MÚLTIPLOS , DIVISORES Y OPERACIONES EJEMPLOS DE MATEMATICA 5–QUINTO AÑO PDF

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EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
• Reconocer múltiplos, divisores y factores primos de números naturales.
• Formular y verificar algunas propiedades de los números naturales.
• Calcular multiplicaciones y divisiones de números naturales.
• Resolver problemas usando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y
divisiones de números naturales.
• Interpretar expresiones matemáticas en las que se emplean letras para
representar números o cantidades.
• Determinar el valor de estas expresiones matemáticas.
CONVERSEMOS DE…
Daniel visitó al doctor porque se sentía cansado. Luego de hacerle
algunas preguntas, el doctor le comentó que todos los seres
humanos necesitamos alimentarnos adecuadamente y, que
probablemente, si aumentaba el consumo de frutas y verduras,
carnes blancas, lácteos, legumbres y líquido, disminuiría la
cantidad de grasas y se sentiría mejor.
Daniel, considerando la sugerencia del doctor, fue a la feria que se
muestra en la imagen y compró: 3 kg de manzanas, 2 kg de
naranjas, 1 kg de papas, 3 kg de tomates, 4 lechugas y 6 pepinos.
Luego fue a un supermercado y compró 12 L de leche, 7 L de agua
mineral y 1 kg de lentejas.
Según los datos anteriores y la información de la imagen,
responde:
• ¿Cuánto dinero gastó Daniel en la feria?, ¿cómo lo calculaste?
• Si en el supermercado el litro de leche estaba a $ 649, el de agua
mineral a $ 519 y el kilogramo de lentejas a $ 759, ¿cuánto
dinero gastó Daniel aproximadamente en el supermercado?,
¿cómo lo calculaste?
• De los alimentos que consumes habitualmente, ¿cuáles crees que
no favorecen tu salud?, ¿por qué?
• ¿Qué alimentos debieras incluir en tu alimentación diaria?
• Elabora una lista con los alimentos saludables que comprarías en
una feria, almacén o supermercado, estima sus valores y calcula
cuánto gastarías aproximadamente.

Múltiplos
Pedro vende choclos en la feria y los guarda en sacos para llevarlos a
su puesto. Él echa cada vez tres choclos en el saco y los va contando.
En esta actividad deberán trabajar con material concreto y contar colecciones
de objetos haciendo diferentes agrupaciones.
Para esto formen un grupo de 3 integrantes y sigan las instrucciones.
1. Pongan todos los palos de helado sobre la mesa.
2. Uno de los integrantes los guarda, echando cada vez dos palos de helado en la bolsa, mientras
otro integrante va contando cuántos palos hay en total en la bolsa cada vez que se echa un
nuevo grupo.
3. El tercer integrante anota la secuencia que se forma con los números que va contando su
compañero o compañera.
4. Repitan estos pasos, pero echando a la bolsa grupos de 4, 5 y 10 palos de helado cada vez.
5. Observen las secuencias que escribieron y respondan:
a) ¿En qué se parecen las secuencias que escribieron?
b) ¿Cuál podría ser la regla de formación de cada una de estas secuencias?
c) Si hubiesen trabajado con 100 palitos de helado más, ¿cuáles serían los números que
seguirían en cada secuencia?
EN EQUIPO Materiales:
• 60 palos de
helado
• 1 bolsa
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántos choclos hay dentro del saco después de echar 5 grupos de
choclos?, ¿y después de echar 6 grupos? ¿Cómo lo calculaste?
• Si él está contando el total de choclos que va teniendo en el saco cada
vez y lleva 12 veces, ¿cuáles serán los próximos cinco números que
dirá?
• Si siempre echa de a 3 choclos, ¿puede haber en algún momento 38
choclos en el saco?, ¿y 39 choclos? ¿Cómo lo supiste?
• Si el saco tiene capacidad para 100 choclos, ¿cuántas veces echará los
grupos de a 3 choclos, 33 ó 34?, ¿por qué?
3, 6, 9, 12…
Para representar una
multiplicación de dos
números cualesquiera
y , utilizamos la
expresión
• y se lee .
A yuda
7, 14, 21, 28, 35, 42,… Múltiplos de 3
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,… Múltiplos de 6
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,… Múltiplos de 8
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,… Múltiplos de 7
Cuando un número lo multiplicamos por cada uno de los números naturales,
obtenemos los múltiplos del número. Por ejemplo:
3 • 1 = 3 3 • 2 = 6 3 • 3 = 9 3 • 4 = 12 3 • 5 = 15 3 • 6 = 18 …
Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…
Para obtener múltiplos de un número también podemos formar una secuencia
sumando el mismo número al término anterior. Por ejemplo:
NO OLVIDES QUE…
EN TU CUADERNO
+ 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
1. Une cada secuencia con el recuadro que indica a los múltiplos de qué número corresponde.
2. Completa cada afirmación. Guíate por el ejemplo.
24 es múltiplo de 6, porque 6 • 4 = 24
a) 56 es múltiplo de 7, porque 7 • = 56
b) 25 es múltiplo de 5, porque 5 • = 25
3. Escribe en tu cuaderno los primeros 10 múltiplos de 9, 10, 11 y 12.
4. Escribe los múltiplos que se indican en cada caso.
a) Múltiplos de 4 que sean menores que 48 y mayores que 8.
b) Múltiplos pares de 5 que sean menores que 50 y mayores que 25.
c) Múltiplos de 8 que sean menores que 120 y mayores que 80.
5. En la semana del colegio, Matilde ayuda a llenar bolsas con chocolates para entregar en los distintos
concursos. En cada bolsa debe colocar 5 chocolates.
c) 20 es múltiplo de10, porque 10 • = 20
d) 72 es múltiplo de 8, porque 8 • = 72
a) ¿Cuántos chocolates ha repartido en total si ha llenado 16 bolsas?, ¿y si ha llenado 65 bolsas?
b) ¿En algún momento, Matilde podría haber ocupado 46 chocolates para llenar cierta cantidad de
bolsas? Explica.
3 6 9 12 15 18 21 24
Factores y divisores
En esta actividad deberán descomponer números en forma
multiplicativa, identificando sus factores.
Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones:
1. Calquen en el papel lustre la tarjeta de muestra, según las indicaciones y recórtenlas.
• 15 de color amarillo
• 10 de color verde
• 6 de color rojo
2. Cada integrante elige un color de tarjetas y escribe en la cara de color los
siguientes números:
• En las tarjetas amarillas: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,
28 y 30.
• En las tarjetas verdes: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 y 30.
• En las tarjetas rojas: 5, 10, 15, 20, 25 y 30.
3. Al reverso de las tarjetas, escriban todas las multiplicaciones posibles de dos factores
cuyos productos sean los números escritos en la cara de color. Por ejemplo:
4. Intercambien sus tarjetas y revisen si las multiplicaciones que escribieron sus compañeros y
compañeras son correctas y si están todas las posibles.
5. Recuerden que los divisores de un número son aquellos que dividen en forma exacta a dicho
número. Considerando esta afirmación, respondan: ¿Los factores en los que se puede
descomponer un número son también divisores de dicho número?, ¿por qué?
EN EQUIPO
PARA DISCUTIR
• ¿El 1 es múltiplo o divisor de todos los números escritos en las
tarjetas?, ¿por qué?
• ¿Qué números tienen como factor el 2?, ¿en qué se parecen estos
números?
• ¿Qué números tienen como divisor el 5?, ¿en qué se parecen estos
números?
• ¿Cuántos divisores tiene el número 12?, ¿y cuántos múltiplos?, ¿cómo
lo supiste?
6 1 • 6
2 • 3
3 • 2
6 • 1
Materiales:
• 3 pliegos de papel lustre
(amarillo, verde, rojo)
• Tijeras
• Plumón delgado
tarjeta
de muestra
Los números que escribieron al reverso:
1, 2, 3 y 6, corresponden a los divisores
del número 6.
2. Pablo está haciendo un álbum del verano. En total tiene 72 fotografías y está pensando en la
cantidad de páginas que debe tener su álbum para poner exactamente la misma cantidad de fotos en
cada una de ellas.
1. Escribe todas las multiplicaciones posibles de dos factores cuyos productos sean los siguientes
números.
EN TU CUADERNO
• Los factores de un número son los términos en que se puede descomponer
multiplicativamente el número.
Ejemplo: Los factores de 27 son: 1 y 27 ó 3 y 9, porque:
1 • 27 = 27 ó 3 • 9 = 27
• Todo factor de un número es divisor de él.
• Los divisores de un número son aquellos que lo dividen en forma exacta.
Ejemplo: Los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27, porque:
27 : 1 = 27 27 : 3 = 9 27 : 9 = 3 27 : 27 = 1
De esta forma, 27 es divisible por 1, 3, 9 y 27.
• Todo número natural tiene siempre como divisores el 1 y sí mismo.
NO OLVIDES QUE…
a) 100
b) 122
a) 36
b) 45
c) 48
d) 50
e) 60
f) 90
a) ¿Puede hacer un álbum de 72 páginas?, ¿cuántas fotografías quedarían en cada página?
b) Si el material que compró le alcanza para hacer un álbum de un máximo de 30 páginas,
¿cuál es la cantidad de páginas que debería tener su álbum? ¿Cuántas fotografías irían en
cada página?
3. Francisca colecciona postales y para mantenerlas ordenadas las guarda en sobres, colocando la
misma cantidad de postales en cada uno. Si no pone una postal en cada sobre ni todas en uno, solo
las puede guardar en cada sobre grupos de 3, de 5 y de 25, ¿cuántas postales tiene Francisca?
4. Escribe todos los divisores de los siguientes números. Puedes utilizar calculadora.
g) 168
h) 189
c) 143
d) 144
e) 155
f) 156
5. Copia la tabla en tu cuaderno y marca un si los números de la primera columna son divisibles
por 2, 3, 5, 6 ó 10 y una en caso contrario. Guíate por el ejemplo.
6. Observa la tabla anterior, comenta y responde:
a) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 2?
b) Suma los dígitos que forman los números que son divisibles por 3, ¿cómo se
relacionan los resultados?
c) Si un número es divisible por 2 y por 3, ¿por cuál otro número es divisible siempre?
d) ¿En qué se parecen los números que son divisibles por 5?, ¿y los números que son
divisibles por 10?
7. Escribe cinco números que sean divisibles por:
a) 2
8. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes
encontrar más de una respuesta.
a) 3 5 es divisible por 3
b) 123 es divisible por 2
c) 19 es divisible por 5
Es divisible por 2 3 5 6 10
24
50
65
73
85
96
102
189
234
390
1208
2000
2555
3600
4236
c) 5
d) 212 es divisible por 10
e) 6 891 es divisible por 3
f) 12 56 es divisible por 6
b) 3 d) 10
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
• Compara tus respuestas con tus compañeras y compañeros.
9. Los siguientes números son múltiplos de 9. Obsérvalos y luego responde:
a) Suma los dígitos que los forman, ¿qué observas?
b) ¿Son divisibles por 3?, ¿ocurrirá siempre?
c) Si un número es divisible por 3, ¿es siempre divisible por 9?, ¿por qué?
10. Los siguientes números son múltiplos de 4. Obsérvalos y luego responde:
a) Observa los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y unidades de los números
destacados con rojo, ¿qué números forman?, ¿de cuál número son múltiplos?
b) ¿En qué se parecen los números destacados con azul?
c) Si un número es divisible por 4, ¿es siempre divisible por 2?, ¿por qué?
d) Si un número es divisible por 2, ¿es siempre divisible por 4?, ¿por qué?
11. Completa los espacios con el dígito que corresponda, para que se cumpla la afirmación. Puedes
encontrar más de una respuesta.
a) 7 6 es divisible por 6.
b) 32 4 es divisible por 9.
12. Utilizando las regularidades que descubriste en las actividades anteriores acerca de la divisibilidad,
encuentra todos los divisores de los siguientes números:
a) 63
b) 124
Un número es divisible por 2 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0, 2,
4, 6 u 8, es decir, si es 0 o un número par.
Un número es divisible por 3 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 cuando los dígitos ubicados en las posiciones de las decenas y
unidades forman un múltiplo de 4 o ambos son 0.
Un número es divisible por 5 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0 ó 5.
Un número es divisible por 6 cuando cuando lo es por 2 y por 3.
Un número es divisible por 9 cuando la suma de los dígitos que lo forman es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 cuando el dígito ubicado en la posición de las unidades es 0.
NO OLVIDES QUE…
112 452 1360 2080 6948
300 500 7000 10 000
135 396 1233 2070 9756
342 522 1899 3690
c) 145
d) 250
c) 192 es divisible por 4.
d) 230 es divisible por 4.
PARA DISCUTIR
• ¿Las posibles cantidades de integrantes por cada grupo corresponden a
los múltiplos o a los divisores de 45?
• ¿Cuántos divisores tiene el número 45?, ¿y el 36?, ¿cómo lo supiste?
• Si en otro curso hay 37 estudiantes, ¿cuántas posibilidades existen para
formar grupos?, ¿y cuántos divisores tiene el número 37?
• ¿En qué se parecen los números 45 y 36?, ¿y en qué se diferencian de
los números 37 y 23?
• Si quisieran formar grupos en tu curso con igual cantidad de
integrantes cada uno, ¿cuáles serían las posibilidades?
Factores primos
En un curso de 45 estudiantes se requiere formar grupos con igual
cantidad de integrantes para realizar un trabajo en equipo.
Si revisamos todas las posibles cantidades de integrantes que
pueden tener los grupos, se puede obtener las siguientes
combinaciones:
1 solo grupo de 45 integrantes 1 • 45 = 45
3 grupos de 15 integrantes 3 • 15 = 45
5 grupos de 9 integrantes 5 • 9 = 45
9 grupos de 5 integrantes 9 • 5 = 45
15 grupos de 3 integrantes 15 • 3 = 45
45 grupos de 1 integrante 45 • 1 = 45
Luego, los grupos pueden tener 1, 3, 5, 9, 15 y 45 integrantes.
Los números primos son aquellos números mayores que 1 que tienen solo 2 divisores y
distintos entre sí, el 1 y el mismo número. Aquellos números que tienen más de dos
divisores se llaman números compuestos. Por ejemplo: el número 25 es un número
compuesto porque sus divisores son 1, 5 y 25, en cambio, el 43 es un número primo
porque sus divisores son 1 y 43.
NO OLVIDES QUE…
EN TU CUADERNO
1. Escribe, en orden, los números del 1 al 100 y sigue las indicaciones.
a) Encierra en una circunferencia el número 2 y tacha sus múltiplos.
b) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 3, y tacha sus múltiplos.
c) Encierra el número siguiente, que aún no se ha tachado, o sea el 5, y tacha sus múltiplos.
d) Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los números.
2. Comenta y responde, según lo que obtuviste en el ejercicio anterior.
a) ¿En qué se parecen los números encerrados en una circunferencia?, ¿son números primos o
compuestos?
b) ¿En qué se parecen los números tachados?, ¿son números primos o compuestos?
c) ¿Cuál o cuáles no son ni primos ni compuestos?, ¿por qué?
3. Completa con el factor que falta para que se cumpla cada igualdad.
a) 8 = 2 • 2 •
b) 10 = • 5
c) 26 = • 2
4. ¿En qué se parecen los factores de los números del ejercicio anterior? Comenta.
5. Paula dice que los números compuestos se pueden descomponer en factores primos. ¿Estás de
acuerdo con ella? Da 3 ejemplos.
6. Observa y comenta las siguientes estrategias para descomponer un número en sus factores
primos.
Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números, utilizando una de las
estrategias anteriores.
j) 100
k) 120
l) 144
Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más números
primos, esta se llama descomposición en factores primos.
NO OLVIDES QUE…
a) 13
b) 15
c) 18
d) 25
e) 27
f) 32
g) 35
h) 42
i) 90
Busco dos números cuyo producto sea el
número que deseo descomponer. Repito el
procedimiento con los factores que sean
números compuestos, hasta obtener solo
números primos.
Divido el número que deseo descomponer por el menor
número primo que sea factor, en este caso el 2, y escribo
el cociente debajo. Repito lo anterior cuántas veces sea
posible y luego continúo, pero con los siguientes
números primos hasta obtener 1 como cociente.
12
2 • 6
2 • 3
12 2
6 2
3 3
1
d) 28 = • 2 • 7
e) 30 = • 2 • 3
f) 66 = 3 • •2
En ambas estrategias se obtiene que los factores primos de 12 son 2 y 3.
Mínimo común múltiplo
y máximo común divisor
Dos colegios se organizaron para ayudar a un jardín infantil de
escasos recursos. Uno le entrega alimentos no perecibles cada
2 meses y el otro, materiales escolares cada 3 meses.
El primer colegio recolectó 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de
leche en polvo mientras que el segundo reunió 90 cartulinas de
colores, 45 barras de pegamento y 30 paquetes de plasticina. La
entrega de estas donaciones se distribuyó en cajas y bolsas tal como
se observa en las imágenes.
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántas cajas se pueden armar para que contengan la misma
cantidad de cada uno de los alimentos y no sobre nada? Y si tuvieran
que armar la mayor cantidad, ¿cuántas cajas necesitarían?, ¿cómo lo
calculaste?
• Los alumnos del segundo colegio, ¿cuántas bolsas pueden armar para
que contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales
escolares y no sobre nada? Y si tuvieran que armar la mayor cantidad,
¿cuántas bolsas necesitaría?
• Si ambos colegios entregaron juntos en marzo, ¿en cuántos meses más
volverán a coincidir en el mes que entregan?, ¿cómo lo supiste?
Una manera de encontrar todas las posibilidades de colocar la
misma cantidad de cada uno de los alimentos no perecibles en las
cajas es calculando los divisores de 24, 40 y 72.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Divisores de 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40.
Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
Como puedes observar, los divisores comunes entre los números 24,
40 y 72 son el 1, 2, 4 y 8.
Ahora veamos qué significan estos números en la situación.
1 caja con 24 kg de arroz, 40 kg de fideos y 72 kg de leche en polvo.
2 cajas con 12 kg de arroz, 20 kg de fideos y 36 kg de leche en polvo.
4 cajas con 6 kg de arroz, 10 kg de fideos y 18 kg de leche en polvo.
8 cajas con 3 kg de arroz, 5 kg de fideos y 9 kg de leche en polvo.
EN TU CUADERNO
1. ¿Cuánto es el máximo de bolsas con materiales escolares que puede armar el colegio para que
contengan la misma cantidad de cada uno de los materiales escolares y no sobre nada? Responde
utilizando la estrategia anterior.
2. Responde si estás o no de acuerdo con cada una de las siguientes afirmaciones. Explica el porqué.
a) El mcm entre 4 y 8 es 8. c) El mcm entre 6, 12 y 24 es 48.
b) El mcd entre 4 y 8 es 8. d) El mcd entre 6, 12 y 24 es 6.
3. Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los siguientes números.
a) 5 y 7 d) 4 y 20 g) 5 y 15 j) 24, 32 y 48
b) 7 y 13 e) 6 y 48 h) 7 y 49 k) 21, 42 y 63
c) 11 y 17 f) 9 y 36 i) 11 y 121 l) 20, 30 y 40
El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre dos o más
números.
El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o más
números.
NO OLVIDES QUE…
Luego, la cantidad máxima de cajas es 8. Observa que el 8
corresponde al mayor de los divisores comunes de 24, 40 y 72 y
recibe el nombre de máximo común divisor (mcd).
Una manera de saber en cuántos meses más coincidirán en la
entrega es calcular los múltiplos de 2 y 3.
Múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,…
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15,…
Como puedes observar, los múltiplos comunes entre los números 2 y
3 son el 6, 12,…
Ahora veamos qué significan estos números en la situación.
6 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a coincidir
en la entrega, es decir, en septiembre.
12 meses después de la primera entrega (marzo) volverán a
coincidir en la entrega, es decir, en marzo del año siguiente.
Luego, la primera vez que volverán a coincidir en la entrega es en
6 meses después de marzo. Observa que el 6 corresponde al menor
de los múltiplos comunes de 2 y 3 y recibe el nombre de mínimo
común múltiplo (mcm).
Para calcular el mcm, Daniel considera todos los factores primos que están
en alguna de las descomposiciones: 2, 3 y 5.
Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la mayor cantidad
de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa
cantidad de veces:
– El 2 aparece solo una 1 vez 2
– La mayor cantidad de veces que aparece el 3 es tres veces 3 • 3 • 3
– La mayor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5
El mcm entre 45, 90 y 135 es 270.
Para calcular el mcd, Andrea considera todos los factores que se repiten:
3 y 5.
Luego, revisa en cuál de las descomposiciones se repite la menor cantidad
de veces cada uno de estos factores y los multiplica por sí mismo esa
cantidad de veces:
– La menor cantidad de veces que aparece el 3 es dos veces 3 • 3
– La menor cantidad de veces que aparece el 5 es una vez 5
El mcd entre 45, 90 y 135 es 45.
a) ¿Es correcto el cálculo del mcm realizado por Daniel? Verifica utilizando
otra estrategia.
b) ¿Es correcto el cálculo del mcd realizado por Andrea? Verifica
utilizando otra estrategia.
c) ¿Qué opinas de las estrategias utilizadas por Daniel y Andrea?,
¿cuándo sería conveniente utilizarlas?, ¿por qué?
4. Daniel y Andrea deben calcular el mcm y el mcd entre los números 45, 90 y 135. Observa cómo lo
hacen y luego responde.
Primero descomponen los números en sus factores primos:
90 2
45 3
15 3
5 5
1
45 3
15 3
5 5
1
135 3
45 3
15 3
5 5
1
5. Calcula el mcm y el mcd entre los siguientes números utilizando la estrategia de Daniel.
a) 12 y 27
b) 45 y 63
c) 28, 42 y 70
d) 25, 50 y 60
e) 32, 48 y 64
f) 27, 54 y 81
g) 15, 25 y 30
h) 140, 210 y 280
El producto de
2 • 3 • 3 • 3 • 5
es igual a 270.
El producto de
3 • 3 • 5
es igual a 45.
Resuelve de dos maneras distintas la siguiente situación y explica paso a paso
cómo la resolviste.
Los cursos de 5° Básico de un colegio van a campamento cada 6 meses y los
cursos 6° Básico cada 4. Este año los cursos 5° y 6° Básico se van de
campamento a la montaña juntos. El profesor decide hacer con ellos grupos
con igual cantidad de estudiantes para ocupar cada carpa.
1. Si el 5° A tiene 24 estudiantes, el 5° B, 36; el 6° A, 25; 6° B, 30. Y cada carpa
tiene una capacidad para 8 personas ¿cuántas carpas utilizarán en los cursos
de 5° Básico?, ¿y cuántas en los cursos 6° Básico?, ¿cómo lo supiste?
2. Si los cursos de 5° y 6° Básico coincidieron este año, ¿en cuántos años más
volverán a coincidir?
MI PROGRESO
6. Resuelve los siguientes problemas, explica paso a paso cómo llegaste a la solución.
a) Don José tiene 2 listones de madera, uno de 72 cm y otro de 48 cm. Si desea
obtener de los dos listones trozos más pequeños pero todos de la misma
medida, ¿de cuánto deberían ser los cortes para que no sobre nada?
b) El médico da la siguiente receta a Vicente: cada 8 horas tomar las gotas para el
dolor de cabeza, cada 6 horas tomar el remedio para el malestar estomacal, y
cada 4 horas el antibiótico. Si Vicente comienza a las 14:00 horas a tomar los
tres medicamentos, ¿a qué hora volverá a tomar los tres medicamentos
juntos?
c) Andrea y Guillermo trabajan en una florería y hoy deben hacer ramos con la
misma cantidad de claveles y rosas. Si tienen 12 claveles y 18 rosas, ¿cuántos
ramos podrán hacer?, ¿cuántos claveles y rosas tendrá cada ramo?
7. Francisco asiste a una escuela de fútbol y tiene entrenamiento a las 16:00 horas. Si
entre cada entrenamiento tiene 2 días de descanso y su primer entrenamiento fue
el 31 de mayo, anota 9 fechas posibles en que Francisco va a la escuela de fútbol.
a) Si Francisco está de cumpleaños el 21 de junio y decide celebrarlo en su casa a
partir de las 15:30 horas, ¿podrá asistir a su entrenamiento?, ¿por qué?
b) Si el entrenador se enferma los días 13, 14 y 15 de junio, ¿Francisco
perderá días de entrenamiento?, ¿cuántos?
8. Piensa, comenta y responde:
a) Daniela dice que el mcm entre dos o más
números primos es el producto entre ellos y
su mcd es 1. ¿Estás de acuerdo?, ¿por qué?
Escribe 3 ejemplos.
b) Carlos dice que cuando calcula el mcm entre
dos números se fija si uno es múltiplo del otro
y, si es así, el mcm es el que es múltiplo del
otro. ¿Qué opinas tú? Da 5 ejemplos.
JUNIO 2009
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LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO
Multiplicación y división
En una pastelería se hacen galletas caseras y se venden en bolsitas que
contienen 12 galletas cada una. Observa.
Los datos de la situación anterior los podemos registrar en la siguiente
tabla:
N° de bolsas 1 2 3 4 5
Cantidad de galletas 12 24 36 48 60
Observa que la cantidad de galletas que se necesita para llenar cierta
cantidad de bolsas aumenta en forma proporcional, es decir, si
dividimos la cantidad de galletas por el número de bolsas obtenemos
un valor constante, en este caso 12.
Si conocemos el número de bolsas que queremos llenar, bastaría con
calcular el producto entre este número y 12 para conocer cuántas
galletas debemos hacer:
Si conocemos el número de galletas que tenemos, bastaría con calcular
el cociente entre este número y 12 para conocer cuántas bolsas
debemos llenar:
Para llenar 500 bolsas
500 • 12 = 6000
Necesitamos 6000 galletas
Para llenar 1000 bolsas
1000 • 12 = 12 000
Necesitamos 12 000 galletas
Para llenar 100 bolsas
100 • 12 = 1200
Necesitamos 1200 galletas
Tenemos 6000 galletas
6000 : 12 = 500
Podemos llenar 500 bolsas
Tenemos 9000 galletas
9000 : 12 = 750
Podemos llenar 750 bolsas
Tenemos 300 galletas
300 : 12 = 25
Podemos llenar 25 bolsas
PARA DISCUTIR
• ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 7 bolsitas?,
¿cómo lo resolviste?
• ¿Cuántas galletas deben hacer para entregar un pedido de 14 bolsitas?,
¿y de 28?
• Al aumentar al doble la cantidad de bolsas de galletas, ¿qué ocurre con
la cantidad de galletas?, ¿y al aumentar al triple la cantidad de bolsitas?
• Si se hacen 324 galletas, ¿cuántas bolsitas se pueden llenar?, ¿sobra
alguna galleta?, ¿cómo lo calculaste?
• Si se hacen 330 galletas, ¿se pueden armar más bolsitas que con las
324 galletas?, ¿por qué?
41 309 • 126
54
1800
6000
240 000
180
6000
20 000
800 000
+ 4 130 900
5 204 934
EN TU CUADERNO
1. Paulina y Manuel tienen una fábrica de muebles y hoy vendieron 126 sillas por $ 41 309 cada una
para un restaurante nuevo. Observa los procedimientos que utilizan para calcular el total de su venta
y responde.
( 40 000 + 1000 + 300 + 9 )
4 000 000
800 000
240 000
100 000
20 000
6 000
30 000
6000
1800
900
180
54
5 040 000 126 000 37 800 1134
• 100 • 20 • 6
+
5 204 934
a) Si tuvieras que explicarle los procedimientos anteriores a un compañero o compañera, ¿cómo lo
harías?
b) ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más simple?, ¿por qué?
c) ¿Conoces otro procedimiento para resolver esta multiplicación? Explícalo, paso a paso y
compártelo con tus compañeros y compañeras.
2. Observa cómo resuelve Felipe la multiplicación anterior:
41 309 • 126
247 854
826 180
+ 4 130 900
• 6
• 20
• 100
5 204 934
a) ¿Qué opinas del procedimiento que utiliza Felipe?,
¿por qué?
b) ¿Cómo calcularías el producto de 13 420 • 231,
utilizando el procedimiento de Felipe? Explícalo,
paso a paso.
3. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando los tres procedimientos anteriores y decide
cuál es más simple.
a) 12 560 • 13 b) 45 390 • 25
4. Resuelve las siguientes multiplicaciones utilizando el procedimiento que desees.
a) 112 003 • 32
b) 11 • 234 500
c) 13 987 • 54
d) 65 • 240 070
e) 125 • 1351
f) 112 003 • 112
g) 298 700 • 345
h) 111 111 • 1111
+ + +
5350 : 13 = 411
– 52
15
– 13
20
– 13
7
5. Carolina y sus amigos se organizan para la preparación de una cena a beneficio del curso. El menú
contempla entrada (ensalada surtida o crema de verduras), plato de fondo (lasagna o cazuela de ave
o pollo asado con puré) y postre (macedonia o helado o flan). Para saber cuántas combinaciones de
cena diferentes pueden servir Carolina hace el siguiente diagrama:
a) Si cuentas todas las posibilidades, te darás cuenta que hay 18 posibles combinaciones, ¿cómo
podrías realizar este cálculo utilizando una multiplicación?
b) Si en un restaurante ofrecen un menú que contempla 3 opciones para la entrada, 8 para el plato
de fondo y 5 para el postre, ¿cuántas combinaciones diferentes de menús pueden servir?
6. En una campaña en contra del cigarrillo se repartirán 5350 volantes informativos en 13 colegios
cercanos. Para saber cuántos volantes recibirá cada colegio, si a todos se les reparte la misma
cantidad, se puede resolver la división 5350 : 13. Observa dos maneras diferentes de resolverla.
a) ¿Cómo explicarías los procedimientos anteriores?, ¿cuál te parece más simple?, ¿por qué?
b) Observa una manera de comprobar el resultado anterior
y explícalo usando los términos de la división (dividendo,
divisor, cociente y resto).
c) ¿Qué puedes concluir respecto de la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto?
Da tres ejemplos para verificar tu conclusión.
Menú
Ensalada surtida
Crema de verduras
Lasagna
Cazuela de ave
Pollo con puré
Lasagna
Cazuela de ave
Pollo con puré
5350 : 13 = 400 + 10 + 1 = 411
– 5200
150
– 130
20
– 13
7
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
Macedonia
Helado
Flan
(411 • 13) + 7
5343 + 7 = 5350
7. Resuelve las siguientes divisiones utilizando el procedimiento que desees.
a) 4826 : 12 = d) 1 026 325 : 5 =
8. Completa el factor que falta para que se cumpla la igualdad.
a) 36 • = 216 c) • 10 = 5210
9. Resuelve la siguiente situación:
Un computador tiene un valor de $ 550 000. Un colegio desea comprar 16 para la sala de
computación. ¿Cuánto tendrá que pagar el colegio por los computadores? Si el en taller de
computación asisten 48 estudiantes y se ubica la misma cantidad de estudiantes en cada
computador, ¿cuántos estudiantes habrá por computador? Explica los procedimientos utilizados.
Algunas divisiones las puedes resolver suprimiendo ceros. Observa.
Calcula mentalmente utilizando la estrategia anterior.
ESTRATEGIA MENTAL
a) 2100 : 300 = c) 1600 : 20 = d) 900 : 30 =
1200 : 200
1200 : 200
12 : 2 = 6
2800 : 70
2800 : 70
280 : 7 = 40
b) 132 320 : 10 = c) 630 901 : 9 =
b) 18 • = 4680
b) 1800 : 600 =
En algunas calculadoras, si quieres calcular el producto de 14 • 10 • 10 • 10 basta con
digitar las siguientes teclas:
HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS
1 4 x 1 0 = = =
x 1 0 = = = = =
y en la pantalla aparecerá el producto buscado 14000 .
1. Elige un número menor que 100, digítalo en la calculadora y luego digita:
2. ¿Se repite lo anterior si en vez de digitar digitas ?, ¿y si calculas por
?, ¿y si digitas ? Verifícalo con la calculadora.
Registra en una tabla los números que vas obteniendo
cada vez que digitas . ¿Qué ocurre con los
productos obtenidos?
=
x 1 0 x 1
x 0 –: 0
• Comprueba tus resultados empleando el procedimiento aprendido.
Cuando resolvemos una división podemos comprobar los cálculos multiplicando
el cociente por el divisor y sumando a este resultado el resto, en el caso de divisiones
con resto distinto de 0.
NO OLVIDES QUE…
En esta actividad deberán realizar multiplicaciones con calculadora para
descubrir regularidades.
Reúnete con un compañero o compañera y sigan las instrucciones.
1. Copien en sus cuadernos las siguientes tablas.
EN EQUIPO Materiales:
• Calculadora
2. Cada integrante elige una tabla de un color, calcula los productos usando la calculadora y los
registra en la tabla.
3. Comparen los factores y los productos de cada fila.
a) ¿En qué se parecen los factores?, ¿en qué se diferencian?
b) ¿Cómo son los productos?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?
4. Repitan los pasos anteriores con las siguientes tablas.
Factores Producto
123 562 • 5 =
89 671 • 7 =
6 778 916 • 4 =
Factores Producto
5 • 123 562
7 • 89 671
4 • 6 778 916
Factores Producto
(651 • 16) • 487 =
(629 • 81) • 299 =
(15 • 292) • 584 =
Factores Producto
651 • (16 • 487) =
629 • (81 • 299) =
15 • (292 • 584) =
PARA DISCUTIR
• ¿Qué sucede con el producto al cambiar el orden de los factores?
• ¿Cuál es el producto de las multiplicaciones si se cambian las
agrupaciones de los factores?
Multiplicación y sus propiedades
EN TU CUADERNO
1. Sin resolver, ¿cuál de las siguientes multiplicaciones crees que tienen el mismo resultado?
Justifica tus respuestas.
a) 8908 • 23 c) 56 • (2 • 6) e) 78 • 111 191 g) (56 • 2) • 6
b) 90 • (7 • 80) d) 23 • 8908 f) (90 • 7 ) • 80 h) 111 191 • 78
2. Verifica tu respuesta anterior, resolviendo las multiplicaciones anteriores con la calculadora.
3. Sustituye los valores correspondientes y completa con el resultado en cada caso.
4. Considerando que p, q y r son números naturales, escribe la expresión matemática que representa la
propiedad dada, utilizando estas letras para representar números.
5. Verifica que se cumplan las igualdades anteriores para distintos valores de p, q y r dentro de los
números naturales.
a b c a • b b • a a • c c • a (a • b) • c a • (b • c)
38 51 90
600 492 222
1200 3100 2000
responde en tu cuaderno
responde en tu cuaderno
a) ¿Qué observas en los resultados de las columnas de igual color? ¿ocurrirá siempre lo mismo?
b) Propone tres nuevos valores para a, b y c, dentro de los números naturales, y verifica que se
cumplan tus predicciones anteriores al sustituir las letras con estos nuevos valores.
c) A partir de lo anterior, ¿qué puedes concluir?
a) En una multiplicación, al cambiar el orden de los factores, el producto no cambia.
b) En una multiplicación, al agrupar los factores de diferentes maneras, el producto no cambia.
• Compara tus respuestas con las de un compañero o compañera y explica cada expresión
con tus palabras.
En la multiplicación se cumplen las siguientes propiedades:
• Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el valor del producto. Si a y b
son números naturales, entonces a • b = b • a.
• Propiedad asociativa: En el producto de varios factores, no importa cómo los
agrupemos, el valor del producto no varía.
Si a y b son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c).
NO OLVIDES QUE…
6. Javiera y Francisco conoce la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición
y la utiliza para resolver multiplicaciones. Observa cómo resuelven 12 • 25 570.
a) Si ambos procedimientos son distintos y están correctos, ¿cuál de ellos te parece más sencillo?
b) Calcula el producto entre 17 894 y 21, utilizando uno de los procedimientos anteriores.
Javiera descompone 25 570. Francisco descompone 12.
12 • (20 000 + 5000 + 500 + 70) (10 + 2) • 25 570
= 12 • 20 000 + 12 • 5000 + 12 • 500 + 12 • 70 = 10 • 25 570 + 2 • 25 570
= 240 000 + 60 000 + 6000 + 840 = 255 700 + 51 140
= 306 840 = 306 840
7. Verifica que si cumple la siguiente igualdad p • (q + r) = (p • q) + (p • r) para los siguientes valores
de p, q y r.
a) p = 3 b)p = 13 c) p = 200
q = 12 q = 90 q = 5
r = 35 r = 7 r = 9
8. A partir de lo anterior, ¿qué puedes concluir? Verifica tu conclusión utilizando otros valores
para p, q y r.
En la multiplicación se cumple también la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición:
Si se tienen los números naturales a, b y c, siempre se cumple que:
a • (b + c) = a • b + a • c.