MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS-PDF Y VIDEOS

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EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados).
* Para hallar el M.C.D. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:
i)Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).
ii) El M.C.D. es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
En dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.
*Para hallar el M.C.M. de varios polinomios se procede de la forma siguiente:

I) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos(se factoriza).

II)El M.C.M. es el producto obtenido al tomar todos los factores, comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.
método de las divisiones sucesivas para determinar el m.c.d.
dado dos polinomios p(x) y q(x) de tal manera que el grado del primer polinomio p(x) sea mayor o igual que el grado del segundo polinomioq(x) ordenado en x.
Se efectuará la división de p(x) entre q(x) . si es exacta entonces es el m.c.d.
Si la división es inexacta ; se divide el divisor entre el primer residuo , esto entre el segundo residuo y así sucesivamente , hasta obtener un resto nulo , ocurrido esto el MCD será el último divisor utilizado


m.c.d. y m.c.m.
fracciones algebraicas
• Tener el conocimiento concreto de sus significados y de sus diversas aplicaciones, y paralelamente darnos cuenta que estos dos conceptos son consecuencia directa de la teoría de divisores y múltiplos de magnitudes analizadas en aritmética, pero que en nuestro curso las generalizaremos para monomios y polinomios tomados como magnitudes abstractas.
• También será útil para la reducción y simplificación de fracciones algebraicas racionales como instrumento operativo.
INTRODUCCIÓN
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
Leipzig 1646 – Hannover 1716. Filósofo alemán.

Hijo de una buena familia se formó inicialmente en la biblioteca de su padre. A los quince años se matriculó en estudios de derecho en la Universidad de Leipzig, graduándose en 1664 en filosofía y jurisprudencia.

En 1671 redactó su primer trabajo e inventó una máquina de calcular, sin gran pasión, pues quería que los astrónomos no perdieran el tiempo haciendo cálculos aritméticos. Al año siguiente Leibniz fue enviado a París en misión diplomática y conoció a Huygens, quien descubrió los dotes para la ciencia matemática, así como su desconocimiento de ésta, de forma que Huygens se encargó de la formación matemática de Leibniz.

En 1673 presentó su máquina de calcular en la Royal Society de Londres, donde conoció a gran parte de los matemáticos ingleses, a quienes les pareció que era un joven aficionado demasiado ambicioso. En ese año, en París, aconsejado por su maestro Huygens, estudió a Pascal y a Descartes, iniciando en ese momento el descubrimiento del cálculo diferencial e integral.

Uno de sus ideales espirituales era realizar una síntesis metodológica que permitiera tratar con métodos matemáticos todo el campo del conocimiento, siguiendo en ese punto, como él mismo afirma, las huellas de Ramón Llull.
Entre 1674 y 1676 descubrió el teorema fundamental y expuso un buen número de fórmulas de diferenciación e integración, así como buena parte de la notación del cálculo. Estos años fueron los más fecundos de su vida matemática, pero también lo fueron de inseguridad personal, ya que incluso llegó a arruinarse.
La primera publicación de Leibniz sobre el cálculo diferencial apareció en 1684 con el título de Nuevo método para los máximos y mínimos, así como para las tangentes, el cual puede también aplicarse a las cantidades fraccionarias e irracionales. En esta publicación desarrolló las reglas generales de diferenciación, utilizando las diferenciales (incrementos finitos dx, dy), mediante la notación d.
El cálculo diferencial de Leibniz se caracteriza por la ausencia del término función; el cálculo tiene una marcada visión geométrica, búsqueda de máximos y mínimos con la condición dv = 0 (actualmente f ’ (x) = 0) y puntos de inflexión ddv = 0 (actualmente f ’’ (x) = 0).
Los siete últimos años de su vida, murió en 1716, fueron años tristes debido a las controversias con Newton sobre el descubrimiento del cálculo diferencial e integral.
Pocos científicos habrán sido capaces de compaginar una vida tan activa con una profundidad de pensamiento como la que se revela en sus escritos. Fue uno de los espíritus más hondos y polifacéticos de la historia de la humanidad.
Filósofo profundo, lógico, matemático, científico, especialista en leyes, historia, lingüística, teología; fue, además, el trabajador incansable de la reconciliación religiosa y política en la Europa de su tiempo, resquebrajada en tantos sentidos.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(M.C.D. Y M.C.M.)

I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Dado dos o más expresiones enteras de grados no nulos. El MCD de dichas expresiones, es otra expresión de MAYOR GRADO ABSOLUTO que está contenida exactamente en dichas expresiones enteras. Para determinar el MCD, se factorizan las expresiones, luego este vendrá dado por el producto de los factores comunes elevados a sus menores exponentes.

Ejemplos:
• Dados los monomios:
A = 12x5y2z6 Ù B = 18x3y4w5
como: A = 22 · 3x5y2z6
B = 2 · 32x3y4w5
Luego: MCD(A,B) = 2 · 3x3y2
Finalmente: MCD(A,B) = 6x3y2
El cual, es la expresión de mayor G.A. que está contenida en A y B simultáneamente.
• Se tienen los polinomios:
P = 4x (x+1)5 (2x–1) (x2+x–1)4
Q = 5×2 (x+1)3 (2x+1) (x2+x–1)6
Resulta: M.C.D.(P,Q) = x (x+1)3 (x2+x–1)4
Siendo este polinomio, el de mayor G.A. que está contenida en las expresiones P y Q.

II. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)
Dados dos o más expresiones enteras de grados no nulos. El MCM de dichas expresiones, es otra expresión de MENOR GRADO ABSOLUTO que contiene exactamente a dichas expresiones enteras. Para determinar el MCM, se factorizan las expresiones, luego este vendrá dado por el producto de los factores comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes.
Ejemplos:
• Dados los monomios:
A = 160x7y3z2 Ù B = 192x4y6w
como: A = 25 · 5x7y3z2
B = 26 · 3x4y6w
Luego: MCM(A,B) = 26 · 3 · 5x7y6z2w
Finalmente: MCM(A,B) = 960x7y6z2w
El cual, es la expresión de menor G.A. que contiene exactamente a A y B simultáneamente.
• Se tienen los polinomios:
P = 5×3(x+1)2 (3x+1) (x2–x+1)7
Q = 3×2 (x+1)4 (3x–1) (x2–x+1)5
Se obtiene:
MCM(P,Q) = 15×3 (x+1)4 (3x+1) (3x–1) (x2–x+1)7
Siendo este polinomio, el de menor grado absoluto que contiene a las expresiones P y Q.

Teorema Nº 1
Dados dos polinomios cualesquiera P y Q, se cumple la siguiente identidad polinómica:

Demostración:
Sean: P(x) º A(x) · B(x) ………. (a)
Q(x) º A(x) · C(x) ………. (b)
Donde B y C son primos entre sí.
entonces: MCD(P,Q) = A(x)
MCM(P,Q) = A(x) · B(x) · C(x)
Multiplicando m.a.m. (a) y (b):
P(x) · Q(x) º A(x) · B(x) · A(x) · C(x)
Por la propiedad asociativa:
P(x) · Q(x) º A(x) · [A(x) · (x) · C(x)]
P(x) · Q(x) º MCD(P,Q) · MCM(P,Q)
con lo cual queda demostrado.
Ejemplos explicativos:
• Dados dos polinomios P y Q, tales que:
MCD(P,Q) · MCM(P,Q) º (x2– 4)5 (x2–1)3
Si uno de ellos es (x+2)2 (x – 2)4 (x – 1)3. Hallar a que es equivalente el otro.
Resolución:
Por el Teorema 1, se tiene:
P(x) · Q(x) º (x2– 4)5 (x2–1)3
Reemplazando el dato para Q, resulta:
Simplificando se tiene:
P(x) = (x + 2)3 (x – 2) (x + 1)3
• El producto que resulta de multiplicar dos polinomios de variable libre x es (x6+1)2 – 4×6, y el cociente de dividir el MCM y MCD de dichos polinomios es (x2+1)2 – 4×2. Señale a que es equivalente el MCD.
Resolución:
Sean P(x) y Q(x) los polinomios.
Por el teorema 1:

MCD(P,Q) · MCM(P,Q) º (x6+1)2 – 4×6 …. (a)
Por el 2do. dato:

como se quiere despejar el MCD, dividamos (a) entre (b), así:

Luego:

[MCD(P,Q)]2 = (x4+x2+1)2
Finalmente : MCD(P,Q) = x4 + x2 +1

Objetivos
• Si se trata de reducir fracciones, tenemos que efectuar operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entre ellas.
• Para el proceso de simplificar una fracción debemos diferenciar si este es o no irreductible.
• Resaltar la importancia de las fracciones propias e impropias, y la consecuencia directa de descomponerlos parcialmente.

FRACCIÓN ALGEBRAICA RACIONAL (F.A.R.)
Es la división indicada de dos polinomios N y D, denominados numerador y denominador respectivamente, siendo D, un polinomio no constante.
Es decir:
Siendo:
N : Polinomio numerador no nulo
D : Polinomio denominador no constante
Por ejemplo:

;

Son fracciones algebraicas racionales.
Pero las fracciones expuestas:
;

;

no son algebraicas. Debido a que los denominadores son expresiones constantes, sean estos numéricos o literales.
REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para reducir fracciones, debemos efectuar operaciones entre ellas. Para lo cual estableceremos los siguientes algoritmos:
I. Adición y Sustracción

II. Multiplicación

III. División

Ejemplos Elementales:
• Reducir:

Efectuando operaciones básicas:

• Reducir:

Aplicando productos notables, se tiene:

• Reducir:

factorizando en el numerador, resulta:

• Reducir:

SIMPLIFICACIÓN DE UNA FRACCIÓN
ALGEBRAICA :
Fracción Algebraica Irreductible.-
Una fracción algebraica:
es reductible, si los polinomios N y D admiten factores comunes. Es decir, simplificar una fracción algebraica, consiste en transformar una fracción reductible en otra equivalente, que sea irreductible.
Por ejemplo: Simplificar:
La fracción propuesta es reductible, ya que acepta el factor común (x+2), tanto en el numerador como en el denominador.
Veamos : luego la fracción irreductible será :
Otro Ejemplo :
• Simplificar :
Transformando el numerador y denominador, se tiene:

Ordenando:
Por productos notables, resulta:

Luego, el equivalente irreductible será:

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS :
Sea la fracción algebraica:
De acuerdo al grado de sus elementos, se definen:
a) Fracción propia

b) Fracción Impropia

Ejemplos diversos:
• Son fracciones propias:

• Son fracciones impropias:

REGLA DE SIGNOS EN UNA FRACCIÓN
ALGEBRAICA:
En toda fracción algebraica racional, se cumple:

Esta propiedad es muy útil en la reducción de fracciones, sean éstas homogéneas o heterogéneas.
Por ejemplo:
• Reducir:

llevándolo a una suma de fracciones homogéneas:

Efectuando directamente los numeradores:

Teorema Nº 2
Si la fracción algebraica:

es independiente de sus variables, es decir:
, se cumple la condición:

Demostración:
Si :
Ax3 + Bx2y4 + Cy5 º K (Mx3+Nx2y4+Py5)

Igualando:
A = KM
B = KN
C = KP
llevándolo a una relación simultánea:

Lo cual queda demostrado.

Ejemplo explicativo:
• Si la fracción algebraica:

Asume el valor numérico de 3, para cualquier universo de valores reales para “x” e “y”. De acuerdo a esto, calcular el valor de (m+n+p).
* De acuerdo a la premisa:

luego, por la propiedad, se tiene:

Resolviendo las ecuaciones:
m = 13 ; n = 1 ; p = 1
Por lo tanto: m + n + p = 15

1. Consideremos los siguientes polinomios en Z:
A(x) = x6 – 1 ; B(x) = x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1
Encuéntrese el MCD de A(x) y B(x).
Resolución:
No olvidemos que para encontrar con facilidad el MCD de dos o más polinomios, estos deben estar factorizados:

B(x) = x5 – x4 + x3 – x2 –x – 1
agrupando convenientemente:
B(x) = (x5 – x4 + x3) – (x2 – x + 1)
B(x) = x3 (x2 – x + 1) – (x2 – x +1)

B(x) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) ….. (2)
Luego los factores primos comunes de (1) y (2):
MCD(A,B) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)

2. Problema
Determinar la suma de los cubos de los numeradores de las fracciones simples (parciales) en ls que se descompone la fracción F(x), siendo:

Resolución:

1. Calcular el M.C.D y el m.c.m de cada ejercicio:
• P(x,y,z) = 63x4y6z9
Q(x,y,z) = 126x6y5z7
R(x,y,z) = 42x8y7y6

M.C.D =

M.C.M =

• A = 20×4 + x2 – 1
B = 25×4 + 5×3 – x – 1
C =25×4 – 10×2 +1

M.C.D =

M.C.M =

• M = a5 – a4x – ax4 + x5
N = x4 – ax3 + a3x – a2x2

M.C.D =

M.C.M =

• P(x) = x4 – x3 – 3×2 + 5x – 2
Q(x) = x3 – 4×2 + 5x – 2
R(x) = x4 + x3 – 3×2 – x + 2

M.C.D =

M.C.M =

• A = x5 – x3
B = x4 + x3 – x – 1
C = x5 – x4+ x3 – x2 + x – 1

M.C.D =

M.C.M =

• P = x4 – 3×3 – 10×2 + 7x – 1
Q = x4 – 8×3 + 17×2 – 8x + 1
R = x3 – 6×2 + 6x – 1

M.C.D =

M.C.M =

2. Halle el valor numérico del M.C.D para x = 3 de los polinomios:
P(x) = x4 + 2×2 – 3
Q(x) = x4 + x3 – x2 – x
R(x) = x3 – 7x – 6

Rpta.:

3. Si el M.C.D. de los polinomios:
P(x) = x4 – 9×2 + ax + b
Q(x) = x4 + 2×3 – 7×2 + cx + d
es: (x – 2)(x – 3). Determine el número de factores primos del M.C.M de ellos:

Rpta.:

4. Calcular el M.C.D de:
P(x) = 5×3 – 5×2 + 2x – 2
Q(x) = 2×3 + 2×2 – 2x – 2
R(x) = x4 + x3 – x2 – x

Rpta.:

5. Hallar el M.C.D. y M.C.M de:
• A = x3 + 3×2 + 3x + 1
B = x3 + x2 – x – 1
C = x3 + 4×2 + 5x + 2
• A = x3 – 5×2 – x + 5
B = x4 + 4×3 – 4x – 1
• A = x3 – 1
B = x4 + x2 + 1
C = x3 + 3×2 + 3x + 2

6. Hallar el M.C.M. y el M.C.D de:
• P(x) = x6 – x2
Q(x) = x3 – 3×2 + 2x
R(x) = 2×4 – x3 – 3×2
• P(x) = x3 + 3×2 + 2x
Q(x) = x3 + 4×2 + 5x + 2
• P(x) = x3 + 1
Q(x) = x4 + x2 + 1
Hallar el M.C.D.:
• P(x) = x2 – 9 ;
Q(x) = x2 – 15x + 36
R(x) = x4 – 5×3 + 5×2 + 5x – 6

Rpta.:

• Hallar el M.C.D. de:
P(x,y) = x3 – xy2 + x2y – y3
Q(x,y) = x3 – xy2 – x2y + y3
R(x,y) = x4 – 2x2y2 + y4

Rpta.:

• ¿Cuántos factores primos tiene el M.C.M. de:
P(x,y) = x5 – x2y3 – x3y2 + y5
Q(x,y) = 4×6 + x2y4 – 4x4y2 – y6

Rpta.:

7. Fracciones:
Simplificar las siguientes fracciones:

1. Hallar el M.C.D. de:
P(x) = (x + 1)2 (x – 3)4 (x + 5)6
Q(x) = (x – 1)2 (x + 1)3 (x – 3)2
R(x) = (x + 1)4 (x – 3)3 (x + 6)7
A) (x + 1)2 (x – 3)2
B) (x + 1)4
C) (x – 1)4
D) (x + 1)4 (x – 3)4
E) (x + 1) (x – 1) (x – 3) (x + 6)

2. Hallar el M.C.M. de:
P(x) = (x + 1)2 (x – 3)4
Q(x) = (x – 3)5 (x + 4)2
A) (x – 1)2 (x – 3)5 (x + 4)
B) (x – 3)5
C) (x – 1)2 (x – 3)5 (x + 4)2
D) (x – 3)4
E) (x – 1)2 (x – 3)4 (x + 4)2

3. Hallar el M.C.D. de las siguientes expresiones:
a–1xn–1 ; b–1xn–2 ; c–1xn–3
A) abcxn B)
C) xn–3 D) xn–2
E) xn–1

4. Hallar el M.C.D. de las expresiones:
axn–3 ; bxn–4 ; cxn–5
A) abcxn–3 B)
C) abcxn–5 D) abcxn–4
E) xn–5

5. Dados los monomios:
A(x,y,z) = (xa–3)yb+1 (zc–1)
B(x,y,z) = (xa–1)yb–3 (zc–4)
C(x,y,z) = (xa–2)yb+2 (zc+2)
Si el M.C.D. (A,B,C) = x6y8
indique el M.C.M (A,B,C)
A) x10y6 B) x8y9z6 C) x8y10z6
D) x7y6z6 E) x8y6z9

6. Siendo: A(x) = x2 + 3x – 10
B(x) = x4 – 25×2
C(x) = x3 + 4×2 – 5x
Halle el M.C.D.(A,B,C)
A) x – 2 B) x – 1 C) x + 5
D) x E) x (x – 2)

7. Encontrar el M.C.D. de los polinomios:
i. x4 – 5×2 + 4
ii. x3 + x2 – 4x – 4
iii. x3 – 2×2 – x + 2
A) x2 – x – 1 B) x2 + x + 1
C) x2 – x – 2 D) x2 – x + 2
E) x – 1

8. ¿Cuál de las expresiones que se dan es el M.C.D. de (3×3 – 8x + 8) y (x3 – 6x – 4)?
A) x + 5 B) x + 4 C) x – 5
D) x + 2 E) x + 3

9. Si el M.C.D. de los polinomios:
P(x) = x4 – 9×2 + mx + n
Q(x) = x4 + 2×3 – 7×2 + px + q
es x2 – 5x – 6, halle el grado del M.C.M. de dichos polinomios.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7

10. Sabiendo que el M.C.D. de los polinomios:
A(x) = 2×3 – x2 + 3x + m
B(x) = x3 + x2 + n
es x2 – x + 2.
Hallar: m–1 + n–1
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Máximo común divisor: (M.C.D.)
Para calcular el máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más expresiones se factorizan éstas y el M.C.D. estará formado por los factores comunes, elevados a su menor exponente.
Ejemplo 1 Hallar el M.C.D. de: 24a2b; 18a3bx; 30a4bx2
Resolución:
Se descomponen todos los coeficientes en sus factores primos, veamos:
24 2
12 2
6 2
3 3
1

30 2
15 3
5 5
1
Luego: 24a2b = 23·3·a2b
18a3bx = 2·32·a3bx
30a4bx2 = 2·3·5·a4bx2
Los factores comunes con su menor exponente son: 2·3·a2·b = 6a2b, siendo éste el M.C.D.
\ El M.C.D. de: 24a2b; 18a3bx; 30a4bx2 es 6a2b
Ejemplo 2 Hallar el M.C.D. de: 72x3y4z4 ; 96x2y2z3 ; 120x4y5z7
Resolución:
Se descomponen todos los coeficientes en sus factores primos, veamos:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1

120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1

Luego:
72x3y4z4 = 23·32·x3y4z4
96x2y2z3 = 25·3x2y2z3
120x4y5z7 = 23·3·5x4y5z7
· Los factores comunes con su menor exponente son: 23·3·x2y2·z3 = 24x2y2z3, siendo éste el M.C.D.
\ El M.C.D. de: 72x3y4z4; 96x2y2z3; 120x4y5z7 es: 24x2y2z3
Ejemplo 3 Hallar el M.C.D. de: x2-xy; 3×2-3y2; xy-y2
Resolución:
· Factorizamos cada una de las expresiones dadas:
I) x2-xy=x(x-y)
II) 3×2-3y2 = 3(x2-y2)=3(x+y)(x-y)
III) xy-y2 = y(x-y)
El factor común con su menor exponente es: (x-y), siendo éste el M.C.D.
\ El M.C.D. de: x2-xy; 3×2; xy-y2 es: (x-y)
Ejemplo 4 Hallar el M.C.D. de: x2+x-12; x2-9 ; x2-4x+3
Resolución:
· Factorizamos cada una de las expresiones dadas:
I) x2+x-12 = (x+4)(x-3)
II) x2-9 = x2-32 = (x+3)(x-3)
III) x2-4x+3 = (x-3)(x-1)
El factor común con su menor exponente es: (x-3); siendo éste el M.C.D.
\ El M.C.D. de: x2+x-12; x2-9; x2-4x+3 es: (x-3)
Ejemplo 5 Hallar el M.C.D. de 12(x-2)2; 6(x3-8); 15×2-60
Resolución:
· Factorizamos cada una de las expresiones dadas:
I) 12(x-2)2 = 3 · 22 · (x-2)2
II) 6(x3-8) = 2 · 3(x3-23) = 2 · 3(x-2)(x2+2x+4)
III) 15×2-60 = 15(x2-4) = 3 · 5(x+2)(x-2)
El factor común con su menor exponente es: 3·(x-2), siendo éste el M.C.D.
\ El M.C.D de: 12(x-2)2; 6(x3-8); 15×2-60 es: 3(x-2)
Mínimo común múltiplo: (M.C.M.)
Para calcular el M.C.M. de dos o más expresiones se factorizan éstas y el M.C.M se formará con los factores comunes y no comunes a su mayor exponente.
Ejemplo 1 Hallar el M.C.M. de: 72x3y4z4; 96x2y2x3; 120x4y5z7.
Resolución:
Se descomponen todos los coeficientes en sus factores primos, veamos:
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1

120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
Luego:
I) 72x3y4z4 = 23·32·x3y4z4
II) 96x2y2z3 = 25·3·x2y2z3
III) 120x4y5z7 = 23·3·5·x4y5z7

El M.C.M. será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, o sea: 25·32·5·x4y5z7 = 32·9·5x4y5z7
= 1 440 x4y5z7
\ El M.C.M. de: 72x3y4z4; 96x2y2z3; 120x4y5z7 es: 1 440 x4y5z7
Ejemplo 2 Hallar el M.C.M. de: 48a3bc4; 108a2b2c3; 18a4b3c2
Resolución:
Se descomponen todos los coeficientes en sus factores primos, veamos:
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
18 2
9 3
3 3
1
Luego:
I) 48a3bc4 = 24·3·a3bc4
II) 108a2b2c3 = 22.33·a2b2c3
III) 18a4b3c2 = 2·32.a4b3c2
El M.C.M. será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, o sea: 24·33·a4b3c4 = 16·27·a4b3c4
= 432a4b3c4
\ El M.C.M. de: 48a3bc4; 108a2b2c3; 18a4b3c2 es: 432a4b3c4
Ejemplo 3 Hallar el M.C.M. de: 2x-4, 3x+6; x2-4
Resolución:
· Factorizamos cada una de las expresiones dadas:
I) 2x-4 = 2(x-2)
II) 3x+6 = 3(x+2)
III) x2-4 = x2-22 = (x+2)(x-2)
El M.C.M. será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, o sea: 2·3·(x-2)(x+2) = 6(x-2)(x+2)

\ El M.C.M. de: 2x-4; 3x+6; x2-4 es: 6(x-2) (x+2) = 6(x2-4)
Ejemplo 4 Hallar el M.C.M. de: 3x-15; x2+5x+25; x3-125
Resolución:
· Factorizamos cada una de las expresiones dadas:
I) 3x-15 = 3(x-5)
II) x2+5x+25 = (x2+5x+25)
III) x3-125 = x3-53 = (x-5)(x2+5x+25)
El M.C.M.
\ El M.C.M. de: 3x-15; x2+5x+25; x3-125 es: 3(x3-53) = 3(x3-125)
1 Halla el máximo común divisor (M.C.D.) de los siguientes monomios:
a) 2a;4ab g) 12x3y4; 18ax2y2; 24bx4y m) 15x2y2; 75axy; 60a3x2y
b) x2; 3ax h) 20a5b4z; 15a3b2; 45a4b3x n) 9x4y; 36x2y3; 108xy4
c) xy; x2y2 i) 28x2y; 42x3z; 14x4y3 o) 16x3y; 48x8y3; 64x5y2
d) ab2; a2b; a2b2 j) 3x3y; 5x2y2; 2abxy p) 24x5y2; 72x3y3; 36x2y4
e) 3a3b3; 5a2bx; 4ab2z k) 18×4; 54×5; 36x2y
f) a2x3b;a5x4y; a4b2x3 l) 70 ax3; 35a2x2; 105a3bx
2 Halla el M.C.D. de los siguientes polinomios:
a) 3x+6; x2-4; (x+2)2 e) 4×2+4x-24; 2×2+18x+36 i) 8-x3; 4 – x2; (2-x)2
b) x2-y2; 2×2-2xy; 3xy-3y2 f) 3x(a+3); 2×2(a+3); 5x(a2-9) j) 5x(x3-b3); 10a(x2-b2); 15a(x-b)2
c) x2+4x+3; x2-1; x2+5x+4 g) 8abx-8ab; 4a2x-4a2; 6ax2-6ax
d) x2-8x+15; x2-6x+5; x2-25 h) (x+2)2; (4-x2); (x2+x-2)
3 Halla el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los siguientes monomios:
a) x2; 2xy g) x2y2; ax3; by m) 15xy; 25×2; 35y3
b) 3ax; 2×2 h) 6a2b; 8ab2; 12abx n) 12abx; 18a2y; 8b2x
c) 4a2y; 6ay i) 16x3z2; 48x2y; 80x4y2 o) 16x2yz2; 8xy2z4;24x3y4z
d) ax2; bx; abx j) 55xy3; 5×3; 11a2bx4y2 p) 36x3y2; 24x2y5; 28x4y3
e) 2x; 3ab; 5a2bx k) 5x3b3; 2ax3; 7ab2
f) 4a2; 6ab; 8bx2 l) 10a3b3; 20abx; 60a2b2x2
4 Halla el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los siguientes polinomios:
a) 3×2; 3×2-6bx f) a2; 3ax+6x; 3a k) x2+5x+6; x2+x-2; x2+3x+2
b) 8ab; 4ax+12a g) a2+2a+1; a2-1; 3a2+3a l) x3+y3; x2-y2; x2-xy+y2
c) 5b2; 6ax-2bx h) 4×2-4y2; 6×2+12xy+6y2; 12x+12y m) a3-8; a2-4; a2+2a+4
d) 12ax; 2a+x; 8ab2 i) 9-x2; 6x-2×2; 9-6x+x2 n) 3×2(27+a3); 6x(9-a2); x3(9-3a+a2)
e) 18×2;4ab-2a;9a2x j) a2+2ab+b2; a2-2ab+b2; a2-b2
5 Halla el máximo común divisor (M.C.D.) y el mínimo común múltiplo (M.C.M.) de los siguientes polinomios:
a) P = 4×4-y2; Q = (2×2-y)2
b) A = (x2-1)2; B = x2-4x-5; C = x4-1
c) M = 5×2- 10x; N = x3-4x; R = x2y-2xy; S = x2-x-2
d) A = x3+x2y+xy2+y3; B = x3-x2y+xy2-y3; C = x4-y4
e) A = 12ax-6ay+24bx-12by; B = 3a3+24b3; C = 9a2+9ab-18b2
f) A = x3-10×2+31x-30; B = x3-5×2-4x+20
Clave de respuestas
1. a) 2a e) ab i) 14×2 m) 15xy
b) x f) a2x3 j) xy n) 9xy
c) xy g) 6x2y k) 18×2 o) 16x3y
d) ab h) 5a3b2 l) 35ax p) 12x2y2
2. a) (x + 2) c) (x + 1) e) 2(x + 3) g) 2a(x – 1) i) 2 – x
b) (x – y) d) (x – 5) f) x(a + 3) h) (x + 2) j) 5(x – b)
3. a) 2x2y e) 30a2bx i) 240x4y2z2 m) 525x2y3
b) 6ax2 f) 24a2bx2 j) 55a2bx4y3 n) 72a2b2xy
c) 12a2y g) abx3y2 k) 70ab3x3 o) 48x3y4z4
d) abx2 h) 24a2b2x l) 60a3b3x2 p) 504x4y5
4. a) 3×2(x – 2b) e) 18a2x2(2b – 1) i) 2x(3 + x)(3 – x)2 m) (a3 – 8)(a + 2)
b) 8ab(x + 3) f) 3a2x(a + 2) j) (a + b)2(a – b)2 n) 6×3(3 – a)(27 + a3)
c) 10b2x(3a – b) g) 3a(a – 1)(a +1)2 k) (x + 2)(x2 – 1)(x + 3)
d) 24ab2x(2a + x) h) 12(x + y)2(x – y) l) (x – y)(x3 + y3)
5. a) M.C.D. = (2×2 – y) d) M.C.D. = x2 + y2
M.C.M. = (2×2 + y)(2×2 – y)2 M.C.M. = x4 – y4
b) M.C.D. = (x + 1) e) M.C.D. = 3(a + 2b)
M.C.M. = (x + 1)2(x – 1)2(x – 5)(x2 + 1) M.C.M. = 18(a + 2b)(a – b)(2x – y)(a2 – 2ab + 4b2)
c) M.C.D. = (x – 2) f) M.C.D. = (x – 2)(x – 5)
M.C.M. = 5xy(x – 2)(x + 2)(x + 1) M.C.M. = (x – 2)(x – 5)(x – 3)(x + 2)

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