NUMEROS COMPLEJOS EN TRIGONOMETRIA EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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OBJETIVOS :
* Conocer la estructura analítica y algebraica de los números complejos y sus principales elementos(operaciones algebraicas y vectores en un plano)
* Representación de los complejos como puntos en un plano. Representación polar.
* Conjugado de un complejo. Módulo, distancia, raíces de un complejo.
*Operar con números complejos en sus formas binómica y polar.
* Resolver gráfica y analíticamente las operaciones con números complejos.
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INTRODUCCIÓN :
A lo largo de la Historia , el hombre ha ido ampliando los tipos de números que utilizaba, según lo demandaban sus necesidades. Así, para contar objetos descubrió los números naturales. Más tarde los chinos comenzaron a usar números negativos y positivos. Cuando se tuvo que contar las partes de un todo aparecieron los números racionales. Ya los griegos se encontraron con cosas que no se podían medir con fracciones. Por eso crearon los números irracionales. No fue hasta el siglo XVI cuando la comunidad matemática observó la necesidad de unos números muy especiales. Tan especiales eran que les llamaron
imaginarios, como indicadores de que la realidad no los necesitaba. El tiempo vino a darles el lugar que se merecen.

La ecuación x2=-49 no tiene solución real, porque no hay un número real que elevado al cuadrado dé -49, pues el cuadrado de todo número real es un número no negativo.
De manera similar se sigue que no hay raíces cuadradas reales de números negativos.
Se ve entonces que para considerar raíces cuadradas de números negativos se debe tratar con números reales. Luego se procede ahora a desarrollar un conjunto de números que contenga el conjunto de los números reales como subconjunto y también las raíces cuadradas de números negativos. Se denota tal conjunto de números por y se llama el conjunto de los números completos.

Se desea definir operaciones de adición + y multiplicación . en tal que las propiedades de la adición y multiplicación ense cumplan.

En primer lugar, el conjuntoes tal que el número real -1 tiene una raíz cuadrada. Sea i el símbolo para un número en cuyo cuadrado es -1, esto es, se define i como un número tal que:

Como todo número real es un elemento de , se sigue que si , entonces la multiplicación en debe ser cerrada (o debe cumplir la propiedad clausurativa), entonces bi debe ser un elemento de . Ademas, si , entonces el número a+bi debe ser un elemento de. Ahora entonces se tiene el conjunto que se define formalmente así:

NÚMERO COMPLEJO
Un número complejo Z es la pareja ordenada (a;b) de números reales a y b, es decir: Z=(a;b) sujeto a ciertas reglas y leyes donde:

a : parte real del número complejo

b:parte imaginativa del número complejo

* La pareja (x;0) se identifica con el número real x , mientras que una pareja del tipo (0;y) es un número imaginario puro.

* La pareja (0;1) se llama la unidad imaginaria i.

DEFINICIÓN :
Sea el conjuntodonde cuyos elementos satisfacen las operaciones

I) Z1+Z2=(x1; y1)+(x2; y2)=(x1+x2; y1+y2)

II) Z1Z2=(x1; y1)(x2; x2)=(x1x2-y1y2; x1y2+ y1x2)

A cada elemento (x;y) del conjunto se denomina número complejo y se denota por:

* Es decir :

Ejemplo :
Sean: Z1=(3;5) y Z2=(2;0)
Entonces:
Z1+Z2=(3+2 ; 5+0)=(5; 5)
Z1Z2=(3×2 -5×0 ; 3×0–0×5)=(6;0)

Observación :
* Como:

* Entonces:

* Vemos ahora que si Z=(a;b), entonces Z=a+bi
Ejemplos:

* (-2;7)=-2+7i

REPRESENTACIÓN
GEOMÉTRICA DE LOS
NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos pueden representarse por puntos de un plano. Un número complejo se representa gráficamente en un plano de números complejos (llamado también plano de Gauss o diagrama de argand), el cual usa el eje horizontal(eje real) para ubicar la parte real; y el eje vertical para ubicar la parte imaginaria (eje imaginario), de los números complejos. Entonces, el número complejo Z=(x;y), puede representarse por un punto de abscisa x y ordenada y.

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Hemos ya tratado los números complejos en la forma: a+bi, ahora, debes tener presente que cuando los números complejos están en correspondencia uno a uno con los puntos del plano cartesiano, (plano de Gauss).
* Sea: Z=a+bi

* Del gráfico anterior:
* Como:

* Donde:

* El número real no negativo se denomina valor absoluto(o módulo)del número complejo y se escribe |a+bi|

* El ángulo asociado al número z=a+bi se denomina argumento de z (arg(z)).

Como consecuencia de la ecuación (I), tenemos

A la expresión anterior se denomina: forma polar o trigonométrica del complejo z.

OBSERVACIONES :
* La notación: es frecuente expresar la por , es decir:

* El ángulo asociado al número z no es único, porque al sumarle, el ángulo también será argumento de z.
Ante dicha eventualidad consideramos argumento principal de z(arg(z)) como

* En general:

Ejemplo 1:

Determinar la forma trigonométrica de:

RESOLUCIÓN:

* Gráficamente:

* Luego :

Observación :
Para calcular el argumento de “Z” se debe observar en qué cuadrante se encuentra el afijo de “Z” y luego calculamos a partir de:

Ejemplo 2:
Determine la forma polar del siguiente número complejo:

RESOLUCIÓN:
* De:

* Graficando:

* Luego:
* Es decir:
* En general:
* Finalmente:
* Es equivalente a:

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
* Dados los números complejos:

I) MULTIPLICACIÓN :

Ejemplo:
* Sea: Z=3(cos25° + isen25°)
W=2(cos20° + isen20°)
* Luego:
ZW=6[cos(25°+20°)+isen(25°+20°)]
ZW=6[cos45°+isen45°]

II) DIVISIÓN :

Ejemplo :
* Sean:

* Luego:

III) POTENCIACIÓN (TEOREMA DE MOIVRE)

Ejemplo :

* Dado: Z=2(cos20°+isen20°)

* Calcular: z9
RESOLUCIÓN:

En General :
Para un ángulo arbitrario y cualquier número entero n se cumple:

* En particular si n es un entero positivo, entonces:

IV) RADICACIÓN :
La raíz de un complejo es en forma general, otro complejo y tiene tantas soluciones como lo indique el índice de la raíz.

Para:
k=0;1;2;……;(n-1), se obtienen las “n” raíces.
Ejemplo :
* Hallar las tres raíces de:
RESOLUCIÓN:

* Si:

* Si:

* Si:

* Finalmente:

* Geométricamente:

Propiedades :

II) La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual a cero.

III)

IV) En general “W” elevado a una potencia múltiplo de tres es igual a la unidad.

FORMA EXPONENCIAL
DE UN NÚMERO COMPLEJO
* Sea z=a+bi, para z se define:

* Si:

* Luego al número complejo:

* Donde es un número real medido en radianes, se denomina exponencial compleja.

* “e” : es el número de Euler:
* En términos de la exponencial compleja, la forma polar de un número complejo:

* Se puede expresar como:
A dicha expresión se conoce como forma exponencial del complejo z.
Ejemplo :
Expresar: Z=1+i; en la forma exponencial.
RESOLUCIÓN:
* Calculamos el módulo de Z:

* Calculamos el argumento principal:

OBSERVACIÓN :
* Se define del cálculo que para todo número real “x” se tiene la serie infinita.

* La igualdad anterior significa que la suma de los n primeros términos del segundo miembro es un valor aproximado para ex y que esa aproximación se puede hacer como se desee, al tomar n suficientemente grande.
* Desde mucho antes de EULER se conocían los desarrollos en serie de senx y cosx:

* El desarrollo en serie de ex pera x real sugiere de modo evidente la definición de la exponencial ez,donde z=x+i y es un número complejo, basta escribir.

* En el caso particular en que z=iy es un número imaginario puro, tomando en cuenta los valores de las potencias sucesivas de , reemplazando y agrupando los términos se tiene.

NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
Dado el número complejo se define el conjugando del número complejo Z como (x-iy) y se denota tal que .

Nótese que ;es decir dos números complejos son conjugados entre si cuando sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias solo se diferencian en signo. Interpretando geométricamente los puntos que representa los números conjugados son simétricos con respecto al eje real. Los módulos de los números complejos conjugados son iguales, es decir:

y los argumentos se diferencian en el signo, es decir:

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS :

PROPIEDADES DEL MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

RELACIÓN ENTRE LA FORMULA DE MOIVRE Y EL BINOMIO DE NEWTON
* Sabemos que:

* También:

* De estas dos expresiones, se deduce que:

Donde es el binomio de Newton además se conoce Desarrollando el binomio

Por igualdad de números complejos :

Adicionalmente Dividiendo entre cosn x al numerador
y denominador:

Ejemplo :
Exprese en términos de , el
RESOLUCIÓN :
Por lo anterior, tenemos:

* Luego:

OBSERVACIÓN :
* Así mismo de la forma exponencial (forma de EULER), tenemos:

* Luego (I)+(II):

* Tambien (I)-(II):

* Ahora si reemplazamos en las relaciones anteriores por Z, en general tenemos:

* Las otras cuatro funciones trigonométricas, definidas en términos de las funciones seno y coseno serán:

* También se puede demostrar que:

Vemos pues que todas las relaciones conocidas de la trigonometría entre las funciones trigonometrícas de argumento real se conservan tambien en el campo complejo.
No obstante, de la fórmula anterior no podemos concluir que: .
Puesto que por lo general cos2z y sen2z no son números reales.
* Vemos a continuación la relación entre las funciones trigonométricas senz y cosz y las funciones hiperbólicas senhz y coshz, definidas como:

* Donde:
senhz: se lee seno hiperbólico de z.
coshz: se lee coseno hiperbólico de z.

* Cuando z=x es real éstas funciones toman valores reales.

* Ahora bien si comparamos las fórmulas para coshz y senhz con las fórmulas para cosz y senz notaremos que entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas existen las siguientes relaciones:

* De aquí, deducimos:

GRÁFICO DE REGIONES
La parte real , parte imaginaria , módulo |Z| y argumento Arg(Z) son números reales, donde Z=x+iy; entonces se pueden relacionar mediante una igualdad o desigualdad con otras cantidades reales representarlos en el plano complejo como lugares geométricos o regiones donde se ubican los números complejos.
Ejemplos :
Ubique todos los números complejos cuya parte real es igual a 2.
RESOLUCIÓN:
* Los puntos pertenecientes a la recta vertical x=2
es el lugar geométrico donde se ubican todos los números complejos cuya parte real es igual a 2.

Gráfica: |Z|=4
RESOLUCIÓN:
En esta circunferencia, se ubican todos los números complejos z cuyo módulo es |Z|=4
* Todos los números complejos que se ubiquen en la región interna de la circunferencia de radio r tienen el módulo menor que r.

Observación :
* Todos los números complejos que se ubiquen en la región interna de la circunferencia de radio r tienen el módulo menor que r.

* En la región sombreada se ubican todos los números complejos Z que cumplen.

|Z|< r ó x2+y2