NÚMEROS REALES EJERCICIOS RESUELTOS – AXIOMAS PDF

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Sistema de los Números Reales (R)
, Desigualdades e Intervalos
, Inecuaciones
, Valor Absoluto
, Axioma del Supremo
, Inducción Matemática ,
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Un conjunto no vacío de vital importancia es el conjunto de los núm eros reales,
que es representado por IR. El sistema de los núm eros reales es el conjunto IR
provisto de dos operaciones adición (+ ) y m ultiplicación (•), de una relación de
orden (< ) que se lee m enor y de un axioma llamado axiom a del suprem o. El sistema de los números reales se denota con (IR; + ; • ; <), pero por simplicidad se usa la notación E . Cada elemento x G IR se llama núm ero real. 1.1.1 A D ICIÓ N Y M U L T IPL IC A C IÓ N DE N ÚM ERO S REA LES La adición y multiplicación de i’úmeros reales son dos operaciones internas en IR y se definen como sigue. Adición. A cada par (a; b) de números reales se asocia un único número real c, llamado sum a de a y b, y se escribe c = a + b. M ultiplicación. A cada par (a; b) de números reales se asocia un único número real d, llamado producto de a y b, y se escribe d = a ■ b. La adición y multiplicación de números reales satisfacen los siguientes axiomas: Ai a + b = b + a, V a , b E l (conmutatividad) (a + b) + c = a + (b + c), V a, b .c £ IR (asociatividad) A3 Existe el número real cero, denotado por 0, tal que a + 0 = a, V a £ l a 4 Para cada número real a existe un número real llamado opuesto de a y es representado por - a , tal que a + ( - a ) = 0 M, ab = ba, V a, b e E (conmutatividad) M 2 (a ¿ )(c ) = (a )(¿ c ), V a, b ,c G E (asociatividad) m 3 Existe el número real uno, denotado por 1, tal que a ■1 = a, V a G E m 4 Para cada número real a diferente de 0, existe un número real llamado inverso de a y se denota por a -1 o — , tal que a ■ a~' a D a (b + c) = ab + ac, V a, b ,c G E (Distributividad) lÓI'K'()S 1)1! CÁI.C’UI.O-VOLUMEN I I as propiedades de estas dos operaciones se enuncian en el siguiente teorema: Teorem a 1 a) Los números reales 0,1, - a y a -1 son únicos. b) a = - ( - a ) , V a £ IR c) Si a & 0, a - ( a -1) -1 d) a • 0 = 0, V a G E e) - a = ( - l ) a , V a 6 E f) a ( - f r ) = ( ~ a )(6 ), V a ,¿ E l g) ( - a ) ( - 6 ) - ab, V a ,b G E h) Si a + c = b + c => a = b
i) Si ac — be y c ^ 0 => a = b
j) ab = 0 <=> a = 0 V b = 0
k) ab * 0 <=* a 0 A b * 0 O a 2 = b 2 *=> a = b V a = – b
D em ostración. Solamente demostraremos algunas de las propiedades, dejando al
lector la demostración de las demás.
a) Supongamos que existan 0 y 0 ‘ tales que
a + 0 = a, V a E B y a + 0 ‘ = a, V a G E
Entonces, 0 ‘ = 0′ + 0 (0 es el cero de E)
= 0 + 0 ‘ (conm utatividad)
— 0 (0’es el cero de IR)
Luego, 0 = 0′.
d) a ( 0) = a (0 + 0) (0 = 0 + 0)
= a ■ 0 + a • 0
Luego, a • 0 = 0 (unicidad d tl cero)
j) (=>) Si a ■ b – 0. Supongamos que u =¡t 0 (probaremos que b = 0), entonces
a _1(a • b ) = a – 1(0) => ( a -1 • d )b = 0 ==> (1 )b = 0 .
Por tanto, b = 0.
(a = b + c
a
c) Si b =¡¿ 0, c = – <=> be ~ a
b
d) a(b — c) = ab – ac
a c ad ± be
e) 4- — __
b ~ d bd
D em ostración, (ejercicio para el lector)
1.1.3 RELA C IÓ N DE ORDEN
Axioma 1. En IR existe un subconjunto denotado por IR+, llamado reales
positivos, que satisface las siguientes condiciones:
01. Cada a G K satisface una y sólo una de las siguientes condiciones:
a G E + , – a 6 IR+ , a = 0.
02. Si a G E + y b G IR+, entonces a + b 6 IR+ y ab G IR+.
Definición 1. Si a, b G IR, se dice que a es m enor que b y se denota por a < b , si y solo si b — a 6 K+. Si a < b, también se escribe b > a y se lee es m ayor que a ”.
De la definición se deduce:
a G l R + < = * a - 0 e lR + 0 < a < ? = > a > 0 y I R + = { a e R /a > 0 }
Se dice que a es m enor o igual que b y se escribe a < b, si y solo si a a.
3
T<')|>ICOS DI C A I < 111,0 VOLUMEN I I i i i 11' iii ti l hitilo 111 /' 1 IHI, sólo una de las condiciones siguientes se verifica. 11 11 rt ii h ó 1) < a (Ley de tricotomía) 1») 11* *11, V 11 1 IR. Si a * 0 => a 2 > 0
i l si ii /» y /) < c => a < c (Ley transitiva) •1) si a ■ b > a 4- c < b 4- c , V c G E (Ley de m onotonía p ara la sum a) c) SI a < b y c < d = > a + c < b + d 1) SI a < b y c > 0 = $ a c < b c g) Si a < b y c < 0 =* ac > be
h) Si a < b y 0 < c < d = > a c < b d i) Si a > 0 => a -1 > 0. Si a < 0 a -1 < 0 ( a y a -1 tienen el mismo signo) j) Si 0 < a < b => a -1 > b ” 1 > 0. Si a < b < 0 => a ” 1 > b~l
k) ab > 0 « ( a > 0 y ¿ > 0) ó ( a < 0 y l ) < 0) (ab > 0 « ( a > 0 y í ) > 0) ó ( a < 0 y i i < 0 ) O ab < 0 « ( a > O y K O ) ó ( a < O y / i > 0 )
[ab < 0 « ( a > 0 y ¿ < 0) ó ( a < 0 y ! ) > 0)]
m) Si a > 0 y b > 0, entonces a < b <=> a 2 < b 2 n) a 2 + ¿ 2 = 0 » a = 0 y i ) = 0 Demostración. a) Si a, b G IR =* a — b G IR. Luego, solo una de las siguientes condiciones se cumple: a - b G I + ó - (a - ¿ ) G R + ó a - b = 0. Entonces, a - b > 0 ó b – a > 0 ó a = ¿.
Ello es equivalente a: a > b ó b > a ó a = b.
f) Si a < b y O 0 = > ( í ) – a ) G R + y c £ B +
=> (b – a )c G K+
=> (be – ac) G R +
=> be — ac > 0
=> ac < be. k) Si a > 0 y b > 0 => ab > 0. También, si a < 0 y b < 0, entonces - a > 0 y – b > 0 y ab = ( – a ) ( – b ) > 0 .
Por otro lado, si a b > 0 = > a * 0 y b * 0 (teorema 1-k).
Si a > 0 => a -1 > 0 y b – a~1(a b ) > 0 . A nálogam ente, si a < 0 => a -1 < 0 y b = a ~ \ a b ) < 0. La demostración de las otras propiedades queda como ejercicio para el lector. 4 ( HJSERVACION 1. Si a y b son dos números reales tales que a 2 — b, se dice i/i/c a es la raíz cuadrada de b y se escribe a — Vb. Por ejemplo, 2 y —2 son mices cuadradas de 4, pues (—2) 2 — 2 2 = 4 En lo que sigue, la notación \íb indicará la raíz cuadrada positiva y —\¡b, la raíz cuadrada negativa. De esta manera. v 4 — 2 y —V4 — —2. Si b < 0, por el teorema 3 (b), no existe a G M tal que a 2 = b. En otras l 'alabras, no existe raíz cuadrada de Ios núm eros negativos. I ii el caso que a 2 = 0, se deduce que a — 0. Por tanto. Vo = 0. lín lo que sigue, por “resolver la ecuación E( x ) — 0", donde E (x ) es una expresión algebraica, se entenderá que es determinar todos los números reales que Mitisfacen dicha ecuación. I’or ejemplo, al resolver la ecuación 3x — 6 = 0 se obtiene x = 2, porque ((2) — 6 = 0. Por otro lado, la ecuación x 2 4- 4 = 0 no tiene solución (en IR), pues x 2 + 4 > 0 , V x G K .
I jemplo 1. Resuelva las siguientes ecuaciones
a) 3x + 2 = 4 – x b) x 2 – 2x — 3 = 0
c) x 4 – 13X2 4-12 = 0 d) x 3 – 3 x 2 4- x + 2 = 0
Solución
, i ) 3×4- 2 = 4 – x<=>4x = 2<=^x = 1/2. b) x 2 — 2x — 3 = 0 <=> (x + 1 )(x — 3) = 0
<=>*4-1 = 0 V x — 3 = 0
<=>x = — 1 V x — 3. (Teorema 1-j)
Otro método (completando cuadrados)
x 2 – 2x – 3 = 0 <=> x 2 – 2x 4- 1 = 3 4-1 <=> (x – l ) 2 = 4
<=> x — 1 = —2 V x — l = 2 < = > x = —1 V x = 3.
c) x 4 – 1 3 x 2 4-12 = 0 <=> (x 2 – 1 2 )(x 2 – 1) = 0
<=> ( x – V T 2 ) ( x + V l 2 ) ( x – l ) ( x 4 -1 ) = 0
<=> x = 2V3 v x = -2 V 3 v x = l v x = —1.
il) Aplicando Ruffini se tiene: x 3 – 3 x 2 + x 4- 2 = (x – 2 )(x 2 – x — 1) = 0
Luego, x — 2 = 0 V x 2 – x – l = 0
NUMEROS REALES
1 ± J l 2 4 -4 (1 )
x = 2 V x = ————- ————–
1 – V 5 1 + V S
Por tanto, x = 2 V x = — – — – V x = — – — .
5
T O P I C O S 1)1′ C A I ( t i l O V O I I IMI N I
I } l>l S M . I I A I l ) A I ) l S I I N T E R V A L O S
1 …….. .. •” ” *«l* • identifican con los puntos de una recta. Esta identificación
i< iill/ii ili l «Igulente modo: l *.i«l.» mili 1.1 l.i I. (por conveniencia horizontal) y una unidad de medida arbitraria, ll|iiino'i un punto 0 de la recta y a éste se identifica con el número cero. Luego, a • iiln número real X se identifica con el punto que está situado a x unidades a la ■ In ri lm de 0 si x > 0 y con el punto situado a – x unidades a la izquierda de 0 si
* < 0 ( F i g . 1.1). . 2n ~5 --4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7__________ Fig. 1.1 Esta correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta es biunívoca, es decir, a cada número real le corresponde un único punto y a cada punto le corresponde un único número real. En lo que sigue, no se hará ninguna diferencia entre ambos elementos (punto y número). Teniendo en cuenta esta identificación, si x e y son dos números reales tales que x < y , entonces x está a la izquierda dé y , a una distancia de y - x unidades (Fig. 1.2) — ........ W X y Fig. 1.2 Una expresión que contiene relaciones como <, < , >, > es llamada una
desigualdad. Así:
a) x < y < z significa x < y A y < z b) x < y < z significa x < y A y < z c) x < y < z significa x < y A y < z d) x < y < z significa x < y A y < z NÚMEROS REALES I >ados los números reales a y b con a < b, los intervalos son ciertos Mibconjuntos de R y pueden ser: INTERVALOS FIN ITO S Intervalo abierto: (a; b) = {x e K /a < x < b) (Fig. 1.3) Intervalo cerrad o : [a;b ] = [x e K / a < x < b) (Fig. 1.4) Intervalo sem iabierto: [a; b) = [x e E / a < x < b) (Fig. 1.5) ( a ; b] - ( x e l / a < x < b} (Fig. 1.6) Fig. 1.3 Fig. 1.4 Fig. 1.5 INTERVALOS IN FIN ITO S ( a ; + o o ) = {x e R / x > a}
( -oo; a ) = [x e R / x < a} [a; + o o ) = {x e R / x > a}
( oo; a ] = {x e R / x < a} ( -oo; + o o ) = K (Fig. 1.7) (Fig. 1.8) (Fig. 1.9) (Fig. 1.10) Fig. 1.6 7 Ejemplo 2. Dados los intervalos A = [3; 5 ], B = <4;7] y C = [8 ; 10], entonces: a) A n B = (4;5] b) B n C = 0 A O rs TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I I * ----------B- 10 c) A U B = [3; 7] A - í = d ) i 4 UC = [3; 5] U [8; 10] 4- f 10 Ejemplo 3. a) Si a: e (1;2], pruebe que x 2 — 2x e (—1; 0]. b) Si a: £ (0; 2), halle los números m y M tal que m < x-- -~-f-*- -2< M Solución ~ + 5 a) Si x e (1;2] < = > l < x < 2 < = S ' 0 < x —1 < 1 < = > 0 < ( x — l ) 2 < 1 «=> – 1 < (x - l ) 2 - 1 < 0 <=> – 1 < x 2 - 2x < 0 <=> x 2 – 2x 6 ( – 1; 0]
b) S i x £ ( 0 ; 2 ) = > 0 < x < 2 < ^ > 5 < x + 5 < 7 < = > – < —!— < - i j (n 7 j: + 5 5 También se verifica 2 < x + 2 < 4. (II) Multiplicando las desigualdades (I) y (II) (teorema 3-h), se obtiene: 2 x + 2 4 2 4 — < ----- < —. Por tanto, m = — y M = — 7 * + 5 5 7 5 1.3 INECUACIONES Una inecuación es una expresión algebraica que contiene las relaciones <, <, >
V >. Son ejemplos de inecuaciones:
3x – 4 < 2 - x (Inecuación de 1er. grado) 3 x 2 - 4 x - 5 < 0 (Inecuación de 2do. grado) x 2 - 5x + 4 x2 _ — > x + 2 (Inecuación racional)
Se dice que un número real a satisface una inecuación si al reemplazar la
variable de la inecuación por a, la desigualdad se hace verdadera. Por ejemplo, 2
satisface la inecuación 3 x 2 – 4x – 5 < 0, porque 3 (2 ) 2 - 4 (2 ) - 5 < 0; mientras que 4 no satisface la inecuación 3x - 20 > 0, porque 3 (4 ) – 20 < 0. 8 NUMEROS REALES I I conjunto de todos los números que satisfacen una inecuación se llama conjunto solución, y resolver una inecuación significa hallar su conjunto solución. Ejemplo 4. Exprese en intervalos el conjunto solución de 3x — 4 < 2 + x. Solución 3x — 4 < 2 + x < = > 2 x < 6 < = > x < 3 Luego, el conjunto solución es C. S . — (—°o; 3). Ejemplo 5. Resuelva la inecuación x 2 — 4 < x + 2. Solución a. Primer método x 2 - 4 < x + 2<^>x 2 – x – 6 < Q < ^ > { x + 2 )(x – 3) < 0 < = » ( x + 2 > 0 A i – 3 < 0 ) ó ( x + 2 < 0 A x - 3 > 0 )
< =>(*> —2 A x < 3) ó {x < - 2 A x > 3)
« x E ( – 2 ;3 ) .
<- 1 -2 3 -2 Segundo Método (Completando cuadrados) x 2 - 4 < x + \ < ^ x 2 - x < 6 < ¿ = * x 2 - x + - < 6 + - 4 4 ( xv 25 r 2) < 4 < = > – 2 < x < 3 < = > a: e ( – 2 ; 3).
c. Tercer Método (Método de los puntos críticos)
x 2 – 4 < x +2 < =* x 2 - x — 6 < 0 < = > ( x + 2)( x – 3) < 0 Los valores de x para los cuales {x + 2)(x — 3) = 0 son x = —2 y x = 3 (puntos críticos). ...................I + + + + +Í + + + + + Signo de x+2 4 -----------------------O---------------------------Q----------------------------► + + + + + Signo de x-3 M----------------------------- O — O --------- ► Signo de (x+2)(x-3) ,+ - ----—+- ----—+- ---—+— —-— -— -— -— O ---- -+--- -----+--- -----+-- -----+------- ► -2 3 En el último diagrama se observa que (x 4- 2) ( x — 3) < 0 , si x € (—2; 3). 9 TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I OBSERVACIÓN 2. (Regla para determinar el signo de un producto ó de un cociente) a) Para determinar el signo de x - a, se tiene en cuenta lo siguiente: Signo de x - a e s + < = > x – a > 0 < = > x > a < = * x está a la derecha de a. Signo d e x ~ a e s - < ^ x - a < 0 ^ x < a ^ x está a la izquierda de a. b) Para determinar el signo de un producto, se considera las reglas (+)(+) = + ; ( - ) ( - ) = + ; (+)(_) = _ . (_)(+) = _ Resultado similar se obtiene para el cociente. Ejemplo 6. Resuelva la inecuación x Solución X + Usaremos el método de los puntos críticos. x + 4 x x + 4 x------7-^ < x--+----1- x - 7 x + 1 12 (x + j ) (x - 7 )(x + 1) (* + l) (.X - 7 ) 0 + 1) (* _ 7~)(x + 1—) < o Los puntos críticos son los valores de * que hacen cero al numerador y al denominador de , es d e » , x - - i x - 7 y x . Signo de x +1/3 Signo de x-7 Signo d e * + / Signo d e . * + ( * - 7 ) ( * + l) •4— + + + + + + + < ----------------------- - J— + + + — ► + — — : — + + + + + + + J— + + — ► + - - V + k . —— : — : — c J------ + + — ► + — ► -1/3 Luego, el conjunto solución es C .S. = ( - 00; - 1) u ( - 1/ 3; 7) evnrPt V'ta r r / T baj? de determinar los siSnos de cada factor (considerando que la expresión E {x) solo tiene un signo en cada uno de los intervalos abiertos determinados por los puntos críticos), será suficiente tomar un punto en cada signo de E( x ) en todo eel! iSnitgenr°v adloe .E(X) en dich0 punt0- Este siSno será a su vez el NUMEROS REALES x + ¿ 1 11 el ejemplo anterior, la expresión es E(x) = —— + ^ se t ‘ene e* siguiente cuadro: Intervalo Signo de £ (x ) Conjunto solución de E( x ) < 0 ( - 00; - 1) ( - 1 1 - 1 / 3 ) ( - 1 / 3 : 7 ) (7; + 00) parax = —3 : - para x = 0 : + para x = 2 : — p arax = 1 0 : + < - o o ; - l ) u ( - - ; 7 >
OBSERVACIÓN 3.
11) Si los grados de multiplicidad de todos los puntos críticos son impares, es
suficienté determinar el signo de E (x ) en un solo intervalo. En los demás
intervalos los signos se colocan en form a alternada.
h) Si el grado de multiplicidad de algún punto crítico es par, el signo de E( x ) se
repite en los intervalos adyacentes donde aparece el punto crítico.
1.3.1 MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
líl m étodo de los puntos críticos se utiliza para resolver inecuaciones de la
forma: E( x ) > O ó £ ( x ) < 0. El procedim iento es el siguiente: 1. D eterm inar los p u n to s críticos (los valores de x para los cuales el n u m erad o r o el den o m in ad o r de E (x) se anulan). 2. Hallar en la recta real todos los intervalos abiertos d eterm in ad o s p o r los puntos críticos. 3. D eterm inar el signo de £ (x ) en cada uno de los intervalos obtenidos (te n e r en cuenta la observación 3). 4. El conjunto solución de la inecuación es la unión de todos aquellos intervalos que satisfacen la inecuación. I’ara las inecuaciones de la form a E( x ) > 0 ó E( x ) < 0, se procede com o en el raso an terio r, agregando en los intervalos corresp o n d ien tes todos los valores de x p ara los cuales £ (x ) = 0 . x 4 4- 2 x 3 - 1 3 x 2 - 14x + 24 lijem p lo 7. Resuelva la inecuación ---------------- — —2------------------ > 0.
Solución
x 4 + 2 x 3 – 1 3 x 2 – 14x + 24 (x – l ) ( x – 3 )(x + 2 )(x + 4)
————– —— 5—————- > 0 « ——— 7 7 =—– 11 — íl ——-i > o
5 – x 2 ( V 5 – x ) ( V 5 + x)
11
Puntos críticos: x = – 4 , x = -V 5 , x = – 2 , x = 1, x = V5 y x = 3 (los
puntos críticos tienen grado de m ultiplicidad igual a 1).
— + — + — + —
d i g n o (fo i (x) .4 . – , __ -r x 1 ~ ^
– 4 -V5 – 2 1 Vi 3
I I conjunto solución es C . S . – [ – 4 ; -V 5 ) U [ – 2 ; 1] U (V5; 3],
1.4 VALOR ABSOLUTO
Iii valor absoluto del número real a, denotado por |a | , se define como:
, , _ f a , si a > 0
a l – a , si a < 0 Por ejemplo |8 | = 8 , |0| = 0 y | - 5 | = - ( - 5 ) = 5 Geométricamente, |a¡ representa la distancia entre el punto de la recta real a y el origen O (Fig. 1.11). Así mismo, \a - b\ - \b - a\ se interpreta como la distancia entre los puntos a y i» (Fig. 1.12). TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Demostración a) Es trivial (de la definición de |a |). b) Si a y b son números reales, entonces existen cuatro posibilidades: a > 0 A b > 0 = > \ab\ = ab = |a ||fr|
a < 0 A i < 0 = > \ab\ = ab = ( – a ) ( – ¿ ) = |a ||f t|
a > 0 A ¿ < 0 = > |a ¿ | = – a b = a ( – b ) = | a | | 6 |
a < 0 A b > 0 = > |a ¿ | = – a b = ( – a ) b – |a ||b |
Por tanto, \ab\ = |a ||¿ |, V a , ¿ G E .
12
HUMEROS REALES
c) De la definición de valor absoluto se verifica a < |a |, V a G E (I) Si a, b e R = > a + b = 0 V a + b * 0
Si a + b = 0 => |a + b\ = 0 < |a | + |¿ | <=»|a + í>| < |a | + |¿ | (II) |a + ¿>|
Si a + b gt 0, sea t = ——- —, entonces t| = 1 y
a + b
\a + b\ – ta + tb < |t a | + |t ¿ | (de I) |a + b\ < |t a | + \tb\ = |t ||a | + |t j |¿ | - |t |( |a | + |fc|) = |a | + \ b \ , pues |t| = 1. Luego, si a + b ^ 0, entonces \a + b\ < \a\ + |fa|. (111) Por tanto, de (II) y (III) se tien e \a + b\ < |a | + |fa| , V a, b e E. El valor absoluto satisface otras propiedades adicionales que se enuncian en el siguiente teorem a: TEOREMA 5. a) |a |z = a 2 b) Si b > 0, \a\ =b<í=>a = b \ / a – –
c) \a\ = \b\ *=> a = b V a = —b
d) | – a | = |a | = V a2
e) la l í, n
b l – u i – b * °
0 Si a < x < b => |x | < m á x { |a |,\b\} g) Si b > 0 , \x\ < b <=* - b < x < b h) Si b > 0 , |x | < b <=> – b < x < b i) \x\ > b <=> x > b V x < - b i) |x | > b <=> x > b V x < - b k) ||a | - |fa|| < |a - b\ < |a | + \b\ Demostración. .1) Es inmediata a partir de la definición. h) Como b £ 0 , |a | = /)<=> a 2 = b 2
a
TOPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
a – b V a = – b .
o) SI t
\ ( l > \
, entonces tb = a. Luego,
|6 | ‘¿ i \b\
K) Si b > 0, entonces
|x | < b <=> x 2 < b 2 <=> – ^ b 2 < x < ^ - b < x < b. j) S i / ; > 0, entonces
|x | > b <=* x 2 > b 2 <=> x > b V x < - b . (Las pro p ied ad es i) y j) se verifican para todo b e K) k) En p rim er lugar, se tiene la - 6 | = |a + (-¿>)| < |a | + | - ¿ | = |a | + |¿ | Luego, \ a - b \ < |a| + |¿| Por o tro lado, \a\ = |( a - b ) + b \ < \ a - b \ + |¿ | => |a | – |¿ | < \a - b\ \b\ = I(b - a) + a\ < \b - a\ + |a | |¿ | - |a | < \a - b\ P o r ta n te .- | a - f , | < |a | - |¿ | < |a - b\ <=» ||a| - |6|| < |a - De (I) y (II) se verifica | | a | - | 6 | | < | a - & | < | a | + |H Ejemplo 8. Resuelva las siguientes ecuaciones: a) |2x - 4 | = 6 " 3 ^ + 1 c) ||5 - 2jc| - 4 | = 8 e) |x —l | + 4 | x - 3 | = 2 |x + 2| Solución « — = 4 d) 2\x - 1| - x 2 + 2x + 7 = 0 0 I* 2 —4| = |2x | a) |2 x - 4 | = 6 <=> 2 x – 4 = 6 V 2x – 4 = – 6
‘ <=> x = 5 V x — – 1 .
b)
3x + 1
x – l
(O
b\ (ii)
14
NUMEROS REALES
c) ||5 – 2 x \ – 4 | = 8 <=> |5 – 2*1 – 4 = 8 V |5 – 2x| – 4 = – 8
<=> |5 – 2x| = 12 V |5 – 2 x | = – 4
« 5 — 2x — 12 V 5 — 2x = —12
7 17
«=> x = – – V x = — .
2 2
(I) 2 |x — 1| —x 2 + 2x + 7 = 0 2 | x – 1| — (x — l ) 2 + 8 = 0
<=>|x – 1 |2 – 2 |x – 1| – 8 = 0 <=* (|x - 1| - 4 )(|x — 1| + 2) = 0 <=>|x—l | = 4<=>x = 5 Vx = – 3 .
c) Sea E( x ) la ecuación: |x — 1 1 + 4 |x — 3| = 2 |x + 2|
En este caso ten d rem o s en cuenta la definición de cada valo r absoluto.
Igualando cada valor absoluto a cero, se obtienen los puntos x = 1, x = 3
y x = – 2.
4 —————– 1——————————1——————–1—————– ►
– 2 1 3
1) Para x > 3, |x – 3| = x – 3, |x + 2| = x + 2, |x – 1| = x – 1
En este intervalo ^ ( x ) es equivalente a:
(x – 1) + 4 (x – 3) = 2 (x + 2)
La solución de esta ecuación es x = —1 7 e [r3; +o°)
2) Para 1 < x < 3, |x - 3| = 3 - x, |x + 2| = x + 2, |x - 1| = x - 1 En este intervalo, E (x) es equivalente a: 7 (x - 1) + 4(3 - x) = 2(x + 2) =* x = - e [1; 3) 3) Para —2 < x < 1, |x - 3| = 3 - x, |x + 2| = x + 2, | x - l | = 1 - x En este intervalo, E (x) es equivalente a : 9 (1 - x ) + 4(3 - x ) = 2(x + 2) => x = – i [ – 2 ; 1)
4) Para x < - 2 , |x - 3| = 3 - x, |x + 2| = - x - 2, |x - 1| = 1 - x En este intervalo, E( x ) es equivalente a: 17 (1 - x) + 4(3 - x) = 2 ( - 2 - x ) = > x = y í (-oo; – 2 )
17 7
Por lo tanto, las únicas soluciones son x = — ó x = – .
Ejemplo 9. Si A = {x £ E / |2x – 4| < 10), B = {x £ E / |3 x - 1| > 1} y
C = {x £ E / |x 2 — 4| < 2}; halle (j4 u C ) n B y expréselo en forma de intervalos. Solución Para determinar A, resolvemos la inecuación |2x — 4| < 10 |2x — 4| < 10 <=> – 1 0 < 2x - 4 < 10 <=> – 3 < x < 7. Luego. A = ( - 3 ; 7). 2 Por otro lado, | 3 x - l | > l « f = > 3 x – l > l v 3 x – l < - l < = > x > – v x < 0 . Entonces, B = (—oo; 0] U [2/3; +oo). Para determinar C, transformaremos la inecuación dada en otra equivalente que no contenga valor absoluto, con la finalidad de usar el método de los puntos críticos. En efecto, |x 2 - 4| < 2 <=> (x ? – 4) 2 < 22 <=> [(x 2 – 4) – 2 ][(x 2 – 4) + 2] < 0 <=> E( x) – (x – V ó)(x + V ó)(x – \Í2 )(x + V2) < 0 — -j- _ _L Signo de E(x) *--------------o--------------------------- o--------------------- o------------------------------o_____________* & -y¡2 -J2 v6 Por tanto, C = <—Vó; -V 2 ) U (V2; V6 ). Como A U C = A, entonces (A U C) n B = ( - 3 ; 0] U [2/3; 7). Ejemplo 10. Resuelva |x + 4| — |5 - 2x| > 4.
Solución
|x + 4] – |5 – 2x| > 4 <=> |x + 4| – 2 |x – 5 /2 | > 4 …( * )
Procediendo como en el ejemplo 8, tenemos
* ——————– 1————————————-1—————— ^
– 4 5/2
1) Si x > 5 /2 , (*) es equivalente a (x + 4) — 2(x – 5 /2 ) > 4 «=> x < 5. Considerando la restricción x > 5 /2 , una primera solución es x £ [5 /2 ; 5).
2) Si – 4 < x < 5 /2 , (*) se reduce a (x + 4) - 2 (5 /2 - x ) > 4 <=* x > 5 /3 .
Considerando la restricción, una segunda solución es x £ (5 /3 ; 5 /2 ).
3) Si x < - 4 , (*) se transforma en — (x + 4) - 2 (5 /2 - x ) > 4 « x > 13.
Considerando la restricción, la tercera solución es 0.
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación es C.S. = (5 /3 ; 5).
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I NUMEROS REALES
I S AXIOMA DEL SUPREMO
Antes de definir las cotas de un conjunto A (A c E ), veamos algunos conjuntos
usuales de E:
I. El Conjunto de los números naturales, denotado con (N), es el conjunto
N =-{1, 2,3 ,4 …………..n . n + 1 , …}
Si n £ N, n es llamado número natural.
El Conjunto de los números enteros, denotado con (Z), es el conjunto
% = {……….. – 4 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,…}
Si z £ Z, z es llamado número entero.
1 El Conjunto de los números racionales es denotado por (Q) y
Q = / a £ TLy b £ Z con b ^ 0j
Si q £ Q, q es llamado número racional.
I El Conjunto de los números irracionales es denotado por (H) y
5 = {x e E / x g Q}
Si x £ 1,x es llamado número irracional.
Son números irracionales: \¡2, V3, V5, V7, V2 + V3, V5 — V7. También
lo son 7r = 3,14159265 … y e = 2,718281828459 …
Una propiedad de los números racionales e irracionales es que entre dos
números racionales existen infinitos números irracionales y entre dos
números irracionales existen infinitos números racionales (Q e l son densos
en E).
También se verifica:; RLc: Z c Q c E , E = Q u l y Q n I = 0,
Definición 2. Sea A un subconjunto no vacío de E
i) Se dice que A es acotado superiormente si existe c £ E tal que
x < c , V x £ A. El número c es llamado cota superior de A. Ii) Se dice que A es acotado ¡nferiormente si existe d e E tal que d < x , V x £ A. El número d es llamado cota inferior de A. i) Se dice que A es acotado si existe k > 0 tal que
|xj < k , V x £ A. Un conjunto es acotado si-es acotado superiormente e ¡nferiormente. 17 Son ejemplos de conjuntos acotados inferiormente los conjuntos Rí, j— / n £ Rfj y ( 0 ;+co). Una cota inferior de estos conjuntos e s - 5 . Por otro lado, los conjuntos (-oo; 3] , {x £ IR / 5 - (x - l ) z > 0} son conjuntos
acotados superiorm ente y una cota superior de ambos conjuntos es 6 .
Ül conjunto j—/ n e w | es acotado, m ientras que N y (—oo; 3] no son acotados.
Definición 3. Sea A un subconjunto no vacio de IR.
a) s £ E es llam ado supremo de 4 (se denota s = S u p ( A )) si:
i) s es cota su p e rio r de A, es decir, x < s , V x 6 A. ii) Si b £ IR y b < s, entonces existe x £ A / b < x < s. b) r £ IR es llam ado ínfimo de A (se denota r = I n f ( A )) si: i) r e s cota inferior de A, es decir, r < x, V x £ A. ii) Si c £ E y r < c, entonces existe x & A / r < x < c. El supremo de un conjunto es la menor cota superior y el ínfimo es la mayor cota inferior. Si-el supremo o el ínfimo de un conjunto A pertenecen al conjunto, estos son llamados máximo de A (máx(.4)) y mínimo de A (mín(j4)), respectivamente. Ejemplo 11. Dados los conjuntos A = (0; 9 ] , B = / n £ FSl} y C = {x £ Q / - 4 < x < 3} se verifican: a) I n f ( A ) = 0, S u p ( A ) = 9 = m áx(i4). b) I n f ( B ) = 0, S up(B ) = 1 = m áx(B ). c) C es acotado, pues es acotado superior e inferiormente. C no tiene máximo porque si x £ C, siempre existirá y £ C tal que x < < 3. En otras palabras, no existe m £ C tal que x < rrí, V x £ C. Análogamente, se demuestra que C no tiene mínimo, pero 5up(C ) = 3 e I n f { C ) = —4. Con el siguiente axioma (del supremo), se completan los axiomas que definen el sistema de los números reales. Axioma 2. (Axioma del supremo) Todo subconjunto no vacío, acotado superiormente, B c E posee supremo s = Sup ( B) £ E. I (')IMC'()S DE CÁLCULO - VOLUMEN 1 NÚMEROS REALES Teorema 6. Sea A c l con A * 0. Si A es acotado inferiorm ente, entonces posee ínfimo. Dem ostración. Sea B = { - x / x £ A) + 0. Si c es cota inferior de A, entonces c < x , V x £ 4[ <=> —x < —c , V x £ 4 l.uego, - c es cota superior de B . Por el axioma del supremo, B posee supremo, es decir, existe s £ E tal que s = Sup( B) y - s = I n f ( A ). Una propiedad importante del conjunto de los números enteros es la que se enuncia en el siguiente teorema: Teorem a 7. (Principio del buen orden). Todo subconjunto no vacío de Z, ■icotado inferiormente, posee mínimo.__________________________________ ____ Dem ostración. Sea 4 c Z, A ± $ y A acotado inferiormente, entonces por el teorema anterior, A posee ínfimo. Sea s = l n f ( A ), bastará probar que 5 £ A. Por ser s = l n f (A) y por ser 5 < 5 4-1, existe n 0 £ A tal que s < n 0 < s + l = > n 0 – l < s = > ( n 0 – l ) £ 4 (pues s = / n / ( 4 ) )
Por tanto, s = n 0 £ A.
1.6 INDUCCIÓN M A TEM Á TIC A
Kn matemática, muchas definiciones y proposiciones se realizan usando el
principio de inducción matemática que se enuncia en el siguiente teorema.
Teorem a 8. (P rim er principio de Inducción M atem ática)
Sea P (n ) una proposición enunciada en términos de n, n £ N, tal que
Io.- P ( l ) es verdadero.
2o.- Si P (h ) es verdadero, h > 1, implica P( h + 1) es verdadero (Hipótesis
inductiva).
Kntonces, P (n ) es verdadero, V n £ N. ___________________ _
Dem ostración.
Sea A = { n e U / P (n ) es falso} c N. Probaremos que A = 0.
Supongamos que A * 0, entonces por el principio del buen orden, A posee
mínimo a0, es decir, P ( a 0) es falso.
Como P ( l ) es verdadero =* a0 > 1 =* ( a 0 ~ 1) e N A a o ~ 1 e A ‘ Pues a ° es
mínimo. Como ( a 0 – 1) € A =* P (a0 – 1) es verdadero. Luego, por la hipótesis
inductiva P ( ( a 0 – 1) + 1) es verdadero, es decir, P ( a 0) es verdadero. Lo que
contradice al hecho de que a 0 es mínimo de A (P (a0) es falso).
Por tanto, A = 0, es decir, P (n ) es verdadero V n £ t J .
, „ „ _ n ( n + 1)
E jem p lo 12. D em uestre que 1 + 2 + 3 + •■• + n = — —–
Solución
n (n + 1)
En este caso P (n ): 1 + 2 + … + n = ————
2
1(1 + 1)
Para n — 1, P ( l) : 1 = ————– es verdadero
Supongamos que P (h) es verdadero (hipótesis inductiva), es decir,
h (h + 1)
1 + 2 + … + Ai = —————
2
P robarem os que P (h + 1) es verdadero, esto es.
( h + l)[(/i + 1) + 1]
l + 2 + . . . + /i + ( / i + l ) = ———– ———————————— -•
En efecto,
Entonces, por el primer principio de inducción matemática se cumple que
n (n + 1)
l + 2 + … + n = —— — V n 6 fS1.
Ejem plo 13. Pruebe que n 3 — n es divisible por 6. V n £ N.
Solución
P (n ): n 3 — n es divisible por 6, V n £ RJ
Recordemos que a es divisible por b si a = be, c e l .
1) Para n — 1, P ( l ) es verdadero, pues 0 — 0 = 6(0)
2) Sea h > 1 y supongamos que P (/i) es verdadero (hipótesis inductiva), es
decir, h 3 – h = 6k, k £ TL.
Probaremos que P (/i + 1) es verdadero. En efecto,
(ft + l ) 3 – (/i + 1) = h 3 + 3 h2 + 26
(/t3 – h ) + 3 h 2 + 3h = 6 k + 3h{h + 1)
Como h y h + 1 son naturales consecutivos, uno de ellos es par y el producto
h(h + 1) es divisible por 2, entonces h{h + 1) = 2r, r £ TL.
Luego, (/i + l ) 3 — (h + 1) = 6k + 3(2r) = 6 (/c + r) = 6m, donde m = (7c + r ) £ H.
Entonces, por el primer principio de inducción matemática
n 3 — n es divisible p o r 6 , V n £ N.
Puesto que algunas propiedades son válidas a partir de un cierto n 0, es necesario
reformular el teorema 8.
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
2 0
NÚMEROS REALES
Teorema 9. Sea P (n ) una proposición enunciada en términos de n £ TL, tal
que:
Io: P (n 0) es verdadero, donde n 0 £ TL.
2o: Si P{h) es verdadero, h > n 0, implica que P( h + 1) es verdadero.
Entonces, P (n ) es verdadero, V ?i £ TL, n > n 0.
1.7 PR O B LEM A S RESU ELTO S
PRO BLEM A 1. Si a > 0 y f) > 0, demuestre que 2Vab < a + b. Solución Como a > 0 y b > 0, (V a — V b ) 2 > 0 => a — 2VaVb + 6 > 0 .
Por tanto, a + b > 2\fab.
PRO BLEM A 2. Sean /I = {x £ IR / x 4 – 3 x 3 – 9 x 2 + 12x + 20 = 0},
II — [x £ R / x 4 — x 2 + 20 = 0} y C = {x £ R / x 3 + 2 x 2 — 5x — Halle 04 U B) – C.
Solución
íi) Aplicando el método de Ruffini, tenemos
x 4 — 3 x 3 — 9 x 2 + 12x + 20 = (x + 2 )((x — 2 )(x 2 — 3x — 5) = 0.
de donde x + 2 = 0 V x — 2 = 0 V x 2 — 3x — 5 = 0.
3 ± V 9 – 4 ( l ) ( – 5 )
Entonces, x = — 2 V x = 2 V x =
Por tanto, A = I – 2 ,2 ,
2
3 – V 2 9 3 + V29
2 2
b) Como x 4 — x 2 + 20 = (x 2 — 5 )(x 2 + 4) = 0. entonces B = {—V5 ; a/5).
c) Finalmente, x 3 + 2 x 2 — 5x — 6 = (x + 3 )(x — 2 )(x + 1) = 0
Luego, C = {—3; 2; —1}
( 3 – V 2 9 3 + V 2 9 ,_)
Por tanto, {A U £?) — C = | —2 ,— ^—–, —– —–, —v 5 ,v 5 >.
y-4 _ 9 „ 3 _”Jv-2 , o r _ 4
PROBLEMA 3. Halle el conjunto solución de — ————————— < 0 x ' + 2 6 x - 4 0 - 2 x Solución En primer lugar, ordenaremos los términos de la inecuación de modo que el coeficiente de la mayor potencia de x (tanto del numerador como del denominador) sea positivo. Recuérdese que cada cambio de signo inviene la desigualdad. TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 2x - 3 x + 8x — 4 x 2 4 - 2 6 x - 4 0 - 2 x 3 (x — l ) 2(x - 2 )(x 4- 2) 4 - 2 x 3 - 3 x 4- 8x - 4 2 x 3 — x 2 — 26 x + 40 > 0
(x – l ) 2(x + 2)
> 0 E( x) = „ . ^ > 0, Vx * 2
(x + 4 )(x – 2 )(2 x – 5) ~ ” “ v~ ‘ (x 4- 4 )(2 x – 5)
Puntos críticos: x = —1, x = —2, x = – 4 y x = 5 /2 .
Signo cíe t’.n, +
5 2
Por tanto, el conjunto solución es
C. S. = (—4; —2) U (—; 4-°o) U {1; —2} = ( – 4 ; – 2 ] U ; +oo) U {1} .
PROBLEMA 4. Si
4- 4-x + 1 0 1
x g e / — —————— > o
x — x — 12 J
Halle /l’ – B. (A’ es el complemento de /4).
Solución
a) (x + l ) 4 < (x 4- l ) 2 <=> (x 4- l ) 4 ~ (x 4- l ) 2 < 0 <^>(x + l ) 2[(x 4 -1) 2 — 1] < 0 <=> E( x ) = (x 4- l ) 2x (x 4- 2) < 0 Puntos críticos: x = - 2 , x = - 1 y x = 0. 0191 iú cíe t,t\{ + Luego, A = ( - 2 ; - 1 ) U ( - 1 ; 0) U ( - 2 , - 1 , 0 } = [ - 2 ; 0], x 2 4- 4x 4 -1 0 (x 4- 2 ) 2 + 6 , N , b) —5----------— > 0 <=> ——-— — > 0 <=> E ( x ) = (x — 4 )(x + 3) > 0
NUMEROS REALES
x 2 – x – 12 (x – 4 )(x + 3)
(x 2 + 4x + 10 = (x 4- 2) 2 + 6 > 0, V x G R)
Puntos críticos: x = —3 y x = 4.
Signo de / ‘/v>
+
Luego, B = (—co; —3) U (4; + 00).
Por tanto. A’ — B = ( (—00; —2) U (0; + 00» — ((—00; —3) U (4; + 00))
= [ – 3 ; —2) U (0; 4],
PROBLEMA 5. Sean
= jx G K. / y/ x2 + x – 2 < 4 | y f í = j x E ® L / x 2 + 3x + 8 < 2x - 74 Halle A n B. Solución ¡i) Vx2 + x — 2 < 4 «=> x 2 4- x — 2 > 0 A x 2 + x — 2 < 16 Si Cx y C2 son. respectivamente, los conjuntos solución de x 2 4-x — 2 > 0 y x 2 + x — 2 < 1 6 entonces A — Cx n C2 i) x 2 + x - 2 > 0 « ( x + 2 ) ( x – l ) > 0
c=> x G (—00; —2] U [1; 4-co) = Cx
2
ii) x 2 + x – 2 < 16 <=>K ) < 73 V73 1 V73 <=» - — < x + - < — H V73 V 7 3 - 1 « i é (--------------; ----- ------) = C2 Finalm ente, A = Cx n C2 = (— 2 2 1 + V 7 3 1 r 1 4- V73 ; —2] U [1 ;-----------). 2x - 74 x 3 - 4 x 2 - 15x + 18 Ii) x 2 4- 3x 4- 8 < --------— <=>—————————– < 0 x — 7 x - 7 23 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 1 (x - l) ( x + 3 )(x - 6) ~ ---------- 7 3 7 ----------- Puntos críticos: x = - 3 , x = l , x = 6 y x = 7. o igno o. b A, r.\ > ♦—….+.. » ……………._______________________ + + w • ——-— ————- • ——— o———-
-J T 6
Luego. B = [ – 3 ; 1] U [6; 7).
Por tanto, /I n B = [ – 3 ; – 2 ] U {1}.
PROBLEMA 6. Si A = Jx e R / – 1 < < l } . halle SupM ). Solución 1 ^ x 2 + 8 x + 7 ^ x 2 + 8 x + 7 x 2 + 8 x + 7 ~ x 2 - 8 x + 7 ~ ^ x 2 - 8 x + 7 ~ _ l A x 2 - 8 x + 7 ~ 1 x 2 + 8 x + 7 a:2 + 8 x + 7 x 2 - 8 x + 7 + “ A x 2 - 8 x + 7 ~ 1 ~ ° ... 2a:2 + 14 l6 x > 0 A ——– ————< 0 (x - l ) ( x - 7) (x - l) ( x - 7) + - + -o—— ► ------------ • — -------------O— 1 7 0 i El conjunto solución de la inecuación dada es C. S. = « - 0 0 ; 1) U (7; + 0 0 » n ((-0 0 ; 0] U (1; 7 » = (-0 0 ; 0 ] Luego, A = ( - 00; 0] y Sup( A) = 0. PROBLEMA 7. Si/l — j x 6 R / 0 < — ^ ^ < 1 f , halle mín04') y máx(/T). Solución x 2 — 4 Q < x 2 + q — l c=* 0 < x 2 — 4 < x 2 + 4 < = * 4 < x 2 A x 2 — 4 < V 0 2 ) A ( x e i ) De donde, /I = (-0 0 ; - 2 ) U (2; +00) y 4 ' = [ - 2 ; 2] Por tanto, m in 04') = - 2 y m á x (4 ') = 2. x 2 + 4 NÚMEROS REALES PROBLEMA 8. Resuelva la inecuación 2x — 3 > x 2 – 4 > 7x – 16
Solución
3
2x – 3
> x 2 – 4 > 7x – 16 «=> 2 x – 3
> x 2 – 4 A x 2 – 4 > 7x – 16
«=> x 2 – 4 – ■
2 x — 3
(x – l ) ( 2 x 2 – x – 9)
2x – 3
+
< 0 A x 2 - 7x + 12 > 0
< 0 A (x - 3 )(x - 4) > 0
+
3/2
Por tanto, el conjunto solución es
C. S. =
1 – V73
4
1 – ^ 7 3
1
3 1 + V 7 3
U ^2 ‘ 4
I fi ((—co; 3) U (4; +co))
1
3 1 + V 7 3
U<2 : ~ ~ x 4 — 5 x 2 — 4x PROBLEMA 9. Halle el conjunto solución de 0 < —x 2, +. 4x +, 03 - ^ 1 Solución x4 _ 5x2 _ 4;c x4 _ 5x2 _ 4x x 4 - 6 x 2 - 8x - 3 ^ n 0 < x 2 + 4x + 3 1* ^ xv 2Z x+ 4^xx + T3 - ° A r 4 x + Pactorizando por el método de Ruffini, tenemos x 2 + 4x 4- 3 . J 1 + V l 7 \ ( 1 - V l 7 '\ x(x + 1) [ x ------- 2---- ) [x 2 j » x E (—qo; —3> U
(x + l)(x + 3)
‘1 – v’17 ; — 1) U (— 1; 0]U
l
(x + l)(x + 3)
[1 + V17
+ 05)
A x e ( ( – 3 ; —1) U <—1; 3]) Por tanto, el conjunto solución de la inecuación dada es C . S . = 1 - ^ 1 7 ; —1) u <—1; 0 ] u 1 + VT7 3 . PRO BLEM A 10. Resuelva la inecuación V2 - x - VlO - x < 2 Solución a) La inecuación dada es una desigualdad de números reales si y solo si 2 - x > 0 A 10 — x > 0 < = > x £ (-co; 2] … (I)
b) Para x G (—oo; 2], cada miembro de la desigualdad son números reales. Luego,
V2 – x – V l O – x < 2 « V 2 - x < 2 + VlO - x <=> 2 – x < 4 4- 4V10 - x + 10 - x <=> VlO — x > – 3
Esta última desigualdad se verifica para cualquier x G <—oo; 10] ... (II) De (I) y (II), el conjunto solución de la desigualdad dada es C. S. = (—oo; 2] n (— oo; 10] = (—00; 2], Vx~+~5 PROBLEMA 11. Halle el conjunto solución d e ---------------- ---------> 0
V81 – x 2 V x ^ 4
Solución
La raíz cuadrada del denominador está definida si y solo si
81 — x 2 > 0 <=> x G (—9; 9) … (I)
Por otro lado, como V81 – x 2 > 0 se tiene
Vx 4- 5 Vx + 5 x 4- 5
~r——— – 7.——- > 0 <=» 77= > 0 <=>——- 7 > 0
V81 — x 2 Vx — 4 Vx — 4 x —4
» x £ ( – 00; – 5 ) U (4; + 00) … (II)
De (I) y (II), el conjunto solución de la desigualdad dada es
C. S. = ( – 9 ; 9) n ( ( – 00; – 5 ) U (4; + 00)) = ( – 9 ; – 5 ) U (4; 9).
PRO BLEM A 12. Si A = {x G IR / V3x 4- 6 > x 4- l] , halle Sup(,4) e Inf(v4).
Solución
La desigualdad tiene sentido en IR si y solo si 3x + 6 > 0 < = > x > —2.
Para resolver la desigualdad dada, consideremos los casos:
x 4-1 < 0 V x + 1 > 0
a) Si x + 1 < 0 , la desigualdad se cumple para todo x > —2, porque la raíz
cuadrada es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la desigualdad es
válida si
x + 1 < 0 A x > – 2 <=> x G [ – 2 ; – 1 ) … (I)
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
2 6
NUMEROS REALES
b) Si x 4- 1 > 0 <=> X > —1 y
V3x 4- 6 > x + 1 <=? 3x + 6 > (x + l ) 2 <=> x 2 — x — 5 < 0 ,1 - V2l 1 + V ñ <=> x e (———–;————)
2 2 ‘
Luego, considerando las restricciones x > – 2 y x > —1. se cumple
1 + V21.
x e -1;- -)
Finalmente, de (I) y (II) se tiene
1 + V21
<4 = [ - 2 ; - 1 ) U - 1; -> =
(II)
l + v’21 -2 ; — — >
Por tanto, Inf(/4) = —2 y Sup(/1) =
1 + V21
PRO BLEM A 13. Ha!’» el conjunto solución de:
|3x – 2| < |4 x — 4| + |7x - 6 | Solución |3x - 2| = |(3 x - 7x 4- 4) + ( 7 x - 4 - 2)| = |(4 - 4x) 4- (7x - 6)| < |4 - 4x| 4- |7 x - 6 ¡ Por tanto, |3 x — 2| < |4x — 4| 4- |7x — 6 |, Vx G IR El conjunto solución es IR. PRO BLEM A 14. Resolver |x 2 - 4| 4- |2x - 5| < 6 .... Solución ■(ce) 4 > 0 < = f x > 2 V x < —2 4 < 0 < = > —2 < x < 2 !2x 41 _ ( x z - 4 , si x 2 - 1 t 4 — X2 , si x 2 — 2x 2 x - 5 < 0 « = > x < 5/ 2 . _ f2x - 5, s i 2 x - 5 > 0 < = > x > 5/ 2
1 _ (5 – 2x, si
5/2
i) Si x > 5 /2 , (a ) ( x 2 – 4) 4- (2x – 5) < 6 (x 4- l ) 2 < 16 — 5 < x < 3 Por tanto, x G [5 /2 ; 3) (I) ii) Si x 6 [2; 5 /2 ), (a ) <=> (x 2 – 4) + (5 – 2x) < 6 <=* (x — l ) 2 < 6 <=> 1 — Vó < x < 1 + Vó Luego, x £ [2; 5 / 2 ) ..................................(II) iii) Si * e ( - 2 ; 2), (a ) <=> (4 — x 2) + (5 – 2x) < 6 < = > ( x + l ) 2 > 2 « x > V 2 – l V x < — 1 — V2 De donde, x £ (V2 - 1; 2) ......................(III) iv) Si x £ (—co; — 2 ], (a ) <=> (x 2 — 4) + (5 — 2x) < 6 <=> (x — l ) 2 < 6 <=* 1 — V6 < x < 1 + Vó En este caso el conjunto solución es (¡>…………..(IV)
De (I), (II), (III) y (IV) se concluye que el conjunto solución de (a) es
2 x – 3 ]
x — 1
x 4- 4
D = [x £ R / | 2 x – 3 | < | 4 - 3 x | } Halle M U C ) - ( B U £>).
Solución
a) |x 2 — 2x — 3| < 3x — 3 sólo tiene sentido si 3x — 3 > 0 <=> x > 1.
Para x > 1 se tiene:
\ x2 2x — 3¡ < 3x — 3 <==> (x 2 – 2 x – 3) 2 – (3x – 3) 2 < 0 <=> [(x 2 — 2x — 3) — (3x – 3 )][(x 2 – 2x – 3) + (3x – 3)] < 0 <=> x (x – 5 )(x + 3 )(x – 2) < 0 !♦---KtiStriggtíw ~ Signo do f-(x> -C –
1
-¿~ -O-
5
Por tanto, A = (2; 5) (considerando la restricción x > 1).
b) |x — 2[ > 2x — 3 <=> x — 2 > 2x — 3 V x – 2 < 3 - 2x <=> x < 1 V x < 5 / 3 < = ? x < 5 / 3 Luego, B = ( —oo; 5 /3 ]. NÚMEROS REALES I X - 1 c) Ix + 4 < 2 <=>(li z i f – 22 < o « f Vx 4- 4 / L x - 1 [x + 4 - 2 x - 1 1.x 4- 4 ■ 4* 2 < o (—x — 9 )(3 x + 7) < 0 (x -i- 4 ) 2 7 El conjunto solución de esta desigualdad es C = (-co; - 9 ) U ( - - ; 4-oo). d) [2x - 3 | < |4 - 3x¡ <^> |2x – 3 |2 < |4 - 3 x |2 <=* (2x - 3) 2 - (4 - 3x) 2 < 0 <=> (5x – 7 )(1 – x) < 0 7 Así, D — (—* ; 1) U ( - ; +co) y Finalm ente, (A U C) - (B U D) = (<-«>; – 9 ) U ( – – ; + co)j – R = 0 .
x 2 + 7x + 6
PROBLEMA 16. Resuelva la inecuación 0 < Solución x 2 + 7x + 6 - 7x + 6 < 1 . 0 < x 2 — 7x + 6 x 2 + 7x + 6 x 2 - 7x 4- 6 2x 2 + 12 < 1 > – 1 A
x 2 4- 7x + 6 x 2 + 7x + 6
1 < - = ----------— 7 < 1 A — ----- --------- r ~ 0 x 2 — 7x + 6 x 2 + 7x + 6 x 2 — 7x + 6 14x < 1 A x 2 — 7x 4 6 (x + é )(x + 1) ---------------------ÍC 0 (x - 6)(x - 1) < 0 ) A x £ R — (± 1 ; ± 6} \ ( x - l) ( x - 6) > ° A (x – l) ( x – 6) “ 7
Resolviendo las tres inecuaciones e intersecando las soluciones paiciales. se tiene
C. S. = ( – » ; 0] – { -1 ; – 6}.
X2 4- lO x 4- 9
PROBLEMA 17. Halle el conjunto solución de x 2 — lO x + 9
> 1
Solución
x 2 4- lOx + 9
x 2 — lOx + 9
20x
x 2 + lOx + 9 x 2 4 10×4- 9-
> 10x + 9 v x..22 – -1i0nx, :+r~Q9 ~
2 x 2 4 18
■ > 0 V 7——-T7——— < 0 (x — l ) ( x — 9) (x — l ) ( x — 9) Resolviendo las dos desigualdades y uniendo las soluciones parciales, sesobtiene l’ROBIT'.MA IS. Resuelva la inecuación (x — l ) 2 — 6 |x — 1| + 8 > 0.
Solución V-.y-j .
Como (x — l ) 2 = \x — 1 |2 y haciendo z = \x — 1| , se tiene
TOPICOS 1)1 CAI ( III O VOLUMEN ;
(x – l ) 2 – 6 \x – 1| 4- 8 > 0 6z + 8 > 0 <=> (z — 2 )(z — 4) > 0
« z < 2 V z > 4 <=* |x - 1| < 2 V |x — 1| > 4
<=> ( – 2 < x - 1 < 2) V (x - 1 < - 4 V x - 1 > 4)
<=> X G ( – 00; – 3 ) U ( – 1 ; 3> U (5; +oo)
PROBLEMA 19. Si x e ( – 2 ; 0), halle M > 0 tal que
Solución
x — 3
< M. x 2 - 8 1 En p rim er lugar, -------— ' = |x 2 — 8 | ■ ■ x 3 | x 3 1 Si x G ( - 2 ; 0) «=> – 2 < x < 0 => 0 < x 2 < 4 <=> – 8 < x 2 - 8 < - 4 . Entonces, |x 2 — 8 | < 8 (I) Por otro lado, x e ( - 2 ; 0 ) < = > – 2 < x < 0 < = > – 5 < x - 3 < - 3 1 1 1 1 1 3 < x - 3 < _ 5 ^ |x — 3¡ < 3 ■ (II) De (I) y (II) obtenem os: Finalmente, M = 8 /3 . x - 3 1 t í = |x 2 — 8 | • ----- -777 < ¡x - 3| ( ! ) - ! PRO BLEM A 20. Halle el supremo y el ínfimo del conjunto x — 2 4 + x + 4 / Solución ( - 2 : 4]j . En prim er lugar, se observa que: —-j-^- = 1 — - Por otro lado, x 6 ( - 2 ; 4] <=>—2 < x < 4 < = > 2 < x + 4 < 1 1 2 > x + 4
> –
x — 2 1
<=* - 2 < ------- < - x + 4 4 -3 < - x — 2 6 3 - 2 < 1 X -r 4 4 o < x + 4 < 2 «=> 3 < 3 + x + 4 x — 2 3 < 1 - - x + 4 < 5 Luego, A = [3; 5) y, por tanto, Inf(v4) = 3 y SupG4) = 5. EJERCICIOS En los ejercicios I-10, demuestre las propiedades que se indican. 1. Si a 2 + b 2 = 1 => -V 2 < a + b < \Í2 2. Si a 2 + b 2 - 1 y c 2 + d 2 = 1 => ac + bd < 1 3. ab + ac + be < a 2 + b 2 + c 2, V a , í i , c E l 4. S i a > 0 y 6 > 0 = > 2Va6 < a + b 5. Si a, /) y c son positivos => (a + £ )(b + c)(c + a ) > 8 a/jc
6 . ¡xy – a 6 | < |x ||y - b\ 4- |6 ||x - a| 7. Si a < x < b => |x| < m áx {|a|, |b |] 8. \a + b — c\ < |a | 4- \b\ 4- |c| 9. |a - 6 | < |a - c\ 4- |c - b\, V c e IR NÚMEROS REALES 10. Si a y b son diferentes de cero b 2 a 2 ~ \ a \ + \b\ En los ejercicios 11-13, halle un número M tal que V x e IR se cumple: 11. 2x — x 2 < M 12. - ( x 2 4-4x 4- 13) < M 13. 2 — x 1/ 3 — x 2^3 < M En los ejercicios 14-18, halle un número M tal que: x 4- 6 14. S ix 6 (0 :4 ), 15. Si |x — 2| < 1 2x 4- 1 x — 2 - 3 16. Si x £ (2; 5), 17. Si x e (3; 7), 18. Si |x 4 - 1| < 1 x 2 4- 4x — 5 2 x 4 - 7 1 “ T 2 2 3 x 4 - 4 x - 1 x 2 - 5x x 2 4- x 4- 10 < M < M < M < M < M R. M = 1 R. M = —9 R. m = 9 / 4 R. M =■ 17 R. M = 1 5 /4 R. M = 7 /4 Ln los ejercicios 19-30, halle las raíces reales de las ecuaciones que se dan. 19. 12x — 4 = 3x + 9 20. 5 x 2 —* — 4 = 0 21. 2 x 2 - 11* - 4 = 0 22. * 4 - 3 * 3 + 2 x 2 = 0 ¿ i x ’ — 13x~ 4- 44x — 32 = 0 24. x 4 — 2 x 2 — 8 = 0 25. x ' 4- x" - 7x" - 4x 4- 12 = 0 26. x 5 - x 3 4- 8 x 2 — 8 = 0 27. 3|a 4- 1¡ — 5|2 x — 1| = |3x 4- 4| 28. |x 2 — 4x| = 3x 4- 4 29. |4 - 8x| = |x - |2x 4- 1|| 30. |2x - 1| = x - 1 R. 20. {1; - 4 / 5 } 22. {0; 1; 2} 24. {+2} 26. {±1; -2 } (7 ± V65) 28. j -----------j 30. 0 En los ejercicios 31-82, halle el conjunto solución de las inecuaciones que se dan. 31. ¿x — 8 < 5x — 2 32. * 2 -i- 3x 4- 2 > 0
j3 . ( x 4- 5 )(x 4- 6) — 6 > 6 34. 1 — 2x — 3 x 2 > 0
35. 3 x 2 — 5x — 2 > 0 36. x 3 4- 4 x 2 + x < 6 37. ( x 2 4- x - 6) (4* - 4 - x 2) < 0 38. x 5 - 3 x 4 - 5 x 3 4- 15 x 2 4- 4x - 12 < 0 2x 4-6 i _ -}Y 39- ^ - < 3 40. ~ t—— > 2
3 x l + X
+ 1 X — ? Y 4- ^ 4 !. * – 1 < - r - 42. —— — < í _ _ _ x + 2 x 4- 4 x 4 - 3 43 + 4 x + 9 x 2 — 2x + 3 ‘ ' x 2 - 4x - 5 ~ ’ x 2 - 4x 4- 3 > _ 2
45. < 0 46. * + 2 TÓIMCOS Di: CALCULO - VOLUMEN I x ( x 2 — x — 2) x — 4 >
x
3 x 2 — x — 2 2 3
4 7 5 ^ T 3 > o ‘•8′ 5 ^ 2 < r n 49. 4 1 " - ^ > Q s o _______i _
x” – 2 x 4 – 1 x 2 — 4 x — 2 x 4 – 2
x 3 – x 2 – 8 x + 12 x 2 4- 8x — 12 — x 3
* 2 + 5 x – 1 4 7x — x 2 — 6
53. V x – V 2 * + 3 < 1 54. V x3' - 6x 2 4- 14x - 15 > x – 3
NUMEROS REALES
55. V x2 — 2x — 15 > x 4- 1
57. v 2x — 3 — a/2 — x > 0
56. x — a/165 — 4x — x 2 < 15 58. v x 4 -1 1 4 - Vx — 1 > V2x 4- 26
59. V 2 4 – V x – 8 < V l 6 - x 61. 60. Vx2 - 11*4- 30 > 6 – ,
46 – 2*
> Vx — 7
63. |2x – 5| < 3 65. | 3 x - 4 | < * 4 - 4 67. x < |4 x — 7| < x 4- 5 69. 12x|2 — x — 3 > 0
71. |3 x 2 – 5x – 2| < |3 x 2 4- 4x 4 -1| 73. x 2 — 3* 4- 1 < | x 4 - 3 | 75. | 2x — 5| > |*| 4- | 2* — 2 1 — 3
* — 1| 4- 2| — |* — 1 |2
62.
* 2 4- 3x — 4
> x — 2
4 — V x2 4- 6*
64. |* 2 – 4 | > 5
6 6 . |5 x 4- 1| > 2x — 8
68. |x — 7| — |x — 5| < |x — 4| 70. |3 - |2 x 4- 3 11 < 2 72. |3* - 1| 4- |* 4- 4| > |4 * 4 – 3 |
74. |* 2 4- 2* – 3| < 2 - 2* 76. |* 2 — 9| — 4 |* — 1| < 3 - * 2 77. 79. 81. 82 IX 4- 1| * 2 4- 1 - | * - H > 0 78.
* 2 + 3* — 2
* 2 – 1
< 1 - 2* — 1 - * 2 < 0 * 2 /5 _ 2 * 1/ 5 4- 8 8 °- |* | + 2 - * 2 * 4 - 1 >
* 4 – 1
2
l – | * 4 – l | l
. 3 ( |* + 1| – ^ ) > 1 — 2 11* 4- 1 1 — 1 / 6 |
R. 31. (5; 4-üo) 32. (-oo; – 2 ) U ( – 1 ; 4-co) 33. (-o o ,; – 9 ] U [ – 2 ; 4-oo)
34. [ – 1 ; 1 /3 ] 35. (-oo; – 1 / 3 ) U (2,; 4-co) 36. (-oo; – 3 ) U ( – 2 ; 1)
37. (-oo; – 3 ] U [2; 4-oo) 38. (-oo; – 2 ) U ( – 1 ; 1) U (2; 3) 39. [J; 5)
43. ( – 1 ; 5) 44. (-oo; 1) U (3; +oo) 45. (-oo; —A ^ O ; 2)
46. (-oo; 0) U (4; 4-®) 47. (-oo; – 2 / 3 ) U ( j; +ao)
48. ( – 2 ; 2 /3 ) U ( y ; 4-oo> 49. [ – 1 ; 2] – {1} 50. [ – 4 ; r 2> U (2; 6]
51. (-oo; – 7 ) U [ – 3 ; 2) 52. [ – 3 ; 1) U (6; +co) ü {2} 53/ [3; 2 4- V6 >
54. (-oo; 4 /3 ) U [3; 4-co) 55. (-oo; – 3 ] 56. [ – 1 5 ; 11] 57. ( |; 2]
33
TÓPICOS DE CÁLCULO – VOLUMEN I
58. [5; +ao) 59. [8 ; 12) 60. [6; +oo) 61. <7; 11) 62, (—8 ; 6] U [1,; 2) 63. <1; 4> 64. (-oo; – 3 ) U (3; +oo)
68. ( »; 2J U [ 1 6 /3 ;+oo) 69. (-oo; – 1) u (3/ 2; 4-oo)
70. ( – 4 ; – 2 ) U ( – 1 ; 1) 71. [1/2; 4-oo) U { -1 /3 } 72. IR
73. (2 – V 6;2 + V6 ) 74. [ – 5 ; – 1] 75. ( – 6 ; 2)
77. ( – 2 – V 6 ; – 2 + V 6 > U { 0 }
„ n , 3 + V33 1 a/ 3 3 – 3
78. <-co;--------------) u -----------) 80. [ - 2 ; 2] 81. (-oo; - 1 ) u +co> – { -2 ; 0} 82. (-oo; 3 /2 ] U [ – i ; +oo>
En los ejercicios 83-100, determine el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo
de cada conjunto, si existen.
83. A = {x £ IR / x 2 < 9} R. Sup = m á x = 3, I n f = m in = —3 84. B = jx £ IR / < 1 4- 2 x j 85. C = {x £ IR / 21 4- 4x - x 2 > 0} R. Sup = 7, I n f = – 3
86. D = {x £ IR / |4 — x| > x]
87. E = {x £ IR / |x ||x + 1| < 2} R. Sup = 1, I n f = - 2 88. F = {x £ IR / |x 2 4- 2x - 4| < 7} ‘ 89. G = {x £ IR / |x 2 - 5x + 1 2 1 > 8) R. 3 Sup, 3 I n f
90. W = { x £ l R / | x – l | + | x + 2| < 4 } 91. I = {x £ IR / | 6 + x - x 2| < 6} R. 5’up = 4, I n f = - 3 92. y = {x £ IR / [x + 6 | + 13 - x | = 9} 93. /í = {x £I R / |9 — x 2| + |3 x — 2| < |x + 5 0 1} 94. L = { x £ Z / ¡5x — 10| + 4 | x 2 — 1| — 20x + 5 > 0}
95. M = {x £ Q / | 5x – 10| + 4 | x 2 – 4| – 3 x 2 < 0] 96. N = {x £ / / |x — 8 | — | 4×2 — 1| < 0} 97. 0 = { x E U / | x2 – x 4 – 1 | < | 3 x2 + 5| ] 98. P = {x £