NUMERACION EN LOS NUMEROS NATURALES EJERCICIOS DE SEXTO DE PRIMARIA PDF

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ARITMÉTICA

Números Naturales

* Numeral
* Sistema posicional de numeración
– tablero posicional
* Valores de una cifra
* Descomposición de un número
a) Por el orden de sus dígitos.
b) Por notación desarrollada.
c) Por descomposición polinómica
* Cambios de base
– De base “n” a base “m”
* Comparación de números naturales
* Relación de orden
NÚMEROS NATURALES

SISTEMA DE NUMERACIÓN

NUMERACIÓN.

Es la parte de la Aritmética que nos enseña a expresar y escribir correctamente los números y puede ser hablada o escrita.

NÚMERO.
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

NUMERAL.
Es la representación simbólica del número.

Ejemplo:

4, IV, IIII, CUATRO

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números.

¡Recuerda!

TABLERO POSICIONAL

Dado el número de 12 cifras:

VALORES DE UNA CIFRA

1. VALOR ABSOLUTO DE UNA CIFRA. Es el valor que representa por si misma, es decir, su valor no depende de la posición que ocupa.

2. VALOR RELATIVO DE LA CIFRA. Es el valor que toma según la posición u orden que ocupa en el numeral. También se denomina valor de posición o posicional.

Ejemplo:
Sea el numeral

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO

a) Por orden (V.R) de sus dígitos:

b) Por notación desarrollada:

c) Por descomposición polinómica:
Multiplicando por potencia de 10

CAMBIOS DE BASE

* De base “n” a base “m”

Para expresar un número de la base “n” a base “m”, se expresa primero el número en base decimal y luego el valor resultante se envia a la base “m” requerida.

Ejemplo:
Representar 17974(12) a base 9

1º 17974(12) a base 10, esto resulta:
34216(10) este número lo enviamos a base 9

34216=51837(9)

17974(12) = 34216 = 51837(9)

1. Descomponer por orden de sus dígitos:
a) 6 542 = …………………………………………………………….
b) 7 841 = …………………………………………………………….
c) 23 074 = …………………………………………………………….
d) 85 = …………………………………………………………….
e) 4 003 = …………………………………………………………….
f) 4 503 104 = …………………………………………………………….
g) 400 000 = …………………………………………………………….
h) 44 340 = …………………………………………………………….

2. Descomponer por Notación desarrollada
a) 472 = …………………………………………………………….
b) 75 = …………………………………………………………….
c) 45 921 = …………………………………………………………….
d) 51 076 = …………………………………………………………….
e) 345 677 = …………………………………………………………….
f) 300 475 = …………………………………………………………….
g) 2 007 670 = …………………………………………………………….
h) 345 677 = …………………………………………………………….
i) 5 740 085 = …………………………………………………………….

3. Indicar el valor relativo (V.R.) de la cifra 2 en cada uno de los siguientes números:
a) 429 V.R. = 2 x 10 = 20
b) 274 = …………………………………………………………….
c) 542 047 = …………………………………………………………….
d) 62 407 801 = …………………………………………………………….
e) 378 142 = …………………………………………………………….
f) 47 235 = …………………………………………………………….

4. Descomponer por descomposición polinómica
a) 17 283 = …………………………………………………………….
b) 23 708 = …………………………………………………………….
c) 507 420 = …………………………………………………………….
d) 7 894 004 = …………………………………………………………….
e) 253 427 = …………………………………………………………….
f) 2 742 056 = …………………………………………………………….

5. Escribe literalmente

3 165 042 = …………………………………………………………….
26 000 540 = …………………………………………………………….
5 036 528 = …………………………………………………………….
315 005 002 020 = …………………………………………………………….
101 702 010 132 = …………………………………………………………….

6. Escribe el número que corresponde a cada nombre:

Cuarenta y cinco millones siete mil noventa y seis ………………………….
Ocho millones un mil dos ………………………….
Dos mil cinco millones trece mil trece ………………………….
Siete millones trescientos mil quinientos ochenta ………………………….
Sesenta y ocho millones treinta y dos mil ocho ………………………….

7. Resolver:

a) 413212 a base 6
b) 2124467 a base 12
c) 2345321(6) a base 10
d) 121210102012(3) a base 10

8. Problema:

Si en cierta zona se usa el sistema nonario para las medidas. Determinar cuántas pesas se usarán como mínimo para equilibrar un objeto que pesa 3026 kilos.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

1. Un número es mayor que otro si tiene mayor cantidad de cifras.
Ejm:

2. Si tenemos 2 números con igual cantidad de cifras, empezamos a comparar por la izquierda.
Ejm:

Practiquemos
Compara los siguientes números naturales y escribe los símbolos >; <; = 875 .................................................. 869 12 349 .................................................. 12 371 468 952 .................................................. 468 983 1 745 943 .................................................. 1 745 837 5 762 154 .................................................. 5 762 154 23 456 204 .................................................. 9 589 742 728 649 .................................................. 728 647 245 746 .................................................. 245 923 RELACIÓN DE ORDEN SUCESIONES CRECIENTES: Son aquellos donde los números van de menor a mayor Ejm: Ordena en forma creciente: 43287 – 42873 – 42378 – 40378 – 48732 = 40378 < 42378 < 42873 < 43287 < 48732 SUCESIONES DECRECIENTES: Son aquellas donde los números van de mayor a menor Ejem: Ordena en forma decreciente: 222222 – 22222 – 2222222 – 222 – 2222 = 2222222 > 222222 > 22222 > 2222 > 222

1. ORDENA EN FORMA CRECIENTE :

a) 487654 – 478645 – 464548 – 485645 – 65486
______________________________________________________

b) 243216 – 243261 – 422164 – 403216 – 43216
______________________________________________________

c) 12345678 – 12345679 – 12345769 – 12486432
______________________________________________________

d) 6666666 – 66666 – 666666 – 6666 – 666
______________________________________________________

2. Ordena en forma Decreciente :

a) 824374 – 824764 – 827640 – 847642 – 876460
______________________________________________________

b) 256428 – 526429 – 5666429 – 662469 – 60009
______________________________________________________

c) 60009 – 60090 – 69009 – 600909 – 6009
______________________________________________________

d) 88888 – 88888888 – 888888 – 8888888 – 888 – 88
______________________________________________________

3. Indica el valor relativo (V.R.) de la cifra 2 en cada uno de los siguientes números :
429 V.R. = 2 10 = 20
274 V.R. = ………………………….. 542 047 V.R. = …………………………..
62 407 801 V.R. = ………………………….. 373 142 V.R. = …………………………..
47 235 V.R. = …………………………..

4. Escribe el signo correcto >, < o = 7 659 ( ) 7 1 000 + 6 100 + 4 10 63 742 ( ) 6 10 000 + 3 1 000 + 742 59 406 ( ) 6 10 000 + 0 1 000 + 406 378 941 ( ) 3 10 000 + 78 1 000 + 940 8 406 000 ( ) 8 1 000 000 + 4 100 000 + 6 x 10 000 5. Compara los siguientes número naturales y escribe los símbolos >, < o = 847 ( ) 869 12 359 ( ) 12 372 648 952 ( ) 648 983 7 145 843 ( ) 7 145 837 7 652 154 ( ) 7 562 154 74 892 ( ) 74 789 32 456 204 ( ) 9 589 742 452 746 ( ) 452 923 153 546 ( ) 162 246 278 649 ( ) 278 647 6. Completa el cuadro : GAUSS Niño prodigio de clase obrera que llegó a ser el mejor matemático de su tiempo. Todavia hoy, dos siglos después de su nacimiento, sus ideas y sus innovadores métodos siguen siendo actuales. Su personalidad era contradictoria, era un hombre frío y concentrado en su trabajo, un perfeccionista que no permitia que sus trabajos fueran publicados antes de que estuviesen totalmente pulidos y revisados. Sobre la infancia de Gauss se cuentan innumerables anécdotas sobre su temprana genialidad (él mismo solía decir que había aprendido ha de contar antes de hablar). Una de las historias más famosas es que cuando tenía diez años, estando en clase de aritmética, su profesor le propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales 1+2+3............+100. Mientras que todos los alumnos se devanaban los sesos con la interminable suma, Gauss (que descubrió el camino rápido) escribió un solo número en la pizarra ante la perplejidad del profesor. Como podéis suponer Gauss fue el único que dio la respuesta correcta. Por lo que el profesor le regaló un libro de aritmética que Gauss leyó (y corrigió) rápidamente. A lo largo de la historia ha habido varios niños prodigio en matemáticas pero la mayoría se limitaban a una gran capacidad de cálculo, sin embargo, Gauss iba mas allá, alcanzando elevadas cotas de razonamiento, invención e innovación. Gauss estudió Matemáticas y llegó a ser catedrático de Matemáticas de Kazán, catedrático de Astronomía de Gotinga. Se interesó e hizo descubrimientos en casi todas las ramas de las Matemáticas. La noción de número natural y sus usos Como resumen de las secciones anteriores podemos decir que contar es poner en correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto (contado) con un subconjunto de otro conjunto (contador, sistema numérico de referencia o sistema numeral). Los elementos del conjunto numérico pueden ser objetos físicos (piedrecillas, semillas, marcas en una varilla o en un segmento, partes del cuerpo), palabras, símbolos, etc. Pueden también ser imaginados por una persona, es decir, ser representaciones internas de objetos para realizar comparaciones o cálculos. Pero tanto si son perceptibles, como mentales, el uso básico que hacemos de ellos es contar y ordenar. En una primera aproximación, podemos decir que los números naturales son cualquier sistema de "objetos" (símbolos, marcas, materiales concretos, palabras,...), perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto. El sistema más común es el de las palabras: cero, uno, dos, tres,..; y los símbolos, 0, 1, 2, 3,... Para poder ser usados en las situaciones de recuento y ordenación estos sistemas de objetos numéricos deben tener una estructura recursiva específica, que se concreta en los llamados axiomas de Peano enunciados en la sección 2.2. El número natural responde a la cuestión, ¿cuántos elementos tiene este conjunto? (recuento del número de elementos) y en estas circunstancias se habla de número cardinal. Para hallar el cardinal de un conjunto se le pone en correspondencia biyectiva con una parte del conjunto de los números naturales, pero fijándose sólo en el número atribuido al último elemento que se cuenta. Los números naturales también se pueden usar para ordenar un conjunto y entonces se habla de número ordinal. La noción de número natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y ordinal 3, identificación que se realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: "El número cardinal de un conjunto coincide con el número ordinal del último elemento, y es siempre el mismo cualquiera que sea el orden en que se haya efectuado el recuento" El número cardinal resulta de considerar, no un elemento, sino todo el conjunto, prescindiendo de la naturaleza de los elementos que lo componen y del orden en que se consideran. El número ordinal resulta de prescindir de la naturaleza de los objetos y teniendo en cuenta solamente el orden. La reflexión sobre el cardinal y ordinal y sobre las operaciones que se realizan sobre ellos permite identificar una misma estructura operatoria, lo que lleva a hablar del “número natural”. Algunos autores consideran la medida como un contexto de uso diferente de uso de los números naturales, hablando incluso del “número de medir”. Pensamos que este uso es equivalente al de cardinal. Al medir una cantidad de magnitud tomando otra como unidad se trata de determinar cuántas unidades (o bien múltiplos y submúltiplos) hay en la cantidad dada. De manera equivalente, hablar del cardinal de un conjunto se puede ver también como “medir” el tamaño o numerosidad del conjunto considerado tomando el objeto unitario como unidad de medida. Cuando se trate de medir magnitudes continuas será necesario ampliar la noción de número para incluir a los racionales y reales. Finalmente, mencionamos un uso habitual que no es propiamente numérico. Se trata del uso de un sistema numérico como etiquetas identificativas de objetos. Por ejemplo, los números de carnet de identidad de una persona, los números de teléfonos, la identificación de las teclas en calculadoras, etc. En realidad tales “números” se usan como códigos, careciendo del sentido cardinal, ordinal y algorítmico. 2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales La reflexión de los matemáticos sobre las propiedades y técnicas anteriores lleva a definir el conjunto de números naturales N de diversas formas que resumimos a continuación. Formalización de Peano (Axiomas de Peano) Esta formalización se basa en ideas muy sencillas: Consideramos como conjunto de los números naturales todo conjunto tal que cada elemento tiene un único siguiente, hay un primer elemento, y contiene todos los elementos siguientes de los anteriores. Los conjuntos que tienen estas propiedades se llaman conjuntos naturalmente ordenados o conjunto de números naturales. 3 De esta manera la expresión “número natural” adquiere un nuevo significado matemático, al indicar la equivalencia estructural-operatoria de los sistemas de referencia numéricos. Es el aspecto algoritmico o formal: “el número se concibe operacionalmente gracias a las reglas según las cuales el usuario juega con él. Se formaliza en el enfoque axiomático. Los números aparecen como elementos de anillos y cuerpos que se fijan axiomáticamente”3. Este uso no es ajeno a las prácticas escolares ya que un objetivo importante del estudio de las matemáticas, incluso en los primeros niveles educativos, es la adquisición de destrezas básicas de cálculo y la comprensión de los algoritmos correspondientes. Un conjunto de objetos (N) se dice que está naturalmente ordenado (y por tanto, se puede usar para contar y ordenar otros conjuntos de objetos de cualquier naturaleza) si cumple las siguientes condiciones: 1. A cada objeto le corresponde otro que se llama su siguiente o sucesor. 2. Existe un primer elemento, 0, que no es sucesor de ningún otro elemento. 3. Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo sucesor (la función sucesor es inyectiva). 4. Todo subconjunto de N que contiene el 0 y que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos coincide con N (principio de inducción). En lugar de usar subconjuntos, el principio de inducción puede formularse con propiedades diciendo que toda propiedad de los números válida para 0 y que, siendo válida para n, lo es también para n+1, es verdadera para todos los números naturales. Formalización a partir de la idea de clases de equivalencia (cardinal) En este caso nos basamos en la idea de que dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son “equivalentes” y todos los conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos: conjuntos vacíos, conjuntos con 1, 2, 3, elementos.... Puesto que el conjunto de estas clases está naturalmente ordenado, proporciona una posible definición de N. Proposición: Sea F el conjunto de todos los conjuntos finitos. F = {A, B, C, ...}. El conjunto (N) formado por todas las clases de equivalencia producido en F por la relación de coordinabilidad, o sea, el conjunto de todas las clases de equivalencia, es un conjunto naturalmente ordenado. N = {[A], [B], [C], ....} La relación de orden se define de la siguiente manera, Definición: Dadas dos clases, [A], [B] diremos [A]  [B] si existe una correspondencia entre dos representantes A y B de dichas clases que sea inyectiva. Esto ocurre cuando el cardinal de la primera clase es menor que el de la segunda. Proposición 3: La relación binaria  definida entre las clases es una relación de orden total en N por cumplir las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Esta relación binaria es una relación de orden total: - Reflexiva, Card(A)  Card (A), pues la aplicación identidad es inyectiva. - Antisimétrica - Transitiva - Conexa: Dados dos naturales a, b, ocurre que ab ó ba. Basta colocar como conjunto inicial el que tiene menos elementos. - Es una buena ordenación: Cualquier subconjunto tiene primer elemento; cada elemento tiene su siguiente y no hay ningún número intermedio entre ambos. Convenio de representación de las clases de equivalencia: La clase vacía  se representa por la notación 0, la clase unitaria por 1, la clase binaria por 2, etc. En la práctica el conjunto de clases de equivalencia N = {[A], [B], [C], ....}se sustituye por el sistema de símbolos {0, 1, 2, 3.,.. }. Cada símbolo representa a una clase de equivalencia y es también llamado el cardinal o número de elementos de cada conjunto de la clase. Conjuntos ordenados y número ordinal Ordenar un conjunto A es ponerlo en biyección con una parte del conjunto ordenado de N, pero atribuyendo a cada elemento de A un número fijo de N, que se llama su número ordinal, o número de orden. Así al elemento al que atribuimos el número 1 le llamamos primero (1º), al que atribuimos 2, le llamamos segundo (2º), etc. al que atribuimos el número mayor de todo el subconjunto N le llamamos último; al anterior, penúltimo; al anterior a éste, antepenúltimo. Por tanto, el número que forma pareja con un elemento determinado del conjunto A es el número ordinal de dicho elemento. Aquí, a diferencia de lo que ocurría en la operación de contar, es esencial la forma de efectuar los apareamientos, es decir, el orden en que se van tomando los elementos del conjunto A. A cada apareamiento le corresponde una ordenación del conjunto. Definición algebraica de la ordenación de números naturales Una posibilidad es definir la relación de orden en los números naturales a partir de las operaciones: Dados dos números naturales a y b, a es menor que b, ab, si existe otro número natural d tal que a + d = b. Esta relación binaria definida en N cumple las propiedades: - Es una relación de orden total, es decir que si se toman dos números cualesquiera siempre se puede decir cuál de ellos es mayor. - Reflexiva, es decir, para todo natural, n, n  n; - Antisimétrica, es decir, para dos naturales n y p, si se tiene que n  p y que p  n, entonces necesariamente n = p. - Transitiva: es decir, para tres naturales n, p y q, si se tiene que n  p y que p  q, entonces necesariamente n  q. Esta relación de orden es compatible con las operaciones de sumar y multiplicar en N. Esto quiere decir que, - Si se suma un mismo número a los dos miembros de una desigualdd, no cambia el sentido de la desigualdad. - Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, no cambia el sentido de la desigualdad. 3. TIPOS DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y ASPECTOS HISTÓRICOS4 3.1. Situaciones introductorias Situación A Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una galaxia lejana y su misión es contactar con los terrícolas e intercambiar información. Una vez superadas las dificultades de idioma el extraterrestre se interesa, entre otras muchas cosas, por el sistema de numeración escrito que se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa (naturalmente el extraterrestre va a parar a los Estados Unidos) se lo explican y él comenta: "Ah! Es el mismo sistema que utilizamos nosotros, pero nosotros usamos solamente cuatro símbolos, el del cero (  ), el del uno ( ), el del dos ( ) y el del tres ( T )". ¿Cómo escribe el extraterrestre el número 9? Situación B El Parlamento Europeo, después de varios asesoramientos científicos, decide cambiar el número de símbolos de nuestro sistema de numeración escrito. Las opciones que se barajan 4 La mayor parte de la información contenida en esta sección sobre aspectos históricos de los sistemas de numeración y las ilustraciones proceden de Ifrah (1985) libro cuya lectura se recomienda. como mejores son la de utilizar sólo seis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5) o la de utilizar doce símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , ). Mientras el Parlamento discute nosotros vamos a escribir los primeros 25 números en esos nuevos sistemas. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... Situación C En el primer cuadro de la hoja adjunta tienes que agrupar las estrellas de 4 en 4. Después agruparás los grupos de 4 nuevamente de 4 en 4. Se sigue el proceso mientras sea posible continuarlo y, una vez finalizado, se escribe en las casillas situadas encima del cuadro (empezando por la derecha) el número de estrellas que ha quedado sin agrupar de 4 en 4, en la casilla siguiente, el número de grupos de 4 que no se han podido agrupar de 4 en 4, hasta llegar a escribir el número de las últimas agrupaciones realizadas. En los demás cuadros se realiza el mismo proceso pero agrupando de 6 en 6, de 10 en 10 y de 12 en 12, respectivamente. Hoja de datos para la situación C x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3.2. Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetos numéricos La aparición en el Neolítico de sociedades estatales y del entramado administrativo que una sociedad de este tipo conlleva plantea la necesidad de:  obtener el cardinal de colecciones formadas por muchos objetos (colecciones muy numerosas).  recordar los cardinales correspondientes a muchas colecciones. La contabilidad de un Estado exige la representación de números grandes y el almacenamiento de esos números de forma que sean fácilmente localizables. Pero eso supone:  la invención de muchas palabras numéricas o la utilización de muchos objetos numéricos para representar grandes números.  la búsqueda de sistemas de representación de los números que permitan al receptor del mensaje entenderlo con rapidez.  la búsqueda de sistemas de representación de los números que permitan guardarlos en memoria de forma duradera, accesible y ocupando poco espacio. Para resolver estas exigencias, las diferentes sociedades han creado sistemas de numeración compuestos por un pequeño número de signos que combinados adecuadamente según ciertas reglas sirven para efectuar todo tipo de recuentos y representar todos los números necesarios a esas sociedades. Para ello se han basado en dos principios:  los signos no representan sólo unidades sino también grupos de unidades. A cada uno de esos grupos de unidades se le llama unidad de orden superior. Al número de unidades que constituye cada unidad de orden superior se le llama base del sistema de numeración.  cualquier número se representa mediante combinaciones de los signos definidos en el sistema de numeración. 3.3. Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos Vamos a referirnos ahora a diversos sistemas de numeración escritos, todos ellos de base 10, pero que han sido construidos a partir de principios diferentes. a) Sistema jeroglífico egipcio Se basa en la definición de símbolos para la unidad, diez y las potencias de diez. A partir de ahí los números se representan repitiendo esos símbolos todas las veces que haga falta. Por ejemplo, el número 243688 se representaría de la siguiente manera: 200 000 3000 800 40 000 600 8 243 688 b) Sistema chino En el sistema chino no sólo se tienen símbolos para la unidad, diez y las potencias de diez sino para todos los números intermedios entre uno y diez De esta manera se evitan repeticiones fastidiosas pues los números que preceden a las potencias de la base indican cuántas veces deben repetirse éstas. Por ejemplo, el número 79564 se escribiría: aunque hay que tener en cuenta que los chinos escriben de arriba hacia abajo. Este sistema incorpora un principio de tipo multiplicativo, es decir, el número representado ya no es la suma de los valores de los signos que lo componen, sino una mezcla de sumas y productos. Ejercicios 2. Escribe en el sistema egipcio, romano y chino el número 1386. 3 ¿Cuál es el menor número que se escribe con 25 símbolos en sistema egipcio? 4. Imagina que en un nuevo lenguaje, los primeros números son: Sis, boom, bah, tra, la, y después de contar un buen rato, la serie de números continúa: Hip, hoo, rah, fo, fum. Completa las operaciones siguientes: a. Hoo +bah= b. Fo-boom= c. Fum-hip= c) Sistema hindú En el norte de la India y desde el siglo III a. C., existió un sistema de numeración escrito cuyos primeros símbolos eran los siguientes: Pero además este sistema también tenía símbolos específicos para los números 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 y para escribir, por ejemplo, el número 5436 se escribía el símbolo que representaba al número “5000” seguido del que representaba al “400”, el del “30” y, por último, el del “6”. Se trataba por tanto de un sistema de tipo aditivo. Por otro lado, para realizar las operaciones construían una tabla de calcular dibujando rayas verticales sobre la arena de manera que las fichas, según en qué casilla se situasen, significaban unidades, decenas, centenas, etc. Si colocaban tres fichas en la casilla más a la derecha significaba tres unidades. Si las colocaban en la casilla siguiente significaban tres decenas. Pero en algún momento se les ocurrió dibujar las nueve primeras cifras en las casillas en lugar de utilizar fichas. Así, por ejemplo, el número 7629 lo representaban de la siguiente manera: Como consecuencia los símbolos que representaban los números del 1 al 9, se utilizaron regularmente en los cálculos mientras que los que representaban decenas, centenas, etc. no se utilizaban porque eso venía indicado por la casilla en que se encontraba la cifra (A los signos del 1 al 9 se les suele llamar cifras o dígitos). Aparece así una notación posicional en la que el significado de la cifra se complementa con la posición que ocupa. La cifra situada en la casilla de la derecha del número anterior significa 9 mientras que situada en la siguiente casilla significaría 90 y en la siguiente 900. Naturalmente, cuando faltaba una unidad de un orden determinado se dejaba la casilla correspondiente vacía. Podría pensarse que el paso de este tipo de notación a una en que se eliminasen las barras verticales es inmediato. Sin embargo, este paso no se dio hasta varios siglos después pues exige definir un signo para el cero y esto es algo que muy pocas culturas han hecho. La razón es difícilmente inteligible para nosotros, acostumbrados desde niños a la existencia del signo 0, pero tenemos que comprender lo artificioso que resulta crear un símbolo para indicar el vacío, la nada, la no existencia de algo. Si algo no existe no hace falta apuntarlo. El vacío se indica mostrándolo, no rellenándolo con un signo. La idea de inventar un signo para indicar la no existencia de unidades o la existencia de un lugar vacío es una idea sorprendente y se les ocurrió, por fin, a los matemáticos hindúes a principios del siglo VI d. C., lo que les permitió prescindir de las barras verticales a la hora de representar los números. A partir de entonces un número, por ejemplo el 9100 se representó así: Cuando los árabes conquistaron el norte de la India conocieron este sistema de numeración y al darse cuenta de lo mucho que facilitaba los cálculos lo adoptaron. Las cifras que vienen a continuación corresponden a la grafía habitual en el Califato de Bagdad. Nuestro sistema de numeración escrito es, por tanto, una invención hindú que, posteriormente, fue asumida por los árabes, los cuales la difundieron por todo su imperio. Los contactos comerciales y culturales de Europa con el mundo árabe propiciaron la difusión de este sistema en la Europa occidental donde entró en competencia con el sistema de numeración romano. Lentamente fue ganando adeptos hasta que a finales del siglo XVIII quedo definitivamente implantado. 3.4. Tipos de sistemas de numeración Los ejemplos anteriores nos muestran la existencia de diferentes tipos de sistema de numeración que ahora vamos a definir con más precisión. a) Sistema aditivo regular En este sistema se definen símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. El número representado se obtiene sumando los valores de los signos que componen su representación. El sistema egipcio es un ejemplo de sistema aditivo regular de base 10. b) Sistema multiplicativo regular En él se definen símbolos para la unidad, la base, las potencias de la base y todos los números comprendidos entre la unidad y la base. El número representado se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades. Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino de numeración que es un sistema multiplicativo regular de base 10. c) Sistema posicional regular En este sistema se definen símbolos para la unidad y los números comprendidos entre la unidad y la base. También se define un símbolo, el cero, para indicar la no existencia de unidades. En cambio, no se definen símbolos específicos para la base ni para las potencias de la base, representándose éstas por medio de combinaciones de los símbolos de la unidad y del cero. En estas condiciones, cada uno de los signos que componen la representación del número, dependiendo del lugar que ocupa, hace referencia a las unidades o a una determinada potencia de la base. El número representado se obtiene de la misma manera que en un sistema multiplicativo. Nuestro sistema de numeración escrito es un ejemplo de sistema posicional decimal. Reglas de los sistemas de numeración posicionales Las reglas de los sistema de numeración posicionales ordenados se pueden sintetizar de la siguiente manera: 1. Elegido un número b >1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos,
llamados cifras o guarismos (0, 1, 2, …, b-1) que representan el cero y los primeros
números naturales.
2. Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una unidad de 2º orden, y se escribe a
la izquierda de las unidades de 1er orden. (Principio del valor relativo de las cifras)
3. Se continúa el proceso como en 2)
4. Cuando no hay unidades de un orden (carencia de unidades) se expresa mediante un 0
en la posición correspondiente.
5. La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2º orden); la unidad de tercer orden, b2
se expresará como 100(b .
Teorema fundamental: Existencia y unicidad de la expresión de un número n en base
cualquiera b
Dado un número natural b (que se llama base del sistema de numeración), todo número
natural n
N se puede expresar de manera única mediante el siguiente polinomio:
n= ckbk + rkbk-1 + rk-1bk-2 + …. + r3b2 + r2b + r1
donde r1, r2, …, rk, ck, son números naturales menores que b.
3.5. Cambios de base en los sistemas de numeración
Para comprender las reglas de los sistemas de numeración posicionales ordenados, entre
los que se encuentra el sistema decimal de numeración habitualmente usado, es conveniente
realizar y analizar las tareas de paso del sistema de numeración base 10 a otras bases distintas,
tanto menores que 10, como mayores, y viceversa.
Paso de la escritura en base 10 de un número n a la base b
En primer lugar habrá que determinar la cifra de las unidades (o de primer orden), para lo
cual habrá que dividir n entre b; el resto será la cifra de la unidades de la nueva expresión.
Para hallar la cifra a colocar en la posición de segundo orden se divide el primer cociente
obtenido por b y se toma el resto; y así sucesivamente.
Ejemplo: El número 235(10, expresado en base 5 será
1420(5 235 5
35 47 5
0 2 9 5
4 1
Paso de la escritura de un número n en base b a base 10
Basta expresar la escritura de n en forma polinómica (en forma de potencias de la base b)
y realizar las operaciones indicadas en base 10; el resultado será la escritura en de n en base
10.
Ejemplo: El número 2034(5 será el 269(10 ya que,
2034(5 = 2.53 + 0.52 +3.5 + 4 = 269 (haciendo las operaciones en base 10)
El paso de la escritura de un número de base b1 a base b2 se puede realizar pasando el
número dado en base b1 a base 10 y después dicho número en base 10 a base b2 por el método
explicado anteriormente.
Ejercicios
5. Efectúa los cambios de base siguientes: 3415 (de base 10 a base 3); 999 (de base 10 a base 7);
25842 (de base 10 a base 12); 1001110 (de base 2 a base 10); ABC6 (de base 13 a base 10); 33421 (de
base 5 a base 3); 34250 (de base 6 a base 4) y 102102 (debase 3 a base 7).
6. Escribe las cifras del número siguiente en base 3:
1 + 3 +32 + 34 + 36
Expresa el número anterior en base 9
7. Escribe en base 5 las cifras del siguiente número
5 x (5 x (5 x (5 + 4) + 3 ) + 2) + 1 ; x significa el signo de multiplicar.
8. En base 16 (hexadecimal) los dígitos usados son 0 hasta 9 y las letras A, B, C, D, E, F para los
números del diez hasta el quince.
a) Convierte B6(16 a base 10;
b) Convierte B6(16 a base 2;
c) Explica cómo se puede pasar B6(16 a base 2 directamente, esto es, sin pasarlo primero a base 10.
3.6. Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y oral
a) Sistema de numeración escrito
Como ya hemos dicho antes es un sistema posicional regular de base 10. Los símbolos
que se definen son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
b) Sistema de numeración oral
Es un sistema multiplicativo y de base 10 pero con irregularidades. Es un sistema
multiplicativo porque define símbolos no sólo para los números anteriores a la base sino
también para la base y sus potencias. El número 3400 no lo leemos como “tres cuatro cero
cero” sino como “tres mil cuatrocientos”, es decir, hacemos referencia a las potencias de la
base “mil” y “cien” o “ciento”.
Las irregularidades dependen del idioma y en castellano son las siguientes:
 Once, doce, trece, catorce y quince. En un sistema regular se diría: dieciuno, diecidos,
diecitrés, diecicuatro y diecicinco.
 Veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa. En un sistema
regular se diría: dos dieces (o dos decenas), tres dieses, cuatro dieses, etc.
 Quinientos en lugar de cinco cientos
 Algunas de las potencias de diez no tienen un símbolo específico, sino un símbolo
compuesto por los correspondientes a otras potencias. Así, por ejemplo, la potencia 104 no
tiene un símbolo propio como le correspondería en un sistema regular, sino un símbolo
compuesto: diez mil. Lo mismo sucede con otras potencias de la base (105 se dice cien
mil, 107 se dice diez millones, 108 se dice cien millones, etc. ), lo que hace que las
potencias mil (103) y millón (106) se conviertan en bases auxiliares.
 La palabra ‘billón’ tiene un significado ambiguo. En España y otros países de origen latino
quiere decir ‘un millón de millones’ (1012), mientras que en los países de tradición
anglosajona la palabra equivalente significa ‘mil millones’ (109).
c) Sistema de numeración oral ordinal
Se usa para nombrar a los ordinales, aun cuando también puede usarse para ello el
sistema oral habitual. Es un sistema de numeración de base 10 en el que se definen símbolos
para la unidad y los demás números anteriores a la base, para la base y sus potencias, y
también para los nueve primeros múltiplos de la base y del cuadrado de la base. Un número
viene dado por la suma de los valores de los signos que lo representan; es por tanto un sistema
de tipo aditivo, pero con una sobreabundancia de términos. En muchas de las palabras que
nombran a los diferentes múltiplos de la base o de la base al cuadrado se hace patente un
criterio de tipo multiplicativo. Por ejemplo, el término ‘octingentésimo’ se relaciona con los
términos ‘ocho’ y ‘centésimo’.
Los símbolos de este sistema de numeración son los siguientes: primero, segundo,
tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo, undécimo (o décimo
primero), duodécimo (o décimo segundo), vigésimo (20), trigésimo (30), cuadragésimo (40),
quincuagésimo (50), sexagésimo (60), septuagésimo (70), octogésimo (80), nonagésimo (90),
centésimo (100), ducentésimo (200), tricentésimo (300), cuadringentésimo (400),
quingentésimo (500), sexcentésimo (600), septingentésimo (700), octingentésimo (800),
noningentésimo (900), milésimo (1000), millonésimo (1.000.000). Según esto el ordinal 783
se diría septingentésimo octogésimo tercero. Hoy en día, bastantes de estos términos han
caído en desuso.
Ejercicios
9.Utiliza nuestro sistema de numeración oral para expresar el número:
754.120.004.002000.000.000
10. Utiliza nuestro sistema posicional de numeración escrita para representar el número siete
trillones, setenta mil siete billones, siete millones, setenta y siete. 2.
11. Expresa mediante nuestro sistema oral ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366, 584 y
1336.
12. ¿Cuántos números capicúas hay comprendidos entre 1 y 1000?
A continuación vamos a describir otros sistemas de numeración, lo que nos permitirá ver
cómo diferentes culturas han resuelto el problema de representar los números.
3.7. Sistemas de numeración orales: ejemplos
En la lengua Api de las Nuevas Hebridas representan los 24 primeros números partiendo
de 5 palabras: tai, lua, tolu, vari, luna (que significa literalmente “la mano”) que equivalen a
nuestras palabras: uno, dos, tres, cuatro y cinco. A partir de ahí los números siguientes los
nombran combinando esas palabras: para 6 se dice: otai (literalmente ‘el nuevo uno’)
 para 7 se dice: olua (literalmente ‘el nuevo dos’)
 para 8 se dice: otolu (literalmente ‘el nuevo tres’)
 para 9 se dice: ovari (literalmente ‘el nuevo cuatro’)
 para 10 se dice: lualuna (literalmente ‘las dos manos’)
 para 11 se dice: lualuna i tai (literalmente ‘dos manos y uno’) para 15 se dice: toluluna
(literalmente ‘tres manos’)
 para 16 se dice: toluluna i tai (literalmente ‘tres manos y uno’) para 20 se dice: variluna
(literalmente ‘cuatro manos’)
 para 24 se dice: variluna i vari (literalmente ‘cuatro manos y cuatro’)
Se trata de un sistema de base cinco, pues los números se expresan indicando los grupos
de cinco que los componen y el resto que queda.
En euskera las palabras que se utilizan para nombrar los diez primeros números son las
siguientes: bat (uno), bi (dos), hiru (tres), lau (cuatro), bost (cinco), sei (seis), zazpi (siete),
zortzi (ocho), bederatzi (nueve), hamar (diez). A partir de ahí, construyen las palabras
numéricas como sigue:
 once se dice: hamaika
 doce se dice: hamabi (literalmente ‘diez y dos’)
 trece se dice: hamahiru (literalmente ‘diez y tres’)
 catorce se dice: hamalau (literalmente ‘diez y cuatro’)
 quince se dice: hamabost (literalmente ‘diez y cinco’)
 dieciséis se dice: hamasei
 diecisiete se dice: hamazazpi
 dieciocho se dice: hemezortzi (no sigue la regla, pero actualmente se admite también
‘hamazortzi ‘)
 diecinueve se dice: hemeretzi ( no sigue la regla )
 veinte se dice: hogei
 treinta se dice: hogeitamar (literalmente ‘veinte y diez’)
 cuarenta se dice: berrogei (no sigue la regla )
 cincuenta se dice: berrogeitamar (literalmente ‘cuarenta y diez’)
 sesenta se dice: hirurogei (literalmente ‘tres veintes’)
 setenta se dice: hirurogeitamar (literalmente ‘tres veintes y diez’)
 ochenta se dice: larogei (literalmente ‘cuatro veintes”)
 noventa se dice: larogeitamar (literalmente ‘cuatro veintes y diez’)
 cien se dice: ehun.
Se trata de un sistema de base 20 con una base auxiliar 10. En el sistema de numeración
oral francés también se conservan vestigios de una base 20. Se dice, por ejemplo: ‘quatrevingts’
(cuatro veintes) para indicar ‘ochenta’ y ‘quatre-vingts-dix’ (cuatro veintes diez) para
indicar ‘noventa’ .
3.8. Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos
a) Muescas: La utilización de muescas para llevar una cuenta está documentada desde la
Prehistoria.
Entre los huesos prehistóricos con muescas existen algunos (como el reflejado en el
dibujo siguiente) en los que las muescas han sido representadas en grupos de cinco. Es uno de
los primeros ejemplos de agrupación para facilitar la lectura del número.
b) Objetos ensartados en hilos: collares
En algunas regiones de África occidental los pastores contaban sus rebaños haciendo
desfilar a los animales uno detrás de otro. Cuando pasaba el primero ensartaban una concha
en una tira blanca, otra cuando pasaba el segundo y así sucesivamente. Al llegar al décimo
animal deshacían el collar y ensartaban una concha en una tira azul que asociaban a las
decenas. Después ensartaban de nuevo conchas en la tira blanca hasta llegar al vigésimo
animal y entonces ensartaban una segunda concha en la tira azul. Cuando había ya diez
conchas en la tira azul deshacían el collar de las decenas y ensartaban una concha en una tira
roja reservada para las centenas. Y así sucesivamente hasta que se acababa el recuento de los
animales. Al llegar a los doscientos cincuenta y ocho animales, por ejemplo, habría dos
conchas en la tira roja, cinco en la azul y ocho en la blanca. La base de este sistema es la
decena.
c) Objetos ensartados en varillas: ábacos
El ejemplo que proponemos es el de un ábaco que se ha
utilizado para contar y calcular incluso después de la segunda guerra
mundial (ábaco japonés).
La varilla situada a la derecha indica centésimas, la segunda
varilla décimas, la tercera unidades, la cuarta decenas, la quinta
centenas, etc. En la varilla de las unidades cada una de las cuatro bolas de la parte de
abajo indica una unidad, pero la bola situada en la parte de arriba indica cinco unidades. De
esa manera el número siete se representará moviendo la bola superior y dos bolas inferiores
hacia el eje central. En la varilla de las decenas la bola superior indica cincuenta y cada una de
las bolas inferiores diez y así sucesivamente. Se trata pues de un sistema de base diez con una
base auxiliar cinco.
Ejercicios
13. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
– un ábaco japonés
– el sistema de numeración romano
– sistema de numeración egipcio
– sistema de numeración chino
14. Supongamos que cuentas usando manos y dedos. ¿Cómo representarías el número 12?
d) Nudos
Los incas representaban números y contaban haciendo nudos en una cuerda. Según la
posición en que estaban situados los nudos indicaban unidades, decenas, centenas, millares,
etc. A estas cuerdas se les llamaba quipus.
El dibujo de la derecha representa una contabilidad de ganado bovino (cuerdas blancas y
ganado ovino (cuerdas verdes). Las cuerdas blancas de derecha a izquierda representan el
número de toros, vacas lecheras y vacas estériles. Las cuerdas verdes indican número de
borregos, corderos, cabras, etc. Las cuerdas que enlazan a las otras indican las sumas de las
cantidades representadas en las cuerdas enlazadas.
e) Objetos sueltos: valor definido por la posición
Existen sistemas de numeración basados en guijarros o fichas en los que el valor
numérico de los objetos viene dado por la posición que ocupan en un tablero distribuido en
casillas. Así, según que el guijarro o ficha esté situado en una u otra casilla significará una
unidad, una decena, una centena, etc. Estas tablas de fichas se utilizaron en Europa para
efectuar cálculos hasta el siglo XVIII.
f) Objetos sueltos: valor definido por alguna característica del objeto
Los sumerios utilizaban pequeños objetos de arcilla para contar y representar los
números. El valor numérico de cada objeto venía dado por su forma de la siguiente manera:
1 = cono pequeño; 10 = bola pequeña; 60 = cono grande; 600 = cono grande perforado; 3600
= bola grande; 36000 bola grande perforada.
Se trataba de un sistema de numeración de base 60 (3600 = 602) con una base auxiliar 10
(600 = 10 x 60, 36000 = 10 x 602).
Para garantizar el pago de una deuda, por ejemplo, el conjunto de objetos que
representaba el valor numérico de la deuda se encerraba en una esfera hueca sobre la que se
imprimían los sellos del acreedor, el deudor y el notario. Este último guardaba la esfera y,
posteriormente, en el momento de saldar la deuda, la abría y las partes implicadas se
aseguraban de que el pago estaba conforme.
3.9. Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas
bases
Se cree que la mayor parte de los sistemas de numeración tienen su origen en otros más
primitivos basados en la utilización de distintas partes del cuerpo humano como objetos
numéricos. Las bases más utilizadas: 5, 10, 12, 20, 60 pueden explicarse como un intento de
aumentar la capacidad contable de los dedos.
a) Base cinco
Si utilizamos los dedos de la mano derecha para contar unidades hasta cinco y por cada
cinco unidades levantamos un dedo de la mano izquierda estaremos en un sistema de
numeración de base cinco. Cada cinco unidades dan lugar a una unidad de orden superior, los
dedos de la mano izquierda, y toda la mano izquierda representará una unidad de segundo
orden compuesta de 25 unidades.
b) Base diez
Aparece al utilizar los dedos de las dos manos para contar unidades. Un hombre
representaría una unidad de orden superior, la decena.
c) Base veinte
Aparece al utilizar los dedos de las dos manos y de los dos pies para contar unidades. Un
hombre representaría la unidad de orden superior que en este caso sería una veintena.
d) Base doce
Se explica si se utiliza el dedo pulgar de la mano derecha para contar las falanges de los
otros dedos de la misma mano. Tenemos así doce falanges en la mano derecha. Si además por
cada doce unidades señalamos una falange de la mano izquierda tendremos una unidad de
primer orden, la docena, y las dos manos representaran una unidad de segundo orden (144 =
122).
e) Base sesenta
Aparece como una combinación de cinco y doce si contamos falanges con la mano
derecha y por cada docena levantamos un dedo de la mano izquierda. Las dos manos
representan entonces una “sesentena”.
Ejercicios
15. El uso de la base 10 en el sistema de numeración indoarábigo se puede suponer que se debe a que
tenemos 10 dedos entre ambas manos. Supongamos que entre los marcianos ocurrió lo mismo, esto es,
usaron un sistema de numeración basado en el número de dedos de sus manos. ¿Cuántos dedos tenían
los marcianos en sus manos si sabemos que en dicho planeta el número diecisiete se escribía 21?.
16. Construye un sistema aditivo de base 12 y utilízalo para expresar los números 1245674, 23478 y
100.
17. Construye un sistema aditivo de base 20 y utilízalo para representar los números del ejercicio
anterior.
18. En la siguiente tabla escribimos los números del 0 al 35 en base 6. Describe todos los patrones
numéricos que puedes encontrar:
0 1 2 3 4 5
10 11 12 14 14 15
20 21 22 24 24 25
30 31 32 33 34 35
40 41 42 43 44 45
50 51 52 53 54 55
3.10. Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos
La necesidad de almacenar información numérica propia de las sociedades estatales
propicia la aparición de los sistemas escritos de numeración. Estos números escritos se
conservan bien, ocupan poco lugar y su almacenamiento se organiza con facilidad; tienen, por
tanto, ventajas frente a las representaciones numéricas orales o mediante objetos. A
continuación vamos a ver algún ejemplo más :
a) Los sumerios empezaron a desarrollar una contabilidad escrita a partir del 3200 a.C.
consistente en dibujar en tablillas de arcilla las figuritas de barro que utilizaban para indicar
los números. En la figura de una “factura” sumeria descubierta en Uruk (hacia el 2850 antes
de J.C.) se observa el dibujo de las esferas y conos de barro que se utilizaban para representar
los números. Aparecen también unos dibujos que representan sacos, dibujos de espigas que
indican distintos tipos de cereal y unos dibujos de patos que representan aves en general.
b) Los matemáticos y astrónomos de Babilonia fueron los primeros en construir un sistema de
numeración escrito en el que se utilizaba en parte un criterio posicional. Para escribir los
números utilizaban sólo dos signos: un ‘clavo’ vertical  que indicaba la unidad y una ‘espiga’
 que indicaba la decena. Los números de 1 a 59 se representaban de manera aditiva
repitiendo esos signos las veces que hiciera falta. Así, por ejemplo, 19 y 58 se escribían:

  (1 espiga + 9 clavos)

 
  (5 espigas + 8 clavos)

Pero a partir de 59 la escritura era posicional, es decir, el número 69, por ejemplo, no se
escribía
 
  sino

60 9



1 ; 9
Así pues, una escritura como:
 
 

4 8

20

12
correspondía al número 48 x 602 + 20 x 60 + 12 = 174.012. Nos encontramos ante un sistema
posicional de base 60 donde los signos que indican cuántas unidades o diferentes potencias de
la base tiene el número constituyen un sistema aditivo de base 10. Este sistema tenía muchos
inconvenientes porque la falta de un cero y la mezcla de sistema posicional con aditivo creaba
muchas ambigüedades en la escritura de los números. Por ejemplo, ‘clavo’ nunca se sabía
bien si indicaba una unidad, 60 unidades o cualquier otra potencia de la base; dos ‘clavos’
tanto podían representar dos unidades como el número 61, etc.
La astronomía Babilonia nos ha transmitido su manera de representar los números en
algunos ámbitos muy relacionados con la astronomía, como la medida del tiempo en horas,
minutos y segundos y la de la amplitud de ángulos en grados, minutos y segundos. Cuando
decimos que un intervalo de tiempo es de 3h 23m 55s estamos utilizando un sistema de
numeración posicional de base 60 (sexagesimal) ya que cada hora equivale a 60 minutos y
cada minuto a 60 segundos. La diferencia con el sistema babilonio consiste en que no
representamos las horas, minutos y segundos utilizando un sistema aditivo de base 10, sino
utilizando nuestro sistema posicional de base 10.
c) En Italia, antes del Imperio Romano existían pueblos de pastores que habían desarrollado
una cultura de muescas. Por cada cabeza de ganado que contaban grababan una muesca en un
palo o hueso. Para facilitar la lectura de las muescas empezaron a agruparlas de cinco en cinco
haciendo marcas separadoras que sintetizasen la información numérica contenida en las
muesca.
Al llegar a la quinta muesca grababan un trazo oblícuo y en la décima dos trazos oblícuos
cruzados. Volvían a grabar el trazo oblícuo en la muesca número 15 y el aspa en la número
20. Para facilitar la lectura de números más grandes inventaron signos específicos para 50,
100, 500 y 1000.
El siguiente avance se produce cuando esos pastores se dan cuenta de que no es necesario
grabar todas las muescas puesto que algunas de ellas ya recogen toda la información anterior.
Es decir, cuando descubren que para expresar el número IIIIV IIIIV IIIIX IIIV II es suficiente
con escribir XXVII
Los romanos heredaron estas marcas y acabaron por identificarlas con algunas letras.
Así, el trazo oblicuo se identificó con la letra V, el aspa con la X, la marca para 50 se
transformó en una L, la de 100 en una C, y la de 500 y 1000 en una D y una M,
respectivamente. Además añadieron una última modificación al sistema consistente en
introducir un principio sustractivo para acortar la escritura de ciertos números. De acuerdo
con este principio escribían IV en vez de IIII, IX en vez de VIIII, XL en ve de XXXX, etc.
Estamos pues ante un sistema de tipo aditivo, aunque con irregularidades, de base 10 y con
una base auxiliar 5. Este sistema todavía lo usamos nosotros para indicar ordinales y fechas.
Actualmente para escribir en números romanos seguimos las siguientes reglas de
escritura:
i) Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil) son los ‘principales’ y los símbolos V
(cinco), L (cincuenta) y D (quinientos) los ‘secundarios’.
ii) Los símbolos principales no se pueden repetir más de tres veces y los secundarios no
pueden repetirse ninguna vez.
iii) Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor valor se suma. Si un símbolo
principal está situado a la izquierda de un símbolo de mayor valor se resta.
iv) A la izquierda de un símbolo solo se puede poner como símbolo de menor valor el símbolo
principal inmediatamente anterior.
v) Los millares, diezmillares, cienmillares, etc. de los números mayores o iguales que 4.000
se escriben como si fueran unidades, decenas, centenas, etc., colocándoles una raya
horizontal por encima. Por ejemplo, 583.459 se escribe, DLXXXIII CDLIX.
4. TALLER DE MATEMÁTICAS
1. En los siguientes ejercicios, escribe todas las posibilidades utilizando un código de escritura
adecuado y cuenta después cuántas son. Si salen muchos casos posibles encuentra algún
procedimiento que permita hallar el número total sin tener que contar y describe cómo podrían
escribirse todos los casos.
a) Distribuye, de todas las maneras posible, 15 monedas de peseta en cuatro montones.
b) Ana, Marisa, Luis y Pedro quedan en una cafetería. Llegan de uno en uno. Escribe las
posibilidades de orden de llegada de esas cuatro personas.
c) Escribe todos los números de tres cifras que se pueden formar con los dígitos 3, 4, 7, y 9.
¿Cuántos son mayores de 700?
2. Averigua cuántos cuadrados se pueden trazar sobre la trama siguiente con la condición de que los
vértices de cada cuadrado sean puntos de la trama:
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
3. Construye un sistema multiplicativo de base 8 y utilízalo para expresar los números 32768, 5400 y
89. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 8. Vuelve a
escribir los números anteriores en el nuevo sistema.
4. Construye un sistema multiplicativo de base 5 y utilízalo para expresar los números del ejercicio
anterior. Haz las transformaciones necesarias para convertirlo en un sistema posicional de base 5.
Vuelve a escribir los números anteriores en el nuevo sistema.
5. En los siguientes ejercicios suponemos que todos los sistemas de numeración son posicionales. Lo
único que puede variar es la base del sistema.
a. ¿En qué base debe escribirse el número 17 para que se convierta en el 21?
b. ¿En qué base debe escribirse el número 326 para que se convierta en el 2301?
c. ¿En qué sistema de numeración se verifica que 55+43 = 131?
d. ¿En qué sistema de numeración se verifica que 54 x 3 = 250?
6. Sabiendo que en un cierto sistema de numeración se tiene que 36 + 45 = 103, calcula el producto 36
x 45 en dicho sistema.
7. Halla la base del sistema de numeración en el que el número 554 representa el cuadrado de 24.
8. En los sistemas de numeración de bases x y x +1, un número se representa por 435 y 326
respectivamente. Halla x y la expresión de dicho número en el sistema decimal.
9. Halla la base del sistema de numeración en el que los números 479, 698 y 907 están en progresión
aritmética.
10. Un número de tres cifras en el sistema de base 7 tiene sus cifras invertidas en el sistema de base 9.
¿Cuál es ese número? Exprésalo en base decimal.