NUMEROS ENTEROS EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF

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CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE El conjunto de los números enteros , Representación sobre la recta , Valor absoluto de un número entero , Ordenación de los números enteros , Operaciones , Adición y sustracción , Sucesiones con adiciones y sustracciones , Multiplicación y división exacta , Potenciación y radicación ,
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Objetivo del módulo
• Leer, escribir, ordenar y comparar números enteros, en situaciones matemáticas concretas, mediante la
realización de diversos ejercicios para resolver problemas combinados con las seis operaciones básicas.
Destrezas con criterios de desempeño
• Leer y escribir números enteros.
• Ordenar y comparar números enteros en la recta numérica.
• Resolver las cuatro operaciones de forma independiente con números enteros.
• Resolver operaciones combinadas con números enteros.
• Utilizar las estrategias y las herramientas matemáticas adecuadas para resolver problemas mostrando seguridad
y confianza en las propias capacidades.
• Usar la calculadora de forma racional en la resolución de problemas.
• Generar sucesiones con números enteros.

Para la activación de conocimientos previos
• Recuerde qué son los números naturales y su forma de representación. Es muy importante precisar estos
conceptos fundamentales, antes de avanzar a un nuevo conjunto numérico. Para hacerlo, remítase a los
conocimientos y a las actividades de la evaluación diagnóstica, de la página 9 del texto para estudiantes.
• Para conseguir que los estudiantes alcancen una comprensión adecuada de los mecanismos de las
operaciones es conveniente atribuir significados a las expresiones numéricas, o bien, proponer un
enunciado a propósito de ellas. Por ejemplo
Escribe cinco frases en las que intervengan números naturales.
Expresa las frases anteriores mediante cifras.
Representa las cantidades de las frases con material concreto, se propone utilizar el ábaco en las que
sean posibles.
• Una vez que ha reforzado el conocimiento previo sobre los números naturales y las operaciones que
pueden realizarse con estos, proceda a introducir el nuevo conocimiento. Recapitule que los números
naturales son los primeros que surgieron en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar
son las más elementales que se pueden realizar. El número natural es el que sirve para designar
la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto
de todos ellos se denota por ℕ, donde:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5…}
• La exclusión del cero es un error, su inclusión se apoya en los axiomas de Peano de finales del siglo XIX.

Para la construcción del conocimiento
• Es conveniente que los estudiantes se den cuenta de la necesidad de los números enteros en diferentes situaciones
de la vida cotidiana.
• Es posible trabajar con material concreto para que los alumnos visualicen los procesos y puedan trabajar con
los números enteros. Un material fácil de conseguir son fichas u objetos iguales de dos colores distintos. Así
las fichas azules representan números positivos y las rojas, los negativos. Por ejemplo:
Pídales que recuerden cómo son los botones de un ascensor y cómo indican los pisos subterráneos y los pisos
altos. Asociar la planta baja con el número cero.
Si es posible, hágales observar un termómetro ambiental para que expliquen por qué hay números sobre y
bajo el cero.
• Luego de esto, explique que todos los números enteros tienen su opuesto, que se diferencian en su signo. Así el
opuesto de +5 es –5; el de –65 es + 65 y el opuesto de cero es cero, si x es un número entero, –x es su entero
opuesto. Por lo tanto, los números enteros son el conjunto formado por los números naturales y sus opuestos.
• El valor absoluto de un entero es el mismo número si es positivo o cero, es su opuesto en caso de ser entero
negativo. Así:
|–15| = 15 |+1 350| = 1 350 |0| = 0
• De esta manera, los estudiantes comprenderán la concatenación de los conocimientos y les será más sencillo
proceder a la ordenación de los números sobre la recta numérica. Para que esta actividad pueda ser más significativa,
promueva un salto de lo concreto a lo abstracto: solicíteles que construyan una recta numérica y
ubiquen distintos números enteros positivos y negativos, analizando cuál es mayor que uno o cuál es menor
que otro. Una vez que dominen este procedimiento, pídales que realicen la ordenación y comparación de los
números sin recurrir a la recta.
Para la aplicación del conocimiento
• Examine los pasos que deben seguir para ubicar los números enteros sobre la recta numérica y verifique su ordenación.
• Observe la correspondencia entre los números enteros y los naturales para utilizar la definición de valor absoluto
de un número entero, lo cual significa que el valor absoluto de un número entero equivale a la distancia
del número hasta el cero: |x| = d(x, 0).
• Proponga a sus estudiantes que busquen números enteros en un periódico (relacionados con temperaturas,
fechas históricas, clasificaciones deportivas) para que puedan interpretar el significado del número entero.
• Utilice la siguiente información para trabajar en ejercicios de lectura y escritura de números:

Para la evaluación

• Verifique que sus estudiantes puedan encontrar otras situaciones de la vida cotidiana en las que se utilicen
números enteros: negativos y positivos.
• Cambie la situación de origen para que los alumnos/as ubiquen el origen de los números enteros representados
en la recta por puntos.
• Pídales que planteen problemas con números enteros.
• Para lograr una evaluación con criterios de desempeño, utilice la simulación de la bolsa de valores. A
través de la observación, usted puede determinar qué personas han comprendido claramente qué son
los números negativos y cómo estos son utilizados en una situación concreta para comparar enteros
mediante la relación de orden, utilizando los símbolos mayor que (>) o menor que (<). Si reconoce algún error de comprensión, no pare la simulación antes del tiempo previsto, sino que deje el desarrollo de la actividad y, al finalizar, realice las aclaraciones pertinentes. La ley de signos Si se multiplican dos números enteros: el resultado es un entero positivo mientras los dos posean el mismo signo; en cambio, si los enteros son de diferente signo, el resultado es un entero negativo. Expliquemos la ley mediante una tabla, donde a, b ∈ ℤ+ : La misma ley de signos se aplica a la división, siempre que esté definida en los enteros. Además, debe recordar que la ley de signos únicamente se aplica a operaciones, no a los signos de manera aíslada. Los signos de agrupación Es usual encontrar signos de agrupación al resolver operaciones combinadas. Estos son: ( ) = Paréntesis curvos. [ ] = Paréntesis rectos o corchete. { } = Llaves = Vínculo o barra. Estos se emplean para indicar que las expresiones contenidas en ellos deben considerarse como un todo. Los corchetes, llaves y vínculos tienen la misma significación que los paréntesis. Prerrequisitos Recuerda • El conjunto de los números naturales se representa mediante la letra .  = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} • Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite el factor es el exponente. • La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. • Para indicar que un número es mayor que otro escribimos el símbolo . Así, por ejemplo, 7 es mayor que 3 se escribe 7 > 3.
Para indicar que un número es menor que otro
se utiliza el símbolo . Por ejemplo, 2 es menor
que 5 se escribe 2 < 5. Así, tendremos: 7 > 5 > 3 > 2 y 2 < 3 < 5 < 7 Evaluación diagnóstica • Enuncia las propiedades de la suma de números naturales. • Efectúa: a) 18 +26 c) 23 − 2 − 4 + 6 + 3 − 4 b) 612 −154 d) 61 − 4 + 3 − 15 − 6 − 4 • Describe cómo efectuarías una serie de sumas y restas combinadas con números naturales si aparecen paréntesis, y efectúa: a) 65 − (5 + 7 − 2) + 17 b) 135 − (187 − 125) + (34 − 18) • Escribe cinco frases en las que intervengan números naturales. A continuación, escribe estos números mediante cifras. • Escribe en forma de potencia: a) 2 × 2 × 2 × 2 ×2 b) 7 × 7 × 7 × 7 • Calcula el resultado. a) 22 × 25 × 23 b) 35 ÷ 32 c) (32)3 • Halla la raíz cuadrada. a) 289 b) 9 025 c) 16 129 • Representa los números sobre la recta y escríbelos ordenados de menor a mayor. 25 - 15 - 10 - 20 - 5 - 35 Destrezas con criterios de desempeño Con tus conocimientos sobre los números enteros, serás capaz de expresar cantidades y operar con ellos. 10Distribución 1 El conjunto de los números enteros En muchos momentos de la vida diaria utilizamos números naturales precedidos de un signo menos. Algunas de estas situaciones son las siguientes: 0 m m 20 m 40 m 60 m 80 m 100 m 120 m -20 Las plantas subterráneas de un edificio. El saldo de una cuenta bancaria. El balance de puntos de un equipo de baloncesto. ■ Las temperaturas por debajo de los 0 °C. Las altitudes por debajo del nivel del mar. Observa que en las situaciones anteriores hemos utilizado el conjunto de números conocidos como números enteros. El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo .  = {…, −365, …, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …, +365, …} • Los números naturales precedidos del signo + son los números enteros positivos. • Los números naturales precedidos del signo − son los números enteros negativos. El conjunto de los números enteros se forma de:  = + U { 0 } U − Ë ¿Cómo representarías cuatro grados centígrados bajo cero? ¿Y dos grados sobre cero? Expresa las siguientes situaciones mediante nú - meros enteros. a) He ganado $ 3. c) Dentro de 15 años. b) He retrocedido 5 m. d) Hace 30 años. Expresa mediante una frase el significado de cada uno de los siguientes números enteros. a) −5, si +5 significa 5 grados sobre cero. b) +2, si −2 significa que bajó dos pisos. c) −623, si +100 significa que he ganado $ 100. 3 2 1 Actividades § 1.1. Representación sobre la recta Si observamos un termómetro, podemos ver que para indicar las dife - rentes temperaturas dispone de una escala graduada en la que se sitúan los números enteros. Del mismo modo, podemos representar los números enteros sobre una recta numérica. Dibujamos una recta y señalamos en ella un punto que tomaremos como 0. Dividimos la recta en segmentos de igual longitud hacia la derecha y hacia la izquierda del 0. A partir del 0 y hacia la derecha, situamos los sucesivos números enteros positivos; hacia la izquierda del 0, ubicamos los sucesivos números enteros nega tivos. 0 0 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 1.2. Valor absoluto de un número entero Todos los números enteros, excepto el 0, se escriben con un signo y un número natural. Si prescindimos del signo, podemos establecer una correspondencia entre números enteros y números naturales (tabla 1). Diremos que el número natural correspondiente a cada número entero es su valor absoluto. Así, el valor absoluto de −1 es 1 y el de −5 es 5. Indicamos el valor absoluto de un número entero poniendo éste entre dos barras verticales. −8 se lee valor absoluto de −8. Así, por ejemplo, tenemos: ⎮+15⎮ = 15 ⎮−15⎮ = 15 ⎮+2⎮ = 2 ⎮−2⎮ = 2 En el caso del 0, su valor absoluto es 0: ⎮0⎮ = 0 El valor absoluto de un número entero positivo o negativo es el número natural que se obtiene si suprimimos su signo. Ë Representa sobre una recta los siguientes números enteros: +3, −8, −12, 0, +7, −4. Relaciona cada letra con un número entero. Determina los valores absolutos de los siguientes números: −3, +34, −34, −123, +230, +1 300, −1 568, +8 835 y −13 457. ¿Es posible hallar un número entero tal que su valor absoluto sea −10? Justifica tu respuesta. 7 5 4 6 Actividades § A B C 0 D E F Valor absoluto ⎮−4⎮ = 4 Notación ■ Tabla 1. Número entero Número natural −1 1 −5 5 +1 1 +5 5 12Distribución 1.3. Ordenación de números enteros Si ordenamos los números que representan las diferentes plantas del ascensor de un edificio, desde la inferior a la superior, tenemos: −3 < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 Podemos representar estos valores sobre la recta de los números enteros. –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 Observa que +1 < +4, pues al representarlos sobre la recta el +4 queda a la derecha del +1. De la misma manera, diremos que −3 < −1, ya que el −1 queda a la derecha del −3. Dados dos números enteros cualesquiera, es mayor el que está representado más a la derecha sobre la recta. Ë –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 Números negativos Números positivos –4 –1 0 |–4| = 4 > |–1| = 1 –1 > –4
0 +2 +5
|+5| = 5 > |+2| = 2 +5 > +2
El mayor de dos números enteros
positivos es el que tiene
mayor valor absoluto.
El mayor de dos números enteros
negativos es el que tiene
menor valor absoluto.
Cualquier número entero
positivo es mayor que
cualquier número entero
negativo.
El 0 es menor que cualquier
número entero positivo y
mayor que cualquier número
entero negativo.
ejemplo 1
Señala en cada uno de los siguientes pares de números enteros cuál es el mayor. Represéntalos sobre la recta.
a) −11 y 8 b) 0 y −9 c) 0 y 4 d) 8 y 6 e) −7 y −6
a) Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. → 8 > −11
b) El 0 es mayor que cualquier número entero negativo. → 0 > −9
c) El 0 es menor que cualquier número entero positivo. → 0 < 4 ⇒ 4 > 0
d) 8 = 8 > 6 = 6. El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene mayor valor absoluto. → 8 > 6
e) −7 = 7 > −6 = 6. El mayor de dos números enteros negativos es el de menor valor absoluto. → −6 > −7
–11 –9 –7 –6 0 +4 +6 +8
Copia en tu cuaderno los siguientes pares de
números y escribe el signo > o < según corresponda. −3 .......... +8 −5 .......... −8 0 .......... +13 0 .......... −2 +4 .......... +9 +4 .......... −10 Ordena de menor a mayor la siguiente serie de números. −7, +12, −12, 0, +4, −1 002, +7, −20 Escribe cuatro números enteros menores que +2 y otros cuatro mayores que −10. 10 8 9 Actividades § Para sumar dos números enteros del mismo signo: — Se escribe el mismo signo de los sumandos. — Se suman los valores absolutos de los sumandos. Ë Para sumar dos números enteros de distinto signo: — Se escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. — Se restan los valores absolutos de los sumandos. Ë 2 Operaciones Con los números enteros podemos efectuar las mismas operaciones que realizamos con los números naturales: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. 2.1. Adición y sustracción Veamos, primero, cómo se suman dos números enteros. Distinguiremos los casos en que tengan el mismo signo o signos diferentes. Adición de dos números enteros del mismo signo Un ascensor se encuentra en el piso 2 de un edificio cuando es llamado desde 3 pisos más arriba. ¿Desde qué piso se le llamó? El piso será el 5. Podemos escribir: (+2) + (+3) = +5 Sobre la recta numérica: Fíjate que estamos en +2 y hemos avanzado 3 unidades hacia la derecha. Un ascensor que se encuentra en el primer subsuelo baja dos pisos. ¿En qué planta se encontrará? Se encontrará en el piso −3, tercer subsuelo. Podemos escribir: (−1) + (−2) = −3 Sobre la recta numérica: Observa que nos hemos situado en −1 y hemos avanzado 2 unidades hacia la izquierda. –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +3 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 –2 Adición de dos números enteros de distinto signo Un ascensor que está en el segundo subsuelo sube 6 pisos. ¿En qué planta se encontrará? Como ves, se trata del piso 4. Podemos escribir: (−2) + (+6) = +4 Sobre la recta numérica: 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +6 –3 –2 –1 14Distribución Adición de varios números enteros Para sumar varios números enteros podemos proceder de dos maneras. Veamos, por ejemplo, cómo calcular la expresión: (−3) + (+7) + (+4) + (−2) Primer procedimiento Segundo procedimiento • Reordenamos los sumandos. Primero escribimos los nú meros enteros positivos y después los enteros negativos. (+7) + (+4) + (−3) + (−2) = • Efectuamos las adiciones en cada grupo por separado. Después, sumamos los dos resultados obtenidos. (+11) + (−5) = +6 Propiedades de la adición La adición de números enteros tiene las siguientes propiedades: Conmutativa Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía: a + b = b + a (+4) + (−2) = (−2) + (+4) +2 = +2 Asociativa En una adición de varios sumandos, el resultado no depende de cómo agrupemos sus términos: (a + b) + c = a + (b + c) [(+5) + (−3)] + (−4) = (+5) + [(−3) + (−4)] (+2) + (−4) = (+5) + (−7) −2 = −2 Propiedad Enunciado Ejemplo Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la adición, pues al sumar 0 a cualquier número entero se obtiene dicho número: a + 0 = a (+5) + 0 = +5 Elemento opuesto Todo número entero tiene su opuesto, el número entero que sumado a él da 0: a + op (a) = 0 El opuesto es el propio número cambiado de signo. (+3) + (−3) = 0 Diremos que +3 y −3 son números enteros opuestos, y escribiremos: op (+3) = −3 op (−3) = +3 Efectúa las siguientes adiciones. a) (+5) + (−4) b) (−3) + (−5) c) (−12) + (−34) + (+64) + (−37) Efectúa de dos maneras diferentes estas adiciones y comprueba que se cumple la propiedad asociativa. a) (−4) + (−2) + (+5) b) (−2) + (+5) + (−3) Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números. −5, +7, +18, −32, +6, −8, −25, +350, −88, 0 13 12 11 Actividades § Dos números enteros opuestos se encuentran a la misma distancia del 0. Ú FÍJATE –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 • Efectuamos las adiciones en el orden en que aparecen. (−3) + (+7) + (+4) + (−2) = = (+4) + (+4) + (−2) = = (+8) + (−2) = +6   Sustracción Fíjate en la siguiente adición de números enteros: (+7) + (−2) = +5 Si no conociésemos uno de los sumandos, para hallarlo deberíamos efectuar una sustracción: (+7) + ? = +5 → ? = (+5) − (+7) El resultado de esta sustracción es −2. Observa que este resultado es el mismo que el obtenido al sumar a +5 el opuesto de +7; es decir, −7. (+5) + (−7) = −2 Por lo tanto, podemos escribir: (+5) − (+7) = (+5) + op (+7) = (+5) + (−7) = −2   Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Ë Simplificación en la escritura • Podemos identificar un número entero positivo como un número natural y escribirlo prescindiendo del signo y del paréntesis si no es necesario. (+3) = +3 = 3 • Teniendo en cuenta la definición de sustracción, podemos simplificar la escritura de las operaciones con números enteros. (+6) + (−3) = (+6) − (+3) = 6 − 3 Observa en el margen cómo se simplifican los diferentes casos. opuesto   Calcula: a) (−12) − (+15) c) (−16) − (+16) e) (+11) − (−7) b) (−16) − (−12) d) (−37) − (−28) f) (−9) − (−7) Averigua con un ejemplo si la sustracción de números enteros cumple la propiedad conmutativa. 15 14 Actividades § (+3) + (+5) = 3 + 5 (+3) + (−5) = 3 − 5 (−3) + (+5) = −3 + 5 (−3) + (−5) = −3 − 5 (+3) − (+5) = 3 − 5 (+3) − (−5) = 3 + 5 (−3) − (+5) = −3 − 5 (−3) − (−5) = −3 + 5 Ú FÍJATE Al trabajar con los números enteros, el signo − puede tener dos significados diferentes: (+3) − (−8) Ú FÍJATE Indica la operación sustracción. Indica un número entero negativo. 16Distribución • Efectuamos las operaciones en el orden en que aparecen. 6 − 3 − 5 + 4 = = 3 − 5 + 4 = = −2 + 4 = 2 • Escribimos, en primer lugar, los números precedidos del signo + y después los precedidos del signo −. 6 + 4 − 3 − 5 • Efectuamos la suma de ambos grupos por separado. Después, restamos el segundo resultado del primero. 10 − 8 = 2 Primer procedimiento Segundo procedimiento   Adiciones y sustracciones combinadas Antes de efectuar adiciones y sustracciones combinadas de números enteros, simplificaremos la escritura, eliminando los paréntesis y los signos innecesarios. Por ejemplo: (+6) + (−3) + (−5) − (−4) = 6 − 3 − 5 + 4 A continuación, podemos proceder de dos maneras: Uso del paréntesis Al igual que en el caso de los números naturales, si en una serie de operaciones combinadas aparecen paréntesis, debemos efectuar primero las operaciones indicadas en su interior. Así: 12 + (3 − 10) = 12 + (−7) = 12 − 7 = 5 8 − (16 − 9) = 8 − 7 = 1 Sin embargo, podemos también proceder eliminando previamente los paréntesis: 12 (3 10) = 12 + (3 + op (10)) = 12 + 3 + op (10) = 12 3 10 = 5 8 (16 9) = 8 + op (16 − 9) = 8 + op (16) + op (−9) = 8 − 16 9 = 1 Fíjate en que al suprimir el paréntesis precedido del signo +, los signos de los números que contiene no han variado. En cambio, al suprimir el paréntesis precedido del signo −, los signos de los números que contiene sí que han cambiado.   Si en una serie de adiciones y sustracciones combinadas aparecen paréntesis, podemos proceder de dos maneras: • Se efectúan primero las operaciones indicadas en su interior. • Se eliminan previamente los paréntesis. En este caso: — Si el paréntesis está precedido del signo +, dejamos los números con sus signos. — Si el paréntesis está precedido del signo −, cambiamos los signos de los números que contiene. Ë En la práctica, los paréntesis se usan con dos finalidades diferentes: • Para evitar que haya dos signos seguidos. Es el caso, por ejemplo, de: 3 − (−2) • Para indicar la prioridad en las operaciones que deben efectuarse. Por ejemplo: 5 − (4 + 2) Ú FÍJATE Si procedemos de una de estas dos formas, podremos efectuar operaciones combinadas en las que aparezcan paréntesis que indiquen prioridad. Observa el ejemplo siguiente: 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5) Se efectúan primero las operaciones Se eliminan previamente los paréntesis Efectuamos las operaciones de los paréntesis. 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5) = = 18 + 4 + 12 − 5 A continuación, resolvemos las operaciones. 34 − 5 = 29 Eliminamos previamente los paréntesis. 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5) = = 18 − 2 + 6 − 3 + 15 − 3 − 7 + 5 Después, efectuamos las operaciones. 18 + 6 + 15 + 5 − 2 − 3 − 3 − 7 = 44 − 15 = 29    Uso del corchete En ocasiones, nos podemos encontrar con expresiones que contienen paréntesis dentro de otros paréntesis. Para distinguir qué paréntesis se encuentran dentro de los otros, se acostumbra sustituir los externos por corchetes [ ], y otros más externos por llaves { }. Por ejemplo: Corchetes Paréntesis 16 + (5 − 12) − [11 + (−3 − 9) + 5] − 3 En estos casos, podemos comenzar efectuando las operaciones indicadas dentro de los paréntesis, o bien, eliminando estos paréntesis. Así, para resolver el ejemplo anterior, podemos proceder de dos maneras:     Se efectúan primero las operaciones Se eliminan previamente los paréntesis • Efectuamos las operaciones de los paréntesis y sus tituimos los corchetes por paréntesis. 16 − 7 − (11 − 12 + 5) − 3 • Efectuamos las operaciones de los nuevos paréntesis y operamos. 16 − 7 − 4 − 3 = 16 − 14 = 2 • Eliminamos los paréntesis y sustituimos los corchetes por paréntesis. 16 + 5 − 12 − (11 − 3 − 9 + 5) − 3 • Eliminamos los nuevos paréntesis y operamos. 16 + 5 − 12 − 11 + 3 + 9 − 5 − 3 = = 16 + 5 + 3 + 9 − 12 − 11 − 5 − 3 = 33 − 31 = 2 Elimina los paréntesis y calcula en tu cuaderno: a) −6 + 5 − (7 − 4) + 3 b) −2 − 5 − (2 − 7) − (5 + 6) c) 3 − 7 + (−9 − 3) − (1 − 2) d) −(5 − 2) + (4 − 6) − (8 + 2) Efectúa en tu cuaderno: a) −(6 − 3) − [2 − (5 − 7) − 3] b) 2+ { − [− (7 + 8) + (4 − 3)] − 2} c) −[5 − (4 − 7) − (2 − 3)] d) −(7 − 3) − (5 − 2) − [(12 − 6) − (9 − 5)] 16 17 Actividades § 18Distribución a) 4; 8; 12; 16 ... b) 0; 5; 10; 15 ... c) −10; −3; 4, 11 ... d) −30; −22; −14, −6 ... e) −3; 0; 3, 6 ... f) −16; −14; −12; −10 ... Actividades § −1−(−3) 3−1 Para encontrar el término que sigue en el ejemplo anterior, sumamos dos al último término. 2.2. Sucesiones con adiciones y sustracciones A los elementos de un conjunto ordenado de números, se los conoce como términos de una sucesión. Los términos de una sucesión se encuentran relacionados unos con otros, por lo cual, es posible encontrar un término a partir del anterior. En matemática y en la vida cotidiana es posible encontrar varios conjuntos cuyos elementos están relacionados entre sí, por ejemplo: 0 2 El conjunto ordenado de los números pares forman una sucesión: 4 6 8 10 ... Términos de la sucesión Encuentra los tres términos siguientes en la sucesión. −5; −3; −1; 1; 3; 5; ... Observa el procedimiento: — Restamos a cada número el término que está a su izquierda (el término anterior). — Si la diferencia que encontramos entre dos términos sucesivos es siempre la misma, esta será la cantidad que debemos sumar a cada uno para encontrar el siguiente término. — Para encontrar los términos de la sucesión que no conocemos, sumamos el valor encontrado en el paso anterior al último término: 5 + 2 = 7 — De esta manera, sabemos que el término siguiente de la sucesión es: −5; −3; −1; 1; 3; 5; 7... ejemplo 2 −3−(−5) 1−(−1) 5−3 −5 −3 −1 1 3 5 2 2 2 2 2 18 Encuentra los siguientes tres números que corresponden a los términos de cada sucesión. 3; 5; 10; 12; 24 La anterior no es una sucesión con adición porque el patrón de formación consiste en sumar 2 y, luego, multiplicar por 2, de manera alternada. CONTRAEJEMPLO Las sucesiones que se forman al sumar un mismo número al término anterior reciben el nombre de progresiones aritméticas. Ë ■ Juana gasta $ 5 cada día. Encuentra los siguientes tres números que corresponden a los términos de cada sucesión. a) 12; 3; −6; −15; ... b) 8; 5; 2; −1; ... c) 38; 32; 26; 20; ... En una granja agrícola de la Costa ecuatoriana cada semana de enero y febrero se cosechan 80 kilogramos menos que en la semana anterior, si en la primera semana de enero se cosecharon 600 kg, ¿en la semana de qué mes se cosecharon 200 kg? 19 20 Actividades § Observa el procedimiento: — Restamos a cada número el término que está a su izquierda (el término anterior). — Si la diferencia que encontramos entre dos términos sucesivos es siempre la misma, esta será la cantidad que debemos sumar a un término para encontrar el próximo. — Como el término es negativo, debemos conservar el signo en la suma: 10 + (−5) = 10 – 5 = 5 25; 20; 15; 10; 5; 0 — Si se sigue el procedimiento, se encontrará un término más de la sucesión. ejemplo 3 25 20 15 10 5 0 Términos de la sucesión Los términos de una sucesión pueden estar relacionados entre sí por un número entero positivo, como en los ejemplos anteriores, o también por un número entero negativo. Juana recibe $ 25 a la semana. Si gasta $ 5 cada día, ¿para cuántos días le alcanzará el dinero? Para encontrar los términos de la sucesión debemos realizar el procedimiento aprendido en la página anterior: Las sucesiones pueden ser: Infinitas 0; 2; 4; 6; 8;... Finitas: 6; 4; 2; 0 Según el conjunto de números al que pertenezcan los elementos de la asociación. Ú FÍJATE 20−25 15−20 10−15 25 20 15 10 −5 −5 −5 20Distribución 2.3. Multiplicación y división exacta Veamos a continuación la multiplicación, la división exacta y las respectivas operaciones combinadas. Multiplicación Imagina un experimento en el laboratorio en el que se tenga que variar la temperatura 2 °C cada hora. La siguiente tabla refleja la temperatura en diferentes instantes. Temperatura Tiempo Ascenso (+2 °C por hora) Descenso (−2 °C por hora) Dentro de 4 h → (+4) La temperatura será 8 °C más alta (+8). (+4) × (+2) = +8 La temperatura será 8 °C más baja (−8). (+4) × (−2) = −8 Hace 3 h → (−3) La temperatura era 6 °C más baja (−6). (−3) × (+2) = −6 La temperatura era 6 °C más alta (+6). (−3) × (−2) = +6 Fíjate en los productos anteriores: el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos de los factores. Observa también que el signo es positivo si los dos factores tienen el mismo signo; y negativo, si tienen distinto signo. Este resultado se conoce como ley de signos. Para multiplicar dos números enteros: — Se escribe el signo dado por la ley de signos. — Se multiplican los valores absolutos de los factores. Ë Regla práctica para la multiplicación × + − + + − − − + Ley de signos Si se multiplican o dividen dos números enteros, el resultado es positivo mientras los dos posean el mismo signo. En cambio, si tienen signos diferentes entre sí, el resultado será negativo. Conmutativa Si cambiamos el orden de los factores, el producto no varía: a × b = b × a (+4) × (−2) = (−2) × (+4) (−8) = (−8) Asociativa En una multiplicación de varios factores, el producto no depende de cómo los agrupemos. a × (b × c) = (a × b) × c (+4) × [(−3) × (−5)] = [(+4) × (−3)] × (−5) (+4) × [+15] = [−12] × (−5) + 60 = + 60 (+4) × [(+2) + (−5)] = (+4) × (+2) + (+4) × (−5) (+4) × [−3] = (+8) + (−20) − 12 = − 12 Propiedad Enunciado Ejemplo Modulativa Todo número entero multiplicado por 1 da como resultado el mismo número entero. a × 1 = a (+ 6) × 1 = + 6 Distributiva con respecto a la adición y sustracción El producto de un número entero por una suma indicada de números enteros es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. a × (b + c) = a × b + a × c En una multiplicación de números enteros de tres factores, ¿cómo han de ser los signos de los factores para que el producto sea negativo? ¿Y para que sea positivo? Calcula: a) (+7) × (−2) d) (+6) × (−15) g) (−9) × (+5) b) (+4) × (+7) e) (+3) × (−7) h) (−5) × (−4) c) (−2) × (+2) f) (+5) × (+8) i) (+12) × (+3) Calcula: a) (+4) × (+2) × (−9) c) (−3) × (+4) × (−7) b) (−4) × (+1) ×0 d) (+3) × (−5) × (+2) 23 22 21 Actividades § 0 multiplicado por cualquier otro número es 0. 0 × (+4) = 0 0 × (−5) = 0 Ú FÍJATE En una expresión que resultó de aplicar la propiedad distributiva podemos encontrar un factor común que permita expresar nuevamente el producto de dos factores. a × b + a × c = a × (b + c) ejemplo 4 Ú FÍJATE ejemplo 5 ejemplo 6 Multiplicamos los valores absolutos del primer factor por los valores absolutos de cada sumando del segundo factor. Sumamos los resultados obtenidos. Resolvemos primero las multiplicaciones. En este caso el producto de lo que está dentro de los corchetes y el 0 es cero. La suma de un número entero y el cero siempre es el mismo número entero. Debemos expresar el ejercicio como el producto de dos factores. Sacamos el factor común, ese es el primer factor. El segundo factor es la suma de los factores que no son comunes. Operamos la suma que está dentro de los paréntesis. Multiplicamos. Aplica la propiedad distributiva: (−4) × [(−4) + (+9)]= (−4) × (−4) + (−4) × (+9) = (+16) + (−36) = −20 Encuentra el resultado: (+12 ) + [(−14) + (−7) – (+ 9)] ×0 (+12) + 0 = +12 Resuelve sacando factor común: (−3) × (+4) + (+ 6) × (+4) + (+5) × (+4) = (+4) × [(−3) + (+ 6) + (+5)] = (+4) × (+8) = + 32 22Distribución Las TIC y la Matemática Calcula mentalmente: a) (+35) ÷ (−5) d) (+28) ÷ (−7) b) (−18) ÷ (−3) e) (+40) ÷ (−4) c) (−70) ÷ (+10) f) (−14) ÷ (+2) Completa en tu cuaderno: a) (−476) ÷  = 14 c) (+242) ÷  = 11 b) (+140) ÷  = −4 d) (−512) ÷  = 16 Ordena de menor a mayor los resultados de las siguientes divisiones. a) (−1125) ÷ (−15) c) −25 ÷ op (−5) b) +1725 ÷ −75 d) op (−25 ) ÷ op (−5) Compara el resultado de dividir dos números enteros con el resultado de dividir sus opuestos. ¿Se cumple que el opuesto de la división entre dos números enteros es la división de los opuestos de dichos números? 27 26 25 24 Actividades § División exacta Para hallar uno de los factores de una multiplicación, conocido el producto, debemos efectuar una división. (−3) × ? = −24 → ? = (−24) ÷ (−3) Así, el número que multiplicado por −3 nos da −24 es +8. Por tanto, el resultado de dividir −24 entre −3 es +8. (−24) ÷ (−3) = +8 Fíjate en que el valor absoluto del cociente coincide con el cociente de los valores absolutos de los números dados: ⎮−24⎮ ÷ ⎮−3⎮ = ⎮+8⎮ Observa también que se cumple la ley de signos: • Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente es positivo. • Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo. Para efectuar la división exacta de dos números enteros: — Se escribe el signo dado por la ley de los signos. — Se dividen sus valores absolutos. Ë Algunas calculadoras poseen una tecla que permite cambiar el signo a los números. Acostumbra a llevar el símbolo o . Observa cómo efectuamos esta operación: 3 × (−5) − 2 = Fíjate en que hemos utilizado teclas diferentes para introducir los dos signos − de la secuencia anterior. ( ) 3 x ( ) 5 2 Si tu calculadora posee la tecla de cambio de signo, efectúa las siguientes operaciones. 3 × (−4) + 5 × 2 4 − 2 × (−5) + 7 6 × 3 − 4 × (−6) C1 Regla práctica para la división ÷ + − + + − − − + § Operaciones combinadas Ahora vamos a efectuar operaciones combinadas en las que haya adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Por convenio, el orden que se ha de seguir en las operaciones combinadas en que no aparecen paréntesis de prioridad es el siguiente: • En primer lugar, se efectúan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. • A continuación, las adiciones y las sustracciones. − 15 − 2 + 28 + 8 = = − 17 + 36 = 19 Orden de operaciones Ejemplo: 5 × (−3) − 2 − 4 × (−7) + 8 Si tuviéramos que efectuar primero una adición o una sustracción, debemos hacer uso del paréntesis para indicar esta prioridad. Así, en el ejemplo anterior, según dónde se pongan los paréntesis, se obtendrían distintos resultados: 5 × (−3 − 2) − 4 × (−7 + 8) = 5 × (−3 − 2 − 4) × (−7 + 8) = = 5 × (−5) − 4 × 1 = =5 × (−9) × 1 = = − 25 − 4 = =− 45 × 1 = = −29 = −45 a) Calcula: 4 × (−6 + 4) + 7 − 4 : (9 − 7) + 3 × (−6 − 2) — En primer lugar, realizamos las operaciones de los paréntesis. 4 × (−2) + 7 − 4 : 2 + 3 × (−8) — A continuación, efectuamos las multiplicaciones y las divisiones. −8 + 7 − 2 − 24 — Finalmente, realizamos las adiciones y las sustracciones. −8 + 7 − 2 − 24 = −8 − 2 − 24 + 7 = −34 + 7 = −27 b) Observa cómo se extrae el factor común: 6 × 2 − 6 × ( 4 ) 6 × ( 2 − 4 ) 6 × ( − 2 ) = − 12 ejemplo 7 Efectúa las siguientes operaciones. a) 12 + 6 × (−3) b) (−5) × 3 + (−2) × (−6) c) −9 − 6 × (−5) − 15 ÷ 3 − 4 d) − 3 × (−3) − 3 ÷ (−3) + 3 e) 6 ÷ (−3) − 16 ÷ (−4) f) −6 ÷ 3 + (−16) ÷ 4 Calcula: a) −[5 + 7 × (−3)] + 21 ÷ 7 − 4 b) 18 ÷ (6 × 2 − 3) − [16 − (−4) × 2] c) −[5 ÷ (−5) + 2 ÷ (−2)] − 10 ÷ (3 × 5 − 5) Resuelve sacando el factor común: a) 5 × (−3) + 5 × (−2) c) 9 × a − 9 × (−2) b) 6 × (−5) − (−4) × (−5) d) (−6) + 6 × b 30 28 29 Actividades § Recuerda que no pueden escribirse dos signos seguidos. Por ejemplo, para indicar que hemos de multiplicar 2 por −5, escribiremos: 2 × (−5) Ú FÍJATE 24Distribución 2.4. Potenciación y radicación Potencias Veamos cómo calcular las potencias de base un número entero y exponente un número natural según el signo de la base. No es lo mismo −22 que (−2)2. −22 = − (2 × 2) = −4 (−2)2 = (−2) × (−2) = 4 Ú FÍJATE Base entera negativa Hemos de tener en cuenta la ley de signos de la multiplicación. (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27 (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 Exponente impar Exponente par La base es un número natural y, por tanto, la potencia es siempre positiva. 33 = 3 × 3 × 3 = 27 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 Base entera positiva − + − + −− + − Podemos determinar el signo de una potencia observando su base y su exponente (tabla 2): — Si el exponente es par, la potencia es siempre positiva. — Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base. El número 0 elevado a cualquier número natural es igual a 0. Para operar con potencias de base entera y exponente natural, procedemos igual que en el caso de potencias de base natural. Exponente + + + − + − Par Impar Base ■ Tabla 2. Multiplicación de potencias de igual base Se conserva la base y se suman los exponentes. am × an = am+n (− 10)2 × (− 10)3 = (−10)2 + 3 (100) × (− 1 000) = (−10)5 − 100 000 = − 100 000 División de potencias de igual base Se conserva la base y se restan los exponentes. am ÷ an = am-n Si m > n
(−10)5 ÷ (−10)2 = (− 10)5 − 2
(−100 000) ÷ (100) = (− 10)3
−1 000 = − 1 000
(4 × 5)2 = 42 × 52
(20)2 = 16 × 25
400 = 400
Propiedad Enunciado Ejemplo
Potencia de potencia Se conserva la base y se multiplican los exponentes.
(am)n = am n
((− 10)2)3 = (− 10)2 × 3
(100)3 = (− 10)6
1 000 000 = 1 000 000
Potencia
de una división
Se eleva al dividendo y al divisor al exponente
indicado.
(a ÷ b)m = am ÷ bm
(25 ÷ 5)2 = 252 ÷ 52
52 = 625 ÷ 25
25 = 25
Potencia
de exponente 1
Toda base elevada al exponente 1 es igual
a la misma base. a1 = a (20)1 = 20
Potencia
de exponente 0
Toda base diferente de cero elevada al exponente
0 es igual 1. a0 = 1 ; a ≠ 0 (− 4)0 = 1
Potencia de un producto
Se eleva cada factor al exponente indicado.
(a × b)m = am × bm
Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número entero positivo b o cero, es el número entero
positivo a o cero, si y solo si: a2 = b. Se expresa:
En efecto, si tenemos el número entero a tal que a2 = b entonces:
Por tanto debemos concluir que:
Si el radicando es negativo, no existe raíz cuadrada, puesto que ningún
número entero elevado a la segunda potencia puede ser un número entero
negativo. Por ejemplo: .
Otras raíces
Las raíces de índice par se definen de forma parecida a las raíces cuadradas. Se concluye que no existe
raíz real de índice par si el radicando es negativo.
Por ejemplo, el número 81 es el resultado de elevar a la cuarta potencia el número 3. Así el número 3 es
la raíz cuarta de 81, .
Las raíces de índice impar se definen de forma parecida a las raíces de índice par, con la consideración
de que el radicando sí puede ser negativo, en ese caso la raíz también es negativa.
Por ejemplo, el número 125 es el resultado de elevar al cubo el número 5. Así el número 5 es la raíz cúbica
de 125, . Y el número −125 es el resultado de elevar al cubo el número −5. Así el −5 es la
raíz cúbica de -125, .
Sabemos que , ya que 4 2 = 16. En general, decimos:
Observa los ejemplos:
16 = 4
Según hemos visto, una potencia de exponente par siempre es positiva.
Por tanto, no existe número entero cuyo cuadrado sea un entero negativo.
;porque al no poder resolver la raíz no se puede
resolver la potencia. En general si b < 0 (b negativo) Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada en los enteros. Ë ËSean a, b enteros positivos o cero, entonces = a si y solo si a2 = b. Indica el signo de las siguientes potencias. a) (−7)3 c) (−2)32 b) 6 9 d) (−4)17 Escribe dos números que elevados al cuadrado den 121. 33 Calcula: a) b) 32 625 –961 31 Actividades § À b = a b a; si a ≥ 0 a a −a; si a < 0 = 2 = = b 25 = 5 − 25 = −5 − 25 ∉  ∉  125 5 3 − = − 81 3 4 = 125 5 3 = Si X se tiene que ⎮ X ⎮ = Ú FÍJATE ⎮ X ⎮ = ⎮ −X ⎮ MUCHO OJO 9 ∈  − x; x ≥ 0 −x; x < 0 (−2)2 = 4 = 2 2 ( −2) ∉=  −2 b2 b 2  ( ) 26Distribución Cómo resolver problemas 34 Aplica el método de resolución de problemas para resolver las actividades 64 a 82 de las páginas 31 y 32. Actividades § Método general de resolución de problemas A continuación, te presentamos un método de resolución de problemas que te servirá de pauta en este curso. Este método propone cuatro pasos. En las próximas páginas dedicadas a la resolución de problemas encontrarás una serie de técnicas y estrategias que te ayudarán en esta tarea, a veces ardua, pero siempre gratificante. Cuatro colegios participan en un torneo de ajedrez. Por cada colegio toman parte cuatro cursos y por cada curso hay cuatro alumnos o alumnas. ¿Cuántos estudiantes participan en el torneo de ajedrez? • No te desanimes si el camino escogido no te lleva a la solución o surge alguna dificultad: revisa cada uno de los pasos u opta por un nuevo procedimiento. • Debes confiar en tus capacidades y ser perseverante en la búsqueda de la solución. • Mantén siempre una actitud favorable a la revisión y mejora del resultado o del proceso seguido. Consejos útiles Pasos del método de solución de problemas Comprensión del enunciado Antes de abordar la resolución de un problema es muy importante entender su enunciado. Para ello: • Leemos atentamente el problema para entender el significado de todas las palabras y de los símbolos matemáticos, si los hay. • Interpretamos qué es lo que nos piden y localizamos los datos. Planificación de la resolución En esta fase planificamos la forma de resolver el problema: • Pensamos si podemos emplear una estrategia determinada. • Si conviene, confeccionamos esquemas, dibujos o construcciones. • Planteamos las operaciones que debemos efectuar, el orden de éstas... Ejecución del plan de resolución Ejecutamos el plan que nos habíamos trazado: • Aplicamos las estrategias escogidas en la fase anterior. • Efectuamos las operaciones. Debemos tener en cuenta la jerarquía al resolver una operación combinada. Revisión del resultado y del proceso seguido Finalmente, debemos comprobar si la solución obtenida está en concordancia con lo que pide el enunciado. • Revisamos cada uno de los pasos y nos aseguramos de que las operaciones son correctas. • Comprobamos si la solución cumple las condiciones del enunciado. Aplicación Leemos de nuevo el enunciado del problema y anotamos los datos y lo que nos piden. Datos: Número de colegios: 4 Número de cursos de cada colegio: 4 Número de alumnos/as de cada curso: 4 Nos piden: Número total de alumnos. Para conocer el número total de alumnos debemos efectuar un producto. Se trata de un producto de factores iguales; es decir, una potencia. 4 × 4 × 4 = 43 Calculamos el resultado de la potencia: 43 = 64. Comprobamos con la calculadora si el resultado obtenido es correcto. 4 3 = Síntesis En resumen ° El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales precedidos del signo +, los números naturales precedidos del signo − y el 0.  = {…, −365, …, −1, 0, +1, …, +365, …} ° El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene si suprimimos su signo. ° Dados dos números enteros cualesquiera, es mayor el que está representado más a la derecha sobre la recta. ° Con los números enteros efectuamos las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. ° En las operaciones combinadas en que no aparecen paréntesis de prioridad, el orden que se debe seguir es el siguiente: — En primer lugar, se efectúan las multiplicaciones y las divisiones, en el orden en que aparecen. — A continuación, las adiciones y las sustracciones. 5 + (−2) × (−1) − 6 ÷ 2 + (−8) = 5 + 2 − 3 − 8 = 7 − 11 = −4 ° Para determinar el signo de una potencia de un número entero vemos en la potenciación, su base y su exponente: — Si el exponente es par, la potencia es positiva. (−7)2 = +49 — Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base. (−7)3 = −343 ° Un cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son dos números enteros opuestos. Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada. 81 = ±9 están formados por con ellos podemos efectuar operaciones Números enteros al sumar el opuesto efectuamos Adición Sustracción Multiplicación División Potenciación Radicación utilizamos esta regla práctica su signo será de los enteros positivos Exponente + + + − + − Par Impar Base ÷ + − + + − − − + × + − + + − − − +  = + U { 0 } U − sucesiones con adición y sustracción 28Distribución Ejercicios y problemas integradores Rafael encontró en uno de los libros de su abuelo retazos de una hoja que contenía un ejercicio de matemática cuya respuesta era −65, el joven entusiasmado juntó los retazos y halló el resultado. Observa cómo lo hizo: • Resuelve primero lo que está dentro del paréntesis de la primera parte, asocia sumandos para facilitar la suma. La suma de los enteros negativos es opuesto a uno de los sumandos, entonces la suma de estos es cero. • En el primer radical si la base es negativa y el exponente impar, entonces la potencia es negativa, en el segundo, la base negativa y exponente par, resulta una potencia positiva. • En la tercera parte resuelve las operaciones de los paréntesis, multiplica los resultados aplicando la ley de los signos. • Ahora, se observa una potencia elevada a otra potencia, entonces, conserva la base y multiplica los exponentes. • Calcula las raíces, la primera es una raíz impar de un número negativo, entonces, la raíz es negativa. • Halla la raíz que está dentro de los corchetes en la última parte. • Resuelve considerando la prioridad de las operaciones, las reglas de la potenciación y la ley de los signos. Como la respuesta no coincide, prueba con otra opción, no realiza todo el proceso, utiliza únicamente las respuestas de cada ejercicio parcial y alterna los signos: Practica • Busca la forma de armar el siguiente ejercicio, para que la respuesta sea −1 Ernesto debe echar un balde de agua a cada uno de los quince árboles que tiene. Estos están colocados a una distancia de 4 metros entre sí a lo largo de un camino, y la distancia del primer árbol al grifo de agua es de 8 metros. Si cada vez lleva un balde de agua, ¿qué distancia habrá recorrido hasta regar los quince árboles, considerando que deja el balde junto al grifo? • (–4 + 2 – 6 + 10) (–2) x 2 3 5 5 (–5)2 (36 ÷ 4)(– 12 + 7 + 2) 3 2 + – (+2) 2 3 5 –32 x 25 3 9(–3) 2 = 5 –32 x 25 (+2) 2 3 2 + – + – 3 –27 (+2) 6 + (–2) x 5 – [–3] 2 = 64 – 10 – 9 = 45 (+2) 6 (–2) x 5 [–3] 2 = [–3] 2 (+2)6 (–2) x 5 = 9 64 (–10) = 9 – 64 –10 = –65 + + + – – – 3 (28 ÷ 4)(– 8 + 4 + 3)2 5 (–27)(–3)(5 – 2) 2 (12 ÷ (–4) – 6 + 10) – + 2 3 • 4 m 8 m • Este problema lo podemos resolver aplicando los conocimientos de sucesiones y números enteros, observa: a) Ernesto para regar el primer árbol y dejar el balde en su lugar debe recorrer 8 m de ida y 8 m de regreso. Primer viaje de ida y vuelta: a1= 16 m b) Para regar el segundo árbol debe recorrer 12 m de ida y 12 m de regreso. Segundo viaje de ida y vuelta: a2= 24 m c) Para regar el tercer árbol debe recorrer 16 m de ida y 16 m de regreso. Tercer viaje de ida y vuelta: a3= 32 m d) Formamos la sucesión cuya diferencia entre un término y el anterior es ocho: 16, 24, 32… e) Ernesto siempre recorre 8m entre árbol y árbol al ir y volver. f) Sumamos 8, 12 veces más para obtener la distancia recorrida del grifo al último árbol de ida y vuelta. 16, 24, 32, 40, 48,… 128 +8 +8 15 1 1 n 16 + (15 − 1) × 8 = a Diferencia = d Cualquiera de las distancias recorridas. Lugar que ocupa cualquiera de los árboles = n Primer árbol primer viaje = a a + (n − 1) x d = a n 1 a = a + (n − 1) x d • Otra forma de hallar la distancia entre el primer y último árbol es: a) Entre el primer y último árbol hay 14 espacios, lo expresamos: 15 − 1 b) Ernesto recorre 12 veces 8m entre el primer y último árbol: (15 − 1) × 8 m. c) A la distancia recorrida entre el primer y último árbol debemos añadir la distancia que hay entre el grifo y el primer árbol: 16 m + (15 − 1) × 8 m = 16 m + 14 × 8 m = 128 m • Si utilizamos letras para los elementos de este problema, obtenemos una fórmula que nos ayudará a encontrar cualquier término de una progresión aritmética. • Ahora debemos determinar la distancia total que recorrió Ernesto al regar todos sus árboles. Para ello deberíamos sumar todos los términos de la sucesión que formamos: 16 + 24 + 32 + 40 + 48,...+ 128 = 1 080 m R: Ernesto recorre aproximadamente 1 km. Practica Un estudiante se propone el día 1 de marzo repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de marzo? Ejercicios y problemas 30Distribución Números enteros Expresa las siguientes situaciones mediante números enteros. a) El club de fútbol perdió 1500 socios. b) El globo aerostático ascendió 114 m. c) El auto está estacionado en el segundo subsuelo. d) Hemos subido tres pisos. Representa los siguientes números enteros sobre una recta numérica. −2, 7, −5, 3, 0, 11 Indica qué números enteros se han señalado con rojo en la recta numérica de la siguiente figura. Determina los valores absolutos de estos números enteros. 23, −12, 55, 0, 320, 814, −1955 Completa con todas las posibles opciones. ⎮.......⎮ = 12 ⎮.......⎮ = 170 ⎮......⎮ = 55 Representa en una recta numérica los posibles valores de m, n y p. m  = 3 n  = 10 p  = 5 Escribe el signo > o < entre los números enteros de cada uno de los siguientes pares. −6 y +4; +3 y 0; −2 y 2; −5 y −8 Ordena de menor a mayor esta serie de números enteros. −12, +14, 0, +12, −14 Indica si estas frases son ciertas o falsas. a) Entre −3 y 3 hay seis números enteros. b) El número entero −6 es mayor que el número entero −5. c) Existen cinco números enteros cuyo valor absoluto es menor que 3. Operaciones Efectúa las siguientes adiciones. a) (+3) + (+12) c) (−6) + (−19) + (−7) b) (−15) + (+28) d) (+16) + (−35) + (+12) Comprueba que se cumple la propiedad conmutativa en cada uno de los apartados del ejercicio anterior. Representa las siguientes adiciones de números enteros sobre una recta y calcula el resultado. a) (−8) + (+2) c) (−18) + (+5) b) (+5) + (−6) d) (+15) + (−16) Di qué nombre recibe la siguiente propiedad de la adición de números enteros. (a + b) + c = a + (b + c) — Comprueba que se cumple sustituyendo a, b y c por tres números enteros. Expresa en forma de adición y efectúa: a) (+15) − (−4) c) (−5) − (+8) b) (−9) − (−7) d) (+13) − (+18) Indica si es cierta esta frase: «El opuesto del opuesto de −3 es −3». Debemos comprobar si op [op (−3)] = −3. Primero, calculamos el valor del interior del corchete y, a continuación, su opuesto. op (−3) = +3 op (+3) = −3 Por tanto, la frase es cierta. ¿Cuál es el opuesto del opuesto de 7? Encuentra algún número entero que cumpla la igualdad op (....... + 3) = −5. Determina los números enteros que cumplen la igualdad ⎮...... + 3⎮ = 5. Calcula: a) ⎮+6 ⎮ + ⎮−7 ⎮ c) ⎮(−12) + (+18) + (−6) ⎮ b) ⎮+5 ⎮ + ⎮−5 ⎮ d) ⎮(−3) + (+17) + (−18) ⎮ 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 0 9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos En tu cuaderno Efectúa, eliminando los paréntesis. a) (−17) − (+13) − (+5) + (+14) − (+45) b) (+17) + (−13) + (−5) − (−14) + (−45) Efectúa: a) − [(6 − 3) − (12 + 4)] − (8 + 3) b) − [(+4) − (−3) − (+6) + (−4)] c) − [(−5) − (7 − 12 + 9) + 2] − 2 Encuentra los dos siguientes términos de cada sucesión. a) 0, 4, 8, 12, ... b) −5, −3, −1, 1, ... c) 7, 5, 3, 1, ... d) 25, 15, 5, -5, ... Calcula: a) (−4) × (+3) d) (−14) × (+2) b) (+2) × (−9) e) (−5) × (−7) c) (−6) × (−12) f) (−20) × (+4) Efectúa: a) (+24) ÷ (+6) d) (+225) ÷ (−5) b) (−81) ÷ (+9) e) (−369) ÷ (−3) c) (−15) ÷ (−5) f) (−921) ÷ (+3) Calcula: a) (+8) × (−17) × (+5) ÷ (−2) b) (−4) × (−35) × (−18) ÷ (−9) ÷ (+7) Calcula: a) −8 − [21 ÷ (−3)] + [6 × (−2) − 7] b) −[−6 ÷ 2 − 4 × (−5)] × (−2) − 2 Escribe las siguientes potencias como productos de factores iguales y luego calcula. a) (−7)3 c) 28 e) −24 b) −43 d) (−4)2 f) (−3)4 Escribe cada número en forma de una potencia de base negativa: a) 81 b) −8 c) 49 Calcula: a) b) c) d) e) f) Aplicación en la práctica Calcula el cambio de temperatura sufrido en la región de la Sierra Ecuatoriana que pasó de +20 °C a −2 °C. Pitágoras nació en el año 572 a. C. y murió en el 497 a. C. y Aristóteles murió en el año 322 a. C. ¿Cuándo nació Aristóteles si vivió 13 años menos que Pitágoras? Calcula la distancia que separa un avión que vuela a 1 800 m de altitud de un submarino situado a 170 m por debajo del nivel del mar. Una araña que se encuentra a 100 cm del suelo sube 10 cm, después desciende 30 cm y, a continuación, baja otros 20 cm. ¿A qué distancia se halla del suelo? Determina los años transcurridos entre la fundación de Roma el 753 a. C. y la caída del Imperio romano de Occidente el año 476. Un ascensor se encuentra en una determinada planta. Sube 3 pisos, hace una parada y sigue subiendo otros 7. A continuación, baja 6 pisos y se encuentra en la séptima planta. ¿En qué planta se hallaba inicialmente el ascensor? Un padre da 10 dólares a cada uno de sus tres hijos. Si éstos gastan, en conjunto, 22 dólares, determina el dinero que les queda. Un conductor se encuentra en el kilómetro 100 de la carretera hacia Lago Agrio, regresa 30 km y a continuación avanza de nuevo por la misma carretera recorriendo dos trayectos del mismo número de kilómetros, encontrándose al final en el kilómetro 190. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en cada uno de los dos trayectos? Un globo asciende a una velocidad de 3 m cada minuto. En este momento se encuentra a 15 m sobre el nivel del mar. a) ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encontraba hace 3 minutos? b) ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encontrará dentro de 2 minutos? El día de Navidad, al mediodía, la temperatura en la parte nevada del Chimborazo era de 4 °C. Cada tres horas la temperatura bajó 2 °C y a partir de las 9 de la noche la temperatura bajó 1 °C cada hora. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a medianoche? 289 14 884 123 904 64 73 72 71 70 69 68 67 66 65 63 62 61 60 59 58 57 55 54 56 8 3 32 5 81 4 À . 32Distribución Material concreto: Elabora fichas con los números enteros del -8 al 7. Luego, construye un cuadrado mágico de manera que al colocar las fichas, cada fila, cada columna y cada diagonal sumen −2. Una familia de El Oro, de seis miembros, dispone de 1 047 dólares cada mes. Los gastos medios fijos son: $ 200 de arriendo; $ 38 de agua potable y luz eléctrica; $ 584 de otros gastos, como alimentación, vestido, transporte... — Expresa mediante operaciones combinadas la cantidad de dinero que pueden ahorrar en un mes. — ¿Podrían comprar con lo que ahorren en 4 meses un computador que cuesta $ 1 200? Un cuestionario consta de 15 preguntas de las cuales cinco puntúan 2 puntos; cinco puntúan 4 puntos, y otras cinco puntúan 6 puntos si se aciertan. En caso de fallar, se resta la mitad de la puntuación. a) ¿Cuál es la máxima puntuación que puede obtenerse? ¿Y la mínima? ¿Qué diferencia hay entre las dos puntuaciones? b) ¿Cuál es la puntuación obtenida por un compañero que solamente se ha equivocado en una pregunta de 2 puntos y en dos de 6 puntos? Beatriz estaciona su automóvil en el subsuelo del edificio donde trabaja, y su oficina se encuentra en la última planta. Para hacer ejercicio, cada mañana sube por las escaleras los doce tramos de escaleras que separan el auto de la oficina. Si sabemos que entre dos pisos consecutivos hay tres tramos de escalera, ¿en qué planta se encuentra su despacho? Un ciclista acaba la cuarta etapa de la vuelta ciclística al Ecuador en la tercera posición de la clasificación general. No recuerda sus posiciones anteriores pero sabe que en la segunda jornada ganó 7 puestos, que en la tercera perdió 3 y que en esta cuarta ha ganado 11. Calcula la posición en que acabó el primer día. Formen grupos de trabajo y efectúen las siguientes operaciones: — Escriban individualmente el día y el mes de su nacimiento. Resten el día al mes. — Sumen todos los resultados obtenidos. — Resten cada uno el mes de nacimiento del día de nacimiento y sumen los resultados. ¿Cómo son los dos resultados obtenidos? Formen grupos de trabajo y, en los periódicos o en Internet, busquen información relativa a las temperaturas de los últimos 3 días. — Elijan en el grupo una provincia distinta y busquen las temperaturas máxima y mínima de cada uno de los tres días. — Elaboren para cada provincia una tabla en la que aparezcan las temperaturas máxima y mínima, y la diferencia entre ambas de cada día. Remarquen la máxima y la mínima absolutas. — Comparen los resultados obtenidos. Entra en esta dirección de Internet: http://www. amejor.com/mates/matematicos/braha.htm, y busca la fecha de nacimiento de Brahmagupta y su principal obra. Accede en la página de Internet: http://www.egiptologia. com/historia/tresmil/tresmil.htm, y busca qué faraón mandó construir la pirámide de Gizeh y hace cuántos años comenzó su dinastía. Más a fondo Calcula y escribe el signo >, < o = entre cada uno de los siguientes pares de números. a) ⎮ (+2) + (−6) ⎮ y ⎮ (+2) ⎮ + ⎮ (−6) ⎮ b) ⎮ (−7) + (+7) ⎮ y ⎮ (−7) ⎮ + ⎮ (+7) ⎮ c) ⎮ (+4) + (+4) ⎮ y ⎮ (+4) ⎮ + ⎮ (+4) ⎮ — Deduce la regla que cumple el valor absoluto de la suma de números enteros. Completa en tu cuaderno con los números 4 o 5. a) ..... + op (.....) + ..... + op (.....) + ..... + op (.....) = −3 b) ..... × ..... + op (..... × .....) + ..... + op (.....) = −3 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 −8 5 6 −2 −3 2 0 7 : @ @ _ _ En tu cuaderno Demuestra tu ingenio Buen Vivir Adivinanza Dime qué es, que cuánto más le quito, más grande es. Consigue el 0 Copia esta figura en tu cuaderno y complétala con los números propuestos para que cada círculo sume 0. ¿Sabes que el Ecuador posee una gran variedad climática a lo largo de su territorio? Debido a ello, se observan distintas vestimentas según las diferentes culturas y condiciones geográficas. En la Costa, las islas Galápagos y Amazonía, las temperaturas oscilan entre los 20 °C y 35 °C; la ropa es ligera, por lo general de colores claros para impedir que los rayos del sol y el calor se concentren en los tejidos. En la Sierra, las temperaturas se ubican entre los 8 °C y 26 °C, y los nevados pueden llegar a temperaturas bajo 0 °C. Por esto, se necesitan vestimentas que protejan el cuerpo. Aquí, tradicionalmente, los pueblos y nacionalidades han recurrido a materiales como la lana de ovejas o de llamas. Cuando se realizan actividades como el andinismo, es fundamental que sepamos proteger nuestro cuerpo del frío y mantenerlo en buen estado para enfrentar las condiciones del entorno. Actividades ¿Cómo es y de qué prendas se compone la vestimenta que utilizan las personas de su localidad? ¿Qué pasaría si una persona que vive en la Sierra alta utilizara la vestimenta propia de la Costa? Investiguen cómo es la forma de vestir en dos localidades de la Costa, dos de la Sierra, dos de la Amazonía y las Islas Galápagos. Escriban fichas con los siguientes datos: ° Nombre de la localidad: ° Ubicación geográfica: ° Altitud de la región: ° Tipo de vestimenta: Luego, realicen una exposición en la clase. Pueden ayudarse de fotografías, diapositivas o dibujos. ¿Qué revelan las diferentes temperaturas que hay en nuestro país? ¿Pueden decir que somos diversos en este aspecto? ¿Por qué? ¿Qué pueden hacer para mostrar al mundo nuestra riqueza, diversidad climática y regional? ¿Cómo podemos aprovechar la diversidad y riqueza climática? ¿Qué podemos hacer para preservar el clima de las regiones naturales de nuestro país? 1 2 3 4 5 6 7 Una vez que lo hayas resuelto, te será fácil construir tú mismo un juego similar. Tres doses Con tres doses y las operaciones necesarias pueden obtenerse muchos números. Así, por ejemplo, tenemos: 222 2 × 2 × 2 = 8 22 − 2 = 20 −2 − 2 − 2 = −6 − (−2) − 22 = −2 3 ¿Cómo conseguirías obtener 16? ¿Y −16? −2 −1 −5 −4 7 5 1 2 0 6 4 −3 −6 Buen Educación para la salud Vivir _ 34Distribución Historia Sección de historia Autoevaluación Los babilonios, los egipcios y los griegos no consideraban los números enteros negativos. Los árabes rechazaban los números negativos pese a conocer los trabajos hindúes. Durante el Renacimiento, algunos matemáticos empezaron a utilizar números negativos como instrumento de cálculo. Otros se negaron tan siquiera a considerarlos. En el siglo XIX, los números negativos se aceptaron definitivamente como números y dejaron de ser un mero instrumento de cálculo. Los chinos representaban los números positivos con varillas negras. Los números negativos, que eran considerados un mero instrumento de cálculo, se representaban con varillas rojas. El hindú Brahmagupta introdujo en el año 628 los números negativos para indicar deudas, así como algunas de sus reglas de cálculo. Cuatro menos seis igual a dos. menos igual Vieta Los descarta. Son un mero Los acepta. símbolo. G. Cardano J. Wallis Te debo 1 saco: tengo −1 saco. Los números negativos no tienen sentido. 1. Escribe tres frases, referidas a situaciones cotidianas, en las que utilices números enteros. 2. Determina cuáles son los números enteros señalados en la siguiente recta numérica. 3. ¿Es cierto que si el valor absoluto de un número entero es mayor que el de otro, el primer nú mero entero es mayor que el segundo? — Indica cuál es el número entero mayor de cada uno de los siguientes pares. −4 y 6; −2 y −3; 0 y −6; 5 y −9 4. Resuelve: a) 3 × (−6) ÷ 9 b) (−22) ÷ 11 × (−3) 5. Calcula: a) −27 b) (−2)5 c) (−3)4 1. Representen sobre una recta numérica los siguientes números enteros y escríbanlos ordenados de menor a mayor. +2, −3, −1, +5, −4, +6, 0 2. Calculen de dos maneras la siguiente operación: 3 − (−6 + 4) − 3 − (−3 − 17) 3. Realicen las operaciones: a) −2 × 6 + 9 ÷ 3 b) −[−8 ÷ 2 + 3 × (−2) + 5] 4. Escriban dos números que elevados al cuadrado den 169. 5. Eva tiene 4 años más que su hermana Ana. Ana tiene 2 años menos que su amigo Juan. Éste tiene 7 años menos que su hermano Andrés, quien, a su vez, tiene 22 años menos que su padre, que ahora tiene 51 años. Calculen la edad de Eva. Coevaluación Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar. –325 –1 0 525 ¿Qué hora es en...? Estamos habituados a ver en televisión imágenes en directo de situaciones que están ocurriendo a miles de kilómetros. En ocasiones, aparecen simultáneamente imágenes de día y de noche, de ayer y de hoy. ¿Es posible? En el siguiente mapa podemos observar las diferencias horarias entre las distintas zonas del planeta. De igual forma, existen páginas en Internet que nos indican la hora exacta en cualquier ciudad del mundo. Observa cómo hay países muy extensos geográficamente como Estados Unidos y Rusia en los que la diferencia horaria entre dos puntos del mismo país llega a ser de varias horas. Hoy es... La respuesta no es única. Habitualmente, utilizamos el calendario gregoriano que nos indica el tiempo transcurrido desde el nacimiento de Jesucristo. Pero en otras zonas o culturas los puntos de partida son otros hechos significativos. En China, aunque desde 1911 se utiliza oficialmente el calendario gregoriano, también hay quien cuenta los años desde el nacimiento del Emperador Amarillo, Huangdi, el primer emperador de China el 2697 a. C. El calendario musulmán comienza a contar desde la Hégira, la huida de Mahoma a Medina, en el año 622 de nuestra era. El calendario judío empieza con la creación del mundo según Samuel, que corresponde al año 3761 antes de Jesucristo. Los hindúes cuentan los años en eras. La era oficial, Saka, comenzó el año 78. El calendario japonés comienza el 660 a. C., año en que se coronó al primer emperador del Japón, Jinmu. Chino 4708 Musulmán 1389 Judío 5772 Hindú 1933 Japonés 2671 Calendario Año Gregoriano 2011 Crónica matemática Ejercicios y problemas 35. a) −1 500 socios; b) +114 m; c) −2 piso; d) +3 pisos. 37. −6 ; −1; +2, +7. 39. +12 y −12; +170 y −170; +55 y −55 41. −6 < +4; +3 > 0; −2 < 2; −5 > −8.
43. a) Falsa. Entre −3 y 3 sólo hay cinco números enteros: −2, −1, 0,
1 y 2.
b) Falsa, ya que | −6| > |−5|.
c) Cierta. Los cinco números enteros son: −2, −1, 0, 1 y 2.
45. a) +15 b) +13 c) −32 d) −7
47. Asociativa. Respuesta abierta.
51. op (?) = −5 → ? = +5
? + 3 = +5 → ? = +2
El entero +2.
53. a) 13; b) 10; c) 0; d) 4.
55. a) 2; b) 3; c) 5.
57. a) −12; b) −18; c) 72; d) −28; e) 35; f) −80.
59. a) 340; b) 40.
61. a) −343; b) −64; c) 256; d) 16; e) −16; f) 81.
63. a) ±17; b) ±122; c) ±352; d) 2; e) 2; f) 3.
65. Pitágoras vivió 75 años.
Aristóteles vivió 62 años.
Aristóteles nació el año 384 a. C.
67. Se encuentra a 60 cm del suelo.
69. Inicialmente estaba en la planta 3.
71. En cada uno de los trayectos ha recorrido 60 km.
73. 4 + 3 × (−2) + 3 × (−1) = −5
A medianoche la temperatura era −5 °C.
75. En un mes ahorran 966 dólares.
— Sí, ya que en 4 meses ahorrarían 4 × 966 = 3 864 dólares.
77. Su oficina está en la planta 7.
79. Son dos números opuestos.
81. Nació en 598. Su principal obra es Brahmasphutasiddhanta (Sistema
revisado de Brama).
83. a) 4 < 8; b) 0 < 14; c) 8 = 8. El valor absoluto de la suma de dos o más números es menor o igual que la suma de los valores absolutos de dichos números. Demuestra tu ingenio Consigue el 0 Tres doses (2 2) 2 = 42 = 16; −(2 2) 2 = −42 = −16 Adivinanza Un agujero. Buen Vivir 5. La diferencia es de 31 °C. Autoevaluación 1. Respuesta sugerida: El auto está en la planta −3. La temperatura pasó de +5 °C a −3 °C. El submarino llegó a −1 400 m. 3. No, puesto que el primer número podría ser negativo y el segundo positivo. Por ejemplo, −5 > +3 pero −5 < +3. — Los números mayores de cada par son: 6, −2, 0 y 5. 5. a) −128; b) −32; c) 81. Coevaluación 1. −4 < −3 < −1 < 0 < +2 < +5 < +6 3. a) −9; b) 5. 5. 51 − 22 − 7 − 2 + 4 = 24 Eva tiene 24 años. Ejercicios y problemas 57. Respuesta abierta. 59. ; ; ; 61. a) = 1,8; b) = 1,4; c) = 0,375; d) = 0,5. 63. Propia, impropia , igual a la unidad , impropia , impropia , propia e impropia .