MEDIR Y TRAZAR ANGULOS EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMATICA 6–SEXTO AÑO PDF

Share Button

EN ESTA UNIDAD PODRÁS…
• Reconocer y obtener la medida de ángulos opuestos
por el vértice.
• Reconocer y obtener la medida de ángulos
formados por dos rectas paralelas cortadas por una
transversal.
• Comprender y obtener la medida de los ángulos
interiores y exteriores en un triángulo.
• Conjeturar y comprobar propiedades respecto de
la suma de las medidas de ángulos interiores y
exteriores, en triángulos, cuadriláteros y polígonos.
• Distinguir los polígonos regulares e irregulares.
• Comprender y obtener la medida de los ángulos
interiores y exteriores en un polígono regular.
Geometría – Medición
los ángulos no siempre son de 90˚
CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   ****
 
CLICK AQUI PARA VER PDF 3   **********
**
¿Qué conceptos matemáticos se muestran en las fotografías de
Matemática en Contexto? ¿Cómo se usan las líneas paralelas
y perpendiculares en la arquitectura paisajística?
REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes
palabras cuando estudiaste sobre figuras bidimensionales. ¿Cómo
se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?
congruentes que tienen el mismo tamaño y la misma forma.
líneas paralelas líneas en un plano que están siempre a la misma
distancia.
líneas perpendiculares dos líneas que se intersecan para formar
ángulos rectos o de 90º.
Copia en tu cuaderno y completa los espacios vacíos. Usa lo que
sabes acerca de las figuras bidimensionales para comparar las
propiedades de los cuadrados y los rombos.
p Los paisajistas crean hermosos
espacios cerca de los edificios usando
esculturas, agua y plantas.
p Las líneas paralelas y los ángulos
congruentes forman vistas de patrones
agradables y apacibles.
p En una ciudad se forma un contraste
asombroso entre los edificios altos
y el hermoso espacio que los rodea.
Matemática en Contexto
170
Relaciones entre ángulos
La idea importante Se pueden identificar, describir y clasificar los ángulos y sus relaciones.
Investiga
Haz una lista de los diferentes
tipos de ángulos que ves en el
puente, incluyendo ángulos
agudos, obtusos y rectos. Luego
busca pares de ángulos que
tengan relaciones especiales.
Da cualquier ejemplo de ángulos
opuestos por el vértice, ángulos
adyacentes, ángulos
complementarios y ángulos
suplementarios que puedas
hallar.
Tipos de ángulos
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos adyacentes
Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
10
El viaducto de Malleco fue
construido entre 1886 y
1888. Con sus 102 metros de
altura, es el segundo más
alto de Chile. Su longitud es
de 347,5 metros y descansa
sobre cuatro pilares de acero.
DATO
BREVE
Capítulo 10 171

Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que senecesitan para completar exitosamente
el capítulo 10.
u Nombrar ángulos
Nombra el ángulo formado por los rayos azules.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
u Usar un transportador para medir ángulos
Del 9 al 14, usa la figura de la derecha. Copia la figura en tu cuaderno.
Luego usa un transportador para medir cada ángulo.
9. /ABD 10. /DBF
11. /FBA 12. /EBC
13. /CBD 14. /FBC
VOCABULARIO DEL CAPÍTULO
ángulos adyacentes
ángulos complementarios
congruentes
ángulos suplementarios
ángulos opuestos por el vértice
PREPARACIÓN
ángulos opuestos por el vértice Un par de ángulos, opuestos
entre sí y congruentes, que se forman cuando se intersecan
dos líneas.
R
J W
D
congruentes Que tienen el mismo tamaño y la misma forma.
ángulos adyacentes Pares de ángulos consecutivos que tienen
un vértice y un rayo en común.
172
Aprende

Prolonga los
rayos si es
necesario.
1
LECCIÓN
Medir y trazar ángulos
OBJETIVO: estimar, medir y trazar ángulos.
Para estimar la medida de un ángulo puedes usar puntos de referencia y
lo que sabes sobre ángulos agudos, rectos y obtusos.
Ejemplos Estima la medida de cada ángulo.
Actividad Materiales ■ transportador
Mide JKL.
1. Coloca el punto central del transportador
en el vértice del ángulo.
2. Coloca la base del transportador sobre
el lado KL.
3. Lee la escala que empieza con 08 en
el rayo KL. La medida de JKL es 608.
Puedes usar un transportador para medir ángulos. Un transportador es
una herramienta que se usa para medir o trazar ángulos.
Los topógrafos usan
una herramienta
llamada teodolito
para medir ángulos.
B El ángulo STU es un ángulo obtuso,
por lo tanto mide más de 908 y menos
de 1808.
El punto de referencia, 1358, está en la
mitad de 908 y 1808.
Por lo tanto, la medida de STU es aproximadamente 1358 o un poco
menos de 1358.
Repaso rápido
Clasifica cada ángulo como
agudo, recto, u obtuso.
1. 2.
3.
4.
5.
Vocabulario
transportador
A El ángulo LMN es un ángulo agudo,
por lo tanto mide menos de 908.
El punto de referencia, 458, está en la
mitad de 08 y 908.
Por lo tanto, la medida de LMN es aproximadamente 458 o un poco
menos de 45º.
45º
90º
M
N
L
180º
90º
T U
135º S
Capítulo 10 173
Paso Paso Paso

Amplía
los rayos.
Trazar ángulos
También puedes usar un transportador para trazar ángulos de una
medida dada.
Actividad Materiales ■ transportador ■ regla
Usa un transportador para trazar FDE con una medida de 608.
Dibuja el rayo DE. Alinea el rayo con el transportador.
Marca el punto F en 608.
Usa una regla para trazar
el rayo DF.
Cuando los ángulos parecen ser iguales, mídelos con un transportador y
luego compáralos.
Más ejemplos Halla la medida de los ángulos.
¿En qué se parecen ABC y XYZ ?
Por lo tanto, ABC y XYZ tienen la misma medida, 1308.
1. Traza y rotula un ángulo que tenga aproximadamente la misma medida que
MOQ, ilustrado a la derecha.
a. ¿Es tu ángulo agudo, obtuso o recto? Estima la medida de tu ángulo.
b. Usa un transportador para hallar la medida de tu ángulo. ¿Cómo se compara
tu estimación con la medida real del ángulo?
A
ABC mide 1308.
B
XYZ mide 1308.
ADVERTENCIA
Recuerda que la
medida de un ángulo se
determina por el grado
de rotación de un rayo
y no por la longitud
trazada del mismo.

Práctica con supervisión
174
Estima la medida de cada ángulo. Luego, usa un transportador
para hallar la medida.
2. TXW 3. WXY 4. UXY
5. YXZ 6. TXU 7. UXW
Usa un transportador para trazar cada ángulo. Clasifica los ángulos.
8. 458 9. 608 10. 1258 11. 148
12. Explica cómo puedes estimar y hallar la medida de
WXZ en la figura anterior.
Estima la medida de cada ángulo. Luego usa un transportador
para hallar la medida.
13. YXZ 14. VXT 15. WXZ
16. VXU 17. VXW 18. UXT
19. VXZ 20. UXY 21. TXZ
Usa un transportador para trazar los ángulos. Clasifica los ángulos.
22. 358 23. 1598 24. 168 25. 958
26. 1208 27. 448 28. 1808 29. 1358
30. un ángulo que mida entre 1108 y 1308 31. un ángulo que mide menos de 658
UsA LOS Dat OS Para 32–34, usa los relojes.
32. Copia el ángulo que forman las manecillas del reloj
que muestra las 6:00. ¿Cuánto mide este ángulo?
Explica cómo lo sabes.
33. ¿A qué hora forman las manecillas del reloj un ángulo recto?
34. Estima la medida del ángulo que forman las manecillas del
reloj que muestra las 3:05. Luego mide el ángulo.
35. ¿Cuál es el error? Según Teresa, un ángulo medía
508, pero en realidad medía 1308. Describe su error.
T X Z
U W Y
T X Z
U
V W
Y
Práctica independiente y resolución de problemas
Capítulo 10 175
invierno
Sol
Tierra
primavera
y otoño Tierra
Sol
verano
Tierra
Sol
Comprensión de los aprendizajes
¿Por qué hay estaciones en la Tierra? El planeta está inclinado sobre su eje. Para
ver cómo esto produce las diferentes estaciones en el hemisferio sur, mira los
diagramas que muestran el ángulo del sol con respecto al eje de la Tierra.
Verano
El eje se inclina hacia el sol
en el primer día de verano,
con frecuencia el 21 de
diciembre.
Primavera y otoño
El eje no se inclina hacia el sol
ni lejos de él en el primer día
de primavera y de otoño, con
frecuencia el 20 de septiembre
y el 22 de marzo.
Invierno
El eje se inclina lejos del sol
en el primer día de invierno,
con frecuencia el 21 de junio.
Ejemplos Hemisferio Sur
Usa el diagrama para hallar las medidas de los ángulos.
1. ¿Cuál es el ángulo marcado en el día más corto del año, el primer día de invierno?
2. ¿Cuál es el ángulo marcado en el día más largo del año, el primer día de verano?
3. ¿Cuál es el ángulo marcado en el primer día de primavera y de otoño?
36. Si n 5 6, ¿cuál es el valor de 5n 2 2?
37. ¿Qué figura es una superficie que se extiende
infinitamente en todas direcciones?
38. ¿Qué tipo de ángulo es el siguiente?
39. ¿Qué enunciado sobre ángulos obtusos en un
transportador es cierto?
A Van desde 0º a 89º.
B Van desde 45º a 135º.
C Van desde 0º a 180º.
D Van desde 91º a 180º.
40. ¿Qué ángulo mide menos de 90º?
A ángulo extendido C ángulo agudo
B ángulo recto D ángulo obtuso
Práctica adicional en la página 186, Grupo A
176
Aprende
A
vértice B
C
L
M
N
40°
20°
K 10°
J
Lee mJKM como la
medida del ángulo JKM.
2
LECCIÓN
Un ángulo agudo mide menos de 908.
Un ángulo recto mide 908.
Un ángulo obtuso mide más
de 908 pero menos de 1808.
Un ángulo llano o extendido mide 1808.
Dos rayos que tienen un extremo en común forman un ángulo.
Al extremo se lo llama vértice del ángulo.
El ángulo se mide en grados. Un grado mide 1
___ 360 de un círculo.
Un ángulo se clasifica por el número de grados que mide.
PROBLEMA Para conseguir que una piedra rebote en el agua es mejor
arrojarla desde un ángulo de 208 hacia el agua. ¿Qué tipo de ángulo es
un ángulo que mide 208?
Puedes clasificar los ángulos por sus medidas.
Puedes nombrar el ángulo con los tres
puntos que se muestran o con el vértice.
BAC, CAB o A
Como 208 , 908, un ángulo que mide 208 es un ángulo agudo.
Puedes usar la medida de uno o más ángulos para hallar la
medida de otro ángulo.
Tipos de ángulos
OBJETIVO: clasificar ángulos e identificar ángulos opuestos por el vértice,
adyacentes y ángulos entre paralelas.
Repaso rápido
O R
D E
K L
M
A B
C
Nombra cada figura.
1. 2.
3. 4.
5.
Vocabulario
ángulos opuestos por el vértice
ángulos correspondientes
ángulos alternos externos
ángulos alternos internos
ángulos exteriores
congruentes ángulos adyacentes
transversal ángulos interiores
mJKM 5 mJKL 1 mLKM
mJKL 5 408 mLKM 5 208
mJKM 5 408 1 208
Ejemplo 1 ¿Cuánto mide el JKM?
Entonces, mJKM tiene 608.
• ¿Por qué los ángulos anteriores no se nombran usando solo la letra del vértice?
• ¿Cuál es la medida de JKN? Explica cómo hallaste la respuesta.
20
Capítulo 10 177
1
2
R U
V
T
Q
P
S
Idea matemática
Un ángulo puede ser
parte de un par de
ángulos opuestos por
el vértice y parte de
un par de ángulos
adyacentes. RVU
y PVS son ángulos
opuestos por el vértice
RVU y QVR son
ángulos adyacentes.
Ejemplo 2 Observa la figura anterior. ¿Es PVQ adyacente a RVU?
Ejemplo 3 Observa la figura anterior. Halla un ángulo vertical al ángulo
dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
PVQ y RVU tienen un vértice en común, V, pero no tienen un rayo en
común. Entonces, PVQ no es adyacente a RVU.
SVT
Ángulo opuesto por el vértice: QVR
Ángulos adyacentes: PVS, TVU
PVQ
Ángulo opuesto por el vértice: TVU
Ángulos adyacentes: QVR, PVS
• ¿Puedes nombrar otros ángulos adyacentes a SVT y PVQ?
Ejemplo 4 Indica si el par de ángulos es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno
de los dos.
1 y 2
1 y 2 son opuestos entre sí y
están formados por dos líneas que
se intersecan.
A y B
A y B son consecutivos y tienen un
vértice y un rayo en común.
Nombres especiales de ángulos
Ciertos pares de ángulos tienen nombres especiales.
Los ángulos opuestos por el vértice son pares de ángulos opuestos entre sí que se
forman cuando se intersecan dos líneas. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la
misma medida. Los ángulos que comparten la misma medida se llaman congruentes.
Usa el símbolo > para mostrar que dos ángulos son congruentes.
PVS y RVU son ángulos opuestos por el vértice. Cada uno mide 1508,
entonces PVS > RVU.
Los ángulos adyacentes son pares de ángulos consecutivos que tienen un vértice y
un rayo en común.
Ambos pares de ángulos, QVR y QVS y QVR y RVU, son ángulos adyacentes.
Entonces, 1 y 2 son ángulos opuestos
por el vértice.
Entonces, A y B son ángulos
adyacentes.

Idea matemática
Dos ángulos son
suplementarios cuando
la suma de sus medidas
es igual a 180º
Ejemplo:
A = 150º
B = 30º
A + B = 180º
Ejemplo Observa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas.
Ángulos entre paralelas
Una línea que se intersecta con dos o más líneas se llama transversal.
Los ángulos formados dentro de las dos líneas paralelas se llaman ángulos
interiores y los ángulos formados fuera de las dos líneas paralelas se llaman
ángulos exteriores. Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son ángulos interiores.
Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son ángulos exteriores.
Los ángulos correspondientes son ángulos que aparecen en la
misma posición en relación con una línea transversal y con las líneas
que esta línea intersecta. Los ángulos correspondientes son
congruentes cuando las líneas que intersecta la línea transversal son
paralelas.
En la figura 1, 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6 y 4 y 8
son pares de ángulos correspondientes.
Los ángulos interiores ubicados en los lados opuestos de la línea
transversal se llaman ángulos alternos internos. Los ángulos alternos
internos son congruentes cuando las líneas que intersectan la línea
transversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 2 y 7 y los ángulos
4 y 5 son pares de ángulos alternos internos.
Los ángulos exteriores ubicados en los lados opuestos de la línea
transversal se llaman ángulos alternos externos. Los ángulos alternos
externos son congruentes cuando las líneas que intersectan la línea
transversal son paralelas. En la figura 2, los ángulos 1 y 8 y los ángulos 3
y 6 son pares de ángulos alternos externos.

Si m3 5 65, halla m5.
3 y 7 son ángulos
correspondientes; entonces
m7 5 65.
5 y 7 son ángulos que suman
180º; entonces
m5 5 180 2 65 5 115.
Entonces, m5 5 115.
Capítulo 10 179
35° 115°
S P
N
115°
30° 35°
30°
R T
M
O
K
L
S M
H
G
F R
P
155°
U
65°
W
T
Y
X
V
25°
25°
90°
Práctica adicional en la página 186, Grupo B
Del 2 al 4, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice al
ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
2. MOS 3. PON 4. TOR
5. Explica cómo sabes si un par de ángulos es opuestos por el vértice o
adyacente.
Del 12 al 15, usa la figura de la derecha. Halla un ángulo opuesto por el vértice
al ángulo dado. Luego halla dos ángulos adyacentes al ángulo dado.
12. FPR 13. KPL
14. RPK 15. MPL
Del 16 al 21, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.
16. TUV y YUT 17. XUY y WUV
18. XUY y TUV 19. XUV y YUX
20. YUW y WUV 21. YUT y XUV
A
140°
40°
140°
40°
E
D C
1. AEB es opuesto a DEC y estos ángulos están formados por dos B
líneas que se intersectan. Nombra el ángulo opuesto por el vértice
a DEC.
Del 6 al 11, usa la figura 3. Las líneas m y n son paralelas. Escribe correspondiente,
alterno interno o alterno externo para cada uno de los siguientes pares de ángulos.
6. 3 y 7 7. 2 y 6 8. 8 y 1
9. 5 y 4 10. 7 y 2 11. 8 y 4
Explica cómo podrías usar las propiedades de los
ángulos para hallar la medida de 7 en la Figura 3 si 2 mide 79.
4 m
3
5 6
1
3
2
4
5
7
6
8
7
m n
8 n
Figura 1
4 m
1 2
3
5 6
7 8 n
Figura 3
Figura 2
Práctica independiente y resolución de problemas
Práctica con supervisión
180
A
C
B
E
D
130°
130°
50° 50°
Comprensión de los aprendizajes
29. ¿Qué valor de k hace que la siguiente ecuación
sea verdadera? k · 4 5 48
31. Usa el cálculo mental para resolver.
 + 135 = 190
32. Escribe una expresión algebraica para “la mitad
del triple de un muñeco aumentado en ocho”
30. ¿Qué enunciado es verdadero?
A CBE es opuesto por el
vértice a ABC.
B ABD es adyacente a CBE.
C DBE es opuesto por el
vértice a ABD.
D DBE es adyacente a ABD.
A
C
B
E
D
130°
130°
50 50 ° °
B
A
C
D
E
26.
Álgebra
Usa la figura de la derecha. Claudia
quiere hallar mABE. Si ABC y DBE miden 158
y CBD mide 208, ¿cuál es la medida de ABE?
¿Cuál es la diferencia entre la medida de ABE y
la medida de CBE? Explica.
27. Razonamiento Rodrigo dice que la letra X forma
dos pares de ángulos congruentes. Camila dice que
la letra X forma dos pares de ángulos opuestos por
el vértice. ¿Quién tiene razón? Explica.
28. ¿Cuál es el error? Pablo dice
que todos los ángulos opuestos por el vértice son
agudos. Describe el error de Pablo. Justifica tu
respuesta con ejemplos.
Observa la figura. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justifica en cada caso
22. La medida del ángulo β se calcula como 90º – 56º.
Justificación:
23. La medida del ángulo α es 56º.
Justificación:
24. La suma de las medidas de los ángulos α y β es 180º.
Justificación:
En la figura, KJ // HI, m( DCI) = 76o y m( FBC) = 52o.
25. Calcula α + β
56º
β
α
K A
B
E
J
I
D
C
F
G
H
β
α
Capítulo 10 181
Paso Paso
Ahumada
Agustinas
90
90
Ahumada y Agustinas 90º
21 de mayo y Diagonal Cervantes 45º
Santa Lucía y Huérfanos 150º
Calles Medida
El Ángulos aproximados de intersección Paseo Ahumada es la calle más activa y
comercial del centro de Santiago.
En la tabla se muestran las medidas aproximadas de
los ángulos de las intersecciones formadas por
algunas calles del centro de Santiago. Puedes
visualizar la información que se da en un problema
para comprender la situación. Cuando visualizas, te
imaginas algo en tu mente.
1. ¿Qué tipo de ángulos se forman en la intersección
de las calles cercanas a tu colegio?
2. Clasifica todos los ángulos formados por la
intersección de las calles 21 de mayo y Diagonal
Cervantes.
Resolución de problemas Visualiza para
entender el problema.
En la esquina
Ejemplo Clasifica todos los ángulos formados por la intersección de
Ahumada y Agustinas.
Imagina cómo se podría ver la intersección de
las dos calles desde un avión o en un mapa.
Simplifica el dibujo en tu mente para que
parezcan líneas que se intersecan.
Para que sea más fácil, usa lo que sabes
sobre tipos de ángulos formados por
líneas que se intersecan.
Destreza Visualiza
de lectura
182
Aprende
C
B O
D
A
I
H
F
G
P
T
U
V
S
W 55°
35°
3 Repaso rápido
LECCIÓN
Práctica con supervisión
Actividad
Materiales ■ transportador ■ papel calco ■ tijeras
• Traza BOC y AOD sobre papel calco.
Nombra dos pares de ángulos
adyacentes de la figura.
Vocabulario
ángulos complementarios
Ángulos complementarios
OBJETIVO: identificar ángulos complementarios.
1. ¿Son SWV y TWU ángulos complementarios?
SWV mide 358. TWU mide 558.
358 1 558 5 8
Sí, los ángulos forman un ángulo recto.
458 1 458 5 908
Ejemplo El puente mecano que cruza el río Bío Bío mide 1 351 m. Es
el más largo de Latinoamérica. ¿Son complementarios los ángulos
que forman las vigas cruzadas del puente?
• Usa un transportador para medir ambos ángulos.
• Recorta los ángulos y coloca
_

OC sobre
_

OD .
• Halla mBOA.
• Repite para FPG y IPH, coloca
_

PF sobre
_

PI .
Luego halla mHPG.
• ¿Qué observas acerca de BOA y HPG?
Dos ángulos cuyas medidas suman 908 se llaman
ángulos complementarios. Pueden ser adyacentes o no.
ADVERTENCIA

Es importante leer la
escala adecuada sobre
un transportador. Lee
la escala que comienza
con 08 en
_

YZ. XYZ
es un ángulo agudo.
La mXYZ 5 758.
K 155°
35°
155°
35°
P
M N
L
45º
45º
Práctica adicional en la página 186, Grupo C Capítulo 10 183

Comprensión de los aprendizajes
Del 7 al 12, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
adyacente, complementario, ambos o ninguno.
7. FGE y CGD 8. AGF y BGC
9. AGB y BGC 10. DGE y BGC
11. AGF y FGE 12. BGC y CGD
13. Estima las medidas de JKL y PQR de la derecha.
Luego mide los ángulos con un transportador e indica
si son ángulos complementarios. ¿Fueron razonables tus
estimaciones? Explica.
14. Razonamiento La diferencia entre las medidas de
dos ángulos complementarios es 188. ¿Cuánto mide
cada ángulo?
Para los ejercicios 15 y 16 usa la figura de la derecha.
15. Álgebra La medida de EFD es 2 1_ 2 veces la medida
de uno de los otros ángulos. ¿Qué ángulo es?
¿Cuánto mide?
16. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta es
BEF y DEF.
17. La temperatura por la tarde era de 8 8C.
Bajó 15 8C durante la noche. ¿Cuál era la
temperatura a la mañana siguiente?
18. Resuelve usando el cálculo mental.
95 1  5 180
19. ¿Cuánto mide PQR?
20. ¿Qué par de ángulos es complementario?
A BGE y AGB
B AGF y FGD
C EGD y AGF
D AGF y BGE
Del 2 al 5, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
adyacente, complementario, ambos o ninguno.
2. JPO y /KPJ 3. NPO y LPK
4. LPK y /MPN 5. NPO y MPN
6. Explica cómo sabes si dos ángulos son complementarios.

Práctica independiente y resolución de problemas
184
Destreza
de lectura
Estrategia: hacer un diagrama
OBJETIVO: resolver problemas con la estrategia hacer un diagrama.
Usa la estrategia
PROBLEMA El ángulo 1 mide 308. Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos por
el vértice. Los ángulos 1 y 2 son ángulos complementarios adyacentes. El
ángulo 3 es adyacente al ángulo 2 y al ángulo 4. La suma de las medidas de los
ángulos 2, 3 y 4 es 1808. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos 2, 3 y 4?
• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?
Puedes hacer un diagrama para resolver el problema.
• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?
Haz un diagrama donde se muestren las relaciones entre los ángulos.
Los ángulos 1 y 4 son ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos
por el vértice quedan opuestos entre sí cuando dos líneas se intersecan.
Miden lo mismo. Traza 1 y 4. Rotula m1 y m4 con 308.
Los ángulos 1 y 2 son complementarios adyacentes. Los ángulos
complementarios adyacentes tienen un rayo común y la medida total es
908. Traza 2 adyacente a 1 para formar un ángulo recto. 908 2 308 5 608,
entonces m2 mide 608. Rotula m2 con 608.
El ángulo 3 es adyacente a los ángulos 2 y 4. Marca 3 en el diagrama
adyacente a 2 y 4. La suma de las medidas de los ángulos 2, 3,
y 4 es 1808.
308 1 608 5 908 y 1808 2 908 5 908; entonces m3 mide 908. Rotula m3 con 908.
Entonces, m2 mide 608, m3 mide 908 y m4 mide 308.
• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta?
• ¿Cómo pueden ayudarte las claves del contexto a entender el problema?
• ¿Qué información se da?
4
LECCIÓN
Capítulo 10 185
Resolución de problemas con supervisión ESTRATEGIA
de resolución
de problemas
ESTRATEGIAS
Práctica de estrategias mixtas
1. El ángulo 1 es un ángulo recto. Los ángulos 1 y 3 son opuestos por el
vértice. ¿Cuánto miden los ángulos 2, 3 y 4?
Primero, traza 1 y rotula su medida.
Luego, usa las relaciones entre los ángulos
para trazar y hallar la medida del ángulo 3.
Por último, usa las relaciones entre los ángulos para
trazar y hallar las medidas de los ángulos 2 y 4.
2. ¿Qué pasaría si en el problema 1, los ángulos 1 y 4 fuesen ángulos
complementarios en lugar de ser ángulos opuestos por el vértice? ¿Serían
las mismas las medidas de los ángulos 2 y 4? Explica.
3. El tablero de un juego de mesa se compone de 25 cuadrados organizados
en 5 filas iguales. Los colores de los cuadrados se alternan entre rojo
y azul en forma horizontal y vertical. El cuadrado del extremo superior
izquierdo es azul. ¿Cuántos cuadrados del tablero son azules? ¿Cuántos
son rojos?
Usar el razonamiento lógico
Hacer un modelo o dibujo
Hacer un modelo o una
dramatización
Hacer una lista organizada
Buscar un patrón
Hacer una tabla o gráfico
Predecir y probar
Trabajar desde el final hasta
el principio
Resolver un problema más sencillo
Escribir una ecuación
Resuelve.
4. El colegio de Fabián es sede de un maratón de juegos de
mesa. Veintiún estudiantes están jugando solamente al ajedrez
y 36 estudiantes están jugando solamente a las damas. Un
total de 75 estudiantes están jugando al ajedrez, a las damas o
a ambos juegos. ¿Cuántos estudiantes están jugando a ambos
juegos?
USA LOS DATOS Del 5 al 8, usa la tabla.
5. La calificación combinada de Marta en creatividad y diseño
es la mitad de la calificación combinada de Boris en las
mismas categorías. Boris obtuvo 8 puntos más en creatividad
que en diseño. ¿Qué calificación tiene Boris en creatividad y
en diseño?
6. Plantea un problema Observa el problema 5. Cambia la
diferencia entre la calificación de Boris en creatividad y en
diseño. Resuelve el nuevo problema.
7. La calificación total de Pamela en el concurso es 4 más que
2 veces la calificación total de Marta. ¿Cuál es la calificación
total de Pamela?
8. Explica cómo usaste una estrategia para
resolver el problema 7.
Práctica adicional en la página 186, Grupo D
Concurso de diseño de juegos
Categoría Puntos de Marta
Creatividad 9
Diseño
Valor del entretenimiento
Justicia de las reglas

Grupo A Del 1 al 4, medir los ángulos dados.
Grupo C Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.
Indica si el par de ángulos es complementario.
1. AED y BEC 2. CED y BEC 3. AED y CED
4. CED y AEB 5. AED y AEB 6. AEB y BEC
Grupo B Del 1 al 6, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos
es opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.
1. DGE y EGF 2. AGF y CGD 3. CGD y AGB
4. AGF y BGC 5. AGF y DGE 6. CGD y EGF
Grupo D Del 1 al 6, usa la figura de la derecha.
Halla la medida del ángulo desconocido. Explica tu respuesta.
1. AFB 2. BFC 3. CFD
4. AFC 5. DFB 6. EFB
7. Los ángulos A y B son ángulos complementarios.
Si la medida del ángulo B es 35º, ¿cuál es la
medida del ángulo A?
8. Los ángulos C y D son ángulos adyacentes
complementarios. Si la medida del ángulo
D es 42º, ¿cuál es la medida de un ángulo
complementario del ángulo C?
1. 2. 3. 4.
5. que mida 60º 6. que mida 135º
Usa tu transportador para trazar un ángulo
688 1128
1588
228 E
B
C
A
D
Práctica adicional
Capítulo 10 187
Preparados
2 jugadores
Listos
• 2 monedas diferentes
• transportador
• regla
• dado
Cada jugador selecciona una moneda y la coloca
en la SALIDA. Decidan qué jugador empieza.
El jugador 2 traza dos rayos para formar un
ángulo agudo.
El jugador 1 mide el ángulo con un transportador y
anota la medida del ángulo.
El jugador 1 lanza una moneda para determinar
una relación del ángulo.
Si sale cara, el jugador traza un ángulo
complementario no adyacente y anota la
medida del ángulo. Si sale cruz, el jugador
traza un ángulo complementario adyacente
y anota la medida del ángulo.
El jugador 2 comprueba la medida del ángulo. Si la
respuesta es correcta, el jugador 1 lanza el dado y
mueve su moneda ese mismo número de espacios.
Si la respuesta es incorrecta, el jugador 1 no hace
ningún movimiento. Sigue el próximo jugador.
Gana el primer jugador en alcanzar la LLEGADA.
A empezar
Salida
Llegada
Retrocedes
3 casilleros
Pierdes
un turno
Avanzas
2
casilleros
¡Hazlo otra
vez!
Retrocedes
3 casilleros
Pierdes
un turno
Avanzas
2 casilleros
¡Hazlo
otra
vez!
Retrocedes
3 casilleros
Pierdes
un turno
¿Cuál es el ángulo?
Capítulo 10 187

Repaso/Prueba del capítulo 10
21. Los ángulos A y B son ángulos complementarios
adyacentes. Los ángulos A y C son opuestos por
el vértice. Si el ángulo A mide 45, ¿cuáles son las
medidas de los ángulos B y C?
23. Las calles Moneda y Bandera se intersecan en
ángulos rectos. La calle La Bolsa forma un ángulo
de 45 con la calle Moneda. ¿Qué ángulo forma
con la calle Bandera?
22. Las líneas

_

AB

_

CD y

_

FG se intersectan en el
punto E. CEG y GEB son ángulos
complementarios adyacentes. ¿Cuál es la suma
de DEF y AEF?
24. Sara levanta una página de su libro de
matemáticas abierto en 90 y forma un ángulo de
55 con el lado izquierdo del libro. ¿Qué ángulo
se forma con el lado derecho del libro?
25. Ramón dice que dos ángulos complementarios que son congruentes miden 45. ¿Siempre
es verdadero, a veces es verdadero o nunca es verdadero su enunciado? Explica.
Repasar el vocabulario y los conceptos
Elige el mejor término del recuadro.
1. Los pares de ángulos que tienen un vértice y un rayo en
común son ángulos _______________.
2. Dos ángulos cuyas medidas suman 90 se llaman
ángulos _____________.
Repasar las destrezas
Del 3 al 8, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
opuesto por el vértice, adyacente o ninguno de los dos.
3. EFA y AFB 4. DFE y BFC 5. CFD y AFB
6. CFD y BFC 7. CFD y AFE 8. DFA y BFC
Del 9 al 14, usa la figura de la derecha. Indica si el par de ángulos es
complementario.
9. AFE y EFD 10. CFD y DFE 11. AFB y CFD
12. BFC y AFE 13. EFD y AFB 14. AFE y AFB
Del 15 al 20, usa la figura de la derecha. Halla la medida del ángulo
desconocido. Explica tu respuesta.
15. AGB 16. BGC 17. CGD
18. DGE 19. AGE 20. AGD
Repasar la resolución de problemas
Resuelve.
Vocabulario
adyacentes
complementarios
opuestos por el vértice
Capítulo 10 189
Ángulo manía
Enriquecimiento • tipos de ángulos
Usa la siguiente figura para responder a las preguntas
1. Nombra seis pares de ángulos opuestos por el vértice.
2. Nombra seis pares de ángulos adyacentes.
Mira el dibujo y nombra
a. Dos ángulos agudos
b. Dos ángulos obtusos
c. Dos ángulos extendidos
Con tu transportador mide los ángulos
4. m  GKF = _______ 5. m  GKH = _______ 6. m  AKB = _______
7. m  CKD = _______ 8. m  DKE = _______ 9. m  HKB = _______
Piénsalo
10. Piensa más allá, ¿cuántos ángulos son
adyacentes a  GKF? Nómbralos.
Explica cómo hallaste la respuesta
al problema anterior.
26º K 42º
A
B
C
D
E
F
G
H
48º
190
Números y operaciones
1. ¿Cuál es el máximo común divisor de 42 y 18?
A 3 C 72
B 6 D 126
2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 10?
A 2 C 60
B 30 D 120
3. ¿Cuál es la diferencia entre 1 1_3 y 1
_ 2 ?
A 1
_3_
B 2
_3_
C 5__
6
D 2 2__
3
4. ¿Cuánto es 1 2_7 + 3
_ 5 ?
A 2
B 1
C 1
D 27
_3_5_
5. Sandra escribió 4,05; 4,5; 4,055
y 4,505 en su hoja. Explica cómo se ordenan los
decimales de mayor a menor.
Patrones y álgebra
7. En la tabla se muestra cuánto gasta una empresa
en la producción de tapas para lápices. Cada tapa
le cuesta $ 2 y por transporte le cuesta $ 5. ¿Qué
número completa la siguiente tabla de costos?
Número de tapas 2x 1 5 Costo
1 (2 • 1) 1 5 7
2 (2 • 2) 1 5 9
3 (2 • 3) 1 5 11
4 (2 • 4) 1 5 j
A 12
B 13
C 14
D 15
8. ¿Qué valor de x hace que la siguiente ecuación
sea verdadera?
0,5 1 x 5 13
A 65
B 26
C 13,5
D 12,5
9. ¿Qué valor de n hace que la siguiente ecuación
sea verdadera?
10 1 x 5 120
A 110
B 100
C 11
D 10
Comprensión de los aprendizajes
6. ¿Cuál es la suma de 34,62 + 6,8 + 320,965?
A 362,385
B 623,385
C 326,385
D 362,835
21
35
5
12
31
35
Capítulo 10 191
Geometría – Medición
10. Armando trazó un triángulo con ángulos que
miden 90°, 28° y 62°. ¿Qué tipó de ángulos
forman este triángulo?
A Agudos y obtuso
B Solo agudos
C Agudos y recto
D Solo recto
11. Si dos ángulos son adyacentes, ¿qué tienen en
común?
A Solo un vértice
B Un vértice y un rayo
C Dos vértices
D Dos rayos
12. Si dos ángulos son opuestos por el vértice, ¿qué
tienen en común?
A Solo un vértice
B Un vértice y un rayo
C Dos vértices
D Dos rayos
13. Si mA mide 428 y mB mide 488, ¿qué palabra
describe los dos ángulos?
A Opuestos por el vértice
B Complementarios
C Adyacentes
D Congruentes
14. Los ángulos A y B son ángulos
opuestos por el vértice. Los ángulos B y C son
ángulos complementarios. Los ángulos C y D
suman 180º y los ángulos D y E son ángulos
opuestos por el vértice . Explica cómo puedes
hallar mE, si mA mide 668.
Datos y probabilidades
Resultados de los exámenes
Examen Carla Luisa Marcos Joaquín
1 99 98 96 92
2 87 98 83 94
3 90 95 97 93
17. ¿Cuál fue la media que obtuvo el grupo en el
examen número 2?
Pista: Busca palabras importantes.
Usa la tabla para responder desde la pregunta 15 a la
21.
15. La media que obtuvo Carla en sus exámenes es:
A 94
B 92
C 89
D 94
16. La media que obtuvo el grupo en sus exámenes
es:
A 91,5
B 92
C 93,5
D 94
18. ¿Cuál fue la diferencia entre el puntaje más alto y
el más bajo?
19. ¿Cuántos puntajes hay sobre 90 puntos?
20. ¿En qué examen obtuvo Marcos el mayor
puntaje?
21. ¿Quién obtuvo el mejor puntaje en el examen
número 2?

a Un pentágono está formado por:
a) 5 lados.
b) 5 vértices.
c) 5 ángulos.
d) Todas las anteriores.
5 En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas.
¿Cuánto mide el ángulo alfa?
a) 30°
b) 90°
c) 120°
d) 60°
b El rectángulo es una figura geométrica que
se clasifica dentro de:
a) Los polígonos.
b) Los paralelogramos.
c) Los cuadriláteros.
d) Todas las anteriores.
6 Respecto de un ángulo recto podemos decir
que:
a) Es un ángulo que mide más de 90°.
b) Mide exactamente 90°.
c) Se forma al cortarse dos rectas perpendicularmente.
d) b) y c)
c Un ángulo de 65° es suplementario con un
ángulo que mida:
a) 25°
b) 65°
c) 115°
d) 180°
7 Si en la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares
y el ángulo alfa mide 20°. ¿Cuánto
mide el ángulo beta?
a) 70°
b) 90°
c) 20°
d) Ninguna de las
anteriores.
d Observa el triángulo. ¿Cuánto mide el
]ABC?
a) 40°
b) 30°
c) 50°
d) 130°
8 En la figura L1 y L2 son:
a) Dos rectas perpendiculares.
b) Dos rectas paralelas.
c) Dos rectas que forman
ángulos opuestos por
el vértice.
d) a) y c) son ciertas.