MATEMATICA PREUNIVERSITARIA TEST RESUELTO 13 PDF

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Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE N° 13
1. Si se coloca un capital al 1% mensual de interés simple produciendo
anualmente S/.800 más de interés que si se colocara al 10% anual, halle el
capital.
A) S/. 40 000 B) S/. 35 000 C) S/. 25 000
D) S/. 50 000 E) S/. 60 500
Solución:
Por dato I1 – I2=800 , 1%mensual=12% annual

Clave: A
2. Dos personas han impuesto en total un capital de S/. 8000 a interés simple, el
primero coloca su capital al 5% durante 6 meses y el segundo al 4% durante 9
meses. Sabiendo que el interés del primero es los
5
24
del segundo, halle el
interés que produce el mayor capital.
A) S/.145 B) S/.230 C) S/.192 D) S/.250 E) S/.182
Solución:

Clave: C
3. Rogelio colocó la mitad de su capital a una tasa del 6% anual, la tercera parte
al 5% anual y el resto al 4% anual con lo que se obtiene una renta anual de
S/. 520. Halle el capital.
A) S/. 6 000 B) S/. 5 500 C) S/. 9 750 D) S/. 5 000 E) S/. 6 500
Solución:
Sea 6C el capital
Por dato I1 + I2 + I3 = 520
/
3 .6.1 2 .5.1 .4.1
520 1625
100 100 100
6 9750 S
C C C
C
C
     
 
Clave: C
4. Juan tiene S/. 72 000 decide colocar S/. 43 200 en una caja de ahorros y el
resto en un banco al 7% anual. Si desea ganar el 10% de su capital en un año,
¿a qué tasa semestral debería colocar su dinero en la caja de ahorros?
A) 6% B) 8% C) 5% D) 4% E) 9%
Solución:
Por dato 1 2 I  I 10%(72000) , r% anual
43200. .1 28800.7.1
7200
100 100
12 % 6%semestral
r
r r
  
   
Clave: A
5. Se prestan S/. 16000; S/. 4000; S/.6000 y S/.8000 a tasas del 36% anual, 3%
trimestral, 12% semestral y 6% bimestral en tiempos de t, t+1, t+2, t+3 meses
respectivamente. Si el monto producido por el mayor de los capitales es igual
a los montos producidos por los otros tres capitales juntos, entonces el
capital de S/.6000 produce un interés de
A) S/. 4740 B) S/. 2440 C) S/. 1540 D) S/.9720 E) S/. 8740
Solución:
36%anual=3%mensual, 3%trimestral=1%mensual, 12%semestral=2%mensual,
6%bimestral=3%mensual
Por dato M1 = M2 + M3 + M4
1 2 3 4 16000 I  (4000 I ) (6000 I ) (8000 I )
16000.3. 4000.1.(t 1) 6000.2.(t 2) 8000.3.(t 3)
2000
100 100 100 100
t         
       
     
/
3
75 6000.2.79
4740
2 2.100
S t  I  
Clave: A
6. Si se invierte un capital durante n años a una tasa del 9% de interés simple el
monto sería de S/. 26 100 y un año más tarde sería de S/. 27 720, halle el valor
de n.
A) 4 B) 7 C) 8 D) 5 E) 6
Solución:
Por dato 


 
  

 
 
100
9(n 1)
; 27720 C 1
100
9n
26100 C 1
Luego
100 9
26100 100
27720 109 9
100
n
C
n
C
  
 
  
  
 
 
n  5
Clave: D
7. Mario pide un préstamo de $ 3000 y se compromete a pagar al cabo de 4 años
con una tasa de interés simple del 10% anual. Si decide cancelar su deuda al
cabo de 3 años, ¿cuánto tiene que pagar?
A) $ 4200 B) $ 4 800 C) $ 3 500 D) $ 4 450 E) $ 3 780
Solución:
Por dato
100
3000.10.4
Vn  3000 4200 n V 
Como Va = Vn – Dc $ 4200.10.1
4200 3780
100 a a V   V 
Clave: E
8. Tres capitales impuestos separadamente al 12,5% semestral, 4% bimestral y al
5% trimestral respectivamente generan la misma renta anual. Si el menor de
los montos producidos en un año es de S/. 3000, halle el mayor capital.
A) S/. 2500 B) S/. 3200 C) S/. 3000 D) S/.2800 E) S/. 2900
Solución:
12,5%semestral=25%anual, 4%bimestral=24%anual, 5%trimestral=20%anual
Por dato I1 = I2 = I3
1 2 3 1 2 3 .25.1 .24.1 .20.1
100 100 100 24 25 30
C C C C C C
       k
1 1 2 3 I  6k,M  30k,M  31k,M  36k
Además M1 = 3000  k = 100  C3 = S/. 3000
Clave: C
9. Se debe pagar S/. 735 con tres letras de igual valor nominal, cada cinco meses
y a una tasa del 15% anual. Halle el valor nominal de las letras
A) S/. 240 B) S/. 280 C) S/. 260 D) S/.290 E) S/. 230
Solución:
Por dato
a1 a2 a3 735  V  V  V
/
.15.5 .15.10 .15.15
735
1200 1200 1200
280
n n n
n n n
S
n
V V V
V V V
V
     
            
     
 
Clave: B
10. ¿Cuál es el valor actual, de un pagare de S/. 84 000 que vence el 13 de Mayo y
se negocia con una tasa de descuento del 8% anual el 16 de Abril del mismo
año?
A) S/. 83 946 B) S/. 82 649 C) S/. 83 496 D) S/. 82 649 E) S/. 81 496
Solución:
14(abril)+13(mayo)=27 días
Se tiene Va = Vn – Dc , Vn = S/. 84000
/
84000.8.27
8400
36000
83496
a
S
a
V
V
  
 
Clave: C
11. Luis solicita un préstamo hipotecario de S/ 10 000 a una tasa de 1,13 %, que
debe cancelarse en 20 años, si después de 10 años Luis decide cancelar su
deuda, ¿cuánto sería su descuento?
A) S/. 2130 B) S/. 1220 C) S/. 1180 D) S/. 1310 E) S/. 1130
Solución:
1130
100
10000 x 1,13 x 10
100
V x r x t
D a
c   
Clave: E
12. Pedro firmó una letra por $ 8 400 a pagar 7 meses, con una tasa de descuento
del 5%. Si dicha letra la cambió pagando $ 2 663 al contado y firmando otras
dos letras, una por $ 1728 a pagar en 5 meses y la otra a pagar en un año
ambas con la misma tasa de descuento anterior, halle el valor nominal de la
otra letra.
A) $ 4500 B) $ 4000 C) $ 5200 D) $ 4850 E) $ 5200
Solución:
Se tiene Va = contado +
a1 a2 V  V
$
8400.5.7 1728.5.5 .5.1
8400 2663 1728
1200 1200 100
4000
n
n
n
V
V
V
     
           
     
 
Clave: B
EVALUACION DE ARITMETICA N° 13
1. Un capital impuesto durante 5 años genera un interés igual al 10% del monto,
¿qué porcentaje del monto será el triple del interés generado en 9 años?
A) 25% B) 50% C) 20% D) 40% E) 35%
Solución:
Por dato I = 10%M = 10%(C + I)  I =
9
C
Interés en 5 años:
9
C
Interés en 9 años:
5
C
entonces
6
5
C
M 
3
5 .100% 50%
6
5
C
C
 
Clave: B
2. Se prestó un capital por cinco años y el monto obtenido fue de S/45 000, pero
si el tiempo hubiese sido de siete años, se ganaría S/ 12 000 más. Halle la tasa
de interés trimestral.
A) 9% B) 11% C) 8 % D) 10% E) 12%
Solución:
Por dato 



  



 
100
7r
,57000 C 1
100
5r
45000 C 1 , r% anual
100 5
45000 100
40 % 10%
57000 100 7
100
r
C
r r trimestral
r
C
  
 
       
  
 
 
Clave: D
3. ¿Cuál es el descuento que se debe hacer a una letra de S/. 14 400, al 8%
cuatrimestral, si faltan para su vencimiento un mes y 20 días?
A) S/. 200 B) S/. 250 C) S/. 300 D) S/. 350 E) S/. 480
Solución:
r = 8% cuatrimestral ↔ 24% anual
t = un mes y 20 días ↔ 50 días
14400 24 50
480
36000 36000
N V r t  
   C D
Clave: E
4. Al depositar un capital durante un año, se obtiene un monto de S/. 5 300. Pero
si se impone durante un año y medio, se consigue un monto de S/. 6 900. Halle
el capital si la tasa de interés es la misma en ambos casos.
A) S/. 2 150 B) S/. 2 100 C) S/. 2 200 D) S/. 2 000 E) S/. 2 300
Solución:
M1año = C + I1año = 5300
M1año y medio = C + I1año y medio = 6900
 I1año y medio – I1año = 1600  I medio año = 1600
 I1año = 3200  C + 3200 = 5300  C = 2100
Clave: B
5. Felipe deposita los 4/7 de su capital en una caja rural con una tasa del 3%
trimestral y el resto al 5% semestral. Si después de 10 años el interés total fue
$ 1170, ¿cuánto fue su capital inicial?
A) $ 980 B) $1 050 C) $ 1 500 D) $ 1 200 E) $ 1 150
Solución:
3% trimestral=12%anual, 5%semestral=10% anual
Sea 7C el capital
Por dato 1 2 I  I 1170
$
4 .12.10 3 .10.10
1170 150
100 100
7 1050
C C
C
C
    
 
Clave: B
6. La suma del valor actual y el valor nominal de una letra que vence dentro de 7
años es de S/. 5267. Si la letra se cancelaría dentro de 3 años se obtendría un
descuento de S/. 324, ¿cuál es el valor actual de la letra?
A) S/.2500 B) S/. 2480 C) S/. 1850 D) S/. 2350 E) S/. 2650
Solución:
r% anual,
Por dato
1
. .4
324 324 . 8100
100
n
c n
V r
D    V r  … (*) Además
5267 a n V V  ( ) 5267 2 5267 a a c a c V  V D   V D 
.r .7
2 5267 (*)
100
n
a
V
 V   Por / 2350 S
a V 
Clave: D
7. Se tiene una letra cuyo valor actual es 5 460 que vence dentro de 18 meses. Si
se cancelara dentro de 5 meses se pagaría $ 300 menos que si se cancelara 3
meses antes de la fecha de vencimiento, ¿cuál es la tasa de descuento anual
aplicado en todos los casos?
A) 6% B) 3% C) 8% D) 6,5% E) 7,2%
Solución:
Sea Dc: Descuento comercial en un mes, r% mensual
Por dato
2 1
300 a a V V 
( 3 ) ( 13 ) 300 n c n c  V  D  V  D  30…(*) c D 
Además
5460 18 6000 n c n V  D V 
Por (*)
6000. .1 1
30 % 6%
100 2
r
 r  r  anual
Clave: A
8. Si faltan 6 meses para el vencimiento de una letra cuyo valor actual es de $ 2
500 y dentro de 60 días el descuento sería de $ 200, ¿cuál es valor nominal de
la letra?
A) $ 2500 B) $ 3 200 C) $ 2 800 D) $ 4200 E) $ 2000
Solución:
r % mensual , 60 días=2 meses
Por dato 200 V .r 5000 (*)
100
V .r.4
D 200 n
n
c1
     
Además
$
. .6
2500 (*)
100
2800
n
n a c n
n
V r
V V D V Por
V
     

Clave: C
9. Se debe pagar S/. 15 000 en dos plazos, la mitad a los 6 meses y la otra mitad a
los 4 meses siguientes. Si se paga al contado el descuento es de 0,5%
mensual, halle el valor actual.
A) S/. 14 400 B) S/. 14 800 C) S/. 15 600
D) S/. 15 200 E) S/. 14 200
Solución:
a V

1 2
7500.0,5.6 7500.0,5.10
7500 7500
100 100 a a V V
   
       
   
/ 14400 S
a V 
Clave: A
10. Se negocia un pagaré de S/. 6000 obteniéndose S/. 5800 de valor actual. Si el
pagaré se vencerá dentro de 4 meses, halle la tasa de descuento que se está
aplicando.
A) 12% B)8% C)7% D)5% E) 10%
Solución:
n a c V V  D
, r% mensual
6000. .4 5
6000 5800
100 6
% 10%anual
r
r
r
    
 
Clave: E
Álgebra
SEMANA Nº 13
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si m es la solución real de la ecuación 2(x 2x 4)
x 8 x 2x 4
x 4 x 4
2
3 2
2
   
  
 
,
halle el valor de 3m
2
– 9m
– 1
.
A) 17 B) 20 C) 15 D) 24 E) 22
Solución:
El determinante
x 2x 4
x 4
(x 2)(x 2x 4)
(x 2)(x 2)
x 8 x 2x 4
x 4 x 4
3 2 2 2
2
 

  
 

  
 
  F2
2
C1
 (x  2) (x  2x  4)
1 1
x  2 x  4
x 8 x 2x 4
x 4 x 4
3 2
2
  
 
= (x – 2) (x
2 + 2x + 4) (– 2)
En la ecuación
– 2 (x – 2) (x
2 + 2x + 4) = – 2(x
2 + 2x + 4)
Luego x – 2 = 1  x  3
m = 3 y luego 3m
2
– 9m
– 1
= 3 (3)
2
– 9 (3)
– 1
= 24
Clave: D.
2. Si el sistema en x e y



  
   
mx 7y m 1
4x (k 2)y m 8
con m  0 y m  1 tiene
infinitas soluciones, halle el valor de | k + 2m |.
A) 18 B ) 14 C) 20 D) 16 E) 12
Solución:
El sistema tiene infinitas soluciones, luego
m 1
m 8
7
k 2
m
4





Luego m 4m 4 0
m 1
m 8
m
4 2    


 n = – 2
7
k 2
2
4 


 28  2k  4 k = – 16
k  2m   16  2 (2)  20
Clave: C.
3. Determine el valor p de manera que al resolver el sistema de ecuaciones
lineales en x e y



   
   
(p 6)x (p 3)y 11
(3p 1)x (3p 1)y 2
se cumpla que x + y = 1.
A) 1 B ) 2 C) – 1 D) 3 E) 4
Solución:
Como y = 1 – x, el sistema se reduce a



    
 
3x p 8 p 1
2x 3p 3
Clave: C.
4. Determine un sistema de ecuaciones lineales en x e y que represente la gráfica
adjunta
X
Y
L1
L 2
5
4
2
-3
A)
  
 
 
y x 5
y x 3
B )
  
 
 
y 5x 2
y 2x 3
C)
  
 
 
y x 2
y 3x 6
D)
  
 
 
y 2x 3
y 4x 5
E)
  
  
 
5y 4x 20
3y 2x 6
Solución:
Consideremos la ecuación 1
b
y
a
x
  donde a y b son las intersecciones con
los ejes coordenados X e Y respectivamente.
Luego Para L1 : 1 4x 5y 20
4
y
5
x
    
Para L2 : 1 2x 3y 6
2
y
3
x
     

Un sistema es



 
  
3y 2x 6
5y 4x 20
Clave: E.
5. Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación






  
 
   

 
18(x 2)
2 4 1
4 x 2 2
x 2 2 | x 2 | 1
| 30 10x |
5 x 3
x 3 5
.
A) {8} B) {2, – 2} C) {– 2} D) {–3, 2} E) {– 2,8}
Solución:
30 10x (x 3) 25 10 x 3
5 x 3
x 3 5
2       

 
= ( x 3 5) 2  
Por Sarrus
 
 
2 4 1
4 x 2 2
x 2 2 | x 2 | 1
4 x 4 2
x 2 2 | x 2 | 1
2 4 1
4 x 2 2
x 2 2 | x 2 | 1

 

 
 
 
2 4 1
4 x 2 2
x 2 2 | x 2 | 1
(x 2) 16 10(x 2) 2     = 2  ( (x  2)  4)
En la ecuación
2 2 ( x  3  5)   ( (x  2)  4)  x  3  5  0  (x – 2) + 4 = 0
(x = 8  x = – 2)  x = –2
Luego x = –2
Clave: C.
6. Halle el conjunto al que pertenece k para que el sistema en x, y, z



 


    
   
   
k x 18y (k 3) z 5
k x 6y (k 3)z 5
kx 2y z m 7
3 2
2
tenga solución única.
A) R – {–3, –6, –1} B) R – {–1, 2, 6} C) R – {0, 6}
D) R – {0, 6, 3} E) R – {2, 6, 1}
Solución:
Calculando el determinante del sistema
C1 C2
3 2
2 k 2
k 18 (k 3)
k 6 k 3
k 2 1


  
k 9 (k 3 )
k 3 k 3
1 1 1
2 2 

Por Vandermonde
  2k (k – 6) (–3) (3 – k)
Para que tenga solución única   0
 k  0, k  6, k  3
 k  R – {0, 6, 3}
Clave: D.
7. Dado el sistema en las variables x, y, z
 

 


   
  
  
x z
y z 1
x y 0
,
halle el valor de  para que tenga infinitas soluciones.
A) – 1 B) 1 C)
4
1
D) 0 E)
4
1

Solución:
  



1 0
0 1
1 0

3
+ 1
Para que tenga infinitas soluciones 
3
+ 1 = 0
Entonces  = – 1
Clave: A.
8. Dado el sistema en las variables x e y



   
   
(y 3)(y 3) x 0
(x y)(x y) 11 0
.
Determine el número de soluciones.
A) 2 B) 1 C) 4 D) 5 E) 0
Solución:



 
 
y 9 x (2)
x y 11 (1)
2
2 2


(1 ) + (2)
x
2
– 9 = 11 + x x
2
– x – 20 = 0 luego x = 5 v x = – 4
Si x = 5 y
2 = 9 + 5  y  14 v y   14
Si x = –4 y
2 = 9 – 4  y  5 v y   5
Soluciones (5, 14), (5, 14) , (4, 5), (4  5)
Clave: C.
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si el sistema en x e y



   
   
3x (a 4)y c 5
(a 4)x 11y c 3
es incompatible, halle los
valores reales de c.
A) R – {–1,8} B ) R – {1,8} C) R – {7,8} D) R – {–1, –7} E) R – {2,–8}
Solución:
Como el sistema es incompatible
c 5
c 3
a 4
11
3
a 4






a
2
– 16 = 33
a
2
= 49  a = 7 v a = –7
si a = 7,
c 5
c 3
3
7 4




 11c – 55  3c + 9 luego c  8
Si a = – 7,
c 5
c 3
3
7 4



 
 c  1
Clave: B.
2. Al resolver el sistema en x e y



 



 
  

 
  
a b
a b 1
x (a b)y
a b
a b 1
(a b)x y
donde a   b, halle el
valor de xy.
A) a
2
+ b
2
B ) 1 C)
2 2 a b
1

D)
b
a
E)
2 2 a b
1

Solución:
a b 1
1 a b
a b 1
2 2
s   


 
a b
a b a b a b 1
a b
a b 1
a b 1
a b
a b
a b 1
1
a b
a b 1
2 2
x

     


 
   


 

 
 
x 
a b
1
x
a b
a b 1 2 2

 

 
En la primera ecuación
a b
1
y
a b
a b 1
y
a b
1
(a b)

 

 
 


2 2 a b
1
xy

 
Clave: C.
3. Si
c 1 b
1 c a
a b 1
  ,
1 b
a b
c 1 c
a b 1


 

  y
0 0 b
0 c 3
a 1 2
  , halle el valor de M
=
1
       
        
      
. Donde a, b y c son las raíces de p(x) = x
3
– x + 2.
A) 1 B) 2 C) 0 D) – 3 E) –1
Solución:
Como a, b y c son raíces de p(x) = x
3
+ 0 x
2
– x + 2
(1) a + b + c = 0
(2) ab + ac + bc = –1
(3) abc = –2
2 2 2 2abc 1 a b c
c 1 b
1 c a
a b 1
      
5
2( 2) 1 ( 2)( 1)
  
      
1 b
a b
c 1 c
a b 1


 

 
1
a ac bc c ab b
  
      
0 0 b
0 c 3
a 1 2
  = abc = – 2
M =
1
       
        
      
= 0
3 1 3
1 6 3
3 1 3
 
  
Clave: C.
4. Halle la solución real al resolver la ecuación
0
8 7 1
24 1 0
8 0 0
3 4 5
2 2 6
1 2 3
0 0 x
0 x 5
x 3


 

A) – 1 B) 1 C) – 2 D) 4 E) 2
Solución:
Resolviendo los determinantes
3 x
0 0 x
0 x 5
x 3


, 0
3 4 5
2 1 2 2 2 3
1 2 3
3 4 5
2 2 6
1 2 3
   
8
8 7 1
24 1 0
8 0 0


En la ecuación
x
3
+ 8 = 0 luego x = – 2
Clave: C.
5. Si el sistema de ecuaciones lineales en x, y, z



  
   
  
x 2y az 1
x 2ay z 2
ax 2y z 1
tiene solución única (x0,y0,z0), halle el valor de y0.
A)
a 2
1

B)
a 1
1

C)
(a 1)(a 2)
1
 
D) a – 1 E)
2 a
1

Solución:
Calculando el determinante del sistema ,
2(a 3a 2)
1 2 a
1 2a 1
a 2 1
3    



 
Y el determinante asociado a la variable y y
2(a a 2)
1 1 a
1 2 1
a 1 1
y 2       
y = 
   
  



2(a 1)(a a 2)
y 2(a a 2)
2
2
Clave: B.
6. Determine el conjunto de valores de , de modo que el sistema de ecuaciones
lineales en x, y, z
 

 


  
   
   
x y z 3
x y 4z 1
x 3y 5z 1
sea incompatible.
A) {2} B) {7} C) {2,3}
D) {2,7} E) {1,7}
Solución:
Hallando el determinante del sistema
( 9 14)
1 1 1
1 4
3 5
2      

 
 
 
Como es incompatible,  = 0
( 9 14) 0 2      
 = 7   = 2
Si  = 7
 

 


  
  
  
x y z 3 (3)
x 7y 4z 1 (2)
7x 3y 5z 1 (1)



(1) – 7(2) : – 46y + 23z = –6
(2) – (3) : 6y – 3z = – 2
Como
2
6
3
23
6
46






el sistema es incompatible.
Si  = 2
 

 


  
  
  
x y z 3 (6)
x 2y 4z 1 (5)
2x 3y 5z 1 (4)



(4) – (5) : x + y – z = 0
Con (6) : x + y – z = 3, el sistema es incompatible.
Luego   {2,7}
Clave: D.
7. Si (a,b,c) es solución del sistema de ecuaciones
 

 


  
  
  
3a 1 c 1/ c
3c 1 b 1/b
3b 1 a 1/ a
Determine la(s) proposición(es) verdaderas.
I. Tiene solución única.
II. Tiene infinitas soluciones.
III. ab + bc + ac 
4
3
A) Solo I B) Solo II C) I y II D) Solo III E) II y III
Solución:
De la primera ecuación se tiene
3ab – a = a
2
+ 1
3ab = a
2
+ a + 1 =
4
3
2
1
a
2
 



 
4
3
De manera similar
3bc 
4
3
y 3ac 
4
3
Luego ab + ac + bc 
4
3
Clave: E.
8. Si (a,b) es solución del sistema



 
  
x 5y 5
y 2xy 5x 9
2
2
tal que a + b < 0, halle el valor de b 2b a 2a 2 2   . A) – 2 B) 1 C) 3 D) 2 E) – 1 Solución: Como (a,b) es solución del sistema         a 5b 5 (2) b 2ab 5a 9 (1) 2 2   (1) + (2) a 2 + 2ab + b 2 – 5(a + b) = 14 (a + b) 2 – 5(a + b) – 14 = 0 Luego a + b = – 2 Como a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) = – 2(a – b) a 2 + 2a = b 2 + 2b Con lo que b 2b a 2a 2 2   = 1. Clave: B. Trigonometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 13 1. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Hallar el área de la región sombreada. A)   2 cos2 u 2 1    B)   2   cos u C)   2 sen2 u 2 1    D)   2 2   cos u E)   2 sen2 u 2 1    Solución: 2 2 som S.C ( sen2 ) u 2 1 sen2 2 1 2 1 (2cos2 sen ) 2 1 (1) 2 1 A A A                 Clave: E 2. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, halle el área de la región sombreada. A) sencos B) sencos 2 1 C) cos2 2 1 D) 2 sen 2 1  E) cos 2 Solución:          sen cos 2 sen (2cos ) 2 sen h Área ABC . . Clave: A 3. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, hallar el área de la región sombreada. A) (sen cos ) 4 1    B) (2sen cos ) 4 1     C) (sen cos ) 2 1    D) ( sen cos ) 2 1     E) ( sen2 2cos ) 4 1     Solución: El área sombreada ABCD es         h cos OC 1 AB sen h 2 (AB OC) A . (sen2 2cos ) 4 1 A (2sen cos 2cos ) 4 1 A (sen cos cos ) 2 2 2 1 A (sen cos cos ) 2 1 A cos 2 (sen 1) A                               . . . Clave: E 4. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica, hallar ac + bd. A) sen2 B)  2 2sen C) cos2 D) sen2 E)  2 2cos Solución:    cos ,  ( , ) cos , ( , ) (cos , ) Q sen Q c d Q sen P a b P sen            ac b d      sen sen    sen    2 2 2 (cos ) ( cos ) ( ) ( ) cos cos Clave: C 5. Con los datos de la circunferencia trigonométrica C de la figura, calcular el área de la región sombreada. A) 1 sen2  u2 2 1    B)   2 sen sen2 u 2 1    C)   2 cos sen2 u 2 1     D)   2 sen2 sen u 2 1    E)   2 sen sen2 u 2 1     Solución: (sen sen2 ) 2 1 (sen 2sen cos ) 2 1 (sen sen sen sen sen ) 2 1 cos sen 2 1 (cos 1) sen 2 1 S                          Clave: E 6. Si      8 3 40 9 E 4sen 2x x 2 , , , ¿cuál es la diferencia entre el valor máximo de E y el cuadrado de su valor mínimo? A) 3 B) 2 C) 4 D) 0 E) 1 Solución: 4 3 2x 20 9 8 3 x 40 9          Observando la circunferencia trigonométrica podemos afirmar que máx(E) mín(E) 4 (2) 0 2 E 4 sen2x 1 2 2sen2x 2 2 4sen 2x 4 2 2 2 2                Clave: D 7. Con los datos de la circunferencia trigonométrica C de la figura, halle el área de la región triangular ORS. A) 2 u 2 cos  B) 2  cos u C) 2 u 2 sen D) 2 sen u E) 2 u 2 sencos  Solución: Área 2 u 2 (OR)(TS) ORS  2 2 u 2 sen u 2 (1)(sen )     Clave: C 8. Con los datos de la circunferencia trigonométrica C de la figura, halle el área de la región triangular AOB. A) 2 sen2 u 2 1   B) 2 cos2 u 2 1  C) 2 sen2 u 2 1  D) 2 cos2 u 2 1   E) 2  tg2 u Solución: Como la coordenada de P es (cos , sen) entonces ( cos , ) (cos ( ) , ( ))           B sen B sen Luego                  sen2 2 1 A A sen cos A sen cos 2 sen cos 2 1 A Clave: A 9. En el gráfico se tiene la circunferencia trigonométrica. Calcular el área de la región sombreada. A) 2 u 1 ctg 1           B) 2 u 1 tg 1           C) 2 u sen cos 1            D) 2 (sen  cos) u E) 2 u 2 cos sen           Solución:                                                   1 tg 1 tg 1 1 tg 1 tg 1 sen cos sen 2 2 2 2(1) áreareg.somb. sen cos sen t (sen cos ) sen t t cos sen t sen cos sen 1 t t Clave: B 10. En la circunferencia trigonométrica C mostrada, determinar el área de la región sombreada. A) 2 u 2 1 cos 2 sen        B)   2 sen cos2  2 u C)   2 sen 1 cos u D) 2 cos u 2 1 2 sen        E) 2 cos u 2 1 1 sen        Solución: 2 sen 2 sen S 4 sen2 2 sen cos S 2 sen 2 1 sen S 3 2 1               2 somb somb somb cos u 2 1 S sen 1 2 2 2sen cos S sen 4 sen2 S sen                  . . Clave: E EVALUACIÓN N° 13 1. Con los datos de la circunferencia trigonométrica C de la figura, calcular el área de la región sombreada. A)     2     sen2 u B)     2     sen2 u C)     2 2     sen2 u D)     2 2     sen2 u E)   2 sen2 u 2 1 2          Solución:                      S 2 sen2 S 2 2sen sen 2 1 1 2 1 4 S 2 ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos Clave: D 2. En la figura, C es la circunferencia trigonométrica. Si el área del cuadrilátero ASTM es t u2 , hallar  3 2t csc . A)  sec 2 1 B) 2 sec C)  cos 2 1 D) 2sen E)  sec Solución: cos SA 1 OPQ OST , luego , OS cos PQ sen , OQ cos , AM tg                                                                         2cos sen (1 cos ) (1 cos ) 2cos sen (1 cos ) (1 cos ) 2 cos cos 1 sen (1 cos ) 2 cos 1 sen 1 (1 cos ) 2 cos sen sen (1 cos ) 2 sen ( tg ) El área del trapecio ASTM 2 . . . . . sen sec u ; luego, 2 1 2cos sen (1 cos ) sen sec (1 cos ) 2 1 3 2 2 3                                 . . .          2 t csc sec sen sec 2 1 t Área (ASTM) 3 3 Clave: E 3. En la circunferencia trigonométrica C mostrada, QR// OP y el punto medio de RS tiene coordenadas . Halle . 4 a 2 a ,           A) – 120° B) – 135° C) – 150° D) – 105° E) – 165° Solución:                                                                   135 2 2 a 0 sen . 2 sen 0 , 2 sen 0 , 2 cos cos 4 a 2 a , R ( cos , 0) PQ OR cos cos S (cos , sen ) P (cos , sen ) Clave: B 4. En la circunferencia trigonométrica C de la figura se tiene que AB = 3OD. Hallar el área de la región limitada por el cuadrilátero ODCB. A) 2 u 12 6  sen2 B) 2 u 2 1 sen2 C) 2 u 6 3  cos2 D) 2 u 12 3  cos2 E) 2 u 12 6  cos2 Solución: 2 1 2 1 1 S1    . 6 sen cos S2     2 1 2 u 12 6 sen2 12 sen cos 2 1 S S          Clave: A 5. En la circunferencia trigonométrica C de la figura, BC = CO. Hallar el área de la región sombreada. A) sen u2 4 3           B) 2 sen u 5 2           C) 2 sen u 4 1           D)   2  sen u E) 2 cos u 4 3           Solución: De la figura, como OA’ 1 Por punto medio se tiene que 1 2 1 AC     2 sen u 4 3 A 2 sen 2 1 1 Área A                        Clave: E Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 13 1. En un poliedro convexo cuyas caras son 4 regiones triangulares, 4 regiones cuadrangulares y 2 regiones pentagonales, halle su número de vértices. A) 9 B) 11 C) 10 D) 12 E) 15 Solución: 1) El poliedro tiene 10 caras 4  , 4 , 2 A = 2 4(3)  4(4)  2(5) A = 19 2) Por el teorema de Euler C + V = A + 2 10 + V = 19 + 2 V = 11 Clave: B 2. La arista de un tetraedro regular mide 6 cm. Halle el área de la proyección de una de sus caras sobre otra cara. A) 3 cm2 B) 5 3 cm2 C) 2 3 cm2 D) 3 3 cm2 E) 4 3 cm2 Solución: 1) En la figura: G es baricentro del ABC LG = 3 1 LB LG = 3 3 3 1 LG = 3 2) AAGC = 6( 3) 2 1 = 3 3 cm2 Clave: D 3. En la figura, ABCD-EFGH es un hexaedro regular y O es el centro de la cara ABCD. Si OM = 6 cm, halle el volumen del hexaedro. A) 200 cm3 B) 216 cm3 C) 136 cm3 D) 220 cm3 E) 250 cm3 A B C L V 3 3 6 6 G F G H A B C D E M O Solución: 1) ACG ~ AMO a 6 = a 3 2 2 a 3 2 = 2 2 a a = 6 2) VHEXAEDRO = a3 = 216 cm3 Clave: B 4. En un tetraedro regular O-ABC se traza la altura OH, siendo M y N puntos medios de OH y AO respectivamente. Halle la medida del ángulo agudo entre CM y HN. A) 30° B) 37° C) 53° D) 45° E) 60° Solución: 1) AHO: (T. base media) NM = 2 AH = k 2) H es baricentro  HQ = k 3) AHO (HN: Mediana)  HN = k 3 4) MN//HQ y NM = HQ  MQ = k 3 5) MQC (Notable) x = 45° Clave: D 5. En la figura, ABC-DEF es un prisma triangular recto, FE = 2ED = 2 cm y EB = DF. Halle el área lateral del prisma. A) (2 + 7 ) cm2 B) (3 + 7 ) cm2 C) (7 + 3 7 ) cm2 D) 2 7 cm2 E) (5 + 7 ) cm2 F G H A B C D E M O 6 a 3 a 2 2 A B C N M H T O k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 k 3 Q k 3 2k x k k k A B C D E F 120° Solución: 1) En la base FQD (T. Pitágoras) l = 7 2) AL = 1( 7 ) + ( 7 )2 + 7 7 = 3 7 + 7 = (7 + 3 7 ) cm2 Clave: C 6. El producto de las longitudes de todas las aristas básicas de un prisma triangular recto numéricamente es 3600. La altura del prisma y el diámetro de la circunferencia circunscrita a la base son congruentes. Halle el volumen del prisma en metros cúbicos. A) 20 m3 B) 30 m3 C) 50 m3 D) 60 m3 E) 40 m3 Solución: 1) h = 2R y (Dato) Abase = 4R abc = 2h abc 2) V = 2h abch = 2 abc = 2 60 = 30 m3 Clave: B 7. La sección recta de un prisma oblicuo está determinado por un trapecio rectangular cuya altura mide 4 m y las bases 2 m y 5 m. Si la altura del prisma mide 8 m y el ángulo entre una arista lateral y una altura mide 37°, halle el área lateral del prisma. A) 140 m2 B) 160 m2 C) 181 m2 D) 184 m2 E) 185 m2 Solución: 1) ALATERAL = 2  55 4  10 = 160 m2 Clave: B 60° l 3 2 120° 1 1 1 2 12 0° A B C D E F F Q E D = 7 7 7 1 2 7 7 a b c 37° 10 8 6 F G H A B C D E T 4 3 2 4 2 5 8. En un paralelepípedo rectangular, la proyección de una diagonal sobre la base mide 10 cm. Si uno de los lados de la base mide 8 cm y la diagonal forma con la base un ángulo que mide 45°, halle el área total del paralelepípedo. A) 200 cm2 B) 376 cm2 C) 216 cm2 D) 260 cm2 E) 217 cm2 Solución: 1) FH = Pr oy BH FH = 10  BF = 10 2) AL = 2(10  6) + 2(10  8) + 2(6  8) = 120 + 160 + 96 = 376 cm2 Clave: B 9. En la figura, ABC-DEF es un tronco de prisma triangular. Si AP = 12 cm y el área de la región DEF es 36 m2, halle el volumen del tetraedro A-PCB. A) 100 m3 B) 120 m3 C) 144 m3 D) 140 m3 E) 150 m3 Solución: 1) VA-PCB = VABC-DEF – VPCB-DEF = 36        3 12 a b c – 36       3 a b c = 36(4) = 144 m3 Clave: C 10. En la figura, ABC-DEF es un tronco de prisma regular. Q, R y T son puntos medios de las aristas básicas. Halle la razón entre las áreas laterales de NPM-RTQ y ABC-DEF. A) 3 1 B) 2 1 C) 5 1 D) 3 2 E) 5 3 A B C D E F P a b c A B C D E F G 6 H 10 45° 8 10 10 10 2 8 A B C D E F P A B C D E F Q R T M P N Solución: 1) AL ABC-DEF = l l l                  2 a c 2 b c 2 a b = l (a + b + c) 2) AL MNP-QRT = 2 2 h h 2 2 h h 2 2 h1 h2 l 2 3 l 3 1 l                  = 2 (h1 h2 h3 ) l   3) Como h1 = 2 a  b , h2 = 2 b  c , h3 = 2 a  c  h1 + h2 + h3 = a + b + c 4) L ABC DEF L NPM QRT A A   = 2 1 Clave: B 11. Un poliedro convexo tiene 8 caras triangulares y 4 caras cuadrangulares. Halle la suma de los ángulos de todas las caras del poliedro. A) 1660° B) 2880° C) 2800° D) 2980° E) 2120° Solución: C = 12 número de caras del poliedro A = 12 número de aristas del poliedro A = 2 83  4 4 = 20 Teor. Euler C + V = A + 2 Aplicando el Teorema: 12 + V = 20 + 2 V = 10 vértices Suma de ángulos de todos las caras S = 360° (V – 2) S = 360°(8) = 2880° Clave: B A B C D E F Q R T M P N a b c h2 h3 h1 l/2 l l 12. La base de un tronco de prisma recto es una región triangular, cuyos lados miden 1 m, 5 m y 2 m. Si las aristas laterales miden 1 m, 2 m y 3 m, halle el volumen del tronco. A) 1 m3 B) 5 m3 C) 4 m3 D) 2 m3 E) 3 m3 Solución: 1) V = 3 (1 2 3) ABASE   =          3 6 2 1 2 = 2m3 Clave: D 13. En la figura, se tiene un prisma recto cuya altura mide 11 cm. Si PB = 5 cm, PC = 4 5 cm y la distancia de Q al plano ABCD es 6 cm, halle el volumen. A) 108 cm3 B) 116 cm3 C) 124 cm3 D) 130 cm3 E) 132 cm3 Solución: 1) a2 = 25 – b2 = 80 – (11 – b)2  b = 3  a = 4  AABCD = 44 cm2 2) Si d = d(Q,ABCD) = 6  V = AABCD  2 d = 132 cm3 Clave: E 14. El perímetro de la base de un tronco de prisma cuadrangular regular es 20 m. Las longitudes de las aristas laterales suman 16 m. Halle su área lateral. A) 40 m2 B) 50 m2 C) 80 m2 D) 60 m2 E) 100 m2 Solución: 1) a + b + c + d = 16 m (Dato) 2) AL = 5 2 a d 5 2 c d 5 2 b c 5 2 a b                        5 5 b 5 a c d 5 A B C D E F 3 2 2 1 1 5 A B C D P Q 5 a b 11 b a d 11 4 5 A B C D P Q = 2 5 (2a + 2b + 2c + 2d) = 5(a + b + c + d) = 5(16) = 80 m2 Clave: C EVALUACIÓN Nº 13 1. En la figura, la distancia de A a BC es 4 6 m. Halle la longitud de la arista del hexaedro regular APBQ-FCDE. A) 6 m B) 5 m C) 4 m D) 7 m E) 8 m Solución: 1) ABC: 4 6 = 3 2 a 2 a = 8 m Clave: E 2. En la figura, ABC-DEF es un prisma recto. Si BE = 20 cm, 2AP = 3QD = 12 cm y el triángulo equilátero PCB cuyo lado mide 10 cm, determina con la base un diedro que mide 30°, halle el volumen del tronco PBC-QEF. A) 625 cm3 B) 624 cm3 C) 621 cm3 D) 530 cm3 E) 525 cm3 Solución: 1) S’ = Scos30° = 2 3 4 3 102  = 2 75 S’ = ASR 2) Vtronco = ASR  3 a  b  c A B D C E F P Q a a 2 a a a a 2 a 4 6 a 2 2 a 2 2 a A B C D E F P Q 6 10 4 20 20 SR S’ S 10 10 10 A B D C E F P Q A B C D E F P Q = 2 75        3 10 20 20 = 625 cm3 Clave: A 3. En un prisma triangular regular, el área lateral es igual a la suma de las áreas de las bases. Si el volumen del prisma es 27 cm3, halle el área total del prisma. A) 27 3 cm2 B) 72 cm2 C) 54 cm2 D) 36 3 cm2 E) 18 6 cm2 Solución: AL = 2AB 3ah = 2         4 a 3 2  h = 6 a 3 V = ABh =                 6 a 3 4 a 3 2 = 27 a = 6 AT = AL + 2AB AT = 2AB + 2AB AT = 4AB AT = 4         4 a 3 2 = a 3 2 AT = 6 3 2 AT = 36 3 cm2 Clave: D 4. En la figura se tiene un prisma regular, el área de su base es 9 3 cm2 y FH = 3 5 cm. Halle el volumen del prisma. A) 19 6 cm3 B) 23 6 cm3 C) 27 6 cm3 D) 31 6 cm3 E) 35 6 cm3 Solución: 1) AH = HB 2) HM DEF  HMMF 3) DMF: Notable 30°- 60°  MF = 3 3 4) HMF (Teor. Pitágoras) a a a a a a h h AB   A B C D E F H M h h 3 3 3 60° 6 3 5 3 A B C D E F H h2 = 2 (3 3) = 2 (3 5) h = 3 2 5) V = 9 3  3 2 = 27 6 cm3 Clave: C 5. En un prisma exagonal regular, la diagonal de una de las caras laterales mide 17 cm. Si la altura del prisma mide 15 cm, halle su volumen. A) 1440 3 cm3 B) 1240 3 cm3 C) 1540 3 cm3 D) 1320 3 cm3 E) 1640 3 cm3 Solución: 1) El lado de la base mide 8 cm. 2) Ab = 6         4 8 3 2 = 6(16 3 ) = 96 3 3) V = Ab  h = 96 3  15 = 1440 3 cm3 Clave: A 6. En la figura, ABCD-EFGH es un tronco de prisma cuadrangular recto, CG = 4 m y DH = 2HG = 2 m, el área de la base EFGH es la octava parte del área lateral del tronco. Halle el volumen del sólido. A) 14 m3 B) 12 3 m3 C) 9 m3 D) 14 2 m3 E) 18 m3 Solución: ALTRONCO = 8 AEFGH