NOTAS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL PDF

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GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES EN EL ESPACIO EUCLIDEO ,TEORIA DE CURVAS , CURVAS PLANAS,
Vector velocidad , Curvas regulares , Recta tangente y recta normal ,Reparametrizaciones ,Trayectorias y trayectorias orientadas, Sobre la geometría de las curvas , Curvas conguentes ,La Geometría intríseca , Curvas en implícitas , Longitud de una Curva, Parametrización por el arco , Diedro de Frenet , Determinación diferenciable del ángulo, Curvatura , Fórmulas de Frenet ,Carácter intrínseco de la curvatura , Teorema Fundamental (versión plana) , Cálculos con parámetro arbitrario,CURVAS EN EL ESPACIO . ,Triedro de Frenet ,Fórmulas de Frenet , Cálculo de la curvatura y la torsión , Curvas congruentes, Carácter intrínseco ,Cálculos con parámetro arbitrario , Los planos y rectas del triedro de Frenet ,Teorema Fundamental (versión tridimensional) ,Apéndice: Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales SUPERFICIES: CONCEPTOS BÁSICOS Preliminar: Funciones diferenciables ,Aproximación al concepto de superficie., Gráfica de una función, Ceros de una función , Teorema (simplificado) de la función implícita , Superficies parametrizadas,SUPERFICIES ,Coordenadas ,Parametrizaciones locales,Concepto de superficie (regular) , Análisis local de una parametrización,Definiciones equivalentes de superficie , Cartas,Compatibilidad de cartas , ESPACIOS TANGENTES ASUPERFICIES , Cono tangente a un subconjunto en un punto , Plano vectorial tangente a una superficie en un punto . Cambio de coordenadas ,diferencial de una función, Recuerdos de álgebra lineal, Recuerdos de análisis , Plano tangente en implícitas ,La diferencial ,Difeomorfismos entre superficies , Congruencias, FORMAS FUNDAMENTALES FORMAS BILINEALES EN SUPERFICIES . ,Definición , PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL,Expresión analítica local ,Longitudes de curvas , Isometrías ,Integrales de funciones en recintos coordenados, SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL. . . . . . . . . . . . . Campos normales a una superficie. . . . . . . . . . . . Aplicación deGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operador deWeingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvatura normal de curvas en superficies orientadas . Teorema deMeusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . Una interpretación geométrica de la Segunda Forma
Fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expresión analítica local . . . . . . . . . . . . . . . . . Congruencias y Formas Fundamentales . . . . . . . . . CURVATURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicaciones autoadjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . Expresión analítica local del Operador de Weingarten . Curvaturas de superficies orientadas . . . . . . . . . . . Clasificación de los puntos de una superficie . . . . . . Direcciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvaturas principales e Indicatriz de Dupin. . . . . .
Direcciones asintóticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Líneas de curvatura y líneas asintóticas . . . . . . . . . Ecuación normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.10. Símbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvatura geodésica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GEOMETRÍA INTRINSECA LOCAL CARÁCTER INTRÍNSECO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carácter intrínseco y longitudes de curvas. . . . . . . . Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carácter intrínseco e isometrías . . . . . . . . . . . . . Los símbolos de Christoffel en función de la primera FF. Carácter intrínseco de las geodésicas. . . . . . . . . . . Carácter intrínseco de la curvatura deGauss . . . . . . DERIVACIONINTRÍNSECA . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . Las proyecciones tangente y normal . . . . . . . . . . . Derivada intrínseca de un campo tangente a lo largo
de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carácter intrínseco de la derivación intríseca . . . . . TRANSPORTE PARALELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Revisión de la curvatura geodésica: . . . . . . . . . . . Transporte paralelo y geodésicas . . . . . . . . . . . . . Transporte paralelo y curvatura deGauss . . . . . . . GEOMETRIA GLOBAL LA ESTRUCTURA METRICA GLOBAL . . . . . . . . . . . Conexión por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distancia intrínseca en superficies . . . . . . . . . . . . SUPERFICIES DIFEOMORFAS ISOMÉTRICAS O CONGRUENTES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Difeomorfismos y homeomorfismos . . . . . . . . . . . Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficies localmente homogéneas . . . . . . . . . . . Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CURVATURA Y TOPOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . Triángulos en una superficie . . . . . . . . . . . . . . . Triangulaciones e integrales . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Gauss para triángulos geodésicos pequeños Teorema deGauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . .
Superficies topológicas en R3 . . . . Ovaloides . . . . . . . . . . . . . . Superficies de curvatura no positiva
Advertencia inicial:
En todo lo que sigue los vectores de Rn serán considerados fila o columna
(sin aviso explícito), según se desprenda del contexto.
Fijados en el plano un sistema de coordenadas cartesianas, podemos identificar
cada punto p con sus coordenadas (x, y) ∈ R2, y escribimos p = (x, y).
Supongamos que nuestro punto p se mueve por el plano, y en cada instante
t ocupa una posición α(t) = (x(t), y(t)), donde t varía en un cierto
intervalo I ⊆ R . Si nuestro punto no tiene propiedades fantasmales describirá
sobre el plano una traza continua, es decir, las funciones x(t), y(t),
definidas para t ∈ I, serán funciones continuas, y se denomina a α : I → R2
curva (parametrizada).
A veces se expresa esta situación escribiendo
α(t) :
½
x = x(t)
y = y(t)
son las ecuaciones de α (en las coordenadas cartesianas (x, y))
Definición: Supóngase I un intervalo abierto de R . Una curva α : I 3
t → (x(t), y(t)) ∈ R2 se dice diferenciable, si las funciones x(t), y(t), admiten
derivadas de cualquier, órden en todos los puntos t ∈ I. Si el intervalo I no
es abierto, se dirá que α : I → R2 es curva diferenciable, si existe una
aplicación diferenciable ˜α : ˜I → R2 donde ˜I ⊃ I, es un intervalo abierto de
R, y α(t) = ˜α(t), ∀t ∈ I
velocidad de α en t0 a:
α0(t0) = (x0(t0), y0(t0)) = l´ım
∇t→0
α(t0 + ∇t) − α(t0)
∇t
y representa de hecho, la velocidad instantánea de la partícula movil α(t) en
t = t0
Denotamos ⊥α0(t0) = (−y0(t0), x0(t0)), que es α0(t0) girado +π/2 radianes.
si α0(t0) 6= 0. La curva α se llama regular si todos sus puntos son regulares
CURVAS PLANAS
Vector velocidad
Si α : I → R2 es una curva diferenciable, y t0 ∈ I, se llama
vector
Curvas regulares
Un punto α(t0) de una curva diferenciable α : I → R2 se llama
regular,
TEORIADE CURVAS
1.1.3. Recta tangente y recta normal
Por un punto regular α(t0) de una curva diferenciable α, pueden trazarse
dos rectas destacadas:
La recta tangente a α en t0, que es la recta T que pasa por α(t0), y
tiene la dirección de α0(t0). Sus ecuaciones son:
x − x(t0)
x0(t0)
=
y − y(t0)
y0(t0)
La recta normal a α en t0, que es la recta N que pasa por α(t0), y tiene
la dirección de ⊥α0(t0). Sus ecuaciones son:
x − x(t0)
−y0(t0)
=
y − y(t0)
x0(t0)
1.1.4. Reparametrizaciones
Cuando α : I → R2 es una curva, y t : J 3 s → t = t(s) ∈ I es un
difeomorfismo entre intervalos, entonces β = α ◦ t es también una curva y se
verifica:
β0(s) = t0(s)α0(t(s)) ∀s ∈ J
en particular, si α es regular, β también lo es.
1.1.5. Trayectorias y trayectorias orientadas.
La aplicación t, se denomina función de cambio de parámetro, que permite
pasar de α a β. Se dice entonces que las curvas α a β definen la misma
trayectoria. Si t preserva la orientación entonces se dice que ambas curvas
definen la misma trayectoria orientada. Ambas relaciones, son de equivalencia
sobre la familia de curvas regulares, y definen por paso al cociente, los
conceptos de trayectoria, y de trayectoria orientada.
1.1.6. Sobre la geometría de las curvas
Intuitivamente, en el caso de curvas regulares, una trayectoria viene definida
por la imagen de una curva regular, y una trayectoria orientada es una
trayectoria dotada de un sentido de recorrido. Conviene distinguir de entre
las entidades matemáticas ó propiedades asociadas a una curva, aquellas que
dependen solo de la trayectoria (que denominamos geométricas), de las que
dependen de la parametrización concreta. Así por ejemplo el vector velocidad
α0(t) en un punto, no es geométrico, y sin embargo si lo es el vector unitario
tangente α0(t)/ | α0(t) | , o la recta afín tangente a la curva en un punto α(t).
1.1.7. Curvas conguentes
Dos curvas α(t) = (x(t), y(t)) y ¯α(t) = (¯x(t), ¯y(t)), α, ¯α : I → R2, se
dicen congruentes, si existe una congruencia (o movimiento directo)
A : R2 3
μ
x
y


μ
¯x
¯y

= A
μ
x
y

+
μ
a
b

∈ R2
donde A =
μ
cos ω − sin ω
sin ω cos ω

es una matriz de giro. Las ecuaciones de
Aα(t) = ¯α(t) son
½
¯x = a + (cos ω) x (t) + (− sin ω) y (t)
¯y = a + (sinω) x (t) + (cos ω) y (t)
También podemos interpretar que las ecuaciones anteriores son las de la
misma curva α en las coordenadas cartesianas (¯x, ¯y) respecto al sistema de
referencia con origen en (a, b) y base A = (a1, a2) =
μ
cos ω − sin ω
sin ω cos ω

.
Recuerdese que las matrices de giro vienen caracterizadas por las condiciones
AAt = I, det A = 1.
1.1.8. La Geometría intríseca
La geometría intrínseca de una curva estudia los conceptos, propiedades,
etc de las curvas, que no dependen de la parametrización concreta elegida, ni
del sistema de coordenadas cartesiano empleado para escribir sus ecuaciones.
Es por esto una buena idea, elegir para esto, un sistema de coordenadas
cartesianas, respecto al cual las ecuaciones de la curva sean lo más simples
posibles.
1.1.9. Curvas en implícitas
Las trayectorias de las curvas también podrían describirse de forma implícita.
Sea D un abierto de R2 y F : D → R una función. El conjunto de ceros
de F es el conjunto
C = {(x, y) ∈ D : F (x, y) = 0}
se dice entonces que el conjunto C es (ó viene definido impícitamente por la
ecuación) F (x, y) = 0.
Aún cuando F se suponga diferenciable, el conjunto de ceros de F no
tiene porqué ser una linea. De hecho cualquier subconjunto (cerrado) de R2,
puede obtenerse como conjunto de ceros de una función F diferenciable.
No obstante, ciertas hipótesis adicionales sobre la función F, nos permiten
garantizar (al menos localmente) la existencia de curvas parametrizadas,
cuyas trayectorias describen el conjunto de los ceros de F.
Teorema (breve) de la función implícita Sea D un abierto de R2 y F :
D → R una función diferenciable, y C el conjunto de ceros de F. Sea (x0, y0) ∈
C , y supóngase que alguna de las derivadas parciales (∂F/∂x)(x0,y0) , (∂F/∂y)(x0,y0)
es distinta de cero, por ejemplo (∂F/∂y)(x0,y0) 6= 0 Existe un entorno U de
(x0, y0), y una aplicación diferenciable g : (a, b) → R donde (a, b) es intervalo
abierto de R (x0 ∈ (a, b)) de manera que
{(t, g(t)) : t ∈ (a, b)} = {(x, y) ∈ U:F (x, y) = 0}
de esta forma la trayectoria de la curva regular α : (a, b) 3 t → (t, g(t)) ∈ R2
coincide con C ∩ U Naturalmente hay un resultado análogo cuando (∂F /∂y)(x0,y0) 6= 0
Puntos singulares y regulares. Cuando F : D → R es una función diferenciable,
un punto (x0, y0) ∈ C = F −1(0) se dice singular si
μ
∂F
∂x

(x0,y0)
=
μ
∂F
∂y

(x0,y0)
= 0
Si no es singular, se denomina punto regular. Cuando todos los puntos de C
son regulares, cada componente conexa, puede expresarse como la trayectoria
de una curva regular. Una situación muy frecuente, es que el conjunto de
puntos singulares de C, sea un conjunto de puntos aislados. En este caso,
cada componente conexa de C puede espresarse como una trayectoria de una
curva regular a pedazos.
Dirección normal y la tangente en un punto regular Si F : D → R
es una función diferenciable, (x0, y0) ∈ C = F −1(0) es un punto regular,
entonces el vector
(gradF )(x0, y0) =
Ãμ
∂F
∂x

(x0,y0)
,
μ
∂F
∂y

(x0,y0)
!
es distinto de (0, 0), y su dirección es normal a la curva en el punto (x0, y0).
Demostración: Si α : (a, b) 3 t → (x(t), y(t)) ∈ R2es una curva regular
con F (α(t)) = 0 ∀t, y F (α(t0)) = (x0, y0) entonces usando la regla de la
cadena:
dF ◦ α
dt
¯¯¯¯
t0
=
μ
∂F
∂x

(x0,y0)
dx
dt
¯¯¯¯
t0
+
μ
∂F
∂y

(x0,y0)
dy
dt
¯¯¯¯
t0
o de forma equivalente, si v.w denota el producto escalar ordinario de v, w ∈
R2 se tiene:
(gradF )(α(t0)).α0(t0) = 0
y así (gradF )(α(t0)) es ortogonal al vector velocidad α0(t0).
1.1.10. Longitud de una Curva.
Sea α : I = [a, b] → R2 una curva regular. Se llama longitud de α a
L(α) =
Z b
a | α0(t) | dt =
Z b
a

dx
dt
¶2
+
μ
dy
dt
¶2
dt (1)
Justificación del concepto de longitud. La longitud de una curva α
se debe definir inicialmente de la siguiente forma:
Consideremos la familia de todas la particiones a = t0 < . . . < tr = b del intervalo [a, b], entonces L(α) = l´ım Δt→0 Xr i=0 ¯¯¯ α−−(−ti−)−α−(t−i−+−−Δ−t→i) ¯¯¯ donde se entiende que Δti = ti+1 − ti, y Δt = m´ax{Δti : i = 1, . . . r}. Supongamos para simplificar que la curva α es la gráfica de una función , y = f (x) , f : [a, b] → R, es decir, α(t) = (x(t), y(t)) = (t, f (t)) llamando , Δxk = tk+1 − tk, Δyk = f (tk+1) − f (tk), por el teorema del valor medio podemos tomar ξk ∈ (tk , tk+1) con Δyk/Δxk = f 0(ξk), y se tiene: L(α) = l´ım Δt→0 Xr i=0 q (Δxk)2 + (Δyk)2 = l´ım Δt→0 Xr i=0 s 1 + μ Δyk Δxk ¶2 Δxk = l´ım Δt→0 Xr i=0 p 1 + f 0(ξk)2Δxk = Z b a ¡ 1 + f 0(t)2¢ dt Si t : J → I es un cambio de parámetro, entonces usando la fórmula (1) se tiene, tomando c = t(a), d = t(b): L(α) = Z b a | α0(t) | dt = Z d c | α0(t(s)) | dt(s) = Z d c | α0(t(s)) | dt ds ds = Z d c | α0(t(s)) dt ds | ds = L(α ◦ t) La longitud es pues un concepto que pertenece a la geometría de la curva. Probemos que pertenece a la geometría intrínseca: En efecto si Aα(t) = ¯α(t), donde A : R2 → R2 es el movimiento dado en el parágrafo 1.1.7 entonces como el giro A : R2 → R2 μ x y ¶ → A μ x y ¶ preserva el producto escalar, se concluye que |¯α(t)| = |Aα(t)| = |α(t)| y L(α) = Z b a | α0(t) | dt = Z b a | α0(t) | dt = L(α) 1.1.11. Parametrización por el arco Una curva regular β : J → R2que verifica la condición | β0(s) |= 1, se dice que está parametrizada respecto a la longitud de arco (en lo sucesivo PPA) ya que verifica la identidad L(β | [a, b]) = b − a ∀a, b ∈ J, a < b Si α : I → R2es una curva regular, y t0 ∈ I , la aplicación s : I 3 t → s = s(t) = Z t t0 | α0(t) | dt ∈ s (I) = J es un cambio de parámetro con s0(t) =| α0(t) |. Si t = s−1 : J → I, la curva reparametrizada β = α ◦ t está parametrizada por la longitud de arco. 1.1.12. Diedro de Frenet Si α : I → R2 un curva regular se denomina al vector tangente unitario a T (t) = α0(t) | α0(t) | = 1 p x0(t)2 + y0(t)2 (x0(t), y0(t)) el vector normal unitario es: N (t) = ⊥ α0(t) | α0(t) | = 1 p x0(t)2 + y0(t)2 (−y0(t), x0(t)) Nótese que si la curva está PPA entonces T = α0, y N =⊥ α0(t). 1.1.13. Determinación diferenciable del ángulo. Sea α : I → R2 un curva .Una determinación diferenciable del ángulo (DDA) es una aplicación diferenciable θ : I → R tal que T (t) = (cosθ(t), sin θ(t)) ∀t ∈ I Se puede probar que siempre existe una DDA, (que queda unívocamente determinada salvo múltiplos enteros de 2π), en tres pasos. Supongamos I = [a, b] 1) Para todo t0 ∈ I, existe un ε > 0 y θ : (t0 − ε, t0 + ε) ∩ I → R que es
DDA.
2) Existe una partición a = t0 < t1 < · · · < tr = b y funciones ¯θi : [ti−1, ti] → R que son DDA. 3) Pongamos ¯θ 1 : [t0, t1] → R, ¯θ 2 : [t1, t2] → R entonces ¯θ2(t1) −¯θ1(t1) = 2nπ para n ∈ Z, y se construye θ2 : [t0, t2] → R, DDA de la forma: θ2(t) = ½ ¯θ 1(t) si t ∈ [t0, t1] ¯θ 2(t) − 2nπ si t ∈ [t1, t2] Tenemos así definida paso a paso θr : [a, b] → R que es DDA. Observese que si θ es una DDA entonces también se tiene: N(t) = (− sin θ(t), cos θ(t)) ∀t ∈ I 1.1.14. Curvatura Si α : I → R2 es curva regular, se define la curvatura de α en un punto α(t0) como: κ(t0) = l´ım Δt→0 θ (t0 + Δt) − θ (t0) L ( α| [t0, t0 + Δt]) (2) donde θ es una DDA. Parece claro que la definición dada de curvatura es intrínseca. De hecho, si α es curva PPA, entonces se tiene: κ(s0) = l´ım Δs→0 θ (s0 + Δs) − θ (s0) Δs = θ0 (s0) 1.1.15. Fórmulas de Frenet Si α : I → R2 es curva PPA, fijada θ : I → R una DDA, entonces el diedro de Frenet de α es T (s) = (cosθ(s), sin θ(s)), N(s) = (− sin θ(s), cos θ(s)) y se verifica T 0(s) = θ0 (s) (− sin θ(s), cos θ(s)), y N0(s) = θ0 (s) (− cos θ(s), − sin θ(s)) se tienen así las fórmulas: T 0 = κN N0 = −κT ¾ (3) que se denominan fórmulas de Frenet. 1.1.16. Carácter intrínseco de la curvatura Observese que si α : I → R2 es curva PPA tenemos por (3) (α0, α00) = (T, N) μ 1 0 0 κ ¶ κ = det(α0, α00) = ±|α00| Esta fórmula permite probar que la curvatura es intrínseca ya que si Aα(t) = ¯α(t) para un movimiento A entonces A (α0(t), α00(t)) = (¯α0(t), ¯α00(t)) y como det A = 1, se concluye κ = det (α0, α00) = det A det (¯α0, ¯α00) = 1.κ. El estudio de la geometría intrínseca de una curva, no depende del sistema cartesiano utilizado. En particular si tomamos una referencia cartesiana con origen el punto α (0) ≡ (0, 0) y con base ortonormal la dada por (T (0), N (0)), la curva tiene unas coordenadas α (s) = (x (s) , y (s)) cuyo desarrollo en serie de Taylor en s = 0 resulta determinado, en este caso, por los valores de la curvatura y sus sucesivas derivadas en el 0. En efecto, teniendo en cuenta que T (s) = (x0 (s) , y0 (s)) y N (s) = (−y0 (s) , x0 (s)) a partir de las fórmulas (3), podemos expresar las derivadas de cualquier orden de T en función de la base (T, N) , con unos coeficientes que resultan ser combinaciones de las sucesivas derivadas de la curvatura. El proceso comienza así: T 0 = κN , T 00 = d ds (κN) = κ0N + κN 0 = −κ2T + κ0N ,