OPTIMIZACION PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACiÓN
Una de las aplicaciones más importantes del análisis matemático es obtener el diseño
óptimo de un producto. El problema de minimizar costos o maximízar el volumen de un
objeto se reduce con frecuencia a hallar mínimos y máximos de funciones. En cuyo caso, el uso
de los puntos críticos y los criterios de la primera y segunda derivada adquieren relevancia
especial. Recordemos que para minímizar o maximizar una función sobre un intervalo cerrado
es esencial tomar en consideración tambíén los valores de esa funcion en los puntos terminales
del intervalo.
Antes de exponer un meto do general de resolución para tales problemas, se mostra
rá un ejemplo que es típico. El único rero nuevo es como traducir el problema en lenguaje de
funciones.
(EJEMPLO 1) Un pedazo rectangular de lámina metálica mide 5 pies de ancho y R
pies de largo. Se van a cortar cuadrados congruentes en las eS(lui mt..¡
para doblar In pieza metálica resultante y soldarla pam t’onnar una caja sin tapa, cumo se
muestra en la Figura 5.59. Qué dimensiones producirán una Caj~l de volumen máximu’!
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓIN
1. Demostrar las diversas magnitude~ de] problema con letras. tales como .l,)’, . ‘ 1
·V. A. S. etc. ~; es posible hágase un dibjo esquemático
2. Escribir Ulla ecuución p,.imaricl pura la mugnitud a optimizar.
3. Por eliminaci6n de variables, reducir la ecuación primaria a otra que contenga
una sola variable indepenJicnte. Esto puedeexi gil’ el u~o de ecual”iom’J 5C’cund~~,’¡
as que relacionen la variables independientes de la ecuación primaria.
4. ,Dett:rminar eL domino dc la,ecuación primaria. Esto CS~· alluellos valo¡-cs por Jo!que
el problema propuesto tenga sentido.
s. Optimizar la función así obtenida por medio de las t~níCilS cxpue~1as en la!’ secciones
EJEMPLO·2 El producto de dos números positivos es 192, Qué números hacen
mínima la suma del primero más tres veces el segundo
E~EMPLO 3 Hallar los puntos de la parábola)’ :;: 8 – Ji! que est~ln m~í.s próximos
al punto A(O. 3).
EJEMPLO 4 La esquina inferior derecha de una página se dohla hasta alcanzar el
lado izquierdo. Sí el ancho de la página es de 6 pulgadas: a) Hallar la
longitud mínima del pliegue
b) Qué ángulo forma el pliegue mínimo con el lado mayor derecho de la página’!
Suponer que la página es lo suficientemenle larga para evitar que e I pi ¡egue alcance la parte
superior de la págin~.
EJEMPLO 5) Do. postes de 15 y 20 pies de altura. distan 21 pies entre si. El
extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una eslacu
situada en el “,ueto y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse la estaca para
que ellirante tenga longitud total mínima?
( E~EMPLO 6) Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales
adyacentes rectangulares (Figura 5.63). Qué dimensiones se dehe elegir
p::1TfL que el área encerrada sea máxima
(EJEMPLO 7) Hallar el área del mayor lrapecio comprend ido In curva
y = 4x -r y el eje X.
EJEMPLO 8 Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes
coordenados que pueda inscribirse en la región limitada por las paníbo-
1¡)Ser.: 3)’ = 12 – x~ y cr3:6y= x– 12.
EJEMPLO 9 ) na (liigina rectángular debe contener 432 cm.:! de nmterÜl1 impreso.
Los rn.irgenes superior e inferior dehe lener 4l:tIl de anchura y los laterales
3 cm. Qué dimensiunes de la página minimizan la canlidm] de p,are! requerid;’l”!
E.JEMPLO 10) Hallar las dimensiones y el área de) mayor rectángulo que tiene uno
de sus lados sobre la recta e : x = 9 Y los vértices del lado opueslo sobre
la paráboln “P: )’l – 4)’ – x + 7 = O
EJ EM PLO 1 1 ) En la Figura 5.68~ la longitud del
segmento AB es a, la longitud
deJ segmento AC es b y la medida del ángulo CAB es
(l (a, b y Cl son conslantes)L~ DC H AB, hallar la
longitud del segmento De para que el área
sombreadasea mínima.
(E.JEMPLO 12) Hal1ar el volumen maximo de un cono circular recto inscrilo en una
I.!sfera tic radio r.
EJEMPLO 13 Determinar el máximo volumen del recipiente cónico que se obtiene
extrayendo un sector circular de un círculo de hojalata de radio R.
EJEMPLO 14 Elegir e] radio de una esfera de tal manera que al introducirla en una copa
cónica (profundidad m y ángulo cónico 20;) llena de agua se derrame la
mayor cantidad posible de Ifquido.
EJEMPLO 15 Un só1ido de revolución se ha obtenido haciendo girar un rectángulo
alrededor de) eje Y tal que su base está en el eje X; y todo el rectángulo
está contenido en la región comprendida entre la curva y::. -+-’ y el eje X. x> O. Halle las
x +1
dimensiones del rectángu lo generador del sólido de volumen máximo
(E.JEMPLO 16) Una isla A está a 10 km del punto B má’ cercano sobre una playa
recla. Una tienda está en el punto C. a 26 km de B ~obre la playa, Si un
hombre rema a razón de 5 kmlh Y camina a razón de 13 km/h. en que punto deberá desembarcar
para ir de la isla a la tienda en el menor tiempo posible?
EJlEMPLO 17) Los puntos A y B estan opuestos uno al otro en los riberas de un río reciO
que tiene un ancho constante de 3 km. El punro D está en la misma riher.l
que B. Se desea tender un cable de A a D. Si el costo del cable por agua es un 25% más caro
que el costo del cable por tierra~ que línea de cable será la menos costosa’!
E..JEMPLO 18) Deseamos hacer una lata cilíndrica c{)n 100 pulgadas <:úbicus de
capm.:ídad. El material deJ tondo y de Ja tapa cuesta dos veces más caro
que el dellatcml. Qué relación debe existir entre la altura y el radio de la lata má~ económica'!
EJEMPLO 19 Se va a construir un tanque de concreto para agua. con base cuadrada
y sin tapa. El tanque ha de rener una capacidad de 192 m-l. Si los lados
cuestan $4 por m2 y la bse cuesta $3 por m]; cu..1les han de ser las dimensiones para que el costo
total sea mínimo. CuáJ es dicho coslo mínimo?
EJE'MPLO 2'0 En la Figura 5.76. el radio de la circunferencia es 10 cm, PT es (angente
a la circunferencia en P; MS .1 PT. Haciendo uso de la derivada. determinar
el valor máximo que puede alcanzar el área del A PMS.
EJEMPLO 21) Se tienen arcos de cifiCunferench\ touos de Jongitud 20. Halla. el
mdio de la circunferencia que contíene a uno circular es de área máxima.
E.JEMPLO 22) Sea P = (a, b) un punto del primer cu¡tdrante. Trácese por Puna
recta que corte a las partes positivas de los ejes en A y B. Si O es el
origen de coordenadas, calcuJar I OA I Y I OB I cuando la longitud AB e~ mínima.
(EJEMPLO 23) Por el centro de una calle de 20 m de ancho enlr vefed~ ', cin..:uhm
continuamente en un mismo sentido cttmiones de 2.5 m de ancho sep'lrados
entre .¡ por un e pucio libre de 10 m y con una misma velocídad de lO ml::¡eg. Cdlcular el
tiempo necesario para que un peatón pueda cruzar la pista en línea recta con la mínimd velnci
dad constante posible
EJEMPLO 24 Una tablilla de 7 pies de altura se halla colocada sobre un muro con
su base de 9 pies por encima de] nivel de los ojos de un observador. A
qué distancia del mismo deberá colocarse el observador para que el ángulo visual bajo el cual
contempa la tabli11a sea máxima'!
1. La suma de un número positivo y e1 Johle de otro t::~ 100. Hallarlos de maner• .l que su
producto ~ea mínimo.
2. Hallar dos números positivos cuyo producto sea !C)2 y ,cuya suma sea mínima
3. Un número y el cuadrado de olro suman 50. Elegir los numeros ue modo que su producto
sea el mayor posible.
4. Hallar las coordenada.;; de I punto o puntos de la curva x"l - y1 = 16 que están más cerca de I
punto (O. 6).
5. HaHar el punto de la curva x1. - yo! = 9 que está más próxima a la re~ta si': 2x - y - 2 :: O
6. Entre todos los segmentos del plano que pasan por (a. IJ). G. b E m.+ y que hen n sus
exlremos en los ejes coordenados. dctenninar aquel cuyo cuaurndo de su longituu sed
mínimo.
7. Se foman triángulos rectángulos en el primer cumlrante con los ejes y una recta cuulquicra
que pase por el punto P( 1,2). HaUar Jos veI1kesdcJ triángulo que minimiza la lon~ituu
de la hipotenula.
8. En el plano cartesiano se fiju un punto P (a, b) situado en el primer cuadrante. Hallar Ja
ecuación de la recta que pasa por P y fonna con Jos semiejes posjti vos de coordcnau¡,b un
triángulo de área máxima.
9'. Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies enlre si. Des~ tenderse un cable.
fljado en un único punto del ~uel0, entre las puntas de ambos poste~. n qué puntt.> del
‘uclo hay que fijar el cable para usar el minímo cable posible”?
10. Hallar las coordenadas de los puntos P == (x. )’),
con )’ ~ 1, sobre la parábola 1); y = Xl, que: