COMPENDIO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO PREUNIVERSITARIO – PREGUNTAS CON RESPUESTAS PDF

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Razonamiento Inductivo–Deductivo ,
Razonamiento Lógico,
Métodos Aritméticos Especiales,
Planteo de Ecuaciones,
Edades,
Móviles,
Cronometría,
Operadores Matemáticos,
Sucesiones,
Series,
Fracciones,
Tanto por Ciento,
Áreas de Regiones Sombreadas,
Análisis Combinatorio,
Probabilidades,
Psicotécnico,
El Razonamiento Matemático forma parte de la prueba de Aptitud Académica. El término Aptitud se refiere a la capacidad o potencial que tiene una persona para realizar una acción o tarea.
Dicha prueba evalúa las potencialidades del estudiante para realizar estudios superiores y para aplicar los conocimientos generales adquiridos anteriormente a situaciones como las que encontrará en sus estudios universitarios; es decir, evalúa habilidades intelectuales básicas como la comprensión de lectura, la aptitud para relacionar conceptos, la asimilación de significados y el razonamiento lógico y matemático.
También evalúa otras habilidades específicas, necesarias para ubicar e interpretar la información previamente recibida, poniendo especial énfasis a favor de procedimientos en los que el estudiante desempeñe un papel más activo, sobre la base del ejercicio intelectual realizado en su instrucción primaria y secundaria, restando importancia a la simple memorización. Así, la prueba permite tener un índice del rendimiento intelectual del estudiante en el sentido del manejo que realiza de sus recursos (aptitudes y conocimientos) y del empleo de conceptos en situaciones teóricas y prácticas. Por ello, el trabajo intelectual centrado en el estudio de los cursos escolares es de vital importancia en el desarrollo de la Aptitud Académica, la cual está relacionada con el ejercicio de las disciplinas estudiadas.
Un serio conocimiento de las materias básicas asimiladas a través de los años de estudio es la mejor garantía de un buen rendimiento en el examen de ingreso. Además del estudio y el conocimiento teórico de dichas materias, el estudiante deberá relacionar estos conocimientos con la realidad mediante la observación atenta e inteligente del mundo que lo rodea.
Introducción
El uso de la lógica inductiva y deductiva es una de las principales formas de
encarar la mayoría de problemas. Debido a que el proceso de resolución es
bastante práctico, tiene una aplicación concreta y objetiva en las situaciones
que afrontamos en nuestra vida diaria; por ejemplo, nuestros antepasados
utilizaron experiencias particulares para anticiparse a programar sus
sembríos o cosechas en épocas de lluvia.
Razonamiento Inductivo–Deductivo
Objetivos
1. Darse cuenta que aplicando un razonamiento previo a un problema (inductivo
o deductivo), la resolución de éste puede ser más sencillo.
2. Aprender a relacionar los conceptos adquiridos en este capítulo a hechos de la
vida diaria.
Problemas Resueltos
1. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
2
200 cifras
E = (333.….333)
Resolución
* (33)2 = 1089 * (333)2 = 110889 * (3333)2 = 11108889
Luego:
2
200 cifras 199 cifras 199 cifras
(333…...3) = 111…....10888…....89
\ S cifras = 9 
# de
cifras
( 200 ) = 1800
2. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total, en la siguiente figura?
100 bolitas
Resolución
2 bolitas → ⇒ 4 = 2²
3 bolitas → ⇒ 9 = 3²
4 bolitas → ⇒ 16 = 4²

Luego: 100 bolitas → 100² = 10000
3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO” uniendo
círculos consecutivos?
E
S S
T T T
U U U U
D D D D D
I I I I I I
O O O O O O O
Resolución

E
S S
1 2⇒ 2 formas ⇒ 21 2º
E
S S
T T T
1 3 4 2⇒4 formas ⇒ 22

E
S S
T T T
U U U U
1 3 5 7 8 6 4 2→8 filas⇒ 23
\
20
21
22
23
24
25
2 6 = 64
4. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza una
diagonal (principal). ¿Cuántos triángulos como máximo podrá contarse en total?
Resolución
1
→ # total de D = (1)2 = 2
1
2
→ # total de D = (1+ 2)2 = 6
1
2
3 → # total de D = (1+ 2 + 3)2 = 12

# #total de Δ = [1+2+3+.....+. 100]total de D = 1+ 2 + 3+ +100 2 = 100• 101• =
2
b g 2 10100
5. ¿Cuál es el menor número que se debe multiplicar por 360 para obtener un cubo
perfecto?
Resolución
(Para formar un cubo perfecto) 3 2 2
Número
360 = 2 • 3 • 5 (5 • 3) 
\ El número es 75
Problemas Propuestos
1. Calcule la suma de cifras del
resultado de:
2
20 cifras
(333.….334)
a) 110 b) 152 c) 142
d) 121 e) 137
2. Calcular la suma de los términos del
siguiente arreglo:
1 3 5 7 49
3 5 7 9 51
5 7 9 11 53
49 51 53 55 97
 
 
 
 
 
 
 



     

a) 3000 b) 30625 c) 15625
d) 42625 e) 35625
3. En el siguiente triángulo numérico,
halle la suma del primero y el último
término de la fila 25.
1
2
3
4
F 1
F 3 5
F 7 9 11
F 13 15 17 19




 
a) 1250 b) 1150 c) 1050
d) 2250 e) 2550
4. En la figura, ¿cuántos cuadriláteros hay?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
5. En la figura, ¿cuántos triángulos hay?
a) 13 b) 15 c) 32
d) 28 e) 31
6. ¿Cuántas bolitas hay en total en
F(19)?
F(1)
F(2)
F(3)
……..
a) 42 b) 40 c) 84
d) 78 e) 96
7. Calcular la suma de las 20 primeras
filas en el triángulo numérico
siguiente.
1
2
3
4
5
F 1
F 3 3
F 5 2 5
F 7 2 2 7
F 9 2 2 2 9





 
a) 800 b) 841 c) 1221
d) 1141 e) 2809
8. Calcular la suma de los números de
la fila 20 en:
1
2
3
4
F 2
F 4 6
F 8 10 12
F 14 16 18 20




 
a) 8 020 b) 4 040 c) 16 020
d) 8 000 e) 16 000
9. Si:
n(n +1)(n + 2)(n + 3) +1 = K2 + n
Calcular el valor de “K”
a) 1 b) –1 c) n–1
d) n e) n+1
10. Calcular el número de palitos en el
siguiente castillo:
Fila 1
Fila
Fila 3
Fila 25
a) ____ b) ____ c) ____
d) ____ e) ____
11. ¿Cuántas palabras “ÁLGEBRA” se
pueden leer en total, uniendo letras
vecinas?
A
A A A A A A A
L L
G G G
B
E E E E
B B B B
R R R R R R
a) 63 b) 64 c) 128
d) 32 e) 256
12. ¿De cuántas maneras distintas se
puede leer la palabra “DULCE” en el
siguiente arreglo?
D
ULC
E
D D
D U U D
D U L L U D
D U L C C L U D
a) 63 b) 31 c) 64
d) 128 e) 256
13. ¿Cuántos triángulos simples se
pueden contar en la siguiente figura?
1
2
3
20
a) 820 b) 810 c) 760
d) 840 e) 760
14. ¿Por cuánto se le debe multiplicar a
N para que tenga raíz cuarta exacta?
(Dar como respuesta el menor
posible)
N = 27 • 53 • 3 • 72 •118
a) 13 120 b) 13 230 c) 8 520
d) 11 120 e) 12 240
15. Hallar las dos última cifras de la
siguiente suma:
S= 1! + 2! + 3! + 4! + ……..+20!
a) 11 b) 18 c) 23
d) 43 e) 13
Tarea Domiciliaria
1. ¿De cuántas formas diferentes se
puede leer la palabra RAZONAR en
la siguiente figura?
R
R R R R R R R
A A
Z Z Z
N
O O O O
N N N N
A A A A A A
A) 16 B) 32 C) 64
D) 48 E) 96
2. Halle el número de trozos que
se puede obtener del gráfico, al
realizarse 6 cortes rectos.
a) 20 b) 21 c) 22
d) 23 e) 24
3. En la figura, ¿cuántos cuadrados hay?
a) 18 b) 22 c) 30
d) 32 e) 33
2
4. Si:
2 3 4
ab7 sumandos
a5+b5+a5+b5+.… = …..ab
Hallar el valor de “a+b”.
a) 2 b) 4 c) 5
d) 7 e) 9
5. Según las figuras mostradas,
¿cuántos triángulos en total, se
cuentan en F(10)?
……..
F(1) F(2) F(3)
a) 110 b) 120 c) 130
d) 140 e) 150
6. Si:
a1• a2• a3 • a4 +1 = 2755
Hallar el valor de “a”.
a) 2 b) 3 c) 6
d) 4 e) 5
7. Calcule el número de rombos con un
cuadrado pequeño (simple) interior
que se forman al unir los centros de
todos los cuadrados de la figura.
1 2 3 4
a) 64 b) 81 c) 65
d) 100 e) 110
8. ¿Cuántos cuadraditos sombreados
presentará la Fig(25)?
Fig(1)
Fig(2)
Fig(3)
……..
a) 50 b) 75 c) 100
d) 125 e) 150
9. ¿Cuál es la mínima cantidad de
bolitas que se debe mover en la figura
para que esté en sentido contrario?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 1
10. ¿Cuántos puntos de contacto se
contará en la Fig(25)?
F(1) F(2) F(3)
……….
a) 600 b) 625 c) 2080
d) 810 e) 975
11. ¿Cuántas bolitas sombreadas hay en
el siguiente arreglo?
1 23 2829 30
a) 230 b) 310 c) 315
d) 225 e) 245
12. Determine el total de palitos de la
siguiente figura.
1 2 3 4 17 18 19 20
a) 399 b) 190 c) 589
d) 489 e) 579
1
13. Calcule la suma de todos los números
del siguiente arreglo.
1 2 3 4 15
2 3 4 5 16
3 4 5 6 17
15 16 17 18 29
 
 
 
 
 
 
 



     

a) 3300 b) 3375 c) 3625
d) 3725 e) 3475
14. Hallar el valor de:
1111111088888889
123456787654322 −1
a) 3 b) 11 c) 7
d) 8 e) 2
15. Calcular el máximo valor que puede
tomar: M+A+R.
Si: AMAR +RAMA = 9328
a) 17 b) 18 c) 19
d) 21 e) 20
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
C C D D A
6 7 8 9 10
E B C B E
11 12 13 14 15
D C B A A
Razonamiento Lógico
En este capítulo vamos a plantear situaciones en los que sólo necesitaremos
de concentración para dar con la respuesta debida; sin necesidad de recurrir
a la teoría matemática, sino al sentido común.
Veremos problemas sobre:
– Test de decisiones.
– Cortes y estacas.
– Parentesco (Relaciones familiares).
– Máximos y mínimos. Certezas.
– Orden de información.
– Razonamiento lógico.
– Razonamiento Inductivo – Deductivo.
Test de Decisiones
Está formado por problemas con un aparente caos en su redacción, donde
existen muchos datos en desorden, los que pueden ser ordenados, por lo
general, en cuadros.
Ejm 1:
En un club se encuentran cuatro deportistas, cuyos nombres son: Juan,
Mario, Luis y Jorge. Los deportes que practican son: natación, básquet, fútbol
y tenis. Cada uno juega sólo un deporte.
– El nadador, que es primo de Juan, es cuñado de Mario y, además, es el
más joven del grupo.
– Luis, que es el de más edad, es vecino del básquetbolista, quien a su vez
es un mujeriego empedernido.
– Juan, que es sumamente tímido con las mujeres, es 7 años menor que el
tenista. ¿Quién practica básquet?
Resolución
Analicemos con cuidado:
* Si el nadador es primo de Juan, entonces Juan no es nadador.
* Como el nadador es cuñado de Mario, entonces Mario no es nadador.
* Como el nadador es el más joven, Luis no puede ser nadador, ya que es
el de más edad.
* Luis no juega básquet, ya que es vecino del basquetbolista.
* Juan es menor que el tenista, luego Juan no es el tenista.
* Juan no juega básquet, ya que el basquetbolista es mujeriego y Juan es
tímido.
Colocando en un cuadro todo lo analizado, tendremos:
Natación Básquet Fútbol Tenis
Juan NO NO NO
Mario NO
Luis NO NO
Jorge
Como cada personaje practica sólo un deporte, en cada columna debe haber
un SÍ y en cada fila también; esto hace que si una fila y columna tienen en
este caso tres veces NO, el cuarto casillero se completa con SÍ.
Entonces el cuadro completo será:
Natación Básquet Fútbol Tenis
Juan NO NO SI NO
Mario NO SI NO NO
Luis NO NO NO SI
Jorge SI NO NO NO
Por lo tanto, el que practica básquet es Mario.
Cortes y Estacas
Si tuviéramos una varilla de 12 cm, necesitaríamos hacer un corte para lograr
dos piezas iguales, o dos cortes para lograr tres piezas iguales o tres cortes
para lograr cuatro piezas iguales.
Representamos esto gráficamente:
12
6 6
Nº de Cortes = 1 = 12 1
6

12
4 4 4
Nº de Cortes = 2 =
12 1
4

12
3 3 3 3
Nº de Cortes = 3 = 12 1
3

En el último ejemplo, 12 es la longitud total (Lt) de la varilla y 3 es la longitud
de cada pieza o longitud unitaria (Lu), de modo que en general:
* El Nº de CORTES que podemos hacer en una varilla estará dado por la
siguiente relación:
N CORTES Lt
Lu
º = −1
* Para considerar el hecho de colocar postes o estacas, cada cierta
distancia; como en el caso de cortes, lo consideramos gráficamente:
12
6 6
Nº ESTACAS 3 ó Nº ESTACAS 12 1
6
= = +
12
4 4 4
Nº Estacas = 4 =
12 1
4
+
12
3 3 3 3
Nº Estacas = 5 = 12 1
3
+
En general:
Lu Lu Lu
Lt
……………..
N ESTACAS Lt
Lu
º = + 1
Ejm. 2:
Un joyero cobra S/.5 por dividir una barra de hierro en dos partes. ¿Cuánto
se tendrá que pagar si debe partirla en 7 pedazos?
Resolución
Con 1 corte obtenemos 2 pedazos
2 cortes 3 pedazos
3 cortes 4 pedazos
 
⇒ 6 cortes 7 pedazos
\ Pagó = 6×5 = S/.30
Problemas Sobre Parentesco
Algunos problemas lógico – deductivos interrogan sobre el número de
integrantes de una familia, sobre un tipo específico de relación familiar, etc.
La resolución, en algunos casos, consiste en tener presente que cada uno
de nosotros, dentro de nuestra familia, desempeña diferentes roles; así, se
puede ser al mismo tiempo padre, hijo, hermano, esposo, etc.
Ejm 3:
En una familia se notan 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. Al
menos, cuántas personas conforman esta familia?
Resolución
“Por lo menos”, “Al menos” sirven para expresar la mínima cantidad.
3 HIJAS
2 esposos
3 hermanas
3 sobrinas
2 hermanos
⇒ Mínimo Nº de personas = 6
PAPÁ MAMÁ TÍO
Problemas Sobre Máximos y Mínimos
(certezas)
Ejm 4:
Una urna tiene 15 bolas negras, 12 rojas y 9 amarillas. ¿Cuál es la mínima
cantidad que debo extraer para tener al menos una de cada color?
Resolución:
Supongamos que la primera bola que se extrae es negra (son las que
mas hay); luego necesito extraer una roja y finalmente una amarilla para
tener una de cada color; pero la próxima puede seguir siendo negra y así
sucesivamente.
Por lo tanto, las primeras bolas que se extraen son las 15 de color negro;
las siguientes serán las 12 de color rojo y finalmente se sacará una de color
amarillo.
⇒ Bolas extraídas = 15 +12 +1 = 28
Orden de Información
Los principales casos son:
a) Ordenamiento Vertical. Se aplica para el ordenamiento de alturas,
tamaños, edades, puntajes obtenidos por personas, entre otros.
Ejm 5:
Judith es mayor que Susy, Soledad es menor que Jéssica y Susy es menor
que Soledad. ¿Quién es la menor?
Judith
Susy
Soledad
⇒ La menor es Susy
b) Ordenamiento Horizontal. Se aplica para ordenamiento de personas en
una hilera o sentados en butacas o uno al lado de otro; para autos en
hilera, entre otros.
Ejm 6:
Seis amigos: A, B, C, D, E, F; se sientan en seis asientos contiguos en el
cine, “A” se sienta junto y a la izquierda de “B”; “C” está a la derecha de “A”,
entre “F” y “D”; “D” está junto y a la izquierda de “E”; “F” está a la izquierda de
“E”. ¿Quién ocupa el cuarto asiento si los contamos de izquierda a derecha?
Resolución:
Ubicando de acuerdo a la información, tenemos:
A B F C D E
Izquierda Derecha
⇒ El 4º asiento es ocupado por C
c) Ordenamiento Circular. Se aplica cuando un conjunto de seres se
ordenan alrededor de una mesa circular o elíptica, o juegan a la ronda.
Ejm 7:
Seis amigos están sentados alrededor de una mesa elíptica. Si se sabe que
Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José, Fernando no está al lado
de Gustavo ni de José, Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando, y
Pedro está sentado junto a Enrique, a su derecha. ¿Quién está sentado junto
y a la izquierda de Enrique?
Resolución:
Ubicando de acuerdo a la información tenemos:
J G
L
P F
E
⇒ JOSÉ es el que está sentado a la izquierda de Enrique.
Razonamiento Lógico
A continuación abordaremos problemas que no requieren de alguna teoría
matemática compleja, sólo nuestro sentido lógico.
Ejm 8:
Mañana será el ayer del antes de ayer del mañana del sábado. ¿Qué día fue
ayer?
Resolución:
Empezamos por el final; es decir:
Mañana del sábado: Domingo.
Antes de ayer del domingo: Viernes
Ayer del viernes: Jueves
⇒ Mañana será jueves
Hoy es Miércoles
⇒ Ayer fue MARTES
Razonamiento Inductivo
Es aquel tipo de razonamiento que, partiendo de casos particulares, llega a
una conclusión en general.
Ejm 9:
Cuántos triángulos simples, en total, hay en la figura?
1
2
3
19
20
Resolución:
Si asignamos letras a las figuras pequeñas, ellas sólo serían los triángulos
simples.
⇒ Contando, en forma acumulada, por filas, tendremos:
2
2
2
2
2
Hasta la fila : Total de triángulos :
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
20 20
=
=
=
=
→
 
\ üüüüüüüüüüüüüüüüüüüü

Razonamiento Deductivo
Es aquel tipo de razonamiento en el que, partiendo de una conclusión
general, se llega a verificar una premisa particular.
Ejm 10:
Los hijos de la señora Carmela son inteligentes. Laura, es hija de la señora
Carmela.
⇒ Laura es inteligente
Problemas Propuestos
Analiza cada uno de los casos
diferentes con mucho cuidado y
resuelve.
1. En una bolsa tenemos: 8 caramelos
de menta, 7 de limón y 6 de fresa.
¿Cuántos, como mínimo, debo de
sacar, sin mirar, para tener la certeza
de haber sacado dos de igual sabor?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 17 e) 15
2. ¿Qué parentesco tiene conmigo el
hijo de la nuera de la mamá de mi
madre?
a) Tío b) Sobrino
c) Hermano d) Padre
e) Primo
3. En una fiesta se encuentran 3
hermanos, 3 padres, 3 tíos, 3
sobrinos y 3 primos. Si cada uno
necesita una señorita para bailar,
calcular el número de señoritas para
bailar, como mínimo.
a) 18 b) 15 c) 9
d) 6 e) 3
4. Siendo lunes el mañana de ayer.
¿Qué día será el ayer del pasado
mañana?
a) Lunes b) Domingo
c) Martes d) Miércoles
e) Jueves
5. En una reunión se encuentran
dos padres, dos hijos y un nieto.
¿Cuántas personas como mínimo se
encuentran en dicha reunión?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
6. Una enfermera da una pastilla cada
36 minutos a un paciente durante 9
horas, tanto al comienzo como al
final. ¿Cuántas pastillas tomará el
paciente?
a) 15 b) 16 c) 17
d) 18 e) 14
7. Emerson es 4 años menor que
Ramón, Luis es un año mayor que
Pedro, Luis es 2 años menor que
Jhon, y Ramón es 7 años mayor que
Jhon. Al restar la edad de Ramón y la
de Pedro, obtenemos:
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
8. Un herrero tiene seis trozos de
cadena de 4 eslabones cada uno.
¿Cuál es el menor número de
eslabones que tiene que cortar y
soldar para tener una sola cadena
continua (no collar)?
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
9. Un terreno rectangular mide 24 m de
largo por 6 de ancho. Cada 3 metros
se coloca una estaca de 1,20 metros
de altura. El número de estacas que
se deben colocar en su perímetro, es:
a) 19 b) 20 c) 21
d) 22 e) 48
10. Se tiene 9 bolas de billar de un
mismo tamaño y de un mismo peso,
a excepción de una bola que pesa
más. Empleando una balanza de dos
platillos y sin pesas, ¿cuántas pesadas
deben hacerse como mínimo para
encontrar la bola de mayor peso?
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 5.
11. Un viajero que debe cruzar un río
tiene un lobo, una oveja y un atado
de alfalfa. El único bote disponible es
muy pequeño y no puede llevar más
que al viajero y uno de sus bienes. Si
logró transportar todos sus bienes a
la otra orilla, ¿cuántas veces cruzó el
río en el bote?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
12. Cuatro amigos viven en un edificio de
cuatro pisos. Arturo vive en el primer
piso, Mario vive más abajo que Jorge
y Willy vive un piso más arriba que
Mario. ¿En qué piso vive Jorge?
a) 1º b) 2º c) 3º
d) 4º e) 2º o 3º.
13. Una caja grande contiene 2 cajas
y 3 guantes. Cada una de éstas
contiene otras dos cajas y 3 guantes,
y finalmente cada una de estas
últimas cajas contienen dos cajas y 3
guantes. Entonces, ¿cuántos objetos
hay en total?
a) 34 b) 35 c) 36
d) 37 e) 40
14. ¿Cuántos cortes como mínimo debe
realizar «Blanca nieves» a un keke
para compartir en partes iguales con
los 7 enanitos?
a) 8 b) 4 c) 2
d) 3 e) 1
15. Manuel, Glenn, Raúl, Kenyi y Gabriel
se turnan para trabajar con una
fotocopiadora; una sola persona la
usa cada día y ninguno de ellos la
utiliza el sábado o domingo. Manuel
sólo puede usar la fotocopiadora a
partir del jueves, Raúl trabaja con la
máquina un día después de Glenn;
Gabriel sólo puede trabajar con la
fotocopiadora miércoles o viernes; y
ni Gabriel, ni Glenn, ni Raúl trabajan
con la fotocopiadora los miércoles;
luego, se deduce que:
a) Glenn trabaja el viernes
b) Kenyi trabaja el martes
c) Raúl trabaja el lunes
d) Gabriel trabaja el miércoles
e) Manuel trabaja el jueves
Tarea Domiciliaria
1. ¿Cuántas personas como mínimo
se necesitan para formar 6 filas de 3
personas cada una?
a) 9 b) 6 c) 8
d) 7 e) 5
2. Margarita, Rosa, Azucena y Violeta
son cuatro chicas que reciben de sus
enamorados un ramo de flores cada
una y que de casualidad concuerdan
con sus nombre, aunque ninguna
recibió de acuerdo al suyo. Se sabe
que el ramo de rosas lo recibió
Azucena, pero ni Rosa ni Violeta
recibieron las azucenas, entonces
Violeta recibió:
a) Violetas b) Azucenas
c) Rosas d) Margarita
e) Clavel
3. Una oruga sube por un árbol, cada
día logra ascender un metro, pero
cada noche su propio peso lo hace
descender 60 cm. ¿Cuánto tardará
en llegar a lo alto del árbol de 11 m de
altura?
a) 27 hrs b) 28 hrs c) 25 hrs
d) 26 hrs e) 29 hrs
4. En un cierto mes, el primer y último
día fue lunes. ¿Qué día de la semana
fue el 21 de setiembre de dicho año?
a) Lunes b) Martes
c) Miércoles d) Jueves
e) Viernes
5. Seis personas se ubican alrededor
de una mesa circular, Manuel no está
sentado al lado de María ni de Juan;
María no está al lado de Ana ni de
Jorge; Oscar está junto a María, a
su derecha; Jorge no está sentado al
lado de Ana ni de Juan. ¿Quién está
sentado junto y a la izquierda de la
persona que está sentada junto y a la
izquierda de Jorge?
a) Oscar b) Juan c) María
d) Jorge e) Manuel
6. Tres clases de caramelos (limón,
fresa y naranja) han sido envasados
en 3 latas distintas. Por equivocación
las etiquetas han sido colocadas en
latas que no corresponde al tipo de
caramelos que contiene. ¿Cuántas
latas se debe abrir como mínimo
para saber con seguridad el tipo de
caramelo que contiene cada una?
a) 3 b) 2 c) 1
d) 0 e) N.A.
7. El primer día del campeonato mundial
femenino de voley iban a jugarse “y”
partidos entre los equipos de Brasil,
Corea, Japón, Egipto, Perú, Italia,
México y Zaire. Los periodistas
preguntaron a 3 aficionados, cuáles
serían a su juicio los ganadores. Las
respuestas fueron:
A: Brasil, Corea, Japón, Perú
B: Perú, México, Zaire, Japón
C: Japón, Corea, Egipto, Zaire
¿Contra qué equipo jugó Japón?
a) Brasil b) Perú c) Zaire
d) Corea e) Italia
8. En una urna se tienen 10 fichas
numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el
mínimo número de fichas que se han
de extraer para tener la seguridad de
haber sacado 3 fichas numeradas
consecutivamente?
a) 9 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
9. Luis debe tomar una píldora «Vitanol»
cada 3 horas y dos píldoras «Fenapol»
cada 4 horas. Si comenzó su tratamiento
tomando ambos medicamentos, en 3
días, cuántas píldoras habrá tomado.
a) 54 b) 64 c) 74
d) 63 e) 60
10. En un terreno rectangular se han
colocado “x” estacas en todo su
perímetro; las estacas distan entre si
“y” metros; y el ancho del terreno es
“z” metros. ¿Cuánto mide el largo?
a) xy z
2
− b) xy 2z
2
− c) xy 2z
2

d) xy 2z
2
+ e)
xy z
2
+
11. Hallar la edad del mayor de 2 hermanos
Luis y Héctor, si se sabe que:
I. Hace 3 años la suma de las
edades de ambos era 14.
II. Dentro de 15 años la suma de las
edades de ambos será 50, luego:
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) I ó II e) I ó III
12. C, E, L y M están emparentados entre
sí:
· C o E es el hijo único de L
· E o L es la hermana de M
· M es el hermano de C o su hija
única
Uno de los cuatro es del sexo opuesto
a los otros tres: ¿Quién es del sexo
opuesto a los demás?
a) C b) N c) M
d) E e) L
13. La gráfica nos muestra a 12 palitos
de fósforo (todos del mismo tamaño).
Donde:
«X» es el menor número de palitos
que se mueven, de tal manera que
queden 10 cuadrados.
«Y» es el menor número de palitos
que se mueven, de tal manera que
queden 3 cuadrados iguales.
«Z» es el menor número de palitos
que se mueven para que se formen
7 cuadrados.
Hallar: «X+Y+Z»
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
14. Para el cumpleaños de Alberto, su
esposa le prepara una torta de forma
circular cuya área es 1024p cm²; en
plena fiesta Alberto tiene que partir la
torta en partes iguales para distribuirlo
entre sus invitados. Si cada corte
lo hace a 2p cm. ¿Cuántos cortes
realiza Alberto?
a) 29 b) 30 c) 31
d) 32 e) 34
15. En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y
5 sábados, ¿Qué fecha cae el tercer
miércoles de dicho mes?
a) 19 b) 20 c) 21
d) 18 e) 24
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
D D D C C
6 7 8 9 10
C E E D C
11 12 13 14 15
E E C D C
Métodos Aritméticos Especiales
El objetivo principal de este capítulo es que el alumno utilice adecuadamente
las cuatro operaciones fundamentales (+; –; x; ÷).
Las cuatro operaciones fundamentales, son los instrumentos matemáticos
más antiguos utilizados por el hombre que nos permiten resolver problemas
de carácter comercial y de la vida diaria.
Ejm. 1:
Un sastre pensó confeccionar 100 camisas en 20 días, pero tardó 5 días más
por trabajar 2,5 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó por día?
Resolución
El sastre perdió 2,5 horas por día, durante 20 días; es decir:
Perdió: 2,5 x 20 = 50 horas
Las que recupera en cinco días, a razón de:
50h 10h / d
5d
=
Ejm. 2:
Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer un trabajo en
10 días; ¿cuánto tiempo demorará cada uno en hacerlo solo?
Resolución
Asumiendo que, en un día de trabajo, Juan hace: 2k.
⇒ Pedro hace: k
Juntos hacen 3k.
En 10 días harían 30k, los que c/u demoraría hacerlo en:
Juan: 30k/2k = 15 días
Pedro: 30k/k = 30 días
Cálculo de dos Números, conociendo:
I. La Suma y Diferencia
Se emplea solamente para determinar dos cantidades, si conocemos
la suma (S) y diferencia (D) de ambos, lo que implica que una de las
cantidades a calcular es mayor que la otra.
N mayor
S D
º =
+
2
N menor
S D
º =

2
II. Suma y Cociente
En el caso que tengamos como dato la suma de dos números (S) y el
cociente de ambos (q), podemos calcular ambos números mediante la
siguiente relación:
N menor
S
º =
q+ 1
N mayor
S·q
º =
q+ 1
III. Diferencia y Cociente
En el caso que tengamos como dato la diferencia (D) y el cociente de
ambos (q), podemos calcular ambos números mediante la siguiente
relación:
N menor
D
º =
q-1
N mayor
D·q
º =
q-1
Nota:
Es recomendable saber que el cociente es la relación del número mayor al
número menor.
En un enunciado, al decir que:
– Un número es el triple del otro significa que su cociente es 3 (q=3).
– Un número es la mitad del otro significa que su cociente es 2 (q=2).
– Un número es los 4/7 de otro significa que: q = ……………
Ejm. 3:
En cierto día, las horas transcurridas exceden a las que faltan transcurrir en 6
horas. A qué hora ocurre esto?
Resolución
Sean “tiempo transcurrido” (t.t) y “tiempo no transcurrido” (t.n.t.)
Sabemos que la suma y la diferencia de estos dos tiempos es:
S=24h ; D=6h
⇒ t.t. (mayor) 24 6 15 horas
2
= + =
\ Hora: 3 p.m.
Ejm. 4:
Una persona decide comprar la edición popular antes que la edición de lujo
de un libro. ahorrándose así S/.42; esto representa la mitad de lo que pagaría
por comprar ambas ediciones. ¿Cuánto pagó por la edición que adquirió?
Resolución
D= S/.42
S = S/.84
⇒ Costo edición popular 84 42
2
S / .21
= −
=
Ejm. 5:
Dos personas tienen S/. 900 y S/. 300, respectivamente. Se ponen a jugar a
las cartas a S/. 10 cada partida; y al final, la primera que ha ganado todas las
partidas, tiene el cuádruple de lo que tiene el segundo. ¿Cuántas partidas se
jugaron?
Resolución
La suma total de dinero, entre juego y juego, no varía.
⇒ S = S/. 1200
Luego de “n” jugadas: q = 4
En ese momento el ganador tiene:
1200 • 4 S / .960
4 1
=
+
habiendo ganado: S/.960 – S/.900 = S/.60
A S/.10 cada partida.
⇒ Nº de partidas = n =
S / .60 6
S / .10
=
Ejm. 6:
En aquel entonces, tu tenías 20 años más que yo, que tenía la quinta parte
de la edad que tenías. Si eso sucedió en 1980, actualmente (2001), ¿qué
edad tenemos, asumiendo que ya cumplimos años?
Resolución
D = 20
q = 5
En 1980 teníamos: Tu (mayor) 20 • 5 25
5 1
= =

Yo (menor) = 25 – 20 = 5
⇒ Actualmente tenemos: 46 y 26 años.
Ejm. 7:
Si: a + b + c = 13;
Además: ab + bc = 97
Hallar: a – b + c
Resolución
Descomponiendo: ab + bc = 97 , tenemos:
10a + b + 10b + c =97
9a + a+ b + 10b + c = 97
9a + 10b + 13 = 97
9a + 10b = 84
Lo que cumple para a = 6 ; b = 3 ; c = 4
Como: a – b + c = 6 – 3 + 4 = 7
Métodos Operativos
El propósito de este tema es mostrar los “métodos” usados con mayor
frecuencia, que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos;
aunque es necesario reconocer en qué casos se deben aplicar.
Método de las Diferencias (Método del rectángulo)
Es un método que se aplica a problemas donde participan dos cantidades
excluyentes, una mayor que la otra, que se comparan en dos oportunidades
originando, generalmente, en un caso sobrante o ganancia y en el otro caso,
un faltante o pérdida.
Ejm 1:
Un comerciante analiza: Si compro a S/. 15 el kilo de carne, me faltaría
S/. 400; pero si sólo compro de S/. 8 el kilo me sobraría S/. 160.
¿Cuántos kilogramos necesita comprar y de que suma dispone?
Resolución:
Si compro a
f
s
u t
S / .15c / kg S / .400
S / . 8c / kg S / .160
D S / .7c / kg D S / .560
− − − −
− − − −
= =
⇒ Cantidad (Kg) Dt S / .560 80
Du S / .7
= = =
\ Dinero disponible = 80kg x S/.8 +S/.160
= S/.800
(Cuando falta)
(Cuando sobra)
Ejm. 2:
Para ganar $28 en la rifa de una filmadora se hicieron 90 boletos, vendiéndose
únicamente 75 boletos y originando así una pérdida de $17.
Calcular el costo de cada boleto y el valor de la filmadora.
Resolución:
g
p
Si vendiera 90 bol $28
75 bol $17
15 bol $45
− − − − −
− − − − −
D = D =
⇒ Costo c/boleto = $45 $3
15bol
=
\ Valor de la filmadora = 90 x 3 – 28
= $242
Método del Cangrejo (Método Inverso)
Es un método utilizado en problemas donde interviene una variable a la cual
se realiza una serie de operaciones directas hasta llegar a un resultado final.
Se denomina “método inverso”, porque a partir del dato final se realizan las
operaciones inversas hasta llegar al valor inicial.
Ejm. 3:
Al preguntarle a “Pepito” por su edad, el contestó con evasivas diciendo lo
siguiente: “si le agregas 10, al resultado lo multiplicas por 5 y enseguida le
restas 26, para luego extraerle la raíz cuadrada y, por último, lo multiplicas
por 3, obtendrás 24″. ¿Cuál es la edad de “Pepito”
Resolución:
Considerando la edad de Pepito: E; y aplicando las operaciones
consecutivamente como lo indicado por “Pepito”, tenemos:
E +10 • 5 − 26 • 3 = 24
Aplicando operaciones inversas, tenemos:
E = 24÷ 3 ( )² + 26 ÷ 5 – 10
E = 8 años
Ejm. 4:
El nivel del agua de un tanque en cada hora desciende 2 m por debajo de
su mitad, hasta quedar vacío el tanque luego de 3 horas. ¿Qué volumen
de agua se ha utilizado, sabiendo que el tanque tiene una base circular de
5 m²?
gana
pierde
Resolución:
Considerando el nivel inicial del agua: H
Del problema deducimos que, en cada hora, queda la mitad menos 2 m de
agua.
Entonces, en tres horas, queda:
H÷ 2 − 2 ÷ 2 − 2 ÷ 2 − 2 = 0
Aplicando operaciones inversas, tenemos:
H=0+2×2+2×2+2×2
H=28m
Teniendo en cuenta que el volumen de un tanque circular es:
V = Área de la base x altura
⇒ V = 5 m² × 28 m
V = 140 m³
Método de suposición arbitraria (Regla el Rombo)
Se aplica cuando en un problema participan un número de elementos
divididos en dos grupos, cuyos valores unitarios (o características) se
conocen y, además, nos proporcionan el valor total, que es la resultante de
sumar todos los valores unitarios.
Ejm. 5:
En el salón de clase el peso promedio de cada alumno es de 75 kg y de cada
alumna 60 kg. Si el peso total de todos es de 4020 kg, ¿en cuánto excede el
número de mujeres al de los varones, si en total son 60?
Resolución:
Aplicando el método de la suposición arbitraria:
Supongamos que los 60 alumnos pesan 75 kg c/u.
⇒ Peso de todos los alumnos sería (Valor supuesto) = 60 x 75 = 4500 Kg.
Este valor excede al real en:4
500 – 4200 = 480 Kg
Este exceso es por que asumimos que todos eran varones, por lo que dimos
un valor agregado a cada alumna de: 75 – 60 = 15 Kg.
⇒ Nº de alumnas 480 32
15
= =
Nº de alumnos = 60 – 32 = 28
\ D = 32 − 28 = 4
Las operaciones efectuadas en la solución de este problema se pueden
resumir en:
75
x
60
60
4020
Nº Alumnas 60 • 75 4020 32
75 60
= − =

Esta es la regla práctica del método de la suposición arbitraria, llamada
REGLA DEL ROMBO, que consiste en ubicar la información del problema en
los cuatro vértices del rombo, de la siguiente manera:
M
NE VT
m
Donde:
NE: Número total de elementos
M : Mayor valor unitario
m: menor valor unitario
VT: Valor total
Si se desea calcular el número de elementos que tiene el menor valor
unitario, se procede de la siguiente manera:
Nº NE•M VT
M m
= −

Ejm. 6:
En una billetera hay 24 billetes que hacen un total de S/. 560 soles. Si
solamente hay billetes de S/. 50 y S/. 10 soles, ¿cuántos eran de cada
clase?
Resolución:
50
24
10
560
x
Nº billetes(S / .10) 24 • 50 560
50 10
16
⇒ = −

=
Nº billetes (S/.50) = 24 – 16 = 8
Regla Conjunta
Es un método que nos permite determinar la equivalencia de dos elementos.
Procedimiento:
1. Colocar la serie de equivalencias formando columnas.
2. Procurar que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten,
cambiar el sentido de la equivalencia.
3. Multiplicar los elementos de cada columna.
4. Despejar la incógnita.
Ejm. 7:
Si 4 soles equivalen a una libra esterlina, 3 yenes equivalen a 2 libras
esterlinas, 5 marcos equivalen a 6 yenes, y 9 marcos equivalen a 6 pesetas;
¿cuántas pesetas equivalen a 16 soles?
Resolución:
S/.4 <> 1 l.e.
2 l.e. <> 3 yenes
6 yen. <> 5 marcos
9 mar. <> 6 pesetas
X pes. <> S/.16
4•2•6•9•X = 1•3•5•6•16
X = 10/3
Ejm. 8:
Qué suma necesitará un Gobierno para pagar a 4 coroneles, si el sueldo
de 6 coroneles equivale al de 10 comandantes; el de 5 comandantes al de
12 tenientes; el de 6 tenientes al de 9 sargentos, y si 4 sargentos ganan S/.
2400 al mes.
Resolución:
S/. X <> 4 cor
6 cor <> 10 com
5 com <> 12 ten
6 ten <> 9 sarg
4 sarg <> S/.2400
x·6·5·6·4 = 4·10·12·9·2400
X = S/. 14 400
Problemas Propuestos
1. Un comerciante compra cierta
cantidad de agendas en S/.1424 y los
vende todos en S/. 2492, ganando
así S/.1,50 por agenda. ¿Cuántas
agendas compró y cuánto le costó
cada una?
a) 720 y 12 b) 720 y 4
c) 712 y 2 d) 712 y 4
e) 710 y 3
2. Dos secretarias tienen que escribir
600 invitaciones cada una. La 1ra.
escribe 15 invitaciones en 1/4 de
hora, mientras que la 2da. escribe
80 invitaciones por hora. ¿Cuántas
invitaciones le falta a la 1ra. para
terminar cuando la 2da. concluya?
a) 120 b) 130 c) 150
d) 160 e) 180
3. Se compra mercurio a $ 80 el kg
para venderlo a $ 120 y ganar
$ 2000. Se pierde la quinta parte y se
desea, no obstante, ganar la misma
cantidad . ¿A cómo hay que vender el
kg de Mercurio para conseguirlo?
a) 120 b) 130 c) 150
d) 180 e) 190
4. Por un año de trabajo se le promete a
un obrero $ 1900 dólares y una moto;
pero a los 8 meses se le despide
dándole $ 1100 y la moto. ¿Cuánto
vale la moto?
a) 400 b) 300 c) 200
d) 600 e) 500
5. Si vende un carro en $ 3000, un
vendedor recibe de comisión $ 200;
y si lo vende en $ 5000, recibe $ 300
de comisión. ¿Cuál fue su comisión
en dólares si lo vendió en $ 4500?
a) 275 b) 265 c) 245
d) 285 e) 270
6. Una niña compra varios cajones de
naranjas a S/. 10 cada uno. Cada
cajón contiene 30 kg. Vende la mitad a
S/. 0,50 el kg; el resto a S/. 0,20 el kg,
ganando S/. 15 en total. ¿Cuántos
cajones compró?
a) 15 b) 28 c) 27
d) 29 e) 14
7. Un comerciante paga $ 15 400 por
cierto número de radios y vende una
parte de ellos por $ 3800 a $ 100 por
cada radio, perdiendo $ 10 en cada
uno. ¿A cómo deberá vender cada
uno de los restantes para ganar
$ 2680 en la venta total?
a) $ 140 b) $ 120 c) $ 160
d) $ 110 e) $ 100
8. Al comprar un TV. y un CD se gastó
$ 630; pero se sabe que el TV. costó
$ 70 más que el CD. ¿Cuánto se
gastará si se quiere comprar 2 TV.?
a) $ 700 b) $ 400 c) $ 100
d) $ 200 e) $ 800
9. El cumpleaños de María será en el
mes de octubre, cuando los días
transcurridos del mes excedan en una
semana al número de días que aún
faltan transcurrir de dicho mes. ¿En
qué fecha celebrará su cumpleaños?
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
10. Un buque de travesía lleva víveres
para una tripulación de 140 hombres
para 100 días. Después del día 49,
el Capitán recibe 30 naúfragos de
otro buque. ¿Para cuántos días
más alcanzarán las provisiones,
suponiendo que cada tripulante
recibe una ración entera?
a) 10 b) 20 c) 15
d) 14 e) 42
11. La suma de dos números es 611,
su cociente es 32 y el residuo de su
división el más grande posible. ¿Cuál
es la diferencia entre los números?
a) 575 b) 426 c) 230
d) 430 e) 568
12. Al dividir el número abc entre bc
se obtiene 11 de cociente y 80 de
residuo. ¿Cuál es el valor de a+b+c?
a) 19 b) 18 c) 17
d) 16 e) 15
13. En un zoológico, entre todos los
leones y loros se podían contar 30
ojos y 44 patas. Determinar el número
de alas.
a) 16 b) 14 c) 13
d) 15 e) 12
14. Una empresa comercial desea
repartir 5 galones de pintura a cada
una de las casas de una quinta; si
así lo hace, le estarían sobrando 10
galones; pero si entrega 8 galones
a cada una, le faltarían 14 galones.
¿Cuántas son las casas y cuál es la
cantidad de galones que se dispone?
a) 8; 90 b) 8;30 c) 8;20
d) 6;20 e) 7;32
15. Un joven sale con su “media naranja”
y sus cuñados a la feria. Observa que si
saca entradas de S/. 30, le faltaría para
dos de ellos; por lo que decide sacar
entradas de S/.10, así entran todos y
aún le sobran S/.100. ¿Cuántos eran los
cuñados y de qué suma disponía?
a) 6 b) 8 c) 4
d) 3 e) 5
Tarea Domiciliaria
1. Si se posaran 3 aves en cada poste,
sobrarían 4 postes; pero si se posara
un ave en cada poste, sobrarían 6
aves. ¿Cuál es la cantidad de postes?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. Un niño ha pensado un número en el
cual realiza las siguientes operaciones
consecutivas: le agrega 2, luego lo
multiplica por cuatro, enseguida le
merma 4; a este resultado le extrae la
raíz cuadrada; luego lo divide entre 2;
y por último, le quita uno, obteniendo
como resultado final uno. ¿Qué
número pensó?
a) 3 b) 2 c) 4
d) 5 e) 6
3. Un jugador hizo 3 apuestas. En la 1ra.
duplicó su dinero y gastó 30 soles, en la
2da. triplicó su dinero y gastó 54 soles,
en la 3ra cuadriplicó su dinero y gastó
72 soles, quedándole al final 48 soles.
¿Cuánto dinero tenía al principio?
a) 25 b) 27 c) 29
d) 31 e) 30
4. A una función musical concurrieron 500
estudiantes y se recaudó S/. 860. Si los
boletos de platea costaron S/. 1,50 y los
de Mezzanine S/. 2, ¿cuántos boletos
de cada clase se vendieron?
a) 280 y 150 b) 220 y 180
c) 300 y 150 d) 280 y 220
e) 120 y 80
5. 3 envases de “A” equivalen a 2
envases de “B”, del mismo modo
que 4 envases de “B” equivalen a 3
envases de “C”; 10 envases de “C”
equivalen a 8 envases de “D”; 40
litros de agua entran en 4 envases de
“D”. ¿Cuántos envases de “A” se van
a necesitar para envasar 60 litros?
a) 10 b) 11 c) 13
d) 14 e) 15
6. Por un año de trabajo a un empleado se le
promete dar $ 2300 y una computadora,
pero a los 9 meses se le despide dándole
$ 1500 y la computadora. ¿Cuánto vale
la computadora?
a) $ 800 b) $ 1100 c) $ 900
d) $ 700 e) $ 1200
7. Se ha comprado 2200 botellas a S/.
27 el ciento, habiendo pagado S/.
10,40 por el transporte de cada millar.
¿A cómo debe venderse el ciento
para ganar S/. 118,12 si por cada 100
botellas vendidas se van a regalar 4 y
16 se rompieron en el camino?
a) S/. 30 b) S/. 33 c) S/. 35
d) S/. 37 e) S/. 39
8. Un microbús que hace servicio de
Lima al Callao en uno de sus viajes
recaudó S/. 66,00 por los adultos
(S/. 1,00 c/u) y S/. 13,50 por los niños
(S/. 0,50 c/u). Cada vez que bajó un
niño, subieron 3 adultos y cada vez
que un adulto bajó, subieron dos
niños. Si el microbús llegó al Callao
con 55 adultos y 11 niños. ¿Con
cuántas personas partieron de Lima?
a) 32 b) 18 c) 27
d) 16 e) 23
9. Un tonel de cerveza cuesta S/. 120;
pero cuando se retiran 6 litros, sólo
cuesta S/.100. ¿Cuántos litros tiene
el recipiente?
a) 18 b) 36 c) 12
d) 144 e) 288
10. Un comerciante compró seis docenas
de libros a S/. 7 cada uno y recibe un
libro más por docena; en la compra
le hacen un descuento de S/. 25. Si
cada libro lo vende a S/. 8, ¿cuál será
su ganancia?
a) S/. 145 b) S/. 125 c) S/. 135
d) S/. 155 e) S/. 165
11. Una casa comercial vende en S/.
7850 cierto número de calculadoras
que compró en S/. 8975. ¿Cuántas
calculadoras vendió si en la venta de
cada una perdió S/. 45?
a) 15 b) 25 c) 35
d) 45 e) 55
12. Compré 60 brochas a S/. 7
cada una. Después de vender
20, ganando S/.3 en cada una,
obsequio 8. ¿A cómo vendí cada
brocha restante si al finalizar el
negocio obtuve una ganancia de
S/. 100?
a) S/.10 b) S/.12 c) S/.14
d) S/.18 e) S/.11
13. Se han comprado 400 sacos de harina
a S/. 540 la docena, habiéndose
pagado S/. 12 600 por transportarlos.
¿Cuántos llegaron malogrados si se
tuvo que vender a S/. 100 cada saco
para ganar en total S/. 4400?
a) 25 b) 30 c) 35
d) 45 e) 50
14. Un comerciante compró cierto número
de cuadernos por S/. 93, vendió una
parte de ellos en S/. 24 a S/. 0,60
cada uno, perdiendo S/. 0,15 en cada
uno. ¿A cuántos soles debe vender
cada cuaderno de los restantes para
que en total obtenga una ganancia de
S/. 15?
a) 1,30 b) 1,20 c) 1,10
d) 1,00 e) 0,90
15. Un comerciante compra café crudo
a S/. 5,40 el kg y lo vende tostado a
S/. 7,80 el kg. ¿Cuántos kilogramos
de café crudo tendrá que comprar
para ganar S/. 388,80, sabiendo que
el café pierde la décima parte de su
peso al ser tostado.
a) 362 b) 201 c) 240
d) 306 e) 378
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
D A C D E
6 7 8 9 10
C C E B A
11 12 13 14 15
B A E D C
I. Objetivo
Al concluir la unidad el alumno deberá:
1. Representar el lenguaje común al lenguaje simbólico.
2. Desarrollar habilidades de abstracción para plantear y resolver problemas
de una o más incógnitas.
3. Plantear y resolver problemas diofánticos.
4. Relacionar los problemas diversos con situaciones reales de la vida
común.
II. Sugerencias
1. Se debe leer el problema hasta comprenderlo y luego intentar resolverlo.
2. Determinar las variables con las que se resolverán los problemas
3. Determinación de los datos y las preguntas.
4. Relacionar los datos con las variables
5. Verificación de los resultados
III. Problemas Desarrollados
1. El triple de un número aumentado en seis equivale al doble del número aumentado
en 25. Calcular el número.
Resolución
Sea x el número: 3(x+6)=2x+25
3x+18=2x+25
\ x = 7
2. Se tiene 60 monedas, unas de 5 soles y otras de 2 soles, con las cuales se paga
una deuda de 204 soles. ¿Cuántas monedas más de un valor respecto al otro
existen?
Resolución
Sea el # de monedas de 5 soles = x
Sea el # de monedas de 2 soles = y
x+y=60
5x+2y = 204 → 3x+2(x+y) = 204
3x+2(60) = 204
x = 28 → y = 32
Respuesta: 32-28= 4
Planteo de Ecuaciones
3. Si reparto tantos caramelos a cada niño como niños tengo, me harían falta 2
caramelos; pero si doy 2 caramelos a cada niño, me sobrarían 61 caramelos.
¿Cuántos niños y caramelos tengo?
Resolución
Sea: C = # de caramelos
N = # de niños
C = N(N) – 2 = 2N + 61
N² – 2N = 63
N(N–2) = 9(7) = 9(9–2)
\ N = 9
C = 79
4. A un número impar se le suma los tres números pares que le preceden y el
cuadruplo del número impar que le sigue, obteniéndose 199. ¿Cuál es el menor
sumando?
Resolución
Sea el número impar: 2x+1
Los pares que preceden:
2x; 2x–2; 2x–4
El impar que sigue: 2x+3
(2x+1)+(2x)+(2x–2)+(2x–4)+4(2x+3)=199
16x+7=199 → x=12
Respuesta 2(12) – 4 = 20
5. En un campeonato de ajedrez escolar de 90 participantes, en la primera fecha,
se obtuvo que el número de ganadores era igual al número de empatadores.
¿Cuántas partidas resultaron empatadas?
Resolución
# ganadores = x 3x=90
# perdedores = x x=30
# empatadores = x
Nº de partidas empatadas
30 15
2
= =
Respuesta: 15
6. ¿Cuál es el número tal que al colocarle un cero a la derecha, éste aumenta en 504
unidades?
Resolución
Sea el número: x
10x – x = 504
9x = 504
x = 56
7. Se tienen tres números enteros que multiplicados de dos en dos dan por productos
88, 143 y 104. ¿Calcular la suma de dichos números
Resolución
Sean los números a, b y c
ab = 88 = 8.11
ac = 143 = 11.13
bc = 104 = 8.13
Multiplicando: (a.b.c)2 = (8.11.13)2 →abc = 8.11.13
\a = 11,b = 8,c = 13
Respuesta: a+ b+ c= 32
8. En un corral hay conejos y patos; se cuentan 30 cabezas y 92 patas, ¿cuántos
animales de cada especie existen?
Resolución
# de conejos = C C+P = 30
# de patos = P 4C+2P = 92
2C+2(C+P) = 92
C= 16 y P= 14
9. Tres amigos juegan a los dados, tal que el perdedor duplicará el dinero a los
demás; Luis, Juan y José pierden en ese orden, y quedan al final a cada uno con
32 soles. ¿Cuánto tenía cada uno al inicio?
Resolución
1er 52 28 16 = 96
2do 8 56 32 = 96
3ro 16 16 64 = 96
Quedan 32 32 32 = 96
Luis, Juan y José tienen: 52, 28 y 16, respectivamente.
1. En las aulas I y II del CEPREVI se
realiza lo siguiente: del aula I pasan
15 alumnos al salón II, luego del
salón II pasan 20 alumnos al salón I.
Si al final I y II tienen 65 y 35 alumnos,
respectivamente, ¿cuántos alumnos
tenía cada salón inicialmente?
a) 60; 40 b) 70; 40
c) 94; 30 d) 88; 30
e) 20; 50
2. Tres jugadores: A, B y C juegan a
las cartas; el que pierde, duplicará el
dinero de los otros dos. Si pierden A,
B y C, en ese orden, ¿cuánto tenía
“A” al inicio si cada uno termina con
80 soles?
a) 80 b) 130 c) 110
d) 160 e) 40
3. Edgard compra cierta cantidad de
sandías. A su hermana le regala
la mitad de lo que compra más 4
sandías; a su sobrina, la mitad de lo
que queda más 2 sandías. ¿Cuántas
sandías compró, si le quedan 16
sandías?
a) 52 b) 96 c) 80
d) 48 e) 60
4. Luchita cada día gasta la mitad de lo
que tiene más S/. 20. Si gastó todo
en 4 días, ¿cuál es el promedio de su
gasto por día?
a) 200 soles b) 300 soles
c) 120 soles d) 150 soles
e) 60 soles
5. En un almacén se observó 90
vehículos entre motos, automóviles y
bicicletas. Si se cuenta 80 motores y
300 llantas, ¿cuántas motos habían?
a) 10 b) 30 c) 40
d) 60 e) 20
6. La suma de 2 números es 84. Los
cocientes de estos números con un
tercero son 4 y 6, teniendo por residuos
1 y 3, respectivamente. ¿Calcular la
diferencia positiva de estos números?
a) 18 b) 16 c) 17
d) 19 e) 20
7. Si doy 5 caramelos a cada uno de
mis hermanos sobran 6 caramelos;
pero si doy 2 más a cada uno, faltan 8
caramelos. ¿Cuántos hermanos somos?
a) 6 b) 7 c) 8
d) 5 e) 9
8. Rosita paga por 2 pollos y 5 pavos un
total de S/. 495. Si cada pavo cuesta
S/. 15 más que un pollo, ¿cuánto
cuesta un pollo y pavo juntos?
a) 120 b) 105 c) 145
d) 135 e) 95
9. Sobre un estante se pueden colocar
15 libros de ciencias y 3 libros de
letras ó 9 libros de letras y 5 de
ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias
solamente caben el estante?
a) 15 b) 30 c) 18
d) 20 e) 24
10. A una reunión asisten 399 personas
entre varones, mujeres y niños. Si el
número de varones es el quintuplo de
mujeres, y éste es el triple que el de
los niños, ¿cuántos varones hay?
a) 310 b) 215 c) 210
d) 295 e) 315
Problemas Propuestos
11. Dos decenas de libros cuestan tantos
soles como libros dan por S/. 2880.
¿Cuánto cuesta cada libro?
a) 12 b) 16 c) 20
d) 9 e) 8
12. Una persona que vendió un caballo
en S/. 72 ve que su pérdida es por
cada 100 soles que le costó un
octavo del número de soles que pagó
por dicho caballo. ¿Cuánto costó el
caballo, si es mayor que 100?
a) 400 b) 720 c) 360
d) 685 e) 580
13. María tiene “x” billetes de 20 soles,
(x+1) billetes de 10 soles y (x–1)
billetes de 50 soles. Si ese es todo
el dinero que tiene y al cambiarlos
a billetes de 100, recibe el mismo
número de billetes de 50 soles, que
tenía inicialmente; ¿cuántos soles
tiene María?
a) 600 b) 300 c) 200
d) 400 e) 500
14. Calcular un número de tres cifras,
sabiendo que la suma de las cifras
es 6, que es divisible por 11 y que
restándole 99 se obtiene el número
original, pero invertido el orden de
sus cifras?
a) 132 b) 321 c) 123
d) 231 e) 312
15. Si a cada uno de mis amigos le doy
tantos chocolates como amigos tengo,
me faltan 2 chocolates; pero si doy un
chocolate a cada uno, me sobran 70
chocolates. ¿Cuántos chocolates tengo?
a) 9 b) 49 c) 61
d) 78 e) 79
Tarea Domiciliaria
1. En un colegio se distribuyen 18
personas por cada aula, quedándose
seis alumnos sin aula; si se
distribuyen 19 alumnos por cada aula,
sobran 4 asientos; si se distribuye 20
alumnos por cada aula, ¿cuántos
asientos quedarán vacíos?
a) 14 b) 10 c) 12
d) 11 e) 16
2. Se arrojan tres dados. El resultado
del primer dado se multiplica por 7,
se suma el resultado del segundo
dado y se multiplica todo por 7; por
último se suma el resultado del tercer
dado, obteniendo en total 268. ¿Cuál
es la suma de los resultados de los
tres dados?
a) 11 b) 10 c) 12
d) 14 e) 13
3. El pago de un obrero por la semana
última es de 250 soles, incluyendo
el pago por horas extras. El sueldo
asciende a 200 soles. Más que lo
recibido por horas extras. ¿Cuál es
el salario del obrero sin las horas
extras?
a) 190 soles b) 201 soles
c) 225 soles d) 230 soles
e) 205 soles
4. Se dispone de 100 soles para
comprar 40 sellos de colección de S/.
1, S/. 4 y S/. 12. ¿Cuántos sellos de
S/. 12 deberán comprarse, si por lo
menos se debe comprar un sello de
cada clase?
a) 10 b) 96 c) 78
d) 3 e) 8
5. Para la premiación de un concurso
infantil se necesita comprar juguetes
de dos precios distintos. Los precios
eran de 4 y 5 soles, pero debería
comprarse la mayor cantidad posible
de juguetes. ¿Cuántos niños serían
premiados si se debía gastar 131
soles y cada niño recibió un juguete?
a) 30 b) 43 c) 31
d) 35 e) 32
6. Un niño tiene 30 caramelos, que
vende a 3 caramelos por 10 soles;
otro niño tiene 30 caramelos que
vende a 2 por 10 soles. Para evitar
competencias, se unen y deciden
vender todo a 5 caramelos por 20
soles. ¿Ganan o pierden, y cuánto?
a) Pierden S/.10
b) Ganan 10
c) No gana ni pierden
d) Pierden S/.20
e) Ganan 20
7. Una señora quiso comprar cierto
número de limones con 720 soles
pero al ver que el precio de cada
limón había bajado en 2 soles,
compró 4 limones más por la misma
suma. ¿Cuántos limones compró?
a) 38 b) 40 c) 36
d) 42 e) 48
8. Cuatro hermanos tienen juntos 30
naranjas. Si el número de naranjas
del primero se incrementa en 1, el del
segundo se reduce en 4, el del tercero
se duplica y el cuarto se reduce a
la mitad, todos tendrían la misma
cantidad de naranjas. ¿Cuántas
naranjas tiene el tercero?.
a) 10 b) 15 c) 3
d) 12 e) 8
9. A un alambre de 132 cm se le hacen
tantos cortes como longitud tiene
cada trozo. ¿Cuántas partes iguales
se consiguen?
a) 15 b) 11 c) 18
d) 12 e) 14
10. Unos gemelos y unos trillizos tienen
edades que suman en total 150 años.
Si se intercambian las edades de los
gemelos con los trillizos, el total sería
de 120 años. ¿Cuántos años tiene
cada uno de los trillizos?
a) 50 b) 48 c) 46
d) 44 e) 42
11. Un examen de admisión consta de
50 preguntas; por cada respuesta
correcta se le da 4 puntos y por cada
respuesta incorrecta le restan un
punto. ¿Cuántas preguntas respondió
acertadamente un alumno, si después
de responder todo el examen obtuvo
150 puntos?
a) 40 b) 42 c) 44
d) 33 e) 30
12. En una granja hay patos, conejos
y gallinas. Si en total se cuentan 60
cabezas y 160 patas de animales,
¿cuántos son conejos?
a) 22 b) 20 c) 24
d) 18 e) 72
13. Se dispone de S/. 999 para ser
gastados en artículos de S/. 37 y
S/. 21, ¿cuántos artículos se
adquirieron si el dinero alcanzó
exactamente?
a) 40 b) 44 c) 43
d) 42 e) 70
14. En un super mercado, 4 naranjas
cuestan lo mismo que 15 plátanos; 10
plátanos lo mismo que 3 manzanas,
12 manzanas, lo mismo que 1 piña.
¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo
que 3 piñas?
a) 30 b) 31 c) 33
d) 32 e) 35
15. Cada vez que Carmen se cruza
con Miguel, este último duplica el
dinero que lleva Carmen. Carmen
en retribución le entrega 20 soles.
Si se han cruzado 3 veces, luego de
los cuales Carmen tiene 260 soles,
¿cuánto tenía Carmen inicialmente?
a) 18 b) 70 c) 40
d) 60 e) 50
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
A B C D E
6 7 8 9 10
A B C D E
11 12 13 14 15
A B C D E
I. Objetivos
Al concluir la unidad el alumno deberá:
1) Relacionar correctamente las edades de una o más personas en el
transcurso del tiempo.
2) Utilizar convenientemente el “Cuadro de doble entrada” en el proceso de
ordenamiento y relación de los datos.
3) Plantear problemas de orden literal relacionados con edades de
personas.
4) Aplicar correctamente las propiedades en la resolución de problemas.
Notas:
1) La diferencia de edades de dos personas es constante en el tiempo.
(P–P–F)
2) Edad actual = Año actual – Año de nacimiento. (Si ya se cumplió años)
Edad actual + Año Nacimiento = Año Actual – 1. (Si no se ha cumplido
años)
Problemas Resueltos
1. Cuando Raúl nació, Luisa tenía la tercera parte de lo que Raúl tiene. Si Pola tiene
10
9 de la edad de Raúl, ¿cuál de los tres es más joven, y qué edad tiene, si la
suma de las edades actuales de Raúl y Pola es 38 años?
Resolución
PASADO PRESENTE
Raúl 0 9x
Luisa 3x 12x
Pola 10x
Dato: 9x+10x=38 → x = 2 años
El más joven es Raúl con 18 años
.
Edades
2. Cuando transcurran, a partir de hoy, tantos años como los años que pasaron
desde que nací hasta hace 30 años, tendré el quíntuplo de la edad que tenía en
ese entonces. ¿Qué edad tengo?
Resolución
Nac. Pasado Presente Futuro
0 x-30 x 2x-30
x-30 x-30
Edad:
2x – 30 = 5(x–30)
2x – 30 = 5x–150 → 3 120
40
x
x años
=
=
3. Si tú tienes 30 años actualmente, yo tengo el triple de la edad que tenías cuando
yo tenía la quinta parte de lo que tú tienes. ¿Cuál es mi edad dentro de 3 años?
Resolución
Pasado Presente Dentro 3
Yo 6 3x 3x+3
Tú x 30
x + 3x = 6 + 30
x = 9
Respuesta: 3x+3 = 3(9) + 3 = 30
4. La edad de Luis en 1975 era tanto como la mitad del número formado por las dos
últimas cifras del año de su nacimiento ¿Qué edad tendrá en el 2004?
Resolución
Año de nacimiento: 19ab
\ 1975 – 19ab = ab
2
1975 1900 ab ab
2
− − =
75 3 ab ab 50
2 =
→ =
* En 2004: 2004 – 1950 = 54
5. Un alumno al ser preguntado por su edad respondió: “Si al doble de mi edad se le
quitan 13 años, se obtiene lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuál es la edad
del alumno?
Resolución:
Sea la edad “x” años: 2x – 13 = 50 – x
3x = 63
x = 21 años
6. Lorena dice que la edad de su hija representa 5 veces la edad que tuvo hace 4
años. ¿Cuál es la edad de la hija de Lorena?
Resolución:
Sea la edad “x” años:
x x
x x
x
= −
= −
=
5 4
20 5
5
b g
7. Julia, en el mes de junio, restó a los meses que ha vivido los años que tiene y
obtiene 455. ¿En qué mes nació Julia?
Resolución:
Edad = “x” años + “y” meses
( )
12x y x 455
11x y 11 41 4
+ − =
+ = +
\ Nació en el mes: 6–4 = 2 (Febrero)
8. Liz le dice a mary: Mi edad es el triple de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú
tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendremos entre las dos 77 años.
Calcular las edades de ambas.
Resolución
Pasado Presente Futuro
Liz y 3x 77–3x
Mary x y 3x
i) y y x 3x
y 2x
+ = +
=
ii) 3x 3x y 77 3x
7x 77
x 11
+ = + −
=
=
Edades: 3 33
2 22
x años
y x años
=
= =
Problemas Propuestos
1. Gisella tuvo su primer hijo a los 20
años, su segundo hijo a los 25 años
y, 7 años después, a su tercer hijo. Si
en 1996 la suma de las edades de los
cuatro es 83 años, ¿qué edad tendrá
Gisella el 2006?
a) 50 años b) 52 años c) 48 años
d) 49 años e) 51 años
2. Dentro de 15 años la edad de Juan
será el doble de la de Juana. Si hace
6 años la edad de Juan era el triple
de la de Juana. Calcular la suma de
edades de ambos.
a) 90 b) 96 c) 94
d) 92 e) 88
3. La suma de las edades de Edgar y
Luz cuando nació Cirilo, su primer
hijo, era la mitad de su suma actual. Si
actualmente Cirilo tiene 20 años, ¿qué
edad tenía Cirilo cuando las edades
de los tres sumaban 70 años?
a) 14 b) 18 c) 10
d) 12 e) 15
4. Yo tengo la edad que tú tendrás
cuando yo tenga el triple de la edad
que tú tuviste cuando yo tuve la
mitad de la edad que tengo ahora. Si
actualmente nuestras edades suman
45 años, ¿cuántos años tengo?
a) 20 b) 21 c) 26
d) 24 e) 28
5. Un alumno nació en el año 19xy y
en 1980 tuvo “x+y” años. ¿En qué
año tuvo “2x+y” años?
a) 1988 b) 1983 c) 1984
d) 1985 e) 1986
6. Un abuelo, el hijo y el nieto tienen
juntos 100 años. El abuelo dice “Mi
hijo tiene tantas semanas como mi
nieto días, y mi nieto tiene tantos
meses como yo tengo años. La edad
del abuelo es:
(Considerar 1 mes = 30 días)
a) 68 b) 70 c) 72
d) 66 e) 60
7. Si al año que cumplí los 12 años le
sumas el año en que cumplí los 20
años y a dicha suma le restas la suma
del año que nací con el año actual,
obtendrás 6. ¿Qué edad tengo?
a) 26 b) 24 c) 28
d) 22 e) 20
8. La suma de las edades de dos amigas
es 30 años. Si dentro de 10 años la
edad de uno será el doble de la edad
que tuvo la otra hace 10 años, ¿cuál
es la edad de cada amiga?
a) 16 y 24 b) 13 y 17 c) 20 y 10
d) 12 y 18 e) 15 y 15
9. Las edades de dos amigos hace “k”
años estaban en la relación de 1 a
3; actualmente sus edades están
en la relación de 4 a 7. Si dentro de
“2k” años sus edades sumaran 126,
calcular la suma de sus edades
dentro de “k” años.
a) 98 b) 91 c) 86
d) 96 e) 112
10. Lucy tenía 22 años cuando Nora
nació. Ambas edades suman hoy
30 años más que la edad de Inés,
que tiene 42 años. ¿Qué edad tiene
Jaime, que nació cuando la suma de
las edades de las tres mujeres era 54
años?
a) 12 años b) 13 años c) 16 años
d) 21 años e) 20 años
11. Las edades de Ana y María suman 48
años; y María tiene el doble de edad
que tenía Ana cuando María tenía
la mitad de la edad que Ana tendrá
cuando Ana tenga tres veces la edad
que María tenía cuando su edad era
tres veces la de Ana de ese entonces.
¿Cuántos años tiene María?
a) 29 años b) 26 años c) 27 años
d) 30 años e) 28 años
12. La bisabuela de Edgard tiene 80 años
actualmente; y tenía 15 años cuando
nació la abuela de Edgard. La mamá
de Edgard dice “tu abuela tiene 45
años más que tú y tú tienes 18 años
menos que yo”. ¿Qué edad tiene la
madre de Edgard?
a) 32 años b) 38 años c) 35 años
d) 36 años e) 40 años
13. Las edades de Ana, Bertha y Carmen
son entre si como a los números 6,
8 y 11, respectivamente. Si hace 6
años la edad de Ana era la mitad de
la edad que tendrá Bertha dentro de
4 años, entonces Carmen es mayor
que Bertha en:
a) 16 años b) 5 años c) 12 años
d) 8 años e) 10 años
14. Si la edad de Ángel es la mitad de la
edad de Cucho y la edad de Miguel
es el doble de la edad de Cucho,
¿quién es el mayor y quién es el
menor, respectivamente?
a) Miguel y Cucho
b) Cucho y Ángel
c) Cucho y Miguel
d) Miguel y Ángel
e) Ángel y Cucho
15. Una persona multiplica la fecha del día
de su nacimiento por 12 y el número
del mes por 31. Si la suma de estos
productos es 170. Determinar la fecha
de nacimiento de dicha persona.
a) 6 de enero
b) 4 de abril
c) 7 de marzo
d) 5 de mayo
e) 9 de febrero
Tarea Domiciliaria
1. La edad de Luis en años, cuando se
le suma 1, es múltiplo de 2; si se le
quita 6, es múltiplo de 7; cuándo se le
agrega 1 es múltiplo de 10. ¿Cuántos
años tendrá Luis dentro de 10 años?
a) 79 b) 89 c) 69
d) 68 e) 74
2. Alberto no es un cuarentón, pero
pronto lo será. Si se escribe tres
veces seguidas su edad se obtiene
un número que es el producto de su
edad multiplicado por la de su esposa
y la de sus cuatro hijos. ¿Qué edad
tiene la esposa?
a) 9 b) 37 c) 38
d) 47 e) 40
3. En el año 1996, la edad de una
persona coincidía con la mitad de la
cantidad que expresa las dos últimas
cifras del año de su nacimiento.
Calcular la edad en el 2005.
a) 64 años b) 40 años
c) 41 años d) 35 años
e) 63 años
4. Jhon, en el mes de setiembre, resta
los años que tiene de los meses que
ha vivido y obtiene 414 meses. Si es
mayor que Antonio, su hijo, en 326
meses, ¿en qué mes nació Antonio?
a) Enero b) Febrero c) Marzo
d) Abril e) Mayo
5. Rita y Carlos se casaron hace 6
años, cuando sus edades estaban en
la proporción de 13 a 11; tuvieron su
primer hijo hace 4 años, cuando sus
edades estaban en la proporción de 7
a 6. Si su hijo terminará la educación
secundaria a los 15 años, ¿qué edad
tendrá en ese entonces su padre?
a) 37 b) 38 c) 40
d) 39 e) 41
6. Cuando Beto nació, Braulio tenía 30
años. Ambas edades suman ahora 18
años más que la edad de Carlos, que
tiene 60 años. Calcular la edad de Daniel,
si nació cuando Beto tenía 15 años.
a) 2 años b) 5 años c) 3 años
d) 6 años e) 9 años
7. Tú tienes la mitad, menos 5 años
de la edad que yo tendré cuando
tu tengas lo que yo tenía cuando tú
tenías la cuarta parte de la edad que
yo tuviese, si tendría 10 años más de
los que yo tendré. Pero si yo tuviese
10 años más de los que tendré y
tú los que te he dicho que tienes,
entonces entre ambos tendríamos 80
años. ¿Qué edad tienes?
a) 20 años b) 40 años c) 30 años
d) 25 años e) 10 años
8. Un hermano le comenta al otro: “El
cuadrado de mi edad a restarse
con el cuadrado de tu edad resulta
123 años” su hermano le responde:
“El mismo resultado se obtiene si
restamos el cuadrado de la edad de
nuestra madre del cuadrado de la
edad de nuestro padre”. ¿Qué edad
tenía la madre cuando nació su hijo
menor?
a) 44 b) 22 c) 42
d) 40 e) 41
9. A Pepe le preguntan por su edad y el
contesta: “Mi edad más dos veces mi
edad, más tres veces mi edad y así
sucesivamente, hasta tantas veces
como años tengo, suman en total
4200. ¿Cuál es la edad de Pepe?
a) 40 años b) 15 años c) 30 años
d) 20 años e) 25 años
10. ¿Dentro de cuántos años tendré la
edad que tú hubieras tenido hace
5 años si hubieses nacido 9 años
antes?, si yo nací 10 años después
que tú?
a) 15 b) 6 c) 18
d) 14 e) 12
11. Relata una abuelita que un
antepasado suyo le ocurrió algo
muy curioso y es que tuvo “k” años
en el año “k3″. Además contó que
este antepasado suyo vivió hasta
el año 1800 ¿En qué año nació el
antepasado?
a) 1725 b) 1720 c) 1718
d) 1750 e) 1716
12. Hace 7 años el doble de tu edad
era igual a la mitad de mi edad en
ese entonces. Dentro de 23 años, el
cuádruple de mi edad será igual a
seis veces tu edad en ese entonces.
¿Cuántos años tienes?
a) 13 b) 24 c) 15
d) 30 e) 12
13. Don Lucho dice: “No soy un joven
pues paso los 60 años, pero aun soy
vigoroso; así que no pueden llamarme
noventón. Cada uno de mis hijos me
ha dado tantos nietos como hermanos
tienen”. ¿Qué edad tiene Don Lucho,
si su edad está representada por la
cantidad de nietos que tiene?
a) 63 años b) 72 años c) 69 años
d) 63 años e) 75 años
14. Carmen le dice a Dora: “Yo tenía
la tercera parte de la edad que tú
tienes, cuando tú renías la mitad de
la edad que tengo, además cuando tú
tengas la edad que tengo la suma de
nuestras edades será 45 años, ¿Qué
edad tiene Carmen?
a) 20 años b) 22 años c) 24 años
d) 27 años e) 25 años
15. La edad de un padre sobrepasa en
5 años a la suma de las edades de
sus tres hijos. Dentro de 10 años, él
tendrá el doble de la edad del hijo
mayor; dentro de 20 años, tendrá
el doble de la edad del segundo; y
dentro de 30 años, tendrá el doble de
la edad del tercero. ¿Cuál es la edad
del padre?
a) 45 años b) 38 años c) 48 años
d) 50 años e) 52 años
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
A B C D D
6 7 8 9 10
E A B D D
11 12 13 14 15
E A B C D
Los problemas referentes a móviles consideran a carros, trenes, aviones o
personas; asimismo, hacen mención a metros por segundo, kilómetros por
hora o a cualquier otra terminología relacionada con el movimiento.
Estos problemas se resuelven básicamente con la fórmula:
Distancia = Rapidez × Tiempo
Que corresponde a un movimiento uniforme. Además:
v t
e
e = v · t v e
t
= t e
v
=
e = espacio o distancia recorrida
v = rapidez empleada
t = tiempo empleado
Definiciones Importantes:
a) Rapidez (v). Característica física de un móvil que nos informa qué tan
rápido este móvil pasa de una posición a otra. Se expresa en unidades de
longitud por tiempo (e/t); ejemplos: m/s, m/min; km/h.
b) Velocidad ( v ). Es una magnitud vectorial que nos indica la rapidez con
la que se mueve un objeto (móvil) y la dirección en que lo hace.
Móviles
¿Quién llegará
primero a la PRE?
30K/h 10m/s
PRE
Para la solución de estos problemas debemos tener cuidado que las
unidades sean consistentes; por ejemplo, si la rapidez está expresada en
m/s, el tiempo debe estar en segundos y la distancia en metros.
Ejemplo 1:
Cinco horas demora un auto en viajar de Lima a Huancayo a razón de 80
km/h. Si cada 10 km en la carretera que une ambas ciudades se desea
colocar un banderín, ¿cuántos banderines se requieren, considerando que
debe haber uno al principio y otro al final?
Resolución
Debemos primero calcular la distancia entre Lima y Huancayo, para lo cual
contamos con la rapidez con que viaja el auto y el tiempo que emplea; por lo
tanto:
d v x t 80km x5h
h
= =
d = 400 km
Cálculo del número de banderines a colocar; para lo cual tenemos:
dT = 400 km
du = 10 km
1 41
10
Nº banderines = 400 + =
Rapidez Promedio
Se refiere a la distancia total recorida dividida entre el tiempo total
empleado.
Tiempo Total
v Distancia Total p =
Ejemplo 2:
Un auto viaja de una ciudad “A” a otra “B”, distantes en 500 km, a razón de
100 km/h; y regresa hacia “A” con una rapidez de 50 km/h. Hallar la rapidez
promedio durante el viaje de ida y vuelta.
A B
100 km/h
50 km/h
500 km
Resolución
Tiempo de viaje de ida: i
t 500km 5h
100km/ h
= =
Tiempo de viaje de regreso: r
t 500km 10h
50km/ h
= =
⇒ Tiempo total = 5 + 10 = 15h
Distancia total recorrida = 500 + 500
= 1000km
km/ h
3
66 2
3
200
15h
\v prom = 1000km = =
Tiempo de encuentro
Si dos móviles parten simultáneamente de diferentes puntos y viajan en la
misma dirección pero en sentidos opuestos, una al encuentro del otro, se
encontrarán en un tiempo te, definido por:
V1 V2
d
v2 v1
te d
+
=
Donde:
te: tiempo de encuentro.
d: distancia que los separa al inicio.
v2; v1: rapidez con la que viajan los móviles.
Ejemplo 3:
La distancia entre dos ciudades es de 400 km. Un auto parte de la ciudad “A”
hacia “B” a razón de 50 km/h, y en el mismo instante parte de “B” hacia “A”
otro auto a razón de 30 km/h. ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán y a
qué distancia del punto “B”?
Resolución
A dA dB B
te
VA= 50 km/h VB= 30 km/h
400 km
Cálculo del tiempo de encuentro:
te 400km 400km 5h
(50 30)km / h 80km / h
= = =
+
Cálculo de la distancia de B hasta el punto de encuentro:
150km
dB VB x te 30km/ hx 5h
=
= =
Tiempo de Alcance
Si dos móviles parten simultáneamente y viajan en la misma dirección, y en el
mismo sentido y el segundo viaja con mayor rapidez, entonces lo alcanzará
al primero en un tiempo; ta, definido por:
VA VB
e
v2 v1
d
ta

=
Donde:
ta: tiempo de alcance
d: distancia que los separa al inicio
v2; v1: rapidez con la que viajan los móviles
Ejemplo 4:
La distancia entre dos ciudades es de 200 km. Un auto parte de la ciudad
“A” hacia otra “C”, situadas a 350 km al Este de “B”, a razón de 50 km/h;
en el mismo instante parte de “B” otro auto hacia “C”; a razón de 30 km/h.
¿Después de cuánto tiempo alcanzará el móvil que partió de “A” al que partió
de “B” y a qué distancia de “C”?.
Resolución
A
dB
C
ta
V = 50 km/h A V = 30 km/h B
200 km
B
ta
Cálculo de tiempo de alcance:
ta 200km 200 10h
(50 30)km / h 20
= = =

Distancia recorrida por B:
x10h 300km Þ Se da el alcance a 50 km de C
h
d 30km B = =
Ejemplo 5:
Un tren de 120 m de longitud se demora en pasar por un puente de 240 m de largo,
6 minutos. ¿Cuál es la rapidez del tren?
Resolución

v v
120m 240m
La distancia total que recorre el tren para cruzar es:
240 m + 120 m = 360 m
En un tiempo de 6 min (360 seg)
1m/ seg
360seg
v = 360m =
Ejemplo 6:
Luis viajó de Lima a Huancayo empleando 8 horas. Si al regreso aumenta
su rapidez en 15 km/h llegando en 6 horas, ¿cuál es la distancia total
recorrida?
Resolución
A la ida recorre una distancia «D» con una rapidez de “v” km/h llegando en
8h.
⇒ D = 8v … (I)
A la vuelta recorre la misma distancia «D» con una rapidez de (v + 15) km/h
llegando en 6h.
⇒ D = 6(v+15) … (II)
Como (I) y (II) son iguales, tenemos:
8v = 6(v + 15)
8v = 6v + 90
2v = 90
⇒ v = 45 km/h
\ Distancia total recorrida = 2D
En (I) =2 (8,45) = 720 km
Ejemplo 7:
La distancia entre T y L es de 550 km. Abner sale de T a L y Josué de L a T,
ambos simultáneamente a las 10 p.m. El ómnibus en que viaja Abner recorre
a un promedio de 90 km por hora y el de Josué a 85 km por hora ¿A qué hora
y a qué distancia de T se cruzarán?
Resolución
V= 90 km/h
T L
V= 85 km/h
550 km
Para saber a que hora se cruzan, aplicaremos tiempo de encuentro:
te 550km 3.14h 3h09min
(90 85)km / h
= = =
+
⇒ Se cruzarán a:
10 pm + 3h 9 minutos
1:09 am
DT = 90x 3.14 = 282km 857m
Ejemplo 8:
Un ladronzuelo corre a razón de 8m/s. Un policía que se encuentra a 150 m
de distancia empieza a persegurilo y logra alcanzarlo luego de 4 min. ¿Con
qué rapidez corrió el policía?
Resolución
Aplicando tiempo de alcance:
a
t d
vp ve
=

ta = 4 min
(4×60)seg 150m
(Vp 8)m / s
⇒ =

240 150
Vp 8
=
− ; simplificando: 8 5
Vp 8
=

8Vp − 64 = 5
Ejemplo 9:
«Vladi» sale de su casa con una rapidez de «a» km/h; y dos horas más tarde,
«Fuji» sale a buscarlo siguiendo la misma ruta, con una rapidez de «a+b»
km/h. ¿En cuántas horas lo alcanzará?
Resolución
d
a km/h
«Vladi» en 2 horas le ha tomado una ventaja de:
d = v.t d= 2a
Vladi
Fuji
2a
Que «fuji» debe descontarlo en:
b
2a
(a b) a
2a
Vf Vv
ta d =
+ −
=

=
Ejemplo 10:
Dos motociclistas parten de un punto “A”, en el mismo sentido, a razón de 30 y
50 km/h. ¿Qué tiempo deberá transcurrir para que estén separados 100 km?
Resolución
Con los datos hacemos el siguiente diagrama:
A
B C
V1= 30 Km/h
V2= 50 Km/h
100 km
tS
tS
5h
(50 30)km/ h
100km
V V
ts ds
2 1
=

=

=
1. Dos móviles están separados por
300 m y avanzan en direcciones
opuestas con velocidades de 10 y 15
m/s, separándose cada vez más. ¿En
cuánto tiempo estarán separados
9300 m?
a) 36 seg b) 6 min c) 1 h
d) 12 min e) 45 seg
2. Dos móviles “A” y “B” parten
simultáneamente de un mismo punto
de partida y se dirigen en un mismo
sentido a velocidades de 30 y 20 m/s,
debiendo llegar a un árbol que se
encuentra a 300 m delante de ellos
y luego retornar al punto de partida.
¿Después de que tiempo se logran
encontrar?
a) 16 seg b) 14 seg c) 8 seg
d) 10 seg e) 12 seg
3. Calcular el tiempo que emplea en
pasar completamente por un túnel de
250 m, un tren de 50 m de longitud a
una velocidad constante de 36 km/h.
a) 30 seg b) 40 seg c) 10 seg
d) 60 seg e) 70 seg
4. Un tren demora 13 seg para pasar por
delante de un semáforo y 25 seg en
cruzar un puente de 600 m. Calcular
la longitud del tren.
a) 650 m b) 600 m c) 550 m
d) 500 m e) 450 m
5. Sabemos que la distancia entre
Chiclayo y Lima es de 660 km. Un
ómnibus sale de Chiclayo a Lima
y otro viceversa al mismo tiempo.
El primer omnibus recorre a una
velocidad de 85 km/h y el segundo a
80 km/h. ¿A qué distancia de Chiclayo
se encontrarán?
a) 320 km b) 330 km c) 340 km
d) 350 km e) 360 km
6. Dos trenes cuyas longitudes son de
200 y 250 m viajan en vías paralelas
y en el mismo sentido cuyas
velocidades son de 45 y 81 km/h.
¿En qué tiempo el segundo tren logra
pasarlo al primero?
a) 45 seg b) 40 seg c) 35 seg
d) 30 seg e) 25 seg
7. Del problema anterior asumir que
viajen en sentido contrario. ¿Cuánto
demorarán en cruzarse?
a) 14,9 seg b) 12,8 seg c)11 seg
d) 9,6 seg e) 8,8 seg
8. Un tren salió de una estación a las 3
p.m. y viajó a 100 km/h; otro tren salió
de la misma estación a las 4 p.m. y
viajó en la misma dirección a 125
km/h. ¿A qué hora lo alcanzó?
a) 6 h b) 6:30 b) 7:00
d) 7:30 e) 8:00
9. «Medoly calculó que si viaja a 10
km/h, llegaría una hora después
del medio día para encontrarse con
su “media naranja”, pero si fuera a
15 km/h, llegaría una hora antes de
mediodia. ¿A qué velocidad debe
viajar para llegar a las 12 m?
a) 13 km/h b) 12 c) 12,5
d) 13,5 e) 11
10. En la esquina de la Av. Tacna y Colmena,
María Luisa y Florentino dan por terminado
su idilio amoroso y parten en forma
perpendicular cada uno a velocidades de
3 y 4 m/s, respectivamente. ¿Después
de que tiempo se encuentran separados
300m?
a) 1 min b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
11. Todos los días sale de Trujillo a Lima
un ómnibus con velocidad de 100km/h;
éste se cruza diariamente a las 12 m
con un ómnibus que sale de Lima con
velocidad de 50km/h. Cierto día el
ómnibus que sale de Trujillo encuentra
malogrado al otro a las 14 horas. ¿A
qué hora se malogró el ómnibus que
sale de Lima?
a) 6 a.m. b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
Problemas Propuestos
12. En una pista circular de 300 m dos
ciclistas parten juntos en sentido
contrario y se cruzan al cabo de 20
segundos. Después de 5 segundos
llega el más veloz al punto de partida.
¿Cuál es la velocidad del otro ciclista?
a) 9 m/s b) 6 c) 3
d) 10 e) 11
13. Dos atletas corren en una pista
circular de 90 m de circunferencia y
en el mismo sentido. El primero tiene
20 m de ventaja y corre 5 m/s y el
segundo a 3 m/s. Calcular la suma
de las distancias recorridas hasta su
encuentro.
a) 260m b) 270 c) 280
d) 290 e) 300
14. Dos corredores, A y B, parten al mismo
tiempo en sentidos contrarios en un
circuito cerrado; a los 10 minutos se
encuentran, luego de 15 minutos “A”
llega al punto de partida. ¿Cuál es la
velocidad de “A” si sabemos que la de
“B” es 300 m/min?
a) 160 m/min b) 170
c) 180 d) 190
e) 200
15. Un corredor da una vuelta completa
a una pista circular cada 40 s; otro
corredor recorre la pista en sentido
contrario y se cruza con el anterior
cada 15 s. ¿Qué tiempo emplea el
segundo corredor en dar una vuelta
completa a la pista?
a) 28 seg b) 26 c) 20
d) 24 e) 30
Tarea Domiciliaria
1. Dos móviles parten de un mismo
punto y se mueven con velocidades
de 20 y 30 m/s; delante de ellos, a
300 m, hay un árbol. ¿Después de
que tiempo los móviles equidistan del
árbol?
a) 12 seg b) 18 c) 20
d) 14 e) 16
2. Un móvil ha estado desplazándose
durante 14 horas. Si hubiera
desplazado una hora menos, con una
velocidad mayor en 5 km/h, habría
recorrido 1 km menos. ¿Cuál es su
velocidad?
a) 60 km/h b) 66 c) 80
e) 50 e) 90
3. Dos atletas parten desde un mismo
punto siguiendo trayectorias
rectilíneas, perpendiculares entre
sí, con velocidades, de 6 y 8 m/s.
¿Después de qué tiempo ambos
móviles están separados 200 m?
a) 1s b) 10 c) 16
d) 18 e) 20
4. Un tren, para atravesar un túnel de
900 m de largo tarda 76 s y en pasar
delante de un observador tarda 16 s.
¿Cuál es la longitud del tren?
a) 230m b) 240 c) 250
d) 260 e) 280
5. Dos trenes, uno de ellos de doble de
longitud que el otro, tarda en pasarse
cuando van en el mismo sentido 36
s y cuando van en sentido contrario
4 s. ¿Cuál es la relación de sus
velocidades?
a) 5/4 b) 3/4 c) 5/3
d) 4/3 e) 1/2
6. Dos trenes cuyas longitudes son
147 y 103 m, marchan sobre vías
paralelas en el mismo sentido. Si la
velocidad del primero es de 48 km/h
y el segundo demoró 50 segundos en
pasarlo, calcular la velocidad del otro
en km/h.
a) 56 b) 60 c) 72
d) 80 e) 66
7. Un tren de 200 m de longitud, pasa
por un puente de 600 m de largo,
a una velocidad de 40 m/s. ¿Cuál
es el tiempo que emplea el tren en
cruzarlo?
a) 30 s b) 15 s c) 20 s
d) 17,5 s e) N.A.
8. Un tren de «x» m de longitud, se
demora 8 s en pasar frente a un
observador y el triple del tiempo en
pasar por un puente de 800 m de
largo. ¿Cuál es la longitud del tren?
a) 0,8 km b) 4000 m c) 400 km
d) 0,4 km e) 300 m
9. Para ir de “A” a “B”, Vanessa camina
a razón de 70km/h y para regresar
de “B” a “A”, utiliza una velocidad de
30 km/h. Hallar el espacio total
recorrido por Vanesa, sabiendo que
en total su viaje le ha tomado 20
horas.
a) 800 km b) 840 km c) 680 km
d) 420 km e) 760 km
10. Denisse recorre el tramo MN en 20
horas; si quisiera hacerlo en 25 horas,
tendría que disminuir su velocidad en
8 km/h, entonces el tramo MN mide:
a) 32 km b) 600 km c) 1000 km
d) 33 km e) 800 km
11. A las 7 a.m. sale un auto hacia el
sur, corriendo a una velocidad de
63 km/h. A las 11 a.m. sale en pos
el primero un segundo auto que va
a una velocidad de 91 km/h. ¿A qué
hora lo alcanzará?
a) 8 p.m. b) 6p.m. c) 7 p.m
d) 4 p.m. e) 9 p.m.
12. Liliana y Martín están separados por
540 m. Lili parte primero al encuentro
de Martín con una velocidad de
17 m/s. Calcular el tiempo que
demorarán en encontrarse. Si
cuando Lili ya había recorrido
40 m, recién parte Martín con una
velocidad de 8 m/s. El tiempo pedido
desde que sale Martín es:
a) 25 s b) 20 s c) 35 s
d) 40 s e) 50 s
13. Un automóvil y un peatón están
separados por una distancia de a2 –
b2 km. Si parten al mismo tiempo uno
al encuentro del otro, el automovilista
a una velocidad de «a» km/h, ¿cuál
será la velocidad del peatón en km/h
si tardaron en encontrarse (a–b)
horas?
a) a–b b) 2a–b c) –(a–b)
d) 2b–a e) b
14. Un hombre camina de “A” hacia “B”; el
primer día avanza 110 km, el segundo
día 80 km y el tercer día retrocede
120 km. ¿Cuántos kilómetros caminó
en tres días?
a) 470 b) 90 c) 310
d) 19 e) 230
15. Juan ha recorrido los 3/5 del camino
que une «A» con «B». Si aún le faltan
por recorrer “n” km y lleva caminando
7 horas, ¿cuál es la velocidad de
Juan en km/h?
a) 56n/7 b) 6m/14 c) 6n/21
d) 5n/21 e) 3n/14
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
A B E B A
6 7 8 9 10
E C D B E
11 12 13 14 15
A B E E E
Capítulo relacionado en gran parte con el tema de Planteo de Ecuaciones y
Razonamiento Lógico.
Los relojes y su utilidad para la medición del tiempo son motivo de una gran
variedad de problemas y acertijos que, para un mejor estudio, se trata como
tema aparte, teniendo en cuenta los siguientes objetivos específicos.
1. Analizar y comprender la relación entre el tiempo transcurrido y el tiempo
no transcurrido, para un tiempo determinado.
Cronometría
¿Qué hora es?
Tiempo Total
Tiempo
Transcurrido
Tiempo no
Transcurrido
Ejemplo 1:
¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a las 3/5 de lo que
falta para terminar el día?
Resolución
Un día : 24 horas
Tiempo transcurrido: x
Tiempo que falta transcurrir: 24–x
Gráficamente:
x 24 – x
0 h 24 h
¿ … ?
Hora
exacta
Planteando una ecuación, tenemos:
«Parte transcurrida» «es» 35
(«falta para terminar»)
x 3 (24 x)
5
5x 72 3x
8x 72 x 9
= −
= −
= ⇒ =
\Hora = 9h. = 9a.m.
Otra forma : tiempo transcurrido 3
t. que falta transcurrir 5
=
3K 5K
24 h
3k 5k 24
k 3
+ =
=
⇒Hora = 3(3) = 9 horas
Ejemplo 2:
A qué hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a de lo que
falta para las 12 del mediodía.
Resolución
En el primer ejemplo, el intervalo de tiempo involucrado era todo el día (24
horas); en este caso es sólo el medio día, es decir:
0 h 12 h
Tiempo transcurrido 5
Tiempo que falta t. 4
=
5k 4k
12 horas
¿ … ?
9k = 12 k 4
3
=
⇒ Las horas transcurridas son:
5 4 20 6 2 h
3 3 3
  = =  
 
6 horas 40 min. \ Hora que marca el reloj = 6:40 a.m.
Ejemplo 3:
Son más de las 2, sin ser las 3 de esta tarde; pero dentro de 40 minutos
faltarán para las 4 el mismo tiempo que ha transcurrido desde la 1 hasta
hace 40 minutos. ¿Qué hora es?
Resolución
De acuerdo a la información, el intervalo a considerar es entre la 1 y las 4;
por lo tanto:
1 2 3 4
Consideramos tiempo transcurrido a partir de 1p.m: «x» min.
Dentro de 40 min: x + 40
Desde la 1 hasta hace 40 min: x – 40
1 x – 40 2 3 x – 40
x + 40
x
40 40
¿ … ?
Lo que falta para las 4 es (x – 40)
Planteando la ecuación, tenemos:
(x + 40) + (x – 40) = 3h <> 180 min
x + 40 + x – 40 = 180
x = 90 min
Significa que desde la 1 pm han transcurrido 90 min <> 1h 30 min.
Serán las 2:30 p.m.
2. Problemas sobre Adelantos y Atrasos
Para desarrollar estos problemas se puede aplicar criterios lógicos y regla
de tres; teniendo en cuenta lo siguiente:
– Hora marcada (hora falsa)
– Hora correcta (hora real)
Mediante las siguientes expresiones:
HM = HR – Atraso
HM = HR + Adelanto
Hora exacta
Ejemplo 4:
Un reloj se adelanta 2 min cada 15 min. Si este desperfecto ocurre ya hace 7
horas, que hora marcará las agujas de tal reloj si la hora exacta es 3 h 58 min.
Resolución
Aplicando «regla de tres simple».
Si se adelanta 2 min en 15 min; en 7 horas (7 x 60 = 420 min), ¿Cuánto se
habrá adelantado?
Se adelanta: 2 min ________ 15 min
x ________ 420 min
x 2×420 56min
15
= =
⇒ La hora marcada, aplicando
HM = HR + Adelanto, será:
HM = 3h 58 min + 56 min
HM = 4h 54 min
Ejemplo 5:
Hace 10 horas que un reloj se atrasa 3 min cada media hora. ¿Cuál es la
hora exacta si el reloj indica las 11 h 28 min?
Resolución
Aplicando «Regla de Tres Simple»:
Se atrasa: 3 min ________ 1/2 hora
x ________ 10 horas
x 3.10 60min 1hora
1/ 2
= = =
⇒ hora exacta (hora real), aplicando:
HR = HM + atraso, será:
HR = 11h 28 min + 1 hora
HR = 12h 28 min
Ejemplo 6:
Un reloj se adelanta 5 min cada 18 horas a partir de las 8 a.m. ¿Cuánto
tiempo deberá transcurrir para que vuelva a dar la hora correcta?.
Resolución
Para resolver este problema debemos tener presente que: para que un reloj
vuelva a marcar la hora correcta deberá adelantarse (atrasarse) en total 12
horas (720 min).
Entonces, resolviendo por «Regla de Tres Simple», tenemos:
Se adelanta: 5 min ___________ 18h
720 min ___________ x
x 720×18 144×18 horas
5
= =
Qué en días erá:
144×18
24 = 108 días
3. Estudio del Reloj y sus Manecillas
Equivalencia entre espacio, ángulo y tiempo (1 vuelta).
Espacio (div) Ángulo Tiempo (min.)
60
30
15
5
< >
< >
< >
< >
360º
180º
90º
30º
< >
< >
< >
< >
60
30
15
5
1 div < > 6º < > 1min
12
9 3
4
6
30º = 6º + 6º + 6º + 6º + 6º
1d = 6º = 1
Relación entre el espacio recorrido por la manecilla del horario y minutero (en
1 hora).
El minutero recorre 60 divisiones en el mismo tiempo que el horario recorre 5
divisiones; por lo tanto, se puede escribir una relación:
60div
5div
EM
EH =
12x
x
12
1
EM
EH = =
EH = Espacio recorrido por el horario.
EM = Espacio recorrido por el minutero (en 1 hora).
Ejemplo:
Desde las 3 en punto hasta las 4 en punto.
12
9 3
4
6
EH
EM
También:
En 60 min el horario avanza 60 30º
2
    =
 
En “M” min el horario avanza M2
 
 
Ángulo que forman las manecillas del reloj (Horario – Minutero):
Cuando el reloj marca las «H» horas «M» minutos o abreviadamente H, M; el
ángulo “a“, formado por el horario y el minutero, se obtiene directamente con
la siguiente fórmula:
(M)
2
a = 30H ± 11 
Donde:
H : hora de referencia
M : # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia
a : Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj (en grados
sexagesimales)
Caso I:
Cuando el horario adelanta al minutero
12
9 3
6
Hf
12x
x
Hi
Mf
Mi
a
30Hi
Para las H horas y M minutos, de la figura se observa que:
12x + a = 30H + x
Última hora pasada por el horario
Transponiendo términos, obtenemos:
a = 30H−11x
Teniendo en cuenta que xº es lo que avanza el horario en “M” minutos,
entonces:




a = −
2
30H 11 M
Caso II:
Cuando el minutero adelanta al horario
12
9 3
6
Hf
12x
x
Mf Hi
Mi
a
30H
Para las “H” horas y “M” minutos, de la figura se observa que:
30H x 12x
11x 30H
+ + a =
a = −
30H
2
M 11 − 


a = 
El signo negativo acompañará a la manecilla que se encuentra rezagada; y
el positivo, la que se encuentra adelantada (tomando en cuenta siempre el
movimiento de las manecillas del reloj).
Notas:
a. Dado un tiempo determinado, la hora referencial será la hora exacta
anterior a la hora que nos dan.
b. Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj, se
entiende que es por el menor ángulo.
Ejemplo 7:
¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada caso?
a) 4 h 40 min
b) 8 h 25 min
c) 12 h 36 min
Resolución
Para estos casos, aplicamos la expresión general:
30H 11M
2
a = ± 
Sin necesidad de emplear los signos, ya que el ángulo debe ser positivo.
a)
100º
120 220
(40)
2
30(4) 11
a =
a = − +
a =
b)
102º30′
2
205
2
480 275
2
240 275
(25)
2
30(8) 11
a =
=

a =
a =
a =
c) Cuando es las 12 h en la expresión, “H” se reemplaza por 0 (cero).
30(0) 11(36)
2
0 198º
a =
a = +
Como debe considerarse el menor ángulo.
⇒ a ‘ = 360 −198
a’= 162º
Ejemplo 8:
Indicar cuántos minutos después de la 1 forman ángulo recto las manecillas
de un reloj.
Resolución
Empleando la expresión: H 11M
2
a = ± 
+
y reemplazando los datos tendremos 2 situaciones: (en ambos casos el
Minutero adelanta al Horario; es decir, el “H” esta rezagado, por lo que a esta
manecilla le asignaremos signo negativo).
I) Cuando el menor ángulo es 90º
90 30(1) 11M
2
90 30 11M
2
M 240 21 9 min
11 11
=− +
= − +
⇒ = =
II) Cuando el ángulo sea 270º
(mayor ángulo)
270 30(1) 11M
2
300 11M
2
M 600 54 6 min
11 11
=− +
=
⇒ = =
Habrán dos situaciones entre la 1 y las 2 en las que las agujas del reloj
formarán ángulo recto.
Por primera vez a la 1 con
11
21 9 y Por segunda vez a la 1 con
11
54 6
Ejemplo 9:
A que hora entre las 8 y las 9 el menor ángulo formado por las manecillas del
reloj es la quinta parte del mayor ángulo?
Resolución
Los dos ángulos (menor y mayor) suman 360º
Mayor + Menor = 360º
5x + x = 360º
x = 60º
Este ángulo lo formaron cuando eran las 8h “M” min.
Para calcular «M» aplicamos:
30H 11M
2
60 30(8) 11M
2
a =
=
Considerando signos, puede darse dos situaciones:
I)
11
54 6
11
M 600
M
2
300 11
M
2
60 240 11
= =
=
= − + II)
11
32 8
11
M 360
M 180
2
11
M
2
60 240 11
= =
=
= −
±
±
La hora en que formarán 60º las manecillas será por primera vez a las 8h
8h 32 8 min
11
y por segunda vez a las 8h 54 6 min
11
.
4. Problemas sobre Campanadas
El tiempo que se mide al tocar una cantidad «n» de campanadas siempre
es a partir de una que «marca al poro»; es decir, que la medimos por
intervalos.
Gráficamente:
1 2 3
i i i i i
“n” campanadas
(n-1) intervalos
i = tiempo que demora cada intervalo
Ejemplo 10:
Un reloj señala la hora con igual número de campanas. para indicar las 6
a.m. demoró 15 seg. ¿Cuánto demorará para indicar las 9 a.m.?
Resolución
La solución a este tipo de problemas se hace aplicando «regla de tres
simple», tomando en cuenta los intervalos y generados entre campanada y
campanada.
Es decir:
6 am <> 6 camp 5 int ______ 15 seg
9 am <> 9 camp 8 int ______ x
x 8.15 24 seg
5
= =
⇒ Se demorará 24 segundos
Problemas Propuestos
1. ¿A qué hora de la mañana el tiempo
que marca un reloj es igual a 5/4 de
lo que falta para los doce del medio
día?
a) 10:20 b) 6:40 c) 8:15
d) 9:00 e) 11:45
2. Si fueran 3 horas más tarde de lo que
es, faltaría para acabar el día 5/7 de
lo que faltaría, si es que fuera 3 horas
más temprano. ¿Qué hora es?
a) 05:30 p.m b) 06:30 p.m.
c) 05:00 a.m. d) 06:00 a.m.
e) 06:00 p.m.
3. ¿Qué día del año marcará la hoja
de un almanaque cuando el número
de hojas arrancadas excede en 2
a los 3/8 del número de hojas que
quedan?
a) 10 Abril b) 11 Abril c) 12 Abril
d) 13 Abril e) 14 Abril
4. Un reloj se adelanta dos minutos cada
3 horas. ¿Qué hora será en realidad
cuando marque las 10:15 a.m. si hace
30 horas que viene adelantándose?
a) 10:00 b) 9:59 c) 9:45
d) 9:55 e) 9:50
5. Un reloj se atrasa 1 minuto por
cada hora. Si marcó la hora exacta
por última vez al medio día de un 6
de marzo, ¿en qué fecha próxima
marcará la hora exacta nuevamente?
a) 5 abril b) 4 abril c) 6 abril
d) 7 abril e) 3 abril
6. Un reloj se adelanta a razón de 4
minutos por hora, se pone a la hora
(correcta) a las 2 de la tarde. En la
mañana del día siguiente, se observa
que dicho reloj está marcando las 10
en punto. ¿Cuál es la hora correcta
en ese momento?
a) 8:45 a.m. b) 8:30 a.m.
c) 5:30 a.m. d) 10:45 a.m.
e) 8:15 a.m.
7. ¿Qué ángulo forman las agujas del
reloj, en cada caso?
a) 03:16’20″ b) 11:59 c) 08:17
d) 02:36 e) 06:30
8. Fernandito salió de su casa entre
las 12 y 1 de la tarde, cuando las
agujas del reloj formaban un ángulo
recto (por primera vez); y llegó a su
casa entre las 2 y las 3 de la tarde
del mismo día, cuando las agujas
del reloj se encontraban en una
misma dirección, pero con sentidos
opuestos. Determinar cuánto tiempo
estuvo fuera de su casa Fernandito.
a) 2h 26’16″ b) 2h 28’18″
c) 2h 27’17″ d) 2h 27’19″
e) 2h 27’16″
9. ¿Qué hora marca el reloj mostrado
en la figura?
9
6
4
3
12
a
a
Rpta: _______________
10. Un campanario señala las horas con
igual número de campanadas. Si
para indicar las 05:00 a.m. demora
6 segundos, ¿cuánto demorará para
indicar las 12:00?
a) 15 seg b) 13 seg c) 14,5 seg
d) 16,5 seg e) 17,5 seg
11. Un reloj demora 12 segundos en dar 7
campanadas. ¿Cuántas campanadas
dará en 36 segundos?
a) 16 camp. b) 17 camp.
c) 18 camp. d) 19 camp.
e) 20 camp.
12. Un reloj demora (m+1) segundos
en tocar m2 campanadas. ¿Cuántas
campanadas tocará en 1 segundo?
a) m–1 b) m2–1 c) m
d) m2+1 e) m+2
13. El campanario de un reloj tarda 2
segundos en dar 2 campanadas.
¿Cuántos segundos tardará en dar 3
campanadas?
a) 3 seg b) 4 seg c) 2,5 seg
d) 4,5 seg e) 6 seg
14. ¿Cuál es la relación de la fracción
transcurrida de la semana a la
fracción transcurrida del día cuando
es las 6 a.m. del miércoles?
a) 8/7 b) 1/7 c) 6/7
d) 9/7 e) 13/7
15. Un reloj se adelanta 2 minutos cada
3 horas. ¿A qué hora empezó a
adelantarse si a las 11:15 p.m. señala
11:27?
a) 5:30 a.m. b) 5:45 c) 5:35
d) 6:13 e) 5:15
Tarea Domiciliaria
1. Faltan 5 para las 12. ¿Qué ángulo
estarán formando las agujas del
reloj?
a) 27º b) 28º30’ c) 26º30
d) 27º15’ e) 27º30’
2. Son más de las 3, pero aún no son
las 4. Si los minutos transcurridos
desde las 3 es el triple de los minutos
que faltan transcurrir para que sea las
4, ¿qué hora es?
a) 3:00 b) 3:45 c) 4.00
d) 4:50 e) 3:42
3. ¿Cuántas veces por día aparecen
superpuestas la agujas de un reloj?
a) 12 b) 24 c) 19
d) 22 e) 23
4. Una metralleta dispara 10 balas en el
transcurso de un segundo. ¿Cuántas
balas dispara en un minuto?
a) 600 b) 601 c) 599
d) 540 e) 541
5. Se le preguntó la hora a un profesor
y él responde: «Queda del día, en
horas, la suma de las dos cifras
que forman el número de las horas
transcurridas. ¿Qué hora es?
a) 21 h b) 20 h c) 19 h
d) 23 h e) 18 h
6. Un reloj que dá las horas mediante
campanadas se demora 1 segundo
para dar las 2 horas. ¿Cuántos
segundos se demorará en dar las
4 horas si las campanadas están
igualmente especiadas?
a) 3 seg b) 4 seg c) 5 seg
d) 2 seg e) 6 seg
7. Un reloj se atrasa 10 minutos cada
día. ¿Cuántos días transcurrirán
para alcanzar un punto donde el reloj
indicará la hora correcta?
a) 36 b) 72 c) 120
d) 142 e) 144
8. Un reloj que se adelante 2 minutos
cada hora se sincroniza a media
noche con un reloj que pierde 1
minuto cada hora. ¿Cuántos grados
formarán los minutos de ambos
relojes al medio día?
a) 84º b) 72º c) 0º
d) 180º e) 144º
9. Indicar cuántos minutos después
de la 1 p.m. forman ángulo recto las
manecillas de un reloj.
a) 260/11 min b) 250//11
c) 270/11 d) 300/11
e) 240/11
10. ¿Cuál es el ángulo formado por las
manecillas de un reloj a las 05:10
a.m.?
a) 80º b) 85º c) 95º
d) 90º e) 94,5º
11. Un campanario tarda 4 seg en tocar
5 campanadas. ¿Cuánto tardará en
tocar 10 campanadas?
a) 8 seg b) 9 seg c) 75 seg
d) 10 seg e) 12 seg
12. Una campana toca 3 campanadas
en 7 segundos. ¿Cuántos segundos
tardará en tocar 7 campanadas?
a) 20 seg b) 21 seg c) 22 seg
d) 24 seg e) 23 seg
13. Un campanario señala las horas con
igual número de campanadas. Si
para indicar las 5:00 a.m. demora 8
segundos, ¿cuánto demorará para
indicar las 12:00?
a) 22 b) 21 c) 20
d) 19 e) 18
14. Un reloj de alarma da 145 «bip» en
20 seg. ¿Cuánto se demorará para
dar 37 «bip»?
a) 5 seg b) 7 seg c) 8 seg
d) 14 seg e) 10 seg
15. El campanario de una iglesia estuvo
tocando durante 38 segundos. Si se
escuchan tantas campanadas como
10 veces el tiempo que hay entre
campanada y campanada, ¿cuánto
tiempo empleará este campanario
para tocar 7 campanadas?
a) 10 seg b) 12 seg c) 13 seg
d) 14 seg e) 15 seg
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
E A D E A
6 7 8 9 10
A B E E C
11 12 13 14 15
B B A A B
Operadores Matemáticos
I. Objetivos
* Conocer el concepto de operadores matemáticos.
* Conocer las propiedades de los operadores matemáticos.
* Conocer la definición de la ley de composición interna y sentar las bases
de un buen aprendizaje.
II. Operador Matemático
Es aquel símbolo que representa una operación matemática y emplear su
respectiva regla de definición:
Ejemplo:
Principales Operadores matemáticos y que lo representan:
III. Problemas:
1. Si: a D b = a3 + b2
Calcular: E = (5 D 3) + (2 D 5)
Resolución
3 2
3 2
3 2
a b a b
5 3 5 3 134
2 5 2 5 33
D = +
D = + =
D = + =
Piden:
E = (5 D 3) + (2 D 5)
E = 134 + 33 =
2. Si:
2xy ∗ 3yx = (x + y)2
Calcular: 18 ∗ 24
Resolución
y x 2
2 3 2
2x 3y (x y)
2(3) 3(2) (3 2)
∗ = +
∗ = +
18 ∗ 24 =
3. Dado:
10 20 225
12 10 121
8 12 100
∗ =
∗ =
∗ =
Calcular: A = 8 ∗8
Resolución
Analizando los operadores
determinamos:
2
2
2
10 20 10 20 225
2
12 10 10 12 121
2
8 12 8 12 100
2
∗ =  +  =  
∗ =  +  =  
∗ =  +  =  
Se deduce:
a b 2 a b
2
∗ =  +   
Piden:
8 8 2 8 8
2
∗ =  +  =  
4. Si:
= (a + b + c)2
Calcular:
E =
Resolución
= (a + b + c)2
= (5 + 4 + 80)2 = 892 =
5. Si:
= (n-1)2 ; hallar “x” en:
= 64 ; si x ∈ Z+
Resolución
En la definición:
-1)2
Tomando:
= 64 = 82 = ( 9 -1)2 =
Se deduce:
= 9 = 32 = ( 4 -1)2 =
Se deduce:
= 4 = 22 = ( 3 -1)2 =
\ x = 3
6. Si:
= (a+2)2
Calcular:
A =
Resolución
= (a + 2)2
= (1+ 2)2 = 9
= (9 + 2)2 = 121
= = (121+ 2)3 =
7. Si:
a ∗ b = ab ; b D a = 3 ab
Hallar:
3 4 ∗ 27 − 4 D 27
Resolución
b
27
a b a
4 27 4
∗ =
∗ =
3 b
3 4
b a a
4 27 27
D =
D =
3 3 2 9
3 3
4 27 2
4 27 2 8
∗ = ×
∗ = =
3 3 4
2
4 27 3
4 27 3 9
D = ×
D = =
Calcular:
3 4 ∗ 27 − 4 D 27 = 8 − 9 = −1
8. Se define:
a ∗b = a2 − b2
Resolver:
(( ) )
…….. 1 99 98 2 97 3 A ….. 99 1

∗ ∗
    =   ∗        
Resolución
Por comodidad:
2 2
2 2
a b a b
50 50 50 50 cero
∗ = −
∗ = − =
( )
( )
(50 50) 1 99
o 1 99 1 99
A . … 99 1 … …
A … … 99 1 (1 )
∗ ∗


=   ∗      
    =   ∗   = =    
 
9. Si: a ∗b = 2b2 − 3a
Calcular:
E = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗………
Resolución
2
(E)2 3 3 3 ……… =  ∗ ∗ ∗   
 
E
E = 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗……

2
2
2
E 3 E
E 2E 3(3)
E 2E 9
E 9
= ∗
= −
= −
=
10. Si: x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x)
Hallar: M = 12 * 3
Resolución
( )
[ ]
x y x y 2 y x
x y x y 2 y x 2(x y)
x y x y 2y 2x 4 (x y)
3 (x y) x y
∗ = − + ∗
∗ = − + − + ∗
∗ = − + − + ∗
∗ = −
x y x y
3
∗ = −
12 3 12 3
3
∗ = − =
Problemas Propuestos:
1. Si:
= 3x + 5
Calcular:
E = 9 + 12
a) 43 b) 34 c) 51
d) 24 e) 27
2. Si:
= x2 + 1
Calcular:
A = +
a) 8 b) 36 c) 34
d) 51 e) 27
3. Si se cumple:
m & n = (m+n)m*n
Además: 7 & 2 = 81
2 & 1 = 9
2 & 3 = 25
Calcular:
E = 2020 * 7
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 7
4. Si:
a * b = 3a + b – 8
Calcular:
E = 2 * 6
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 7
5. Conociéndose que:
a b
ad bc
c d
= −
Hallar: “x” en:
3x 1 5 4
8 2 3 x
− −
=
a) –4 b) 4 c) 2
d) 3 e) 5
6. Si:
= a2 + b + c
Calcular:
a) 176 b) 167 c) 180
d) 186 e) 196
7. Dado:
= 2x + 1
Calcular: “a” en:
= 15
a) 2 b) 3 c) 1
d) 0 e) 4
8. Se define:
x (x 1)
2
= +
Calcular “n” en:
= 21
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Se define:
= 1 + 2 + 3 + …. + n ; ∀n∈IN
Hallar “x” en:
= 231
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
10. Se define:
= (x +1)2
Hallar “n” en:
= 100
a) 3 b) 2 c) 2
d) 3 −1 e) 2 −1
11. Si:
Calcular: 10 D 5
a) 225 b) 200 c) 125
d) 325 e) 425
12. Se define:
= 0,125
= 2,7

16
625
=
Calcular:
E = + +
a) 45 b) 50 c) 42
d) 68 e) 53
13. Si:
a ∗b2 = 2 ( b ∗a2 )− ab
Calcular: 2 * 5
a) 2 5 b) 4 5 c) 5 3
d) 3 3 e) 2 3
14. Se define:
a (b ∗a) = a ∗b ; a ∗b > 0
Calcular:
E = 16 * 2
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
15. Si:
= a(a+1)
Calcular: E
E = + + + … +
a) 3060 b) 3080 c) 3040
d) 3050 e) 3090
Tarea Domiciliaria
1. Sabiendo que:
a # b = a2 – ab
Calcular el valor de “m”; si:
(m+2) # (m-1) = m
a) -6 b) -3 c) 6
d) 3 e) 1
2. Si: x y x y
x y
∗ = +

Hallar: 2 4
8 2
− ∗

a) -1/3 b) 1/2 c) -1/5
d) 1/5 e) -1/2
3. Si: m%n m n
m n
= +

Hallar: 1% 1 %5
2 4
 
 
 
a) -4 b) 4 c) 2/5
d) -2/5 e) -3/2
4. Si:
= 2M+1 ……
Si: M ≥ 5
= E+P ; en otros casos.
Calcular:
a) 5 b) 28 c) 36
d) 24 e) 6
5. Si:
2
# 2
N N N
N N N 1
∗ = +
= + +
Además: #
N 42
N
∗ =
Calcular uno de los valores de N:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Si se sabe que:
x y y x 3 ∗ = 2 + 3
Calcular: 2 * 2
a) 536 b) 528 c) 8
d) 105 e) 43
7. Dada la operación conmutativa “D”
definida en:
A = {0,1,2,3}
Calcular: 3−1 +1−1 + 2−1
Obs: a-1 es el inverso “a”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 5 e) 6
8. Sabiendo que: = x(x+2)
Calcular:
1996 veces
Si además: = 35
a) 5 b) 15 c) 10
d) 555 e) 51996
9. Si:
a b 15
2
= + +
= 14
Hallar el valor de:
a) 125 b) 120 c) 205
d) 81 e) 60
10. Si:
= 3p + 2q – 4
Hallar “x” en:
= 64
a) -6 b) 6 c) 8
d) -8 e) 10
11. Si:
7 # 3 43
6 # 2 32
5 #1 23
=
=
=
Entonces calcular: (8 # 4) – (8 # 2)
a) 4 b) 6 c) -6
d) -2 e) -4
12. Si:
xy D yx = 3 x + y
Calcular: 125 D 243
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
13. Si: x2 y3 = x3 – y2
Calcular:
P = 16 125
a) 19 b) 29 c) 39
d) 20 e) 27
14. Si:
xº x 3
x 9
= −

Entonces calcular 9º
a) 1/12 b) 1/6 c) 1/3
d) 1/27 e) 1/81
15. Si: = 2N + 6
y también: = 66
Calcular:
a) 26 b) 38 c) 44
d) 22 e) 18
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
B C A B B
6 7 8 9 10
B E A E B
11 12 13 14 15
E A C B E
Sucesiones
Noción de Sucesión
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, de modo tal que se
puede distinguir el primero, el segundo, el tercero, y así sucesivamente,
acorde con una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia.
A los elementos de este conjunto se les denomina términos de la sucesión.
Observación:
Se entiende que cada término de la sucesión está en “función” a su número
ordinal.
Ejm:
1 2º 3º 4
1 3 5 7
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
º º º º
?? min
( ) (2) (3) (4) ( )
n N ordinal
Tér os de
n la sucesión


− − − − −
1. Hallar el término que continúa en
cada caso:
a) P,U,S,D,T,T,C,…………….?
b) 1/2, 3/2, 3/5, 7/4, ……….?
c) 8,8,16,24,40,……………..?
a) P; 6/11; 72 b) D; 8/12; 84
c) E; 9/20; 96 d) Q; 7/15; 62
e) C; 5/11; 64
2. En un pentágono irregular sus
ángulos interiores están en P.A.
creciente. Hallar el menor ángulo
agudo si se sabe que éste es la
séptima parte del mayor.
a) 20º b) 27º c) 24º
d) 15º e) 18º
3. En una P.A. se sabe que el tercer
término es 8 y el décimo quinto es 44.
Hallar la razón de la progresión y el
décimo término.
a) 4; 32 b) 5; 28 c) 3; 27
d) 3; 29 e) 5; 30
4. Dada la siguiente sucesión:
1, 13, 25, 37, ……………..
a. ¿Cuántos términos son de 3
cifras?
b. ¿Cuántos términos de 3 cifras
terminan en cifra 3?
a) 65; 25 b) 75; 20 c) 85; 15
d) 75; 15 e) 55; 35
5. En una P.G. decreciente se sabe que
el cuarto término es 1/8 del primero.
Además, los dos primeros términos
suman 12. Calcular la suma de
los 10 primeros términos de dicha
progresión.
a) 1021/63 b) 1088/57 c) 1023/63
d) 1024/64 e) 1023/64
Problemas Propuestos
6. El 4to. término de una sucesión
polinomial de 2do. orden es 4 veces
el 1er. término, y la razón constante
es igual al número ordinal del 3er.
término aumentado en 1. Además,
se sabe que el 2do. término de la
sucesión es los 3/2 de la razón. Hallar
la suma de cifras del duodécimo
término.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
7. He repartido tantos caramelos como
el valor del último término de una
sucesión aritmética, en donde a cada
niño le ha tocado 2 veces más el
valor de la razón. Hallar el número de
caramelos que sobran si el número
de términos de la sucesión es igual
al valor del 10mo. término de los “n”
primeros números primos. Además,
el 3er. término de la sucesión es el
cubo del primero y éste es igual al
valor absoluto del coeficiente del 2do.
término del desarrollo de un binomio
al cuadrado.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
8. En el siguiente triángulo numérico:
6 F1
6 12 F2
6 18 18 F3
6 24 36 24 F4
6 30 60 60 30 F5
→
→
→
→
→

Hallar la suma de dos términos
centrales de la fila diez.
a) 2662 b) 2773 c) 2772
d) 218 e) 1768
9. ¿Cuál es el último término de la
siguiente sucesión:
3, 10, 17, 24, ……………
si para escribirla se han utilizado 180
cifras?
a) 328 b) 729 c) 451
d) 452 e) 450
10. Se escribe la sucesión de los números
naturales y nos detenemos cuando
marcamos 412 veces la cifra 8. ¿Cuál
es el último número de la sucesión?
a) 1385 b) 1538 c) 1512
d) 1472 e) 1583
11. Una pareja de conejos da cría cada
mes, dando origen a otra pareja; cada
una de las nuevas parejas pueden dar
cría a partir del segundo mes de vida.
Sin considerar la posibilidad de que
alguno muera, se pregunta: ¿cuántas
parejas de conejos habrá al cabo de
8 meses.
a) 85 b) 64 c) 256
d) 110 e) 55
12. ¿Qué figura no guarda relación con
las demás?
a) b)
c) d)
e)
13. ¿Qué letra continua en cada caso?
* A, E, H, J, ………………………..
* J, L, H, J, F, H, …………………
* U, T, C, S, ……………………..
* E, U, F, D, M, T, ……………..
a) L; K; P; A b) M; L; K; R
c) N; Ñ; P; T d) K; D; N; R
e) K; D; N; A
14. Hallar el “tn” en cada caso y dar como
respuesta la suma de los resultados.
* 5, 7, 9, 11,………..
* 2, 5, 10, 17,……….
* 1/2, 1/6, 1/12, 1/20, …………….
a) (n3 + 3n2 + 6n + 4)(n +1)
b) (n3 + n2 + n)(n −1)
c) n2 + 2n
d) (n3 + 2n)/ n
e) (n4 + 3n3 + 6n2 + n +1) / (n2 + n)
15. ¿Qué término continúa en cada caso?
Dar como respuesta la suma de los
resultados.
* 2, 6, 10, 12, 18, 18,……………
* 3, 8, 15, 24,……………………….
* 1, 2, 4, 10, 34,……………………
* 3, 7, 15, 31,……………………….
a) 192 b) 456 c) 220
d) 173 e) 278
Tarea Domiciliaria
Enunciado: En cada uno de los
siguientes casos diga que número
sigue:
1. 114; 57; 54; 27; 24; 12; ………….
a) 7 b) 8 c) 9
d) 12 e) 20
2. 8; 10; 20; 18; 9; 11; …………..
a) 20 b) 22 c) 28
d) 30 e) 32
3. 6; 8; 10; 11; 14; 14; ………………
a) 17; 18 b) 18; 17 c) 16; 17
d) 16; 18 e) 15; 15
4. 1; 3; 11; 43; 171; ……………..
a) 720 b) 683 c) 90
d) 120 e) 820
5. 2; 4; 1; 4; 9; 3; ……………
a) 20 b) 21 c) 30
d) 32 e) 16
6. 0; 7; 26; 63; …………..
a) 120 b) 25 c) 125
d) 124 e) 64
7. 0; 1; 1; 2; 4; 7; 13; ………….
a) 21 b) 22 c) 24
d) 28 e) 31
8. 1; 1; 2; 3; 5; 8; …………….
a) 13 b) 21 c) 34
d) 37 e) 45
9. 4; 2; 2; 4; 16; …………..
a) 16 b) 256 c) 24
d) 128 e) 32
Enunciado: En cada uno de los
siguientes casos diga Ud. que letra
contínua:
10. A; D; H; M; ………..
a) P b) Q c) R
d) S e) T
11. C; A; D; B; E; C; ………….
a) F; E b) E; F c) D; F
d) F; D e) G; H
12. I, V; E; R; P; E; ……………
a) A b) B c) C
d) D e) L
13. U; D; T; C; C; ……………
a) R b) S c) T
d) W e) Y
14. E; L; F; M; M; M; …………..
a) A; J b) J; A c) L; X
d) F; P e) P; Q
15. O; D; T; C; ………….
a) P b) Q c) R
d) S e) T
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
C B B B B
6 7 8 9 10
D C A D C
11 12 13 14 15
D C B A B
Series
Noción de Serie
Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión
numérica y su resultado representa el valor de la serie.
Ejemplo:
Serie Lineal o Aritmética
Ejemplo:
Hallar el valor de la siguiente serie:
50 TÉRMINOS
S = 4 + 7 +10 +13 + ……. +154

Resolución
25 VECES
S 158 158 158 ….. 158
158 (25)
= + + + +
=

Ordenando:
S (4 154) 50
2
= + =
En general:
En toda serie aritmética:
⇒ 2 1
3 1
4 1
t t r
t t 2r
t t 3r
= +
= +
= +

Además:
Donde:
r : razón aritmética
t1 : primer término
tn : último término o enésimo término
n : número de términos
Ejemplo:
Hallar el valor de la siguiente serie:
30 TÉRMINOS
S = 7 +12 +17 + 22 + …. +152

Resolución
S 7 152 30 2385
2
=  +  =  
 
Serie Geométrica
Sea:
Los términos de una progresión geométrica de razón constante “q”.

Donde el valor de la serie la obtenemos a partir de:
Serie geométrica decreciente de infinitos términos (0 Ejemplo:
S 1 1 1 1 1 .......
2 4 8 16
= + + + + +
Resolución
Se observa: 1er. término : 1 Razón: 1
2
⇒ LÍMITE
S 1 1 1 1 1
2 2
= = =

Series y Sumas Notables
a.
"n" términos
1+ 2 + 3 + 4 + ...... + n =

b.
"n" términos
2 + 4 + 6 + 8 +10 + ...... + 2n =

c.
"n" términos
1+ 3 + 5 + 7 + ...... + (2n −1) =

d. 2 2 2 2 2
"n" sumandos
1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n =

e. 3 3 3 3 3
"n" sumandos
1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n =

f. a1 + a2 + a3 + ....... + an =
Problemas Propuestos
1. Sabiendo que la suma de veinte
números impares consecutivos
es 400. Hallar la suma de los 20
posteriores a los 20 siguientes
números impares consecutivos, si
todos son positivos.
a) 1800 b) 2000 c) 800
d) 2400 e) 3200
2. Hallar la suma de:
20 cifras
S = 7 + 77 + 777 +.... + 777....777

a) 7 (1021 200)
10

b) 7 (1021 190)
81

c) 7 (1020 190)
9

d) 7 (1021 90)
99

e) 7 (1020 20)
10

3. Los números x, x+4, x+16, .... son los
tres primeros términos de una P.G.
Hallar la suma de los 10 primeros.
a) 39+1 b) 310-1 c) 39-3
d) 310 e)
39 1
2

4. Hallar la suma de:
a) 7200 b) 3600 c) 14400
d) 2250 e) 9000
5. Calcule el valor de "S"
2n 1 términos
2 2 2
n términos
S 1 2 2 3 3 4 4 5 .....
1 3 5 .......

= × + × + × + × +
+ + +


a)
n(n 1)
2
+
b) 1 c) 2
d) 2n 1
n

e) n
6. Calcular la suma en:
100 sumandos
S = 4 − 6 + 8 −10 +12 −14 +.......

a) 100 b) 0 c) 2
d) -100 e) -50
7. Calcular:
S = 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − 62 + .... +192 − 202
a) 200 b) 120 c) –210
d) 140 e) 320
8. LINA lee El conflicto de los siglos de
la siguiente manera: El 1er. día, 3;
páginas, el 2do. día, 6 páginas; el 3er.
día, 9 páginas; el 4to. día, 12 páginas;
y así sucesivamente. Mientras que
EMERSON lee el 1er. día, 13; el 2do.
día, 16; el 3er. día, 19; el 4to día, 22;
y así sucesivamente. Si empiezan
un 14 de febrero, ¿en qué fecha
EMERSON habrá leído 100 páginas
más que LINA?
a) 22 de febrero
b) 23 de febrero
c) 28 de febrero
d) 24 de febrero
e) 25 de febrero
9. Hallar el resultado de la siguiente
serie:
S = 2 +12 + 36 + 80 +..... +1100
a) 4000 b) 3410 c) 5200
d) 300 e) 3950
10. Hallar el resultado de la siguiente
serie:
A 1 1 1 ... 1
6 15 10 21 14 27 42 69
= + + + +
× × × ×
a) 5
210
b) 5
207
c) 1
2
d) 7
200
e) 13
90
11. Hallar el valor de la siguiente serie:
E 1 5 9 ......
6 36 216
= + + +
a) 1 b) 3
4
c) 1
3
d) 1
2
e) 9
25
12. Si:
1
2
3
4
S 2
S 4 6
S 8 10 12
S 14 16 18 20
=
= +
= + +
= + + +

Hallar: S20
a) 8010 b) 8000 c) 8200
d) 8030 e) 8020
13. Efectuar:
S = 1• 2 + 2• 3 + 3 • 4 +..... + 23 • 24
a) 4200 b) 4800 c) 4900
d) 4500 e) 4600
14. Determine el valor de "E" si:
E = 18 •1+17 • 2 +16 • 3 +.... +1•18
a) 1150 b) 1160 c) 1120
d) 1140 e) 1130
15. Hallar la suma de los 30 términos de
la sucesión:
7 , 16 , 29 , 46 , ......
a) 57 270 b) 57 720 c) 58 700
d) 20 365 e) 57 700
Tarea Domiciliaria
1. Hallar la suma de:
40 sumandos
S = 1× 3 − 3× 5 + 5× 7 − 7× 9 + .....

a) 3120 b) 2431 c) 3280
d) 5321 e) 4900
2. Se tiene una P.A. cuya razón es
5; se sabe que la suma de sus 10
primeros términos es "S". Hallar la
suma de los 10 términos posteriores
a los 10 siguientes, respecto a los 10
primeros.
a) S+100 b) S+1000 c) S+900
d) S+10000 e) S+100 000
3. Hallar el valor de:
E = 0,01 + 0,02 + 0,03 + .... + 2
a) 2 b) 10 c) 2,01
d) 201 e) 2,001
4. Hallar el valor de "E"
E 1 1 1 .... 1
2 5 5 8 8 11 23 26
= + + + +
× × × ×
a)
2
23 b) 1
13 c) 3
26
d) 2
13 e)
1
520
5. Hallar el valor de "S" en:
S 1 5 19 65 .....
2 3 4 9 8 27 16 81
= + + + +
× × × ×
a) 1 b) 1
5
c) 1
2
d) 10
9
e) 2
3
6. Hallar el valor de "S" sabiendo que es
máximo:
"2n" sumandos
S = 2 + 402 + 4 + 396 + 6 + 390 +.....

a) 26 480 b) 20 604 c) 24 065
d) 24 682 e) 21 539
7. Hallar el valor de la siguiente serie:
S = S1 + S2 + S3 + S4 + ..... + S40
Donde:
n
"n" sumandos
S = 80 + 78 + 76 + 74 + 72 +......

a) 44 000 b) 4400 c) 44 280
d) 88 024 e) 84 240
8. Se tiene una sucesión cuyo término
enésimo está dado por:
3 2
tn = 3n − 2n + 5n + 3
calcular la suma de sus 20 primeros
términos.
a) 75 880 b) 138 080 c) 128 890
d) 127 670 e) 125 480
9. Calcular:
S 1 1 1 ..... 1
4 9 9 14 14 19 64 69
= + + + +
× × × ×
a) 13
276
b) 13
66
c) 31
132
d) 17
276
e) 37
132
10. Hallar:
S = 3125+2500+2000+1600+...
a) 25 255 b) 15 000 c) 78 125
d) 8400 e) 15 625
11. Calcular "S"
S 2 3 4 5 .....
3 9 27 81
= + + + +
a) 1
5
b) 2
5
c) 3
4
d) 4
3
e) 5
4
12. Hallar:
2 3 4
M 1 2 3 4 .......
2 2 2 2
= + + +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13. Calcular:
E 1 1 1 .... 1
1 2 2 3 3 4 20 21
= + + + +
× × × ×
a) 10
21
b) 20
33
c) 19
20
d) 15
16
e) 20
21
14. Calcular la suma de cifras del
resultado de la siguiente serie:
E = 99 + 110 + 121 + ..... + 693
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
15. Calcular "S" (dar como respuesta la
suma de cifras)
10 cifras
S = 3 + 33 + 333 +.... + 33.......33

a) 25 b) 30 c) 35
d) 32 e) 28
CLAVES DE RESPUESTA
1 2 3 4 5
C B D D C
6 7 8 9 10
B C D A E
11 12 13 14 15
E B E C B
Objetivos
* Esclarecer y profundizar el concepto de fracciones.
* Resolver ejercicios y problemas de aplicación aplicando el concepto y las
propiedades de las fracciones.
Definición
Una fracción, es una expresión de la forma a
b , tal que a ∈ Z y b ∈ Z+.
Además: a
b origina decimal
Donde:
"a": Es el numerador y representa las partes que se toma de la unidad.
"b": Es el denominador e indica las partes en que se divide la unidad.
Ejemplo:
f = 4
5 ; se grafica:
15
15
15
15
Unidad
45
Clasificación de Fracciones
a) Fracción Propia
Sea: f = a
b ; f es propia si b > a
Ejemplo: 3 ; 7 ; 2
5 9 5
b) Fracción Impropia
Sea: f = a
b ; f es impropia, si a > b.
Ejemplo: 4 ; 7 ; 11
3 4 9
Fracciones
Nota:
Toda fracción impropia se puede expresar:
Ejemplos:
7 13
4 4
= ;
3 1 1
2 2
=
c) Fracciones Reductibles
Es cuando el numerador y el denominador no son primos entre sí, es
decir son simplificables.
Ejemplo: 8 ; 6
4 2
d) Fracciones Irreductibles
Es cuando el numerador y el denominador sí son primos entre sí, es decir
no son simplificables.
Ejemplo: 3 ; 13 ; 7
4 17 2
e) Fracción Decimal
Cuando el denominador es una potencia de 10.
Ejemplo: 6 ; 37 ; 33
100 10 1000
f ) Fracción Ordinaria
Es cuando el denominador no es una potencia de 10.
Ejemplo: 3 7 ;5
9
g) Fracciones Equivalente
Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por una
misma cantidad, la fracción no varía.
Ejemplo:
3 21
5 35
= son equivalentes (se ha multilicado al numerador y
denominador por 7).
30 6
25 5
= son equivalentes (se ha dividido al numerador y
denominador por 5).
Variación del valor de una fracción
i. Si: f = a
b es una fracción propia, entonces:
a) a m a
b m b
+ >
+
b) a m a
b m b
− <

ii. Si: f = a
b es una fracción impropia, entonces:
a) a m a
b m b
+ <
+
b) a m a
b m b
− >

Signos de una fracción
En una fracción debe distinguirse 3 signos.
- El signo que antecede a la fracción.
- El signo del numerador.
- El signo del denominador.
f ( ) a
b
= + +
+
Cambio de signo de una fracción
Si de los tres signos de una fracción se cambia dos de ellos, la fracción no
varía.
Ejemplo: 3 3 3 3
x x x x
− = = − − = −
− −
Ejercicio:
Calcular el valor de:
b y
x a y b
x y a b a x
E 4y x 5b a

− −
− − −
− −
 
   =  +          
Resolución:
Como:
x y (x y) 1
y x (x y)
− = − − = −
− −
Análogamente:
a b
b a

− = -1 ; x a
a x

− = -1 ;
b y
y b

− = -1
Reemplazando tendremos:
1 1 E 4 1 5 1 9
20
− − =  − + −   =   
Fracción de un número dado
(de, del, de los 〈 〉 a multiplicar)
Calcular:
a
b de N = a
b · N
Ejemplos:
Calcular los 2
5 de los 25
16 de 160 = 2·25
5 16 · 160 = 100
Calcular los 2
5 de los 95
de los 5
4 de 120 = 2·9·5
3 5 4
· 120 = 180
Método de reducción a la unidad
Este método se aplica en aquellos problemas que relacionan: obra, trabajo,
caños, grifos, piscinas, desagües, etc. donde no se conoce la magnitud del
trabajo o tarea pero su es conocido el tiempo total que se necesita para hacer
dicha obra.
El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo,
para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total, así por ejemplo:
1. Si José hace una obra en 8 días, ¿qué parte del obra hace en 1 día?
Rpta.: En un día hace 1
8
de la obra.
2. Si un trabajo se hace en 6 horas, en 1 hora hace 1
6
de la obra.
De manera similar, si deseamos calcular el tiempo total basta invertir el
avance por unidad de tiempo, por ejemplo:
1. Si en 1 hora hace 1/3 de una obra, todo lo hace en 3 horas.
2. Un caño en 1 hora llena 1/7 de un tanque, todo lo llena en 7 horas.
Ejercicio 1:
Ricardo hace un trabajo en 5 días y Roberto en 3 días. ¿En qué tiempo lo
hacen juntos?
Resolución:
Ricardo en 1 día hace 1/5 de la obra.
Roberto en 1 día hace 1/3 de la obra.
Luego juntos en 1 día hacen:
1 1 8
5 3 15
+ = de la obra.
Problemas Resueltos
1. Se tiene una fracción equivalente a , cuya suma de términos es igual a 66. Calcular
la diferencia de ambos términos.
Resolución:
( )
( )
52 4 13 4k
91 7 13 7k
= = ⇒
4k 7k 66
11k 66 k 6
+ =
= ⇒ =
Números: 4(6) = 24
7(6) = 42
42 – 24 = 18
2. Un vendedor de periódicos dejó 1
5
de los períodicos que llevaba en una oficina,
los 38
del resto en una clínica. Si áun le quedan 20 periódicos por vender,
¿cuántos periódicos tenía para distribuir?
Resolución
Número de periódicos: x
Oficina: 38
, queda 4x
5
Clínica: 3 4x
8 7
 
 
 
queda: 5 4x
8 7
 
 
 
Dato: 5 4x
8 7
 
 
 
= 90 ⇒ x = 40
# periódicos: 40
27
540 L
v 45
v
3. Si a un tanque de agua le agrega
1
3 de lo que tiene, obtendré 56 litros más que la
mitad de lo que habrá. ¿Cuántos litros de agua hay en el tanque?
Resolución:
Número de litros del tanque: x
Número de litros que habrá: x x 4x
3 3
+ =
Dato:
x x 56 4x 4x 56 x 84
3 6 6
+ = + ⇒ = ⇒ =
Número de litros que hay en el tanque: 84 litros
4. Hallar el resultado de:
S = 0,037 + 0,074 + 0,1 + ……. + 1,259
Resolución:
0,0