METODO DE NEWTON – RAPHSON PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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En este capítulo hemos necesitado con mucho frecuencia calcular los ceros de una función con facilidad y exactitud.
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0
No obstante, existen muchos métodos para aproxímar los ceros de tales funciones . Uno de estos métodos es el llamado método de Newton, el cual emplea la derivada y la recta tangente.

Usar el método de Newton para hallar la solución de la ecuaciÓn
x + Cos x = O, en el intervalo [-2. OJo con una aproximacion de cuatro decimales

Usar e1 método de Newton para aproximar hasta tres lugares decimales,
el valor de x que satisface a ecuación x + Ln x = O

Interpolación lineal
Una fonna común de obtener una aproximdclón inicial .(. dr e es
por illlerpolac:iótl lineal. En este mélodo escogemos x, como el puniD en el que el segmento
que une R(ll, fea»~ y S(b.f(b» inteocepta al eje X.

En [os ejercicios I a 10 aproximar el cero o ceros de la función mediame el méto~o de
Newton. Continuar iterando hasta lograr que dos aproximaciones sucesivas difiemn a lo
sumo en 0.00 l .

Usar el método de Newlon para aproximal”, hasta {res lugares decimales la coordenudax
del punto de intersección tic las gráficas de )';:::: 3 – x e )’ = UI x.
38. Explique porqué la ecuación .xl – 3×1 + 1:;:::; n debe tener por lo menos una solución. Use
después el método de Newton para encontrarla.
39. Sea ¡(x) = x”t – 5x, y escoja Xl = L Trace la gr.ífica y detennine a qué converge t~ fI)’
Porqué no es aplicable el Teorema 5. 10 en este caso.

Encontrar las soluciones de una cierta ecuación es uno de los problemas más importantes de las matemáticas. En cualquier momento en nuestro estudio podemos encontrarnos una ecuación de la cual necesitamos saber sus soluciones. Pero hay un grave problema relacionado con esto: no tenemos métodos que nos permitan obtener las soluciones de todas las ecuaciones que nos pueden aparecer. Podemos resolver ciertas ecuaciones algebraicas (no hay fórmulas para las de grado 5 y superior) y algunas exponenciales, logarítmicas o trigonométricas, pero no todas.

Por ejemplo, no hay métodos que nos den las soluciones exactas de esta ecuación:

x \cdot 2^x=1

¿Qué podemos hacer entonces? Pues no nos queda otra que buscar aproximaciones de las soluciones. Es decir, buscar números que aunque no sean las soluciones exactas sí que sean lo suficientemente aproximados a ellas como para que nos puedan servir en nuestro problema. Y eso es lo que hace nuestro método.

El método de Newton-Raphson es un método iterativo con el que podemos encontrar aproximaciones de soluciones de ecuaciones no lineales. El método parte de un valor inicial que se introduce en una expresión relacionada con la ecuación, obteniendo así un resultado. Ese resultado se introduce en la misma expresión, obteniendo un nuevo resultado, y así sucesivamente. Si la elección del valor inicial es buena, cada vez que introducimos unos de los resultados obtenidos en esa expresión (es decir, cada vez que realizamos una iteración del método) el método nos proporciona una aproximación a la solución real mejor que la que tuviéramos anteriormente.

Cierto es que Joseph Raphson fue el primero en publicar el método en 1690 en su libro Analysis Aequationum Universalis, y que el de newton se publicó unos años después de su muerte, en 1736 (por lo que Raphson lo publicó casi 50 años antes). Pero se sabe que Newton lo había escrito en 1671 (y por tanto antes de la publicación de Raphson), aunque aplicado exclusivamente a aproximación de raíces de polinomios (el de Raphson era más general). A todo esto hay que añadir un detalle: Raphson fue una de las pocas personas a las que Newton le permitía ver sus trabajos matemáticos (de hecho se encargó de traducir algunos de esos trabajos matemáticos de Newton del latín al inglés).

O sea que Newton describe su método de aproximación de raíces de polinomios y unos años después Raphson, que tenía acceso a los trabajos de Newton, publica su método válido también para el resto de funciones. Sería entonces razonable pensar que Raphson partió del método de Newton para desarrollar el suyo, ¿verdad? Pues eso es lo que históricamente está más aceptado. Así que nada de robo de Newton.

Por todo ello, en muchos sitios se conoce al método como método de Newton-Raphson, aunque en otros muchos lugares se le llama simplemente método de Newton, honrando solamente a la primera persona que trabajó en él.