OPERADORES MATEMATICOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

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En este capítulo se basa la importancia de la aplicación que tiene una operación matemática sobre los procesos y reglamentos, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, que estamos muy poco acostumbrados; también permite analizar la definición y el modo de aplicación de nuevas operaciones matemáticas que contienen ciertas condiciones en las cuales han sido definidas.
Para todo esto debemos entender que es una operación matemática y que es un operador matemático; donde podemos entenderlo como si fuera una máquina que transforma la materia prima en un producto; teniendo en cuenta que la maquina viene a ser el operador matemático; la materia prima es la operación inicial que nos dan para hallar el resultado siendo este el producto terminado de dicha operación.

¿Qué es un operador matemático?
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Los símbolos (+, ×, -, ¸) son conocidos por todos nosotros. En este capítulo vamos a trabajar con otros símbolos (*, %, D, #, etc.), y cada uno de estos va a representar a cierta operación matemática, la cual se define en un problema.
1. Si: m D n = m2 – n
hallar el valor de: 3 D 4

2. Sea la operación a Q b = 4a + 9b
calcular: 6 Q 8

3. Sabiendo que: a @ b = 2a + a2 + b
hallar el valor de: 4 @ 1
4. Si: p * q = (p2 + q2) × (p – q)
calcular: 3 * 1

5. Si se sabe que: x # y = (x – y) (x) (x + y)
¿cuál es el valor de (8 # 2)?

6. Se define:
hallar:

7. Si:
calcular el valor de: (2 # 7) – (1 # 3)

8. Si se sabe que: m ¨ n = mn – 5
hallar el valor de: (2 ¨ 3) + (1 ¨ 7)

9. Si:
calcular el valor de: (6 § 3) (15 § 5)

10. Si se define: A • B = 2A + B
calcular: (3 • 5) + (5 • 3)

11. Sea la operación: x % y = x2 + 3y
hallar: (2 % 3) + (4 % 2)

12. Si:
hallar:

13. Se define:
hallar:

a.
b.
c.

14. Si se sabe:
hallar:

15. Si:
hallar: (3 D 2) × (8 D 4)

RETO FINAL

1. Se define:
calcular: (2 Ä 6) + (3 Ä 7)

2. Si: a ¨ b = a2 + 2ab + b2
calcular: (4 ¨ 5) – (2 ¨ 3)

• Conocer las principales leyes de las operaciones matemáticas.
• Aprender a relacionar las operaciones matemáticas simples y compuestas.
• Analizar las operaciones para concluir en un procedimiento adecuado y riguroso.
Concepto
Dado un conjunto A, no vacío, se llama Ley de composición Interna u Operación Interna sobre A a cualquier aplicación de A×A en A a que todo par (a,b) de elementos de A, en un orden dado, le hace corresponder un único elemento C de A. Que se llamará resultado de haber operado con los elementos del par.
Representación :
Se leerá : “a operador con b es igual a c”
Una ley de composición interna es pues una aplicación.
A × A ® A
(a,b) ® (ab)

Operador Matemático
Es un símbolo que sirve para representar una operación u operaciones matemáticas.

Algunas operaciones matemáticas:
Operación Operador
Matemática Matemático
• Adición +
• Sustracción –
• Multiplicación ×
• División ¸
• Radicación
• Valor Absoluto | |
• Máximo Entero
• Sumatoria S
• Productoria p
• Asterisco
• Cuadrado ð
• Triángulo D
• Grilla #
• Beta b
• Omega w
• Lambda l
• Truc T
• Anti truc

Ejemplo: Se define:

Calcular:

REPRESENTACIÓN DE UNA OPERACIÓN
MATEMÁTICA
a. Mediante fórmula: La regla de definición estará representada mediante una fórmula.

1 2 = 3(1) + 2(2) = 7
b. Mediante tabla de doble entrada:

ab = ….. bd = ….. db = …..
LEYES DE COMPOSICION
LEYES DE COMPOSICIÓN
En términos simples, una ley de composición se genera cuando definimos una aplicación u operación con respecto a un determinado conjunto.

Así tenemos:
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA
Dado el conjunto A = {a, b, c, d, …} y la operación simbolizada por *, se dice que la operación (*) es una ley de composición interna en A si cumple las siguientes condiciones:

* Si entonces estaremos ante una ley de composición externa.
Ejemplo: Si definimos la adición en el conjunto de números naturales (N), tenemos:

Por lo tanto se dice que la adición es una composición interna en los Naturales.
Observación 1:
Usando un lenguaje conjuntista tenemos que:
* Composición Interna

* Composición Externa

Observación 2:
A una ley de composición interna se le llama Operación Binaria, la cual puede tener una presentación algebráica o una presentación tabular (pitagórica).
* Operación Binaria
Presentación Algebráica

Presentación Tabular

PROPIEDADES EVENTUALES
DE UNA LEY DE COMPOSICIÓN
1. CLAUSURATIVA

2. CONMUTATIVA

3. ASOCIATIVA

4. EXISTENCIA DE UN ÚNICO ELEMENTO NEUTRO (e)

a) La adición en los reales:

b) La multiplicación en los reales:

5. ELEMENTO SIMÉTRICO (a’)

a) La adición en los reales: a’ = –a = elemento opuesto Þ

b) La multiplicación en los reales:
a’ = a–1 = elemento inverso
Þ
6. OTRAS PROPIEDADES:
I. Distributiva:
Se define para dos operaciones y un conjunto de elementos:

Se dice que la operación (*) es distributiva con respecto a la operación (#)
II. Elemento Regular:
Se define para una operación y un conjunto:
Si:
Si todos los elementos de un conjunto son regulares en cierta operación, entonces la operación cumple la propiedad de simplificación.
III. Elementos Permutables:
Se define para una operación no conmutativa y para algún elemento de un conjunto dado:

IV. Idempotencia:
Se define para una operación y un conjunto.

1. Se define en N

Halle el valor de:

A) 0 B) 1 C) 2004
D) 18 E) 2005

2. Determine si la siguiente operación matemática, definida en R por la siguiente tabla, presenta la propiedad conmutativa, además, calcule .

3. Se define a # b = a + b – ab
Halle: (3–1 # 2–1)–1
Obs.: a–1 elemento inverso de a.
A) Sí; 3 B) Sí; 5 C) Sí; 4
D) E)

4. Calcule (b–1 # c–1 # (a # d–1) si se define la operación matemática # mediante la siguiente tabla donde a–1 es el elemento inverso de a.

5. Se define en A = {1; 5; 8; 10} la operación matemática mediante la siguiente tabla.

Calcule x si ((x–1 * 5)–1 * 8) * 1 = 10–1 donde
a–1 es el elemento inverso de a.
A) 1 B) 5 C) 8 D) 9 E) 10

6. Se define la operación matemática mediante . Halle: donde a–1 es el elemento inverso de a.
A) 24 B) 20 C) 15 D) 32 E) 19

7. Se define en . Halle x si:
a–1 elemento inverso de a.
A) 1 B) 3 C) 0 D) 2 E) 4

8. En la siguiente operación matemática, definida por la tabla dada, encuentre el valor de x si .

A) a B) b C) c D) d E) e

9. Se define en la siguiente operación matemática mediante la presente tabla.

Halle
A) 112 B) 124 C) 132
D) 164 E) 196

10. La siguiente operación matemática se define en el conjunto de los números reales mediante:

Halle:
A) 44 B) 82 C) 76 D) 32 E) 64