RUEDAS Y VUELTAS , APLICACIONES DE LA LONGITUD DE ARCO PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA NIVEL UNI PDF

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Objetivo :
Identificar la relación para el número de vueltas y el ángulo girado por una rueda .
introducción :

¿Cuál es el número de vueltas que da una rueda de la bicicleta?
RESOLUCIÓN :

Supóngase que una rueda de radio r gira una trayectoria recta . Entonces el centro de la rueda también se mueve en línea recta.

A medida que la rueda gira , un radio genera un ángulo q. Cuando el ángulo generado es de 2pr , la rueda también se mueve una distancia igual a su perimetro, es decir .
Entonces observamos que cuando el centro de la rueda avanza una longitud igual a 2pr, la rueda ha dado una vuelta .
Luego para saber el número (n) de vueltas que dará la rueda de radio r, en una pista horizontal , cuando su centro se desplaza una longitud , aplicamos una regla de tres simple; así :

números de vueltas que da una
rueda sin resbalar al
desplazarse de una posición a otra
En la figura se muestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.

* El número de vueltas que da dicha rueda para tal condición se calcula mediante la siguiente relación :

* Donde:
nv : Número de vueltas que da la rueda.
: Longitud descrita por el centro de la rueda.
r : Radio de la rueda .
DISCOS – RUEDAS – ENGRANAJES
1) CUANDO UNA RUEDA (ARO , DISCO,….) VA RODANDO SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA :
n : Número de vueltas al ir desde A hasta B
: Número de radianes del ángulo de giro (De A hasta B)
L : Longitud que recorre la rueda .

2) CUANDO UNA RUEDA (ARO ,DISCO ) VA RODANDO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA :

3) RUEDAS UNIDADES POR UNA FAJA TANGENCIAL O EN CONTRATO :

* Se cumple :

4) RUEDAS UNIDAS POR SU CENTRO :

* Se cumple :

5) ENGRANAJES EN CONTACTO Y POLEAS UNIDAS POR UNA FAJA DE TRANSMISIÓN :

* En la figura (1) se tiene dos engranajes y en la figura (2) se tiene dos poleas unidas por una faja de transmisión. En cada caso si A gira un ángulo entonces B girará otro ángulo . Además las longitudes descritas por los puntos P, Q y F son iguales, es decir:

* De donde se concluye que :

NOTA

: Denota la longitud de la trayectoria descrita por el punto P, análogamente para los otros puntos mencionados.

* En el diseño de los dientes de los engranajes se emplean curvas cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630). En Física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide.
Un uso practico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se utilizaron en la industria aeronaútica, pues se requería una forma apropiada de salir deslizándose desde un avión en caso de emergencia.
Cicloide
Una cicloide es el lugar geométrico generado por un punto de una circunferencia al rodar sobre una línea recta; es la curva que describe un punto perteneciente a una rueda que gira sin deslizarse.

Si pensamos en la trayectoria de una válvula de una bicicleta tendremos una cicloide acortada y si pensamos en un punto de una rueda de un tren que sobresale del raíl tendremos una cicloide alargada.

Como la posición del punto P depende del ángulo girado q y la constante r (radio de la rueda), entonces las ecuaciones paramétricas de la cicloide serán:
x=r(q -senq ) ; y=r(r-cosq )
VELOCIDAd ANGULAR y LINEAL
Una fórmula muy relacionada con la fórmula de la longitud de arco es la fórmula

velocidad angular
La velocidad angular de una rueda que gira a velocidad constante es el ángulo generado en una unidad de tiempo, por un segmento girante que parte del centro de la rueda y llega al punto P sobre su circunferencia.
velocidaD linEal
La velocidad lineal de un punto P en dicha curva es la distancia que recorre P por unidad de tiempo.

problema 1 :
Del gráfico mostrado, calcular el ángulo que barre la rueda al trasladarse de la posición “A” a la posición “B”.

Resolución :
* Graficando :

* Para calcular aplicamos :
* Reemplazando valores :

El ángulo que barre la rueda es :
radianes ó 1 440°
RPTA : ‘‘C ‘’
PROBLEMA 2 :
Calcular el número de vueltas que da la rueda al ir de la posición “A” hasta tocar la pared.

Resolución :
* Graficando :

* Para calcular :
* Reemplazando :
RPTA : ‘‘D’’
PROBLEMA 3 :
Una rueda de una bicicleta tiene un radio de 50 cm si la rueda esta rodando sobre un plano horizontal a una velocidad de 10 RPM (revolución por minuto). ¿Cuál es la distancia aproximada que recorre la rueda en una hora?

Resolución :
* De la condición el número de vueltas que da la rueda en un minuto es 10, entonces en una hora el número de vueltas será : .
* Graficando :

* Datos :
Incógnita=d
* Se observa que :
* De la relación :

RPTA : ‘‘B’’
problema 4 :
En la figura, el elemento circular de radio r, rueda sobre la superficie mostrada, desde A hasta B. Si , determine el número de vueltas dada por el elemento circular .

A) 35
B) 27
C) 21
D) 18
E) 15

Resolución :
* Graficando el recorrido :

* Recuerde que :

* Entonces del gráfico, se tendrá que :

RPTA : ‘‘ D ‘’

problema 5 :
La figura representa una transmisión dentada de radios r1 y r2 como se indica. Si el punto P sobre la rueda de mayor radio r1 gira un ángulo , entonces el punto Q correspondiente sobre la otra rueda girará un ángulo igual a :
PROBLEMA 6 :
En el sistema mostrado, la polea de radio 2 da ocho vueltas. ¿Qué ángulo gira la polea de radio 8?

A) 1 420°
B) 1 440°
C) 1 080°
D) 960°
E) 720°

Resolución :
* Si la polea de radio 2 da ocho vueltas, entonces: Giró 2 880°.

* Entre la polea de radio 4 y la polea de radio 6,
barren el mismo ángulo.

* Para las poleas de radio 6 y radio 8, recorren la misma distancia.

RPTA : ‘‘C‘’

PROBLEMA 7 :
Los radios de las ruedas de una bicicleta son entre sí como 4 es a 10. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de radianes.
A) 286 B) 368 C) 184 D) 390 E) 736
Resolución :
* Sean R y r los radios de las ruedas de la bicicleta, por dato :

* Sean n1 y n2 los números de vueltas que dan la rueda mayor y menor, respectivamente; entonces , se cumple:

* Por dato, el ángulo que gira la rueda menor es de ; entonces:

* De (II) :
RPTA : ‘‘ B’’

PROBLEMA 8 :
Supóngase que una máquina tiene una rueda de 0,8 m de diámetro y gira a una velocidad de 60 vueltas por segundo.
I) Calcular la velocidad angular de dicha rueda.
II) Determinar la velocidad lineal de un punto P en la circunferencia.

Resolución :
I) Sea 0 el centro de la rueda y P un punto en su circunferencia , como el número de vueltas por segundo es 60 y como cada vuelta corresponde a un ángulo de . El ángulo generado por el segmento girante en un segundo será , o sea:

II) La velocidad lineal de P es la distancia circular que recorre en un segundo , se calcula esta distancia con la fórmula donde , así :
, y por consiguiente, la velocidad lineal de P es .
* A diferencia de la velocidad angular, la velocidad lineal si depende del radio de la rueda .
RPTA : ‘‘ A ’’
PROBLEMA 9 :
Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 3 a 1. En hacer un cierto recorrido la rueda mayor dio 25 vueltas menos que la menor. Hallar la suma de los ángulos girados por cada rueda.

Resolución :
* Graficando :

* Del enunciado :

* Al operar se obtendrá :
* Se pide la suma del número de vueltas, es decir :

* Que en radianes , será :
RPTA : ‘‘B ‘’

problema10 :
Si una rueda de radio “6a” se mantiene fija y otra rueda de radio “a”, puede girar alrededor de ella, ¿cuántas vueltas dará la rueda pequeña si parte y llega al mismo punto por primera vez?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolución :
* Se sabe que :

* Luego en relación al disco móvil diremos que, cuando este retorna por primera vez al punto P, su centro habrá recorrido la longitud de circunferencia de radio

*Pero, como: , luego al
reemplazar en (I)
* Se tendrá que:

RPTA : ‘‘E ’’
PROBLEMA 11 :
En la figura mostrada el cuadrado de lado 2cm rueda sin resbalar hasta que el punto A vuelve a tocar el piso. Calcule la longitud (en cm) recorrida por el punto A.

RESOLUCIÓN:
* Si queremos que el punto A vuelva a tocar el piso , este punto describe longitudes de arco como muestra el gráfico.

* Entonces , la longitud recorrida será:

RPTA : ‘‘D’’
problema 12 :
Cuando el disco de radio cm pasa de A a B lo hace rodando sin deslizar por la superficie ACB, ¿cuántas vueltas logró dar en dicho recorrido?;

A) 18
B) 12,5
C) 15
D) 10
E) 18

Resolución :
* Graficando :