OPERACIONES CON INTERVALOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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RECTA NUMÉRICA REAL
Es una recta geométrica donde se establece una biyección entre los números
reales y los puntos de la recta, es decir, a cada punto de la recta le corresponde
un único número real y recíprocamente a cada número real le corresponde
un único punto de la recta. Por eso se dice biyección o correspondencia
biunívoca o perfecta.
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negativos positivos
_00 , , ~’–/-+-,_,,_:._.fi-+-, –+– __ ,
-2 -1-112 O 1/2 2 3 … +00
INTERVALO
Es un subconjunto del conjunto de los números reales, es decir, es un conjunto
formado por números reales definidos por la propiedad de que sus
elementos satisfacen ciertas desigualdades.
Así representamos la desigualdad a < b sobre la recta numérica: M x N a Se observa que el punto M, que representa al número a, está a la izquierda de N, que representa al número b. Esto nos demuestra que existen números reales entre a y b, o sea a < x y x < b, que se pueden escribir a < x < b; luego diremos que un intervalo es un conjunto de números reales, los cuales se encuentran entre dos extremos a los que denominaremos extremo inferior y extremo superior. Asimismo, existen dos tipos de intervalos: los acotados "Nota Si a=b ---7 (a; b)={ }=
(Es el conjunto vacío)
li>Nota
S· b {[a; b]={a} I 0= —7 (a; b) =<1>
Intervalos acotados
Un intervalo se dice acotado si sus extremos son finitos. Entre ellos tenemos:
Intervalo abierto
El intervalo abierto está determinado por dos números a y b, donde a S b.
Es el conjunto de todos los números x E lRpara los que a < x < b. Notación: (a; b) o la; b[ Matemáticamente: (a; b)={x E lR/ a < x < b} x a b Intervalo cerrado El intervalo cerrado está determinado por los extremos a y b, donde a S b. Es el conjunto de todos los números x E lRpara los que a S x S b. Notación: [a; b] Matemáticamente: [a; b]={XE lR/ asxs b} x a b Intervalos semiabiertos o semicerrados Si a S b, los siguientes intervalos se consideran semiabiertos o semicerrados. (a;b]={xE lR/a a}
[a; +oo)={x/x ~ a}
(-00; a)={x/x < a} (-00; a] ={x/x S a} (-00; +oo)={x/x E lR} 261~ Ilustración gráfica (a; +00): -00 a +00 [a; +00): -00 a +00 (-00; a): -00 a +00 (-00; a]: -00 a +00 Ejemplos 1. Dado el conjunto S={XE R./xe (-1; +oo)}, escríbalo en forma de intervalo. Resolución El conjunto S está formado por todos los valores reales de x que no pertenecen a (-1; +00). Es decir xe(-l;+oo) H xj.-1 H x<-l v x=-l H x~-l Luego:S={XE R./x~-l} S=(-oo; -1] 2. Si el intervalo M=(-2x+ 1;x- 2] es no vacío, halle el conjunto de valores dex. Resolución Como M=( -2x+ 1;x - 2] es no vacío, entonces -2x+1 < x-2 ---¿ 3 < 3x ---¿ ll
Por lo tanto, el conjunto de valores de x es {x E R./ x > 1}.
Longitud de un intervalo
Sea [un intervalo acotado: (a; b) v (a; b] v [a; b) v [a; bJ, definimos y
denotamos la longitud de [por: O(!)=b – a.
Por ejemplo, la longitud del intervalo [=(-2; 3] es 0(!)=3 – (-2)=5.
Ejemplo
Halle la menor longitud del intervalo.
M=(x-1; x2); x E R
Resolución
La longitud de M está dada por O(M)
O(M)=x2 – (x – 1) –¿ O(M)=X2- x+ 1
2 1 3 (1)2 3 –¿ O(M)=x -x+-+- –¿ O(M)= x– +-
4 4 2 4
( 1)2 (1)2 3 3 3 Como V x E R: x – – ~ O –¿ x – – +- ~- –¿ O(M)~ –
2 2 4 4 4
Por lo tanto, la menor longitud de M es 3
4
OPERACIONES CON INTERVALOS
Con respecto al conjunto universal R y dos intervalos A y B, se tienen las
siguientes operaciones:
Reunión: A U B={x E R/x E A v X E B}
Intersección: A nB={x E R/x E A /\ X E B}
Diferencia: A – B={x E R/x E A /\ X E B}
Complemento: A C={x E R/x E A}, donde A C es el complemento de A.
Ejemplos
1. Dado el intervalo A=(16; +00), halle A C.
Resolución
AC={XER/XE(16; +oo)}
AC={x E R / – (x E (16; +oo))}
AC={XE R/-x> 16}
A C={x E R / x:S: 16}
AC=(_oo; 16]
Gráficamente
A
-00 +00
: • La diferencia A – B también
suele denotarse por A \ B.
• El complemento de A también
suele denotarse por A’ o ‘l’6A.
ji> Tener en cuenta
Sean A Y B dos conjuntos acotados
y disjuntos tal que
I=A uB.
Entonces, la longitud de 1 está dada
por
Q(I)=Q(A)+Q(B)’
Es decir, si I=(a; b] u(c; d)
~ Q(I)=b-a+d-c; b < c. 2. Dados los intervalos: A =( -13; 18]; B= [- 6; 30], halle A U B; A íl B. Resolución Ubicamos cada intervalo en la recta numérica. B 30 AuB=(-13;30] /\ AílB=[-6;18] 3. Si A=(-7; -1) U(4; 12] Y B=(-oo; -3) U(7; 19], halle: 1. AílB 11. A UB lIl. A-B IV. B-A Resolución Ubicamos los intervalos en la recta numérica. B -00 -7 -3 -1 4 7 12 19 +00 Luego obtenemos 1. A íl B=(-7; -3] U(7; 12] 11. A UB=(-oo; -1) U(4; 19] III. A-B=(-3; -1) U(4; 7] IV. B-A=(-00;-7] u(12; 19] 4. Dados los conjuntos A={x E IR I - 7 < x s 3}; B={x E IR I - 3 < x < 4}; C={xEIR/x>4},
halle: C – CAUB)’.
Resolución
Escribimos los conjuntos en forma de intervalo
A=(-7;3]; B=(-3;4); C=(4;+00)
~ AuB=(-7;4)
~ CAU B)’=(-oo; -7] U [4; +00)
C=(4; +00) ~ C=(-oo; 4]
Luego
C’ – (A uB)’=(-7; 4)
Otro método
Como nos piden calcular
C’ – (A uB)’, calculamos el equivalente:
C’ – (A u B)’=C’ n (A u B)
~ C’ – (A u B)’=(-oo; 4] n (-7; 4)=(-7; 4)
C’ – (A uB)’=(-7; 4)
Definiciones importantes
Sea el conjunto {xl; X2; X3; … ; Xn} e lR”,
Definimos y denotamos
Media aritmética
Xl +X2 +X3 + … +x MA = —=——–‘——–‘–n
n
Media geométrica
Media armónica
n
MH= 1 1 1 1
-+-+-+ … +-
xl X2 X3 Xn
Por ejemplo, para xl =2; x2=4; x3=S Y x4=4 tenemos:
M _ 2+4+S+4 lS 9
A – 4 4 2
MG= ~2-4-S·4 = 4
4
MH = -1-1–1–1
-+-+-+-
2 4 S 4
4 32
9 9
S
Se observa que MA > MG> MH
Ii> Recuerde que
\;f XE R: x2 ~O
Si hacemos x=a – b:
(a-b)2 ~ O
H a2 – 2ab+b2 ~ O
H a2+b2~ 2ab
Luego
\;f a; b e R: a2+b2 ~ 2ab
A continuación, damos el siguiente teorema.
Teorema
La igualdad se cumple si todos los elementos son iguales, es decir:
MA=Mc=MH H xl=x2=x3= … =xn
Corolarios
Veamos algunos a partir del teorema (*)
1. Si n=2 tenemos
Demostración
Como xl; x2 E lR+ ~ .¡;;;;FzE lR+
M x+x M ~ X +x > 2 x x ~ _l __ 2;::: ] 2- 12 2 X]X2 (1)
Como
(11)
De (1) Y(11) se concluye
_X_+]_X_2;::: ~;::: __ 2__
2 “‘I/Á]Á2 1 1
-+_
x] x2
1
• Si hacemos xl =X /\ X2 = – obtenemos
X
X+_!_ B x 1
-2-~ x-;
Si hacemos x= – y > O ~ Y < O obtenemos 1 1 -y+-~2 ~ y+-~-2 -y Y 1 V'y O,entonces
Hacemos a = if;; b = (Y; e = if;
~ x+ y+z’? 3if;(Yif;
x+ y+z 3r== ~ ‘? ‘Jxyz
3
(a)
(1)
1 1 1
• En (a) hacemos x=-; y=-; z=-
xl x2 x3
Invertimos la desigualdad
1 ~ 1 ~ ~XlX2X3
-+-+-
Xl x2 x3
~ ~ Xl x2x3 ‘? 1 ~ 1
-+-+-
xl x2 x3
(II)
De (1) Y(H) se concluye la demostración.
Ejemplo
3
Si X E R.+, calcule el menor valor que toma la expresión fex)= X +2
.
X
Resolución
Escribimos
x3
2 2 2 !cx)=-+- ~ fex)=x +-
X X X
Como X E R.+, entonces
2 1 1
X +-+- ~ X x ‘? 3 x2. 2_ . 2_
3 x x
2 2 3(; ~ x +-‘?3·-vl ~ fex)’?3
x
f(x)mínimo=3
Desigualdad de Cauchy
Demostración
l. Sabemos que \:j a; b; x; y E R
(ay)2+(bx)22:: 2(ay)(bx)
H a2/ +b2x2 2:: 2abxy
H a2x2+a2/+b2x2+b2/2:: a2x2+2abxy+b2/
H a2(x2+/)+b2(~+/) 2:: (ax)2+2(ax)(by)+(by)2
H (a2+b2)(x2+/) 2:: (ax+by)2
.. (ax+by)2:<=:(:a:2+b2)(x2+/) 2. Sabemos que \:j 'A E R: PO..)=(Ax-a)2+('Ay- b)2+('Az- d2:: O ~ {X2 +i +z2 )'A2 -2(ax +by+cz)'A+a2 +b2 +c2 2:: O trinomio cuadrático no negativo H Ó es no positivo: Ó :<=::: O Es decir Ó=4(ax+by+cZ)2_4(X2+/+;)(a2+b2+c2):<=::: O ~ (ax+by+cz)2- (a2+b2+c2)(x2+/+;):<=::: O .. (ax+by+cz)2 < (a2+b2+c2)(x2+/+;):<=::: O Ejemplo Si x E R, calcule la variación de la expresión f(x)=senx + cosx. Resolución Como x E R ~ {senx; cosx} e R Luego, por la desigualdad de Cauchy: (1senx+ í cosxr' :<=::: (12+ 12)(sen2x+cos2x) ~ (senx+cosx)2:<=:::2·1 ~ Isenx+cosxl:<=:::Ji -n-. senx-e cosx s Ji