NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE El conjunto de los números reales , Ordenación de los números reales , Intervalos de números reales , Aproximaciones y errores , Truncamiento y redondeo , Errores , Operaciones con números reales , Álgebra , Operaciones con monomios , Polinomios , Valor numérico de un polinomio , Grado de un polinomio , Polinomios ordenados y reducidos , Polinomios completos e incompletos , Representación concreta de polinomios hasta grado 2 , Operaciones con polinomios , Productos notables , División de polinomios , Divisibilidad de polinomios , Múltiplos y divisores , Teorema del resto , Factorización ,
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Objetivos del módulo
• Factorizar polinomios y desarrollar productos notables para determinar sus raíces a través de material
concreto, procesos algebraicos y gráficos.
• Aplicar las operaciones básicas con números reales para utilizarlos en diferentes contextos por medio
de las TIC.
Destrezas con criterios de desempeño
• Simplificar expresiones de números reales con la aplicación de las operaciones básicas.
• Resolver las cuatro operaciones básicas con números reales.
• Interpretar y utilizar los números reales en diferentes contextos, eligiendo la notación y la aproximación
adecuadas en cada caso.
• Utilizar las TIC para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica.
• Desarrollar estrategias de cálculo mental.
• Calcular el error cometido con aproximaciones de números reales.
• Simplificar polinomios con la aplicación de las operaciones y de sus propiedades.
• Representar polinomios de hasta segundo grado con material concreto.
• Factorizar polinomios y desarrollar productos notables.
Para la activación de conocimientos previos
• Recuerde cómo hacer el redondeo y el truncamiento de números decimales aplicándolos a los números
irracionales.
• Para truncar un número decimal hasta un orden determinado se ponen las cifras anteriores a ese orden
inclusive, eliminando las demás. Así: 45,1234 truncar hasta las décimas es 45,1.
• El alumno observará, en este caso, que se trata de una necesidad derivada del hecho de que los números
irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Esta es la razón por la que no podemos
escribir todas las cifras decimales ni tampoco simbolizarlas mediante un período.

Recuerda
• El conjunto de los números racionales  es la unión
del conjunto de los decimales limitados y el de los
decimales ilimitados periódicos.
• Un número es irracional si su expresión decimal es
ilimitada y no periódica.
• Una aproximación decimal de un número es un número
decimal sencillo próximo a su valor exacto.
Las aproximaciones pueden efectuarse por defecto
o por exceso.
• Una expresión algebraica es una serie de números
y letras relacionados por los signos de las operaciones
aritméticas.
a + b 2 a b p 2 + 3 q
• Propiedades de las potencias
Evaluación diagnóstica
• Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales.
• Elige una cinta métrica que mida hasta los centímetros
y razona: ¿Podrás medir exactamente 2,7 cm?
¿Y 2,73 cm? Justifica tus respuestas.
• Expresa los siguientes números en forma decimal.
— Clasifícalos en decimales limitados, ilimitados
periódicos puros, ilimitados periódicos mixtos o
ilimitados no periódicos.
• Calcula el doble de 4, el triple de 25 y la cuarta
parte de 64.
— ¿Cómo representarías el doble de un número cualquiera
a? ¿Y el triple? ¿Y su cuarta parte?
• Calcula el valor que se obtiene al sustituir a por −1
y b por en la expresión 5 a2 + 3ab.
• Indica la parte numérica y la parte literal de cada uno
de los términos de la siguiente expresión algebraica.
4a + 6ab − 2ab2
• Reduce los términos semejantes de cada una de las
siguientes expresiones algebraicas.

En este módulo aprenderás a relacionar los números racionales y los números irracionales con los reales, a operar y
aproximar con los números reales y a determinar el error cometido. También efectuarás operaciones con polinomios.
• Simplificar expresiones de números reales con la
aplicación de las operaciones básicas.
• Resolver las cuatro operaciones básicas con números
reales.
• Interpretar y utilizar los números reales en diferentes
contextos, eligiendo la notación y la aproximación
adecuadas en cada caso.
• Utilizar las TIC para realizar operaciones con cualquier
tipo de expresión numérica.
• Desarrollar estrategias de cálculo mental y de estimación
de cálculos con números reales.
• Calcular el error cometido en operaciones con
aproximaciones de números reales.
• Simplificar polinomios con la aplicación de las operaciones
y de sus propiedades.
• Representar polinomios de hasta segundo grado
con material concreto.
• Factorizar polinomios y desarrollar productos
notables.
Números reales
Polinomios
Prerrequisitos

bn a0 = 1 ( a ≠ 0 )
DDCCDDDestrezas con criterios de desempeño
1 El conjunto de los números reales
La necesidad de resolver numerosos problemas aritméticos y geométricos nos
ha llevado a ir ampliando los conjuntos numéricos.
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales recibe el
nombre de conjunto de los números reales y se representa por .
Una vez representados los números racionales y los irracionales sobre una
recta, ya no quedan puntos va cíos en ella. Los números reales la llenan por completo;
de ahí el nombre de recta real.
1.1. Ordenación de los números reales
Puesto que los números reales pueden representarse sobre una recta, es posible
ordenar el conjunto de los números reales siguiendo el mismo criterio que el
establecido en el conjunto de los números racionales.
Observa la representación sobre una recta de los números reales y 1,5.
Como 1,5 queda situado a la derecha de , concluimos que:
2  1,5
2
2
Enteros negativos
Naturales ()
Reales ()
Irracionales () = ’
Fraccionarios
Enteros ()
Racionales ()

Dados dos números reales a y b, diremos que b es mayor que a si al efectuar
su representación grá fica sobre la recta real, b queda situado a la
derecha de a.

Ordena los números reales de cada uno de estos pares.
a) y b) π y c) π y
Representa sobre la recta real y ordena de menor a
mayor los números: ; ; 1; 3,1514; − 2 ; .
−2
3
3
2
3,13 10


3
2
− 2
1
Actividades 
1.2. Intervalos de números reales
La ordenación de los números reales permite hablar del conjunto de estos números
comprendidos entre dos de ellos, a y b.
Este conjunto se denomina intervalo de extremos a y b. Según si incluyen
o no los extremos, los intervalos se clasifican en:
Observa que si el extremo está incluido en el intervalo, lo representamos mediante
un pequeño círculo ( ); si no está incluido, lo representamos mediante
una pequeña circunferencia (
).
El punto que equidista de los dos extremos
de un intervalo recibe el nombre de centro
del intervalo y se calcula como la media
aritmética de los valores de los extremos.
La distancia entre los dos extremos del intervalo se llama amplitud del intervalo.
Se calcula como el valor absoluto de la diferencia entre los extremos.
A = d (a,b) =
c
a b = +
2
Intervalo cerrado Intervalo abierto Intervalo semiabierto
[a, b]
Conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, incluidos
los extremos.
(a, b)
Conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, sin
incluir los extremos.
[a, b)
Conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, incluido
sólo el extremo a.
(a, b]
Conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, incluido
sólo el extremo b.
a c b
Centro
A Amplitud
Los intervalos son muy útiles para
representar gráficamente los números
irracionales.
3,14 < π < 3,15 MUCHO OJO  3,1 3,2 Copia la tabla en tu cuaderno y complétala. Explica qué tipos de intervalos existen según incluyan o no los extremos. Escribe un intervalo abierto de centro −2 y amplitud igual a 8. Representa los intervalos [−2, −1], (−2, −1), [−2, −1) y (−2, −1]. Representa los intervalos [−1, 3] y (2, 5). Colorea el trozo de recta común a ambos intervalos. — ¿Qué intervalo representa el trozo de recta coloreado? 7 6 5 3 4 Actividades  Representación Intervalo [−2, 4] ........................... ........................... (−3, −1] [0, 4) –2 4 –1 3 –2 5 b a b a b a b a La calculadora ofrece un resultado aproximado debido a que trabaja con un número limitado de decimales. Observa estos cálculos. • 53 /45 Teclea: En la pantalla aparece: Sin embargo, éste es un resultado aproximado. El valor exacto de es , como puedes comprobar hallando la fracción generatriz de este número decimal. • Teclea: En la pantalla aparece: Sin embargo, el valor exacto, obtenido de forma analítica, es: 1.3. Aproximaciones y errores Acabamos de ver que las expresiones decimales de los números irracionales constan de una parte entera y una parte decimal ilimitada no periódica. = 1,414 213 562 37… π = 3,141 592 653 5… A la hora de operar con estos números o dar el resultado de un ejercicio no podemos utilizar una cantidad infinita de cifras decimales, por lo que debemos tomar una aproximación, esto es, un número decimal próximo al valor exacto. Por ejemplo, podemos efectuar las siguientes aproximaciones de los números reales y π. •  1,41 En este caso, se trata de una aproximación por defecto, pues hemos tomado un valor menor que el valor exacto. • π  3,14 16 En este caso, se trata de una aproximación por exceso, pues hemos tomado un valor mayor que el valor exacto. 1.4. Truncamiento y redondeo Conozcamos dos formas de tomar aproximaciones de números reales, el truncamiento y el redondeo. Para aproximar un número real por truncamiento, suprimimos las cifras decimales, sin más, a partir de un orden de aproximación dado. Ejemplos: Para aproximar un número real por redondeo, debemos tener en cuenta la siguiente regla: Observamos la primera cifra que debe suprimirse de acuerdo con el orden de aproximación deseado. • Si es menor que 5, la cifra inmediatamente anterior se deja igual. • Si es mayor o igual que 5, añadimos una unidad a la cifra inmediatamente anterior. Ejemplos: 2 2 2 Una aproximación de un número real es un número decimal próximo al valor exacto. Pueden efectuarse por exceso o por defecto. 2 141 3 1416   , π ,  FÍJATE 2 = x 2 = x2 = 53 45 1,17  2 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 8 2 ( ) = 2 ⋅ = 3 = Número real Orden de aproximación Primera cifra suprimida 2,241 53... Décimas 4 11,648 231… Centésimas 8 0,003 74 Milésimas 7 Aproximación por redondeo 2,2 11,65 0,004 5 3 ÷ 4 5 = LAS TIC Y LA MATEMÁTICA Número real Orden de aproximación Primera cifra suprimida 2,241 53... Décimas 4 11,648 231… Centésimas 8 0,003 74 Milésimas 7 Aproximación por truncamiento 2,2 11,64 0,003 1.5. Errores Siempre que efectuamos una aproximación estamos cometiendo un error. Así, al aproximar por 1,41 cometemos un error de: ⎜1,414 213 562 37… – 1,41 ⎜= 0,004 213 562 37… En el cálculo del error hay que distinguir entre el error absoluto y el error relativo. Al aproximar por 1,41 no es posible cuantificar exactamente el error absoluto, pero sí podemos afirmar que éste es menor que 0,005. Decimos que 0,005 es una cota del error absoluto. Se acostumbra a expresar una aproximación mediante el valor aproximado seguido de una cota del error absoluto, de esta manera: Esta expresión indica que el valor exacto de se encuentra en el intervalo cuyos extremos son 1,41 − 0,005 y 1,41 + 0,005. Al llevar a cabo medidas de cualquier magnitud física también cometemos un error. Generalmente, se admite como cota del error absoluto la resolución del instrumento de medida. Así, si medimos una longitud de 15,7 cm con una regla cuya resolución es de 1 mm, daremos como resultado de la medida (15,7 ± 0,1) cm. 2 2 = 1,41± 0,005 2 2 Aproxima hasta las centésimas, por redondeo, el número decimal 5,298 175. Determina el error absoluto y el error relativo que cometemos en la aproximación. La primera cifra que debemos suprimir, la de las milésimas, es 8. Al ser mayor que 5, añadimos una unidad a la cifra inmediatamente anterior, el 9. Así, 5,298 175  5,30 El error absoluto es: ⎜5,30 − 5,298 175 ⎜ = 0,001 825 El error relativo es: 0 001825 5 298175 0 000 34 , , = , ejemplo 1 Cuando se trabaja con números aproximados se distingue 12,5 de 12,50. En el primero de ellos no conocemos la cifra de las centésimas. Decimos que tiene tres cifras significativas (1, 2 y 5). En cambio, en el segundo, sabemos que la cifra de las centésimas es 0. En este caso tenemos cuatro cifras significativas (1, 2, 5 y 0). Cifras significativas Error absoluto Error relativo Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto. Error absoluto = ⎜Valor aproximado − Valor exacto ⎜ Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Error absoluto Valor exacto El valor del número irracional es 2,236 0679… Escribe dos aproximaciones hasta las centésimas, una por truncamiento y otra por redondeo, indicando en ambos casos una cota del error absoluto. Se han medido las longitudes de una mesa y de un puente, con estos resultados: mesa: 75,5 ± 0,1 cm puente: 1 558 ± 0,5 m Compara el error absoluto y el error relativo de ambas medidas. ¿Cuál de las dos medidas es mejor? Razónalo. 8 5 9 Actividades  Error relativo = 2 Operaciones con números reales En caso de que los números reales sean racionales, ya sabes efectuar operaciones con ellos. Veamos ahora cómo operar con números reales cuando al menos uno de ellos es irracional. Vamos a calcular . Gráficamente es muy sencillo. Hemos de seguir estos pasos: — Representamos gráficamente . — Llevamos con el compás el segmento que representa a uno de ellos a continuación del otro. Pero, ¿podemos obtener numéricamente el valor de ? Dado que tienen infinitas cifras decimales y es imposible manejarlas todas, nos vemos obligados a tomar aproximaciones de estos números, con lo cual las operaciones con números irracionales se reducen a operaciones con números racionales. El resultado será también una aproximación decimal de un número irracional. No debemos olvidar que un número no es igual a su aproximación y, por lo tanto, cada vez que utilizamos una aproximación cometemos un error. Así pues, todas las aproximaciones y el trabajo con ellas deben efectuarse con mucho cuidado. 2 y 3 2 + 3 2 y 3 2 + 3 Calcula gráficamente . Redondea hasta las diezmilésimas. Calcula su suma y su producto. Si tomamos π  3,14 y  2,83, calcula π + y π · . 15 y 27 12 8 8 8 11 10 2 + 13 Actividades  Cuando realizamos operaciones con números reales, debemos aplicar los conocimientos sobre los números racionales e irracionales. Para sumar o restar números reales, estos deben tener el mismo denominador. Si no es así, se reducen previamente a mínimo común denominador. El producto de dos o más números reales, puede dar lugar a una fracción, si uno de estos es racional. • El numerador es el producto de los numeradores de cada uno de los términos. • El denominador es el producto de los denominadores de cada término. Adición y sustracción Ejemplos Multiplicación Ejemplos La división de dos números reales, puede resultar en un número fraccionario, donde: • El numerador es el producto del numerador del primer número por el denominador del segundo número. • El denominador se obtiene multiplicando el denominador del primer número por el numerador del segundo. División Ejemplos Actividades  13 Efectúa las siguientes operaciones. π π Notación de la división de números fraccionarios  FÍJATE Álgebra Observa cómo expresamos en lenguaje algebraico cada una de las siguientes magnitudes: El volumen de un cubo de arista x: x3 El área de un círculo de radio x: π x2 La longitud de una circunferencia de radio x: 2 π x Cada una de las expresiones algebraicas obtenidas consta de un único término cuya parte literal tiene una sola variable, x, elevada a un número natural. Estas expresiones son monomios en una variable. Dado el monomio axn, la parte numérica a es el coeficiente del monomio y el exponente n de la variable x es el grado del monomio en esa variable. Observa que 3 x 0 = 3, puesto que cualquier potencia de exponente 0 vale 1. Por lo tanto, los monomios de grado 0 sólo constan de coeficiente. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal; por ejemplo, los monomios 2 x5 y −4 x5. Escribe la variable, el coeficiente y el grado de los siguientes monomios. 45 x3 18 b9 −25 x7 Clasifica en monomios semejantes: 12 x3, 6 y2, −3 y2, −25, x3, Escribe tres monomios que tengan el mismo coeficiente y el mismo grado pero que no sean semejantes. Razona si son ciertas las siguientes afirmaciones. a) Dos monomios semejantes de grado 0 son siempre iguales. b) Dos monomios con el mismo grado y el mismo coeficiente son semejantes o son iguales. Expresa mediante un monomio: a) El perímetro de un cuadrado de lado a. b) El volumen de una esfera de radio r. c) El área de un triángulo de base b y altura el doble de la base. 18 17 16 15 14 3 7 4 3 4 Actividades  Un monomio en una variable x es una expresión algebraica de la forma axn, en la que a es un número real y n un número natural o 0.  Coeficiente a x n Variable Grado n 0 El grado de un monomio con más de una variable, como por ejemplo 3 x 2y 3, se obtiene sumando todos los exponentes de las variables. Así, diremos que el monomio 3 x2y3 es de grado 5, de grado 2 respecto de x y de grado 3 respecto de y. De manera análoga a como hemos visto con los monomios en una variable, para que dos monomios con varias variables sean semejantes deben tener la misma parte literal; por ejemplo −4 z y2x y 7x z y2.  FÍJATE 3.1. Operaciones con monomios De la misma manera que podíamos sumar o restar los términos semejantes de las expresiones algebraicas, sumaremos o restaremos los monomios semejantes. Además, es posible multiplicarlos, dividirlos o elevarlos a una potencia. A continuación, aprenderemos cómo efectuar estas operaciones con monomios. Adición de monomios semejantes Sustracción de monomios semejantes Sumar 4x2 con 7x2 4 x2 + 7x2 = (4 + 7) x2 = 11 x2 Para sumar dos monomios semejantes, sumamos los coe ficientes y dejamos la misma parte literal. El resultado es un monomio semejante a los primeros. axn + bxn = (a + b) xn De 5 x2 restar 8 x2 5 x2 − 8 x2 = (5 − 8) x2 = −3 x2 Para restar dos monomios semejantes, restamos los coe - ficientes y dejamos la misma parte literal. El resultado es un monomio semejante a los primeros. axn − bxn = (a − b) xn Multiplicación de monomios División de monomios Multiplicar −3 x5 por 4 x2 −3 x5 · 4 x2 = (−3 · 4) · (x5 · x2) = = −12 · x5 + 2 = −12 x7 Para multiplicar dos monomios, multiplicamos por un lado los coeficientes y por el otro las partes literales. El resultado es un monomio cuyo grado es la suma de los grados de los dos primeros. axm · bxn = (a · b) xm + n Dividir −3 x5 entre 4 x2 −3 x5 ÷ 4 x2 = x5 − 2 = x3 Para dividir dos monomios, dividimos por un lado los coe ficientes y por el otro las partes literales. El resultado es un monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los dos primeros. axm ÷ bxn = xm − n, b ≠ 0, m n −3 4 −3 4 a b Potencia de un monomio Calcular una potencia de un monomio equivale a calcular el producto de un monomio por sí mismo tantas veces como indica el exponente de la potencia. (3 x2) 4 = 3 x2 · 3 x2 · 3 x2 · 3 x2 = 3 · 3 · 3 · 3 · x2 · x2 · x2 · x2 = 34 · (x2) 4 = 81 x8 Para elevar un monomio a una potencia, elevamos el coeficiente y la parte literal a dicha potencia. El resultado es un monomio cuyo coeficiente es igual a la potencia del coeficiente del monomio inicial y cuyo grado es igual al producto del grado del monomio inicial por el exponente de la potencia. (axm) n = anxm·n Calcula: a) b) 4 z5 + (−3 z 5) Efectúa las siguientes operaciones reduciendo términos semejantes. a) 2 x3 − 4 x5 + 5 x3 b) x2 − 4 x3 + 2 x2 + 5 x3 Calcula: a) e) 12 a3 · 9 a2 b) 16 a3 − 4 a3 + 7a3 − 5 a3 f ) 25x5 ÷ 5 x2 c) −x2 − 2 x2 − 5 x2 + 7x2 g) 12 y4 ÷ 3 y d) −7x4 · 3 x2 h) (2 x4) 3 2 2 3 1 9 y5 + y5 − y5 + 5 y5 21 20 − + 1 3 2 3 x5 x5 19 Actividades  3.2. Polinomios Observa el rombo de la derecha. Podemos descomponerlo en un cuadrado y cuatro triángulos, iguales dos a dos. El área del cuadrado es x2, la de cada triángulo verde , y la de cada triángulo rojo . Por lo tanto, el área del rombo será: x2 + 2 · 2 x + 2 · x = x2 + 6 x La expresión algebraica que hemos obtenido, x2 + 6 x, es una suma de monomios de igual variable. Esta expresión recibe el nombre de polinomio en una variable. En general, un polinomio se designa por una letra mayúscula y, entre paréntesis, la variable correspondiente. Por ejemplo: P (x), que se lee p de x; Q(y), que se lee q de y... P (x) = an xn + an − 1xn − 1 + ... + a1x1 + a0 x0 Cada uno de los sumandos o monomios que forman un polinomio son términos de dicho polinomio. El término de grado cero, a0, se denomina término independiente. 3.3. Valor numérico de un polinomio El valor numérico del polinomio P (x) para x = a es el número que se obtiene al sustituir la variable x por el número a. Se representa por P (a). Si consideramos el polinomio P (x) = 7x3 + 2 x2 − x + 4, su valor numérico para x = 2 es: P (2) = 7 · 2 3 + 2 · 22 − 2 + 4 = 66 El número real que hace que el valor numérico del polinomio sea 0 se denomina cero o raíz del polinomio. En el polinomio que estamos considerando, −1 es un cero del polinomio ya que: P (−1) = 7 · (−1) 3 + 2 · (−1) 2 − (−1) + 4 = −7 + 2 + 1 + 4 = 0 x x ⋅ = 2 2 x x ⋅ = 4 2 2 2 cm x 4 cm Un monomio es un polinomio formado por un solo término. Un binomio es un polinomio formado por dos términos. Un trinomio es un polinomio formado por tres términos.  FÍJATE Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica que puede reducirse a la forma an x n + an − 1 x n − 1 + ... + a1 x + a0, en la que an, an − 1, ... a1, a0 son números reales y n es un número natural.  Indica si las siguientes expresiones son polinomios en una variable. a) 5 x−2 + 3 x3 c) 5 y2 + 3 x2 − 3 x3 b) + 2 x4 d) 5 a2 + a23 Dado el polinomio P (x) = 2 x4 + 3 x2 − 5 x + 1, calcula su valor numérico para x = 2. Señala si los valores propuestos son raíces del polinomio Q(x) = x3 − 3 x2 + x + 2. a) x = 2 b) x = −3 c) x = 0 24 22 23 3 La siguiente expresión no es un polinomio: porque en , el exponente no es un número natural. CONTRAEJEMPLO Al trabajar con expresiones algebraicas es frecuente efectuar los siguientes productos notables: • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 • (a + b) · (a − b) = a2 − b2 Los estudiarás en el siguiente apartado. 3.4. Grado de un polinomio Fijémonos en el polinomio P (x) = 2 x5 − x3 − 2 x2 + 8. Vemos que está formado por cuatro términos cuyos grados son respectivamente 5, 3, 2 y 0. Por lo tanto, el grado del polinomio 2 x5 − x3 − 2 x2 + 8 es 5. 3.5. Polinomios ordenados y reducidos Dado un polinomio, podemos ordenar sus monomios según su grado y, si existen monomios semejantes, deben reducirse. Observa cómo ordenamos y simplificamos el siguiente polinomio: P (x) = 2 x2 − x3 + 4 x − 5 x3 + 3 x2 − 12 P (x) = −x3 − 5 x3 + 2 x2 + 3 x2 + 4 x − 12 P (x) = −6 x3 + 5 x2 + 4 x − 12 El polinomio que hemos obtenido P (x) = −6 x3 + 5 x2 + 4 x − 12 es un polinomio en forma reducida y ordenado en orden decreciente. De esta manera, el grado del polinomio coincide con el grado del primer monomio. 3.6. Polinomios completos e incompletos Considera los siguientes dos polinomios de grado 3: P (x) = 4 x3 + 2 x2 − 3 x − 7 y Q(x) = −2 x3 + x + 4 Observa que el polinomio P (x) tiene términos de cada uno de los grados menores que 3, mientras que al polinomio Q(x) le falta el término de segundo grado. Diremos que el polinomio P (x) es completo y que el polinomio Q(x) es incompleto. 2 6 6 MUCHO OJO   El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Justifica si son ciertas las siguientes afirmaciones. a) Un polinomio completo de grado 4 siempre tiene, al menos, cinco términos. b) Un polinomio incompleto de grado 4 siempre tiene menos de cinco términos. Escribe el grado y el término independiente de cada uno de estos polinomios. a) P (x) = −6 + 3 x2 − 3 x3 b) Q(y) = 5 y5 − 3 y3 − 4 y2 c) R(x) = 7 x6 + 2 x2 − 3 x Reduce y ordena los siguientes polinomios. a) P (x) = 5 x3 − 4 x2 + 5 x2 + 2 x3 − 4 x2 + 2 b) Q(x) = 3 x2 + 4 x − 5 + x2 − 6 x − 6 x2 + 10 c) R(x) = 7 x − 5 x4 + 4 x2 + 5 x − 2 + x + 3 x2 d) S (x) = 4 x + x + 4 x3 − 2 x + 7 — A continuación, indica si son completos o incompletos. 27 26 25 1 2 4 3 − 4 7 7 2 Actividades  ejemplo 3 3.7. Representación concreta de polinomios hasta grado 2 Usando material concreto podemos representar varios términos de una expresión algebraica, para luego agrupar sus términos. Representa con material concreto los siguientes polinomios: Usando material concreto para dos variables, representa los siguientes polinomios: 28 29 Actividades  x2 x2 3 x2 -x x2 -x 1 1 +2 Cuenta los términos en el siguiente polinomio: a) 3 x2 − x + 2 = Tenemos un polinomio con tres términos o monomios: 3 x2 , − x y 2 Al representar un polinomio con material concreto, debemos representar cada término de la expresión algebraica con el símbolo que lo precede. ejemplo 2 Representa con material concreto el polinomio: 3 x2 − x + 2. — A los términos que tengan signo positivo los representamos con verde, mientras que a los términos con signo negativo los representamos con rojo. a) – x 2 + 2 x – 6 b) y2 + 2 y + 2 c) 3 x + 3 x 2 – 3 d) – 6 – 2 x 2 – 1 a) – 2 x 2 + 3 x – 6 y – y2 b) – x 2 + 2 y + 2 x c) x + 3 y2 – 3 + y d) 4 y2 – x 2 – 1 e) En grupo, escriban dos polinomios y represéntenlos con material concreto. ejemplo 4 Ahora vamos a realizar las operaciones de suma y resta entre términos de un polinomio, para lo cual debemos tener en cuenta las siguientes condiciones: — Dos representaciones de distinto color, una positiva y una negativa, se anulan, siempre que corresponda a la misma variable. — Una unidad numérica positiva se anula con una unidad numérica negativa. — El material concreto de una variable no tiene ninguna relación con el material concreto de otra variable. Simplifica el siguiente polinomio x2 + x − 2 y + x + y − 2 x2 : a) En primer lugar, representamos el polinomio con el material concreto: b) A continuación, usando las condiciones descritas anteriormente, unimos las representaciones con distinto color que correspondan a la misma variable. c) Finalmente, escribimos el resultado de las operaciones realizadas: − x2 + 2 x − y Usando material concreto, simplifica los siguientes polinomios: a) 2 x2 + 3 x − x − 3 x2 d) 2 y 2 + 2 x2 + x2 − 3 y2 b) − 3 y2 + 6 x − 4 x + 3 y2 e) − 4 − 5 x + y − x + 3 c) − 5 y − 2 y2 + 6 y − 3 y2 − y f) 3 y + 2 y + 2 x + 7 x 30 Actividades  x2 x x x x - y y y - y - y -x2 -x2 -x2 -x2 x2 x - 2 y x y -2x2 4 Operaciones con polinomios Sepamos cómo se efectúan algunas operaciones con polinomios. Razona si son correctas las siguientes afirmaciones. a) Si dos polinomios tienen igual grado, el polinomio suma de ambos tiene ese mismo grado. b) La suma o la resta de dos polinomios de grado 3 puede ser un polinomio de grado 4. c) Al realizar la resta de dos polinomios de grado 4 no puede obtenerse un polinomio de grado 3. Recuerda el concepto de opuesto de un número. Teniendo en cuenta este concepto, completa en tu cuaderno esta afirmación: «Para ........................... dos polinomios se suma el primero de ellos con el .......................... del segundo». Compruébalo con un ejemplo. Dados los polinomios P (x) = 3 x 3 − 2 x 2 + 7 y Q(x) = 4 x2 + 3 x − 2, calcula: a) P (x) + Q(x) b) P (x) − Q(x) c) Q(x) − P (x) Completa en tu cuaderno esta suma de polinomios. (2 x 4 + 5 x 3 − .......... + 3) + (......... + ......... + 5 x − .........) + + (...... x2 − x + 1) = 3 x4 + 8 x3 − 6 x2 + 1 Completa en tu cuaderno esta resta de polinomios. (......... − 5 x 2 + ......... − 3) − (−5 x 3 − ......... + .........) = = 7 x5 + ......... − 3 x2 + 6 x − 8 35 34 33 32 31 Actividades  Adición de polinomios Procedimiento Ejemplo Para sumar dos polinomios, sumamos los monomios semejantes de cada uno de ellos: —Escribimos los dos polinomios, uno debajo del otro, de modo que los monomios semejantes estén en la misma columna. —Sumamos los monomios semejantes. El resultado es un polinomio de grado menor o igual que el mayor de los grados de los polinomios sumandos. Suma los polinomios P (x) = 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 y Q(x) = −3 x3 + 6 x + 14. 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 −3 x3 + 6 x + 14 −3 x3 − 7 x2 + 9 x + 19 P (x) + Q(x) = −x3 − 7 x2 + 9 x + 19 Sustracción de polinomios Procedimiento Ejemplo Para restar dos polinomios, restamos los monomios semejantes de cada uno de ellos: —Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro de modo que los monomios semejantes estén en la misma columna. —Cambiamos el signo de todos los monomios del sustraendo y a continuación sumamos los semejantes. El resultado es un polinomio de grado menor o igual que el mayor de los grados de los polinomios iniciales. Resta los polinomios P (x) = 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 y Q(x) = −3 x3 + 6 x + 14. 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 3 x3 − 6 x − 14 5 x3 − 7 x2 − 3 x − 9 P (x) − Q(x) = 5 x3 − 7 x2 − 3 x − 9 Multiplicación de un polinomio por un monomio Procedimiento Ejemplo Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los monomios del polinomio: —Escribimos el monomio debajo del polinomio. —Multiplicamos el monomio por cada uno de los monomios del polinomio. El resultado es un polinomio de grado igual a la suma de los grados del polinomio y el monomio. Multiplica el polinomio P (x) = 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 y el monomio M(x) = 3 x3. 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 3 x3 6 x6 − 21 x5 + 9 x4 + 15 x3 P (x) · M(x) = 6 x6 − 21 x5 + 9 x4 + 15 x3 Multiplicación de polinomios Procedimiento Ejemplo Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos el primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo y después sumamos los polinomios resultantes: —Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro. —Debajo, y en filas diferentes, escribimos los po - linomios resultantes de multiplicar el primer polinomio por cada uno de los monomios de que consta el segundo polinomio. —Sumamos los polinomios obtenidos. El resultado es un polinomio de grado igual a la suma de los grados de los polinomios iniciales. Multiplica los polinomios P (x) = 2 x3 − 7 x2 + 3 x + 5 y Q(x) = −3 x3 + 6 x + 14. 2 x3 − 97 x2 + 43 x + 75 −3 x3 + 46 x + 14 28 x3 − 98 x2 + 42 x + 70 12 x4 − 42 x3 + 18 x2 + 30 x −6 x6 + 21 x5 − 79 x4 − 15 x3 −6 x6 + 21 x5 + 83 x4 − 29 x3 − 80 x2 + 72 x + 70 P (x) · Q(x) = −6 x6 + 21 x5 + 3 x4 − 29 x3 − 80 x2 + 72 x + 70 Considera los polinomios P (x) = −5 x 2 + 2 x − 3, Q(x) = 3 x3 − 2 x2 + 7 y R(x) = 4 x2 + 3. Efectúa las operaciones indicadas. a) 4 P (x) + 3 Q(x) c) P (x) · R(x) b) P (x) − 2 R(x) d) P (x) · Q(x) — Antes de resolver las operaciones, indica el grado del polinomio resultante. Efectúa estas operaciones. a) (x2 + 2) · (x2 + 2) b) (x + 2) 2 c) (3 x3 − 2) · (3 x3 + 2) d) (x2 − 3) 2 Completa en tu cuaderno la siguiente multiplicación de un polinomio por un monomio. (2 x4 − .......... − x + 2) ⋅ (..........) = = 4 x6 − 10 x4 − .......... + .......... Completa en tu cuaderno la siguiente multiplicación de polinomios. ....... x2 − ....... x + ....... ............. + ....... x + ....... ....... x2 − 15 x + ....... ....... x3 − 30 x2 + ....... x .............. − .............. + ....... x3 .............. − .............. + 13 x3 − 24 x2 − 9 x + 3 39 38 37 36 Actividades  4.1. Productos notables Al trabajar con expresiones algebraicas es frecuente encontrarse con los siguientes productos: (a + b)2 (a − b) 2 (a + b) · (a − b) Por ello, resulta conveniente conocer sus resultados. Éstos pueden obtenerse aplicando la propiedad distributiva, como veremos a continuación. • Cuadrado de una suma (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a 2 + a b + b 2 + a b = a 2 + 2 a b + b 2 • Cuadrado de una diferencia (a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a 2 − ab + b 2 − a b = a 2 − 2 a b + b 2 • Suma por diferencia (a + b) · (a − b) = a 2 − a b + a b + b 2 = a 2 − b 2 Efectúa: a) (x + 4) 2 b) (a − 5) 2 c) (a + 2) · (a − 2) d) (x + y) · (x − y) Desarrolla los cuadrados siguientes. a) (2 + 3 x) 2 b) (2ab + 3 a) 2 c) (2 a − b) 2 d) (2 x y z − 1) 2 Expresa como cuadrado de una suma o una diferencia. a) 1 + 2 x + x2 b) 9 + 6 x + x2 c) 4 − 4 x + x2 d) y2 − 6 x y + 9 x2 Escribe como diferencia de cuadrados. a) (x + 2 y) · (x − 2 y) b) (ab + 2 c) · (ab − 2 c) Completa: a) (...... + x y) · (...... − x y) = 4 − x2y2 b) (...... + ......) · (ab − ......) = a2......2 − 9 43 42 41 44 40 Actividades  El resultado de un producto notable también puede obtenerse a partir de un método geométrico sencillo. Veamos, por ejemplo, el cuadrado de una suma. El área del cuadrado grande es (a + b)2. Pero también es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños de lados a y b, y de los dos rectángulos de dimensiones a y b. (a + b)2 = = a2 + b2 + ab + ab = = a2 2ab b2  FÍJATE El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a b) 2 a2 2ab b2  El producto de una suma por una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (a b) · (a b) a2 b2  El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a b) 2 a2 2a b b2  Otros productos de polinomios que aparecen comúnmente en varios ejercicios de matemática son: (a + b) (a2 – ab + b2) (a + b)3 (a – b) (a2 + ab + b2) (a – b)3 Usando las propiedades de multiplicación que conocemos, es posible conocer el resultado de estas expresiones. 1. Producto de una suma por un trinomio de la forma a2 – ab + b2 (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = a3 + b3 El producto de una suma por un trinomio de la forma a2 – ab + b2 es igual al cubo de la primera variable más el cubo de la segunda. (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 2. Producto de una diferencia por un trinomio de la forma a2 + ab + b2 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 – ba2 – ab2 – b3 = a3 – b3 El producto de una diferencia por un trinomio de la forma a2 + ab + b2 es igual al cubo de la primera variable menos el cubo de la segunda. (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 3. Cubo de una suma (a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 +ba2 + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 El cubo de una suma es igual al cubo de la primera variable más el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 4. Cubo de una diferencia (a – b)3 = (a – b) (a – b)2 = (a – b) (a2 – 2ab + b2) = a3 – 2a2b + ab2 –ba2 + 2ab2 – b3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 El cubo de una diferencia es igual al cubo de la primera variable menos el triple producto del cuadrado de la primera por la segunda, más el triple producto de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 45 Resuelve los siguientes productos. Actividades  a) (5 + b) (25 – 5a + a2) b) (x – 3) (x2 + 3x +9) c) (b + 2) (b2 – 2b + 4) d) (5 + z )3 e) (c + 3)  (c + 3)2 f) (3 – c)3 4.2. División de polinomios Observa ahora la forma en que procederemos para dividir polinomios. Observa que el grado del cociente es igual a la diferencia entre los grados del dividendo y el divisor. Como en toda división numérica, en la división de polinomios también se verifica la igualdad: Dividendo = divisor  cociente + resto P(x) Q(x) P(x) = Q(x)  C(x) + R(x) R(x) C(x) Procedimiento Ejemplo Escribimos los dos polinomios ordenados según las potencias decrecientes de x. Si el polinomio dividendo es incompleto, dejamos espacios en blanco correspondientes a los términos que faltan. Dividimos el primer monomio del dividendo (en este caso 3x5) entre el primer monomio del divisor. Multiplicamos el cociente obtenido por el divisor y escribimos el opuesto del resultado. Restamos el producto obtenido del dividendo. Ello equivale a sumar el opuesto. Se baja el siguiente término del dividendo, en nuestro caso no hay, y se repite el mismo proceso. El proceso continúa hasta que se obtiene un resto de grado menor que el grado del divisor. En el ejemplo, el grado del divisor es 3 y hemos obtenido un resto de grado 2. Efectúa la siguiente división de polinomios. (2x4 − 5x3 − 7x + 5) ÷ (x2 − 2x + 2) — Comprueba que se verifica la igualdad: Dividendo = divisor  cociente + resto Efectúa estas divisiones. a) (x4 + 4x3 − x2 − 16x + 12) ÷ (x2 + x − 6) b) (−2x3 + 3x − 5) ÷ (x2 + x − 2) c) (2x4 + 22x3 − 58x2 − 2x − 40) ÷ (x2 + 6x − 5) 46 47 Actividades  Divide el polinomio 3 x5 + 2 x3 − x2 − 4 entre el polinomio x3 + 2x2 + 1. 3 x5 + 0 + 42x3 − 23x2 + 6x − 14 x3 + 2x2 + 1 3 x5 + 0 + 42x3 − 23x2 + 6x − 14 x3 + 2x2 + 1 −3 x5 − 6x4 − 23x2 3x2 3 x5 + 0 + 42x3 − 23x2 + 6x − 14 x3 + 2x2 + 1 −3 x5 − 6x4 − 23x2 3x2 − 6x4 + 42x3 − 24x2 3 x5 + 0 + 42x3 − 23x2 + 6x − 14 x3 + 2x2 + 1 −3 x5 − 6x4 − 23x2 3x2 − 6x − 6x4 + 42x3 − 24x2 − 6x4 + 12x3 + 6x 3 x5 + 0+ 42x3 −32x2 + 6x − 14 x3 + 2x2 + 1 −3 x5 − 6x4 − 3x2 3x2 − 6x + 14 −3 x5 − 6x4 + 2x3 − 24x2 −3 x5 − 6x4 + 12x3 + 26x 14x3 − 24x2 + 6x − 14 − 14x3 − 28x2 − 14 − 32x2 + 6x − 18 6 −4 0 2 3 18 42 126 6 14 42 128 = Regla de Ruffini Vamos a estudiar la división de polinomios en caso de que el polinomio divisor sea de la forma x − a, en la que a es un número real. Observa en el ejemplo de la derecha la división del polinomio P(x) = 6x3 − 4x2 + 2 entre el polinomio Q(x) = x − 3. Este tipo de divisiones puede realizarse de una forma más simple y rápida aplicando la llamada regla de Ruffini. Veamos cómo se utiliza esta regla para efectuar esta misma división. Puedes observar que los rectángulos resaltados en rojo encierran los mismos números en los dos métodos utilizados para efectuar la división, en este caso con un proceso sintético. 6 x3 − 44x2 + 442 x − 3 −6 x3 + 18x2 6 x2 + 14 x + 42 14 x2 − 14 x2 + 42 x 42 x + 4 42 −42 x + 126 128 6 −4 0 2 3 18 6 14 6 −4 0 2 3 18 42 6 14 42 6 −4 0 2 3 Divide 6x3 − 4x2 + 2 entre x − 3. 6 −4 0 2 R = 128 C(x) = 6x2 + 14x + 42 = = Procedimiento Ejemplo Escribimos los coeficientes de los términos del dividendo uno a continuación del otro. Si el polinomio dividendo es incompleto, ponemos un 0 en el lugar correspondiente a cada término que falte. Escribimos el término independiente del divisor cambiado de signo a la izquierda de estos coeficientes. Bajamos el primer coeficiente, 6, que se multiplica por 3 y el resultado, 18, se suma al segundo coeficiente del dividendo. La suma obtenida, 14, se multiplica por 3 y el resultado se suma al tercer coeficiente del dividendo. Continuamos este proceso hasta que se acaben los coeficientes de los términos del polinomio dividendo. El último resultado obtenido, 128, es el resto de la división, los restantes (6, 14, 42) son los coeficientes del polinomio cociente. Tendremos en cuenta que el grado del cociente es inferior en una unidad al grado del dividendo, pues el divisor es de grado 1. Halla los cocientes y los restos de estas divisiones de polinomios por dos procedimientos diferentes. a) (x3 − 4x2 + 9x + 18) ÷ (x + 2) b) (x4 + x3 − 18x2 − 16x + 32) ÷ (x − 4) Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de cada una de estas divisiones. a) (5x3 + 4x2 − 2x + 7) ÷ (x − 2) b) (−x4 + 12x3 − 4x2 − 10) ÷ (x + 5) 48 49 Actividades  4.3. Divisibilidad de polinomios Ya conoces los conceptos de múltiplo y de divisor en el conjunto de los números naturales. Vamos a extenderlos ahora al caso de los polinomios. 4.4. Múltiplos y divisores Considera la siguiente igualdad en la que a, b y c son números naturales. a  b = c A partir de esta igualdad se obtiene la siguiente división exacta: c ÷ a = b Recuerda que en este caso decimos que: • c es múltiplo de a. • a es divisor de c o c es divisible por a. De manera análoga, podemos definir los conceptos de múltiplo y divisor en el conjunto de los polinomios. Observa el producto de los polinomios A(x) = 2x + 1 y B(x) = x − 2 cuyo resultado es el polinomio C(x) = 2x2 − 3x − 2. 2x + 1 x − 2 − 4x − 2 2x2 + 3x + 1 C(x) = A(x) · B(x) 2x2 − 3x − 2 Hemos obtenido el polinomio C(x) al multiplicar el polinomio A(x) por otro polinomio B(x). Decimos que C(x) es múltiplo de A(x). Puesto que A(x) · B(x) = C(x), si efectuamos la división C(x) ÷ A(x) nos dará exacta y su cociente ha de ser igual al polinomio B(x). C(x) ÷ A(x) = B(x) Decimos que A(x) es divisor de C(x) o que C(x) es divisible por A(x). 2x2 − 3x −2 2x + 1 −2x2 − 4x x− 2 − 4x − 2 4x + 2 0 Un polinomio es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un polinomio.  Un polinomio es divisor de otro si, al dividir el segundo entre el primero, la división es exacta.  Puesto que 2  6 = 12, podemos decir: • 12 es múltiplo de 2. • 12 es múltiplo de 6. • 2 es divisor de 12. • 6 es divisor de 12. • 12 es divisible por 2. • 12 es divisible por 6. MUCHO OJO  4.5. Teorema del resto Veamos ahora un método para hallar el resto de la división de un polinomio P(x) entre x − a sin necesidad de realizarla. Dados dos polinomios P(x) y D(x), se establece un proceso que nos permite encontrar polinomios Q(x) y R(x) tales que: P(x) = Q(x) . D(x) + R(x), con grado de R(x) menor que grado de D(x). Los polinomios Q(x) y R(x) se denominan el cociente y el residuo respectivamente de la división de P(x) por D(x). El polinomio P(x) se denomina el dividendo y el polinomio D(x) se denomina el divisor. El residuo de la división de un polinomio P(x) de grado mayor o igual que 1 por el polinomio (x-a) es P(a), es decir: P(x) = Q(x) (x-a) + P(a). Observa en el margen la división del polinomio P(x) = x3 + 5x2 − 2x −24 entre x − 3. El resultado obtenido nos permite escribir: P(x) = (x − 3) · (x2 + 8x + 22) + 42 Al sustituir en esta igualdad x por 3; es decir, al calcular el valor numérico de P(x) para x = 3 se obtiene: P(3) = (3 − 3) · (32 + 8 · 3 + 22) + 42 No es necesario calcular el segundo paréntesis, puesto que está multiplicado por 0. P(3) = 0 · (32 + 8 · 3 + 22) + 42 = 0 + 42 P(3) = 42 De este modo, se demuestra que el valor numérico del polinomio P(x) para x = 3 es igual al resto de la división de P(x) entre x − 3. El resultado obtenido es válido en ge neral y se conoce como teorema del resto. Observa que, al dividir el polinomio P(x) = x3 + 5x2 − 2x −24 entre x + 4, obtenemos 0 de resto. Por lo tanto, el valor numérico del polinomio para x = −4 es 0. Dicho de otro modo, como P(x) es divisible por x + 4, podemos concluir que −4 es una raíz de P(x). Utiliza la regla de Ruffini para averiguar si los siguientes polinomios son divisibles por x + 5. a) x3 + 10x2 + 3x − 54 b) 2x4 + 3x3 − 35x2 + 9x + 45 c) 3x4 + 2x3 − 49x2 + 76x − 20 Escribe un polinomio que sea simultáneamente múltiplo de x + 4 y de 2x2 + 3x − 2. Halla el valor numérico de 3x3 + 4x2 − 17x − 6 para los siguientes valores de la variable. a) x = 5 b) x = −3 c) x = −4 Justifica la siguiente afirmación utilizando la regla de Ruffini: Para que un polinomio de coeficientes enteros, P(x), sea divisible por x − a, a debe ser divisor del término independiente de P(x). — ¿Es divisible x2 + 3x − 15 por x − 4? — El polinomio x2 + 3x − 15, ¿puede ser divisible por x − 3? Compruébalo. — El polinomio 2x2 − 5x − 6, ¿puede ser divisible por x − 3? Compruébalo. 54 ¿Puede ser x = 6 raíz del polinomio x2 + 3x − 15? 53 52 51 50 Actividades  El resto de la división del polinomio P(x) entre x − a es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a.   Si el polinomio P(x) es divisible por x − a, a es una raíz del polinomio P(x). 1 5 −2 −24 3 3 24 66 1 8 22 42 1 5 −2 −24 −4 −4 −4 24 1 1 −6 0 El número real a es un cero o raíz del polinomio P(x) si P(a) = 0. MUCHO OJO  5 Factorización Al igual que los números compuestos (tienen más de dos divisores diferentes), los polinomios con varios divisores pueden expresarse como producto de otros polinomios de grado menor. Ejemplos: Al descomponer 720 en factores primos se tiene 720 = 24  32  5 Al descomponer 2x2 – 3x – 2 en factores primos se tiene 2x2 – 3x – 2 = (2x + 1)  (x – 2) Ya en la práctica, siempre que sea posible, debemos descomponer los polinomios en factores (polinomios) de primer grado, en factores primos, posteriormente estos facilitan la simplificación. Revisemos algunos de los métodos ya estudiados para factorizar un polinomio. Descomponer en factores o factorizar un polinomio es el proceso que permite expresarlo como la multiplicación de otros polinomios del menor grado posible.  Sacar factor común Ya has adquirido experiencia en obtener los factores comunes de polinomios. La propiedad distributiva (recolectiva) de los números reales, en la forma ab + ac = a (b + c) es muy importante porque justifica todo el proceso. Dado el polinomio en x, P(x) = 12x2 + 30x, si extraemos los factores comunes a todos los términos se tiene: P(x) = 12x2 + 30x = 6x  2x + 6x  5, es decir, 12x2 + 30x = 6x (2x + 5). Aplicar algunas de las identidades notables Consideremos el polinomio P(x) = x3 + 6x2 + 9x. Si sacamos factor común, obtenemos: P(x) = x  (x2 + 6x + 9) El polinomio entre paréntesis, x2 + 6x + 9, tiene tres términos: el primero es el cuadrado de x, el tercero es el cuadrado de 3 y el segundo es el doble de x por 3. Se trata, pues, del cuadrado de una suma. P(x) = x  (x2 + 6x + 9) = x  (x + 3)2 Hallar los divisores de la forma x – a Consideremos el polinomio P(x) = x3 – x2 – 4x + 4. El término independiente es 4; por lo tanto, las raíces enteras pueden ser 1, 2 y 4. Así pues, debemos probar si el polinomio P(x) es divisible por x – 1, x + 1, x – 2, x + 2, x – 4 o x + 4. Comprobamos que P(x) es divisible por x – 1. Según el resultado de la división, podemos escribir: P(x) = (x – 1)  (x2 – 4) Puesto que x2 – 4 es divisible por x + 2, podemos escribir la factorización de P(x) de la siguiente forma: P(x) = (x – 1)  (x + 2)  (x – 2) Las identidades notables que puedes utilizar en la descomposición factorial de los polinomios son: • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 • (a + b)  (a – b) = a2 – b2 MUCHO OJO  Para encontrar los factores de un trinomio cuadrado perfecto, debemos: a. Ordenar el trinomio de acuerdo a la variable. 2xy + x2 + y2 =x2 + 2xy + y2 b. Encontrar la raíz cuadrada del primer término. c. Hallar la raíz cuadrada del tercer término. d. Comprobamos que el término de la mitad sea el doble producto de las raíces cuadradas de los términos primero y tercero. 2   = 2xy e. Si el término de la mitad esta precedido del signo más, los factores serán la suma de las raíces del primer y tercer término del trinomio. x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) En su lugar, si el término del medio tiene signo negativo, los factores serán la diferencia de las raíces. x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) Algunos polinomios aparecen frecuentemente en ejercicios de matemática, por esta razón, es conveniente conocer sus factores. Para encontrar los factores de los polinomios podemos utilizar los conocimientos de productos notables, que desarrollamos en páginas anteriores. 1. Diferencia de cuadrados Procedimiento para factorar una diferencia de cuadrados Al resolver productos notables encontramos que la suma de dos cantidades por su diferencia, es igual a la diferencia de sus cuadrados. Usando esta igualdad podemos obtener los factores de la diferencia de cuadrados. x2 – y2 = (x + y) (x – y) x2 + 2xy + y2 = (x + y) (x + y) x2 – 2xy + y2 = (x – y) (x – y) Un término es cuadrado perfecto si es producto de dos cantidades iguales. Un trinomio es cuadrado perfecto, cuando es el cuadrado de un binomio. Para factorar una diferencia de cuadrado, debemos: a. Hallar la raíz cuadrada del primer término de la diferencia. b. Encontrar la raíz cuadrada del segundo término. c. El resultado es igual a la suma multiplicada por la diferencia de las raíces encontradas. x2 – y2 = (x + y) (x – y) 2. Trinomio cuadrado perfecto x2 = x y2 = y x2 = x x2 y2 y2 = y Procedimiento para factorar un trinomio cuadrado perfecto ejemplo 5 • x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2), donde p = 3,q = 2 y p + q = 5, p ⋅ q = 6 • x2 − 2x − 8 = (x − 4) (x + 2), donde p = 4,q = 2 y p − q = 2, p ⋅ q = 8 • x2 + x − 30 = (x + 6) (x − 5), donde p = 6,q = 5 y p − q = 1, p ⋅ q = 30 • x2 − 10x + 21 = (x − 7) (x − 3), donde p = 7,q = 3 y p + q = 10, p ⋅ q = 21 En los ejemplos ratificamos que si las operaciones en los binomios son iguales, los números buscados deben sumarse y si las operaciones en los binomios son diferentes los números buscados deben restarse. Forma un grupo con dos compañeros e investiga cómo factorizar trinomios del tipo ax2 + bx + c 3. Trinomio tipo x2 + bx + c Para descomponer en factores un trinomio tipo x2 + bx + c procedemos de la siguente manera, siempre que el polinomio este ordenado: En la representación de los polinomios de la forma x2 + bx + c utilizaremos las letras b y c para representar las constantes. Para las variables, usaremos x. a. Encontramos la raíz cuadrada del primer término (término cuadrático). b. La raíz cuadrada encontrada va a ser el primer término en los dos binomios factores buscados, así x2 + bx + c = (x ) (x ) c. El signo (operación) en el primer binomio es igual al signo de la operación entre el primero y segundo miembros del trinomio, esto x2 + bx + c = (x + ) (x + ) d. Luego el signo (operación) en el segundo binomio corresponde al signo del producto de multiplicar los coeficientes del segundo y tercer términos del trinomio, así x2 + bx + c = (x + ) (x + ) (+ b) ⋅ (c) e. Si las operaciones en los binomios no son iguales, debemos encontrar dos números positivos p y q tales que el valor absoluto de su diferencia sea igual al término del medio del trinomio y su producto sea igual al tercer término del trinomio. Colocamos el mayor en el primer paréntesis y el otro en el segundo paréntesis. Obtenemos f. Si las operaciones en los binomios no son iguales, debemos encontrar dos números positivos p y q tales que el valor absoluto de su diferencia sea igual al término del medio del trinomio y su producto sea igual al tercer término del trinomio. Colocamos el mayor en el primer paréntesis y el otro en el segundo paréntesis. Obtenemos x2 = x p + q = b p  q = c 0 < p < q { x2 + bx + c = (x + p) (x + q) o x2–bx+c=(x–p) (x–q) con con  p + q  = b p  q = c 0 < p < q { x2 + bx – c = (x + p) (x – q) ox2 + bx – c = (x – p) (x + q) Polinomio irreducible Observa que el polinomio x2 + 4 no puede descomponerse en factores. Diremos que es un polinomio irreducible (polinomio primo). Descomponer factorialmente un polinomio consiste en expresarlo precisamente como producto de polinomios irreducibles. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Sabemos que al trabajar con divisores y múltiplos comunes de varios números enteros, el m.c.d. y el m.c.m. desempeñan un importante papel en las operaciones. Lo mismo ocurre en el caso de los polinomios. Para hallar el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios procederemos del mismo modo que con los números enteros. Un polinomio es irreducible si no puede descomponerse en producto de dos factores de grado mayor o igual que 1.  El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más polinomios es todo polinomio de grado máximo que sea divisor de todos ellos. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más polinomios es todo polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de todos ellos.  ejemplo 6 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios P(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 y Q(x) = x4 − 9x2 − 4x + 12. — Descomponemos los polinomios en factores: P(x) = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 = (x − 1) · (x − 2) · (x + 2) · (x + 3) Q(x) = x4 − 9x2 − 4x + 12 = (x − 1) · (x + 2)2 · (x − 3) El máximo común divisor es igual al producto de los factores comunes a ambos polinomios elevados al menor exponente. m.c.d. (P(x ), Q(x )) = (x − 1) · (x + 2) = = x2 + x − 2 El mínimo común múltiplo es igual al producto de los factores comunes a ambos polinomios y los no comunes, elevados al mayor exponente. m.c.m. (P(x), Q(x)) = (x − 1) · (x − 2) · (x + 2)2 · (x + 3) · (x − 3) = = x6 + x5 − 15x4 − 13x3 + 62x2 + 36x − 72 Factoriza las siguientes expresiones. a) 81 – x2 b) x2 – 8x +16 c) 4 – 5x +x2 d) – 8x +17x – 2x2 e) 25x –x3 f) 4x2 +19x + 21 Descompón en producto de dos factores los siguientes polinomios. a) x2 −1 c) 4x2 + 6x3 + 4x4 b) 10x3 − 15x2 + 5x d) 7x3 − 2x2 Factoriza el polinomio x3 − 9x2 + 23x −15 si sabemos que se anula para x = 1, x = 5 y x = 3. Resuelve la ecuación 2x2 + 4x − 6 = 0 y escribe, a partir del resultado obtenido, una descomposición factorial del polinomio 2x2 + 4x − 6. Factoriza el polinomio x4 − 10x2 − 20x − 16. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios x3 + 2x2 − 5x − 6 y 2x3 − 2x2 − 4x. 60 59 58 57 56 55 Actividades  ■ Si el suelo de la habitación mide 820 × 440 cm y debemos cubrirlo con baldosas cuadradas lo más grandes posible, éstas tienen que medir: m.c.d. (820, 440) = 20 cm. En una división de polinomios el dividendo es x3 + 2x2 + x − 5, el cociente, x − 2 y el resto, 13. ¿Cuál es el divisor de esta división? A Considera el polinomio x3 + x2 − 9x + k. ¿Cuál debe ser el valor de k para que x + 1 sea divisor de dicho polinomio? B Averigua el valor del divisor D(x) en la siguiente división de polinomios. x3 − 3x2 − 10x + 8 D(x) x2 − 6x + 8 −16 Determina el valor de k para que x + 2 sea divisor del polinomio x3 + 4x2 + x + k. Determina el valor de k para que el resto de la división de x3 + 4x2 + x + k entre x + 2 sea 5. Dado el polinomio P(x) = 2x3 − 6x2 + k, averigua el valor de k para que: a) x + 1 sea divisor de P(x). b) El resto de la división P(x) ÷ (x + 1) sea 3. 61 62 63 64 Actividades  Cómo resolver problemas Comprensión del enunciado Vuelve a leer atentamente el enunciado y anota los datos del problema. Planificación de la resolución Se trata de una división entera en la que se cumple: Dividendo = divisor  cociente + resto En esta igualdad conocemos todos los polinomios excepto el divisor. Ejecución del plan de resolución — Expresamos por P(x) el divisor y sustituimos los datos del ejercicio en la igualdad anterior. x3 + 2x2 + x − 5 = P(x)  (x − 2) + 13 — Restamos 13 a cada uno de los miembros: x3 + 2x2 + x − 5 − 13 = P(x)  (x − 2) + 13 − 13 x3 + 2x2 + x − 18 = P(x)  (x − 2) — Dividimos ambos miembros por x − 2. — Efectuamos la división (x3 + 2x2 + x − 18) : (x − 2) aplicando la regla de Ruffini. 1 2 1 − 18 2 2 8 18 1 4 9 0 Por lo tanto, el divisor de la división es: P(x) = x2 + 4x + 9 Revisión del resultado y del proceso seguido Para comprobar el resultado obtenido efectuamos la división de x3 + 2x2 + x − 5 entre x2 + 4x + 9 y verificamos que nos da x − 2 de cociente y 13 de resto. x x x x P x x x 3 2 2 18 2 2 2 + + − − = − − ( )· ( ) Comprensión del enunciado Vuelve a leer atentamente el enunciado y anota los datos del problema. — ¿Qué significa que x + 1 sea divisor del polinomio x3 + x2 − 9x + k ? Planificación de la resolución Para que x + 1 sea divisor de x3 + x2 − 9x + k, debe cumplirse que el resto de la división (x3 + x2 − 9x + k) ÷ (x + 1) sea 0. Ejecución del plan de resolución — Efectuamos la división utilizando la regla de Ruffini y dejando k indicado. 1 1 −9 k −1 −1 0 9 1 0 −9 k + 9 — Puesto que el resto debe ser 0, debemos resolver: k + 9 = 0 Con lo que el valor buscado de k es −9. Revisión del resultado y del proceso seguido Podemos comprobar que x + 1 es divisor del polinomio x3 + x2 − 9x − 9 si efectuamos la división correspondiente y verificamos que el resto obtenido es 0. 1 1 −9 −9 −1 −1 0 9 1 0 −9 0 Síntesis En resumen Números racionales Números irracionales el conjunto de todos ellos forma el conjunto de los llenan la los situamos dentro de que llevan asociados Números reales Recta real de ellos tomamos Aproximaciones se determinan mediante Error absoluto Error relativo Intervalos Errores que pueden ser Cerrados Abiertos Semiabiertos como pueden ser Truncamiento Redondeo  Un polinomio en una variable x es una expresión algebraica reducible a la forma anx n + an − 1x n − 1 + a1x + a0, en la que an, an − 1, ..., a1, a0 son números reales y n es un número natural.  El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.  El valor numérico del polinomio P(x) para x a es el número que se obtiene al sustituir la variable x por el número a y efectuar las operaciones indicadas.  Un polinomio está ordenado y en forma reducida si se reducen los monomios semejantes y se ordenan de mayor a menor grado.  La suma de dos polinomios se obtiene al sumar los monomios semejantes de ambos polinomios. • La resta de dos polinomios se obtienen al restar los monomios semejantes de cada uno de ellos. • Para multiplicar dos polinomios debemos multiplicar cada uno de los términos de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y sumar los términos semejantes. • Dividir el polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) consiste en hallar los polinomios C(x) y R(x) de modo que se cumpla: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) En caso de que el polinomio divisor sea de la forma x − a solemos aplicar la regla de Ruffini para efectuar la división.  Un polinomio es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un polinomio.  Un polinomio es divisor de otro si al dividir el segundo entre el primero la división es exacta. • El teorema del resto establece que el resto de la división del polinomio P(x) entre x − a es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a. • Si el polinomio P(x) es divisible por x − a, a es una raíz del polinomio P(x). • Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de otros polinomios del menor grado posible. • Un polinomio es irreducible si no puede descomponerse en producto de dos factores de grado mayor o igual que 1. • El máximo común divisor de varios polinomios es todo polinomio de grado máximo que sea divisor de todos ellos. • El mínimo común múltiplo de varios polinomios es todo polinomio de grado mínimo que sea múltiplo de todos ellos.  Una fracción algebraica es el cociente en el que el numerador es un polinomio cualquiera y el denominador es un polinomio distinto de 0.  Las fracciones algebraicas son equivalentes si cumplen que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x). Antes de efectuar operaciones con fracciones algebraicas, conviene simplificarlas y, en los casos de la suma y de la resta, reducirlas a mínimo común denominador. P x Q x R x S x ( ) ( ) ( ) ( ) y Ejercicios y problemas Resuelve la siguiente potencia de un binomio (1 + x)6. Para ello, multiplicando sucesivamente seis veces el binomio (1 + x) y al simplificar los términos semejantes, obtendrás los siguiente: Existe una forma más sencilla de obtener los coeficientes de la potencia anterior, investiga sobre el triángulo de Pascal y su uso. • Utiliza los tres primeros términos de la serie anterior para aproximar el valor de (1,1)6 Podemos hacer una aproximación del valor de (1,1)6 usando la expansión del binomio (1 + x)6 y dando el valor a x de 0,1, es decir: • Encuentra los errores absoluto, relativo y el porcentaje de error al hacer esta aproximación. Para este apartado, necesitamos el valor exacto de la potencia (1,1)6, para ello puedes usar una calculadora o una hoja de cálculo en un computador. El valor es (1,1)6 = 1,771 561. En este resultado, usaremos todos los decimales y lo aceptaremos como valor verdadero o valor exacto. Calculemos: Vamos a redondear a las milésimas el valor del error relativo obtenido. Usando las reglas aprendidas para ello tenemos: Como recordarás, al multiplicar por 100% este último valor, obtienes el porcentaje de error cometido al hacer el cálculo, que en nuestro ejercicio es 1,2%. (1 + x)6 = 1 + 6x + 15x2 + 20x3 + 15x4 + 6x5 + x6 (1 + x)6 = 1 + 6x + 15x2 + ... (1,1)6 ≈ 1 + 6 × 0,1 + 15 × (0,1)2 ≈ 1,75 Error absoluto = valor aproximado – valor exacto Error absoluto = 1,75 − 1,771 561 = 0,021 561 valor exacto Error absoluto Error relativo = ≈ 0,012 170 622 4 1,771 561 0,021 561 Error relativo = Error relativo ≈ 0,012 • Cuando, durante un examen, se le asignó a un estudiante el polinomio: 4m2 + 2m − 20 Para que lo factorizara, perdió algunos puntos porque dio esta respuesta: (4m + 10) (m − 2). Se quejó con su maestro porque el producto (4m + 10)(m−2)sí es igual a 4m2 + 2m − 20 Analiza la situación, ¿piensas que el maestro tenía razón al no darle el total de puntos? Evidentemente el producto de los factores de la respuesta del estudiante dan como resultado 4m2 + 2m − 20, pero la orden del ejercicio indicaba que debía factorizar el polinomio. Es decir, escribir el polinomio dado en forma del producto de polinomios primos o irreducibles. Como se observa en el ejercicio, el primer factor de la respuesta tiene en su interior un factor común. Luego, la respuesta correcta es la factorización completa del polinomio, así: Dado el polinomio 1 − x + x y − y. Una forma factorizada aceptable de la expresión algebraica es el producto (1 − x) (1 − y). Pero, existen otras formas de factorizar al polinomio que también son aceptables o equivalentes. Observa y analiza los siguientes productos e indica: ¿cuál de ellas no es una forma factorizada del polinomio dado? (x − 1) (y − 1) (−x + 1) (−y + 1) (1 − x) (y + 1) (−1 + x) (−1 + y) Para comprobar si los productos presentados son o no aceptables como factorización del polinomio dado vamos a resolver cada uno de los productos mostrados, aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, así: (x − 1) (y − 1) = xy − x − y + 1 (−x + 1) (−y + 1) = xy − x −y + 1 (1 − x) (y + 1) = y + 1 − xy − x (−1 + x) (−1 + y) = 1 − y − x + xy Por último y para ratificar nuestra respuesta aplicamos la propiedad conmutativa en los productos obtenidos para verificar si corresponden al polinomio dado. (x − 1) (y − 1) = xy − x − y + 1 = 1 − x + xy − y (−x + 1) (−y + 1) = xy − x − y + 1 = 1− x + xy − y (1 − x) (y + 1) = y + 1 − xy − x = 1 − x − xy + y (−1 + x) (-1 + y) = 1 − y − x + xy = 1 − x + xy − y De lo anterior se concluye que el producto correspondiente al literal c) no es una forma factorizada aceptable para el polinomio dado, puesto que su producto desarrollado no es igual al polinomio dado. Practica Explica qué propiedades y operaciones se aplicaron para modificar a la factorización (1 − x) (1 − y), dada inicialmente para obtener las que están en los literales a), b) y d). • 4m2 + 2m − 20 = 2(2m + 5)(m − 2) • • El conjunto de los números reales Una vez representados los números racionales y los irracionales sobre la recta, ¿queda ésta llena por completo o, por el contrario, aún quedan espacios vacíos en ella? Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Entre dos números reales distintos siempre existe otro número real». Establece las relaciones de inclusión que existen entre los siguientes conjuntos: , ,  y . Escribe un número natural, un número entero no natural, un número racional no entero y un número real no racional, todos ellos entre −5 y +5. — Representa gráficamente los cuatro números y escríbelos ordenados de menor a mayor. Representa sobre la recta real y ordena de menor a mayor estos números. ; −1,50 Ordena de menor a mayor: ; 0,75 Representa sobre la recta real los intervalos [5, 10], (−4, 3], [−2, 8) y (−1, 9). Escribe en forma de intervalo: a) Los números reales entre −2 y 5, ambos incluidos. b) Los números reales mayores que −3 y menores o iguales que −1. c) Los números reales menores que 6 y mayores que 2. d) El trozo de recta común a los intervalos de los apartados a) y b). Escribe un intervalo cerrado cuyo extremo inferior sea –7 y cuyo punto central se encuentre a una distancia de 9 unidades de dicho punto. Dados los intervalos (−6, 3), y [−2, 10], determina: a) El centro y la amplitud de los intervalos. b) El intervalo común a ambos intervalos. Aproximaciones y errores Escribe una aproximación por defecto y otra por exceso del número 15,692413. Aproxima: a) hasta las unidades. b) hasta las décimas. c) 9,5874... hasta las centésimas. Indica en qué orden de aproximación se ha tomado las siguientes medidas. a) El peso de una persona: 62,7 kg. b) El radio de la Tierra: 6 371 km. c) La longitud de una hormiga: 5,3 mm. d) El tiempo empleado por un ciclista en una prueba contrarreloj: 1 h 25 min 27,23 s. Resuelve la operación con ayuda de la calculadora. Haz una aproximación hasta las centésimas e indica una cota del error absoluto. Efectúa con la calculadora: a) 2,12457 − 2,24153 + 1,21487 b) 5,247 · (0,255 − 0,114) c) (0,274 : 0,5 − 2,560  0,5)  (4,528 − 9,018) d) e) —Presenta tus resultados redondeados hasta las centésimas e indica una cota del error cometido en cada caso. Lenguaje algebraico Expresa en lenguaje algebraico. a) Un número par. b) Un número impar. c) El cuadrado de un número par. d) El triple de un número impar. e) La suma de tres números consecutivos. f) El producto de los cuadrados de dos números consecutivos. 65 66 67 68 69 − − − − 1 2 3 2 3 2 1 1 6 ; ; ; ; ; ; 5 70 5 3 4 2 7 ; ; ; 0; 3; 1 ; 9 ; 5 − − 71 72 73 74 75 76 3 9 1 4 77 78 3 79 4 7 10 1 8 10 2 6 10 3 5 10 , , , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 14 8 10 9 27 10 6 15 10 7 43 10 3 2 2 4 , , , , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − − 80  Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos Ejercicios y problemas   Escribe una expresión algebraica formada por dos términos que cumpla todas las condiciones siguientes. — El coeficiente del primer término es 3 y la parte literal x2. — La parte literal del segundo término es x. — El valor numérico de la expresión algebraica, para x = 1, es 8. Calcula el valor numérico de cada una de estas expresiones algebraicas. Completa esta tabla en tu cuaderno. Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones algebraicas. Efectúa estas multiplicaciones. Expresa estas frases en lenguaje algebraico, como producto de una suma por una diferencia. a) El cuadrado de a menos el cuadrado de b. b) El cuadrado de a menos 25. c) La novena parte del cuadrado de a menos 16. d) El cuádruplo del cuadrado de a menos 81 veces el cuadrado de b. Escribe mediante una expresión algebraica las áreas de las siguientes figuras. ¿Son iguales? Completa esta tabla, en tu cuaderno. Completa en tu cuaderno los números para que sean ciertas las igualdades siguientes. a) ......2 + 5 = 14 b) 32 + 2 · 3 · 5 + ...... = (3 + 5)2 c) 42 − 2 · 4 · ...... + ...... = (4 − 8)2 d) 52 − ...... = (5 + 7) · ( 5 − 7) Completa en tu cuaderno: Operaciones con polinomios Escribe un polinomio de grado 4 cuyo término independiente sea 0. Sea P(x) = 2x3 + 8x2 + 2x − 12. Calcula el valor numérico de P(x) para: a) x = 1 b) x = 2 c) x = 3 Relaciona cada una de estas cuatro figuras geométricas con la expresión algebraica que corresponde a su área. 81 82 a para b) para ) ( ) , 2 5 1 2 5 1 6 2 2 x x x x y x y − = − + − =− = 83 84 a b c ) ) ) a b a b b a b y x y x y x x − + − − + − + − + − + 3 2 9 5 7 3 3 4 6 7 2 2 + − − + + − + − + 1 5 3 2 5 2 2 5 ( ) ) ( ) y x d ab b ba ab b b 85 a c b d ) · ) · · ) · ) · 2 7 2 5 4 4 3 5 4 2 2 2 2 x y x y x y x y z ab a b x y x − y 3 ·3 x3 86 87 88 89 90 a b ) ( ) ) ( ...... ... 49 7 7 7 6 2 3 2 2 2 2 2 x x x a b a b a b + = + − = ... ......) ) − + − + = = c 27 9 81 21 3 a3 b3 a4 b a4 b2 a3 b7 a3 b(...... + ...... − ...... + ......) 91 92 93 a b (a + b) 2 (a − b) 2 a2 − b2 −6 4 1 2 −1 0,2 −2,2 a a b b a a – b b · a 5 b −3 a a − b 4 3 a −2 b a + b 1 2 x A B D C x + 5 1 x + 2 x + 4 x + 2 x + 2 x + 6 a) b) c) d) 1 2 2 4 1 2 5 2 1 2 4 6 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x + + + + + + 3 x + 4 4 2 ¿La suma de dos polinomios de grado 5 puede ser un polinomio de grado 2? ¿El producto de dos polinomios de grado 5 puede ser un polinomio de grado 2? Indica el grado del cociente de una división en relación con los grados del dividendo y del divisor. Dados los polinomios: P(x) = x4 + 3x2 − 2x + 7 Q(x) = −8x4 − 3x3 + x − 5 R(x) = x3 + 7x2 − x + 3 Efectúa las siguientes operaciones. a) P(x) + Q(x) c) P(x) + Q(x) − R(x) b) P(x) − 3R(x) d) 2P(x) − Q(x) − R(x) Sean P(x) = 2x2 + 4x − 8 y Q(x) = x3 − x + 2. Calcula: a) P(x) · Q(x) b) P(x) · Q(x) Efectúa estas divisiones de polinomios. a) (2x3 + 2x2 − 12x) ÷ (x2 − 2x) b) (x3 − 3x2 + 4) ÷ (x2 − 4) c) (x3 + 2x2 − 13x + 10) ÷ (x2 − 3x + 2) d) (x3 + x2 − 6x + 7) ÷ (x2 + x − 6) — ¿Cuáles de las divisiones anteriores son exactas? Calcula las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. a) (x2 + 2x − 3) ÷ (x + 3) b) (x3 − 7x + 6) ÷ (x − 1) c) (x3 + 8x2 − 23x − 30) ÷ (x + 10) Calcula el cociente y el resto de estas divisiones. En Internet, ingresa a las páginas de buscadores y encuentra la calculadora Wiris, aprende a usarla y comprueba tus resultados. a) (x3 − 3x2 − 10x + 10) ÷ (x − 4) b) (x3 − 7x2 − 41x + 100) ÷ (x + 5) Si x es un número entero, expresa mediante un polinomio: a) El cuadrado del número siguiente a x. b) El cuadrado de la suma de x con el anterior a x. c) El producto del número anterior a x por el triple del número siguiente a x. d) La diferencia entre el cubo de x y el cubo del número anterior a x. En una división de polinomios el dividendo es 3x4 − 5x3 + 6x2 + 3x − 2; el cociente, 3x2 + x + 5 y el resto, 12x − 7. Halla el divisor. Divisibilidad de polinomios Explica dos procedimientos para hallar el valor numérico de un polinomio. Utiliza el teorema del resto para calcular el valor numérico de x3 + 2x2 − 5x − 6 para x = 3 y para x = −3. Indica, sin efectuar ningún cálculo, las posibles raíces del polinomio x3 − 3x2 + 4. Usando el teorema del resto halla dos raíces (valores que anulan la expresión) del polinomio x3 − 7x + 6. Al dividir el polinomio P(x) = ax + b entre x − 1 se obtiene de resto 2 y al dividirlo entre x − 2 se obtiene de resto 5. Halla el polinomio P(x). ¿Cuáles de los siguientes polinomios son múltiplos de 2x − 4? a) 2x3 − 6x2 + 8 c) 2x2 + 6x − 4 b) x3 − 2x2 d) x2 + 3x − 2 ¿Cuáles de los siguientes polinomios son divisores de 3x3 + 18x2 + 33x + 18? a) x − 3 c) 3x2 + 3x + 6 b) x + 1 d) x2 − 4x − 1 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de polinomios. a) x3 + 4x2 + x − 6 y x3 − 7x + 6 b) x3 − 3x2 + 4 y 2x3 − 6x2 + 8 c) x3 + x2 − 6x y x3 − 3x2 − 10x + 20 Factorización Factoriza los siguientes polinomios con coeficientes enteros. a) x3 − 2x2 + x b) x3 + x2 − 9x − 9 c) x4 − 9 Descompón en factores los siguientes polinomios. a) 8a – a2 + 4a b) – x – y + z (x + y) 96 97 98 1 2 99 100 95 94 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 @ d) 3mt2 + 12mt – 18m e) u2 – 9u + 14 + uv – 7 f) mn3 – 5mn2 + 6mn En tu cuaderno c) – x (a – 4) – 2x + (2 – a) d) 3y – x 2 + 3xy – x e) b 2 – b 4 f) –x 3 + 10x 2 – 25x g) 81 + a 2 + 18a h) –z 4 +z 2 + z 2 (5z 2 – 10) i) 3z 2 – 7z + 4 j) a 3 – 4a 2 + 4a Usando los lados del siguiente cuadrado calcula su área, luego usa la suma de las sub-áreas e iguala las dos expresiones. identifica que relación se obtiene: Usando el procedimiento del ejercicio anterior, encuentra la relación del área del cuadrado coloreado, en la siguiente figura. Material concreto: representa con material concreto los siguientes polinomios y sus factores. a) a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) b) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) (a + b) Encuentra los factores de los siguientes polinomios usando dos métodos distintos de factorización al iniciar el ejercicio. Compara las respuestas obtenidas. a) x (y + 1) + x (y2 – 1) b) (x + y + 1) + (y 2 – 1) – y 2 – 1 c) 3c (a 2 – b 2 ) + 9c (a + b) d) –4a 2 + 4b 2 Completa los polinomios para que se cumpla la igualdad. a) a 2 + b 2 + = (a + b) (a + b) b) 25x 2 + 25y 2 – = 25(x – y) (x – y) c) 4y 2 – 4xy + = (2x – y) (2x – y) d) 9x 2 – = (3x – 5y) (3x + 5y) Completa en tu cuaderno: a) x2 − 8 x + .......... = (x − ..........) 2 b) .......... − 25 = (x − 5) · (x + ..........) c) 4 x2 + 4 x + .......... = (.......... + 1) 2 Completa en tu cuaderno: a) (3 ..........) 2 · (2 ..........) 3 − (5 ..........) 2 = ..........x12 b) (...........) (........... − 2 x2 + x − 12) = = 10 x4 + .......... − ........... + 24 x Aplicación en la práctica Determina el valor de k para que el resto de la división (2x3 + x2 − x + k) ÷ (x − 1) sea 1. Determina el polinomio de grado 1, P(x), si sabemos que P(1) = 1 y P(2) = 4. Determina el valor de k para que el polinomio x3 − 2x2 + kx + 18 sea divisible por x − 3. Halla un polinomio de grado 3 que sea divisible por x − 3 y por x + 1, y que se anule para x = 2. Halla el polinomio de grado 2 si sabemos que el coeficiente de x es nulo, P(1) = 3 y P(2) = 13. Expresa mediante un polinomio, la cantidad de dinero que podrán reunir tres amigos si el dinero que tiene el segundo amigo es igual al cuadrado del que tiene el primero, menos el quíntuplo de dicha cantidad y el que dispone el tercero, es igual al cuadrado de la décima parte del que tiene el segundo. — ¿Qué cantidad de dinero podrán reunir, si el primer amigo dispone de 10 dólares? 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126  a a b b ba b2 a2 ab b b a a Expresa mediante un polinomio el área de la figura coloreada. Conéctate a la página http://dinamica1.fciencias. unam.mx/Preparatoria8/polinomi/index.html. Examina la explicación que se ofrece sobre polinomios, grado, raíces y factorización de un polinomio. Disponemos del siguiente tapiz. Escribe la expresión algebraica de: a) El área total del tapiz. b) El área de color verde. c) El área de color amarillo. Completa en tu cuaderno el siguiente cuadrado mágico. Más a fondo Efectúa en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones. a) b) Efectúa las siguientes divisiones. a) x4 + 7x3 − 62x2 + 288 x2 + 9x − 36 b) 3x4 + 12x3 −3x2 − 48x − 36 x3 +2x2 −5x −6 c) 6x4 + 32x3 + 22x2 − 44x − 16 x2 + 6x + 8 Una de las aplicaciones directas de la factorización es la simplificación de fracciones o expresiones algebraicas racionales y las operaciones entre éstas. Para resolver los ejercicios siguientes te recomendamos: a) Factorizar el numerador y el denominador de cada una de las fracciones algebraicas; b) Simplificar los factores que sean comunes en cada una de las fracciones; c) Realizar, de ser el caso, la operación indicada entre fracciones usando tus conocimientos de operaciones aritméticas. d) Intenta simplificar el resultado obtenido en el paso anterior. Reduce o simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Realiza las siguientes operaciones indicadas. Realiza las siguientes sumas o restas según co - rresponda. 127 128 129 130 131 132 133 a) 16 2 24 2 b) 6 2+3 3 c) 2 − 2 2− d) 3 3+18 2+24 3 2+12 e) 14 3 21 2 f) 2 2−10 4 −20 g) 2− 2 − 2 h) 2 3+10 2+12 6 2+12 i) 2−9 2+6 +9 j) 2−4 2+4 +4 k) 2− +2 −2 2− 2 l) 2+ −2 −2 2+2 + 2 134 a) 18 2 16 3 3 : 4 b) 2 3 · 6 4 c) 5 : d) 3 2 − · − 6 e) +3 2 2 · 4 +3 f ) +3 3+3 2 · 3 −3 g) 2− −1 · +1 h) + 2− 2 : 2− 2−2 + 2 135 a) 7 5 2 − 2 5 2 b) 3 2 2 + 1 2 2 c) 4 2 −1 − 2 2 −1 d) 5 3 + 6 −4 3 e ) −1 2 2 + 2 −1 2 2 f ) 3 − 1 4 g ) 2 − 1 3 h ) 2 − 1 2 (x2 − 1) (2 x) 2 4 (2 x2 + 1) 5 x2 + 1  1 x2 − — x + 2 2 1 — x − 1 2 6x – 1 3x 6x x + 3 x + 1 y y x y y y y @ 2 2x2 − x + — 3 1— x + 3 2 En tu cuaderno ÷ ÷ ÷ Buen Vivir Es una preocupación para muchas personas alcanzar proporciones físicas que tal vez solo se ven en fotos retocadas o en personas sometidas a cirugías estéticas. Por supuesto que el ejercicio físico modifica las proporciones y medidas del cuerpo, pero siempre dentro de parámetros fisiológicamente determinados. En la antigua Grecia, lo importante era la búsqueda de la belleza ideal. Para los griegos esta radicaba en la perfección, la proporción y la armonía. En el arte, esta búsqueda de relacionar las proporciones de los cuerpos ha sido resuelta con ayuda de la matemática a través de un número conocido como áureo o de oro, al que muchos artistas han recurrido. Actividades Investiguen los beneficios del ejercicio físico en la salud de las personas. Realicen una lista sobre las diversas opciones de entretenimiento para su tiempo libre, no olviden mencionar actividades al aire libre y de actividad física. ¿Qué relación existe entre la actividad física y el Buen Vivir? ¿Creen que en los colegios se debe fomentar la cultura física y la práctica de deportes? ¿Por qué? Comenten cómo se sienten después de practicar algún deporte y si pueden identificar beneficios al hacerlo. Elaboren una campaña sobre el aprovechamiento del tiempo libre con las opciones que enunciaron en el ejercicio anterior y propongan una mañana deportiva o de juegos con sus compañeros/as. Para esto, establezcan un horario para realizar las actividades. 1 2 3 4 5 Buen Cultura física y tiempo libre Vivir Demuestra tu ingenio Las tres puertas En una prueba de un concurso, un participante debe elegir una puerta de entre tres. Detrás de una de las puertas hay un premio, detrás de otra hay una multa y detrás de la otra puerta no hay nada. Cada puerta tiene un cartel y se sabe que uno solo de los tres carteles es falso. Puerta 1: Aquí detrás está el premio. Puerta 2: Aquí detrás está la multa. Puerta 3: Aquí detrás no está la multa. ¿Qué puerta debe elegir el concursante? La excursión de fin de curso En una excursión, 30 alumnos llevan gorra y 20 llevan un plano. Si en total hay 42 alumnos, ¿cuántos, como mínimo, llevan tanto gorra como plano?  Historia Sección de historia 1. La siguiente figura está formada por un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros. a) Escribe un polinomio para expresar su área. b) Halla el área de la figura si x = 3 cm. 2. Indica el resultado de multiplicar los polinomios 2x2 + 7x + 3 y x2 − 1. 3. Escribe un intervalo cerrado de centro −3 y cuyos extremos se hallen a una distancia de 5 unidades de dicho punto. 4. Factoriza estos polinomios. a) x3 + x2 − 9x − 9 b) 5x3 + 15x2 − 65x − 75 1. ¿Cuál es el resto de la división del polinomio x3 + 2x2 − 4x − 6 por x2 − x − 2? 2. Indica el valor numérico de x3 + 2x2 − 5x − 6 para x = 7. 3. ¿Cuál de los siguientes polinomios es divisor de 2x3 + 9x2 + 13x + 6? a) x2 + 3x + 2 b) x2 − 3x − 2 c) x2 + 2x + 3 4. a) Halla un polinomio tal que al sumarlo con el polinomio 3x2 + x + 4 dé como resultado el polinomio x3 + 8x2 + 7. b) Halla un polinomio que multiplicado por el polinomio 3x2 + x dé como resultado 3x4 + x3 − 15x2 − 5x. 5. Aproxima por redondeo hasta las milésimas el número decimal 10,428751. Autoevaluación Coevaluación Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar. x Las civilizaciones antiguas resolvían verbalmente situaciones que hoy describimos mediante ecuaciones. Los griegos clásicos resolvían geométricamente si tua ciones correspondientes a ecuaciones sencillas. Diofanto (s. III) fue el primero en utilizar símbolos en los problemas, aunque resolvía aritméticamente las ecuaciones planteadas. Los hindúes amplían las ideas de Diofanto, pero los árabes vuelven a un álgebra verbal. Del siglo XV al XVII, se introduce y se desarrolla la notación algebraica actual. ( =, +, −, <, , x, x2 ...) Desde el siglo XVIII se han desarrollado avanzadas teorías sobre ecuaciones de ciertos tipos. Actualmente, con la ayuda de ordenadores y métodos numéricos, puede resolverse de manera aproximada cualquier ecuación. P3 C 3 P2 C2 P1 C1 A ARITMÉTICA Diofanto   s            ax5 + bx4 + cx3 + + dx2 + ex + f = 0 si a  0 ax + b – 0 Problema 24: Hallad el valor de este montón si el montón y un séptimo suyo es igual a 19. Hallad las dimensiones de una caja tal que: • Tiene un volumen dado. • Su altura y su anchura son las mismas. • La profundidad es doce veces la altura. 1 2 En un pequeño lago de un parque natural viven dos patos. Uno de ellos, el más joven, es intrépido y presume de volar el doble de rápido que el otro. Ambos se encuentran en una pequeña isla del lago cuando el pato joven decide conocer nuevas tierras y parte volando hacia el Norte. Al poco de su partida se oye, a 1000 metros al este de la isla, la llamada del guarda del parque que les lleva comida. Al oírlo, ambos patos acuden volando y llegan los dos al mismo tiempo. ¿A qué distancia de la isla se encontraba el pato joven? En un principio, las operaciones generales con números cualesquiera se describían con palabras. Así, por ejemplo, términos como arithmos, res y cosa eran formas de expresar un valor entero desconocido. La formulación de problemas aparecía entonces como un complicado juego de palabras: • ¿Cuál es el valor de la cosa cuyo cuadrado coincide con el quíntuplo de dicha cosa aumentado en 6? • ¿Qué valor tiene este montón si el montón y un séptimo suyo son iguales a 19? a utilización de letras por los matemáticos se remonta a la Antigüedad clásica. Basta con echar una ojeada a la forma en que griegos y romanos, por ejemplo, escribían los números. Grecia Roma  →1 I → 1  →2 V→ 5  →3 X→ 10 Sin embargo, el paso de los números a las letras se produjo en el momento en que el ser humano empezó a interesarse, no por los números en sí, sino por las operaciones que pueden efectuarse con cualquier número. L Álgebra La palabra álgebra procede del árabe, concretamente del título del libro Al-jabr w’al-muqabalah, de Mohamed ben Musa al-Jwarizmi (780-850). Aunque los árabes introdujeron el álgebra en Europa durante toda la Edad Media, su desarrollo no se produce hasta el siglo XIV, con el inicio del Renacimiento. El primero en introducir letras distintas para designar por separado los elementos conocidos (parámetros) y los desconocidos (variables) fue el francés François Viète (1540-1603). La sistematización del lenguaje algebraico es obra de otro francés, Descartes (1596-1650). Este matemático y filósofo fue, además, el primero que estableció relaciones entre la geometría y el álgebra. Informática Uno de los pioneros de la actual informática es el matemático e inventor inglés Charles Babbage (1791-1871). Babbage construyó en 1822 una pequeña máquina mecánica movida por vapor que calculaba valores para polinomios de segundo grado, con una precisión de seis cifras. Esta máquina se utilizó para el cálculo de tablas de navegación y de artillería. Posteriormente, se embarcó en el proyecto de lo que llamaría la máquina analítica que, por problemas económicos, no pudo finalizar. Fue su hijo Henry quien la terminó y la presentó en 1910 en la Astronominal Society de Inglaterra. Conéctate en la siguiente página de Internet y amplía tus conocimientos sobre el origen de la informática. http://homepage.mac.com/ eravila/histcomp.html @ Crónica matemática ■ Sistema de numeración griego. 91. Las zonas rayadas son triángulos rectángulos de área: Como sabemos que la base del triángulo es 40 m y su área 600 m2, podemos obtener su altura: La longitud de la calle es la medida de la hipotenusa del triángulo. Para obtenerla aplicamos el teorema de Pitágoras: Si consideramos que se empiezan a poner postes de luz en el extremo de la calle, se tiene que en cada acera se colocan: 50 : 6,25 + 1 = 9 postes de luz. Por tanto, en las dos aceras se colocan 18 postes de luz. 65. Una vez representados los números racionales e irracionales sobre la recta, ésta queda llena por completo, de ahí el nombre de recta real. 67.        69. 71. 73. [−7, 11] 75. Aproximaciones por defecto: 15,6; 15,69; 15,692; 15,6924; 15,69241 Aproximaciones por exceso: 15,7; 15,70; 15,693; 15,6925; 15,69242 77. a) Décimas de kilogramo; b) kilómetros; c) décimas de milímetro; d) centésimas de segundo. 79. a) 1,10. Cota del error absoluto: 0,003 b) 0,74. Cota del error absoluto: 0,001 c) 3,29. Cota del error absoluto: 0,004 d) 0,03. Cota del error absoluto: 0,003 e) 30,02. Cota del error absoluto: 0,005 81. 3x2 + 5x 83. 85. a) 2x3y2; b) 20 a3b3; c) −14x2y2z; d) 5x5y5 87. Las áreas de las dos figuras son iguales. 89. a) 14; b) (3 + 5)2; c) (4 − 8)2; d) (5 + 7)  (5 − 7) 91. Por ejemplo: 9x4 − 3x + x 93. La relación que se establece entre las figuras geométricas y las expresiones de sus áreas es la siguiente: Figura A - b; Figura B - a; Figura C - d; Figura D - c. 95. No, el producto de dos polinomios de grado 5 será un polinomio de grado 10. 97. a) P(x) + Q(x) = − 7x4 − 3x3 + 3x2 − x + 2 b) –3 R(x) = −3 (x3 + 7x2 − x + 3) = −3x3 − 21x2 + 3x − 9 P(x) − 3 R(x) = x4 − 3x3 − 18x2 + x − 2 c) P(x) + Q(x) = −7x4 − 3x3 + 3x2 − x + 2 P(x) + Q(x) − R(x) = −7x4 − 4x3 − 4x2 − 1 d) 2 P(x) = 2 (x4 + 3x2 − 2x + 7) = 2x4 + 6x2 − 4x + 14 2 P(x) − Q(x) = 10x4 + 3x3 + 6x2 − 5x + 19 2 P(x) − Q(x) − R(x) = 10x4 + 2x3 − x2 − 4x + 16 99. a) 2x + 6 b) C = x − 3; R = 4x − 8 c) x + 5 d) C = x; R = 7 — Las divisiones son exactas en los apartados a) y c). 101. a) Cociente: x2 + x − 6; Resto; −14 b) Cociente: x2 − 12x + 19; Resto: 5 103. El divisor es x2 − 2x + 1 105. El valor numérico del polinomio para x = 3 es 24. El valor numérico del polinomio para x = −3 es 0. 107. El polinomio es divisible por x − 1, lo que nos indica que x = 1 es una raíz. El polinomio es divisible por x − 2, lo que nos indica que x = 2 es una raíz. Como que el segundo cociente obtenido es x − 3, x = 3 es una raíz. 109. a) 2x3 − 6x2 + 8 es divisible por 2x − 4. b) x3 − 2x2 es múltiplo de 2x − 4. c) 2x2 + 6x − 4 no es múltiplo de 2x − 4. d) x2 + 3x − 2 no es múltiplo de 2x − 4. 111. a) M.C.D. = (x − 1) (x + 3) = x2 + 2x − 3 m.c.m. = x4 + 2x3 − 7x2 − 8x + 12 b) M.C.D. = (x − 2)2 (x + 1) = x3 − 3x2 + 4 m.c.m. = 2 (x − 2)2 (x + 1) = 2x3 − 6x2 + 8 c) M.C.D. = 1 m.c.m. = x6 − 2x5 − 19x4 + 28x3 + 80x2 − 120x 113. a) a (12 – a); b) (x + y) (z – 1); c) (x + 1) (2 – a); d) (x + 1) (3y –x); e) b2 (1 + b) (1 – b); f) – x  (x – 5)2; g) (a + 9)2; h) z2 (2z + 3) (2z – 3); i) (z – 1) (3z – 4); j) a (a – 2)2 115. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 117. a) xy(y + 1); b) x + y – 3; c) 3c (a + b) (a – b + 3); d) – 4 (a + b) (a – b) 119. a) x2 − 8x + 16 = (x − 4) 2; b) x2 − 25 = (x − 5) (x + 5); c) 4x2 + 4x + + 1 = (2x + 1) 2 121. a) K = −1 123. K = −9 125. Por lo tanto, P(x) = x2 − . 127. El polinomio que expresa el área de la figura es