NUMEROS PRIMOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

Al concluir el estudio de este capítulo el alumno será capaz de:
* Reconocer números primos
* Reconocer números compuestos
*Determinar los primeros números primos
* Identificar números primos entre sí
* Descomponer un número en su forma canónica
* Determinar los tipos de divisores de un número compuesto
* Calcular el número de divisores de un número
* Calcular la suma de divisores de un número compuesto.
* Conocer las propiedades de los números primos y aplicarlas adecuadamente en la resolución de problemas .
* Aplicar los teoremas de Euler y Wilsón en la resolución de problemas concretos.
INTRODUCCIÓN :
Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios. Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y «mágicas». Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser «adorados» por los discípulos de Pitágoras. En el libro «Los Elementos» de Euclides (300a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos:
Teorema : Hay infinitos números primos.
Si quieres puedes ver la prueba que hace Euclides de este teorema. Se trata de la primera prueba conocida mediante el método de reducción al absurdo; y este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha. Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos.
Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES .


NÚMEROS PRIMOS
Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número.
Ejemplos:

Número Primo Divisores
2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
11 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos números que tienen más de dos divisores.

Número Compuesto Divisores
4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100

(CRIBA DE ERATÓSTENES)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Entonces: Los números primos menores que 100 son:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

• Propiedades
1. El “uno” no es un número primo. sólo tiene un divisor, es considerado como número simple.
2. Los números primos son infinitos.
3. El “dos” es el único número primo par.
4. El “dos” y el “tres” son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único divisor común a la unidad.

• Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI?
veamos:
Divisores
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números
Entonces: ______________ son números ______________.

• Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI?
veamos:
Divisores
21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números.
Entonces: ______________ son números ______________.

• Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI?
veamos:
Divisores
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.

• Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI?
veamos:
Divisores
10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.

Propiedades
1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.
2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI.

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC)
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos.

• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18.

• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120.

Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observa en su descomposición canónica.

CANTIDAD DE DIVISORES (CD)
Sea “N” un número compuesto cuya descomposición canónica es:

Entonces: su cantidad de divisores de “N” será:

• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180.

• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480.
El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480

PROBLEMAS

1. ¿Cuál es el menor número primo de 2 cifras?

2. ¿Cuál es el mayor número primo de 2 cifras?

3. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25?
b. ¿Cuál es el mayor número primero menor que 52?

4. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado?

5. Hallar la suma de todos los números primos menores que 12.

6. Hallar la suma de todos los números primos mayores que 18 pero menores que 31.

7. Hallar “a + b”; si:
a = mayor número primo menor que 70
b = menor número primo mayor que 20

8. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras?

9. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras?

10. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20?

11. ¿Cuál es el mayor número compuesto menor que 60?

12. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23.

TAREA DOMICILIARIA

1. Hallar la suma de todos los números primos, comprendidos entre 19 y 43.

2. Hallar la suma de todos los números compuestos comprendidos entre 16 y 25.

3. Hallar la suma de todos los números primos comprendidos desde 37 hasta 53.

4. Hallar la suma de todos los números compuestos comprendidos desde 28 hasta 40.

5. ¿Qué grupos de números son PESI? Analizar en cada caso.

a. 8; 25; 32 b. 9; 22; 35 c. 12; 21; 49
d. 18; 30; 45

6. Hallar la descomposición canónica, en cada caso:

a. 220 b. 280 c. 390
d. 600

7. Hallar la cantidad de divisores, en cada caso:

a 340 b. 420 c. 560
d. 700

8. Hallar la cantidad de divisores de: M; N; P y Q; si:
M = 32 × 75
N = 24 × 36 × 72
P = 8 × 12 × 45
Q = 20 × 42 × 152

9. Si: A = cantidad de divisores de 80.
B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras.
hallar: “A + B”

10. Si: A = 27 × 12 × 5
B = 16 × 24
C = 32 × 18
hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C)

INTRODUCCIÓN
La historia de los números primos es, en cierto modo, la propia historia de la matemática, cuyos orígenes se pierden en la noche de los tiempos. En los pocos milenios durante los cuales se conservaron registros del conocimiento humano, muchos matemáticos hicieron importantes contribuciones a la teoría de los números, interesándose muy especialmente en el estudio de los números primos. Entre aquellos merecen citarse Euclides y Eratóstenes, de la Grecia antigua; Pierre de Fermat, del siglo XVII y Leonard Euler, del siglo XVIII; una pregunta que despertó el interés de muchos matemáticos es si existía alguna ley general de formación de números primos. Fermat en el siglo XVII afirmó que todos los números producidos por la expresión son primos. Un siglo después Euler probó que Fermat estaba errado: el número es un número compuesto, divisible por 641.
Goldbach (1690 – 1764) aparece en la historia de las matemáticas por una famosa conjetura que propuso como problema en una carta a Euler en 1742. Comprobó que en todos los casos observados, todo número par (excepto el 2, que es primo) puede ser representado como suma de dos números primos:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7

Goldbach preguntaba a Euler si era capaz de demostrar que esa propiedad es cierta para todo número par, o si podría encontrar un contra ejemplo. Euler no pudo dar una respuesta, ni nadie ha podido darle una respuesta hasta ahora.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
DE ACUERDO A SU CANTIDAD DE DIVISORES
El conjunto de los enteros positivos, que se representa como:

={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ….}

Será clasificado de acuerdo a la cantidad de divisores que tienen cada uno de sus elementos:

1) Números simples
Son aquellos que tienen a lo más dos divisores.

De estos al que tiene sólo dos divisores se le denomina primo absoluto, o simplemente número primo.
Número primo {2, 3, 5, 7, 11, ….}

2) Números compuestos
Son aquellos que tienen más de dos divisores.

Número compuesto {4; 6; 8; 9; 10; ….}

Se observa que todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo.

Al analizar el conjunto de los números primos
{2; 3; 5; 7; 11; …}
se llega a las siguientes conclusiones:
 El conjunto de los números primos es infinito.
 El único número primo par que existe es el número 2.
 Los únicos números consecutivos que son primos son el 2 y el 3.
 Todo número primo “p” donde p > 2 se puede expresar como:
ó

 Todo número primo “p” donde p>3 se puede expresar como:
ó

Criterio para determinar
si un número es primo
Para determinar si un número dado N es primo o compuesto, sólo es necesario indicar si algún primo menor o igual a es un factor de N, no es primo, caso contrario, lo es.
Ejemplo:
¿193 es número primo?


 Averiguamos si 2; 3; 5; 7; 11; 13 son factores de 193 (o también señalar si 193 es divisible por dichos primos).

 Por lo tanto 193 es número primo.
Es importante hacer notar que aunque el método nos capacita para determinar si un entero dado es primo, es impracticable para números relativamente grandes.

Números primos Entre si (P.E.S.I)
Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad.
Números Divisores
8 1; 2; 4 y 8
15 1; 3; 5 y 15
Divisor común 1
8 y 15 son PESI.

Números Divisores
4 1; 2; 4
5 1; 5
6 1; 2; 3; 6
Divisor común 1
4; 5 y 6 son PESI

“Dos o más números consecutivos siempre son PESI”

Números Divisores
7 1 y 7
9 1; 3 y 9
11 1; 11
Divisor común 1
7; 9 y 11 son PESI

“Dos o más números impares consecutivos siempre son PESI”

teorema fundamental de aritmética

Todo entero mayor que la unidad, se descompone en un producto de factores primos y demás, de modo único, si no se tiene en cuenta el orden de los factores.
En la descomposición del número N en factores primos algunos de ellos pueden repetirse. Designando con las letras P1; P2; ….; PK.
Los primos distintos y con las letras sus órdenes de multiplicidad en N, obtenemos la llamada descomposición canónica del número N.

estudio de los divisores
de un entero positivo
La descomposición canónica ayuda a realizar el estudio de los divisores, dado el número N en estudio, donde:

Entonces, se determina:
1) Cantidad de divisores de N [CD(N)]
CD(N) = (1 + 1) (2+1)….(k+1)
Ejemplos:
 40 = 23 × 5
CD(40) = (3+1) (1+1) = 8

 900 = 22 × 32 × 52
CD(900) = (2+1)(2+1)(2+1) = 27
Observemos los divisores del número 24.

Luego: CD(N) = CDsimples + CDcompuestos
CDpropios = CD(N) –1

2) Suma de divisores de N (SD(N))

Ejemplos:
 40 = 23 × 5

SD (40) = 90

 60 = 22 × 3 × 5

SD(60) = 168

3) Suma de inversas de divisores de N [SID(N)]

40 = 23 × 5

SD(40) = 90 SID (40) =
60 = 23 × 3 × 5 SD(60) = 168

4) Producto de divisores de N [PD(N)]

40 = 23 × 5
CD(40) = (3 +1) (1+1) = 8

120 = 23 × 3 × 5
CD(120) = (3+1) (1+1)(1+1) = 16

Función de Euler (N)

Está dado por los números y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos con N.

40 = 23 × 5
(40) = 22 (2 – 1) 50(5 –1)= 16
60 = 22 × 3 × 5
(60) = 2(2 –1) 30(3–1) 50(5–1)
(60) = 16
900 = 22 × 32 × 52
(900) = 2(2–1) 3(3–1) 5(5–1)
(900) = 240

Para calcularl la suma de todos los números menores que N y PESI, se utiliza la relación:

Ejemplo:
72 = 23 × 32
(72) = 22 (2 – 1) 3(3 – 1)
(72) = 24
Suma =

función de parte entera N [N]
Se define para todos los valores reales de N y representa el entero mayor, no superior a N.
Ejemplos:
[11] = 11 [7 ; 3] = 7

Esta función nos permite determinar el exponente con el que un número primo dado “p” figura en el producto N!.

Ejemplo:
El exponente con el que el número 3 figura en el producto 40! es:

El procedimiento se abrevia así:

Ejemplo:
52! = 2a × 3b × 5c × 7d ….

b = 17 + 5 + 1 = 23 c = 10 + 2 = 12

teorema de euler
Si m >1 además a y m son PESI entonces

Ejemplos
• 8 y 15 son PESI
(15) = 30(3 – 1) 50(5 – 1) = 8

• 6 y 11 son PESI
(11) = 110(11 – 1) = 10

teorema de WILSON
Si “p” es número primo se cumple que:

Ejemplo:
• 7 es primo, entonces:
11 es primo, entonces:

1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene:
N = 146 · 218?

Rpta.:

2. Determine cuántos de los divisores que tiene 360 son mútiplos de 3.

Rpta.:

3. ¿Cuántos divisores primos tiene N si:
N = 124 · 156?

Rpta.:

4. Calcular (a + b) si: 2a · 3b tiene 24 divisores m2 y 25 divisores m3.

Rpta.:

5. ¿Cuántos divisores de 360 son de 2 cifras y tienen como suma de cifras un número par?

Rpta.:

6. ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene 100?

Rpta.:

7. El número N = 42 · 3n tiene 3 divisores menos que 900. Hallar dicho número y dar la suma de sus cifras.

Rpta.:

8. Si el número: N = 13k + 2 tiene 75 divisores compuestos, calcular el valor de k.

Rpta.:

9. Sabiendo que: A = 12 · 30n tiene el doble de la cantidad de divisores de B = 12n · 30, hallar n.

Rpta.:

10. Hallar a si N = 21 · 15a tiene 20 divisores compuestos.

Rpta.:

1. Sea: que posee 16 divisores,
hallar a.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Si: N = 15 · 30n tiene 294 divisores, hallar n.
A) 3 B) 6 C) 8 D) 4 E) 5

3. Si: tiene 36 divisores,
calcular (a + b).
A) 15 B) 17 C) 14 D) 16 E) 13

4. ¿Por qué potencia de 2 hay que multiplicar a 36 para que tenga 15 divisores más?
A) 4 B) 8 C) 2 D) 16 E) 32

5. Determinar el valor de n si 175 · 245n tiene 28 divisores que no son .
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

6. Si 60n tiene 225 divisores, ¿cuántos divisores tiene 30n?
A) 110 B) 27 C) 28
D) 125 E) 64

7. Dar (a – b) si se sabe que: tiene 21 divisores.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Calcular la suma de todos los valores de a que hacen posible que el numeral tenga 8 divisores.
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

9. Determinar dos números enteros N que tengan como únicos factores primos 2 y 3 de modo tal que el número de divisores de N2 sea el triple de las de N, se pide: ¿cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los números?
A) 45 B) 90 C) 120
D) 150 E) 180

10. Determinar el valor de n si se sabe que el número 1960n tiene 105 divisores.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8

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