NUMEROS ENTEROS Y RACIONALES PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

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Números enteros ,Operaciones entre números enteros, Propiedades , Números enteros positivos y negativos,Otras operaciones en Z, Módulo o valor absoluto , El Anillo de los números enteros está totalmente
ordenado, Números racionales ,Suma y producto de números racionales , Números racionales positivos y negativos, Resta y cociente de números racionales, Potencia y raíz , Números decimales ,EJERCICIOS RESUElTOS

1. Números enteros
INTRODUClON. Hemos visto en el estudio del número natu ral que dados
dos números naturales a y b. si b < a existía otro número natural d tal que b + d = a ~ d - a - b (a > bl
Surge la necesidad de ampliar el campo numérico de los números naturales
para hacer posible esta operación siendo a y b dos números naturales
cualesquiera, es decir que no tenga que existir entre ellos la condición b < a. Partiendo del conjunto N vamos a definir, el conjunto Z de los números enteros en el que siempre será posible la operación b + d - a DEFINICION DE NUMERO ENTERO. Consideremos el conjunto N x N formado por pares de números naturales N x N - ((a,. a,l. (b,. b,l. (e,. e,l .... 1 yen él defin imos una relación b2) = al + b2 = a2 + bl
(bl , b2)
a2) Y b = (b1, b2) se define la suma de la siguiente forma
Ejemplo 1 Dados (3, 5) y (8, 7) su suma es
13, 51 + 18, 71 – 13 + 8, 5 + 71 – 111, 121
PROPIEDAlJES
1. Ley de composición interna u operación cerrada: La suma de dos nú
meros enteros es otro número entero
Zxz–z
la, bl a + b
Va, b E 2 “* a + b E 2
2. Asociativa.’ Va – la 1> a2) , b
(a + b) + c = a + (b + c)
((al’ a2) + (b¡, b2)] + (Cl> C2) = (a1> a2) + [(b1• b2) + (Cl’ C2)]
Aplicando la definici6n de suma a cada miembro y posteriormente la definici6n
de igualdad CR establecida entre los números enteros se comprueba
la asociatividad.
3. E/ementoneutro: Va – (a1>a2) E 230 = (m,m) la + O = O + a = a
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En efecto
ya que
y estos dos enteros son iguales por pertenecer a la misma clase
El elemento neutro es la clase formada por pares de números naturales
iguales
o ~ 1(1. 1), (2, 21. (3, 3), (4, 4), .. , (m, m) …. }
4. Elemento simétrico: Va – (al> al) E Z 3 a’ = (Xl> Xl) I a + a =
=a’+a – O
Vamos a determinar cuanto vale XI y X2
(al’ a2) + (XI> Xl)
(al + Xl> a2 + X2)
(m, m)
(m, m)
aplicando la definición de igualdad y la propiedad simplificativa
al + XI + m
al + XI
(Xl> X2)
a2+ X2+ m
= a2 + X2
(a2, al)
El elemento simétrico de a = (al> a2) es a’ = (a2, al)’
a + b = b + a
(al’ a2) + (bl, b2) = (bl, b2) + (al’ a2)
su comprobación es inmediata.
El conjunto Z de los números enteros con la operaci6n de sumar, (Z, + J,
tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abeliano.
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PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS. Dados dos númerOS enteros
a = (al ‘ az) Y b – (bh hz) se define el producto de la siguiente forma
Ejemplo 2. Dados (2, 4) Y (5, 3) su producto es
(2, 4) x 15, 3) – (2 x 5 + 4 x 3, 2 x 3 + 4 x 5) ,. (22. 26)
PROPIEDADES
1. Ley de composición interna u operación interna . El producto de dos
números enteros es otro número entero
2 x 2 –2
(o, b) o x b
va, b E Z – a x b E Z
(a x h)xc=ax(bxc)
[(al’ az) X (bl, b2)] X (Cl’ C2) = (al’ az) x [(bh b2) X (Ct, cz))
cuya comprobación podemos obtener aplicando la propia definición del producto
y siguiendo un proceso análogo al caso de la suma
3 Elemento identidad ‘ \fa = (at. al) E 231 “” (m + 1, ml la x 1
-lx 3 -a
En efeco
a x 1 = (al’ (2) x (m + 1, m) – [al (m + 1) + a2 m, al m + az (m + 1)] –
– (DI m + al + ez m, al m + az m + (2) = (al, ( 2)
ya que (al m + al + az m, al m + a2 m + (2) Y h~ l , az) pertenecen a la
misma clase de equivalencia, pues se cumple
(at m + al + a2 m, al m + a2 m + a2) =< (al' a2) ~ (al m + al + a2 m) + a2 = = (at m + a2 ro + a2) + al y por tanto se verifica: a x 1 - a www.Matematica1.com De igual forma se comprueba que: 1 x a - a El elemento identidad es la clase formada por pares de números naturales donde la primera componente supera en una unidad a la segunda componente 1 ~ 112, 1), 13, 2) , 14, 3), 15, 4), .. . 1m + 1, m ) ... 1 4 . Conmutativa: Va := (al' a2) Y b - (bl , bl) a x b = lb" b,) su comprobación es inmediata b x a (b" b,) El conjunto Z de los números enteros con lo operación de multiplicar. (l, x J, tiene estructura de semigrupo unitario conmutativo. Sí consideramos la suma y el producto, también podemos definir la propiedad distributiva a X (b + e) - (a x b) + (a x el La demostración es sencJlla teniendo en cuenta las definiciones de suma y producto. El conjunto Z de los números enteros con las operaciones suma y producto, (l. +, X J, tiene estructura de anillo unitario conmutatiuo. RESTA DE NUMEROS ENTEROS. Dados dos números enteros a - (at. az) y b = Ibt • bz)' siempre existe otro número entero d = (di. dz) lla mado diferencia de a y b que verifica b + d = a Vamos a determinar las componentes de d - (di ' d2) en función de a = (at, al) Y b .,. (b" bz) aplicando las propiedades y operaciones antes estudiadas b + d ... a lb" b,) + Id" d,) - la .. a,) Ib1 + dI ' bz + dz} "" (ah al) www.Matematica1.com aplicando la igualdad de números enteros aplicando la propiedad asociativa y conmutativa de donde Por tanto Ejemplo 3 . Dados los números enleros (8, 5) y 16, 2) su dilerencia es (8, 5) - (6, 2) - (8 + 2, 5 + 6) e no, 11) La diferencia de números enteros es una operacl6n interna, ya que siempre la diferencia de dos números enteros es otro número entero . Zxz--z la , b) a - b Va, b E Z - a - b E Z 3, Números enteros positluos y negat1lOs DEFINICION. Dado un número entero a = (a1 ' at) pueden ocurrir tres casos 1) SI al > at el entero a se llama positiuo y existe un número natural p
tal que al = a2 + P
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Se tiene:
se simboliza poniendo +p siendo p la diferencia entre la primera y la segunda
componente del entero a.
El conjunto de los números enteros positivos lo simbolizamos mediante
Ejemplo 1 El número entero (5, 3) es positivo y se pone
(5, 3) “” (3 + 2, 3) .,. + 2
2) Si al – az el entero es el cero resultando
que es el elemento neutro de Z
3) Si al < a2 el entero a se llama negativo y existe otro número natural n tal que al + n = az Se tiene se simboliza por - n siendo n la diferencia entre la segunda y la primera componente del entero a El conjunto de números enteros negativos lo simbolizamos por ZPodemos escribir z = z· U ID) U Zo www.Matematica1.com Ejemplo 2. El número entero (3. 5) es negativo porque la segunda componente es mayor que la primera componente y escribimos (3, 51 = (3,3 + 21 = -2 ISOMORFISMO ENTRE N Y Z·. Existe un isomorfismo entre el conjunto N de los números naturales y el subconjunto Z· de 105 enteros positivos tanto respecto de la suma como del producto . Respecto de la sumo. Efectuando la aplicaci6n f entre N y Z· f. (N, +) p q -- (Z', +) +p +q se tiene que cumplir: f(p + q) - f(p) + f(q) Vp, q E N En efecto: ~'-::~¡;::=:=::¡6 + 1 2 _..\------1-_ + 2 3 +3 4 5 _+-_1-..._ + 4 ~ +5 N ----'/~ Z' f(p) + f(q) - (+p) + (+q) - (a + p, a) + (b + q, b) - - (a + b + p + q, a + b) - + (p + q) = f(p + q) Respecto del producto: f. (N. x)-- p-- q-- (Z', xl +p +q Se tiene que cumplir: f(p) X f(q) - I(p x q) www.Matematica1.com En efecto' jlp) x jlq) - 1+ p) x 1+ q) ~ la + p, a) x lb + q, b) ~ - (ab + aq + pb + pq + ab, ab + pb + ab + aq) - - +Ip x q) - jlp x q) Como la aplicación f es biyectiva existe un isomorfismo entre el conjunto N de los números naturales y el conjunto z+ de los enteros positivos tanto respecto de la suma como respecto del producto. Esto nos permite reemplazar los números enteros positivos por los números naturales pudiendo escribir simplemente el número positivo sin que vaya precedido del signo + Pondremos a en lugar de + a 'ti a E N. REGLA DE LOS SIGNOS. En el conjunto Z de los números enteros respecto de la operación de multiplicar se pueden establecer los siguientes casos 1) I+pl x I +ql + Ip x ql 21 I-p) x I+ql ~ -Ip x q) 31 I+pl x I-ql -Ip x ql 4) I-pl x I-ql ~ +Ip x ql En efecto: 11 21 31 41 (+p) x 1+ ql ~ la + p, al x lb + q, bl ~ lab + aq + pb + pq + ab, ab + pb + ab + aq) - + (p x q) (-p) x 1+ q) - la, p + al x (b + q, bl ~ (ab + aq + pb + ab, ab + pb + pq + ab + aq) - -(p x q) I+pl x I-ql ~ la + p, al x (b, b + q) ~ lab + pb + a.b + aq, ab + aq + pb + pq + ab) = - (p x q) (-pi x (- q) = (a, a + p) x (b, b + q) - (ab + ab + aq + pb + pq, ab + pb + ab + aq) = + (p x q) Ejemplo 3 Efectuamos los siguientes casos al (5,31 x (4,11 - 120 + 3,5 + 121 - (23,171 15,31 = (4,1) - +2 } +3 (+2) x (+3) == +6 www.Matematica1.com b) (3, 1) x (2,4) - (6 + 4, 12 + 2) _ (10, 14) (3, 1) - + 2 } (+2) x ( - 2) - -4 12,4) - -2 e) 12, S) x 16,4) - (12 + 20, 30 + 8) - (32,38) (2, S) - -3 } (-31 x 1+2) - -6 (6,4) - + 2 di (1, S) x (2,4) - (2 + 20, 10 + 4) ~ (22, 14) (1 , 51 - 12, 4) - -4 } -2 (-4) x ( - 2) - +8 4. Olras operaciones en Z COCIENTE DE NUMEROS ENTEROS. El cociente de números enteros no siempre es un número entero. El cociente no es operación interna en Z. Sólo cuando el dividendo es múltiplo del divisor el cociente es número entero SI a, b E Z y a ~ b entonces el cociente a : b ~ e E Z SI a, bE Z y a * b entonces a , b -e o
o” OC = oa-c
{u· J< = a~ ~<. ((-2) x (+3))t _ {_2)t x ( +3)' (-5)2 x (-5)' "" (-5)' (-81' • (-81' - (-81' 1(-31'1' - (-3)" www.Matematica1.com 2) El cuadrado de una suma de dos sumandos (a + b)2 = 0 2 + 20b + b2 Va, b E Z Ejemplo 4. [(-2) + 5]2 - (_2)2 + 2 x (-2) x 5 + 52 - 4 - 20 + 25 ". 9 {3 + 7)2 _ 3~ + 2 x 3 x 7 + 72 - 9 + 42 + 49 _ 100 [(-3) + (-4)]2 .. (_3)2 + 2 x (-3) x (-4) + (_4)2 _ - 9 + 24 + 16 - 49 3) El cuadrado de una diferencia de dos números enteros (a - b)2 = 0 2 - 20b + b2 Va, b E Z Ejemplo 5. (4 - 2)2 - 42 - 2 x 4 x 2 + 22 '"" 16 - 16 + 4 _ 4 11-3) - (-5))' 0(-3)' - 2(-3) (-5) + (-5)' - 9 -30 + 25 - 4 [8 - (-6)]2 - 82 - 2·8 (-6) + (_6)2 = 64 + 96 + 36 _ 196 4) El producto de la suma de dos números por su diferencia (a + b) (a - b) = 0 2 - b2 Va, b E Z Ejemplo 6. (6 + 2) (6 - 2) - 6' - 2' - 36 - 4 - 32 [5 + (-3)J [5 - (-3)J - 5' - (-3)' - 25 - 9 - 16 11-7) + (-4)J [(-7) - (-4)J = (-7)' - (-4)' - 49 - 16 - 33 5) Todo número entero elevado a O es la unidad En efecto Ejemplo 7. 5° ... 1 (_8)° ,.. 1 www.Matematica1.com RAIZ DE IN DICE NATURAL DE UN NUMERO ENTERO. La md;cad6n es lo operación inuersa de lo potenciación y tiene por objeto dada una potencia llamada radicando y un exponente llamado (ndice hallar la base, que tomo el nombre de raíz. 'JO = b n = ¡ndice a radicando b raíz Rafz de índice n de un número entero a es otro número entero b, si existe , que elevado al exponente n da como resultado el primero a 'JO - b porque b~ - a siendo a, b E Z y n E N Cuando el índice es 2 la raíz se llama cuadrada y cuando el índice es 3 la raíz se llama cúbica. Ejemplo 8. VI25 - 5 porque 5l - 125 V_32 __ 2porque(_2)5 -32 W4 - 8 porque 81 - 64 PROPIEDADES 1. La raÍl de índice par de un número entero positivo, si existe, es doble . Ejemplo 4. VI6 ... ±4porque 1+4)1 _ 16 Y {_1)2 - 16 V81 ±3porque (+3)t - 81 y (-3)" - 81 2. La raíz de índice par de un número entero negativo no existe en Z. Ejemplo lO. ~ - 16 no ~xlste pues un número entero sea. positivo o negativo. elevado al cuadrado siempre es positivo y el radicando es un número negativo_ www.Matematica1.com 3. La raíz de índice impar de un número entero , si existe, es única y positiva dentro de Z. Ejemplo 11 . W D 2 porque 23 .,. 8 V243 - 3 porque 3' - 243 4. La ralz de índice impar de un número entero negativo, si existe, es única y negativa dentro de Z. Ejemplo 12 V 125 - -5 porque (_5)] - -125 tI-32 = -2 porque (_2)S - -32 5. No es distributiva la raíz cuadrada respecto de la suma y respecto de la diferencia. Ejemplo 13. '¡fC.ac-+C-¡b:- '" .JO + .J6 .Ja - b ",.JO .J6 .,)64 + 36 "* .Jb4 + .J36 pues .J36 - 6 y ..J64 - 8 mienlra,s que ..J64 + 36 - Jfo a2′ al < a2 6 al = a2; tambi~n expresado por a > 0, a < 06" :. 0, www.Matematica1.com El m6dulo o ua/or absoluto de un número entero a, representado por la I se define así Ejemplo 1 a O -a 151 - 5 101 = O si a > O
si a = O
si a < O 1-51 = - (-5) = 5 La deslgualdad la I < m equivale a -m < a<+m siendo a positivo, negativo o nulo PROPIEDADES J . lab l = lol lbl Para demostrarla podemos considerar los siguientes casos -Sia > Oyh> O => ah > Oyse tiene
lal > O Ibl > O labl > O
luego
– Si a < O Y b > O => ah < O Y se tiene lal > O Ibl > O labl > O
Juego
lab l = 101 Ibl
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-Si a < O y b < O :} ab > O Y se tiene
lal > O Ibl > O labl > O
luego
Ejemplo 2
1-151 – 1-31 1+51
15 – 3 x 5
181 – 121 141
8 – 2 x 4
1241 – 1-41 1-61
24 = 4 x 6
2. la + bi ” lal + Ibl
Para demostrarla tenemos
-Ial ‘” a sial
-Ibl S b” Ibl
sumando miembro a miembro
-llal + Ibl) ‘” a + b S Ilal + Ibl)
de donde
la + bl ‘” 101 + Ibl
-Cuando a y b son del mismo signo interviene el signo –
-Cuando a y b son de distinto signo interviene el signo < En general se puede escribir 1 a, + a2 + a, + ... + a.1 S 1 a,l + 1 a21 + 1 a,l + ... + 1 a.1 la, a2 a, ... a.1 ~ la,l la21 la,l ... la.1 www.Matematica1.com 6. El anillo de los números enteros está totalmente ordenado DEFINICION DE ORDEN ENTRE PARES. Dados dos números enteros a - (at, a2) Y b - (bt> b2) decimos
a > b cuando a, + b, > a, + b,
a ~ b cuando a, + b, – a, + b,
a < b cuando a, + b, < a, + b, La relación :S establecida entre los elementos de Z queda así Esta relación ocmenor o igual que» establecida en el conjunto Z de los números enteros cumple las propiedades -Reflexiva" Va E Z a = a -Antisimétrica: Si a, b E Z a:S by b :S a - a = b - Transitiva: Si a, b, c E Z a:S b Y b :S c '= a :S c -Conexa: Va, b EZ a:S b ó b :S a dando lugar a una relación de orden total. El conjunto Z de los números enteros es un conjunto totalmente ordenado OTRA FORMA DE DEFINIR LA RELACION S EN Z. Dados dos nú' meros enteros a y b decimos a S b ~ 3 e E Z· U ¡O} I a + e ~ b Esta relación así definida es una relación de orden total por cumplir las propiedades. -Reflexiva: a s a pues 3 O E Z+ U ¡O) I a + O = a -Antisimétrica: Si a, bE Z y a :S by b:s a "* a = b Si a S b ~ 3 e E Z· U la} I a + e - b } b + d + c = b = d Si b S a ~ 3 d E Z· lJ ¡O} I b + d - a +c - O como d y c E Z+ U ¡O) sólo se verifica que d + c = O si d = c - 0, por tanto: a = b www.Matematica1.com - Transitiva: Si a, b, c E Z y a :$ b, b S c = a :$ c Si a S b = 3 m E Z+ U lO} 1 a + m = b Si b:$ c = 3 P E Z+ U 1011 b + p - c de donde: a + m + p = c = a + (m + p) - c =t a :$ c -Conexa: Va, b EZ siempre se verifica a S b ó b :$ a El conjunto Z está totalmente ordenado, PROPIEDADES GENERALES EN EL ANILLO (2, +, xl, 1 (- a) x b = b x (- a) = - (a x b) Sabemos que a+(-a) - O multiplicando por b: b x la + (-all = b x O - O ~ ba + b(-al - O la + (- al 1 x b = O x b = O ~ ab + (- al b - O por definición del opuesto en Z (- al x b - b x (- al - - (a x bl 2 (- a) x (- b) = a x b En efecto la + 1- all x (- bl = O x 1- bl = O ~ a x (- bl + (- al x (- bl - O por definición del opuesto en Z (- a) x (- b) = - [a x (- b)] = - (- a x b) = ab 3. Distributividad (b < e) (-al x (b - el - - [(-al x (e - bl] - ale - bl - ae - ab = - (-a) x b + (-a) x e www.Matematica1.com Por tanto (- a) x (b - e) = (- a) x b + (- a) X e 7. Números racionales INTRODUCCION Estudiando el conjunto Z de los números enteros se decía que (Z, x) es semigrupo unitario conmutativo no cumpliendo la propiedad de elemento simétrico o inverso que le hiciera alcanzar la estructura de grupo, es decir Va E Z ~ a-1 E Z I aa-1 = a-1 a = 1 Al no existir este elemento inverso de a, la ecuación ay - b la ;< O) no siempre tiene solución en el campo de los números enteros y de ahí la necesidad de ampliar el campo numérico. DEFINICION DE NUMERO RACIONAL Para la ampliación del conjunto Z de los números enteros, designamos por Z· el conjunto Z de los enteros menos el cero, es decir Z· = Z - fO) Definimos en Z x Z· la relación ffi de igualdad de la siguiente forma Esta relación ffi cumple las propiedades En efecto (al' a2) ffi (bl , b2) => al b2
(b lo b2) cR (al’ a2) ~ bt a2
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(, NUMERO” ENTEROS Y RACIONAU”)
3, Transitiva’ Si (al> a2) a2)””‘~ E Q 3 O ~ 10. 11 – -º-I a, 1
a + ° ~ ° + a – a
En efecto
a + ° – ~ + ° a, + ° ~ – a
a, 1 a, a,
El elemento neutro es el par (O. 1) y todos los de la misma clase que son
de la forma (0, m). El elemento neutro O es la clase
o – 110, 11, 10. 21, 10, 31 …. 10, mi, .)
4. Elemento simétrico: Va = (al> a2) – ~ E Q 3 a’ – (Xl. X2) ~ I
a2 X2
a + a’ – a’ + a = O
En efecto:
a + a’ =alX2+a2XI=O~
a2 X2 1
Es simétrico de a – (al, a2) “‘” al es a’ = (- al. a2) – al
32 a2
Todo número racional a tiene su simétrico a I y es único
S. Conmutativa: Va = (al’ a2) … ~ y b
a,
b – lb” b,1 – ~ E Q b,
a + b = b + a
El conjunto Q de los números radonales con la operci6n de sumar.
(Q, + J, tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abeliano
www.Matematica1.com
PRODUCTO DE NUMEROS RACIONALES, Dados dos números racionales
a = (al . az) y b – (bl. b2) se define el producto como otro número racional
así
E;emplo 3 D … dos los números racionales (5, 3) y (7. 4) su produc<' 10 es 5 7 35 15,3) x 17, 4) - 3" x "4 - 12 - 135, 12) Ejemplo 4 Dados los números racionales (7. - 2) y (4 . 5) su pro ducto es 17, - 2) 7 4 x (4, 5),. _ 2 x 5 ~ • 128 -!O) - 10 ' PROPIEDADES 1 Ley de composición interno u operación interna : El producto de dos números racionales es otro número racion al 2 . Asociativa .' 'ti a Q x Q -- Q la, bl • x b Va, b E Q 1» a x b E Q - !.,! ib' (a x bJ x e = él x (b x e) x.se,. 3 . Elemento unidad. Va = ~ E Q 3 1 = ..l E Q I a x 1 a, 1 1 x a - a www.Matematica1.com En efecto a, x 1 al a, 1 a, El elemento unIdad o neutro respecto al producto es la base formada por pares de números ¡guales m m l 4 Elemento inverso Va - al E Q 3 a-I E Q I aa-I a, Llamando a-l _ Xl resulta aa-I.., al XI X2 a2 X2 Por tanto El elemento inverso de a = ~ es a-I _ a2 5 Conmutativa. a x b b x a 1 1 El conjunto Q de los números racionales con la operación de multiplicar, (Q, X), tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abe/lana Si consideramos la suma y el producto definimos la propIedad Distributiva Va - ~ b - ~ e = ~ E Q a2' b2 ' c2 a, x a, a x (b + el (a x bl + (a x el www.Matematica1.com La demostración es senc¡]!a teniendo en cuenta las definiciones de suma, producto y las propiedades de cada operación. El conjunto Q de los números racionales con las operaciones suma y producto, (Q, +, x), tiene estructura de cuerpo conmutativo o cuerpo abeliano 9. Números racionales positivos y negativos DEFINICION Dado un número racional a = (al' a2) pueden ocurrir tres casos 1) al Y a2 tengan el mismo signo 2) al sea cero 3) al Y a2 tengan distinto signo 1) Si al Y a2 tienen el mismo signo el racional a se llama positivo Se escribe a > O
El conjunto de los números racionales positivos lo simbolizamos por Q+
Ejemplo 1
(8, 7) – ~ es racional positivo
( – 2 , – 51 – -_ 25 ‘”” “2’5 es raC.1 0na I pOSl.t1. VO
2) Si al = O el racional es O siendo el elemento neutro de Q. Se escribe
3 ~ O
O
a – = O
32
3) Si al Y a2 tienen distinto signo el racional a se llama negativo. Se escribe
3 < O El conjunto de los números racionales negativos lo simbolizamos por QEscribimos: o ~ O· U la} U 0- www.Matematica1.com (-3,5) _ - 3 es racional negativo y ponemos - ~ 5 5 12, -7) __2 es racional negativo y ponemos -.~ -7 7 ISOMORFISMO ENTRE Z y Qt. llamando Ql - ! (a , 1) I a E 21 existe un isomorfismo entre el conjunto Z de los números enteros y el subconjunto Ql del conjunto Q de los racionales, tanto respecto de la suma como del pro" dueto Respecto de la suma· Efectuando la aplicaci6n j'entre Z y Ql f(Z,+) -~ (Q" +) a--- a (a, 1) - T b-~ (b,l) --b 1 se tiene que cumplir: i(a + b) = f(a) + J(b) Va, bE Z En efecto J(a) + J(b) Respecto del producto a + ~ = 1 1 a + b _ J(a + b) 1 f(Z, x)-~ (Q1' x) a-- b-- (a, 1) - -"- 1 (b,1) b 1 se tiene que cumplir. I(a x b) - f(a) x J(b) En efecto· J(a) x J(b) a b a ~ b _ I(a x b) 1 x 1 = www.Matematica1.com Como la aplicación f es biyectiva existe un isomorfismo entre el conjunto Z de los enteros y el subconjunto Ql de! conjunto Q de los racionales, tanto respecto de la suma como respecto del producto Pondremos a en lugar de ~ 1 PROPIEDADES GENERALES Va E Z 1 El conjunto Q con la relación ~ definida de la forma Va, bE Q a s b si 3 c E Q+ U ¡Oll a + c - b es un conjunto totalmente ordenado 2 La ecuación a x + b = O tiene soluci6n única dentro del cuerpo Q de los números racionales x = a-1 x (-b) 3 Dado un número racional a - (al' a2) se define el m6dulo o valor absoluto de a Ejemplo 3 I~I 5 a O -a si a > O
si a = O
si a < O 0.1-;1 - -(-;) 2 7 ESQUEMA DE AMPLlACION DEL CAMPO NUMERICO Números Naturales } Números Enteros } O Y enteros negativos N úmeros fraccionarios . Números Racionales www.Matematica1.com 10. Resta y cociEnte de números racionales RESTA DE NUMEROS RACIONALES Dados dos números racionales a "'"' (al> a2) Y b = (b1, b2) la diferencia entre estos dos números a – b vendrá
dada por la solución de la ecuación
b + d = a
Llamando d “” (df, d2) resulta
(b1• b2) + (dI> d2) – (al, a2)
–a, a,
aplicando la definición de igualdad
(b1 d2 + b2 dI) a2 = al bz d2
como al, a2′ b1 , b2 , dI Y d2 son número enteros que admiten la distrlbutividad
del producto respecto de la suma resulta
b1 d2 al + bl dI a2 = al bl d2
di (b2 a2) – (al b2 – b1 a2) dl
dI = al b2 – a2 b1
d2 a2 b2
La diferencia de dos números racionales es otro número racional
a –
La diferencia de números racionales es operación interna
Ejemplo 1 Calcular las diferencias
[3 51 _ (4 71 _ ~ _ ~ _ 21 – 20 _ _ ,_ – (1,351
“573535
[5, -81 _ (3, 1) ~ _5 __ ~ ~ 5 – (-24) ~ 5 + 24 ~ ~ ~ (29, -81
-8 1 8 -8-8
[7, -2[ – (-4,9)
_ _ 7 _ -4 _
-2 9
63 – (-2) (-4)
18
55 ~ — ~ (55, – 181
-18
63 – 8
18
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COCIENTE DE NUMEROS RACIONALES. Dados dos números racionales
a y b se define el cociente a b como la solución de la ecuación
a = b x c
Llamando c .. (el, C2) resulta
operando
de donde
El cociente de dos números racionales es otro número racIonal siempre
que el divisor sea distinto de cero
a b = al bl al b2
a2 b2 a2 bl
Cuando a = b o el cociente está indeterminado
Ejemplo 2 Calcular los siguientes cocientes
(3,2) 3 8 15
(8 , 5) – -2 -5 – – 16 – (15 ‘ 16)
(9,5) 9 -3 36
(- 3, 4) – 5 -.– ~ -~175- (36, -15)
(-2,7) (4, -5) —2- 4 10
—–~
7 -5 28
(10,28)
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11. Potencia y raíz
1. Potencia de exponente natural de un número racional Es el resultado
de multiplicar tantas veces la base como indica el expo nente
x
Ejemplo 1.
(;)’ – 3 3 3′ x – = –
5 5 5′
(:3)’ =
-23 x -Z3
x
9
= —
25
x 2 -3
x ~
a,
_ ai

x _ 2 _ = _2′ _ _ 16
– 3 (_3)4 81
2, Potencia de exponente entero de un número raCIonal. Pueden ocurrir
tres casos.
– Que el exponente sea un entero positivo,
– Que el exponente sea cero .
– Que el exponente sea un entero negativo.
a l Si el expone nte es entero positiuo la potencia es el resultado de multiplicar
el número de la base tantas veces como indica el exponente
a” = ( ::)” – ~ x ‘” x a,
= a;
a, a, a”,
Ejemplo 2
( – 3)’ _ -3 x – 3 _ _ 9_
, 8 8 8 64
(.:7)’ – -27 x -27 x -27 = –3-84 -3
b) Si el exponente es cero [a potencia es 1
Ejemplo 3_
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el Si el exponente es entero negativo el resultado es una fracción de numerador
1 y de denorpinador la misma potencia pero con exponente posiIIVO
1
a”
E¡emplo 4
(~r – 1 1 125
S (2 )’ 8 — S-
,5 125
(7) -2 _ J.- _ 1
7′ 49
3_ Raíz de exponente natural de un número racio nal. La raíz de índice n
de un número racional a es otro número racional b. si existe, que elevado al
exponente n da como resultado a
s1endo a – ~ y
a,
Ejemplo 5
yd que
porque b” = a
b – ~ E Q y n E N
Va
b,
)f; _ –1
a,
b,
b,
+~
5
2
S
b
, 2 ‘ Z 1- _ )
\ 5,
_ _ 4_
25
pu,,”, (_1.)’ _
, 2
Las raíces pueden ser aproximadas o exactas
27
S
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Un número racional puede tener las siguientes rafees
al Si el índice es impar, la raíz es única y liene como signo el del radicando
.
bl Si el índice es par y el radicando es positivo tiene dos raíces que son
opuestas_
el Si el índice es par y el radicando es negativo no ex iste la raíz
E}emplo 6
2
5
pues
3
(- ~’) ‘ . 5
8
125
‘J :4 –< +- 8 , 3 ~ l 9 ' 3 -·- z 9 pues (+_) ~ _ y 1 _ ) _ _ 3 8 . 8 _ 64 \ 8 _. 64 no ex.iste pues un número racional poSiUvo o negativo elevado al cuadrado no da un número negativo 4 Propiedades de la raíz de un número racion al. No es distríbutiva respecto a la suma 'Ja + b ,. 'Ja + 'J6 a. b E Q y n E N No es distributiva respecto a la resta a , bE Q y n E N Es distributiva respecto al producto 'Ja X b - 'Ja X 'J6 a, b E Q y n E N Es distributiva respecto al cociente a, b E Q y n E N www.Matematica1.com Ejemplo 7. ~4~9 + 499 '" f4*9 +J *49 J~ 9 '" J%J[; 49 49 49 49 J 2~ x 9 J2~XJ;6 16 J~ 9 J 16 J 49 25 49 :5 5 Potencia de exponente racional de un número racional. Es una raíz cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente y de índice el denominador del exponente siendo a E Q y m , n E Z Ejemplo 8 (2) ; 7 . 1 1 (~) !, 3 . (_~)1 ~ . 9 1 1 (_ ~) t , 9 Esta definición permite escribir la radicación como potencía. 6 Operaciones de las potencias de exponente racional de un número racional - El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de igual base y de exponente la suma de los exponentes. www.Matematica1.com -El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de igual base y de exponente la diferencia de los exponentes -La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y de exponente el producto de los exponentes. l:jemplo 9 7 Operaciones con raíces -La raíz de una raíz se obtiene escribiendo en forma de potencia de potencia, expresando el resultado en forma de raÍl Ejemplo 10 -La potencia de una raíz se obtiene escribiendo la raíz en forma de potencia expresando el resultado en forma de raÍl. Eiemp/o 11 -Para simplificar una raíz se escribe en forma de potencia, se simplifica el exponente que resulta y se vuelve a escribir el resultado en forma de raíz www.Matematica1.com Ejemplo 12 -La reducción de varias raíces a índice común se escribe como potencias reduciendo a común denominador los exponentes y expresando el resultado en forma de raíz Ejemplo 13 Reducir a índice común Hacemos (~I+ 5 los exponentes los reducimos a común denominador luego , 2' I ,,' 2 ", 4 1_)' _ (_)" ~ \ 5 5" "V ~(5)" " -Las operaciones con raíces se resuelven escribiendo las raíces como potencias realizando las operaciones de esta manera y expresando el resultado en forma de raíz_ Ejemplo 14 'Jm' (~)' x 'J(~r x 'J(~) www.Matematica1.com In E ~ (~) "'x (-')" ~ ,5 6 se pueden sacar fuera de la raiz algunos factores 2- 1 6~-2 53 (-) x (_Ix H x 5" 6 5 ( ", 1 ' 50 -) 6 Ejemplo 15 'J (~I ' (~)' (~) , 3 5 ·4 [ (~) (~)' (-') 'J ' 3 5 4 4 ' 2 1" j (-) "-, x I _) t-, ,5 4 " r, ------- ~ (~) • 1:) , (~) " www.Matematica1.com 12. Números decimales Los números decimales constituyen un subconjunto del conjunto de los números racionales, aquellos cuya segunda componente es una potencia de 10 D - I (a, 1O~) siendo a E Q y n E NI A continuación vamos a efectuar un estudio detallado de los aspectos prácticos más necesarios. FRACCION DECIMAL. Es una fracci6n cuyo denominador es la unidad seguida de ceros Cuando el denominador es 10, la fracción decimal se lee nombrando e numerador segUido de la palabra décimas Cuando el denominador es 100, la fracción decimal se lee nombrando e numerador segUido de la palabra centésimas_ Cuando el denominador es 1000, la fracción decimal se lee nombrandc el numerador segUido de la palabra milésimas y así sucesivamente Las fracciones decimales siguientes SE' leen 8 10 13 100 76 1000 se lee ocho décimas se lee trece centésimas se lee setenta y seis milésimas 95 se lee noventa y cinco diezmilésimas 10000 NUMERO DECIMAL Toda fracción decimal se puede expresar (om número decimal, basta con escribir el numerador separando con una coma partir de su derecha tantas cifras decimales como ceros tenga el denom nador. 48 10 - 4,8 ; 76 1000 ~ 0,076 93 _ 093 100 ' www.Matematica1.com Todo número decimal consta de dos partes, la parte entera situada a la izquierda de la coma y la parte decimal situada a la derecha de la coma Para leer un número decimal se lee en primer lugar la parte entera y a continuación se lee la parte decimal dándole el nombre de la última cifra decimal Así 8.49 se lee : «ocho enteros y cuarenta y nueve ce ntésimas» 3,625 se lee: ~tres enteros y seiscientas veinticinco milésimas" 12,3 se lee' «doce enteros y tres décimas» APROXIMACION DECIMAL DE UN NUMERO RACIONAL. Muchas veces podemos expresar un número racional como un número decimal aproximándolo hasta un orden dado . Así. por ejemplo, el número racional 7/ 6 se puede aproximar mediante un número decimal, basta para ello dividir el numerador por el denominador y aproximar el cociente hasta la cifra que queramos 7 10 40 40 4 6 1,166 y así sucesivamente 7 6 - 1,1 (aproximando hasta las déCimas) -7 -1, 16 (aproximando hasta las centésimas) 6 7 = 1,166 (aproximando hasta las milésimas) 6 Cuando el resto se puede hacer cero el número decimal obtenido se dice que es exacto y en caso contrario se llama periódico 29 12 Ejemplo 1 Aproximar hasta las diezmilésimas el número raCional 29 50 20 80 80 12 2,4166 www.Matematica1.com NUMERO DECIMAL EXACTO Es aquel que al divIdir el numerador por el denominador de una fracción (número racional) aproximando el cociente con deCimales, do un resto cero ConSideremos la fraCCión ~ que como vemos no es una fracción decl" mal pero SI podemos buscar una fracción equivalente a la dada y que sea deCImal . multiplicando numerador y denominador por 2 8 _ ..¡8:,-x,:-;2:;- 16 5 "x2 10 y la fracción denmal ~ se puede expresar como número decimal así 1.6 10 A este mismo resultado se llega dividiendo el numerador por el denominador de la fraCCión , pues ~ = 1,6 " Será pues más senCillo dIVIdIr el numerador por el denominador aproxImando el COCiente con decimales, cuando dé un reslo cero el número deci mal será exaclo Fracciones generatrices de un número deCImal exacto son aq uellas frac Clones Lrreducibles en las que al divLdlr el numerador por el denommador resu lta un número decimal exacto Los denommadores de las fracciones generatrjces de los números deCimales exactos contiene como factores 2 6 5 o ambos sImultáneamente Ejemplo 2 n mal exacto El número ~ es la fraCCIón generalnz del número de_(, 12 10 El número ~ €<; la fracc ión generatrIz de ~~ en ambos casos ~ y ~ son irredUCibles www.Matematica1.com NUMERO DECIMAL PERIODICO PURO Es el que resulta al dividir el numerador por el denominador de una fracción (número racional) aproximando el cociente con decimales dando un resto distinto de cero En el cociente hal,! un grupo de cifras que se repiten indefinidamente a partrr de la coma, denominado período, No siempre al dividir el numerador por el denominador de una fracción da un cociente cero 1 En el caso de 3 1 3 0,3333 por más que se divida, el resto no se hace cero El número 3 se repite inde" finidamenle por lo que ~ es un número periódico puro de período 3 Se escribe 1 3 0,3 Fracciones generatrices de un número periódico puro son aquellas fracciones irreducibles en las que al dividir el numerador por el denominador resulta un número decimal periódico puro En las fracciones generatrices de un número penódico puro los factores 2 y 5 no aparecen en el denominador Ejemplo 3 El número racional _9_ = 0,818181 luego 11 9 11 ~ 0,81 es un número periódICo puro de período 81 NUMERO DECIMAL PERIODICO MIXTO Es el que resulta de dividir el numerador por el denominador de una fracción (número racional) aproximando el cociente con decimales sin obtener resto cero En el cociente hay un grupo de cifras que no se repiten, llamando antiperíodo o parte no periówww. Matematica1.com dica que está a continuación de la coma seguido del grupo de cifras que se repiten llamado perrada o parte periódica. Si queremos expresar el número decimal ~~ como fracci6n decimal, dividiendo 31 100 100 15 2,0666 vemos que en la división no se obtiene resto cero y no se repite el 6 a partir de la coma, SinO después del O 31 15 2,06 El período es 6 y el anteperíodo es O. Fracciones ge neratrices de un número decimal periódica mixto son aquellas fraCCiones irreducibles en las que al dividir el numerador por el denominador resulta un número decimal periódico mixto, En el denominador existen los factores primos 2 ó 5 junto con otros factores primos distintos de 2 y 5. Fácilmente se puede conocer si un número es decimal exacto , periódICO puro o periódico mixto. basta obtener la fracción generatriz y ver 51 el denominador contiene solamente los factores primos 2 6 5 en cuyo caso es exacto. 51 no los contiene es periódico puro y, por último, si contiene otros factores primos distintos de 2 y de 5 junto con alguno de éstos, es periódico mixto PASO DE UN NUMERO DECIMAL A FRACCION a) Número decimal exacto. Para expresar un número decimal exacto como fracción ponemos como numerador el número decimal sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado 4,25 425 100 7 0,7 - 10 www.Matematica1.com b) Número decimal periódico puro. Para expresar un número decimal, periódico puro como fracción, se pone como numerador el número decimal sin la coma menos la parte entera, SI la hay, y de denominador tantos nueves como cifras tenga el período Esto es inmediato pues sea el número n = 7,45 multiplicamos los dos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período, aquí por 100 100 n 745.4:~ restamos miembro a miembro y operamos ~ / - 100 n-n 745.45 7.45 99 n 738 738 n 99 /-~ , Ejemplo 4 Expresar como fracción 0,417 ~ n "'" 0,417 ~ 1000 n 1000 n-n 417,417 417,rn 0.417 999n - 417 417 n 999 e) Número decimal periódico mixto Para expresar un número decimal periódICO mixto como fracción , se pone como numerador el número decimal sin la coma meno$ la parte entera, si la hay, seguida de la parte no periódica, poniendo de denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica Es inmediato pues sea el número n - 4.287 multiplicamos los dos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo, aquí por 10 ~ 10 n ~ 42.87 www.Matematica1.com multiplicamos ahora los dos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el período, aquí ¡lar 100 1000 n = 4287,87 restando de esta la anterior y operando 1000 ~. - 42,87 n - 10 n - 4287,87 990 n - 4245 n - 4245 990 EJemplo .5 Expresar como fra cci6n el número 4,16"5 3 /'. n - 4. 1653 10 n = 41 .653 ~ 10000 n - 41653.653 10(X)O n-lO n - 41653,6"5 3 9990 n - 41612 n _4_1b_ l2 'l9 O => b E Z’
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14. Dados a. b. e E Z, demostrar, siendo e >0 que si
Solución
Llamando a
aca O => e, – e2 + n y sustituyendo
15. Dados
Solución
adc2 + n) + a2e2 + b,cz + bZ(c2 + n) < < bl (c2 + n) + b2cZ + atc2 + a2(cZ + n) a lc2 + aln + a2C2 + ble2 + blcZ + bln < < b,cl + bl n + bZCl + alC2 + a2e2 + aln aln + b2n < btn + a2n at+bz y
z < 0, que si Llamando x = (xt , x2) siendo Z < O se verifica ZI Z2 < O por tanto Como 212l < O (XI, Xl) (21, 22) < (Yt, Y2) (ZI' 22) (Xt2t, XZZz) < (YtZt, YZZ1) XIZt Y2ZZ < YtZt XzZz XIYZ > YtXZ
(Xl’ Xl) > (YI’ yz)
X > Y
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16. Efectuar las siguientes operaciones con números decimales
~ ~
a) 4,28 + 3.127
~ ~
b) 51,428 – 42,37
e) (13,68 – 12.5) + 4,28,
Solución
al 4,28 + 3,127 = 386 + 3096 = 7342 _ 74í6
90 990 990 ‘
b) 51,428 _ 42,37 ~ 50914 _ 3814 ~ 8960 • 9,65
990 90 990
el (13,68 – 12.5) + 4,28 – -13-68- –11-3
100 9
+ 386 _ 5413
90 ‘
17. Efectuar las siguientes operaciones con números decimales
a) 5.8 x 3.69
b) 453.16 25
Solución
e) 61,51 4.6
d) 14,56 7.8
al 5,8 x 369 _ ~ x 366 _ 21228 = 21442
‘1099 990′
b) 453 16 25 –40-78-5
90
x _1_ _ _40_7 8.5. ~
25 2250
18,126
el 61,51′ 4 6 ~ 6090
, 99
42 6090
9 99
x _9_ = S4810 _
42 4158
dl 14,56 7,8 – 1,86
13,Í8
18. Cuando dos bombas actuan a la vez, tardan en agotar un depósito 15 horas.
Si actuase la menor, tardaría en agotarlo 16 horas más que si actuase sólo la
mayor ¿Cuánto tardaría ésta?
(Oposición E,G R, 1983)
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Solución
La bomba mayor tarda x horas
La bomba menor tarda (x + 16) horas
La capacidad del depósito es 1
Se tiene
de donde
x
1 + -c’–.cx
+ 16
1
15
15(x + 16) + 15x – xix + 16)
X2 – 14x 240 = O
14 ± v196 + 960
2
14 ± 34
2
La bomba mayor tarda en agotar el depósito 24 horas