GEOMETRIA ANALITICA CUARTO DE SECUNDARIA – 4 ESO EJERCICIOS RESUELTOS PDF










Introducción a la GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA:
- Coordenadas de puntos y vectores.
- Distancia entre dos puntos. Módulo de un vector.
- Ecuación general y explícita de la recta.
- Cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.
- Incidencia y paralelismo entre rectas.
- Ecuación de la circunferencia.
DEBERÁS RECORDAR
■ Algunas propiedades de los paralelogramos.
■ Algunas formas de la ecuación de una recta.
■ Sistemas de ecuaciones lineales con y sin solución.
Con la invención de la Geometría Analítica se pone
de manifiesto, una vez más, que las grandes creaciones
humanas son fruto de una época, de un momento
histórico cuyas circunstancias lo propician. Solo falta
el personaje genial que lo lleve a efecto. En este caso
fueron dos franceses, Descartes y Fermat, quienes la
desarrollaron independiente y casi simultáneamente.
René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático,
en su obra El discurso del Método incluyó una parte
final llamada “Geometría” en la que se detalla cómo
se aplica el álgebra a la resolución de algunos problemas
geométricos con la ayuda de un sistema de coordenadas.
Coordenadas cartesianas se llamaron, pues
en aquella época los textos científicos se escribían en
latín y Descartes latinizó su nombre: Cartesius.
Pierre de Fermat (1601-1655), abogado, político y
matemático por afición, desarrolló un sistema similar
al de Descartes: aplicó los métodos algebraicos al
tratamiento de figuras geométricas representadas en
unos ejes de coordenadas rectangulares. Esto lo describió
en 1636, un año antes que Descartes, pero no
fue publicado hasta después de su muerte, por lo que
su obra no ejerció tanta influencia como la de aquel.
Por eso es frecuente atribuir solo a Descartes la invención
de la Geometría Analítica, olvidando la contribución
de Fermat que, incluso, llegó un poco antes.
La utilización de los vectores en la geometría (los físicos
ya los usaban hacía tiempo) llegó en el siglo xix
por medio de Gauss, Möbius y Bellavilis.
Geometría
analítica
84 1 Vectores en el plano
En un sistema de ejes cartesianos, cada punto se describe mediante sus coordenadas:
A(1, 4), B(6, 6).
La flecha que va de A a B se llama vector y se representa por
8
AB. Es el vector
de origen A y extremo B.
Al vector
8
AB podríamos describirlo así: desde A avanzamos 5 unidades en el
sentido de las X y subimos dos unidades en el sentido de las Y.
Eso se dice más brevemente así: las coordenadas de
8
AB son (5, 2).
O, mejor, así …………..
8
AB = (5, 2).
O, simplemente, así ….
8
AB(5, 2).
Las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas de su origen
a las de su extremo:
B(6, 6), A(1, 4)
8
AB = (6, 6) – (1, 4) = (5, 2)
Módulo de un vector,
8
AB, es la distancia de A a B. Se designa así: |
8
AB|. Si
las coordenadas de
8
AB son (x, y), entonces |
8
AB| = √x2 + y2.
Dirección de un vector es la de la recta en la que se encuentra y la de todas sus
paralelas.
Cada dirección admite dos sentidos opuestos.
Por ejemplo,
8
PQ y
8
PR son vectores de sentidos
opuestos.
P
Q
R
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección
y el mismo sentido. En tal caso, tienen las mismas coordenadas.
1 Representa los vectores
8
AB y
8
CD, siendo A(1, 1),
B(–2, 7), C(6, 0), D(3, 6) y observa que son iguales.
Comprueba que
8
AB =
8
CD hallando sus coordenadas.
Calcula su módulo.
2 Tenemos tres puntos de coordenadas:
A(3, –1), B(4, 6), C(0, 0)
Halla las coordenadas del punto D para que los vectores
8
AB y
8
CD sean iguales.
Actividades
Dos vectores iguales
8
AB =
8
A’B’ situados
en rectas distintas (y, por tanto,
paralelas) determinan un paralelogramo
ABB’A’.
B’
A A’
B
Igualdad de vectores
A(1, 3), B(4, 8), A’(2, –3), B’(5, 2). Comprobar que los vectores
8
AB y 8
A’B’ son iguales.
Representándolos, observamos que tienen el mismo módulo, la misma dirección
y el mismo sentido. Pero también podemos comprobarlo mediante sus
coordenadas:
Coordenadas de
8
AB: (4, 8) – (1, 3) = (3, 5)
8
AB(3, 5)
Coordenadas de
8
A’B': (5, 2) – (2, –3) = (3, 5)
8
A’B'(3, 5)
° ¢°
£¢
8
AB =
8
A’B’
Ejercicio resuelto
8
AB(5, 2) B(6, 6)
A(1, 4)
5 2
B’
A
B
A’
UNIDAD
8
85
Producto de un vector por un número
El producto de un número k por un vector 8v
es otro vector k8v
que
tiene:
• Módulo: igual al producto del módulo de 8v
por el valor absoluto de k:
|k8v
| = |k| |8v
|
• Dirección: la misma que 8v
.
• Sentido: el mismo que el de 8v
o su opuesto, según k sea positivo o negativo,
respectivamente.
–2v
8 –v8 0v 8 = 08
0,5v 8 1,5v 8 8v
El producto 08v
es igual al vector cero,
80
. Es un vector cuyo origen y extremo
coinciden y, por tanto, su módulo es cero. Carece de dirección.
El vector –18v
se designa por –8v
y se llama opuesto de 8v
.
Las coordenadas del vector k8v
se obtienen multiplicando por
k las coordenadas
de 8v
. Las coordenadas de
8 0 son (0, 0). Las coordenadas de –8v
son las
opuestas de las coordenadas de 8v
.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores, 8u
y 8v
, se procede del siguiente
modo: se sitúa 8v
a continuación de 8u
, de
manera que el origen de 8v
coincida con el extremo
de 8u
. La suma 8u
+ 8v
es el vector cuyo origen es
el de 8u
y extremo el de 8v
.
8v
8v
8u
8u
u8 + v8
Las coordenadas del vector 8u
+ 8v
se obtienen sumando las coordenadas de 8u
con las de 8v. Por ejemplo:
8u
(7, –3) , 8v
(4, 5) 8 8u
+ 8v
= (7 + 4, –3 + 5) = (11, 2)
Resta de vectores
Para restar dos vectores, 8u
y 8v
, se le suma a 8u
el
opuesto de 8v
:
8u
– 8v
= 8u
+ (–8v
) 8v
8u
8u
u8 – v8
–v8
Las coordenadas del vector 8u
– 8v
se obtienen restándole a las coordenadas de
8u
las de 8v
. Por ejemplo:
8u
(7, –3), 8v
(4, 5) 8 8u
– 8v
= (7 – 4, –3 – 5) = (3, –8)
2 Operaciones con vectores
Los vectores se designan también
mediante una letra minúscula con
una flechita encima. Para ello, se suelen
utilizar las letras 8u
, 8v
, 8w
, y, si
se necesitan más, 8x
, 8y
, 8z
.
Notación
1 a) Representa los vectores 8u
=
8
AB,
8v
=
8 vect
BC, siendo A(1, 3), B(4, 5),
C(6, –2). Halla sus coordenadas.
b) Representa 8u
+ 8v
y halla sus
coordenadas.
c) Representa 38u
, –28u
y 08v
y
halla sus coordenadas.
d) Representa y halla las coordenadas
del vector 38 coorde
u – 48 v.
2 Representa y halla las coordenadas
de los vectores:
8w
= 28u
+ 8v
, 8p
= 8u
– 8v y
8q
= –8u
+ 12
8v
,
siendo 8u
(3, –1) y 8v
(–4, 2).
Entrénate
86 3 Punto medio de un segmento y puntos alineados
Si A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces las coordenadas
del punto medio del segmento AB son:
M = (x1 + x2
2
,
y1 + y2
2 )
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las
coordenadas de sus extremos.
Por ejemplo, el punto medio del segmento de extremos A(–2, 1) y B(4, 3) es
M = (–2 + 4
2
, 1 + 3
2 ) = (1, 2).
Comprobación de que tres puntos están alineados
Los puntos A, B y C están alineados
siempre que los vectores
8
AB y
8
BC
tengan la misma dirección, y esto ocurre
A(x1, y1) si sus coordenadas son proporcionales.
B(x2, y2)
C(x3, y3)
A, B y C están alineados si
8
AB //
8
BC; es decir, si las coordenadas del vector
(x2 – x1, y2 – y1) son proporcionales a las de (x3 – x2, y3 – y2).
A(x1, y1)
B(x2, y2)
O
M
Si M es el punto medio de AB, se
dice que B es el simétrico de A
respecto de M.
Punto simétrico
El símbolo // puesto entre dos vectores
denota que son paralelos; es
decir, que tienen la misma dirección.
Notación
Comprobar si los puntos A(2, –1), B(6, 1), C(8, 2) están alineados.
8
AB = (6 – 2, 1 – (–1)) = (4, 2)
8
BC = (8 – 6, 2 – 1) = (2, 1)
° ¢°
£¢
Las coordenadas son proporcionales,
pues 2 · (2, 1) = (4, 2).
Por tanto,
8
AB //
8
BC y los puntos están alineados.
Ejercicio resuelto
1 Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes
segmentos:
a) A(–2, 5), B(4, 1) b)P(7, –3), Q(–5, 1)
c) R(1, 4), S(7, 2) d)A(–3, 5), B(4, 0)
2 Si conocemos el punto medio del segmento AB,
M(4, 4), y uno de los extremos es A(7, 2), ¿cuáles
son las coordenadas de B?
3 Halla las coordenadas del punto simétrico de A respecto
de P en los siguientes casos:
a) A(4, –1), P(–7, 2)
b)A(2, 4), P(5, –1)
4 Comprueba si R(2, 7), S(5, –1) y T (15, –25) están
alineados.
5 Averigua el valor de a para que los puntos R(2, 7),
S(5, –1) y Q (a, –25) estén alineados.
Actividades
UNIDAD
8
87
4 Ecuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidad
Una recta queda determinada por dos puntos. A partir de ellos, como ya sabemos,
se obtiene la pendiente, m =
y2 – y1
x2 – x1
, y, con ellos, la
ecuación de la recta: y = y1 + m(x – x1)
El vector
8
AB que une los dos puntos se llama vector dirección
de la recta.
Por ejemplo, la recta r que pasa por A(3, 7) y B(8, –3) tiene como vector dirección
a
8
AB(5, –10) o cualquier otro vector paralelo a él, como el (1, –2). La
pendiente de esta recta es: m = –3 – 7
8 – 3
= –10
5
= –2
Su ecuación es: y = 7 – 2(x – 3); es decir, y = –2x + 13
Vector dirección de una recta es cualquier vector paralelo a ella. Si
A y B
son puntos de la recta,
8 AB es un vector dirección de ella.
Si
8d
(a, b) es un vector dirección de r, su pendiente es: m = ba
1 Halla la ecuación de la recta que pasa por:
a) A(1, 3), B(5, 5) b) A(1, 6), B(8, –2)
2 Halla la ecuación de la recta que pasa por (7, –5) y
tiene por vector dirección (7, – 4).
3 Halla la recta paralela a 5x – 6y + 14 = 0 que pasa
por (0, –3).
4 Halla la recta paralela a 5y – 10 = 0 que pasa por
(2, 4).
Actividades
La pendiente de una recta dada por
su ecuación es el coeficiente de la x
cuando la y está despejada.
Recuerda
r
A(3, 7)
B(8, –3)
(1, –2)
8
AB(5, –10)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
A
1. Hallar la ecuación de la recta
que pasa por A(–2, 3) y
B(6, 7).
2. Hallar la ecuación de la recta
que pasa por (5, –3) y tiene
por vector dirección
8
d(3, 2).
3.Hallar la ecuación de la recta
paralela a r : 2x + 5y – 4 = 0
que pasa por:
a) (0, 0) b)(4, –3)
Ejercicios resueltos
1. Un vector dirección es
8
AB(8, 4). Otro vector dirección:
8d
(2, 1)
Pendiente: m = 12
. Ecuación: y = 3 + 12
(x + 2) 8 y = 12
x + 4
2. Su pendiente es: m = 23
Su ecuación es: y = –3 + 23
(x – 5)
3. Puesto que la rectas que nos piden son paralelas a r (tienen su misma pendiente),
empezamos hallando la pendiente de r. Para ello, despejamos la y
y nos fijamos en el coeficiente de la x:
2x + 5 x y 5y – 4 = 0 8 y = – 25
x + 45
Pendiente: m = –25
a) Pasa por (0, 0) y su pendiente es –25
8 y = – 25
x
b) Pasa por (4, –3) y su pendiente es –25
8 y = –3 – 25
(x – 4)
Vector perpendicular a otro
Los vectores 8v
1(5, 2) y 8v
2(–2, 5) son perpendiculares. Se justifica observando,
en la gráfica del margen, que los dos triángulos sombreados son iguales y, por
tanto, a + b = 90˚. En general:
Los vectores de coordenadas (a, b) y (–b, a) son perpendiculares.
Recta perpendicular a otra
Un vector dirección de una recta r1 es
8d
1 = (a, b).
Si r2 es perpendicular a r1, un vector dirección de r2 es
8d
2 = (–b, a).
Las pendientes de r1 y r2 r son, respectivamente, m1 = ba
y m2 = –a
b
.
El producto de sus pendientes es –1: m1 · m2 = ba
· –a
b
= –1
Las pendientes, m1 y m2, de dos rectas perpendiculares se relacionan así:
m1 · m2 = –1 o, lo que es lo mismo, m2 = – 1
m1
5 Da tres vectores perpendiculares a (– 6, 1).
6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P (2, –5) y
es perpendicular al vector 8v
(5, 7).
7 La recta r pasa por (3, 0), y la recta s, por (–5, 3).
Ambas son perpendiculares a 4x + 2y – 7 = 0.
Halla sus ecuaciones.
Actividades
1. H allar la ecuación de la recta r que pasa por A(4, 7) y es perpendicular
al vector 8v
(3, –5).
El vector
8d
(5, 3) es perpendicular a 8v
y, por tanto, es un vector dirección
de r. La pendiente de r es m = 35
. Su ecuación es:
y = 7 + 35
(x – 4) 8 y = 35
x + 23
5
2. Obtener varios vectores perpendiculares a 8v
(2, 3).
(–3, 2) es perpendicular a 8v. También lo son (3, –2), (–6, 4), (6, –4)…
3.Dar la ecuación de la recta r, perpendicular a s : 5x – 3y + 15 = 0, que
pasa por (–7, 2).
Pendiente de s: y = 53
x + 5 8 m1 = 53
Pendiente de r : m2 = – 1
m1
= –35
Ecuación de r : y = 2 – 35
(x + 7) 8 y = – 35
x – 11
5
Ejercicios resueltos
(–2, 5)
(5, 2)
b a
v8
v2
v8
1
v8(2, 3)
(3, –2)
(–3, 2)
(–6, 4)
(6, –4)
UNIDAD
8
89
5 Rectas paralelas a los ejes coordenados
Rectas paralelas al eje X
Como sabes, la función constante, y = k, se representa
mediante una recta paralela al eje X y,
por tanto, de pendiente 0. Vectores dirección de
estas rectas son (a, 0) para cualquier valor de a
distinto de 0.
k y = k
Rectas paralelas al eje Y
Análogamente, las ecuaciones x = k se representan
mediante rectas paralelas al eje Y. (Sin embargo,
estas rectas no son la representación de funciones,
porque a un valor de x, el k, le corresponden
más de uno –¡todos!– los valores de Y ).
y = k
k
Vectores dirección de las rectas x = k son (0, a) para a ≠ 0.
1 Representa r y s y da tres vectores paralelos y tres
perpendiculares a ellas:
r: 5x – 7 = 0 s: 3 + 4y = 0
2 Las rectas r y s pasan por el punto (5, –3). r es
paralela a 5y + 17 = 0, y s es perpendicular a ella.
Representa r y s y da sus ecuaciones.
Actividades
Vector dirección de la recta y = k
es (a, 0).
Vector dirección de la recta x = k es
(0, a).
No lo olvides
1. Dar varios vectores paralelos y varios perpendiculares a la recta de
ecuación 3y + 7 = 0. Representarla.
3y 3 + 7 = 0 y 8 y = – 73
Vectores paralelos: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), …
Vectores perpendiculares: (0, 1), (0, 2), (0, –1), …
2.Representar la recta 5x – 2 = 0 y dar varios vectores paralelos y varios
perpendiculares a ella.
5x – 2 = 0 x 8 x = 25
Vectores paralelos: (0, 1), (0, 2), (0, –1), …
Vectores perpendiculares: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), …
3.Dar la ecuación de la recta r, perpendicular a 2x – 7 = 0, que pasa por
(–3, 8).
2x – 7 = 0 x 8 x = 72
es paralela al eje Y.
Por tanto, la recta r es paralela al eje X: y = k.
Como r pasa por (–3, 8), su ecuación es y = 8.
Ejercicios resueltos
7 y = –—3
2 x = —
5
(–3, 8) y = 8
7 x = ——22
90 6 Posiciones relativas de dos rectas
Gráficamente, dos rectas pueden cortarse o no. Si no se cortan, son paralelas.
Pero si las rectas vienen dadas por sus ecuaciones, es posible que se dé un tercer
caso: que sean la misma recta y, al mostrar distinto aspecto algebraico, no se
aprecie a simple vista.
Para averiguar la posición relativa de dos rectas dadas por sus ecuaciones, se resuelve
el sistema formado por ellas.
1 Di la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a) r : 8x + 2y – 14 = 0, s: 5x – y – 20 = 0
b) r : 3x – 2y – 14 = 0
s: pasa por (1, –2) y por (10, 1).
c) r : pasa por (–1, 4) y (7, –2).
s: 3x + 4y = 0
d) r : pasa por (2, –1) y (8, 2).
s: su pendiente es 12
y pasa por (0, –2).
Actividades
Estudiar la posición relativa de
los siguientes pares de rectas:
a) r : 5x – 4y + 10 = 0
s : y = 2x + 1
b)r pasa por (2, –1) y (8, 2).
s pasa por (2, 5) y su pendiente
es –1.
c) r pasa por (3, 8) y (8, 3).
s : x + y = 11
d)r pasa por (2, 4) y (4, 7).
s : y = 32
x – 2
Ejercicio resuelto
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
5x – 4y + 10 = 0
y = 2x + 1
8 5x – 4(2x + 1) + 10 = 0 8
8 5x – 8x – 4 + 10 = 0 8 –3x + 6 = 0 8 x = 2
y = 2 · 2 + 1 = 5 8 y = 5
Las rectas se cortan en el punto (2, 5).
(2, 5)
s r
b)Un vector dirección de r es (8, 2) – (2, –1) = (6, 3) // (2, 1). Su pendiente
es, por tanto, m = 1/2.
r: y = – 1 + 12
(x – 2) 8 y = 12
x – 2
s: y = –(x – 2) + 5
°
§
¢
§
£ y = 12
x – 2
y = – x + 7
Resolviendo el sistema se obtiene
el punto de corte, (6, 1).
(6, 1)
s
r
c) Un vector dirección de r es (8, 3) – (3, 8) = (5, –5) // (1, –1). Su pendiente
es, por tanto, m = –1.
r: y = 8 – (x – 3) 8 y = –x + 11 8 x + y = 11
r y s son la misma recta.
d)Un vector dirección de r es (4, 7) – (2, 4) = (2, 3). Pendiente, m = 3/2.
r: y = 4 + 32
(x – 2) 8 y = 32
x + 1
r es paralela a s porque tienen la misma pendiente,
3/2, pero distintas ordenadas en el origen: 1 y –2, respectivamente.
r s
91
7 Distancia entre dos puntos
Si dos puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada, hallar su distancia es
muy fácil. Por ejemplo, en el gráfico:
dist(A, B) = 6; dist(C, D) = 5 (basta con contar cuadritos)
O bien, mediante sus coordenadas: dist[(3, –1), (3, 11)] = 11 – (–1) = 12
dist[(4, 7), (1, 7)] = 4 – 1 = 3
Para dos puntos cualesquiera,
A(x1, y1), B(x2, y2), su distancia se obtiene hallando
el módulo del vector
8 AB.
dist(A, B) = |
8
AB| = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Esta fórmula también es válida si los puntos tienen la misma abscisa o la misma
ordenada.
1 Halla la distancia entre A y B.
a) A(–7, 4), B(6, 4) b) A(3, 4), B(3, 9)
c) A(–5, 11), B(0, –1) d) A(4, –6), B(7, 4)
2 Aplica el teorema de Pitágoras para comprobar que el
triángulo de vértices A(–2, 3), B(3, 1) y C(5, 6) es
rectángulo. ¿Es también isósceles?
Actividades
B
C
D
A
A(x1, y1)
x2 – x1
x1 x2
y2 – y1
y1
y2 B(x2, y2)
1. Calcular los lados del triángulo
de vértices A(–2, 2),
B(1, 6), C(6, –6).
2. a) Hallar las longitudes de los
lados del cuadrilatero cuyos
vértices son A(2, 1), B(4, 6),
C(–1, 4) y D(–3, –1).
b) Probar que es un rombo.
c) Calcular su área.
Ejercicios resueltos
1. |
8
AB| = √(1 + 2)2 + (6 – 2)2 = √32 + 42 = 5
|
8
BC | = √(6 – 1)2 + (–6 – 6)2 = √52 + 122 = 13
|
8
AC | = √(6 + 2)2 + (–6 – 2)2 = √82 + 82 = 11,31
2. a) |
8
AB| = √(4 – 2)2 + (6 – 1)2 = √22 + 52 = √29
|
8
BC| = √(–1 – 4)2 + (4 – 6)2 = √25 + 4 = √29
|
8
CD| = √(–3 + 1)2 + (–1 – 4)2 = √4 + 25 = √29
|
8
AD| = √(–3 – 2)2 + (–1 – 1)2 = √25 + 4 = √29
b) Comparamos las coordenadas de
8
AB y
8
DC:
8
AB = (4, 6) – (2, 1) = (2, 5)
8
DC = (–1, 4) – (–3, –1) = (2, 5)
El cuadrilátero tiene los lados iguales y paralelos dos a dos. Es un rombo.
c) Calculamos su diagonales:
d = |
8
AB| = √(–1 – 2)2 + (4 – 1)2 =√18; d’ = |
8
DB| = √(4 + 3)2 + (6 + 1)2 = √98
Área = d · d’
2
= √18 · √98
2
= 42
2
= 21 u2
a
B
A
c
b
92 ■ Practica
Vectores y puntos
1 Dados los puntos A(–2, 0), B(0, 4),
C(5, 2) y D(3, –4) halla las coordenadas de los
vectores
8
AB,
8
BC,
8
CD,
8
DA,
8
AC y
8
BD.
2 Con origen en el punto A(3, –3), dibuja los
vectores
8
AB(–3, 2),
8
AC(5, 1) y
8
AD(1/2, –4). ¿Cuáles
serán las coordenadas de los puntos B, C y D?
3 a) Di cuáles son las coordenadas
de los vectores 8u
y 8v
. 8v
88u
b)Dibuja los vectores 8u
+ 8v
y 8u
– 8v
y di cuáles
son sus coordenadas.
4 Dados los vectores 8u
(4, –2) y 8v
(–2, –1):
a) Representa los vectores 8u
+ 8v
; 8u
– 8v
; 12
8u
y
–38v
y halla sus coordenadas.
b) Calcula las coordenadas de este vector:
8w
w = 28u
+ 38v
5 a) Representa los puntos A(–3, 0), B(0, 4),
C(4, 4) y D(1, 0) y halla el punto medio de AC
y de BD.
b)Halla las coordenadas de
8
AB y
8
DC y comprueba
que son las mismas.
6 Calcula las coordenadas
de los puntos medios
de los lados y de las
diagonales del cuadrilátero
ABCD.
A
D
C
B
7 Si M(–3, 5) es el punto medio del segmento
AB, halla el punto B en cada uno de los siguientes
casos:
a) A(–1, 5) b)A(6, –4) c) A(–4, –7)
8 Halla, en cada caso, el punto simétrico de
A(–3, –5) respecto de:
a) P(–2, 0) b) Q(2, –3) c) O(0, 0)
Rectas
9 Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
a) Pasa por (–4, 2) y su pendiente es 12
.
b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.
c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.
10 Da, en cada caso, un vector dirección, la pendiente
y la ecuación de la recta que pasa por A y B:
a) A(–1, 0), B(0, 3)
b)A(0, –2), B(5, –2)
c) A(–2, 3), B(4, –1)
11 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que
pasa por P (– 4, 3) y tiene por vector dirección
8d
:
a)
8d
(2, –1) b)
8d
(–1, –3) c)
8d
(2, 0)
12 Halla la ecuación de las siguientes rectas:
a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).
b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).
c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3).
13 Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que
pasa por P (3, –2) y es perpendicular al vector 8v
:
a) 8v(2, 1) b) 8v
(–5, 4) c) 8v
(–1, 0)
14 Escribe la ecuación de la recta perpendicular
a r y que pasa por el punto P en los siguientes
casos:
a) r: y = –2x + 3; P(–3, 2)
b) r: 3x – 2y + 1 = 0; P(4, –1)
c) r: x = 3; P(0, 4)
15 Halla el punto de intersección de las rectas r
y s en los casos siguientes:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
r: 3x – 5y + 17 = 0
s: 7x + 3y – 63 = 0
b) °¢ °
£ ¢£ ¢
r: 3x – 2y + 9 = 0
s: x – 2y + 5 = 0
16 Representa las rectas 3x + 6 = 0 y 2y – 5 = 0
y halla su punto de intersección.
Consolida lo aprendido utilizando tus competencias
Ejercicios y problemas
93
Distancias
17 Calcula la distancia entre P y Q:
a) P (3, 5), Q(3, –7) b) P (–8, 3), Q(–6, 1)
c) P (0, –3), Q(–5, 1) d) P (–3, 0), Q(15, 0)
18 a) Halla el punto medio del segmento de extremos
A(–2, 0), B(6, 4).
b) Comprueba que la distancia del punto medio a
cada uno de los extremos es la misma.
19 Comprueba que el triángulo de vértices
A(–1, 0), B(3, 2), C (7, 4) es isósceles. ¿Cuáles
son los lados iguales?
20 Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras,
que el triángulo de vértices A(–2, –1),
B(3, 1), C (1, 6) es rectángulo.
■ Aplica lo aprendido
21 Averigua el valor de k para que se cumpla:
(65
, –2) = k(–3, 5)
22 Dados los vectores 8u
(3, 2), 8v
(x, 5) y 8w
(8, y),
calcula x e y para que se verififique: 28u
– 8v
= 8w
23 Dados los vectores 8u
(5, –3), 8v
(1, 3) y 8w
(2, 0),
calcula el valor de m y n para que se verifique:
8u
= m8v
+ n 8w
24 Comprueba, en cada caso, que los puntos dados
están alineados:
a) A(1, 2), B(4, 3), C(19, 8)
b)P(–2, –3), Q(2, 0), R(–26, –21)
25 Calcula m para que los puntos R(5, –2),
S(–1, 1) y T(2, m) estén alineados.
26 Comprueba si los puntos A(18, 15) y
B(–43, –5) pertenecen a la recta x – 3y + 27 = 0.
27 Escribe la ecuación de una recta perpendicular
a r y que pase por (4, –3) en los siguientes casos:
a) r : 2x + 7 = 0 b) r : –y + 4 = 0
28 Estudia si las rectas r y s son paralelas o
perpendiculares:
r: 3x – 5y + 15 = 0 s: pasa por (–2, –3) y (8, 3).
29 Estudia la posición relativa de los siguientes
pares de rectas:
a) °¢ °
£ ¢£ ¢
r: 2x – 5y + 3 = 0
s: P(3, 1), Q(–2, 3)
b) °¢ ° £ ¢£ ¢r: 5x –
4
x
y
4y +
8
=
0
s: A(4, 7), B(0, 2)
30 Halla la ecuación de la recta perpendicular a
AB en su punto medio, siendo A(–5, 3) y B(2, 7).
31 Comprueba que el cuadrilátero de vértices
A(1, 5), B(5, 1), C(–4, –3) y D(–8, 1) es un
paralelogramo. Para ello, prueba que los puntos
medios de sus diagonales coinciden.
¿Sabes hallar el punto medio de un segmento y el
simétrico de un punto respecto de otro? ¿Y comprobar
si tres puntos están alineados?
1 Representa los puntos A(–5, 0), B(0, 2), C(3, 7) y
D(–2, 5) y comprueba analíticamente que el punto
medio de AC coincide con el punto medio de BD.
2 Halla el simétrico de P (–7, –15) respecto de M(2, 0).
3 Comprueba si los puntos A(1, –5), B(3, 0) y
C(6, 6) están alineados.
¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos?
4 Calcula la longitud de los lados del triángulo de
vértices A(– 4, 1), B(6, 3) y C(–2, –3).
¿Obtienes con soltura la ecuación de una recta
dada de diferentes formas?
5 Obtén la ecuación de las rectas r y s tales que:
r pasa por (–3, 2) y es perpendicular a 8x – 3y + 6 = 0.
s pasa por (9, –5/2) y es paralela a 2x + y – 7 = 0.
¿Reconoces, sin representarlas, si dos rectas son
paralelas o perpendiculares?
6 Estudia la posición relativa de estas rectas:
r : 2x + y – 2 = 0 s : x + 1
2
y = 1
¿Obtienes con agilidad el punto de corte de dos rectas?
7 Halla el punto de intersección de las siguientes rectas:
3x + 8y – 7 = 0 y 4x + 2y – 31 = 0
Autoevaluación
P u n t o s
1 Si los puntos (–6, 2), (–2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, ¿cuál
es el cuarto vértice?
P (–2, 2)
2 Los puntos (–2, 3), (1, 2) y (–2, 1) son vértices de un rombo. ¿Cuáles son
las coordenadas del cuarto vértice?
P (–5, 2)
3 Representa los puntos A(3, 1), B(–5, 3), C(1, 2), D(–1, –2), E(–2, –3),
F(5, 0) y halla las coordenadas del punto medio de los segmentos , y
.
MAB = , = (–1, 2)
MCD = , = (0, 0)
MEF = , = , –3 )
2
3
2 –3 + 0 ) (
2
–2 + 5
2 (
2 – 2)
2
1 – 1
2 (
1 + 3)
2
3 – 5
2 (
A
B
C
D
E
F
EF
AB CD
(–2, 3)
(–2, 1)
(1, 2)
P
(–6, 2)
(–2, 6)
(2, 2)
P
P
Pág. Unidad 8. Geometría analítica
R A C T I C A