las siguientes multiplicaciones:
• Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usar calculadora
y compara los resultados en tu curso. ¿Existen diferencias?, ¿por qué?
• ¿Existe alguna forma de simplificar estos cálculos, sin calculadora?
Explica.
• Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de los factores
anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienen en común?
• Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma de potencias.
¿Qué puedes concluir?
16 · 128 81 · 2187 256 · 16 384 625 · 78 125
43
Unidad 1
Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anterior se ubican
en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el exponente al que hay
que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 para obtener 177 147, por ejemplo.
Para referirnos a este exponente, al que hay que elevar el 2 para obtener 2048,
decimos que el logaritmo de 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos:
log2 2048 = 11, pues 211 = 2048
o que el logaritmo de 177 147 en base 3 es 11 y lo denotamos:
log3 177 147 = 11, pues 311 = 177 147
Y así sucesivamente.
¿Cómo se podría simplificar el cálculo de 625 · 78 125 utilizando la tabla?
Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan como potencias
con igual base: 625 · 78 125 = 54 · 57 = 511
Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5n, su valor
para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal como cuando resolviste la multiplicación
mediante el algoritmo habitual.
De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, como divisiones,
por ejemplo:
= = 54 = 625
A partir de la tabla, se observa que 19 683 y 27 son ambos potencias de 3, luego
se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3 y ubicar los valores en la
tabla. Observa.
log27 19 683 = = = 3. Es decir, 273 = 19 683
De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas, las divisiones
en restas y las raíces por divisiones, con lo que se facilita notablemente
el cálculo, más cuando los números implicados son muy grandes y se cuenta,
obviamente, con tablas apropiadas.
9
3
log3 19 683
log3 27
512
58
244 140 625
390 625
Además, utilizando la expresión logb B = , se puede determinar el
resultado de log27 19 683.
logc B
logc b
an · am = an + m
con a ≠ 0, n, m∈
a = an – m n
am
RECUERDA QUE…
GLOSARIO
exponente al que es
necesario elevar una cantidad
positiva para que resulte un número
determinado.
Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar
una cantidad positiva para que resulte un número determinado”. Si lo escribiera
como ecuación, corresponde a resolver logb a = x, donde b es la base
del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.
Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuación log2 16 = x. Entonces,
ya que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 es el
argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir 2x = 16. Y como
16 es una potencia de 2, de hecho, 24, esto equivale a 2x = 24, luego, igualando
los exponentes, se concluye que x = 4.
Ejemplo 1: Calcula el valor de log7 343
log7 343 = x 7x = 343 = 73 x = 3
Luego, log7 343 = 3
Ejemplo 2: Obtener el valor de log2
Luego, log2 =
Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos se pueden calcular.
Esta es la razón de la condición de valores positivos para a y b. Observa.
Ejemplo 3: Obtener el valor de log8 –512
log8 –512 = x⇒8x = –512
Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa? No, en ningún
caso. Luego, log8 –512 no existe.
Ejemplo 4: Calcula el valor de log(–2) 8
log(–2) 8 = x⇒(–2)x = 8 = 23
En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente es impar, luego
el valor de la potencia debiera ser negativo también. Como esto no se cumple,
no existe log(–2) 8.
Ejemplo 5: ¿Cuánto resulta log1 5?
log1 5 = x ⇒1x = 5
Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x sea igual a 5.
3
2
8
8
log2 8 = x ⇒ = ⇒ = ( ) = 2x 8 2x 2 2
1
2 3
1
2
3
2
45
Unidad 1
Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el valor de
la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos. En particular, la base
debe ser distinta de 1.
En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizados como la principal
herramienta en los cálculos aritméticos. Usándolos se ahorró un increíble
esfuerzo, pues permitieron trabajar con los pesados cálculos necesarios en las
aplicaciones a la agrimensura, la astronomía, y particularmente la navegación.
Además, permitió realizar otros cálculos matemáticos que sin su invención no
hubieran sido posibles.
Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindibles en
cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y computadores.
Actualmente los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron
descubiertos. Sin embargo, ciertas características y utilidades, que durantes
estos siglos se les han descubierto, los han hecho sobrevivir al desarrollo de
la electrónica.
• El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede
ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a ∈ 
+ y b ∈ 
+ – {1}.
• Por definición, x = logb a ⇒ bx = a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponente de
una potencia.
• La expresión logb a se lee como: “logaritmo de a en base b”.
EN RESUMEN
1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.
a. log9 243 c. log0,7 0,343 e. loga g. log i. log16 8
b. log2 128 d. loga a9 f. log6 h. log8 16 j. loga
2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x.
a. log2 x = 6 b. log x = –2 c. log0,3 x = 3 d. log0,004 x = –3
a8
1 5 a2
36
1
4
EN TU CUADERNO
1
2
3
4
Propiedades de los logaritmos
ANALICEMOS…
Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunos valores,
determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, b y c, con a ≠ 1:
loga b = c ac = b a = c b
Las propiedades que se cumplen para logaritmos, para cualquier valor de la base
b, se pueden establecer y demostrar a partir de las propiedades de las potencias.
Observa.
• Logaritmo de la unidad:
logb 1 = x ⇔bx = 1, ya que b > 0, b ≠ 1
⇔bx = b0
⇔x = 0
Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potencia es 1 cuando el
exponente de la potencia es cero (ya que la base es positiva y distinta de 1).
Luego, logb 1 = 0, con b ≠ 1.
Ejemplo: log5 1 = 0
• Logaritmo de la base del sistema:
logb b = x ⇔bx = b ⇔bx = b1
⇒x = 1.
Luego, logb b = 1, con b ≠ 1.
Ejemplo: log3 3 = 1
• Logaritmo de una potencia con igual base:
logb bn = x ⇔bx = bn ⇔x = n
Luego, logb bn = n, con b ≠ 1.
Ejemplo: log6 63 = 3.
• ¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Compruébalas
remplazando con los valores correspondientes, en cada caso.
• Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces, ¿se
pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica.
• Por ejemplo, en el caso de logb bn, ¿existe alguna propiedad que simplifique
los cálculos? Explica.
47
Unidad 1
• Cambio de base:
logb B = x ⇔bx = B
logc bx = logc B
x · logcb = logc B
Ejemplo: log2 5 = = = 2,32192
0,69897
0,30103
log 5
log 2
Por lo tanto, logb B= para todo b, c, B > 0; b, c ≠ 1
logc B
logc b
Se cumple, ya que la base b del logaritmo es positiva y distinta de 1, que:
• Logaritmo de la unidad: logb 1 = 0.
• Logaritmo de la base del sistema: logb b = 1.
• Logaritmo de una potencia con igual base: logb bn = n.
• Cambio de base: logb B = para todo b, c, B > 0; b, c ≠ 1
logc B
logc b
EN RESUMEN
1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.
a. log2 64 d. log5 1 g. log81 27 j. log
b. log9 243 e. log3 3 h. log128 1 k. log 128
c. log0,7 0,49 f. log5 57 i. log6 63 l. log5
2. Utilizando una calculadora encuentra el valor de las siguientes expresiones.
a. log2 3 b. log6 7 c. log7 9 d. log6 11
3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.
a. log4 64 + log 1000 + log5 125 d. 3 log 32 + 7 log 125 – 6 log 243
b. log – log + log 10 000 e. 4 log + 2 log – 5 log
c. 2 log5 25 – 3 log7 49 + 4 log8 4096 f. 2 log 100 000 – 2 log4 256 + 4 log2 32
125
216
4
9
216
343
8
125
25
49
1
25
16
9
EN TU CUADERNO
1
2
1
4
5
7
2
3
6
5
2
5
6
7
1
5
1
3
4
3
• Los logaritmos de base diez,
es decir, log10 x, son llamados
logaritmos decimales y en este
texto los denotaremos como log x.
• Las calculadoras tienen teclas
para calcular el logaritmo
en base 10 (log) y el logaritmo
natural en base e (ln), pero no el
logaritmo en una base cualquiera.
En ese caso, se calcula usando la
fórmula de cambio de base.
NO OLVIDES QUE…
Se aplican logaritmos en una base c
Por propiedad de logaritmos que se
trabajará en la página 49
Propiedades de las operaciones de los logaritmos
ANALICEMOS…
Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos también existen
propiedades que permiten simplificar los cálculos. Para demostrarlas, los logaritmos
se pueden escribir en forma exponencial y aplicar algunas de las
propiedades de las potencias.
Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
de los factores. Es decir,
logb (a · c) = logb a + logb c
Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se cumple, se puede resolver
un logaritmo de dos maneras distintas, directamente y aplicando el logaritmo
del producto. Observa:
log2 128 ⇔2x = 128
⇔2x = 27, luego x = 7
Por otra parte,
log2 128 = log2 (4 · 32) = log2 4 + log2 32
= 2 + 5 = 7
Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar que la propiedad
está correcta. Es necesario demostrar que se cumple para cualquier valor de
a, b o c, con b ≠ 1.
Considera que logb a = y ⇔by = a
logb c = z ⇔bz = c
logb (a · c) = x ⇔bx = a · c
bx = by · bz
bx = by + z⇒x = y + z
logb (a · c) = logb a + logb c
De manera similar, se pueden demostrar las siguientes propiedades:
• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos de
los factores.
logb   = logb a – logb c
a
c
• Considera valores positivos para a, b y c, con b ≠ 1, y remplázalos en la
expresión. ¿Efectivamente se cumple?, ¿por qué?
• ¿Crees que también se cumpla logb (a · c) = logb a · logb c? Justifica.
• A partir de esta propiedad ¿se pueden obtener otras? Explica.
Remplazando
por propiedad de potencias
Remplazando
Ejemplo: log3 = log3 81 – log3 243 = 4 – 5 = – 1
81
243
49
Unidad 1
• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente de dicha
potencia por el logaritmo de su base.
logb an = n · logb a
Ejemplo: log2 43 = 3 · log2 4 = 3 · 2 = 6
• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical,
dividido por el índice de la raíz.
logb =
logb a
n
n a
Ejemplo: log4 = · log4 16 = · 2 =
1
3
1
6
1
6
6 16
Sean a, b, c números racionales y positivos, con la base b distinta de 1:
• Logaritmo de un cociente: logb   = logb a – logb c
• Logaritmo de una potencia: logb an = n · logb a
• Logaritmo de una raíz: logb =
a
c
logb a
n
n a
EN RESUMEN
1. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones, utilizando propiedades.
a. logb (x2 – 9x – 22) c. logb (x3 + y3)2
b. logb 100×8 – 80×7 + 16×6 d. logp
2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
a. logm a – 2 logm b + logm c – 3 logm d e. 2 logb 3 + 3 logb 2
b. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1) f. logb c – 6 logb a
c. logp (x + y + z) – 4 logp (x – y – z) g. logb a – logb c – logb d + logb e
d. logp (x + 3) – 4 logp (x – 2) h. logb c + logb a – 1
3. Si A = log6 2, B = log6 3 y C = log6 5, expresa en términos de A, B y C.
a. log6 5400 b. log6 90 c. log6 d. log6
1 080
32 400
216
a2b4c5
d2
EN TU CUADERNO
8
3
En relación con las propiedades de los
logaritmos se debe tener presente
que se cumple en general:
• logb (p · q) ≠ logb p · logb q
• logb (p + q) ≠ logb p + logb q
• logb (p – q) ≠ logb p – logb q
NO OLVIDES QUE…
Ecuaciones logarítmicas
ANALICEMOS…
Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberada por un sismo
es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8
donde E: energía liberada, medida en ergios y R: magnitud del sismo, medida
en grados de la escala Richter. Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de
2005 en Huara, provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8.
La ecuación logarítmica que permite responder la situación presentada es
log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8.
Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de 10. Observa.
log x = 1,5 · 7,8 + 11,8
log x = 23,5
10log10 x = 1023,5 pero 10log10 x = x, por definición de logaritmos.
x  3,162 · 1023
Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005 fue de
3,162 · 1023 ergios aproximadamente.
En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, se debe
manipular la ecuación de modo de escribirla de la forma logb f(x) = logb g(x),
donde f(x) y/o g(x) son expresiones que contienen la incógnita.
Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente,
entonces: logb f(x) = logb g(x)⇔f(x) = g(x).
Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitirá resolver
una ecuación.
• ¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en la escala
de Richter? Explica.
GLOSARIO
Ecuación logarítmica: igualdad en la
que intervienen logaritmos y donde la
incógnita forma parte del argumento
de, al menos, uno de ellos.
51
Unidad 1
Ejemplo 1
log (x + 4) = log 2 + log (x + 1)
log (x + 4) = log (2 · (x + 1))
log (x + 4) = log (2x + 2)
x + 4 = 2x + 2
x = 2
Se verifica la solución, remplazando x = 2 en la ecuación:
log (x + 4) = log (2 + 4) = log 6 = log 2 · 3 = log 2 + log 3 = log 2 + log (2 + 1)
Por lo que x = 2 satisface la ecuación.
Ejemplo 2
log (x2 – 18) = log 3 + log x
log (x2 – 18) = log (3x)
x2 – 18 = 3x
x2 – 3x – 18 = 0
(x – 6)(x + 3) = 0
x = 6 y x = –3
Al remplazar x = 6 se obtiene: log (62 – 18) = log 3 · 6. Por lo tanto, satisface
la ecuación logarítmica.
Por otra parte, con x = –3 se obtiene log –9 = log 3 + log –3, pero la función
logarítmica no está definida para un número negativo. Por lo tanto, x = –3 no
es una solución de la ecuación.
Ejemplo 3
log (x2 – 1) = log (x – 1)
x2 – 1 = x – 1
x2 – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 y x = 1
Para x = 0 se obtiene log (–1), que no está definido.
Para x = 1 se obtiene log (0), que también está indefinido.
Por lo tanto, esta ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque algebraicamente
se obtuvieron valores. De aquí la importancia de comprobar
siempre los resultados.
Aplicando propiedades de los logaritmos.
Se aplican propiedades de los logaritmos.
Igualando el argumento de ambos
logaritmos.
Igualando el argumento de ambos
logaritmos.
Se resuelve la ecuación de segundo grado.
Al resolver esta ecuación de segundo grado,
se obtienen dos soluciones.
Se igualan los argumentos
Las soluciones de una ecuación
logarítmica deben ser comprobadas
ya que esta función solo admite
valores positivos, y podría ocurrir que
el valor encontrado no satisfaga esta
condición.
NO OLVIDES QUE…
Ejemplo 4
log2 [log2 (5x + 6)] = 2
log2 [log2 (5x + 6)] = log2 22
log2 (5x + 6) = 4
log2 (5x + 6) = log2 24
5x + 6 = 24
5x + 6 = 16
5x = 10, luego x = 2
Comprobando, log2 [log2 (5 · 2 + 6)] = log2 [log2 16] = log2 4 = 2
• Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita
forma parte del argumento de al menos uno de ellos.
• Para resolver una ecuación logarítmica, se debe manipular la ecuación de modo de escribirla de la
forma logb f(x) = logb g(x), donde f(x) y/o g(x) son expresiones que contienen la incógnita. Como la
función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces:
logb f(x) = logb g(x) ⇔ f(x) = g(x). Entonces, ahora se resuelve f(x) = g(x)
• Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos
solo se definen para valores positivos, y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo en
la ecuación, no satisfaga esta condición.
EN RESUMEN
1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.
a. log2 128 = x c. logx 100 =
b. log7 343 = x d. log2 322 = x
2. Determina el valor de x en cada caso.
a. log3 [log3 (5x + 2)] = 1 d. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2
b. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0 e. = 2
c. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0 f. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5
log4 (x2 + 8)
log4 (x + 3)
1
2
EN TU CUADERNO
Igualando el argumento de ambos
logaritmos.
Igualando el argumento de ambos
logaritmos.
53
Unidad 1
El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez o de alcalinidad
de una solución. Los químicos calculan el pH de una solución (condición
de ácido o base) mediante la expresión:
pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en
moles por litro.
Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+] en la expresión.
Observa.
pH = –log 3,98 · 10–8 ≈ 7,4
En cambio, para determinar el valor de [H+] del huevo, se debe resolver la
siguiente ecuación logarítmica:
–log x = 7,79
log x = –7,79
x = 10–7,79 ≈ 1,62 · 10–8
Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es 1,62 · 10–8
aproximadamente.
1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH:
a. Bebida cola, pH = 2,5
b. Vinagre, pH = 2,9
c. Manzana, pH = 3,0
d. Leche, pH = 6,5
e. Jabón de manos, pH = 10
2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia en 1974. Su pH era de 2,4. Determina la
concentración de iones de hidrógeno.
EN TU CUADERNO
Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas
ANALICEMOS…
• Determina el pH aproximado de la sangre, si tiene [H+] = 3,98 · 10–8.
• Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+]. ¿Cómo lo calculaste?
• Muchas soluciones tienen un rango de pH que fluctúa entre 1 y 14.
¿Qué valores de H+ están asociados a esos valores extremos?
EN TU CUADERNO
3. Los valores de pH para los vinos varían desde 2,8 a 3,8. Determina el rango correspondiente en concentraciones
de iones de hidrógeno.
4. Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter,
representada por la ecuación:
log E = 1,5 · R + 11,8
donde E: energía liberada medida en ergios; R: magnitud del sismo en grados de la escala Richter.
a. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad de Valdivia,
el cual fue de 9,5 grados Richter. ¿Cuál fue la energía liberada por este sismo?
b. El terremoto ocurrido el 3 de marzo de 1985, en San Antonio, fue de 7,8 grados Richter. ¿Cuántas
veces fue más intenso el terremoto de Valdivia que el de San Antonio?
c. Averigua acerca de otros terremotos ocurridos en nuestro país y compara su magnitud con el terremoto
de Valdivia (busca información en la página web del Servicio Sismológico de la Universidad de
Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/)
5. El nivel de decibeles del sonido (dB), se puede calcular mediante la siguiente fórmula:
D = 10 log (I · 1012) donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en watts/m2.
a. Si se duplica la intensidad del sonido ¿cómo cambia el nivel de decibeles del sonido?
b. El umbral auditivo es la mínima intensidad de sonido que podemos oír, y corresponde a 10–12 watts/m2.
Demuestra que el nivel de decibeles del umbral auditivo es cero.
c. En una multitienda se vende un equipo musical que tiene 1000 watts/m2 de salida.
¿A qué nivel de decibeles corresponde esta intensidad?
d. Si en la misma tienda se vende otro equipo musical cuya intensidad es de 2000, ¿corresponde al
doble del nivel de decibeles del equipo anterior?, ¿por qué?
6. Completa la siguiente tabla.
• ¿Qué medidas implementarías para disminuir la contaminación acústica? Discútelo con tus compañeros.
Fuente Intensidad Decibeles
Susurro 10–10
Tráfico callejero 10–5
Posible daño auditivo 10–3,5
Cercano a un trueno 120
Umbral del dolor 130
Perforación instantánea del tímpano 160
Concierto de rock 101
55
Unidad 1
GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, algebra y cálculo. Por una parte, es un sistema
de geometría interactiva, pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y, luego,
obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar las gráficas de diversas funciones.
Para descargar este programa ingresa a: www.geogebra.org. Luego, selecciona, en el menú de la izquierda,
Webstart-Teleinicio, y luego, haz clic en el botón Webstart.
Para abrir el programa, haz doble clic en el icono GeoGebra_3_2_0_0.exe.
• Para graficar una función, se debe escribir directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de
la ventana. Si la función incluye fracciones, se debe escribir el número entre paréntesis y usando / para escribir
la fracción, y si tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ∧. Por ejemplo, para graficar
f(x) =  x
se escribe f(x) = (1/2)∧x y se presiona enter.
1
2
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
Ejercicios
En cada caso, utiliza GeoGebra para graficar las funciones indicadas, observa sus gráficas y responde las preguntas
correspondientes.
I. Grafica la función raíz cuadrada, f(x) = . Para esto, escribe en la Entrada: sqrt(x), ya que se usa sqrt, por square
root, “raíz cuadrada” en inglés. Debieras obtener una imagen como esta.
1. ¿Cuáles son sus características?, ¿por qué crees que es así? Justifica.
2. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x)= y g(x) = 2 + b. f(x)= – 4 y g(x) = + 4 c. f(x)= y g(x) = 2 +
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
3. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x)= y g(x) = – b. f(x) = – – 3 y g(x)= + 3 c. f(x)= y g(x) =
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
x x x x x –x
x x x x x x
57
Unidad 1
II. Grafica la función logarítmica, f(x) = log x. Para esto, escribe en la Entrada: lg(x), que corresponde al logaritmo
en base 10. También se puede utilizar ln(x), para el logaritmo natural y ld(x) para el logaritmo en base 2. Debieras
obtener una imagen como esta.
1. ¿Cuáles son sus características?, ¿por qué crees que es así? Justifica.
2. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
f(x) = log x, g(x) = ln x y h(x) = log2 x
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x), g(x) y h(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
3. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x) = log x y g(x) = 4 + log x
b. f(x) = log x – 2 y g(x) = log x + 2
c. f(x) = log (x + 5) y g(x) = log (x – 5)
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
4. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x) = log x y g(x) = 3 log x b. f(x) = log 4x y g(x) = log – 4x c. f(x) = log y g(x) = –log 
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
x
2
x
2
III. Grafica la función exponencial, f(x) = ex. Para esto, escribe en la Entrada: e∧x, buscando primero el número e en
la lista que está a la derecha de la Entrada (en algunos casos es necesario escribir dos veces ∧ para que no se borre
al escribir la x). También se puede escribir con otra base, por ejemplo, para la función g(x) = 2x, se escribe 2∧x.
Debieras obtener una imagen como esta.
1. ¿Cuáles son sus características?, ¿por qué crees que es así? Justifica.
2. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x) = ex y g(x) = 2x b. f(x) = ex y g(x) = –ex c. f(x) = ex y g(x) = e–x
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones.
e. f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x – 1
d. f(x) = 3 · 2x, g(x) = 2–x f. f(x) =  x – 1
, g(x) =  x + 1
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
4. Grafica en un mismo plano las siguientes funciones:
a. f(x) = ex y g(x) = ln x b. f(x) = 2x y g(x) = log2 x c. f(x) = 10x y g(x) = log x
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de f(x) y g(x)? Explica.
• ¿Qué puedes concluir?
1
3
1
3
a. f(x) = 5x, g(x) = 1x
5
b. f(x) = 3x y g(x) = 3–x
c. f(x) = –2x y g(x) = 2x
59
Unidad 1
1. Utilizando la tabla de la página 42, calcula los siguientes logaritmos.
a. log4 16 384 b. log5 1 953 125 c. log3 177 147 d. log16 1 048 576
2. Calcula los siguientes logaritmos.
a. log6 216 b. log2 1024 c. log10 10 000 000 d. log9 1
3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones, utilizando propiedades.
a. logb b. logb
4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
a. 2 · logb (x2 – 9) + logb (x – 3) – logb (x + 3) b. logc (x + 2y – z) – 3 logc (x – y + 4z)
5. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.
a. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2 b. log2 (x2 – 9x + 8) – log2 (x – 8) = 3
6. El nivel de intensidad del sonido de un tren del Metro se midió en 98 dB. Determina la intensidad del
sonido correspondiente en W/m2.
7. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión.
A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo de
la base de la potencia.
B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1.
C. La base de un logaritmo es un número real positivo.
D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales.
E. Ninguna de las anteriores.
MI PROGRESO
CRITERIO PREGUNTA EJERCICIOS CORRECTOS
• Revisa tus respuestas y, luego, escribe la cantidad de ejercicios correctos en tu cuaderno.
¿Cómo voy?
Calcular logaritmos. 1 y 2 / 8
3 y 4 / 4
5 / 2
6 / 1
Aplicar propiedades de los logaritmos.
Resolver ecuaciones logarítmicas.
Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.
Reconocer propiedades de los logaritmos. 7 / 1
p q r
s
2 2
4 p q 3 2 – 2
Cómo resolverlo
60 EN TU CUADERNO
1. Considera un cuadrado de lado a, el cual en su parte superior tiene un triángulo isósceles rectángulo.
Calcula el perímetro de la figura formada, en términos del lado del cuadrado. Explica, paso a paso
cómo lo calculaste.
Problema resuelto 1
A un rectángulo cuya altura es a = 1 cm y cuya base mide
b = cm se le quita un cuadrado de lado 1 cm, de modo que
resulta otro rectángulo. Halla las longitudes de sus lados y prueba que
el cuociente entre la longitud del lado mayor y del lado menor es el
número .
Solución:
Las dimensiones del nuevo rectángulo serán: 1 y (b – 1).
= b’; a’ = 1
Calculemos el cuociente entre las longitudes del lado mayor (a’) y del lado
menor (b’) del nuevo rectángulo:
Hemos demostrado que el cuociente entre las longitudes de los lados del
rectángulo es .
1+ 5
2
1+ 5
2
1+ 5
2
b =
1+ 5
2
1+ 5
2
-1=
1+ 5 – 2
2
=
5 –1
2
a
b
,
,
=
1
5 –1
2
=
2
5 –1
=
2 5+1
5 –1 5 +1
=
2 5+1
5 –1
= ( )
( )( )
( ) 2 5+1
4
=
1+ 5
2
( )
Rectángulo original 1 cm
Base del rectángulo resultante (b – 1)
Racionalizamos
Simplificamos
61
Unidad 1
EN TU CUADERNO
1. Considera un paralelepípedo de largo 3a, de ancho 2a y de alto igual al ancho.
a. Determina las medidas de las diagonales de cada una de las caras del paralelepípedo.
b. ¿Es posible calcular la altura del triángulo formado por las diagonales?, ¿cómo?
a
a
a
F
A
B
Problema resuelto 2
Considera que la figura representa un cubo de lado a:
a. Determina la medida de BG.
b. Calcula la altura del triángulo BDG.
Solución:
a. BG es la diagonal de una cara del cubo, es decir, de un cuadrado de lado a.
BG2 = a2 + a2
BG2 = 2a2
BG =
Luego, la medida de BG es .
b. El triángulo BDG es equilátero, porque son las diagonales de las caras del cubo
(cuadrados de lado a); es decir, los tres lados tienen igual medida.
Por lo tanto, BD = DG = BG =
Considerando que la altura de un triángulo equilátero de lado m
es y que en este caso m = , se remplaza y se obtiene:
Luego, la altura del triángulo BDG mide h .
a
=
6
2
h = a 2
m
2
3
a 2
a 2
2a2
Se aplica el teorema de Pitágoras
Se reducen términos semejantes
Utilizando el valor obtenido en la
parte a.
Se aplica la propiedad
Se aplica la propiedad
h
a
=
2
2
· 3
h
a
=
6
2
n a · n b = n a · b
n a · n b = n a · b
BG = a 2
C
D
E H
G
62 En terreno
Aproximación geométrica del número π
El número irracional π corresponde a la razón entre el perímetro de una circunferencia y
su diámetro. Esto puede llevar a pensar, dado que es posible construir con regla y compás
una circunferencia y su diámetro, que puede construirse un segmento de recta cuya longitud
sea este número. Sin embargo, esto es imposible. Pese a lo anterior, en la Antigüedad se dieron
diversas aproximaciones para este valor, como las siguientes: los egipcios alrededor
del año 1800 a. C. estimaron su valor en , los griegos en el siglo II como , y los chinos
en el siglo V
377
120
256
81
1. Con ayuda de una calculadora científica, o consultando a tu profesor o profesora, determina el valor de π
con 9 ó 10 decimales exactos.
2. Luego, calcula cada una de las aproximaciones dadas y con ayuda de una calculadora, encuentra el error
de cada aproximación.
3. Luego, determina cuál de ellas es más exacta, comparando cada una.
4. Averigua de qué manera los matemáticos antiguos determinaron estas aproximaciones para el valor de π.
INVESTIGUEMOS…
Ahora, trabajen en grupos de tres personas.
1. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuáles son las soluciones correctas
en caso de que existan diferencias.
2. Discutan en conjunto la manera en la cual se determinaba antiguamente el valor aproximado de π.
¿Qué ventajas y desventajas presentaban cada uno de estos métodos?
3. Averigüen, en alguna página en Internet, de qué manera se obtienen actualmente valores más cercanos de π.
EN TU CUADERNO
como .
355
11 3
63
Unidad 1
4. Resuelvan el siguiente problema:
Tal como se comentó al comienzo, no es posible encontrar, con ayuda de una regla y compás, un segmento
de recta de longitud igual a π. Esto impide, por ejemplo, construir un cuadrado y un círculo cuyas áreas
sean iguales. Sin embargo, han aparecido construcciones geométricas de segmentos cuyas medidas son,
en algunos casos, muy cercanas a este número.
Con ayuda de una regla y compás, sigan estos pasos:
• Construyan una circunferencia de radio 3 cm, luego determinen un punto C sobre la circunferencia y
construyan un triángulo equilátero OCD, tomando C como centro y cuyo arco pase por O.
• Ahora, construyan la simetral del segmento CD, la cual determinará puntos A y B sobre la circunferencia,
de los cuales el punto A será el más cercano al segmento CD. Además, llamen G al punto medio de CD.
• A continuación, construyan una recta paralela al segmento CD, que pase por el punto A. Esta se
prolonga hasta que corte a la prolongación del radio OC en un punto que llamarán E.
• A partir del punto E, en la dirección del punto A, midan un segmento de 9 cm hasta un punto
que llamarán F.
• Finalmente, tracen el segmento BF.
Ahora, una aproximación para el valor de π está dada en la longitud de BF. Para comprobar esto,
hagan lo siguiente:
• Como el triángulo OCD es equilátero, la longitud de OG es igual a la mitad del lado del triángulo por .
Usando la relación entre longitudes = (la cual se demostrará en la unidad de semejanza),
determinen la longitud de AE.
• Dado que AB = 6 y AF = 9 – AE, aplicando el teorema de Pitágoras determinen la longitud de BF.
• Con ayuda de una calculadora, dividan el valor obtenido para la longitud de BF por el valor del radio
de la circunferencia, que en este caso es 3 y observen el resultado obtenido. ¿Notan alguna semejanza
con el número π?
EVALUEMOS NUESTRO TRABAJO
Una vez que hayan completado la tabla, respondan las preguntas:
• Comparen los resultados obtenidos con los de sus compañeros y compañeras. ¿Obtienen los mismos
resultados? De no ser así, ¿cuáles son las diferencias?
• Discutan si la construcción hecha está bien realizada y si existen otras construcciones para obtener
aproximaciones geométricas del valor de π.
OA
AE
OG
CG
3
64 Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la unidad. Construye
con ellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que
indican las relaciones que hay entre los conceptos.
1 Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. Todas las potencias de exponente fraccionario son números irracionales.
b. El error al aproximar por redondeo como 1,646 es menor que 0,0001.
c. Si a 36 se resta su raíz cuadrada positiva, se obtiene 30 como resultado.
d. Los logaritmos son siempre positivos.
e. El número es menor que 13.
f. No existen logaritmos de números negativos.
g. loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos.
Números y raíces
Ecuaciones
Raíces enésimas
Números irracionales
Números reales
Orden
Resolución de
ecuaciones con
radicales
Raíces
cuadradas
Raíces
cúbicas
Ubicación en la
recta numérica
Relación con
potencias
Logaritmos
Aproximación de números
irracionales
Multiplicación
y división
Resolución de ecuaciones
con logaritmos
9 3 3
7 –1
65
Unidad 1
h. El número es irracional.
i. Los logaritmos están definidos para bases positivas.
j. El número es menor que 26.
k. La raíz cúbica de todo número entero es un número irracional.
l. El número es irracional.
m. Las potencias de un número positivo son todas positivas.
n. El número es irracional.
ñ. La solución de la ecuación es x = 36.
2 Aplica lo que aprendiste en la unidad para desarrollar las siguientes actividades:
a. Resuelve las siguientes operaciones.
• •
b. Expresa en la forma más reducida posible.
• log 13 + log – 13 • – log ab + log + log
c. Dos triángulos rectángulos comparten la misma hipotenusa. Si las medidas de los catetos de
uno de los triángulos son iguales a 11 cm y 3 cm y la medida de uno de los catetos del
segundo triángulo es de 7 cm, encuentra la medida del cateto restante.
d. Resuelve las siguientes ecuaciones:
• •log3 3×2
= 1
• • log 2x – 3 + log x –5 + 1 = log 30
1 a b
2
13
3 3 72
4 2 12


15 3
3 6 + 21· (3 3 + 34 · 100 + 3)
27
6
3 3 2 x = 3 ⋅ 3 2
3 64 + 50 − 7 3 − 27 − 2 3 27 +1 7 7
112
4
147 3
2401
2
3 448
3
+ − − − +
x +12 − x − 4 = 2
a ⋅ 4 a3 ⋅ x = a2
66 Evaluación de la Unidad
1. La expresión es igual a:
A. –6 D. 6
B. 0 E. Ninguna de las anteriores.
C. 3
2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes propiedades son
siempre verdaderas?
I. a = blogb a
II. logb a · loga b = 1
III. logb · loga a = 0
A. Solo I C. II y III E. Todas.
B. Solo II D. I y II
3. El valor de es:
A. 6 D. 42
B. 15 E. Ninguna de las anteriores.
C. 21
4. El valor de es:
A. C. 3 E. 27
B. 1 D. 9
5. La expresión es equivalente a:
A. –6 C. 2 E. 10 + 2
B. –2 D. 10
6. Al considerar 3,362 como aproximación de
, ¿cuántos decimales son correctos?
A. 3 C. 2 E. 1
B. 4 D. 5
7. Al aplicar la definición de logaritmo a la
expresión log3 5 = a, resulta:
A. a3 = 5 D. 35 = a
B. a5 = 3 E. 3a = 5
C. 53 = a
3 38
2
2
2
2 – 8
2 ( )
3 2 3 + 11 ⋅ 3 2 3 – 11
2 18 –3 50
3 27 − 5 243
3 −5
8. La suma de es igual a:
A. C. 11 E.17
B. 5 D. 15
9. ¿Cuál es el área de la superficie total de un
cubo cuyo lado mide cm?
A. 378 cm2 D. cm2
B. 441 cm2 E. 343 cm2
C. cm2
10. El resultado de es:
A. 256 C. 64 E. 216
B. 324 D. 125
11. es igual a:
A. C. E.
B. D.
189 7
27 7
63
a
a
– 5
– 5
5
1
2
7 +16 0
1
2
a
a
2 25
5


a
a
+

5
5
a
a


5
5
2
5
a
a −
a − 5
3 2 3 16 3 54
6
( – + )
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
1
a
67
Unidad 1
12. Para el número – 10,05, ¿cuál de las
afirmaciones es correcta?
A. Es menor que –0,0002.
B. Es igual a cero.
C. Es positivo y menor que 0,0001.
D. Es negativo y mayor que –0,0002.
E. Es mayor que 0,0001.
13. Al reducir se obtiene:
A. D.
B. E. Ninguna de las anteriores.
C.
15. La solución de la ecuación
es:
A.
B.
C. No tiene solución real.
D. No se puede calcular.
E. Ninguna de las anteriores.
16. El perímetro de un triángulo rectángulo de
catetos y es:
A. D.
B. 24 E. No se puede calcular.
C.
17. Si A = log x con x > 1, B = log 1+  y
C = log (1 + x), entonces se cumple:
A. A + B = C
B. A + B + C = 0
C. A + C = B
D. B + C = A
E. Ninguna de las anteriores.
18. La siguiente fórmula relaciona los decibeles
según la potencia de un amplificador
D = 10 · log (I · 1012) (con I: intensidad).
Si en un amplificador de sonido se triplica
la intensidad, ¿en cuánto aumentan los
decibeles?
A. Aproximadamente 4 unidades.
B. Aproximadamente 5 unidades.
C. Aproximadamente 10 unidades.
D. Aproximadamente 12 unidades.
E. Ninguna de las anteriores.
19. El producto de es:
A. D. xy
B. E. Ninguna de las anteriores.
C. (xy)xy
8 5
101
33 34 35 3
6 5 8 5
8 5
x x y
x y
y ( ) ⋅( )
xy xy
x y ( )−
xy xy
x y ( )+
x – 2 = 2 + x
6
4
9
4
70 + 14 5
24 5
1
x
360 43
3120 4
113
3 3
14. (DEMRE, 2004) Si a= , b= y c= ,
entonces ¿cuál(es) de las expresiones
siguientes es(son) equivalente(s) a 60 .
2 3 5
A. Solo I D. I y II
B. Solo II E. I y III
C. Solo III
I. 2bc
II.
III.
a b c 2 2 2
a bc 2
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
1. Descompón los siguientes números como producto de factores primos:
a. 256 c. 1 525 e. 1 936
b. 441 d. 2 020 f. 2 187
2. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones son
verdaderas. Justifica tu decisión.
a. 32 : 3–2 = 1 c. 32 + 42 = 52 e. (5x)0 = 1, x ≠ 0
b. 35 = 15 d. f. , x ≠ 0
3. Resuelve cada ejercicio aplicando las propiedades de las potencias.
a. g. 34 · 3–2 · 25 · 2–3
b. h. 4–5 : 4–3
c. (–1)2 + (–1)3 + (–1)–3 + (–1)2 i. (a–2 : a3) · a3
d. 2–2 : 24 j. , n ≠ 0
e. x2a – 3 · x3a + 4 · x5 – a k. wa – 4 · w7 – 3a · w2a
f. , z ≠ 0 l. , a ≠ 0
4. Resuelve los siguientes problemas y explica, paso a paso,
el procedimiento que utilizaste.
a. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, ¿a cuánto aumenta
su área?, ¿y su perímetro?
b. La arista de un cubo mide a cm. Si la arista del cubo se disminuye
a su cuarta parte, ¿a cuánto disminuye el volumen del cubo?
1
4
16
⎛ 2
⎝ ⎜

⎠ ⎟
=

3
7
1
2
⎛ 1 2
⎝ ⎜

⎠ ⎟
+

⎝ ⎜

⎠ ⎟

1
9
3
2
⎛ 4
⎝ ⎜

⎠ ⎟
+


⎝ ⎜

⎠ ⎟
6
3
2 3
2
a x
z
1 1
3
5
2
n
n
n

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢⎢

⎦ ⎥⎥


⎝ ⎜

⎠ ⎟


:
a
a
p q
p q
2 3
3 2
2




⎜⎜


⎟⎟
1 0
3
0
x

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢⎢

⎦ ⎥⎥
=

• Al resolver operaciones con números racionales, tienen prioridad la multiplicación y división
antes que la adición y la sustracción.
• En las potencias de base racional y exponente entero, se cumplen las siguientes propiedades:
a ∈ , n, m ∈ , a ≠ 0, an · am = an + m
a, b ∈  n ∈ , an · bn = (a · b)n
a ∈ , n, m ∈ , a ≠ 0, = an – m
• Si a y b son números racionales, se cumple lo siguiente:
Multiplicación de raíces , con a, b ≥ 0.
División de raíces , con a ≥ 0, b > 0.
, con b ≠ 0.
an
am
a, b, n ∈ , b ≠ 0,
¿QUÉ DEBES RECORDAR?
5. Reduce las siguientes raíces (con a y b números positivos):
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
2 8 18 ⋅ ⋅ 4 12 3 b ⋅ b
64
4
8 6
4 4
a
a b
3 7 ⋅ 3 28 ⋅ 3 14
3 4 ⋅ 3 12 ⋅ 3 9
3 −64a ⋅ 3 4a ⋅ 3 −a
a b
a b
3 7 4
3 4 10
a
b
a
b
n
n
n
=

⎝ ⎜

⎠ ⎟
a ⋅ b = a ⋅ b
a
b
a
b
=
3 a ⋅ b = 3 a ⋅ 3 b
a
b
a
b
3
3
3 =
Solucionario
Unidad 1 Números y raíces
Páginas 14 y 15 (¿Cuánto sabes?)
1. a. 28 c. 52 · 61 e. 112 · 24
b. 72 · 32 d. 101 · 22 · 5 f. 37
2. a. F c. V e. V
b. F d. V f. F
3. a. e. x6 + 4a i.
c. 0 g. 36 k. w3
4. a. El área aumenta al cuádruple y el perímetro al
doble.
b. El volumen disminuye a del volumen original.
Página 17
2. – , – , 0, , , 1, ,
Página 19
1. a. racional, b. racional, c. racional, d. irracional,
e. irracional, f. irracional, g. racional, h. racional
2. a. racional, b. irracional
3. Por ejemplo, a. b. c. d. .
En todos los casos, se puede expresar como el
promedio de los números dados.
4. a. > b. > c. > d. < e. > f. >
Página 21
1. a. Iguales, , asociatividad de la suma.
c. Iguales, 0, conmutatividad del producto y
cero absorbente.
d. Iguales, –35, distributividad.
e. Iguales, , conmutatividad de la suma.
g. Iguales, 115,5, distributividad.
h. Iguales, 0, conmutatividad de la suma e
inverso aditivo.
i. Iguales, , conmutatividad del producto.
j. Iguales, 1, conmutatividad del producto e
inverso multiplicativo.
2. Por ejemplo:
a. 1 y 2. c. 1 y 1,01 e. 0,55 y 0, 6
b. y d. 1 y 1,02 f. 0,01985 y 0,0199
c. 1; ; f. 0,56; 0,56–; 0,65; 0,6–
no es mayor que 1).
Página 23
1. exceso defecto redondeo
a. 2,72 2,71 2,72
b. 3,15 3,14 3,14
c. 1,62 1,61 1,62
d. 1,74 1,73 1,73
e. 2,65 2,64 2,65
f. 3,61 3,60 3,61
g. 7,55 7,54 7,54
h. 4,38 4,37 4,38
i. 2,24 2,23 2,23
2. a. 0,00042 d. 0,00001576
b. 0,00000024 e. 0,3096
c. 0,00958 f. 0,00000424
31
12
1
a2
1
64
99
100
1
100
2
3
5
7
100
99
7
5
2, 5 15, 5 1, 5 23, 5
89
70
19
9
3
44
22
39
23
39
7
5
5
3
b. f. j. n6562 4
81
36a4x6
9z2
d. h. l. a1 –2p – 2q
16
1
64
5. a. 12 2 c. 14 e. 4b2 3 g. 4a3 4
b. 4 d. 6 2 f. h.
2
2
2
a
b
a
b2
b. Iguales, 5 , asociatividad del producto.
36
f. Iguales, , conmutatividad de la suma y neutro
aditivo.
3
7
3. a. ; ; d. 0,7051; 3 ; 0,7501
4
6
5
6
7
5
6
b. – ; – ; e. 0,3–; 0,34; 0,344; 0,341 –
3
2
5
7
9
4. a. Verdadera; b. Falsa (por ejemplo, –4 < 4 pero – 4
4
3. a. 3,87 c. 3,46 e. 4,12
b. 3,16 d. 4,58 f. 5,48
Página 24 (Mi progreso)
1. a. irracional; b. irracional; c. racional; d. irracional;
e. irracional; f. racional.
2. a. Entre 0 y 1.
3. a.
b.
c.
d.
4.
5. exceso defecto
a. 2,74 2,73
b. 1,77 1,76
c. –0,35 –0,36
d. 0,84 0,83
e. –0,68 –0,69
f. –0,32 –0,33
Página 26
1. a. 11 m b. 9 cm
c. Perímetro: ; mitad del perímetro:
d. 38π m
2. a. Falsa. c. Falsa. e. Verdadera.
b. Falsa. d. Falsa. f. Verdadera.
3. a. 16 cm2
b. La afirmación es correcta.
c. Área de una cara: ; volumen del cubo: V
2,88 m).
Página 32
1. a. Verdadera. c. Verdadera. e. Falsa.
b. Verdadera. d. Verdadera. f. Verdadera.
g. Falsa. i. Verdadera. k. Verdadera.
h. Verdadera. j. Falsa. l. Falsa.
Página 34
1. a. c.
b. d.
2. a. b. 3 c. 2 d. 2
3. Recuerda que no hay una única forma de simplificar.
a. c. 6 e.
b. d. f.
4. a. c. 3 e. 1
b. 0 d. f.
Página 36
1. a. c.
b. = –35 d. = 0,2
2. a.
b.
c.
d.
3. a. b.
4. a. b. c. d.
5. a. x = 10 b. x = 2
6. a. medida lado: m
b. cm
4 A 2 A
V 3 2
5 84
x15 2
a 9
a 3 60 2 20 18 2
8 7
10 2
9 5
2
2
3
3
4
4
5
5
> > >
3
6
3
6
3
7
+ 2 + 1 + 1
> >
2 2 1 2 1 2 2
6
2
5
2
6
+ − −
> >
5
10
5
10
5
11
+ 1
> >
1
4
1
2
5 2
5
3
3
3
4
5
5
< < < < <
d. Medida de la arista: 3 24 m (aproximadamente
15 5 7
6 4 12 6 3 25 − 5 5
−2 3 3 + 116 18
8 162
5
6 2 2 4
5
⋅ 3 3 2
3 3
1 3 1
2
+ −
28 11 58 33 · 25 : 24 3
3 45 7
10
2
3⎛⎝
⎞⎠
5 0, 00032
−343 = −7
1
3
−0 00001 = − 0 1
1
, 5 ,
512 2
1
9 =
– 3 275
324 3 2
1
4
1
≈ · 2 ≈ 4,2426…
2. a. 64 b. c. 0,027 d. 15 625 000
Página 47
1. a. 6 d. 0 g. j. 2
c. 2 f. 7 i. 3 l. –2
2. a. 1,585 aprox. c. 1,129 aprox.
b. 1,086 aprox. d. 1,338 aprox.
3. a. 9 c. 14 e. –1
b. 9 d. f. 22
Página 49
1. a. logb (x – 11) + logb (x + 2)
b. 16logb x + logb 100 + logb (x – 0,4)
c. 2logb (x + y) + 2logb (x2 – xy + y2)
d. 2logp a + 4logp b + 5logp c – 2logp d
2. a. logm 
b. logb (x4 – 1)
3. a. 3A + 3B + 2C c. A + B
b. A + 2B + C d. –A – B – C
Página 52
1. a. x = 7 b. x = 3 c. x = 10 000 d. x = 10
2. a. x = 5 c. x = 2 e. x = –
b. x = 6 d. x = 3,8 f. x = 1
Página 53
1. a. 3,162 · 10–3 aproximadamente.
b. 1,259 · 10–3 aproximadamente.
16
9
3
4
3
2
16
3
8
3
ac
b2d3
3
2
3
2
1
6
7. a. b.
8. a. Área DBEF es 72 cm2
b. Lado ABCD es cm y área DBEF es 60 cm2.
c. En el primer caso, el área ABCD es x2 cm2 y el
área DBEF es 2 · x2 cm2. En el segundo caso,
el área ABCD es y cm2 el área DBEF es 2y cm2.
Página 40
1. a. x = 30 e. x = – i. x =
c. x = 2 g. x = k. x = 0
d. x = 20 h. x = 0 l. x = –5
3. a. Falsa. b. Falsa.
4. No existe.
5. a. Incorrecto (falla de signo bajo el radical).
b. Incorrecto (falla signo del resultado del radical).
6. a. x = 3 o x = –3 b. x = o x = –
7. El área se incrementa en cm2.
Página 41 (Mi progreso)
1. a. Verdadera. b.Falsa. c. Falsa.
2. Recuerda que no hay una única forma de simplificar.
a. c. 30 e.
b. 18 d. 12 f. 14
3. a. c. e.
b. d. f.
4. a. x = 36 b. x = c. x = 17
5. C
Página 45
4. a. c. 3 e. 4 g. 2 i.
36
16
16
3
1
3
445
4
5
2
3
4
3 2
5
12 11
73 5
3 8 3
a3 2
2
24 17
2
115 3
− 3 4
b. x = f. x =  4
445 j. x = 0
4
4
3
210 7
2 +10 2
x x 4 6 5 ⋅
19
2
19
2
30
d. logm  h. logb  (x + 3)
(x – 2)4
ac
b
c. logp  x + y + z  g. logb  
(x – y – z)4
ae
cd
b. 7 d. 9 f. –2 h. j. 2
5
4
3
b. 5 e. 1 h. 0 k. –7
2
e. logb 72
f. logb  c
a6
b. • d. • x = 13
• 0 • x = 1, x = –1
• x = 6
log
13 3
1013
c. 1 · 10–3
d. 3,162 · 10–7 aproximadamente.
e. 1 · 10–10
2. 3,981 · 10–3 aproximadamente.
Página 54
3. Desde 1,585 · 10–4 a 1,585 · 10–3 aproximadamente.
4. a. 1026,05 ergios
b. 102,55 veces más fuerte.
5. a. Aumenta en 3 dB. c. 150 dB d. No
6.
Página 59 (Mi progreso)
1. a. 7 b. 9 c. 11 d. 5
2. a. 3 b. 10 c. 7 d. 0
3. a. 2logb p + 2logbq + logb r – 4logb s
4. a. logb (x + 3)(x – 3)3
b. logc  
5. a. x = 3,8 b. x = 9
6. 10–2,2 W/m2
7. Es falsa la alternativa C pues el 1 no puede ser base
de un logaritmo.
Página 60
Perímetro:
Página 61
1. a. En las caras cuadradas de lados 2a, la diagonal
mide , y en las caras con lados 2a y 3a,
la diagonal mide .
b. Sí se puede calcular, y mide .
Páginas 64 y 65 (Síntesis de la Unidad)
1. a. F f. V k. F
b. V g. F l. F
c. V h. F m. V
d. F i. V n. V
e. V j. V ñ. V
2. a.• c.9 cm


Páginas 66 y 67
1. B 6. C 11. D 16. D
2. D 7. E 12. D 17. A
3. E 8. B 13. B 18. B
4. B 9. A 14. A 19. D
5. C 10. A 15. C
(x + 2y – z)
(x – y + 4z)3
1
2
3a + a 2
5 2 −10 3 −1
7
2
3 7 + 9 7 − 7 3 − 3
Fuente Intensidad Decibeles
Susurro 10–10 20
Tráfico callejero 10–5 70
Posible daño auditivo 10–3,5 85
Cercano a un trueno 100 120
Umbral del dolor 10 130
Perforación instantánea del tímpano 104 160
Concierto de rock 10–1,9 101
b. logb (p + q) + 1 logb (p – q)
3
1
3
2 2a
13 a
11a
x = a
3
2