NÚMEROS RACIONALES Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Fracciones positivas y negativas, Fracciones con signo ,Fracciones equivalentes , Ubicación de fracciones sobre la recta , Ordenación de fracciones , Operaciones con fracciones ,Adición, sustracción, multiplicación y división , Operaciones combinadas , Potencias y raíces cuadradas , Relación entre las fracciones y los decimales , Expresión decimal de una fracción , Fracción generatriz de un número decimal, Operaciones con decimales, Aproximación, redondeo y error, Estadística: conceptos generales , Variables estadísticas , Recolección de datos , Presentación de datos , Tablas de distribución de frecuencias , Gráficos estadísticos , Parámetros estadísticos , Media aritmética , Moda , Mediana ,
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Objetivo del módulo
• Leer, escribir, representar, ordenar, comparar números racionales, resolver operaciones combinadas de
adición, sustracción, multiplicación y división exacta; simplificar expresiones de números racionales
con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación; efectuar aproximaciones de números
decimales y calcular el error cometido, reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y decimales
para resolver situaciones de la vida cotidiana; calcular la media, mediana y moda de un conjunto de datos
estadísticos contextualizados en problemas pertinentes.

Destrezas con criterios de desempeño
• Leer y escribir números racionales de acuerdo con su definición.
• Representar números racionales en notación decimal y fraccionaria.
• Ordenar y comparar números racionales.
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta con números
racionales.
• Simplificar expresiones de números racionales con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación.
• Efectuar aproximaciones de números decimales y calcular el error cometido.
• Calcular la media, mediana y moda de un conjunto de datos estadísticos contextualizados en problemas
pertinentes.
• Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y decimales para resolver situaciones de la vida cotidiana.

Para la construcción del conocimiento
• En general, suprimir signos de agrupación presenta dificultades en el trabajo de los estudiantes, por lo
cual es importante insistir en que se cumplan las siguientes normas: cuando una expresión está agrupada
mediante un paréntesis y este se encuentra precedido de un signo positivo se elimina el paréntesis
sin modificar a los términos de la expresión; si el paréntesis está antecedido por un signo menos, se lo
suprime cambiando cada uno de los términos por sus opuestos. Proponga la resolución de expresiones
usando una tabla como la que se muestra a continuación.

• Pida a los estudiantes conformar grupos de tres, indique que en conjunto resuelvan cada uno de los ejercicios
planteados en una misma hoja. Solicite al grupo que planteen tres ejercicios similares a los anteriores,
cada uno en hojas separadas y que se dividan uno por integrante, luego que cada uno realice un solo paso
en la resolución y que intercambien entre si los procesos en cada paso hasta obtener la respuesta.

Repase los procedimientos que permiten expresar un número racional en forma decimal y en tanto por
ciento, lo que permite representar un sector circular utilizando grados y décimas de grados. Es posible
que en esta destreza por primera vez se use subíndices; es necesario explicar a los alumnos que utilizarán
esta forma de lenguaje en muchas situaciones y en diferentes áreas, como por ejemplo para expresar
un cambio de temperatura entre dos instantes: temperatura inicial, Ti, y temperatura final, Tf.
Presente la siguiente tabla:
Realice los siguientes cuestionamientos:
¿Qué información existe?, ¿Cómo se organizó la información?, ¿Qué cálculos se realizaron? De ser el
caso, describa cada elemento de la tabla. Se puede trabajar con la información de la tabla para representa
gráficamente los porcentajes usando diagramas circulares. Además, puede usarse la información para
calcular la media aritmética y analizar la información que esta nos proporciona.
Muestre cómo se puede realizar el cálculo de la media arimética a partir de la tabla de frecuencias, esto
prepara el camino para que, en cursos posteriores, utilicen las tablas para el cálculo de las medidas, tanto
de tendencia central como de dispersión.
Total
• Proponga una investigación en periódicos, revistas usadas, libros, etc., con diversos tipos de representaciones
estadísticas. Este material, con la información que consta en el texto del estudiante, deben identificar
cada tipo de conocimiento, reconocer los elementos y características de cada uno de ellos.
• Haga notar la necesidad de conocer parámetros estadísticos. Para esto, proponga situaciones que permitan
reconocer las ventajas y desventajas que presenta el uso de cada una de ellos. Por ejemplo: si usted
es un productor de ropa, qué estadígrafo utilizaría para proyectar sus nuevos productos; en este caso
proponga la posibilidad de usar la media arimética, la mediana o la moda. Ejemplos similares deben usarse
para trabajar con la media y con la mediana. Es muy importante que los estudiantes vean la aplicación
de la estadística en la vida cotidiana. Se aconseja que el profesor ponga ejemplos de situaciones en las
que se requiere de la estadística; por ejemplo, el censo (recuerde que el más reciente fue en el 2010 y sus
resultados se levantaron oficialmente en 2011), el análisis de mercado para introducir un nuevo producto,
el estudio del rating de sintonía de un programa, entre otros.
• Enfrente a los estudiantes situaciones familiares en las cuales apliquen sus conocimientos estadísticos, por
ejemplo: sugiera revisar el resultado obtenido por un estudiante en una determinada materia, durante cuarto,
quinto, sexto y séptimo años de EGB. Para esto, puede solicitar a sus estudiantes que lleven sus registros
escolares para hacer la tarea. También puede utilizarse otras herramientas de fácil consecución como planillas
de agua, luz, teléfono para mostrar estos parámetros. Resulta muy importante que durante la fase de
construcción del conocimiento se planteen situaciones problema que deben ser resueltas de manera conjunta
con el profesor. Así, se detectará las dificultades que generan los nuevos conceptos y se puede reforzar
aquello que sea necesario.

Para ampliar la construcción de gráficos estadísticos y su interpretación, el profesor/a puede proponer a
los alumnos la siguiente actividad:
• Buscar información sobre la composición de la Asamblea Nacional.
• A partir de esos datos, los alumnos pueden elaborar los siguientes gráficos:
− Un diagrama de sectores con la distribución de asambleístas por partidos y agrupaciones políticas.
− Un gráfico estadístico con la distribución de los asambleistas de un determinado partido político.
• A partir de la información procesada a raíz del censo de noviembre de 2010, se pueden realizar analisis
comparativos de pequeñas investigaciones que pueden realizar los estudiantes de aspectos que sean
de su interés y que pueda realizarse en su entorno con los datos nacionales oficiales, para ello se puede
acceder a la página www.inec.gob.ec y de acuerdo a los diferentes aspectos evaluados, establecer concluciones
y recomendaciones para mejorar la toma de muestras que permitan mejorar las aproximaciones
que seguramente se obtendran. En láminas de cartulina, tamaño A4 se presentarán los resultados
de las investigaciones y se las expondrá en el salón.
y

• Proponga a los alumnos que mediante el empleo de un programa de software libre o propietario dedicado
a la creación y visualización de presentaciones, elaboren diapositivas (donde integren texto, imagen, sonido,
vídeo…) sobre media, mediana y moda, su definición, fórmulas empleadas para su determinación y
ejemplificación que permitan reforzar el conocimiento adquirido y que será expuesto al resto de compañeros;
los cuales también emitirán sus opiniones sobre el trabajo de cada grupo. Recomendaciones, felicitaciones,
críticas constructivas acerca de la forma elegida para mostrar, la exposición de la información,
la creatividad de su diseño, complejidad en la elaboración.
• Pida a sus estudiantes que analicen la siguiente información tomada del Instituto Nacional de Estadísticas
y Censo (http:www.inec.gob.ec) sobre el costo de la canasta familiar para el análisis de la relación
entre remuneración-inflación. Representen sus análisis en diagramas o gráficos estadísticos y establezcan
media, mediana y moda.
Recomendaciones para docentes Sección para uso exclusivo del educador
La fracción generatriz
Es la fracción irreducible de la que procede un número
decimal limitado, periódico puro o periódico mixto.
Para calcular la fracción generatriz:
De un número decimal limitado
• Llamamos x al número decimal.
• Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10
necesaria (según el número de cifras decimales) para
eliminar la coma.
• Despejamos x y simplificamos la fracción.
Ejemplo: 2,75
x = 2,75
100 x = 275
De un número decimal ilimitado periódico puro
• Llamamos x al número decimal.
• Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10
necesaria para que la coma quede justo después del
primer período.
• A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial.
• Despejamos x y simplificamos la fracción.
Ejemplo: 17,8 x = 17,888…
10 x = 178,888…
10 x = 178,888…
− x = −17,888…
9 x = 161
De un número decimal ilimitado periódico mixto
• Llamamos x al número decimal.
• En primer lugar, multiplicamos la expresión de x por la
potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo
después del primer período.
• A continuación, multiplicamos la expresión de x por la
potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo
antes del primer período.
• Restamos las dos expresiones obtenidas.
• Despejamos x y simplificamos la fracción.

Prerrequisitos
Recuerda
• Una fracción es la expresión de una división
entre dos números, su numerador y su denominador.
Así:
• Un número decimal puede expresarse con la coma
decimal o mediante una fracción decimal.
• La región de círculo limitada por dos radios y su arco
correspondiente recibe el nombre de sector
circular.
Evaluación diagnóstica
• Representa sobre la recta los siguientes números
enteros. Describe el procedimiento utilizado.
−5, −3, −1, 0, 2, 4, 7
• Escribe estas fracciones: un tercio, dos quintos,
tres medios y once treceavos.
• Expresa en forma de fracción: tres trimestres de
un año, cuatro días de una semana, dos semanas
de un mes.
• Calcula mentalmente el número decimal correspondiente
a estas fracciones.
• Determina cuál es el valor que más se repite en
la siguiente serie de cifras: 1, 5, 6, 7, 3, 4, 7, 2,

Números racionales
Medidas de tendencia central
• Leer y escribir números racionales de acuerdo con
su definición.
• Representar números racionales en notación decimal
y fraccionaria.
• Ordenar y comparar números racionales.
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción,
multiplicación y división exacta con números
racionales.
• Simplificar expresiones de números racionales con
la aplicación de las reglas de potenciación y de
radicación.
• Efectuar aproximaciones de números decimales y
calcular el error cometido.
• Calcular la media, mediana y moda de un conjunto
de datos estadísticos contextualizados en problemas
pertinentes.
• Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y
decimales para resolver situaciones de la vida cotidiana.
Destrezas con criterios de desempeño
Tus conocimientos sobre las fracciones y los números decimales servirán para relacionarlos con el cálculo de la
media aritmética y la mediana. Serás capaz de utilizarlos para resolver situaciones diversas de la vida cotidiana.

DDCCDD
Sector
circular
Radio Arco
Radio
÷
1 Fracciones positivas y negativas
Los números enteros no bastan para expresar cantidades que nos encontramos
habitualmente. Utilizamos las fracciones para referirnos a una parte de
un todo o para expresar cantidades en que dividimos una unidad elegida.
Cuando decimos que hemos estado un cuarto de hora esperando el bus, significa
que hemos dividido este período de tiempo en cuatro partes iguales
y el tiempo de espera corresponde a una de ellas. Las fracciones, pues,
nos permiten expresar una parte de un todo o unidad.
Toda fracción consta de dos términos:
• El denominador es el número de partes iguales en que dividimos la unidad.
• El numerador es el número de partes que tomamos.
Una fracción también puede considerarse como parte de una cantidad. En
este caso podemos calcular:
• La fracción de una cantidad: multiplicamos la fracción por la cantidad.
• Una cantidad de la cual conocemos la fracción: multiplicamos la inversa de
la fracción por el valor correspondiente.
1
4
⎯→⎯
⎯→⎯
numerador
denominador
¿Qué cantidad son las partes de 125 m?
— Multiplicamos la fracción por 125.
Por lo tanto, las partes de 125 m son 50 m.
2
5
2
5
·125 = 50
2
5
ejemplo 1
Si sabemos que 600 m son partes del total de un recorrido, determina la
longitud total del recorrido.
— Sabemos que las partes de cierta cantidad x son 600.
— Al despejar, obtenemos que x es igual a la inversa de multiplicado por 600.
La longitud total del recorrido es de 800 m.
3
4
x= = 4
3
·600 800
3
4
x = 600
3
4
3
4
ejemplo 2
En la fracción ,
b debe ser diferente de cero:
b  0.
MUCHO OJO 
ab
1.1. Fracciones con signo
Una fracción puede interpretarse como la expresión de una división entre dos
números enteros.
Es evidente que podemos encontrar fracciones positivas y fracciones
negativas.
Como en el caso de los números enteros, escribimos las fracciones positivas
sin indicar su signo.
Y, teniendo en cuenta la regla de los signos para la división, podemos escribir:
Vemos, pues, que toda fracción positiva puede expresarse como el cociente
de dos números enteros, ambos positivos o ambos negativos.
Y, del mismo modo, toda fracción negativa puede expresarse como el cociente
de dos números enteros, uno de ellos positivo y el otro negativo.
− =

=

5
8

Expresa 11 cm como fracción de: metro, decímetro, kilómetro y milímetro.
Inti y su padre han tardado 55 min en realizar la compra semanal. Si han
estado 10 min haciendo cola en el puesto de venta de pescado, ¿qué
fracción del tiempo total representan estos minutos?
Calcula:
Resuelve en tu cuaderno:
Describe oralmente una situación en la que sea necesaria emplear una
fracción positiva y otra en la que se utilice una fracción negativa.
Clasifica las fracciones siguientes en positivas y negativas.
— Transforma las fracciones con denominador negativo en fracciones
con denominador positivo.

Actividades 
El número Pi (π) no es un número
racional, porque no se
lo puede expresar como fracción.
π = 3,1415…
CONTRAEJEMPLO
www.hoy.com.ec
■ Mercado de Santa Clara
en Quito.
÷ ÷ ÷
1.2. Fracciones equivalentes
Podemos comparar gráficamente dos fracciones distintas para ver si representan
la misma parte de la unidad.
Si dos fracciones positivas representan la misma parte de la unidad, se denominan
fracciones equivalentes.
Si dos fracciones positivas son equivalentes se cumple que el producto del
numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto
del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
Esta propiedad se conoce como propiedad fundamental de las fracciones equivalentes
y nos permite definir la equivalencia de fracciones con signo.
Obtención de fracciones equivalentes
Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, se multiplica o
se divide el numerador y el denominador por un mismo número entero diferente
de 0.

Indica oralmente qué fracciones a continuación son equivalentes a .
Escribe una fracción equivalente a con denominador 156.
Escribe una fracción equivalente a con numerador − 480.
— ¿Puedes escribir una fracción equivalente a la anterior cuyo numerador
sea 215?
Busca el valor de x para que cada uno de estos pares de fracciones sean
equivalentes.
a) b) c) d) −
=


=

=

=

13
7 42
30
12
15 1 2
10
4
9
x
x x x
x
10
−15
16
9
4
−13
8
a ) b ) c ) d)
52
91
60
105
64
84
16
− 28




4
7
7
Actividades 








Las fracciones y (b ≠ 0 y d ≠ 0) son equivalentes si se cumple
que a · d = b · c.
c
d
a
b

÷
÷
Simplificación de fracciones
Hemos visto que si dividimos el numerador y el denominador de una fracción
por un mismo número entero distinto de 0, obtenemos una fracción equivalente.
En este caso decimos que hemos simplificado la fracción.
Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible.
Cálculo de la fracción irreducible
Aprendamos ahora tres métodos distintos para hallar la fracción irreducible
equivalente a la fracción:
1. Realización de divisiones sucesivas.
2. Descomposición en factores primos.
3. División del numerador y el denominador por su m.c.d.
2100
5400
Una fracción con signo es irreducible cuando su numerador y su denominador,
sin tener en cuenta el signo, son números primos entre sí.

Procedimiento Ejemplo
2100
5400
210
540
21
54
7
18
= = =
• Resolvemos divisiones sucesivas del
numerador y del denominador de
la fracción entre divisores comunes
de ambos hasta obtener la fracción
irreducible.
Procedimiento Ejemplo
2100
5400
2 2 3 5 5 7
2 2 2 3 3 3 5 5
7
18
= =
· · · · ·
· · · · · · ·
• Descomponemos el numerador y
el denominador en factores primos.
• Dividimos el numerador y el denominador
por los factores comunes
para eliminarlos.
Procedimiento Ejemplo
2 100 = 22· 3 · 52· 7 y 5 400 = 23· 33· 52
m.c.d. (2 100, 5 400) = 22 · 3 · 52 = 300
2100
5400
2100 300
5400 300
7
18
= = :
:
• Calculamos el m.c.d de los términos
de la fracción.
• Dividimos el numerador y el denominador
por su m.c.d.
Simplifica, en tu cuaderno, estas fracciones. Simplifica las siguientes fracciones por el proceso
de dividir ambos términos por su m.c.d
Explica oralmente tres maneras distintas de demostrar
que dos fracciones son equivalentes.
13
− −

24
36
105
540
42
18
173
252
360
480
188
705
, , , , ,
12
b ) d) f ) − −

342
285
36
28
3 102
8 415
a ) c ) e )
117
78
528
253
111
− − 228
11
Actividades 
Para calcular el máximo común
divisor de dos números,
por ejemplo, 126 y 270:
• Descomponemos en factores
primos cada uno de
los números.
126 = 2 · 32 · 7
270 = 2 · 33 · 5
• Consideramos los factores
primos comunes elevados
al mínimo exponente: 2 y
32.
• Efectuamos el producto
de los números obtenidos:
2 · 32 = 18.
m.c.d. (126, 270) = 18
Máximo común divisor
(m.c.d.)
÷10

÷10

÷3

÷10

÷10

÷3

÷
÷
1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta
Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma parecida
a como representamos los números enteros.
Si la fracción es positiva, su representación se situará a la derecha del 0
y, si es negativa, a la izquierda del 0.
A continuación, vamos a ver el proceso que se sigue para representar fracciones
positivas y negativas sobre la recta.
Representa sobre la recta las siguientes fracciones.
Expresa oralmente en forma de fracción los puntos señalados en la recta.
16 Escribe las fracciones que corresponden a los puntos indicados en la recta.
15
3
5
3
4
2
14
15
6
, , , −




14
Actividades 
Procedimiento
Ejemplo 1
Ubicación de
14
8
Ejemplo 2
Ubicación de
−17
6
Consideramos la fracción irreducible
equivalente.
Efectuamos la división entera del numerador
entre el denominador.
El cociente de esta división determina
los dos números enteros que
son los extremos del segmento donde
se situará la fracción.
Dividimos el segmento determinado
por estos dos números enteros
en tantas partes como indique
el denominador de la fracción
y tomamos las que señale el resto
de la división.
14
8
7
4
=
La fracción se sitúa entre 1 y 2.
7
3
4
1
Tenemos que dividir el segmento
determinado por 1 y 2 en 4 partes
iguales y tomar 3.
−17
6
La fracción se sitúa entre −2 y −3.
17
5
6
2
Tenemos que dividir el segmento
determinado por −2 y −3 en 6 partes
iguales y tomar 5.
   


    


1.4. Ordenación de fracciones
La representación de las fracciones
sobre la recta nos permite ordenarlas.
Tal y como sucede en la ordenación
de los números naturales y
los números enteros, siempre es mayor
la fracción situada más a la derecha.
También es posible comparar dos fracciones sin tener que representarlas.
Ordenación de fracciones con el mismo denominador
Dadas dos fracciones con el mismo denominador positivo, es mayor la
que tiene el numerador más grande.
Ordenación de fracciones con distinto denominador
Para comparar dos o más fracciones con distinto denominador, tomamos las
fracciones equivalentes de forma que todos los denominadores sean positivos.
A continuación, las reducimos a mínimo común denominador y comparamos
las fracciones obtenidas.
Compara las siguientes fracciones:
Representa estas fracciones sobre la recta y ordénalas de menor a mayor.
− −

4
5
12
5
8
5
3
15
3
1
, , , ,
18


5
4
7
3
17 y .
Actividades 

 
 


   


 
 




Compara las fracciones .
— Como el denominador es el mismo y positivo, podemos comparar los numeradores.
−5 < 11 < 15 — Por lo tanto, –5 7 11 7 15 7 < < 11 7 , –5 7 y 15 7 ejemplo 3 Compara las fracciones . — Escribimos como para que su denominador sea positivo. — Reducimos las fracciones a mínimo común denominador. m.c.m. (15, 4) = 60 60 ÷ 15 = 4 60 ÷ 4 = 15 — Las fracciones obtenidas tienen el mismo denominador positivo. Por lo tanto, será mayor la que tenga el numerador más grande. − − ⇒ − − ⇒− − ⇒ − − 48 45 48 60 45 60 12 15 3 4 12 15 3 4 < < < < − = − − = 12 4 − 15 4 48 60 3 15 4 15 45 60 · · · · −12 15 12 −15 12 15 y 3 – 4 – ejemplo 4 Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, por ejemplo, 12 y 45: • Descomponemos en factores primos cada uno de los números. 12 = 22 · 3 45 = 32 · 5 • Consideramos los factores no comunes y comunes elevados al máximo exponente: 22, 32 y 5. • Multiplicamos los números obtenidos: 22 · 32 · 5 = 180 m.c.m. (12, 45) = 180 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Para reducir a mínimo común denominador dos o más fracciones: • Calculamos el m.c.m. de los denominadores. • Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y multiplicamos el cociente obtenido por los dos términos de la fracción correspondiente. Reducción a mínimo común denominador 2 Operaciones con fracciones 2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división Operar con fracciones negativas es como operar con las positivas pero teniendo en cuenta las reglas de las operaciones con números enteros. Conozcamos el proceso seguido para efectuar diferentes operaciones con fracciones. Efectúa, en tu cuaderno, las siguientes operaciones con fracciones. a ) d) · g) − + − − − 1 2 3 4 5 12 3 4 5 3 − − − − 4 9 5 6 4 3 1 6 4 3 6 b ) e ) : h ) 7 2 5 5 3 6 4 3 2 4 9 + − − − ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ c ) · f ) : i ) : − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 4 15 6 7 19 Actividades  Notación de la división de fracciones a b c d = a b : c d = a · d b · c  FÍJATE Siempre que sea posible simplificaremos las fracciones, hasta la fracción irreducible, para facilitar los cálculos durante los procesos seguidos en las distintas operaciones. MUCHO OJO  Adición y sustracción Ejemplos Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador. Si no es así, se reducen previamente a mínimo común denominador. • Se deja el mismo denominador. • Se suman o se restan los numeradores. 3 4 2 5 15 20 8 20 15 8 20 7 20 4 5 2 + − = +− = + − = = ( ) m.c.m. ( , ) 0 − − = − − = − − = − = 3 2 1 3 9 6 2 6 9 2 6 11 6 m.c.m. ( 2,3 ) 6 División Ejemplos La división de dos fracciones es una fracción en que: • El numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. • El denominador se obtiene multiplicando el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. −3 = − = − 5 1 6 3 6 5 1 18 5 : · · Multiplicación Ejemplos El producto de dos o más fracciones da lugar a otra fracción en la que: • El numerador es el producto de los numeradores de cada una de las fracciones. • El denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. 3 4 2 7 3 2 4 7 6 28 3 14 · ·( ) · − = − = − = − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2.2. Operaciones combinadas Para efectuar operaciones combinadas con fracciones positivas y negativas aplicamos los mismos criterios de prioridad establecidos para los números enteros: • Primero, se resuelven los paréntesis y los corchetes. • A continuación, las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. • Y, finalmente, las sumas y las restas. Fíjate en este ejemplo. Calcula — En primer lugar, efectuamos la resta del interior del paréntesis. — A continuación, resolvemos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. — Por último, calculamos las sumas y las restas, y simplificamos el resultado. 2 3 · 5 4 + 2 5 2 35 : 4 21 − − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ 10 12 336 140 350 1008 420 658 420 47 30 + − = + − = − = ( ) − 2 3 5 4 16 35 4 21 2 5 3 4 16 21 35 4 10 12 336 · : · · · · + − = +− = +− 140 2 3 5 4 14 2 35 4 21 2 3 5 4 16 35 4 21 · + − − : = · + − : ejemplo 5 Efectúa las siguientes operaciones combinadas. Resuelve estas operaciones combinadas. Copia la operación y ubica los paréntesis para que el resultado sea el que se indica. Calcula en tu cuaderno: Valentina leyó en una semana la tercera parte de un libro de 180 páginas y la semana siguiente, la cuarta parte. Si tarda 3 minutos en leer una página, ¿cuánto tardará en acabar de leerlo? Expresa el resultado como una operación combinada y calcúlala. Adrián sale de su casa con $ 32. En diversas compras se gasta tres octavas partes de esta cantidad. ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le quedan? 25 24 a ) b ) · 1 1 3 2 3 5 1 2 1 4 1 2 1 5 − + − − + 23 2 3 2 5 1 3 1 3 2 9 11 45 + · − + = 22 a b ) · : ) · : 5 3 6 4 3 2 2 3 4 9 5 3 6 4 3 2 2 3 4 − + −− − + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ − − 9 5 3 6 4 3 2 2 3 4 9 c ) · : − + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ − − 21 a ) · b ) : − − − + 3 7 4 9 5 6 1 7 3 2 7 8 20 Actividades  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 2.3. Potencias y raíces cuadradas Cuando operamos con fracciones podemos encontrarnos, como sucede con los otros tipos de números, con multiplicaciones de factores repetidos. También pueden aparecer fracciones cuyos términos sean cuadrados perfectos. Potencia de una fracción En ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de fracciones iguales. Son potencias cuya base es una fracción y su exponente, un número natural. En general: En la tabla siguiente puedes observar que las operaciones con potencias de base una fracción y exponente entero cumplen las mismas reglas que las potencias de base y exponente enteros.  a b a b n n n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = Para elevar una fracción a una potencia, se elevan el numerador y el denominador a esta potencia. Podemos transformar una potencia de fracción de exponente negativo en otra de exponente positivo. a b = b a -n n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟  FÍJATE Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de una potencia División de potencias de la misma base Potencia de exponente 1 Potencia de un producto Potencia de exponente 0 a b a b a b m n m+n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a b c d a b c d n n n ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a b a b m n m n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅ a b a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 a b a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ≠ 0 1 ( 0 ); b ≠ 0 Efectúa: Transforma en potencias de exponente positivo: Expresa estas operaciones como una única potencia. a c b ) · ) · 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ) : ) · 1 4 1 4 4 7 7 4 2 3 5 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ d 28 a ) b ) c ) 3 5 2 6 1 4 2 5 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − − − 27 a ) b ) c ) 5 7 3 4 3 2 2 4 2 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 3 26 Actividades  · ·...· · ·...· · · n veces a b a b a b a b a a a b b n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = = ...·b a b n n = a b a b a b m n m-n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ÷: ÷ Raíz cuadrada de una fracción Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es hallar otro número que elevado al cuadrado sea igual al primero. De forma análoga, la raíz cuadrada de una fracción será otra fracción que elevada al cuadrado sea igual a la primera. Decimos que una fracción es cuadrado perfecto si lo son el numerador y el denominador de su fracción equivalente irreducible. Tal y como sucede con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracción que es cuadrado perfecto corresponde a dos fracciones: una positiva y la otra negativa. Así, por ejemplo: Teniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, resulta evidente que tanto el cuadrado de una fracción positiva como el de una negativa son positivos. Por ello y, del mismo modo que ocurre con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracción negativa no existe. 4 9 2 3 2 3 4 9 2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ , ya que = La raíz cuadrada de es 4 9 2 3 Calcula: Luego de simplificar, indica oralmente cuáles de estos números son cuadrados perfectos. Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno. a b c ) ) · ) · · 9 4 5 25 2 2 4 25 10 2 3 3 + ( + ) + 31 1 8 8 50 1 4 147 27 108 75 25 64 20 45 72 50 , , , , , , , , 30 100 169 529 81 49 225 144 324 729 1296 , , , , 29 Actividades  La fracción que es cuadrada perfecta tiene por raíz a la fracción positiva tal que: donde c2 = a y d2 = b   Las fracciones negativas no tienen raíz cuadrada. a c b d c = d 2 a b 3 Relación entre las fracciones y los decimales Dado que toda fracción puede interpretarse como una división, podemos asociar un número decimal (el resultado de esta división) a cada fracción. 3.1. Expresión decimal de una fracción Al dividir el numerador de cualquier fracción entre su denominador, podemos encontrar tres casos distintos: Así, cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones. Clasifica estos números decimales en limitados, ilimitados periódicos puros e ilimitados periódicos mixtos. 2,242424...; 0,75; 3,435; 8,251; 2,89;0,5; 2  − ,13444... 33 11 13 8 7 5 14 3 4 13 9 5 14 , , , , , − − − − 32 Actividades  • Después de extraer una o más cifras decimales, obtenemos resto 0. A la fracción le corresponde el número decimal limitado 3,75. • El resto nunca es 0 y en el cociente aparece una cifra o grupo de cifras que se van repitiendo y que llamamos período. Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico. 15 4 15 4 30 3 75 20 0 , 23 6 50 3 833 20 20 2 , ... 14 3 20 4 666 20 20 2 , ... El período (6) comienza inmediatamente después de la coma. A la fracción le corresponde el número decimal ilimitado periódico puro 4,666... Hay cifras decimales (8) entre la coma y el período (3). A la fracción le corresponde el número decimal ilimitado periódico mixto 3,833... 23 6 14 3 Para simbolizar el período, utilizamos un pequeño arco que comprende las cifras que lo componen. 4 666 4 6 3 833 3 83 , ... , , ... , = =    FÍJATE Si dos fracciones son equivalentes, les corresponde el mismo número decimal. 12 7 24 14 = = 1,714...  FÍJATE Decimales limitados Decimales ilimitados periódicos Fracciones Puros Mixtos       3.2. Fracción generatriz de un número decimal Acabamos de aprender que a toda fracción le corresponde un número decimal limitado o ilimitado periódico. La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limitado o ilimitado periódico es una fracción. Veamos, ahora, la forma de calcular la fracción generatriz correspondiente a un determinado número decimal limitado o ilimitado periódico. La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódico es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.  Calcula la fracción generatriz de los números decimales siguientes. Efectúa estas operaciones. Calcula previamente las fracciones generatrices. a ) 3,5 · 4,56 b ) ( 2,8 0,3 ) : 1,5    + 35 7,4; 0,07; 4,562; −0,005; 2,14; 3,261 34 Actividades  El número decimal es limitado Ejemplo: 4,65 El número decimal es ilimitado periódico mixto Ejemplo: 1,254 El número decimal es ilimitado periódico puro Ejemplo: 00,0 x = 4,65 100 x = 465 x= = 465 100 93 20 • Llamamos x al número decimal. • Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para eliminar la coma. • Despejamos x y simplificamos la fracción. • Llamamos x al número decimal. • Multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período. • A la expresión obtenida le restamos la expresión inicial. • Despejamos x y simplificamos la fracción. • Llamamos x al número decimal. • En primer lugar, multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo después del primer período. • A continuación, multiplicamos la expresión de x por la potencia de 10 necesaria para que la coma quede justo antes del primer período. • Restamos las dos expresiones obtenidas. • Despejamos x y simplificamos la fracción. 12,6  1,254 10 x = 126,666... 10 126 666 12 666 9 114 x x x = − = = , ... , ... x= = 114 9 38 3 10 x = 12,5454... x= = 1242 990 69 55 1000 1254 5454 10 12 5454 990 1242 x x x = − = = , ... , ... 1000 x = 1254,5454... x = 1,254 x = 12,6 ÷ 3.3. Operaciones con decimales Recordemos las operaciones que se efectúan con los números decimales. Adición y sustracción Debemos tener en cuenta el valor posicional de las cifras decimales. Así, al efectuar estas operaciones, las comas deben encontrarse en una misma columna. Observa los siguientes ejemplos. Multiplicación En este caso, necesitas recordar que el producto debe tener tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. División Para dividir un número decimal por un número natural aproximaremos el cociente hasta que éste tenga el número de cifras decimales deseado. En caso de que el divisor también sea un número decimal, se multiplican el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Así obtenemos una división equivalente cuyo divisor es un número natural. Veamos cómo obtener una aproximación decimal de la raíz cuadrada de 92. • Calculamos los cuadrados perfectos más próximos a 92, que son 81 y 100. Así: • Calculamos los cuadrados de los números con una cifra decimal más próximos a 92. 9,52  90,25  92 9,62  92,16  92 Por lo que: Decimos que 9,5 es una aproximación con una cifra decimal de la raíz de 92. Podríamos seguir el proceso y dar aproximacio nes con más cifras decimales. Así, cada vez nos acercaríamos más al valor exacto. — Practica este procedimiento y halla las raíces aproximadas con tres decimales de 38 y 75. 9 5 92 9 6 9 5 92 9 6 , 2 , 2 , , < < ↓ ↓ ↓ < < 81 92 100 81 92 100 9 92 10 < < ↓ ↓ ↓ < < ↓ ↓ ↓ < < Aproximación de raíces cuadradas 36 Efectúa: a) 4,12 + 6,2; b) 3,12 − 1,2; c) 3,12 · 1,2; d) 4,45 ÷ 2; e) 1,32 ÷ 2; f) 12,2 ÷ 2,1; g) 1,21 ÷ 4,3 Actividades  Efectúa: a) 234,123 + 456,21; b) 133,56 − 35,987 — Colocamos los números en columna de modo que coincidan las unidades del mismo orden. Si es necesario, se añaden 0 a la derecha para que todos tengan el mismo número de cifras decimales. 1 3 3 5 6 0 3 5 9 8 7 9 7 5 7 3 , , , − 2 3 4 1 2 3 4 5 6 2 1 0 6 9 0 3 3 3 , , , + ejemplo 6 Calcula: 125,6 · 1,28 — Efectuamos las multiplicaciones como si se tratara de dos números enteros y se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. 1 2 5 6 1 2 8 1 0 0 4 8 2 5 1 2 1 2 5 6 1 6 0 7 6 8 , , , x ejemplo 7 Efectúa: 72,6 ÷ 8,4 — Como el divisor tiene una cifra decimal, multiplicamos el dividendo y el divisor por 10. 72,6 · 10 = 726 8,4 · 10 = 84 — La división inicial se ha transformado en: 726 ÷ 84 7 2 6 84 5 4 0 8 6 3 6 , ejemplo 8 4 Aproximación, redondeo y error Cuando los números decimales tienen muchas cifras en la parte decimal, puede resultar complejo trabajar con ellos. En estos casos tomamos aproximaciones de dichos números. Así, por ejemplo, 12,7 es una aproximación hasta las décimas de 12,723456. Una de las formas de tomar aproximaciones de números decimales es por redondeo. Observa los siguientes ejemplos de aproximación por redondeo. Siempre que efectuamos una aproximación estamos cometiendo un error. Así, por ejemplo, al aproximar 8,579 3 a 8,58 hemos cometido un error de 0,000 7. Da una aproximación de los siguientes números con un error menor que el que se indica. a) 3,125; Ea = 0,1 b) 21,35; Ea = 0,01 c) 41,562; Ea = 0,001 Redondea estos números hasta las decenas y calcula el error que se comete. a) 2,785 b) 3,45 c) 67,892 Al redondear un número se ha obtenido el valor 3,02 cometiéndose un error de 0,003. ¿De qué número o números se trata? Realiza una estimación del resultado de cada una de las siguientes operaciones. A continuación, efectúa los cálculos exactos y determina el error cometido con cada una de las estimaciones. a) 2,5 + 3,268 + 6,01 · 1,1 b) 12,63 − 0,5 + 0,1 · 71,725 40 39 38 37 Actividades  1,54 1,5 23,67 23,7 Observa que: 1,54  1,5 En este caso decimos que hemos efectuado una aproximación por defecto. Por otro lado, se tiene que: 23,67  23,7 En este caso decimos que la aproximación es por exceso.  FÍJATE Muchas veces consideramos aproximaciones para realizar estimaciones. Redondea las siguientes cantidades hasta las décimas y haz una estimación del costo total de la compra de los siguientes productos: Agua mineral: $ 0,45 Garbanzos: $ 0,62 Pan: $ 0,47 ¿Dirías que tienes suficiente dinero para pagar la compra si dispones de $ 1,50? ¿Qué error se ha cometido con la estimación? Estimación Redondeo Redondeo Para aproximar un número por redondeo hasta una determinada cifra decimal, procedemos del siguiente modo: • Si la primera cifra que debemos suprimir es menor que 5, dejamos igual la última cifra que se conserva. • Si la primera cifra que debemos suprimir es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva.  Llamamos error absoluto (Ea ) al valor absoluto de la diferencia entre el valor aproximado (a) y el valor exacto (x). E a x a = −  Número real Orden de aproximación Primera cifra suprimida Aproximación por redondeo 0,537 12 Décimas 3 0,5 157,247 523 Milésimas 5 157,248 8,579 3 Centésimas 9 8,58 5 Estadística: conceptos generales Muchas veces es interesante conocer algunas características o el comportamiento de un colectivo en cuestiones tan diversas como, por ejemplo: A. El color preferido de los alumnos de una clase. B. El número de goles marcados por cada uno de los equipos de fútbol de primera A en la última jornada. C. La estatura del alumnado de 9.o de EGB de una ciudad. En estos casos se han de recoger datos, organizarlos adecuadamente y analizarlos para extraer conclusiones. Ya sabes que este tipo de estudio se denomina estudio estadístico. Para el estudio estadístico de una situación hay que definir, en primer lugar, los siguientes conceptos: población, individuo, muestra, variable estadística y dato. Así, en los casos planteados anteriormente podemos construir la tabla siguiente: La población de un estudio estadístico es el conjunto de elementos objeto del estudio. Cada uno de los elementos de la población es un individuo.  La propiedad o característica concreta de la población que se quiere estudiar recibe el nombre de variable estadística. Cada valor que toma la variable estadística es un dato.  Una muestra es una parte de la población sobre la que se lleva a cabo el estudio.  En ocasiones, no puede tratarse toda la población porque es demasiado grande, porque no se tiene tiempo ni dinero para hacerlo, o por otro motivo. En estos casos, sólo puede estudiarse una parte de la población. 41 Indica la población y la variable estadística de cada uno de los estudios estadísticos siguientes. Actividades  a) Deporte preferido por los trabajadores de una empresa. b) Número de alumnos por clase en un centro escolar. c) Duración de unos determinados focos. d) Grado de satisfacción de los estudiantes de un centro respecto a la enseñanza que reciben. Normalmente se estudia una muestra porque la población es muy grande o porque es muy costoso estudiar la población entera. Dado que las conclusiones que se extraen de un estudio estadístico se extrapolan a toda la población, se debe prestar mucha atención a la hora de seleccionar la muestra.  FÍJATE Estudio estadístico Población Variable estadística A Todos los alumnos de una clase Color preferido B Equipos de fútbol de primera A Número de goles marcados en la última jornada C Alumnado de 9.o de EGB de una ciudad Estatura Tus conocimientos sobre fracciones, números decimales, operaciones y la técnica de aproximación y redondeo te permitirán calcular de mejor manera dos medidas de tendencia central: la media aritmética y la mediana. Conceptos generales 5.1. Variables estadísticas Es interesante conocer qué clase de valor puede tomar una variable estadística. En los casos anteriores, los valores pueden ser los siguientes: A (color preferido): rojo, azul, verde, amarillo... B (número de goles marcados en la última jornada): 0, 1, 2, 3... C (estatura): 1,57 m, 1,63 m, 1,594 m, 1,625 m... Es fácil darse cuenta de que los valores que pueden tomar las variables estadísticas pueden ser, fundamentalmente, de dos tipos: numéricos (B y C), o no numéricos (A). Por ello, las variables estadísticas se clasifican en cualitativas y cuantitativas. Las variables estadísticas cualitativas son aquellas que no toman valores numéricos.  Las variables estadísticas cuantitativas son las características de la población que se dan en forma numérica.  En el caso A, la variable estadística es cualitativa porque los valores no son números. En los casos B y C, las variables estadísticas son cuantitativas porque los valores son números. Pueden distinguirse dos tipos: — Una variable estadística cuantitativa es continua si, dados dos valores cualesquiera de la variable, siempre puede obtenerse un valor que se encuentre entre estos dos (caso C). — Una variable estadística cuantitativa es discreta si no puede tomar valores intermedios entre dos consecutivos (caso B). Las variables estadísticas que pueden estudiarse a fondo son las cuantitativas, porque es posible hacer operaciones con sus valores. Razona de qué tipo son las variables de los estudios estadísticos de la actividad 41. Indica en cada uno de estos casos si la variable estadística es cuantitativa discreta o continua. Justifica la respuesta. Trabaja en tu cuaderno. a) Una variable estadística que sólo puede tomar los valores 1; 1,25; 1,5; 1,75 y 2. b) Una variable estadística que puede tomar todos los valores entre 1 y 4. Imagina que tienes que realizar un estudio estadístico sobre la siguiente población: alumnos de 9.o de EGB de una localidad. Indica: a) La muestra que puedes tomar para el estudio. b) Tres variables cualitativas. c) Dos variables cuantitativas continuas. d) Dos variables cuantitativas discretas. 44 43 42 Actividades  Cualitativa Cuantitativa Variables estadísticas Discreta Continua      5.2. Recolección de datos En un estudio estadístico nos interesa conocer el valor que toma la variable estadística en los diferentes individuos que componen la muestra de la población. En ocasiones, para obtenerlos basta con fijarse en cómo es o cómo se comporta cada individuo; otras veces es necesario hacer mediciones o experimentos científicos. También es frecuente realizar encuestas. Si llevamos a cabo una encuesta, conviene tener presente que: — Se ha de hacer en un momento adecuado para que la persona encuestada se sienta cómoda y disponga del tiempo necesario. — Las preguntas han de ser breves y claras, y deben reducirse a las mínimas para obtener la información necesaria. — Las preguntas no han de mostrar la opinión del encuestador. — Es preferible formular preguntas con un número limitado de respuestas posibles que dejar opinar libremente al encuestado. En este caso, las encuestas son mucho más difíciles de tratar. Así, por ejemplo, al realizar una encuesta en una clase sobre la práctica de deporte podemos plantear distintas preguntas: • ¿Cuál es tu relación con el deporte? La pregunta puede tener demasiadas respuestas diferentes y puede ser muy complicado extraer alguna conclusión. • ¿Cuántos días a la semana practicas deporte? Esta sencilla pregunta es más recomendable y tiene un abanico de respuestas más controlado. Una encuesta es un conjunto de preguntas dirigidas a una muestra significativa para la obtención de datos para un estudio estadístico.  Razona en cada uno de los siguientes apartados si las situaciones de la encuesta son correctas; si no lo son, ofrece alguna alternativa. a) Encuesta sobre el maltrato a los animales a la salida de una corrida de toros. b) La pregunta: ¿Consideras necesaria la aplicación del decreto 385/2009 para el caso del expediente 257? c) Encuesta sobre planes de pensiones a los estudiantes de EGB. d) Encuesta en la calle a todas las personas sobre el grado de satisfacción de las prestaciones de un nuevo modelo de taladro percutor. e) Encuesta sobre el equipo favorito de fútbol a la salida de un partido si el entrevistador lleva la insignia de un club. 45 Actividades  La estadística se divide en dos importantes ramas: • La estadística descriptiva, que se ocupa únicamente de organizar los datos obtenidos en un estudio estadístico. • La estadística inferencial, cuya finalidad es extraer conclusiones fiables sobre una población a partir de los datos recogidos en un estudio estadístico. En este curso sólo nos ocuparemos de la estadística descriptiva. Ramas de la estadística Cortesía CEDATOS http://netaccess.com.mx Obtención de muestras La forma ideal para obtener los datos sería averiguar el valor que toma la variable estadística en todos y cada uno de los individuos de la población. Sin embargo, esto no siempre es posible. Por ejemplo, resulta bastante sencillo preguntar el color favorito a cada uno de los alumnos de una clase, mientras que es muy complicado y costoso medir la estatura de todos los alumnos de 9.o de EGB de una gran ciudad. Cuando no resulta posible o adecuado obtener los datos de toda la población, se recogen los correspondientes a una muestra representativa de esta población; es decir, una muestra que nos pueda dar una idea correcta de los valores de la variable en toda la población. También es importante el número de elementos de la muestra: cuanto más grande sea, mejor representará toda la población, pero más difícil será obtener los datos (se necesitará más tiempo, seguramente más dinero...). En los estudios estadísticos siguientes, explica cómo efectuarías la recopilación de datos y si conviene o no tomar una muestra. En caso afirmativo, di cómo la seleccionarías. a) Si un lote de latas de pescado en conserva está en condiciones o no de salir a la venta. b) Si un determinado modelo de auto gusta o no a la mayoría de ecuatorianos. a) Para saber si el contenido de una conserva está en buenas condiciones es preciso abrir la lata. Por tanto, se selecciona una muestra de un lote de latas, se las abre y se comprueba si se encuentran en buen estado. La muestra se podría hacer enumerando las latas y haciendo un sorteo. b) Se debe realizar una encuesta. No se puede hacerla a toda la población porque es demasiado numerosa. La forma más correcta sería tomar una muestra a partir del censo. Otra forma, si no se dispone del censo, podría ser una encuesta en la calle. Pero deberíamos asegurarnos de que la muestra escogida es representativa (por ejemplo, no centrarse en personas de una misma edad o lugar concreto, o que formen parte de la misma familia...). ejemplo 9 Explica cómo obtendrías los datos necesarios para llevar a cabo los estudios estadísticos de la actividad 41. ¿Crees que deberías tomar una muestra? Si es así, ¿qué harías para escoger la muestra? Para conocer el nivel cultural de los habitantes de tu población, se decide efectuar un examen a 100 individuos de una muestra. Razona cuál de estos métodos es el más adecuado: a) Escoger 100 estudiantes universitarios al azar. b) Escoger 100 personas al azar de entre las que trabajen en una determinada empresa. c) Escoger 100 personas al azar de entre las que figuren en una guía de teléfonos. 47 46 Actividades  Una forma sencilla de conseguir una muestra representativa consiste en escogerla al azar; por ejemplo, efectuando un sorteo entre todos los individuos de la población. En este caso se dice que la muestra ha sido obtenida mediante un muestreo aleatorio.  FÍJATE http://gastrosoler.com http://www.motorfull En una muestra aleatoria, todos los elementos de la población deben tener la misma posibilidad de ser seleccionados. MUCHO OJO  6 Presentación de datos Una vez recogidos los datos, debemos ordenarlos para que su estudio sea más sencillo. La mejor forma de hacerlo es mediante tablas. 6.1. Tablas de distribución de frecuencias Vamos a confeccionar una tabla con el estudio estadístico del número de hermanos que tienen los alumnos de 9.o de EGB de un determinado centro. De una muestra de 21 alumnos se obtuvieron estos datos: 2, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, 0, 5, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 2, 0, 1, 0 A partir de esta serie de datos, construimos la siguiente tabla (tabla 1). Para que las frecuencias absolutas nos informen realmente sobre la distribución de los datos de una variable, es necesario compararlas con el número total de individuos. ■ Tabla 1. Observa que: • La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de alumnos de la clase o, lo que es lo mismo, al número de individuos de la población, que coincide con el número de datos. • La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La frecuencia relativa de un valor de la variable estadística es el resultado de dividir la frecuencia absoluta de dicho valor entre el número total de individuos de la población.  La frecuencia absoluta de un valor de la variable estadística es el número de veces que se repite dicho valor.  Las frecuencias relativas pueden expresarse en forma de fracción, como un número decimal o como un porcentaje. → 0,381 → 38,1 % 8 ÷ 21 0,381 · 100 Fracción Número decimal Porcentaje 8 21 Se dispone de los siguientes datos de una encuesta realizada a 25 estudiantes sobre su deporte favorito: la natación es el favorito para 10 personas; el 24 % prefiere el fútbol; la frecuencia relativa de los que eligen el baloncesto es 0,16; hay estudiantes que seleccionaron voleibol. Confecciona una tabla con la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y el porcentaje de cada uno de los cuatro deportes. 48 Actividades  Número de hermanos Recuento Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 0 8 8 21 = 0,381 1 6 6 21 = 0,286 2 4 4 21 = 0,190 3 2 2 21 = 0,095 5 1 1 21 = 0,048 21 21 21 = 1 Frecuencias acumuladas Si en el estudio interesa saber cuántos alumnos de 9.o de EGB tienen 2 o menos de 2 hermanos, debemos sumar las frecuencias absolutas correspondientes a los valores 0, 1 y 2: 8 + 6 + 4 = 18 Así, 18 alumnos tienen menos de 3 hermanos. El número 18 se denomina la frecuencia absoluta acumulada del valor 2. La tabla que recoge las diferentes frecuencias (absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada) de los valores de la variable estadística se llama tabla de distribución de frecuencias. Observa en la tabla 2 que: • La frecuencia absoluta acumulada del último valor de la variable estadística es igual al número de datos. • La frecuencia relativa acumulada del último valor de la variable estadística es igual a 1. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable estadística es el resultado de sumar a su frecuencia absoluta las frecuencias absolutas de los valores anteriores.  La frecuencia relativa acumulada de un valor de la variable estadística es el resultado de sumar a su frecuencia relativa las frecuencias relativas de los valores anteriores.  Para saber qué parte del total de la clase tiene 2 o menos de 2 hermanos, sumamos las frecuencias relativas correspondientes a los valores 0, 1 y 2. 0,381 + 0,286 + 0,190 = 0,857 Así, el 85,7 % de la clase tiene 2 o menos de 2 hermanos. Este resultado es la frecuencia relativa acumulada del valor 2. Las respuestas correctas dadas por los alumnos de una clase en una prueba de Matemática compuesta por 10 preguntas han sido: 6, 6, 7, 4, 5, 7, 3, 9, 7, 8, 5, 5, 3, 6, 4, 3, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 8, 5, 5, 6, 8, 4, 6 y 10. Elabora una tabla de distribución de frecuencias y di cuántos alumnos han contestado correctamente: a) menos de 5 preguntas; b) 5 o más preguntas; c) 8 o más preguntas. Al preguntar a los 30 estudiantes de una clase si a menudo viajaban en autobús, algunos han contestado pocas veces; unos, bastantes veces y otros, muchas veces. Halla las frecuencias absolutas de pocas veces, de bastantes veces y de muchas veces, sabiendo que son directamente proporcionales a los números 1, 3 y 2, respectivamente. 49 50 Actividades  La frecuencia relativa acumulada de un valor puede obtenerse también dividiendo la frecuencia absoluta acumulada de dicho valor por el número total de datos: 18 21 = 0,857  FÍJATE ■ Tabla 2.  +  +   + + +  + +   +  Número de hermanos Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 8 8 0,381 0,381 1 6 14 0,286 0,667 2 4 18 0,190 0,857 3 2 20 0,095 0,952 5 1 21 0,048 1 6.2. Gráficos estadísticos La información contenida en las tablas estadísticas se interpreta con más facilidad si la representamos mediante gráficos estadísticos. Se gui da mente, mostraremos algunos de los tipos de gráficos más utili zados: el diagrama de barras, el polígono de frecuencias, el pictograma, el diagrama de sectores, el cartograma y los gráficos comparativo y evolutivo. Diagrama de barras Este gráfico está formado por una serie de barras verticales cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas de los valores de la variable. Observa cómo se dibuja el diagrama de barras correspondiente a los datos de la tabla 3. — Trazamos unos ejes de coordenadas. — Sobre el eje de abscisas (horizontal) representamos los valores de la variable estadística. — Sobre el eje de ordenadas (vertical) representamos sus frecuencias absolutas. — Para cada valor de la variable estadística trazamos una barra vertical cuya altura coincida con su frecuencia absoluta. Diagrama de barras de frecuencias acumuladas Diagrama de barras horizontales Este diagrama se obtiene al representar en el eje de ordenadas las frecuencias absolutas acumuladas de cada valor de la variable. Existen distintas variantes del diagrama de barras, entre las que destacamos el diagrama de barras de frecuencias acumuladas y el diagrama de barras horizontales. Si al dibujar el diagrama de barras representamos en el eje de abscisas las frecuencias absolutas y en el de ordenadas los valores de la variable estadística, obtenemos el siguiente diagrama. ■ Tabla 3. Libros leídos por una muestra de alumnos de EGB. Libros leídos Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta acumulada 0 1 1 1 3 4 2 6 10 3 8 18 4 6 24 5 5 29 6 3 32 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia absoluta Libros leídos 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 35 Frecuencia absoluta acumulada Libros leídos 0 1 2 3 4 5 6 Frecuencia absoluta 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 Libros leídos Polígono de frecuencias Pictograma El polígono de frecuencias es una línea poligonal que se obtiene al unir los puntos determinados por los valores de la variable estadística y su correspondiente frecuencia absoluta. El gráfico siguiente muestra las contribuciones a UNICEF en el período 2002 a 2006. 2002 Año 2003 2004 2005 2006 0 1 500 2 000 2 500 3 000 Millones de $ Es un diagrama de barras en el que éstas se han sustituido por dibujos representativos de la variable estudiada. Por ejemplo, este pictograma muestra el número de títulos publicados por editoriales durante el año 2006 en el Ecuador. 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 Inf. y juv. Lib. texto Creac. lit. C. Soc. y human. Cient. y técn. Tiempo libre Otros Frecuencia absoluta Diagrama de sectores Los diagramas de sectores consisten en un círculo dividido en tantos sectores como valores toma la variable estadística y cuyas amplitudes son proporcionales a las frecuencias de dichos valores. Observa cómo se dibuja el diagrama de sectores correspondiente a los datos recogidos sobre el color del pelo de los alumnos de una clase. — Dibujamos un círculo. — Calculamos la amplitud de cada sector. Puesto que un círculo tiene un ángulo central de 360°, para saber la amplitud de los diferentes sectores buscaremos los porcentajes correspondientes de 360°. Utilizaremos las frecuencias relativas expresadas en forma de porcentajes. 18,75 % de 360° = · 360° = 67,5° 56,25 % de 360° = · 360° = 202,5° 25 % de 360° = · 360° = 90° — Con un transportador de ángulos, dividimos el círculo en tres sectores de amplitudes 67,5°, 202,5° y 90°. — Coloreamos cada sector de forma diferente y expresamos la frecuencia relativa correspondiente a cada uno de ellos en forma de porcentaje. 25 100 56 25 100 , 18 75 100 , 18,75 % 25 % 56,25 % Color del pelo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Rubio 6 0,1875 Castaño 18 0,5625 Negro 8 0,25 En algunos estudios estadísticos se observa que los valores de la variable estadística dependen de las zonas del territorio que estemos considerando. Por ejemplo, el número de habitantes de cada país de la Unión Europea, los diferentes tipos de cultivo de una región… En este caso, lo más habitual es confeccionar un cartograma. Cartograma Los cartogramas son mapas en los que aparecen coloreadas las diferentes zonas según el valor que toma la variable estadística en cada una de ellas. En ocasiones, es útil recurrir al uso de gráficos comparativos y evolutivos. Gráfico comparativo En este gráfico se muestran los datos de más de una variable estadística. De esta manera pueden compararse más fácilmente que si se estuvieran representados por separado. Observa la superposición de tres diagramas de barras. Al dibujar los tres diagramas en los mismos ejes, podemos contrastar más fácilmente la evolución de la deuda externa, en porcentaje de PNB (producto nacional bruto), en diferentes zonas del planeta, durante varios años. 100 % 80 % 60 % 40 % 20 % 0 % 1990 1980 1970 Áfr.subs. N.África Amér.Lat. Asia mer. Asia or. Porcentaje del PNB 2 1,5 1 0,5 0 —0,5 —1 % Mes Variaciones mensuales IPC —0,6 —0,2 —0,7 0,2 0,4 0,2 0,3 0,1 0,8 1,4 0,3 0,2 Jl Ag S O N D E F Mz Ab My Jn Gráfico evolutivo En este gráfico evolutivo se muestran las variaciones mensuales del Índice de Precios al Consumo (IPC) a lo largo de un año. Grado de acidez de la lluvia Muy alto Alto Considerable Escaso Muy escaso ALCANCE DE LA LLUVIA ÁCIDA EN EUROPA Al lanzar 50 veces dos dados y sumar los puntos, hemos obtenido los siguientes resultados: 4, 3, 8, 12, 6, 2, 7, 9, 11, 5, 3, 7, 12, 10, 9, 4, 6, 8, 11, 10, 2, 6, 10, 12, 3, 5, 7, 7, 11, 6, 11, 5, 4, 2, 9, 12, 10, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 5, 6, 9, 11, 8, 6 y 6. Determina la población y la variable estadística. — Construye la tabla de distribución de frecuencias correspondiente. — Construye un diagrama de barras, un diagrama de barras de frecuencias acumuladas y un polígono de frecuencias que reflejen los resultados obtenidos. Construye un diagrama de sectores para representar la inversión publicitaria de un país: el 44 % es publicidad televisiva, el 33 % aparece en los diarios, el 14 % en las revistas, el 6,4 % en radio, el 2,2 % es exterior (vallas publicitarias...) y el 0,4 % se anuncia en el cine. Escribe al lado de cada sector la frecuencia relativa expresada en números decimales. En la siguiente tabla aparece la tasa global de fecundidad de tres provincias a lo largo del tiempo. Confecciona el gráfico evolutivo de cada provincia según los datos de la tabla y ela bo ra un gráfico comparativo con los datos que presentan. 53 52 51 Actividades  Año Provincia 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2004 Sucumbíos 2,79 2,20 1,64 1,36 1,18 1,24 1,32 Galápagos 1,93 1,95 1,81 1,78 1,70 1,88 1,90 Cañar 1,77 1,68 1,74 2,13 1,73 1,54 1,75 En la tabla de la derecha aparece el número de habitaciones de las viviendas de un barrio. a) ¿Qué porcentaje de viviendas tienen 2 o menos habitaciones? ¿Y más de 3 habitaciones? b) Construye un diagrama de barras horizontales y un diagrama de sectores de este estudio estadístico. a) Representamos por x el porcentaje de pisos que tienen 2 o menos habitaciones. 20 + 50 = 70 El 46,67 % de viviendas tiene 2 o menos habitaciones. Representamos por y el porcentaje de viviendas que tiene más de 3 habitaciones. El 13,33 % de los pisos tiene más de 3 habitaciones. b) y y 100 20 150 100 20 150 13 33 = ⇒ = ⋅ = , x x 100 70 150 100 70 150 46 67 = ⇒ = ⋅ = , ejemplo 10 0 10 20 30 40 50 60 70 Frecuencia absoluta 1 2 3 4 Número de habitaciones 3 41% 2 33% 1 13% 4 13% Número de habitaciones Frecuencia absoluta 1 20 2 50 3 60 4 20 7 Parámetros estadísticos Si observas los periódicos, podrás leer noticias con los siguientes datos: • Cada persona produce en promedio 537 kg de basura al año. • El número medio de hijos por mujer en Ecuador es 1,52. Estas informaciones proceden del cálculo, a partir de los valores de la variable, de unos parámetros estadísticos. A continuación, estudiaremos tres de ellos: la media aritmética, la moda y la mediana. 7.1. Media aritmética Cuando trabajamos con variables estadísticas cuantitativas, podemos tomar como valor representativo de la serie de datos el que resultaría de repartir la suma de todos los datos en partes iguales entre el número total de ellos. Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos cuyos valores se repiten, podemos utilizar las frecuencias absolutas (ni ) de cada valor de la variable (xi ). Así, para los datos de la tabla 4: Si representamos por x1, x2, ..., xk los diferentes valores de la variable, por n1, n2, ..., nk sus respectivas frecuencias absolutas y por N el número de datos, la media aritmética se expresa: x x n x n x n N = + + + k k 1 · 1 2 · 2 ... · x = × + × + × + × + × + × + × = 0 1 1 3 2 6 3 8 4 6 5 5 6 3 32 3,3 La media aritmética de una serie de datos se obtiene sumando todos los datos y dividiendo entre el número total de ellos. Se representa por – x.  La edad, en años, de los participantes en un campeonato de ajedrez es la siguiente: 16, 21, 45, 36, 30, 18, 29, 27, 18, 47, 22 y 40. Calcula la media aritmética de estos datos. Para hallar la media aritmética, sumamos la edad de cada uno de los participantes y dividimos el resultado por el número de participantes. La edad media es de 29,1 años. x = + + + + + + + + + + + = 16 21 45 36 30 18 29 27 18 47 22 40 12 29,1 ■ Tabla 4. Libros leídos (xi ) Frecuencia absoluta (ni ) x1 = 0 n1 = 1 x2 = 1 n2 = 3 x3 = 2 n3 = 6 x4 = 3 n4 = 8 x5 = 4 n5 = 6 x6 = 5 n6 = 5 x7 = 6 n7 = 3 N = 32 El número 1 de la expresión x1 es un subíndice. La expresión x1 se lee equis sub uno.  FÍJATE Los recibos bimensuales de consumo doméstico de agua, en m3, de una familia a lo largo de un año han sido: 29, 50, 28, 41, 29 y 37. ¿Cuál es el consumo medio mensual? La media aritmética de las calificaciones de las dos primeras pruebas de Matemática que ha hecho un alumno es 5,3. ¿Qué nota debe sacar en la tercera prueba para que su calificación global sea 6? 54 55 Actividades  ejemplo 11 Rango 7.2. Moda Un valor importante en cualquier serie de datos, tanto si corresponde a una variable cualitativa como cuantitativa, es el que más veces se repite dentro de la serie. Este valor de la variable recibe el nombre de moda.  La moda es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Al ordenar de menor a mayor los datos obtenidos en un estudio estadístico, la mediana es: • El dato que ocupa el lugar central si el número de datos es impar. • La media aritmética de los dos datos centrales si el número de datos es par.  Puede ocurrir que existan dos o más valores de la variable con frecuencia absoluta máxima. En este caso se dice que la distribución de datos es bimodal (dos modas), trimodal (tres modas)... o, en general, multimodal (varias modas). Así, se observa en la tabla 4 de la página anterior que la moda es 3, y en el ejemplo 11 es 18. 7.3. Mediana En el caso de variables estadísticas cuantitativas podemos ordenar los datos de una serie de menor a mayor. Observa los siguientes datos, ya ordenados, de la variable estadística horas diarias dedicadas al estudio. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 Vemos que el 1 ocupa el lugar central. Diremos que 1 es la mediana. Pero, ¿qué ocurre si el número de datos es par? Obsérvalo en este ejemplo. 15, 23, 24, 26 , 26 , 28 , 30, 36, 36, 40 Ahora hay dos datos centrales, 26 y 28. Diremos que la mediana es la media aritmética de estos dos datos. 26 28 2 27 + = La media aritmética, la moda y la mediana son parámetros estadísticos de centralización porque nos proporcionan una idea global de la variable estudiada. Existen otros parámetros, llamados de dispersión, que nos informan de si los datos están agrupados alrededor de los parámetros de centralización. Uno de estos parámetros es el rango, recorrido o amplitud, que es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de una serie de datos. Observa las siguientes series de datos: • 5, 6, 4, 5, 4, 6, 5 y 5 • 1, 10, 2, 7, 9, 0, 8 y 3 En la primera el rango es 2, el valor máximo 6 y el mínimo 4; en la segunda serie, el rango es 10, el valor máximo 10 y el mínimo, 0. La media aritmética de ambas es 5. Sin embargo, mientras que en la primera serie todos los datos se acercan a la media, en la segunda están más alejados. Centralización y dispersión Un jugador de baloncesto ha conseguido las siguientes puntuaciones en distintos partidos: 15, 20, 21, 17, 18, 11, 15, 16, 14, 11, 22, 25, 9, 12, 18, 15, 14, 14 y 20. Calcula la media aritmética, la moda, la mediana y el rango. — Añade el valor 19 a la serie y calcula de nuevo los parámetros estadísticos anteriores. El diagrama de barras de la derecha representa el número de abdominales que han hecho los 20 alumnos de una clase en 1 minuto. a) Elabora la tabla de distribución de frecuencias. b) Halla la media aritmética, la moda, la mediana y rango. 57 56 Actividades  20 28 30 35 36 0 2 4 6 8 10 Frecuencia absoluta Número de abdominales Durante el empaquetado de fundas de azúcar, un supervisor registra en su informe de observaciones la siguiente sucesión de tiempos (en segundos), utilizados por una de las máquinas: Con estos datos, dentro de su informe, el supervisor debe presentar el cálculo de la media aritmética y de la mediana. Veamos como lo realiza: Para la media aritmética tenemos reemplazando los datos registrados en la fórmula tenemos: x = suma de todos los datos número total de datos x = 4,16  42,2  4,96  4,20  4,73  4,28  4,39 7 = 68,92 7 Ejercicios y problemas integradores  x = x = Luego, el promedio de tiempo que usan las máquinas para sellar fundas de azúcar es 9,845 714 29 segundos, como puedes observar, no corresponde a un número decimal periódico infinito. Realicemos una aproximación de este valor a las milésimas, el valor será de 9,846 segundos. Ahora realicemos el cálculo de la mediana, para esto es necesario que los datos se encuentren ordenados, los ponemos de menor a mayor: 4,16; 4,20; 4,28; 4,39; 4,73; 4,96; 42,2. La posición de la mediana en una distribución de frecuencias se determina por la fórmula: Me  , en nuestro caso, n = 7 lecturas. Por lo anterior, la posición que ocupa la mediana en la sucesión de tiempos es el cuarto lugar. Es decir, la mediana de los datos es Me = 4,39 segundos. n  1 2 Pero, al momento de pasar a limpio su informe, el supervisor se da cuenta de que cometió un error al registrar el tiempo 42,2 segundos, pues este debió ser registrado como 4,22 segundos, al cambiar este dato, debe volver a realizar los cálculos. Veamos que obtiene: Cálculo de la media aritmética. Por lo que el promedio de los tiempos registrados es De manera semejante, calculamos la mediana de los tiempos, ordenándolos en forma ascendente tenemos: 4,16; 4,20; 4,22; 4,28; 4,39; 4,73; 4,96. Luego el valor de la nueva mediana es de Me = 4,28 s. Hechas las correcciones queda claro que de las medidas de tendencia central, la más sensible a los valores atípicos (extremos, o muy grandes o muy pequeños) es la media aritmética. Investiga qué sucede con los valores de la media, mediana y moda en una distribución cualquiera de datos, si le sumas una misma cantidad a cada uno de los datos, si restas un mismo valor a cada uno de los datos, si multiplicas por un mismo valor o si divides a cada uno de los datos por un mismo valor. Practica El histograma de la distribución correspondiente al peso en kg de 105 alumnos de Bachillerato es el siguiente: a) Si Miguel pesa 72 kg, ¿Cuántos alumnos hay menos pesados que él? b) Calcula la moda c) Calcula la mediana 10 20 40 30 0 5 60 62 64 68 71 74 20 40 No. de alumnos • 7 30,94 = 7 4,16 + 42,2 + 4,96 + 4,20 + 4,73 + 4,28 + 4,39 x = x = 4,42 s. Cómo resolver problemas Estrategia: Búsqueda de contraejemplos La búsqueda de contraejemplos se utiliza para demostrar que un cierto enunciado matemático es falso. Recuerda que un enunciado expresado de manera general ha de cumplirse en todos los casos imaginables. Así, si encontramos un caso particular (contraejemplo) en que esto no sea así, el enunciado ya no es válido. Comprensión del enunciado — Escribe la definición de los conceptos estadísticos que aparecen en el problema. — Lee de nuevo el enunciado y explícalo con tus palabras. Planificación de la resolución — Para resolver el problema aplicaremos la estrategia de buscar un contraejemplo. — Para ello, buscaremos una serie de datos en los que la moda sea menor que la media aritmética. — A partir de las definiciones de moda y media aritmética, podemos intuir una serie concreta sencilla que contradiga el texto del enunciado. Ejecución del plan de resolución — Consideramos, por ejemplo, una serie sencilla de tres datos y dos valores distintos. Como la moda es inferior a la media aritmética, el valor que se repite debe ser el menor. Así, proponemos la serie de datos: 1 1 2 — Como el valor que más se repite es el 1, este valor es la moda de la serie. — Calculamos la media aritmética: — Puesto que la moda es menor que la media aritmética, hemos demostrado que el enunciado inicial no es cierto. Revisión del resultado y del proceso seguido — Repasamos los cálculos efectuados y comprobamos que son correctos. 1 1 2 3 4 3 1 + + = >
Demuestra la falsedad del siguiente enunciado:
«La moda de una serie de datos es siempre mayor que la media aritmética.»
Pon en práctica la estrategia anterior para demostrar la falsedad de los enunciados siguientes:
La suma de las frecuencias relativas de los valores de una serie de datos coincide con el número de datos.
Para decidir por mayoría absoluta la aceptación o el rechazo de una norma en una comunidad de 100 individuos
con derecho a voto es necesario la obtención de 51 votos.
59
58
Actividades 
Síntesis
fracción generatriz
de un número decimal
Operaciones
Fracciones
positivas
Fracciones
negativas Aproximaciones, estimaciones,
redondeos y errores
Potenciación y radicación
Operaciones
combinadas
Suma, resta,
multiplicación y división
con ellas efectuamos
con ellos
estudiamos
expresión decimal
de una fracción
donde a y b son números enteros, b  a 0
b
,
Número
decimal
Cualitativas
Variables
estadísticas
……………………..
…………………………..
Datos
Cuantitativas
discretas
Cuantitativas
continuas
Parámetros estadísticos:
• Media aritmética
• Moda
• Mediana
Gráficos estadísticos:
• Diagrama de barras
• Polígono de frecuencias
• Pictograma
• Diagrama de sectores
• Cartograma
• Gráficos comparativo
y evolutivo
Tabla de distribución de
frecuencias:
• Frecuencia …………………………….
• Frecuencia ……………………………
• Frecuencia ……………………………..
……………………………..
• Frecuencia ……………………………..
………………………………
de una
se obtienen
si es muy grande
se toma una
pueden ser
se ordenan mediante se estudian sus
se representan mediante
estudia las
Estadística
Completa en tu cuaderno:
En resumen
Fracciones positivas y negativas
Completa en tu cuaderno:
Clasifica las fracciones siguientes en positivas y negativas.
Después, transforma las fracciones con denominador
negativo en fracciones con denominador
positivo.
Averigua si estos pares de fracciones son equivalentes.
Simplifica las siguientes fracciones.
Determina cuál es la fracción irreducible equivalente
a estas fracciones.
— ¿Son equivalentes entre sí todas las fracciones?
Halla dos fracciones equivalentes a y a
que tengan el mismo denominador.
Representa sobre la recta las siguientes fracciones.
Copia la recta en tu cuaderno y escribe las fracciones
irreducibles representadas en ella.
Ordena de menor a mayor las fracciones de estas
series. Represéntalas sobre la recta y comprueba
que las has ordenado correctamente.
Operaciones con fracciones
Efectúa:
Calcula:
Resuelve:
Efectúa:
Formen grupos de 3 o 4 compañeros, y completen
en sus cuadernos el siguiente cuadrado mágico
con potencias de exponente natural de la fracción
si el producto de cada fila, de cada columna
y de cada diagonal es .
60
a de c de
b de d de
) )
) ….. )
2
7
2 800
3
4
15 000
3
5
1500
3
8
= ….. = 240
61


− −

3
5
4
7
3
8
5
9
2
3
3
11
, , , , ,
62
a ) y b ) y
6
10
9
15
7
5
14
− 10
63
44
80
5 292
9 702
123
360
1274
− 3 458
− −

; ; ;
64
− −



⎧⎨ ⎪
⎩⎪
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
3
8
6
16
6
16
9
24
12
32
, , , , , …
−54
135
14
−18
65
66
a ) b ) c ) d)
3
5
3
2
9
7
5
8

− −

67
68
a
b
) , , , , ,
) , , , , ,
− − −
− −


3
4
5
2
7
6
3
4
7
6
5
2
4
3
2
3
1
2
2
3
4
5
4
1
2
,

69
a c
b d
) )
) )
3
7
5
4
2
3
1
2
1
3
3
20
5
12
2
1
3
+

− −

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
− −−

⎝⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
+ 2
5
70
a c
b
) · · ) :
) · ·
3
7
7
5
1
2
2
3
3
34
3
20
4
5
13
15
⎛ −
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


− d) : ·
5
6
3
4
1
3

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
71
a
b
) · :
) :
1
3
2 2
1
2
4
5
1
3
4
1
2
4
3
+ −

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

+


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
+


⎢⎢


⎥⎥
− +

⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
1
3
4
1
3
3
2
: ·
72
a
b
) · ·
)


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

1
2
1
2
1
2
3 4 2
3
4
3
4
3
4
7
5 3 4 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

− −
· :
c )
8
7
8
7
8
7
2
9 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


⎢⎢


⎥⎥


⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟

⎝ ⎜⎜



· : ⎟⎟⎟
−3
73
2
3
2
3
15 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
–1 0 1
C B A D
2
3
6 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
2
3
7 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
2
3
9 ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟


 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos En tu cuaderno
Ejercicios y problemas
÷
÷
÷
÷ ÷
÷
÷
Halla las siguientes raíces cuadradas.
Relación entre las fracciones y los decimales
Clasifica estos números decimales en limitados e
ilimitados.
Relaciona el resultado de cada una de las siguientes
operaciones con la fracción generatriz correspondiente.
Completa esta tabla en una cartulina.
Escribe tres fracciones con denominador 3 y numerador
no nulo. Busca la expresión decimal de
cada una. ¿Qué observas?
— ¿Y si escribes tres fracciones cuyos denominadores
sean múltiplos de 2 y 5 únicamente?
Calcula las siguientes operaciones de números decimales.
Calcula la fracción generatriz del número .
— Es un número decimal ilimitado periódico puro.
Llamamos x al número decimal.
— Multiplicamos la expresión anterior por 10 para
que la coma quede situada después del primer
período.
— Restamos las dos expresiones anteriores.
— Despejamos x y simplificamos la fracción.
Halla la fracción generatriz de cada uno de estos
números decimales.
Aproximación, redondeo y error
Redondea los siguientes números hasta las décimas
y calcula mentalmente en cada caso el error que has
cometido.
a) 12,456 b) 0,32 c) 9,56 d) 17,054
Efectúa una estimación del resultado de estas operaciones
y determina el error cometido en cada caso.
a) 4,7 + 8,173 + 0,851 · 12,431
b) 153,672 + 67,043 − 53,38 · 1,19
c) 0,842 · 0,493 + 1,131 + 7,79
Estadística: conceptos generales
Señala en cuáles de los siguientes estudios estadísticos
sería necesario tomar una muestra. Justifica
tu respuesta.
a) Color del pelo de los alumnos de una clase.
b) Medio de transporte del alumnado de un colegio.
c) Nivel cultural de los habitantes de un país.
d) Lugar preferido por los ecuatorianos para pasar
las vacaciones.
Identifica la población de cada uno de los siguientes
estudios estadísticos y también indica si es
necesario seleccionar una muestra.
a c
b
) ) ·
)
1
11
25
120
49
2
7
10
7
7
2
5
4
+ + ⎛ −
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
+
⎛ −
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
− − ⎛
⎝ ⎜⎜

⎠ ⎟⎟
d) · ·
7
2
1
2
3
7
2
75
2 34 1 232 323 23 0 0 3
5,412 3; 2 13 0 03
, ; , …; , ;
, ; ,

4 034 034…
76
1 2 3 0 5 103
69
20
2 4 86 134
58
15
3
) , , , )
) , , )
)
 
 
+ +

a
b
1 6 2 1
317
90
4 7 6 2 2
95
27
, · , )
) , : , )
 
 
c
d
77
78
79
a c
) ( , , · ,
0 524 1 0, 239) 3 75 8 246
+
80 25,3 
x = 25,333…
10 x = 253,333…
10 253 333
25 333
9 228
x
x
x
=
− =
=
, …
, …
x= = 228
9
76
3
81
−1,3; 8,34; 2,116; 0,007; 12,345
    
82
83
84
74
85
Fracción
irreducible
Expresión
decimal
Clasificación del
número decimal
1
3
Decimal ilimitado
periódico puro
2,8 3

4,4
38
15
a) Opinión de los alumnos de Bachillerato de un
centro escolar sobre el equipamiento informático
del centro.
b) Número de horas semanales que dedican los
alumnos/as de EGB de una determinada provincia
a practicar algún deporte.
c) Opinión de los ecuatorianos/as sobre un determinado
partido político.
d) Peso de los jugadores de un equipo de fútbol.
Identifica si estas afirmaciones son ciertas o
falsas.
a) Una variable estadística puede ser cualitativa continua.
b) El peso y la altura son variables estadísticas cuantitativas
discretas.
c) Se quiere hacer un estudio sobre la profesión
de los habitantes de una ciudad. Se trata de
una variable cualitativa.
d) El tiempo que tardan los alumnos del centro en
ir a clase es una variable cuantitativa continua.
Presentación de datos
Observa el gráfico comparativo de la siguiente figura,
indica cuántas variables estadísticas están representadas
y compáralas.
Indica un tipo de representación adecuada a cada
una de las siguientes variables.
a) Idioma hablado por diferentes personas.
b) Resultado de unas elecciones.
c) Procedencia de los turistas extranjeros.
d) Variación de la inflación a lo largo del tiempo.
Observa en el diagrama de barras los resultados
obtenidos por los alumnos de una clase en una prueba
de Matemática y responde:
a) ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?
b) ¿Cuál ha sido la nota obtenida por un mayor
número de alumnos/as? ¿Qué porcentaje de
alumnos ha obtenido esa nota?
c) ¿Qué porcentaje ha respondido correctamente
más de cinco preguntas?
Hemos preguntado a 10 personas el número de películas
que han visto durante la última semana y hemos
obtenido los siguientes datos:
1 2 2 1 4 3 2 1 0 1
a) Construye la tabla de distribución de frecuencias.
b) Representa estos datos en un diagrama de
barras acumuladas.
Observa este pictograma y di cuáles son la población
y la variable estadística estudiadas.
— Justifica si son correctas estas con clusiones.
• Los ecuatorianos son propensos a las jaquecas,
ya que, a excepción de la amoxicilina
–un antibiótico–, los demás son calmantes.
• El ácido acetilsalicílico es el medicamento más
consumido en el Ecuador.
• Los ecuatorianos/as utilizan principalmente la
amoxicilina para aliviar sus dolores de ca beza.
— Realiza una encuesta en tu familia para averiguar
los medicamentos que más consumen.
86
87
88
89
90
91
A
B
C
D
1960-1990 1990-2005 2006-2009 2008-2009 2010
5
10
15
20
25
( C) o Temperatura máxima
Tiempo (años)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
5
Preguntas correctas
Número de alumnos
Paracetamol Amoxicilina
(millones de unidades)
25
20
15
10
5
Los cinco medicamentos
más vendidos en Ecuador
Ácido
acetilsalicílico
y vitamina C
Ácido
acetilsalicílico
Metamizol
magnésico
En tu cuaderno
Parámetros estadísticos
Este pictograma refleja el mes de nacimiento de los
alumnos de EGB de un colegio.
— Construye la tabla de distribución de frecuencias
correspondiente.
— Indica cuál es el valor de la moda y calcula la media
mensual de nacimientos.
El siguiente diagrama muestra los matrimonios
celebrados durante 2005 en el Ecuador.
a) ¿En qué trimestre se produjeron más enlaces?
b) ¿Cuál es la media mensual de matrimonios?
a) x1 tr = 5,3 + 7,3 + 9,3 = 22,2
x2 tr = 19,3 + 20,7 + 26,5 = 66,5
x3 tr = 28,7 + 17,2 + 30,3 = 76,2
x4 tr = 24,2 + 10,7 + 8,3 = 43,2
En el tercer trimestre del año.
b)
Ordena mediante una tabla de distribución de frecuencias
los datos de la siguiente serie estadística:
4, 3, 8, 12, 6, 2, 7, 9, 11, 5, 3, 9, 12, 10, 9, 4, 4, 8,
11, 10, 2, 6, 10, 12, 3, 5, 9, 7, 11, 6, 11, 5, 4, 2, 9,
12, 10, 3, 2, 5, 9, 4, 3, 5, 4, 9, 11, 8, 4 y 6.
— Dibuja los diagramas de barras y de sectores
correspondientes.
— Calcula la media aritmética, la moda, la mediana
y rango.
En un concurso musical se presentan 2 chicos
por cada 3 chicas. La media aritmética de la edad
de los chicos es 22 y la de la edad de las chicas
es 21. ¿Cuál es la media aritmética de la edad de
los concursantes?
Un estudio sobre el número de horas que tus compañeros
y compañeras dedican a la lectura los fines
de semana.
— Construye la tabla de distribución de frecuencias
correspondiente.
— Calcula las frecuencias relativas en porcentajes
y dibuja el diagrama de sectores correspondiente.
— Calcula el tiempo medio dedicado a la lectura
durante los fines de semana.
Computador y calculadora en estadística
La tabla muestra el resultado
de una encuesta entre
176 estudiantes para
averiguar el medio de
transporte que utilizan habitualmente
para acudir
a su centro de enseñanza.
Con la ayuda de un programa
informático confecciona el diagrama de ba –
rras, el polígono de fre cuen cias, el pictograma y el
dia grama de sec to res co rres pon dientes.
Los habitantes de una pequeña localidad ecuatoriana
tienen las siguientes edades: 58, 91, 84, 33,
46, 82, 24, 29, 59, 99, 53, 59, 12, 65, 7, 1, 28, 41,
59, 29, 1, 39, 19, 67, 62, 59, 95, 29, 4, 2, 89, 57,
52, 7, 4 y 5. Con una hoja de cálculo determina la
edad media, la moda, la mediana y rango.
Durante los cuatro días de un festival se ha registrado
la siguiente asistencia de espectadores: 1.er
día: 92 341 espectadores; 2.o día: 81 429 espectadores;
3.er día: 85 031 espectadores; 4.o día: 83 927
espectadores. Ordena los datos en una tabla y, con
una calculadora o un computador, calcula la media
diaria de espectadores del fes tival.
92
x =
+ + + + + + +
+ +
5 3 7 3 9 6 19 3 20 7 26 5 28 7
17 2 30
, , , , , , ,
, ,3 24 2 107 8 3
12
17 3 + + +
=
, , ,
,
94
95
96
93
97
98
99
E F M A M Jn Jl A S O N D
20
30
50
25 30
10 10
20
45
25 25
35
30
35
25
20
15
10
5
0
Matrimonios (miles)
5,3
7,3
9,6
19,3 20,7
26,5
28,7
17,2
30,3
24,2
10,7
8,3
Septiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Agosto
Julio
Junio
Mayo
Abril
Marzo
Febrero
Enero
Mes
Medio de
transporte
Autobús
A pie
Bicicleta
Moto
Automóvil
Trolebús
45
52
23
5
37
14
Frecuencia
absoluta

Aplicación en la práctica
Inti tiene ahorrados $ 24, que representa
más del dinero que tenía la semana pasada.
¿Cuánto dinero tenía hace siete días?
En un almacén de ropa rebajan determinadas prendas
en una sexta parte de su precio.
a) ¿Cuánto pagaremos por unos pantalones cuyo
precio antes de la rebaja era $ 48,12?
b) ¿Cuál era el precio de una camisa que después
de la rebaja nos ha costado $ 30,20?
En una caja hay bolas de tres colores: una tercera
parte son bolas rojas, dos novenas partes son
bolas amarillas y el resto son de color verde. Al sacar
de la caja las rojas, han quedado 60 bolas.
¿Cuántas bolas hay de cada color?
La relación entre las longitudes de dos varillas es
y la suma de sus longitudes es 10,92 cm. ¿Cuánto
mide cada una de las varillas?
Para ir de una ciudad a un pueblo hemos caminado
partes del trayecto en tren y partes
que queda en bicicleta y aún nos quedan por
recorrer 2 km. ¿Qué distancia separa la ciudad
del pueblo?
Un electricista ha finalizado tres reparaciones. En
la primera ha utilizado la mitad del cable eléctrico
del que dispone, en la segunda la sexta parte y
en la tercera la novena parte, y aún le quedan
20 m de cable menos de los que ha necesitado para
la primera reparación.
a) ¿De cuántos metros de cable dispone?
b) ¿Cuántos metros de cable ha utilizado en las
reparaciones?
Elisa quiere amoblar su casa. Destinará del presupuesto
al comedor, a la cocina y el
resto, a partes iguales, a los tres dormitorios. ¿A qué
dependencia da la casa dedicará una cantidad mayor
del presupuesto y a cuál una cantidad más pequeña?
Unos amigos quieren celebrar una fiesta con $ 30.
Las bebidas gaseosas cuestan $ 6,35; los bocaditos
$ 15,50 y los postres $ 7,45. Redondea estos
valores hasta las unidades y estima el precio total
de la comida. ¿Tendrán suficiente dinero para pagar
la comida con la cantidad de la que disponen?
Representa sobre la recta las siguientes fracciones.
A continuación, entra en la página web: http://descartes.
cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_
recta/Numeros2.htm y compara tus representaciones
gráficas con las correspondientes escenas.
Entra en la página Web http://www.geocities.com/
millers_math/fr_calc/fr_calc.html y resuelve ejercicios
con la calculadora de fracciones.
Los datos de la siguiente serie estadística están ordenados:
2, 3, 4, a, 7, b, 8. Halla los valores de a
y de b sabiendo que la mediana es 5 y que la moda
es 7.
Pregunta a cada uno de tus compañeros y compañeras
de clase el deporte que prefiere. Calcula
las frecuencias absolutas y las relativas, y expresa
los resultados obtenidos en una tabla de frecuencias.
— Construye el diagrama de barras correspondiente.
¿Crees que sería adecuada en este caso la confección
de un cartograma?
Dada la siguiente serie de datos: 3, 5, 2, 4, 6,
8, 7:
a) Calcula la media aritmética.
b) Suma dos unidades a cada uno de los datos.
¿Cuál es la media aritmética? ¿Qué observas?
c) Multiplica por 3 cada uno de los datos de la serie
inicial. Calcula la media aritmética. ¿Qué
observas?
En una carrera en la que han participado 25 corredores,
la media aritmética del tiempo empleado
por los 20 primeros es 1 h 15 min y la de todos
los corredores es 1 h 18 min. Halla la media aritmética
de los últimos cinco corredores.
Más a fondo
Si a los de los de una fracción le sumamos
, obtenemos . ¿De qué fracción se
trata?
Con la tercera parte del contenido de una botella
de refresco de 0,5 l y la sexta parte del de una
botella de 2,5 l, llenamos la sexta parte de una
jarra. ¿Qué capacidad tiene dicho jarrón?
Un grifo llena un depósito en 7 h y otro en 5 h. ¿Qué
fracción de depósito llena cada grifo en una hora?
¿Y si están abiertos ambos a la vez?
1
8
4
7
47
50
5
6
3
4
102
103
104
105
106
107
108
2
5
6
7
4
9
; ;
109
110
111
112
113
4
5
2
3
−17
45
−5
8
114
115
116
101
1
11
100
@

@
Demuestra tu ingenio
Llena y vacía recipientes
Se dispone de un recipiente de 7,5 l de capacidad completamente lleno de
agua y de dos recipientes de 2 l y 5,5 l completamente vacíos. Ninguno
de ellos tiene marcas divisorias.
¿Qué pasos hay que seguir para obtener un volumen de agua exactamente igual a 6 l?
Nota: Se puede traspasar agua de un recipiente a otro; pero está prohibido echar agua fuera de los
recipientes.
Buen Vivir
El Sistema Nacional de Áreas Protegidas
(SNAP), administrado por el Ministerio de Ambiente,
busca garantizar la existencia y perpetuidad
de los ecosistemas; conservar la diversidad
genética y específica de la vida silvestre;
recrear los ambientes naturales y fomentar
la participación de las comunidades en
la conservación de la naturaleza. Estáconstituido
por 33 áreas protegidas, que representan
aproximadamente el 18 % de la superficie
del país.
El país tiene 9 parques nacionales, 1 parque binacional,
10 reservas ecológicas, 1 reserva biológica
marina, 1 reserva biológica terrestre, 3
reservas de producción faunística, 1 reserva
geobotánica, 5 refugios de vida silvestre y 2
áreas nacionales de recreación.
www.ambiente.gob.ec.
Actividades
Ubiquen, en un mapa, los parques nacionales
que se extienden en más de una
provincia.
Busquen en Internet cuántas reservas naturales
tiene el Ecuador en la actualidad.
Investiguen sobre la Declaratoria con la que
UNESCO declaró Patrimonio Natural de
la Humanidad a las islas Galápagos.
Reflexionen: ¿Forman las áreas protegidas
parte de la identidad de un país? ¿Por qué?
Plantea acciones sencillas que puedan
realizar individualmente y en grupo para
promover la conservación y el respeto
por las áreas protegidas. Comprométete
a cumplirlas para poner en práctica los derechos
de la naturaleza.
1
2
3
4
5
Buen
Biodiversidad y ambiente sano Vivir
Hay que saber leer las estadísticas
Es curiosa la frase del estadounidense Samuel Langhorne Clemens (1835-1910), más conocido por su seudónimo
literario Mark Twain: «Hay tres clases de mentiras: las mentiras, las malditas mentiras y las estadísticas
».
• Un reciente estudio psicopedagógico
dice que los
niños con pies grandes saben
leer mejor que los que
tienen los pies pequeños.
¿Permitirá el tamaño del
pie medir la capacidad de
lectura de los niños?
• Las estadísticas dicen que casi todos los accidentes
de auto ocurren cerca de casa. ¿Significa
esto que viajar por carretera, lejos de nuestra
ciudad, es menos peligroso que hacerlo por nuestro
barrio?
• Un político promete que si sale elegido subirá
los sueldos, de forma que nadie cobre por debajo
de la media nacional. ¿Lo podrá cumplir?
• Observa la señal que aparece en el margen de
un río.
¿Crees que podrás cruzar el río sin tener ninguna
dificultad?
Profundidad
media 0,56 m

Historia Sección de historia
Autoevaluación
1. Halla las fracciones irreducibles equivalentes a
estas fracciones.
— Representa estas fracciones sobre la recta y
escríbelas ordenadas de menor a mayor.
— Halla la expresión decimal de estas fracciones.
2. Calcula:
3. Calcula:
1. Hallen la fracción generatriz de los siguientes números
decimales:
2. Ordenen de menor a mayor estos números.
3. En un país de América, el 8% de las empresas pertenece
al sector de la industria, el 14% a la construcción,
el 26 % al comercio y el 52% al resto de servicios.
Dibujen el diagrama de sectores correspondiente.
4. La siguiente tabla muestra las edades de los participantes
en un campeonato de ajedrez. Sabiendo
que la media de edad
es 12,4 años, calculen:
a) El valor de a.
b) La moda y la mediana.
0 4
5
3
6
4
3 4 3 45 3 444
1
2
, ; ; ; , ; , ; , ;

− − − −

5,076 ; 0,17 ; 28,711
a
b
)
) · :



+ − + + −

+ −

3
15
4
10
5
4
2
5
7
8
1
12
5
3
6
4
3
2
2
3
4
9

⎝ ⎜

⎠ ⎟
a ) b ) c )


36
72
342
285
187
143
a ) b ) ·
1
3
1
3
3
2
1
2
2




⎝ ⎜

⎠ ⎟
(− ) ⎡

⎢⎢


⎥⎥
Los griegos consideraron las fracciones
como razones de números enteros
(siglo V a. C.), pero en el siglo III a. C.
ya operaban con ellas como números.
La notación actual de las fracciones se
debe a los hindúes y a los árabes.
Numerador
so bre
denominador.
Añadieron
la barra
horizon tal.
a
––
b
a es a b :
a
––
b
c
––
b
a + c
–––––
b
+ =
siglo V a. C. siglo III a. C.
2
5
2–5 No fue hasta el siglo XIX, tras la aceptación
de los números enteros negativos,
que fueron admitidas, también,
las fracciones negativas.
Coevaluación
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
En el siglo XIV, se inicia el registro de
las actas del estado civil de la población.
A lo largo del siglo XVIII, se desarrolla
una relación cada vez más intensa entre la
estadística y la probabilidad.
Actualmente, la estadística se aplica
en campos tan diversos como medicina, los negocios, las ciencias
sociales…
SEGURO DE VIDA
La renta vitalicia que se cobrará al suscriptor
será tanto mayor cuanto mayor
sea la probabilidad de fallecimiento de
éste, de acuerdo con la siguiente tabla
estadística.
BIOESTADÍSTICA
Mecánica estadística
Anuario 2003
Encuesta de presupuestos familiares
Edad
11
12
13
a
3
2
3
2
Frecuencia
absoluta
÷
Bioestadística
Los primeros trabajos bioestadísticos los realizó, a mediados del siglo XIX, la enfermera inglesa Florence
Nightingale.
Durante la guerra de Crimea, Florence observó que eran mucho más numerosas las bajas producidas en el hospital
que en el frente.
Recopiló información y dedujo que la causa de la elevada tasa de mortalidad se debía a la precariedad higiénica
existente. Así, gracias a sus análi sis estadísticos,
se comenzó a tomar conciencia de la importancia y
la necesidad de unas buenas condiciones higiénicas
en los hospitales.
Censos
La palabra censo procede de la época romana, cuando
se realizaron los primeros re cuentos de población
distribuida en clases.
El rey de Roma Servio Tulio
(s. IV a. C.) construyó
altares en cada aldea y ordenó
la celebración de fiestas.
A estas fiestas cada ciudadano
debía llevar una moneda,
el censo, distinta según
fuese varón, hembra
o infante impúber.
Así, los censores, encargados
de contar las monedas,
podían conocer el
total de la población distribuida
en clases.
Escalas de temperatura
La temperatura no se mide igual en los distintos
países o ámbitos. En ciencia y tecnología se
usa la escala Kelvin o absoluta. En la mayoría
de países se utiliza la escala Celsius o centígrada,
pero en Estados Unidos y Gran Bretaña se
emplea la escala Farenheit. Los valores de temperatura
absoluta T(K), temperatura en grados
Celsius t(°C) y temperatura en grados Farenheit
t(°F) se relacionan según:
T(K) = t(°C) + 273,15
t(°C) = (t(°F) − 32)·
La temperatura de congelación del agua en condiciones
normales corresponde a 0 °C y a 32 °F,
mientras que su temperatura de ebullición
corresponde a 100 °C y a 212 °F. Fíjate en que entre
estos valores hay un rango de 100 °C y de
180 °F. Así, una diferencia de un grado Farenheit
corresponde a 100 grados Celsius.
180
5
9
=
5
9
¿Colinas o montañas?
En la película El inglés que subió a una colina pero bajó una montaña
se narra la historia ficticia de unos aldeanos de Gales que
aumentan la altura de la colina próxima a su pueblo. Para ello,
transportan cargas de tierra a la cumbre y consiguen que su altura
supere los 1 000 pies. De esta forma, la colina queda «elevada
» a la categoría de montaña.
El pie es una unidad de medida de longitud del sistema anglosajón
que equivale a 0,304 8 m y se representa por el símbolo ft.
Equivale a un tercio de la yarda o a 12 pulgadas.
Al igual que el pie, la mayoría de las unidades anglosajonas equivalen
en el Sistema Internacional a cantidades no enteras.
http://www.tuverde.com
Crónica matemática
Ejercicios y problemas
61.
63.
65. Respuesta abierta.
67.
69.
71.
73.
75. Limitados: 2,34; 5,4123 Ilimitados:
77.
79. a) 0,7631; b) 1,352; c) 30,9225; d) 2,1714285
81.
83. El resultado de las operaciones es el siguiente:
a) 23,5178 b) 157,1928 c) 9,3361
El error dependerá de la estimación realizada.
85. a) La población son los alumnos de Bachillerato. Puesto que la población
es pequeña no es necesario seleccionar una muestra.
b) La población son los estudiantes de EGB de la provincia. En
este caso es necesario seleccionar una muestra.
c) La población son los ecuatorianos/as. En este caso, se debe
elegir una muestra.
d) La población son los jugadores del equipo de fútbol. Puesto que
la población es pequeña no es necesario seleccionar una muestra.
87. Aparecen cuatro variables estadísticas: temperatura máxima en A,
en B, en C y en D.
89. a) Treinta alumnos.
b) Cinco. Lo han obtenido el 23,3 % de la clase.
c)
91. Población: Ecuador; Variable estadística: número de ventas de los
distintos medicamentos que se comercializan en Ecuador.
Verdadero; verdadero, ya que es el que alcanza un mayor número
de ventas (24,6 millones de unidades); falso, ya que el más utilizado
es el ácido acetilsalicílico, y además, la amoxicilina es un antibiótico,
no calmante.
95. Calculamos la media aritmética:
La media aritmética de la edad de los concursantes es 21,4 años.
97.
99.
342 728 : 4 = 85 682 espectadores diarios de media.
101.a) de 48,12 = 8,02
48,12 − 8,02 = 40,10
Pagaremos por los pantalones $ 40,10.
b)
El precio de la camisa era $ 36,24.
103. Al alinear las dos varillas la longitud total es 10,92 m. Si dividimos esta
longitud en 7 partes iguales, 3 de estas partes corresponden a una
varilla y las cuatro restantes a la otra. Por lo tanto, tenemos: 10,92
: 7 = 1,56; 1,56 · 3 = 4,68; 1,56 · 4 = 6,24. La longitud de las varillas
es 4,68 cm y 6,24 cm.
105. En la primera reparación ha utilizado 36 m de cinta, en la segunda
12 m y en la tercera 8 m.
107. Los redondeos son: $ 6, $ 16 y $ 7. La suma es 29; por lo tanto, tendrán
suficiente.
109.
111. A partir de los datos obtenidos, cada alumno/a construiría una tabla
de distribución de frecuencias y un diagrama de barras, de manera
similar a como resolvieron la actividad 48.
11
30
100 = 36,67%
x = 22 ⋅ + ⋅ = años
2
5
21
3
5
21,4

Positivas : , ,
3
8
2
3
3
11


Negativas: , ,
3
5
4
7
5
9
4




=
− −

=
7
4
7
2
3
2
3
,
− −
11
20
6
11
41
120
7
19
; ; ;
A = B = − C = − D =
2
5
3
5
6
5
7
5
; ; ;
a) ; b) ; c) ; d) −23 − = −
28
16
60
4
15
1
2
41
15
a)
b)
29
12

171
40

2
3
6 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
7 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
2 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
1 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
5 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
9 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
8 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
3 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
2
3
4 ⎛
⎝ ⎜

⎠ ⎟
Fracción
irreducible
Expresión
decimal
Clasificación del
número decimal
1
3
0,3
Decimal ilimitado
periódico puro
17
6
2,83
Decimal ilimitado
periódico mixto
38
15
2,53
Decimal ilimitado
periódico mixto
22
5
4,4 Decimal limitado
− = − = − =
= =
1 3
12
9
4
3
8 34
826
99
2 116
2095
990
4
, ;, ;
,
19
198
0 007
7
999
12 345
1222
990
679
55
; , ;
,
=
= =
Medio de transporte
Frecuencia absoluta
Autobús
A pie
Bicicleta
Moto
Auto
Trolebús
Diagrama de barras
50
40
30
20
10
50
40
30
20
10
Medio de transporte
Frecuencia absoluta
Autobús
A pie
Bicicleta
Moto
Auto
Polígono de frecuencias
Trolebús
A pie 29% Autobús 25%
Trole 9%
Auto 21%
Diagrama de sectores
Moto
3%
Bicicleta
13%
Medio de transporte
Frecuencia absoluta
Autobús
A pie
Bicicleta
Moto
Auto
Pictograma
50
40
30
20
10
Trolebús
Espectadores
Frecuencia
absoluta
acumulada
Primer día 92 341 92 341
Segundo día 81 429 173 770
Tercer día 85 031 258 801
Cuarto día 83 927 342 728
1 23232323 0 03 2 13
0 034034034
, …; , ; , ;
, …

1
6
a) ; b) ; c) ; d) −23 − = −
28
16
60
4
15
1
2
41
15
1 Módulo
Números racionales
Medidas de tendencia central
5
6
30 20
30 20 5 6 04
6 04 6
de ……… ,
, : ,
,
= →
=
⋅ =
⎧⎨ ⎪
⎩⎪
36,24
÷
— No sería adecuado un cartograma puesto que no hay referencias
geográficas ni de posición espacial.
113. Llamamos x¯ a la media aritmética de los
últimos cinco corredores.
115. Calculamos la fracción que representa la cantidad de refresco con
la que llenamos la jarra.
Calculamos la capacidad de la jarra:
La capacidad de la jarra es 3,5 l.
Ejercicios y problemas
39. Porque el resultado de sumar y dividir racionales es siempre un
número racional.
43. a) racional; b) racional; c) racional;
d) irracional; e) racional; f) irracional.
45. a)
b)
c) Sólo puede representarse de forma aproximada, marcando intervalos
cada vez más pe queños que lo contengan.
47.a) 2 = 12 + 12
b) 8 = 22 + 22
c)
49. Respuesta abierta.
51. a) ; b) ; c)
53. a) ; b) ; c) ; d)
55.
+ 4 = 2
12 22 8
2
= +( )
59. A = 0,0105 m2.
61. a)
b)
63. a)
b)
c)
d)
65. Se trata de un hexágono y de un pentágono. No son polígonos
regulares, puesto que no tienen iguales ni los lados ni los ángulos.
Para calcular el área descomponemos
las figuras y las reagrupamos de la siguiente
manera:
67. P = 20,8 m
A = Arectángulo − Atriángulo rectángulo =
69. Jorge espera recorrer 17 km.
73. a) El perímetro disminuye y el área aumenta.
b) El perímetro aumenta y el área diminuye.
c) El perímetro y el área aumentan.
d) El perímetro y el área disminuyen.
75. 130 cm
77.
Obtenemos un número irracional.
79. Diagonal del circuito:
Desde un vértice al otro vértice de los que son los extremos de la
diagonal, el primer corredor recorre 2 hm y el segundo, hm.
Puesto que es un número irracional, teóricamente los dos
co rredores no se encontrarán.
81. No, la primera tiene una superficie de 500 dm2 y la segunda de 625
dm2; 625 baldosas.
83. 6,2625 ha
85. — Preal = 25 · P = 25 · 60 = 1 500 cm = 15 m
Areal = 252 · A = 252 · 150 = 93 750 cm2 = 9,375 m2
87. El perímetro de una cadena de n pentágonos será 20 n + 5, por lo
tanto: 20 · 50 + 5 = 1005 cm.
89. a) Sí; b) Sí
;
c) El cuadrado de un número irracional sí que puede
ser un número racional.