FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c PROBLEMAS RESUELTOS

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Factorización de un trinomio de la forma: ax2 + bx+ c
ax2 + bx + c; (a ¹ 1)
Cuando el coeficiente del primer término de un trinomio no es la unidad, para factorizar dichos trinomios, se emplea el siguiente desarrollo.
Ejemplo 1 Factorizar: 2×2 + 7x + 6
Resolución:
Para factorizar se hará como sigue:
1o Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término indicando multiplicación en el segundo término, para conservar su coeficiente.
O sea:
Siendo: 2×2 + 7x + 6 se multiplica cada término por 2, obteniendo:
2·2×2 + 2·7x + 2·6
4×2 + 2 · 7x + 12
2o Se extrae la raíz cuadrada del primer término de esta última expresión, lo cual nos servirá como primer término de los dos factores binomios.
O sea:
3o Se buscan dos números tales que multiplicados den el tercer término ya multiplicado y cuya suma sea el coeficiente no multiplicado del segundo miembro.
Producto = 12 = 4 · 3
Suma = 7 = 4 + 3
4o Se forman los dos factores binomios con los términos así encontrados, o sea con la raíz cuadrada como primer término de cada uno de los binomios y con los números encontrados como los segundos términos.
(2x + 4)(2x + 3)
5o Se divide el producto indicado de dichos factores binomios entre el coeficiente del primer término, para anular la multiplicación anterior.

6o Se extrae factor común en uno o en los dos factores binomios, según el caso, para la simplificación:

7o Se simplifica, el producto de los dos factores binomios que queda en la factorización del trinomio.
2×2 + 7x + 6 = (x + 2)(2x + 3)
· Otra forma:
De factorizar estos trinomios es utilizando el Método del Aspa estudiado en el caso anterior.
2×2+7x +6
2x +3 +3x
x +2 +4x
+7x
Ejemplo 2 Factorizar: 3×2 – 10x – 8
Método: Multiplicando y dividiendo por el coeficiente del primer término.
1o Multiplicamos por 3
3(3×2) – 3(10x) – 3(8)
(3x)2 – 10(3x) – 24
2o Factorizando, obtenemos:
(3x)2 – 10(3x) – 24 = (3x – 12)(3x + 2)
3o Dividimos entre 3
; sacamos factor común “3″ del primer paréntesis
Simplificación queda: (x – 4)(3x + 2)
\ 3×2 – 10x – 8 = (x – 4)(3x + 2)
· Método del aspa:
3×2 – 10x – 8

3x +2 +2x
x -4 -12x
-10x
Ejemplo 3 Factorizar: 5×2 – 17x – 12
Resolución:
5×2 – 17x – 12

5x +3 +3x
x -4 -20x
-17x
Ejemplo 4 Factorizar: 3×2 + 23x – 36
Resolución:
3×2 + 23x – 36

3x -4 -4x
x +9 +27x
+23x
1 Factoriza cada uno de los trinomios siguientes:
a) 2×2 + x – 10 = e) 4×2 – 5x – 21 = i) 3×2 + 2x – 1 = m) 6×2 + 7x – 3 =
b) 2×2 + 13x – 24 = f) 2×2 + 5x – 3 = j) 2×2 – x – 15 = n) 10×2 + 17x + 6 =
c) 3×2 + 14x + 8 = g) 5×2 – 28x – 12 = k) 5×2 + 31x + 6 = o) 4×2 + 8x – 21 =
d) 3×2 + 35x – 12 = h) 4×2 + 25x + 6 = l) 4×2 + 5x – 21 =
2 Factoriza cada uno de los trinomios siguientes:
a) 3×2 – 2 – 5x = e) 2×2 – 7 – 5x = i) 7×2 – 6 – 19x = m) 6×2 – 2 – x =
b) 2×2 – 18 – 9x = f) 6×2 + 3 + 19x = j) 2×2 – 54 – 3x = n) 10×2 + 3 – 13x =
c) 4×2 – 3 – 11x = g) 8×2 – 10 – 11x = k) 3×2 – 32 – 4x = o) 12×2 -2 + 5x =
d) 5×2 – 4 – 8x = h) 4×2 + 3 + 13x = l) 5×2 – 16 – 38x =
Para factorizar completamente un polinomio real en “x”, se aconseja a seguir los pasos siguientes:
1. Analizar si tiene un factor común monomio.
2. Determinar si es una diferencia de cuadrados, una diferencia de cubos o una suma de cubos.
3. Analizar si es un trinomio cuadrado perfecto.
4. Si no es un trinomio cuadrado perfecto, determinar si es de la forma: x2+bx+c; o de la forma: ax2+bx+c; siendo a ¹ 1
5. Si el polinomio tiene cuatro o más términos, determinar si es posible agrupar sus términos de modo que tengan un factor común.
6. Asegurarse que cada factor es primo, y luego comprobar el trabajo realizado multiplicando los factores.