NÚMEROS IRRACIONALES , PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF

Share Button

CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Teorema de Pitágoras , El conjunto de los números irracionales , Concepto de número irracional , Representación gráfica de números irracionales , Números irracionales. Orden y comparación , Operaciones con números irracionales. Suma y resta , División y multiplicación de números irracionales , Operaciones combinadas entre números irracionales , Perímetro y área de cuadriláteros y triángulos , Perímetro y área de paralelogramos , Perímetro y área de triángulos , Perímetro y área de trapecios , Perímetro y área de otros polígonos , Polígonos regulares , Polígonos irregulares , Estimación de áreas , Aplicaciones al teorema de Pitágoras ,
Objetivos del módulo
CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

• Aplicar las operaciones básicas en la resolución de problemas con números irracionales para desarrollar
un pensamiento crítico.
• Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos para el cálculo de perímetros
y áreas.

Destrezas con criterios de desempeño
• Leer y escribir números irracionales de acuerdo con su definición.
• Representar gráficamente números irracionales con el uso del teorema de Pitágoras.
• Ordenar, comparar y ubicar en la recta numérica números irracionales con el uso de la escala adecuada.
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta con números
irracionales.
• Deducir las fórmulas para el cálculo de áreas de polígonos regulares por la descomposición en triángulos.
• Aplicar las fórmulas de áreas de polígonos regulares en la resolución de problemas.
• Utilizar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos.

Para la activación de conocimientos previos
• Antes de iniciar este tema, puede ser conveniente revisar la relación entre los números decimales y los
números racionales, haciendo hincapié en que todos los números decimales que pueden expresarse
mediante un número racional son limitados o ilimitados pero periódicos. Así, puede pedirse el cálculo
de la fracción generatriz de diversos números decimales (limitados, periódicos puros y periódicos mixtos)
y la determinación de los números decimales correspondientes a diversos números racionales.
• Realice un repaso de la obtención de la fracción generatriz.
• Proponga ejemplos sencillos en los cuales se evidencie que se cumplen las propiedades de la suma y la
potencia en el conjunto de los números racionales.
Para la construcción del conocimiento
• Busque ejercicios que combinen las operaciones estudiadas en el módulo. Resuelva con los estudiantes
uno de los ejercicios justificando cada paso. Por ejemplo, en el ejercicio, deben evidenciarse las
propiedades de las operaciones, la ley de los signos, las reglas para suprimir signos de agrupación, y la
conversión de un número decimal periódico a fraccionario y algunos números irracionales.
Puede utilizar ejercicios como los siguientes:

Para la aplicación del conocimiento
• Anime a sus estudiantes a llevar adelante las actividades propuestas en el texto del alumno.
• Puede organizar grupos de estudiantes. Previamente, usted preparará unas tarjetas con el proceso de
diversas operaciones combinadas. Cada grupo debe organizar el proceso de resolución del ejercicio que
les corresponde.
• Solicite que intercambien, entre grupos, los ejercicios realizados y que justifiquen la organización del proceso
propuesto.
• Realice una feria de ventas en el aula. Guíese por la actividad planteada al inicio del módulo. En la feria se comercializarán
productos propios de su localidad y se realizarán diversas operaciones que usted proponga
para ejercitar el trabajo con números irracionales.
y
Para la evaluación

• Forme grupos de trabajo
• Solicite a los estudiantes que planteen un ejercicio en el cual se combinen varias de las operaciones estudiadas.
• Previa la evaluación usted debe planificar para cada grupo condiciones que deben tener los ejercicios
que se plantearán así como la forma de evaluación.
Para la activación de conocimientos previos
• Para poder hallar aproximadamente el lado desconocido de un triángulo rectángulo es conveniente que
recuerden previamente el cálculo de la raíz cuadrada de un número natural.
• Repase previamente con los estudiantes la definición de teorema. Se sugiere utilizar la siguiente:
teorema. (Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα). Proposición demostrable lógicamente partiendo de
axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas. (Tomada de Real
Academia de Lengua Española, versión en línea http://www.rae.es).
También es conveniente recordar la biografía de Pitágoras. Una de las dificultades con la Matemática es
que los estudiantes no suelen establecer relaciones con otras áreas del saber. En este caso específico es
muy importante que se logre comprender el pensamiento pitagórico y su influencia no solo en la Matemática,
sino también en la Música, la Literatura, las Ciencias Políticas. Pida a sus estudiantes que formen parejas
e investiguen en enciclopedias o Internet la vida y obra de este pensador clásico.
Se debe insistir en que el teorema de Pitágoras solo puede aplicarse a triángulos rectángulos. Con este fin
es útil aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras mediante actividades, como, por ejemplo: comprueba
si el triángulo cuyos lados miden 12 cm, 16 cm y 20 cm es rectángulo.
Para la aplicación del conocimiento
Plantee los siguientes problemas:
• Tres números a, b y c forman una terna pitagórica si están relacionados por el teorema de Pitágoras, es
decir, si a2 = b2 + c2:
¿Es pitagórica la terna 30, 24, 18?
Encuentra tres ternas pitagóricas diferentes formadas por números naturales comprendidos entre 1 y 100.
• Dado un triángulo de lados a, b y c, de los cuales a es el mayor, será acutángulo si a2 < b2 + c2. Esto para demostrar que el teorema de Pitágoras también puede utilizarse para clasificar un triángulo en acutángulo, rectángulo u obtusángulo. También plantee otros problemas de aplicación para que los estudiantes analicen los datos, los grafiquen y encuentren la respuesta. Este tipo de ejercicio será retomado para la evaluación: • Se quiere construir una rampa que cubra una plataforma, desde un punto situado a 3,2 m de ella. La plataforma tiene 2,4 m de altura. ¿De qué longitud se construirá la rampa? • Una antena de un televisor mide 15 cm y está sostenida por alambres: uno de estos mide 25 cm. ¿A qué distancia se fijará el otro alambre a partir de la base de la antena? • Una escalera de 7,2 m de longitud está apoyada contra una pared, distando en su pie 4 m. Calcula la altura de la pared. • Demuestra si el siguiente problema puede ser resuelto: Tienes un cubo cuya arista es igual a 3 cm. Su volumen es 27 cm3 y este cubo puede ser cortado en 27 cubos pequeños. La arista de cada cubo pequeño es igual a 1 cm. • Pida a sus estudiantes que elaboren una escalera a escala que cumpla las condiciones del ejemplo 10, página 67 del texto. A la vez que construyan otras tres de diferente tamaño y se planteen sus propios cuestionamientos y los resuelvan. • Pida a sus estudiantes que analicen, discutan los siguientes enunciados y los comprueben con una aplicación del teorema de Pitágoras: • Los principios del teorema de Pitágoras permiten reconocer el ángulo de elevación y el ángulo de depresión en relación con un punto determinado. • Los principios del teorema de Pitágoras se pueden aplicar a la solución de problemas sobre alturas y distancias. • Los principios del teorema de Pitágoras permiten hallar el área de figuras como el rectángulo, el prisma y el cuadrado. Prerrequisitos Recuerda • El conjunto de los números racionales  esta formado por números que son el cociente de dos enteros exceptuando el divisor cero. • El valor absoluto de un número es el número que se obtiene al prescindir de su signo. • Una aproximación decimal de un número es un número decimal sencillo próximo a su valor exacto. • El metro (m) y el metro cuadrado (m2) son las unidades de longitud y superficie, respectivamente, en el Sistema Internacional. • Para estimar medidas de longitud tomamos como referencia medidas conocidas de alrededor. • Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Evaluación diagnóstica • Enlista los distintos conjuntos numéricos que conoces. • ¿Puedes expresar cualquier número racional como un número decimal? ¿Y cualquier número decimal como uno racional? Justifica tus respuestas. • Expresa en forma decimal estos números. • Efectúa, en tu cuaderno, las siguientes transformaciones, utilizando factores de conversión. a) 32 dam = ................. m c) 15,5 dm = ............... hm b) 542,3 hm2 = .............. km2 d) 0,021 m2 = .......... cm2 • Nombra los elementos de este polígono. • Estima estas longitudes. a) La longitud y la anchura de una hoja de papel. b) La longitud y la altura de la pared de tu clase. Ahora estudiarás los números irracionales, efectuarás aproximaciones y utilizarás tus conocimientos en la resolución de triángulos rectángulos. Además, ampliarás lo que sabes sobre los perímetros y las áreas de polígonos. • Leer y escribir números irracionales de acuerdo con su definición. • Representar gráficamente números irracionales con el uso del teorema de Pitágoras. • Ordenar, comparar y ubicar en la recta numérica números irracionales con el uso de la escala adecuada. • Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta con números irracionales. • Deducir las fórmulas para el cálculo de áreas de polígonos regulares por la descomposición en triángulos. • Aplicar las fórmulas de áreas de polígonos regulares en la resolución de problemas. • Utilizar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. Destrezas con criterios de desempeño Números irracionales Perímetros y áreas de polígonos 1 Teorema de Pitágoras Observa esta figura. Está formada por un triángulo rectángulo y tres cuadrados. Se tiene: Esta propiedad que acabamos de comprobar se cumple para todos los triángulos rectángulos, y se conoce como teorema de Pitágoras. Puedes comprobar experimentalmente el teorema de Pitágoras: 3 2 1 Número de cuadros del cuadrado ②: 9 Número de cuadros del cuadrado ①: 25 Número de cuadros del cuadrado ③: 16 El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa coincide con la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos: 25 = 9 + 16, es decir, 52 = 32 + 42 En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2  Construye dos cuadrados como el de la figura. Recorta uno de ellos en cuatro triángulos y dos cuadrados. Coloca los triángulos recortados sobre el otro cuadrado construido inicialmente. El área del cuadrado que queda en el interior, Q, debe coincidir con la suma de las áreas de los otros dos cuadrados recortados, Q1 +Q2. Concluimos, pues, que a 2 = b2 + c 2. Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°. Los lados de este triángulo reciben nombres especiales. • El lado opuesto al ángulo recto, a, se denomina hipotenusa. • Los lados b y c que forman el ángulo recto se llaman catetos. Además, en todo triángulo rectángulo se cumple que: • La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. • Los ángulos agudos son complementarios, ya que:  Dos ángulos son complementarios si suman 90°. MUCHO OJO  Material concreto 2 El conjunto de los números irracionales Anteriormente, estudiamos que el conjunto  de los números racionales coincide con el de los números decimales periódicos. Pero, ¿todos los números decimales son periódicos? En este tema comprobaremos que no es así. Existen magnitudes cuyo valor viene dado por un número decimal cuyas infinitas cifras no forman período en ningún momento. 2.1. Concepto de número irracional Observa cómo calculamos la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado igual a la unidad. Apli camos el teorema de Pitágoras: d2 = 12 + 12 = 2 d2 = 2 d = Ahora, utilizamos la calculadora para hallar el valor de . = 1,414 213 562 37 Por limitaciones de carácter físico, la calculadora nos ofrece sólo un número limitado de cifras decimales; pero, en realidad, detrás de la última cifra hay un número ilimitado de cifras que en ningún momento forman período. De hecho, si calculamos con un computador el valor de , obtenemos: = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07... Vemos, pues, que las cifras decimales no parecen acabar nunca ni tampoco se observa en ellas regularidad alguna; es decir, parece que no es un número decimal periódico y, por tanto, no puede ser un número racional. Estos números se llaman irracionales. Son números irracionales, entre otros: — Cualquier raíz cuadrada de un número natural que no sea entera. — El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un número irracional con números racionales. — El número π = 3,141 592 653 589 793..., cuya irracionalidad no pudo demostrarse hasta el siglo XVIII. Un número es irracional si su expresión decimal es ilimitada y no periódica.  d 1 1 Un número irracional muy conocido es el número de oro: Este número es la razón entre longitudes que forman parte de objetos y lugares tan diversos como los templos griegos, el hombre ideal de Leonardo da Vinci o la concha del Nautilus. El número de oro 1 5 2 1 6180339 + = , ... Indica dos longitudes en la concha del Nautilus cuya razón sea igual al número de oro. Ayúdate de las explicaciones que se exponen en la página http://rt000z8y.eres mas.net/El numero de oro.htm. El carácter irracional de Nos hemos basado en un cálculo del computador para afirmar que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica; pero el no poder obtenerlas todas da lugar a que nos quede la duda de que en un momento dado éstas empiecen a repetirse. Los antiguos griegos no disponían de calculadoras ni de computadores y, sin embargo, demostraron que no es un número racional. Sepamos cómo lo hicieron. Esta clase de demostración es frecuente en matemática y se conoce con el nombre de método de reducción al absurdo. El método consiste, básicamente, en suponer que se cumple lo contrario de lo que se quiere demostrar y llegar a una contradicción. 2 2 2 Explica por qué la raíz cuadrada de un número natural que sea cuadrado perfecto no es irracional. Un cartabón es un instrumento de dibujo lineal, con forma de triángulo rectángulo escaleno. Si dos de sus lados que forman ángulo recto miden 20 y 35 cm, ¿cuanto mide el tercer lado? Utiliza el método de reducción al absurdo para demostrar que y son números irracionales. Si el radio de una circunferencia mide 3 cm, ¿cuál será la longitud de ésta? — ¿Es un número racional o irracional? ¿Por qué? Averigua cuáles de los números siguientes son irracionales: , , , . — A continuación, escribe cinco números irracionales diferentes a los anteriores. 5 4 8 18 100 4 3 3 5 2 1 Actividades  Demostración de que no es un número racional • Supongamos que es un número racional. Como sabes, todo número racional tiene un representante que es una fracción irreducible. Así: (con a y b números primos entre sí) • Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad: ¿Qué tiene de extraño este resultado? • Observamos que si es irreducible, también lo es , puesto que no podemos simplificar ningún factor. Luego es imposible que y por tanto, es falso que: En consecuencia, no es un número racional. 2.2. Representación gráfica de números irracionales Sabemos que todo número racional puede representarse sobre la recta; pero, ¿todos los puntos de la recta corresponden a números racio nales? Podemos comprobar que no es así. Los números irracionales también tienen su lugar en la recta. Vamos a ver cómo los representamos. Representación de — Trazamos una recta y marcamos en ella los puntos 0, 1 y 2. De esta manera, tenemos el origen y los dos números enteros entre los que se sitúa . 1  1,4...  2 — Levantamos sobre el punto 1 un segmento perpen dicular de una unidad de longitud. — Unimos el extremo superior de este segmento con el origen. Así, formamos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad cada uno y cuya hipotenusa mide: h2 = 12 + 12 = 2 ⇒ h = — Trasladamos el segmento h sobre la recta con un compás. Hemos representado exactamente sobre la recta el número . 2 2 2 2 0 1 2 h 1 2 0 1 2 2 1 Representación de — Descomponemos 3 en suma de cuadrados. — Representamos el punto como hemos visto anteriormente. — Levantamos sobre el punto un segmento perpendi - cular de una unidad de longitud. — Unimos el extremo superior de este segmento con el origen formando un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide . — Trasladamos dicho segmento sobre la recta con un compás. 3 2 2 3 12 2 2 = +( ) 3 Los números irracionales de la forma , siendo a un número natural, pueden representarse sobre la recta descomponiendo previamente el número a en una suma de cuadrados. Observa algunos ejemplos. a Representación de — Descomponemos 7 en suma de cuadrados. — Representamos el punto como hemos visto anteriormente. — Levantamos sobre el punto un segmento perpen dicular de longitud 2 unidades. — Unimos el extremo superior de este segmento con el origen formando un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide . — Trasladamos dicho segmento sobre la recta con un compás. 7 7 22 3 2 = +( ) 7 3 3 7 0 1 2 3 7 2 3 Otros números irracionales como π no pueden obtenerse por un método geométrico; en estos casos sólo podemos representarlos de forma aproximada en la recta numérica. Representa sobre la recta los números , y . Propón un procedimiento para representar sobre la recta . —¿Cómo representarías el número ? Elige, de entre las siguientes, la representación correcta del número . 2 8 5 5 + 2 2 2 7 6 6 8 Actividades  Representación de π π = 3,1415… — Marcamos sobre la recta los dos números enteros entre los que se sitúa π, los puntos 3 y 4. — Dividimos este intervalo en diez partes y marcamos la que contiene a π. π está entre los puntos 3,1 y 3,2. — Si quisiéramos afinar más, deberíamos volver a dividir este intervalo en diez partes y marcar la que contiene a π. π está entre los puntos 3,14 y 3,15. Y así sucesivamente, hasta obtener la aproximación deseada. 3 4 3 4 3,1 3,2 3  π  4 3,1  π  3,2 3,14  π  3,15 0 1 2 0 1 2 2 0 1 3 1 1 1 Busca qué posición ocupa tu número de teléfono entre los decimales de π. Para ello, conéctate a la página http://www.angio. net/pi/piquery. La página está escrita en inglés, por lo que, si necesitas ayuda, pídesela a tu profesor/a de inglés. @ 3 5 0 3 < a < ... < b < 5 Ordena estos números irracionales: y . ejemplo 1 a) Definamos arbitrariamente un orden entre los dos números irracionales. b) Como los dos números comparados son positivos, podemos elevarlos al cuadrado. c) Como 10 > 7 implica que el orden correcto entre los números irracionales es:
Si los números irracionales no están representados por raíces de números racionales, para compararlos, podemos
encontrar una representación aproximada y restarlas. Si la resta es positiva, el minuendo es el número mayor, mientras
que si la resta es negativa el sustraendo es el número mayor. Las aproximaciones deben tener el mismo número
de cifras para poder restarlos.
2.3. Números irracionales. Orden y comparación
Al representar números racionales sobre la recta numérica, los podemos ordenar
al igual que los números naturales y enteros. El número que quede situado
más a la derecha es el mayor.
7 10
10 7
10 7
10 7
10 7
2 2 ( ( ( (
Entre los números y  establece un orden de cantidad.
ejemplo 2
a) Primero, encontramos la expresión decimal de cada número:
b) Luego, restamos las expresiones aproximadas de los números:
c) Finalmente, como la resta es positiva, tenemos que: .
10
10 3,162277660
π 3,141592654

10 – π = 0,02068500658
10 π
Debemos considerar que el conjunto de los números irracionales no es un conjunto
numerable; es decir, no podemos ordenar los números irracionales y asociar
a cada uno con un número natural, ya que entre cada número irracional es
posible encontrar otro.
Por tal motivo, el orden que definimos entre dos elementos, solo es para éstos
ya que pueden haber más números intermedios.
, Donde a y b son números irracionales.
También es posible comparar dos números irracionales sin necesidad de representarlos
sobre una recta ordenada, observa:
Si los dos números irracionales son positivos y están representados por una
misma raíz par de un número racional, es mayor el número irracional que tenga
en su expresión un mayor número racional.
9 Simplifica las siguientes operaciones.
Encuentra la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo.
Calcula la diferencia entre el perímetro de un círculo de radio 4 y el área un círculo de radio 2.
10
11
Actividades 
2.4. Operaciones con números irracionales. Adición y sustracción
Cuando sumamos o restamos un número irracional con un número racional, el
resultado es siempre un número irracional.
Para sumar y restar números irracionales, podemos utilizar algunos axiomas
que cumplen los elementos del conjunto de números irracionales:
Para entender con facilidad los axiomas descritos, debemos considerar a un
número irracional como una longitud poco determinada.
Si a y b son números irracionales:
a + b = b + a
Si a, b y c son números irracionales:
a + ( b + c ) = ( a + b) + c
Si a es un número irracional, existe un número 0 llamado
neutro aditivo, para el cual:
a + 0 = a
Para todo número irracional a, existe un número irracional
–a, tal que:
a + ( – a ) = 0
Opera la siguiente expresión: e indica si el resultado es el número irracional.
ejemplo 3
a) Escribimos la expresión:
b) Luego, eliminamos los paréntesis:
c) Agrupamos los términos similares y operamos:
Axioma conmutativo de la adición Axioma asociativo de la adición
Axioma del elemento neutro de la adición Axioma del inverso aditivo
7 ( ( + 2 7 ( ( – 2 –
7 ( ( + 2 7 ( ( – 2 –
7 + 2 – 7 + 2
7 7 ( ( – ( ( 2 + 2 = 4 +
d) El resultado es un número racional positivo.
a)
b)
c)
d)
e)
10 10
10
( + – 3 (
– ( 11 + – – ( + 11

3 – – –
7 + + ( – +
7 – 14 + 25 – 8 + 5 116 – 101
7
3 5 5 (
(
(
π
π π
π
π { { ( ( + + – – – 3 3 22
( (
( + + 3 5 (
Multiplicación entre potencias
con igual base
Con los números irracionales también podemos realizar operaciones de potenciación
y radicación. En la siguiente tabla,v puedes comprobar que las operaciones
de base irracional y exponente entero, cumplen con las mismas leyes
que las operaciones con base racional y exponente entero.
Siendo a, b números irracionales y x, y números enteros, se cumple que:
Cuando realizamos alguna operación con números irracionales, debemos utilizar
una representación no decimal de los números hasta llegar a la mínima simplificación;
solo ahí, podemos encontrar una aproximación decimal del
resultado.
(a)x  (a)y = ax + y
(a  b)x = ax  bx
= ax – y ; con a  0
{(a)x }y = axy
(a)0 = 1; a  0
(a)1 = a
Potencia de una potencia
División entre potencias
con igual base Potencia cero de un número irracional
Potencia de un producto
de números Primera potencia uno de un número irracional
(a)x
(a)y
Es posible cambiar la representación
de la raíz de un número
irracional por la de potencia.
 FÍJATE
Encuentra la longitud resultante de sumar las hipotenusas de los siguientes triángulos rectángulos:
ejemplo 4
a) Primero, escribimos la suma de los valores irracionales:
b) Luego, descomponemos los números racionales dentro de cada raíz:
a a x
x 1
=
8
+ 2 (22) = + (22) = + = (1 + 2) = 3
+ 8
12 Efectúa:
Actividades 
a) ( ( 10
5
– 2
b)
14 ( ( 7
2
4
c) ( ( 3 27 2
9
d) ( (0
7
10
5
+ 4 +
e) ( (– 6
3
7
5
2
f) ( ( 14
7
– 4
g) ( (π – 2 ) 2 ) 2
Axioma distributiva del producto
respecto a la suma Axioma del elemento neutro multiplicativo
Axioma del elemento inverso multiplicativo
2.5. División y multiplicación de números irracionales
La multiplicación y la división de dos números irracionales puede ser un número
racional o uno irracional. Para realizar este tipo de operaciones debemos considerar
la ley de los signos.
Para operar con números irracionales podemos usar algunos axiomas que se
detallan a continuación:
Si los números irracionales están representados mediante raíces o símbolos,
debemos simplificar estas expresiones utilizando las propiedades del producto,
la suma y la potenciación.
Regla de los signos para la
multiplicación y la división
Si se multiplican o dividen
dos números irracionales, el
resultado es positivo mientras
los dos tengan el mismo
signo. En cambio, si tienen
signos diferentes entre sí, el
resultado será negativo.
Cuando realizamos operaciones
de multiplicación y división
entre números irracionales, debemos
considerar los axiomas
para estas operaciones.
MUCHO OJO 
Si a y b son números irracionales:
ab = ba
Si a, b y c son números irracionales:
a ( b + c ) = ab + ac
Si a, b y c son números irracionales:
a ( bc ) = ( a b) c
Si a es un número irracional, existe un número 1 llamado
neutro multiplicativo, para el cual:
1  a = a
Para todo número irracional a diferente de cero, existe un número irracional
llamado inverso multiplicativo o recíproco de a, tal que:
Recíproco de a; a  0
Axioma conmutativo del producto Axioma asociativo del producto
1 = 1
a a  ( ){
Encuentra el cociente entre:
ejemplo 5
Como las raíces tienen el mismo índice, podemos ponerlas como una sola raíz y
luego simplificamos.
Actividades 
13 Resuelve:
10  5
10
5
= = = 2
10
5
2
1
a) 7  14 b) (π3 + 1 )  (π3) c) 3  27 + 2 ( ( 10
+ –
+ + –
– – +
: + –
+ + –
– – +
.
÷
÷
÷ ÷ ÷
2.6. Operaciones combinadas entre números irracionales
Para realizar operaciones combinadas entre números irracionales, usamos las
mismas reglas que empleamos para resolver operaciones combinadas entre números
racionales.
Primero eliminamos los signos de agrupación, luego resolvemos las divisiones
y las multiplicaciones, y finalmente, operamos las sumas y las restas.
Simplifica:
ejemplo 6
a) Primero, resolvemos la suma al interior del primer paréntesis.
c) Y, finalmente, resolvemos las sumas y las restas.
14 Simplifica las siguientes expresiones:
Actividades 
2
2
c) ( ( π2 – – ( 2π )2 + 2π π
4
4 
b)
– + ( ( 5
3

7
2
2
7
( ( ( 10
7
7 11
700
7
7
+ + 7
10
7
7 10 7
7
2
+ = = =
+ 10  7 7 ( (
10 7
7 + 70
10 7
77
7 + 7 7 = 7 ( 1 + 7 ) = 8 7
15 En la siguiente expresión ubica los paréntesis en el lugar necesario para que al operarla, el resultado sea:
Los griegos aproximaron el valor de , usando la relación entre el perímetro y el diámetro de un polígono de múltiples
lados. Calcula el área y el perímetro de varios polígonos y encuentra un valor aproximado para .
Utiliza un círculo para realizar la misma comparación que en la actividad 16, ¿obtienes un valor aproximado o el
exacto de , ¿por qué?.
16
17
a)
10
10
+ 5
– ( ( 1 +
1
2
+
4
7
4
14
14
5  
28
1
b) Luego, operamos las multiplicaciones y divisiones dentro de la raíz cuadrada.
( ( ( ( 11
700 700
= =
10 7  11
77 7  102
=
10 7  11
77 7
= 7
10 7  11
77  10 
10 7
77
7
Resuelve:
ejemplo 7
a) Revisamos si en la expresión aparece uno o varios números irracionales conocidos:
A los números conocidos los representamos por un símbolo
b) Modificamos a la expresión para tener múltiplos y factores del número irracional
que encontramos:
c) Reemplazamos el símbolo del número irracional en la expresión anterior:
d) Finalmente, reemplazamos el valor de la representación del número irracional:
Además de los números irracionales expresados por una raíz de un número racional
como , o por un símbolo, al igual que , tenemos números que son
expresados por varios términos, por ejemplo el número áureo.
Este tipo de números aparecen en relaciones de simetría en la naturaleza y algunos
artistas los utilizan para realizar sus obras de arte. Por esto, no es aconsejable
modificar o agrupar este tipo de números irracionales, en su lugar
debemos expresar la respuesta como múltiplos o términos con estos números.
Es aconsejable emplear los conocimientos de algebra para reemplazar a los números
irracionales por una letra.
2
1 + 5
2
 =
1 + 5
6
1 + 5
+
4
2 + 20

8
 =
1 + 5
2
1 + 5
2
+
1 + 5
2
2  1 + 2 5
2

1
3

1
2

1
4

+ – + =
1
3

1
2

2
4
    =    ( ( 3
1
2
1 –
4
2
3
 =
3
1 + 5
6
Investiga y realiza un resumen de 3 expresiones de la naturaleza, en los cuales esté involucrado el número áureo.
Consulta el nombre de tres obras en las que sus artistas han utilizado el número áureo.
Simplifica las siguiente expresiones, utilizando los números irracionales indicados:
18
19
20
Actividades 
a)
– +
1 + 2
4
1 + 2
4
3 + 18
4
1 + 2 , usando:
b)  –
2
2
2
2
2 2 + , usando: ( ( 1
2
Leonardo da Vinci utilizaba
el número áureo
en sus creaciones
artísticas.
 FÍJATE
3 Perímetro y área de cuadriláteros y triángulos
Ya sabes qué es un polígono y conoces sus elementos y sus propiedades. En
esta unidad veremos cómo se calculan su perímetro y su área.
3.1. Perímetro y área de paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero de lados paralelos dos a dos.
Se llama base de un paralelogramo a uno cualquiera de sus lados y altura
a la distancia entre la base y el lado paralelo a ella (fig. 1). Utilizaremos la
letra b para indicar la longitud de la base y la letra h para indicar la altura.
Veamos cómo se calculan el perímetro y el área de los paralelogramos:
rectángulo, cuadrado, romboide y rombo.
Rectángulo
Un rectángulo es un paralelogramo que tiene cuatro ángulos rectos. En este
caso la base y la altura coinciden con los lados del polígono.
Observa el rectángulo de la figura. Se cumple:
—El perímetro del rectángulo es 4 + 3 + 4 + 3 = 14 cm.
—El área del rectángulo es 12 cm2 puesto que:
• El rectángulo está dividido en 12 cuadros.
• Cada cuadro mide 1 cm2.
El área del rectángulo coincide con el producto de la longitud de su base
por su altura:
4 cm  3 cm = (4  3) (cm  cm) = 12 cm2
Cuadrado
Un cuadrado es un rectángulo particular en el que los cuatro lados son iguales.
Así, las longitudes de la base y la altura coinciden con la del lado.
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un polígono es la medida de la extensión que ocupa.

El perímetro y el área de un rectángulo de base b y altura h son:
P = 2 b + 2h A= b  h

El perímetro y el área de un cuadrado de lado a son:
P = 4a A= a  a = a2

3 cm
4 cm
1 cm2
a
■ Fig. 1
Base (b)
Altura (h)
Romboide
Un romboide es un paralelogramo cuyos ángulos no son rectos.
— El perímetro del romboide es P  2a + 2b.
— Transformamos un romboide en un rectángulo para calcular su área. Se
cumple que:
• El área del romboide es igual a la del rectángulo.
• El romboide y el rectángulo tienen la misma longitud de la base, b, de la altura, h.
Por tanto:
Rombo
Un rombo es un romboide particular en el que los cuatro lados son iguales.
Así:
—El perímetro del rombo es P  4a.
— Para hallar el área de un rombo del cual conocemos la longitud de sus
diagonales dibujamos un rectángulo. Observa que se cumple:
• El área del rombo es la mitad del área del rectángulo.
• La longitud de la base del rectángulo coincide con la de una diagonal,
D, y su altura con la longitud de la otra diagonal, d.
Por tanto:
A
A b h D d
rombo
rectángulo = = =
2 2 2
⋅ ⋅
21 Identifica estos paralelogramos. Calcula sus perímetros y sus áreas.
Actividades 
El perímetro de un romboide de lados a y b es: P = 2 a + 2 b
El área de un romboide de base b y altura h es: A = b  h

El perímetro de un rombo de lado a es: P  4 a
El área de un rombo de diagonales D y d es: A
D d
= ⋅
2

5 cm
3 cm
a 4 cm
5 cm
7 cm
4 cm
4 cm
2,5 cm
2,7 cm
b d
c
Todos los elementos del polígono
que participan en el
cálculo de perímetros y áreas
deben estar expresados en
la misma unidad.
 FÍJATE
h
h
a
a
b
b
d
a
a
d
D
D
3.2. Perímetro y área de triángulos
Don Pedro quiere poner en venta un terreno de forma triangular, para ello, necesita conocer la medida
del área y con esto determinar el costo de su propiedad. Conoce las medidas de los lados, estos son 27
m, 33 m y 42 m. Recuerda que la fórmula para calcular el área de un triángulo es A = b . h, donde b
es la longitud de uno de sus lados y h la medida de la altura trazada hacia ese lado.
Ahora reemplazamos los datos en la fórmula de Herón:
A = √51 (51−27) (51−33) (51−42) m2
Operando en los paréntesis nos queda
Aproximando la respuesta a los décimos, el área del terreno es:
A = 445, 3 m2
12
a2 = b2 + c2, 422 ≠ 332 + 272 .
¿Tiene el terreno forma de un triángulo rectángulo?
Eso facilitaría el cálculo, puesto que sus catetos son perpendiculares y el área sería igual a la mitad de
su producto. Para responder a esta inquietud, Don Pedro decide usar el t
reemplazando las medidas de los lados del terreno obtiene
¿Es entonces necesaria la longitud de la altura?, pero ¿cómo calcular la longitud de
la altura?, ¿cómo trazarla sin tener a mano los materiales adecuados? La fórmula
anterior en este caso no es útil. Afortunadamente, llegó de visita Daniel un sobrino que
ya estudió noveno año de EGB, quien al enterarse del dilema de su tío, le propuso usar
una fórmula que hacía poco aprendió para el cálculo del área de un triángulo, ésta solo
requiere conocer la longitud de los lados del terreno.
¡La f !
Esto indica con claridad que el triángulo no es rectángulo.
Donde s es el valor del semiperímetro (mitad del perímetro), es decir s= ; s= y a, b, c son las
dimensiones del terreno.
p
2
a + b +c
2
Lo que sigue es multiplicar este valor por el costo del metro cuadrado de la propiedad. Si cada metro
cuadrado (m ) en el sector donde está ubicado el terreno cuesta 15 dólares, averigua cuál es el precio
que tiene la propiedad de Don Pedro.
42 m
27m
33 m
2
Determina el área de diferentes triángulos, sobre todo
triángulos rectángulos usando las dos fórmulas
que ahora conoces para su cálculo y comprueba que
los resultados sean iguales.
Dibuja un trapecio rectángulo cuyas bases sean
6 cm y 3 cm, su altura 4 cm y su cuarto lado 5 cm.
Calcula su perímetro y su área.
22 23
Actividades
A = √51·(24)·(18)·(9) m2
A = √198 288 m2
A = 445, 295 407 566… m2

27 + 33+ 42
2
s = = 51m
 A = √ s . (s-a) . (s – b ) . ( s – c)
Calcula el área del polígono regular de 11,5 cm de lado, 10 cm de apotema y cuyo ángulo central mide 60°.
Toma las medidas que creas necesarias
de los siguientes polígonos
regulares y calcula sus perímetros
y sus áreas.
— Ordena los polígonos de mayor a menor relación perímetro-área.
25
24
Actividades 
l l l
ap ap ap
El perímetro de un polígono regular de n lados de longitud l es: P = n  l
El área de un polígono regular de perímetro P y apotema ap es:
A
P ap
=

2

El cociente permite comparar
el área o perímetro de
polígonos.
Así, si un polígono tiene un
cociente mayor, significa que
presenta un mayor perímetro
para la misma área.
P
A
Relación perímetro-área
Observa esta imagen.
Se cumple:
^A
= ^ A’ ; ^B = ^ B’ ; ^C = ^ C’
Los ángulos del primer triángulo
son iguales a los del segundo y
sus lados proporcionales. Decimos
que son polígonos
semejantes.
— ¿Cuál será la razón entre sus
perímetros?
— ¿Y la razón entre sus
áreas?
Polígonos semejantes
C
A B
B’
A B
AB
B C
BC
C A
C
= = =
A
C’
A’
4 Perímetro y área de otros polígonos
4.1. Polígonos regulares
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
— Para calcular el perímetro de un polígono regular multiplicamos el número
de lados, n, por la longitud del lado, l.
P = n · l
— Para calcular su área, descomponemos el polígono regular en tantos
triángulos iguales como lados tiene el polígono.
Observa la figura de la izquierda. Corresponde a un pentágono regular
que hemos dividido en 5 triángulos iguales.
• El área del pentágono es cinco veces el área de
uno de los triángulos.
• La longitud de la base de un triángulo y la del
lado del pentágono son la misma, l.
• La altura de un triángulo es igual a la longitud
de la apotema del pentágono, ap.
Por tanto, el área del pentágono es:
Por otro lado, 5l es el perímetro, P, del pentágono, por lo que:
Este razonamiento que permite calcular el área de un pentágono regular
puede generalizarse para calcular el área de cualquier polígono regular.
A
P ap
=

2
A
l ap l ap
= 5 =
2
5
2

⋅ ⋅
ap
ll
Calcula el área de la siguiente
figura.
— Descomponemos
el polígono regular
en triángulos.
— Medimos con una regla la base y la altura de los tres
triángulos y calculamos sus áreas.
ÁreaABC =
ÁreaACD =
ÁreaADE =
— Afigura = 2,7 cm2 + 2,97 cm2 + 1,23 cm2 = 6,90 cm2
3 cm 1,8 cm
2
⋅ = 2,7 cm2
3,3 cm 1,8 cm
2
⋅ = 2,97 cm2
4,1cm 0,6 cm
2
⋅ = 1,23 cm2
ejemplo 8
Calcula el área de la siguiente
figura.
— Descomponemos la figura
en el menor número posible
de figuras y medimos
con la regla las longitudes
necesarias.
— Obtenemos las áreas de las figuras ①, ②, ③, ④ y ⑤.
; A2 = 1 · 2 = 2 cm2;
A3 = 0,52 = 0,25 cm2;
—Afigura = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 3,4 cm2
A A 4 5
0,75 1 2
2
= = ⋅ = 0,375 cm
A1
2 (1+ 0,6) 0,5
2
= = 0,4 cm

ejemplo 9
B C
A
E
D 0,5 cm
2 cm
0,6 cm
0,5 cm
1 cm
0,75 cm
1
2
3
4 5
1 cm
4.2. Polígonos irregulares
Para calcular el área de un polígono irregular, podemos descomponerlo en el
menor número posible de figuras cuyas áreas sepamos calcular.
A menudo, lo más fácil es descomponerlo en triángulos.
Calcula el perímetro y el área de este polígono irregular
tomando las medidas pertinentes.
Calcula el perímetro y el área de este polígono irregular.
26 27
15 m
10 m
14 m
2 m
10 m
4 m
6,4 m
Actividades 
Indica qué tipo de estimación se está realizando
en cada una de las siguientes situaciones.
Cita tres objetos que midan aproximadamente 1 dm2.
Formen grupos de cuatro alumnos. Observen un
mapa de Ecuador y ordenen las provincias según
su área.
— Averiguen el área de su provincia y, a partir
de ésta, estimen la extensión de otras.
— Busquen las áreas reales y compárenlas con
sus estimaciones.
30
28 29
Estrategia
Adición repetida
Ejemplo
Para medir la superficie
del suelo de una habitación,
estimamos el
área de una baldosa y
contamos el número de
baldosas.
Descripción
Recubrimos mentalmente la superficie
que vamos a medir con
la unidad de medida escogida
y contamos el número de veces
que está contenida.
Asuelo: …………….. m2
Estimación de
longitudes y
aplicación de
fórmulas
Para obtener el área de
un recinto rectangular,
estimamos sus di mensiones
y multiplicamos
am bos valores.
Usamos estrategias de estimación
de longitudes para estimar
las dimensiones de una
región poligonal y aplicamos
fórmulas para obtener el área.
Reestructuración Transformamos un trapecio isósceles en un rectángulo
para hallar su área.
Separamos una parte del objeto
y la unimos en otro lugar para
obtener otra superficie más fácil
de medir.
Atabla: …………….. m2
Atrapecio: …………….. m2
Actividades 
3 m × 1 m

5 Estimación de áreas
Como ocurre con las medidas de longitud, masa o capacidad, a veces es necesario
hacer una estimación de la medida de una superficie.
La estimación de medidas de superficie, como toda estimación, requiere
práctica. A continuación, te presentamos una serie de estrategias que pueden
resultarte útiles.
ejemplo 11
ejemplo 10
Para calcular la raíz cuadrada
de un número que no sea cuadrado
perfecto podemos emplear
la calculadora.
Así:
Y dar una aproximación por
redondeo hasta las décimas
o centésimas.
2 9
29 = 5,4
5.1. Aplicaciones del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras tiene múltiples aplicaciones, tanto en geometría
como en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Ahora aplicarás tus
conocimientos sobre números irracionales. Veamos algunos ejemplos.
¿Qué longitud deberá tener una escalera para que al situar su base a 2 m de la
pared alcance una altura de 5 m?
Al hacer un esquema obtenemos un triángulo rectángulo
del que conocemos los catetos.
Para hallar la longitud de la escalera aplicamos el teo rema
de Pitágoras:
a2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 ⇒
La escalera deberá tener una longitud de 5,4 m.
a = 29 = 5,4 cm
5 m
2 m
Un terreno tiene forma de triángulo rectángulo. Si uno de los catetos mide 48 m
y la hipotenusa 80 m, calcula el perímetro y el área del terreno.
Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el cateto que falta.
a2 = b2 + c2 ⇒
Conocemos los tres lados del triángulo rectángulo. La base y la altura coinciden
con los dos catetos. Así, el perímetro y el área serán:
P = a + b + c = 80 + 48 + 64 = 192 m
El perímetro mide 192 m y el área 1 536 m2.
c2 = a2 − b2 = 802 − 482 = 4 096m2 ⇒ c = 4 096 = 64m
c
b = 48 m a = 80 m
Una bandera cuyas dimen siones
son 15 dm y 10 dm tiene una línea
que la atraviesa diagonalmente.
Halla la longitud de dicha
línea.
En una finca que ocupa una superficie rectangular
se ha construido un camino que la cruza en diagonal.
La longitud del camino es de 193 m y la de uno de
los lados de la finca, 95 m. ¿Cuál es el área de la
finca?
En una piscina se ha construido una resbaladera
con una escalera de 3 m de altura y de manera que
la distancia del pie de la escalera al punto más bajo
del resbaladera es 4 m. ¿Cuánto mide la
resbaladera ?
33
32
31
Actividades 
4 m
3 m
LAS TIC Y LA MATEMÁTICA
El triángulo de lados:
a = 105 mm
b = 85 mm
c = 5 mm
no es triángulo rectángulo,
porque no cumple con el
teorema de Pitágoras:
1052 ≠ 852 + 52
CONTRAEJEMPLO
A
b h
= ⋅ = ⋅ =
2
64 48
2
1 536m2
Utiliza la estrategia anterior para resolver los siguientes
problemas.
Halla el área del recinto de esta figura.
El perímetro de un heptágono regular es 52,5 cm. Halla
el área de un rectángulo cuya base es el doble
de su altura e igual al lado del heptágono.
Halla la base y la altura de un rectángulo cuya área
es igual al área de un cuadrado de lado 4 m. La
base del rectángulo es el doble de su altura.
Encuentra el perímetro de un cuadrado cuya área es
igual a la de un rombo cuyas diagonales son
7 cm y 4 cm.
37
36
35
34
Actividades 
Estrategia: Descomposición del problema
Esta estrategia consiste en dividir el problema en subproblemas relacionados entre sí, resolver
cada uno de los subproblemas y hallar finalmente la solución al problema inicial.
15 cm
5 cm
9 cm
6 cm
3 cm 6 cm
Comprensión del enunciado
— Leemos de nuevo el enunciado.
— Elaboramos un esquema de las figuras geométricas
que aparecen en el problema y anotamos en
ellas los datos conocidos.
Planificación de la resolución
Para hallar la longitud del lado del cuadrado debemos
calcular primero su área. Podemos, pues, descomponer
el problema en dos subproblemas:
1. Hallar el área de un rectángulo conocida la longitud
de su base y su altura.
2. Hallar la longitud del lado de un cuadrado conocida
su área.
Ejecución del plan de resolución
1. Arectángulo = base  altura
Arectángulo = 25 m  9 m = 225 m2
2. Arectángulo =Acuadrado
Acuadrado = l 2 ⇒
El lado del cuadrado tiene una longitud de 15 m.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Calculamos el área del cuadrado y comprobamos
que coincide con la del rectángulo.
Acuadrado = (15 m)2 = 225 m2 = Arectángulo
c = 225 = 15
9 m c = A
25 m
Encuentra la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a la de un rectángulo de base 25 m
y altura 9 m.
Cómo resolver problemas
Síntesis
En resumen
 El conjunto de los números racionales coincide
con el de los números decimales limitados
o ilimitados y periódicos.
 Un número es irracional si su expresión decimal
es ilimitada y no periódica.
 El perímetro de un polígono es la suma de las
longitudes de sus lados.
El área de un polígono es la medida de la extensión
que ocupa.

 Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos.
a2 = b2 + c2
Polígono Perímetro Área
Triángulo
(lados a, b y c;
base b; altura h)
P = a + b + c A
b h
= ⋅
2
Trapecio
(lados a, b, a’ y B;
bases B y b; altura h)
P = a + b + a’ +B A
(B b) h
=
+ ⋅
2
Polígono regular
(n.o lados n; lado l;
apotema ap)
P = n · l A
P ap
=

2
Repasa los contenidos de este tema y completa mentalmente lo que hace falta:
en particular de
nos permiten demostrar
Perímetros y áreas
…………………………… Triángulos Trapecios …………………..
…………….
Polígonos
irregulares
Teorema
de Pitágoras
……………….
Estudiamos
Perímetros
de polígonos
su unidad de
medida es el
……………………….
………………
su unidad de
Estimaciones medida es el
Fórmulas
se pueden
obtener
mediante
Áreas
de polígonos
Polígono Perímetro Área
Rectángulo
(base b; altura h)
Cuadrado
(lado a)
P = 2b + 2h A= b · h
P = 4a A= a2
Romboide
(lados a y b;
base b; altura h)
P = 2a + 2b A= b · h
Rombo
(lado a;
diagonales D y d)
P = 4a A
D d
=

2
Ejercicios y problemas integradores
¡Duplica el estanque!
Ante el altar de Apolo, Pitágoras decía: ¿De qué manera puedo agradecértelo?
Y recibió del Dios el siguiente oráculo: ¡Me sentiré contento si duplicas el estanque!
Con un grupo de estudiantes, Pitágoras fue a inspeccionar el estanque. Este tenía
forma de un cuadrado, de cien pasos de lado. Cuatro fuertes robles, uno en cada
esquina, escoltaban el estanque.
Apolo pide que el nuevo estanque delimite veinte mil pasos cuadrados de superficie;
tenemos que lograrlo sin tocar los robles. ¿De qué modo ensanchar el estanque?
Los discípulos se pusieron a pensar, pero no se les ocurrió ninguna idea. Luego de
un tiempo, el maestro trazó con el bastón el siguiente dibujo:
¡Así debemos construir el nuevo estanque! exclamó. Delimita exactamente veinte mil
pasos cuadrados, pues es el doble del estanque anterior. ¡Y ni una sola hoja de los
robles será tocada!
El nuevo estanque se construyó en seguida.
En una clase, un discípulo llamado Cidón dijo:
El bordillo del antiguo estanque medía cien pasos; hay algo que deseo saber, Pitágoras:
¿cuántos pasos mide el bordillo del nuevo estanque?
Fueron hasta el lugar e intentaron medir el lado del nuevo estanque pero lo único que
concluyeron fue que medía más de ciento cuarenta y un pasos pero menos de ciento
cuarenta y dos. Muchas pruebas realizaron.
43
200
141 9 , 141 , etc..
20
141 2 ,
5
141 1 ,
2
Antiguo estanque
Nuevo estanque
a

Pero al hacer el cálculo del área su valor no coincidía con 20 000 pasos cuadrados
Entonces, ¿cuánto mide el bordillo?
¡Estoy asombrado igual que ustedes! dijo Pitágoras. Según puedo ver, el bordillo de
este estanque… ¡no es ningún número! ¡E incluso creo que lo puedo demostrar!
¿Me ayudas?
Supón que en el antiguo estanque cabían a pasos (a de antiguo), y que en el nuevo
estanque caben n pasos (n de nuevo). Por ejemplo, a podría valer 100 mónadas y n,
150. Entonces, la razón entre los dos bordillos sería . Los números 150 y 100
tienen divisores comunes (2, 5, 10, 25, 50), pero los números 3 y 2 no tienen ningún
divisor común. ¡Entonces, supongamos que desde el principio los números a y n no
tienen divisores comunes! Es decir, son primos relativos.
El estanque tenía una superficie de a2, y la del nuevo es de ¡n2! ¿En qué relación están
los dos números? Como el estanque antiguo delimitaba diez mil pasos cuadrados, y el
segundo veinte mil, ¡n2 debe ser exactamente el doble de a2! Anótalo: n2 = 2a2
Esto indica que n2 puede ser dividida en dos partes iguales. Luego, n2 es un número
par y esto es posible solo si n, es par.
Ahora llamemos m a cada mitad, es decir: n = 2m
Reemplazando esta igualdad en la anterior. Obtendrás que
(2m)2 = 2a2,
que es lo mismo que 4m2 = 2a2.
Y si estos dos números son iguales, ¡sus mitades también lo son! Escríbelo: 2m2 = a2.
La igualdad te indica que la superficie del antiguo estanque, a2, puede ser dividida en
dos partes idénticas, cada una de m2 pasos. Es decir a2 es un número par. Esto solo
es posible por supuesto si el número a, es par. Si llamamos b a la mitad del número
de monadas que compone cada una de sus mitades: a = 2b.
Haz un alto. ¿Qué has logrado averiguar? ¡Que los números a y n, ambos, son pares!
En efecto, así lo afirman las igualdades encontradas:
n = 2m, a = 2b.
¡Entonces, el número dos es un divisor común de ellos! Pero esto es imposible, pues,
como recordarás, escogiste los números a y n de tal modo que fueran primos relativos.
Has arribado a una contradicción. ¡Medita sobre su significado por unos
instantes!
Pitágoras llamó a estas magnitudes inconmensurables, por no tener ninguna mesura
o medida común.
De esta manera, Pitágoras demostró que no es un número racional, así que posteriormente
se lo llamó irracional.
Practica
Investiga en qué consiste el método de intervalos encajados.
150
100
3
2
=
2
A lo largo de la historia
de la humanidad se
descubrieron algunos
métodos para extraer
raíces cuadradas; el
más sencillo se le ocurrió
a Carl Weierstrass,
matemático alemán
que vivió en los años
1815-1897. Se llama el
método de intervalos
encajados.
 FÍJATE

En tu cuaderno
El conjunto de los números irracionales
Justifica si un número irracional puede expresarse
en forma decimal y en forma fraccionaria.
¿Por qué el número no puede ser irracional?
Calcula la diagonal de un cuadrado de lado igual a
2 cm. ¿Qué clase de número has obtenido?
Escribe tres raíces cuadradas de números naturales
que sean números racionales y otras tres que sean números
irracionales.
Clasifica en racionales e irracionales los siguientes números
decimales.
4,487 252; 8,454 545; ; 54,235 412…; ;
; 0,478 512 5…
Di si estas raíces cuadradas dan como resultado un
número racional o irracional.
a) d)
b) e)
c) f)
Demuestra que es un número irracional. Utiliza el
método de reducción al absurdo.
— ¿Puedes demostrar que es un número irracional
calculando muchas cifras decimales? Razona
tu respuesta.
Representa sobre la recta real los siguientes números.
a) b) c) π
— Explica en cada caso el procedimiento que has utilizado.
Representa sobre la recta real estos números. Previamente
descompón el radicando en suma de cuadrados.
Por ejemplo: 10 = 12 + 32.
a) b) c)
Representa sobre la recta real los siguientes números
irracionales: .
Ordena de menor a mayor las
longitudes de lados en cada triángulo.
Ordena sobre la recta los siguientes números.
a)
b)
c)
d)
Usando la resta de las aproximaciones decimales, encuentra
el orden de los siguientes números.
a)
b)
Resuelve.
a)
b)
c)
38
0 45 2 0083
15 03
, ,
,
 

39 +
40
41
42
32,29

0,253
7,56211
43
49 62
900 0,04
1,44 0,05
44 7
7
45
+ 5 + 4
46
+ 10 + 13 − 20
47
+ 2 ;− 8 ;− 12
48
49
50
51
 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
Ejercicios y problemas
3
2
1
6 6
3 3
4
9 ; 3 ; 6
8 ; 2 ; 18
3 ; 5 ; π
3 ; 12 ; 3
π ; 2
3 ; ; 7 1 + 5
2
3
2
2
7
1
4
3
4
7
3
7
2
2
3
+ +
+
π + π + –
( ( 2
3
+ ( ( 2
6 ( (
π
a)
b)
c)
27,5 m
25 m 20 m
3,2 dam
2,4 dam
2 dam
P = 2a + 2b
= 2 · 25 + 2 · 27,5 =
= 50 + 55 = 105 m
A = b · h
= 27,5 · 20 = 550 m2
P = 4 a
= 4 · 2 = 8 dam
= 3,84 dam2
A
D · d
= = =
2
3,2 · 2,4
2
Simplifica.
Resuelve las siguientes operaciones.
Realiza las siguientes operaciones.
Ubica los paréntesis en el lugar necesario para que
al simplificar la expresión, el resultado sea:
Encuentra la diferencia de longitudes de los radios
de las siguientes circunferencias, para que la diferencia
de sus perímetros sea 3.
Perímetros y áreas de polígonos
Halla los perímetros y las áreas de estos polígonos.
a)
b)
Encuentra los perímetros y las áreas de los polígonos.
a) c)
b) d)
Calcula el área de un romboide de 7 cm de base
y 15 cm de altura. Expresa el resultado en metros
cuadrados.
Calcula la cantidad de papel que necesitamos
para construir una cometa en forma de rom bo cuyas
diagonales midan 20 cm y 15 cm.
Expresa en metros cuadrados las áreas de dos triángulos
cuyas bases y alturas miden:
a) 2,6 dam y 8 m
b) 80 cm y 23 dm
57
58
52
59
53
54
55
56 60
61
Practica
4 cm
3 cm 2,6 cm
0,5 m
4,5 dm
51,5 cm
12 m
10,39 m
5 cm
40 mm
2 cm
1,3 cm 1,2 cm
( ( 14
7
– 2
( ( ( ( 5
3
1
2
a)
b) ( ( 25
7
6
3
2 ( { ( { 2
6 3 c)
d)
( ( 14
7
( ( ( ( 5
3
1
2
a)
b) 6
27
 8

4  2
1
2 ( (3
4 ( 4 )
3
c)
d)
( ( 5
2
6 3
3
 + 
( 5
2
 6 +


36
5
36
5 5 (
( 5
12
 5 ( ( (  6
6
5
2 {( π ) – ( π + 2 )} – 2
π + 2
π
2 2
a)
b)
c)
d)

3 3
5
3
5
3
5
+ – 2
r1
r2 = 2π

5
5
5
3
En tu cuaderno
Calcula en cada caso el área del trapecio cuyas bases
y altura son:
a) 14 m, 128 dm y 825 cm
b) 1,25 hm, 15,2 dam y 86 m
— Expresa el resultado en metros cuadrados.
Calcula el área de cada uno de estos triángulos.
Calcula el perímetro y el área de un pentágono regular
de 4 m de lado y 2,75 m de apotema.
— Expresa el área en centímetros cuadrados.
En la reserva ecológica de El Ángel se proyecta
repoblar las dos regiones poligonales de la figura
con árboles de pumamaqui. ¿De qué polígonos
se trata? ¿Son polígonos regulares?
— Calcula sus perímetros y sus áreas.
Calcula el perímetro y el área del siguiente polígono
irregular a partir de la toma de las medidas
necesarias.
Calcula el perímetro y el área de la figura.
Un pentágono regular A mide 10,9 cm de lado 7,5 cm de apotema. Otro pentágono regular B mide
5 cm de lado y es semejante al primero.
— Calcula el perímetro y el área de cada uno.
— ¿Cuál es la razón entre los dos perímetros?
¿Y entre las dos áreas?
— ¿Qué conclusiones obtienes?
Jorge tiene un mapa de Zamora Chinchipe sobre el
que ha trazado el itinerario para una excursión. Sobre
el mapa ha medido una longitud total del recorrido
de 68 cm. Si el mapa está realizado a escala
1: 25 000, ¿qué distancia espera recorrer?
Un carpintero recibe el encargo
de construir la casa
dibujada en la figura.
— Dibuja el desarrollo plano
del poliedro.
— Calcula la superficie de madera necesaria. Ten
en cuenta que el área del poliedro es la suma
de las áreas de todas sus caras.
Estimación de perímetros y áreas
Cita tres objetos cuya área estimada, en cada caso:
a) Sea inferior a dm2.
b) Esté comprendida entre dm2 y 1 dm2.
c) Sea mayor que 1 dm2.
Compara el perímetro y el área de estas figuras
sin necesidad de recurrir a su medición.
66
65
64
63
62 67
68
69
70
71
72
65 mm
9 cm 105 mm
4 cm
5,2 cm
31,7 cm
150 mm
111 mm
85 mm
5 cm
60 mm
a b
c d
1 km
5,3 m
4 m
4 m
3,5 m
3 m
5 m
1,5 m
2 m
1
2
1
2
a b
Indica si el perímetro y el área aumentan o disminuyen
en cada una de las siguientes transformaciones.
Teorema de Pitágoras
Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo
de lados 9 cm y 14 cm.
La rampa de acceso a un edificio empieza a 120 cm
de su fachada y alcanza una altura de 50 cm. Calcula
la longitud de la rampa.
Calcula el perímetro y
el área de la figura de la
derecha.
Aplicación en la práctica
Una ventana cuadrada tiene un área igual a 0,6 m2.
Calcula la longitud del lado. ¿Obtienes un número
racional o irracional?
Un triángulo equilátero mide 2 cm de lado. Calcula
su altura. ¿Qué clase de número has obtenido?
— Expresa el resultado con tres cifras decimales.
¿Qué clase de número tienes ahora?
Dos corredores de larga distancia se entrenan
en un circuito de planta cuadrada de 1 hm de
lado.
Uno de ellos da vueltas al perímetro del circuito, mientras
que el otro recorre un pasadizo en diagonal que
va de un vértice al otro del circuito.
Si salen al mismo tiempo de uno de los vértices y
ambos van a igual velocidad, determina si, teóricamente,
se encontrarán en algún momento.
Para pavimentar una acera que mide 10 000 m2 se
han necesitado 20 000 baldosas. Calcula el área de
una baldosa. Expresa el resultado en centímetros
cuadrados.
10 000 m2 ÷ 20 000 baldosas = 0,5 m2/baldosa
0,5 m2 = 5 000 cm2
El área de cada baldosa es de 5 000 cm2.
En una pared de un cuarto de baño caben 500 baldosas
de 1 dm2 de área. Di si una pared cuadrada
de 2,5 m de lado tiene el mismo área que la anterior.
¿Cuántas baldosas de 1 dm2 caben en la segunda
pared?
La extensión de una urbanización es 5,38 ha. ¿En
cuántas parcelas de 600 m2 cada una se podrá dividir
la urbanización si se reservan 4 000m2 para formar
las calles?
5,38 ha = 5,38 hm2 = 53 800 m2
53 800 m2
4 000 m2 = 49 800 m2
49 800 m2 ÷ 600 m2 = 83 parcelas
Una urbanización tiene 60 parcelas de 500 m2 cada
una, 65 de 375 m2, una zona deportiva de 0,6 ha
y una zona de equipamientos de 2,5 a. Para las calles
se han reservado 20 dam2. ¿Cuál es el área total
de la urbanización?
Expresa el resultado en m2 y en ha.
76
75
74
73
77
78
79
80
81
82
83
a)
b)
c)
d)
400 cm
2 m
7 m
20 dm 40 dm

En tu cuaderno
Esta figura muestra la torre de vigilancia de un guarda
forestal.
— Obtén la longitud del cable señalado en rojo a
partir de los datos que se indican.
La vela de un barco de juguete es un triángulo rectángulo
con unos catetos que miden 20 cm y 15 cm.
Calcula el perímetro y el área de la vela.
— Si este juguete es una maqueta construida a escala
1: 25, ¿cuáles son el perímetro y el área de
la vela del barco real?
Un tablero cuadrado de 80 cm de perímetro se
divide en dos rectángulos iguales. Calcula el perímetro
de cada mitad.
Analiza los ejemplos de la página http://www.re
descolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanen
tes/mate/lugares/mate1q/mate1q.htm y calcula el
perímetro de una cadena de 50 pentágonos de 5 cm
de lado.
Visita la página http://www.ugr.es/~sevimeco/docu
mentos/edu_multimedia/areas/5.htm y dibuja dos
figuras que cumplan:
a) Tienen igual perímetro y distinta área.
b) La de mayor perímetro tiene menor área.
Más a fondo
Di si es posible que ocurra lo siguiente:
a) Que la suma o la resta de dos números irracionales
sea un número racional.
b) Que el producto o el cociente de dos números
irracionales sea un número racional.
c) Que el cuadrado o la raíz cuadrada de un número
irracional sea un número racional.
Observa esta figura. Hemos descompuesto un
tra pecio en tres triángulos.
Estos triángulos cumplen:
a) La longitud de la base y la altura de ABE son cm y 4 cm, respectivamente.
b) El área de BDE es tres veces la de ABE.
c) El área de BCD es cuatro veces la de ABE.
A partir de estos datos, halla las dimensiones del
trapecio.
Un proyecto de infraestructura urbana pretende reformar
una parcela cuadrada de 40 m de lado. Una
cuarta parte de la parcela se destinará a construir
un paseo donde se instalará un farol cada 6,25 m
en cada una de las dos aceras. El resto se destinará
a jardines.
¿Cuántos postes se utilizarán en la construcción del
paseo si colocamos la primera en una esquina?
Observa en la figura un esquema del proyecto en el
que las zonas rayadas corresponden a zonas verdes.
91
90
88
87
86
85
84
89
140 m 100 m
120 m
A B C
E D
40 m
40 m
@
@

Material concreto: geoplano
Un geoplano es un instrumento que consiste en una tabla cuadrada en la que se colocan varias hileras de clavos
situados a la misma distancia (en este caso tomamos 1 cm) formando una retícula. En los clavos pueden engancharse
unas gomas elásticas de manera que se reproduzca una figura.
Construye un geoplano de 9 clavos.
a) Encuentra todos los cuadrados y los rectángulos diferentes que
puedes formar con una goma elástica. Calcula sus perímetros y
sus áreas.
b) Encuentra todos los triángulos diferentes. Calcula sus perímetros
y sus áreas.
Localiza el menor triángulo rectángulo que puedes formar. Calcula su
área. Expresa las áreas de los otros triángulos en función de ésta.
A continuación, expresa las áreas de los cuadriláteros del apartado
a) en función de área del triángulo más pequeño.
Demuestra tu ingenio
Buen Vivir
La economía doméstica tiene como objetivo
distribuir adecuadamente los ingresos y satisfacer
las necesidades básicas de un hogar.
Para lograrlo, se recomienda tomar en cuenta:
Gastos fijos. Son aquellos constantes en un
período, como el alquiler, la alimentación, la
luz, el agua, el teléfono, el gas, etc.
Gastos variables. Se refieren a los que no son
constantes y que pueden programarse, como
la ropa, el calzado, las reparaciones del hogar,
entre otros.
Gastos extraordinarios. Son pagos no programados,
como tratamiento médico, accidentes
o enfermedad.
Para aliviar los gastos de la economía doméstica,
se pueden aplicar estos consejos:
a) Ahorro de luz: apagar las luces en las habitaciones
donde no haya alguien; encender
los electrodomésticos necesarios y utilizar
focos ahorradores.
b) Ahorro de agua: cerrar bien los grifos, dar
mantenimiento a las tuberías y no malgastar
el agua mientras te bañas.
Actividades
Relacionen el consumo de luz eléctrica
durante la temporada de navidad y cualquier
otro mes. Indiquen cuál es la diferencia
en el consumo y si se justifica.
Identifiquen los servicios comunitarios que
son pagados mensualmente por todos a
través del pago de impuestos en la planilla
de luz eléctrica.
Comenten acerca de la forma como se consigue
el agua en sus hogares: por tubería
pública, por cisterna, por tanquero. Reflexionen
cómo lo hacen otras familias. ¿Por
qué existen diferencias, pueden superarse?
Respondan. ¿El acceso a servicios básicos
es un derecho de las personas?
¿Por qué?
Planteen alternativas para ahorrar la luz
eléctrica, el agua y otros servicios de manera
que beneficien la economía de sus
familias y a la naturaleza.
Promuevan sus ideas, mediante afiches o
carteleras, en su colegio para motivar a los
demás a que las practiquen.
1
2
3
4
5
6
Buen
Derechos del consumidor Vivir

Historia En la Grecia clásica, los griegos demostraron
multitud de resultados teóricos
sobre áreas y volúmenes que Euclides
recogió en su obra Elementos.
1. Calcula los perímetros de estos polígonos.
a) Un cuadrado de lado 12 cm.
b) Un romboide de lados 1,1 dm y 0,7 dm.
2. Calcula el perímetro
y el área de esta
estrella.
3. Señala todos los números irracionales de esta serie.
1,24; 3,212786…; ; ; ; ; ;
4. Elige la representación correcta del número irracional
.
a) b) c)
1. Calculen las áreas de los siguientes polígonos.
a) Un rectángulo de base 14 cm y altura 5,6 cm.
b) Un rombo de diagonales 1,3 dam y 8,4 m.
c) Un trapecio de bases 10 dm y 0,8 m y altura
0,5 m.
2. Calculen el perímetro y el área del
trapecio isósceles de la derecha.
Para ello, efec túen las medidas necesarias.
3. Ordenen de mayor a menor estos números.
; 1,57; ; ;
4. Calculen la longitud de la escalera
de la figura. Aproximen
por redondeo hasta las
unidades.
12,45 9,075 3 4
1
2
2
7
10
π
2
3
5
2
8
5
Sección de historia
Autoevaluación
Babilonios, egipcios e hindúes calcularon
áreas de figuras planas sencillas
para resolver problemas de la vida
diaria.
Cavalieri, en el
siglo XVII, desarrolla
la teoría
de los indivisibles,
y la aplica
al cálculo de
longitudes, áreas
y volúmenes.
En el siglo XX se extienden la noción
de área y la de volumen a objetos no
geométricos: conjuntos.
En la Grecia del período alejandrino
se utilizaban los resultados teóricos para
resolver problemas prácticos.
Se cumple
que a < b + c. La distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Un conjuntø de medida cerø es… b c a En los siglos XVII y XVIII se calculan áreas delimitadas por curvas gracias a una nueva herramienta: el cálculo infinitesimal. 4,1 cm 6 cm 4 cm 0 10 0 2 10 0 10 150 cm 260 cm Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar. Coevaluación La medida de superficies es una actividad cotidiana. Los pintores calculan el área que deben pintar; los jardineros, el área de la zona que deben cubrir de césped… Crónica matemática Área de una superficie cualquiera Para delimitar el área de una superficie cualquiera podemos proceder del siguiente modo: — Recubrimos la superficie con una cuadrícula. — Contamos el número de cuadros contenidos totalmente por la figura y el número de cuadros contenidos parcialmente. El área de la figura será mayor que la de los cuadros contenidos totalmente y menor que la del total de cuadros contenidos total o parcialmente. Un problema de mínimos Imagina que construimos el siguiente artilugio. — Clavamos los dos extremos de una goma elástica en dos puntos A y B de un tablero después de haberla pasado por una pequeña argolla. — Dejamos la argolla de modo que la podamos mover por una barra paralela a AB, clavada a la vez en el tablero. Al mover la argolla obtenemos diferentes triángulos. Estos triángulos tienen la misma área, ya que todos tienen la misma base (AB) y la misma altura (coincide con la distancia entre la argolla y el tablero). Al dejar ir la argolla, por la tensión de la goma, ésta quedará fijada en un punto C. Observamos que la longitud total de la goma es la menor posible, es decir, se ha formado un triángulo isósceles. La leyenda de la fundación de Cartago La princesa Dido era hija de Muto, rey de Tiro, y hermana de Pigmalión, quien sucedió en el trono a su padre. Pigmalión mandó asesinar al esposo de Dido para apoderarse de sus riquezas, por lo que Dido huyó a África con sus seguidores. Allí hizo un pacto con el rey de Numidia según el cual le compraría tanta tierra como pudiera delimitar una piel de toro. Cerrado el trato, Dido cortó la piel en tiras muy estrechas y, gracias a esta argucia, abarcó un territorio suficiente para construir una fortaleza que luego sería Cartago. ■ La muerte de Dido de Claude Augustin Cayot. Museo del Louvre (París). http://www.timelessmyths.com — No sería adecuado un cartograma puesto que no hay referencias geográficas ni de posición espacial. 113. Llamamos x¯ a la media aritmética de los últimos cinco corredores. 115. Calculamos la fracción que representa la cantidad de refresco con la que llenamos la jarra. Calculamos la capacidad de la jarra: La capacidad de la jarra es 3,5 l. Ejercicios y problemas 39. Porque el resultado de sumar y dividir racionales es siempre un número racional. 43. a) racional; b) racional; c) racional; d) irracional; e) racional; f) irracional. 45. a) b) c) Sólo puede representarse de forma aproximada, marcando intervalos cada vez más pe queños que lo contengan. 47.a) 2 = 12 + 12 b) 8 = 22 + 22 c) 49. Respuesta abierta. 51. a) ; b) ; c) 53. a) ; b) ; c) ; d) 55. + 4 = 2 12 22 8 2 = +( ) 59. A = 0,0105 m2. 61. a) b) 63. a) b) c) d) 65. Se trata de un hexágono y de un pentágono. No son polígonos regulares, puesto que no tienen iguales ni los lados ni los ángulos. Para calcular el área descomponemos las figuras y las reagrupamos de la siguiente manera: 67. P = 20,8 m A = Arectángulo − Atriángulo rectángulo = 69. Jorge espera recorrer 17 km. 73. a) El perímetro disminuye y el área aumenta. b) El perímetro aumenta y el área diminuye. c) El perímetro y el área aumentan. d) El perímetro y el área disminuyen. 75. 130 cm 77. Obtenemos un número irracional. 79. Diagonal del circuito: Desde un vértice al otro vértice de los que son los extremos de la diagonal, el primer corredor recorre 2 hm y el segundo, hm. Puesto que es un número irracional, teóricamente los dos co rredores no se encontrarán. 81. No, la primera tiene una superficie de 500 dm2 y la segunda de 625 dm2; 625 baldosas. 83. 6,2625 ha 85. — Preal = 25 · P = 25 · 60 = 1 500 cm = 15 m Areal = 252 · A = 252 · 150 = 93 750 cm2 = 9,375 m2 87. El perímetro de una cadena de n pentágonos será 20 n + 5, por lo tanto: 20 · 50 + 5 = 1005 cm. 89. a) Sí; b) Sí ; c) El cuadrado de un número irracional sí que puede ser un número racional. 91. Las zonas rayadas son triángulos rectángulos de área: Como sabemos que la base del triángulo es 40 m y su área 600 m2, podemos obtener su altura: La longitud de la calle es la medida de la hipotenusa del triángulo. Para obtenerla aplicamos el teorema de Pitágoras: Si consideramos que se empiezan a poner postes de luz en el extremo de la calle, se tiene que en cada acera se colocan: 50 : 6,25 + 1 = 9 postes de luz. Por tanto, en las dos aceras se colocan 18 postes de luz. 65. Una vez representados los números racionales e irracionales sobre la recta, ésta queda llena por completo, de ahí el nombre de recta real. 67.        69. 71. 73. [−7, 11] 75. Aproximaciones por defecto: 15,6; 15,69; 15,692; 15,6924; 15,69241 Aproximaciones por exceso: 15,7; 15,70; 15,693; 15,6925; 15,69242 77. a) Décimas de kilogramo; b) kilómetros; c) décimas de milímetro; d) centésimas de segundo. 79. a) 1,10. Cota del error absoluto: 0,003 b) 0,74. Cota del error absoluto: 0,001 c) 3,29. Cota del error absoluto: 0,004 d) 0,03. Cota del error absoluto: 0,003 e) 30,02. Cota del error absoluto: 0,005 81. 3×2 + 5x 83. 85. a) 2x3y2; b) 20 a3b3; c) −14x2y2z; d) 5x5y5 87. Las áreas de las dos figuras son iguales. 89. a) 14; b) (3 + 5)2; c) (4 − 8)2; d) (5 + 7)  (5 − 7) 91. Por ejemplo: 9×4 − 3x + x 93. La relación que se establece entre las figuras geométricas y las expresiones de sus áreas es la siguiente: Figura A – b; Figura B – a; Figura C – d; Figura D – c. 95. No, el producto de dos polinomios de grado 5 será un polinomio de grado 10. 97. a) P(x) + Q(x) = − 7×4 − 3×3 + 3×2 − x + 2 b) –3 R(x) = −3 (x3 + 7×2 − x + 3) = −3×3 − 21×2 + 3x − 9 P(x) − 3 R(x) = x4 − 3×3 − 18×2 + x − 2 c) P(x) + Q(x) = −7×4 − 3×3 + 3×2 − x + 2 P(x) + Q(x) − R(x) = −7×4 − 4×3 − 4×2 − 1 d) 2 P(x) = 2 (x4 + 3×2 − 2x + 7) = 2×4 + 6×2 − 4x + 14 2 P(x) − Q(x) = 10×4 + 3×3 + 6×2 − 5x + 19 2 P(x) − Q(x) − R(x) = 10×4 + 2×3 − x2 − 4x + 16 99. a) 2x + 6 b) C = x − 3; R = 4x − 8 c) x + 5 d) C = x; R = 7 — Las divisiones son exactas en los apartados a) y c). 101. a) Cociente: x2 + x − 6; Resto; −14 b) Cociente: x2 − 12x + 19; Resto: 5 103. El divisor es x2 − 2x + 1 105. El valor numérico del polinomio para x = 3 es 24. El valor numérico del polinomio para x = −3 es 0. 107. El polinomio es divisible por x − 1, lo que nos indica que x = 1 es una raíz. El polinomio es divisible por x − 2, lo que nos indica que x = 2 es una raíz. Como que el segundo cociente obtenido es x − 3, x = 3 es una raíz. 109. a) 2×3 − 6×2 + 8 es divisible por 2x − 4. b) x3 − 2×2 es múltiplo de 2x − 4. c) 2×2 + 6x − 4 no es múltiplo de 2x − 4. d) x2 + 3x − 2 no es múltiplo de 2x − 4. 111. a) M.C.D. = (x − 1) (x + 3) = x2 + 2x − 3 m.c.m. = x4 + 2×3 − 7×2 − 8x + 12 b) M.C.D. = (x − 2)2 (x + 1) = x3 − 3×2 + 4 m.c.m. = 2 (x − 2)2 (x + 1) = 2×3 − 6×2 + 8 c) M.C.D. = 1 m.c.m. = x6 − 2×5 − 19×4 + 28×3 + 80×2 − 120x 113. a) a (12 – a); b) (x + y) (z – 1); c) (x + 1) (2 – a); d) (x + 1) (3y –x); e) b2 (1 + b) (1 – b); f) – x  (x – 5)2; g) (a + 9)2; h) z2 (2z + 3) (2z – 3); i) (z – 1) (3z – 4); j) a (a – 2)2 115. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 117. a) xy(y + 1); b) x + y – 3; c) 3c (a + b) (a – b + 3); d) – 4 (a + b) (a – b) 119. a) x2 − 8x + 16 = (x − 4) 2; b) x2 − 25 = (x − 5) (x + 5); c) 4×2 + 4x + + 1 = (2x + 1) 2 121. a) K = −1 123. K = −9 125. Por lo tanto, P(x) = x2 − . 127. El polinomio que expresa el área de la figura es 4 g) 6− 3 h) 2− x 3 Módulo Números reales Polinomios