MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PRUEBA RESUELTA 15 PDF

Share Button







CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA – VISUALIZACION
Aritmética
2. Si la media geométrica y la media aritmética de los números enteros positivos
a y b se diferencian en 4 unidades y la media aritmética de las raíces
cuadradas de a y b, es igual al doble de la diferencia de dichas raíces, hallar la
media armónica de a y b.

Clave: A
3. Si la media armónica de los números positivos a y b es
15
2
y la media
armónica de (a-3) y (b-3) es
24
7
, halle la diferencia positiva de a y b.
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Solución:
2
15
MH(a,b) 

2
15
a b
2ab



4
15
a b
ab


…(I)
Además:
 
7
24
MH (a3),(b3 
7
24
(a 3) (b 3)
2(a 3)(b 3)

  
 

7
12
a b 6
(a 3)(b 3)

 
 
 …(II)
De I y II:
a = 15 , b = 5
 a – b = 10
Clave: C
4. El promedio armónico de 60 números es 17 y el promedio armónico de otros
40 números es 34 .Halle el promedio armónico de los 100 números.
A) 22 B) 23 C) 23,25 D) 21 E) 21,25
Solución:
17
a
1

a
1
a
1
60
1 2 60

  
34
b
1

b
1
b
1
40
1 2 40

  
Luego:
17
20
17
60
100
b
1

b
1
a
1

a
1
60
1 60 1 40






   



 
21,25
80
100(17)

Clave: E
5. La varianza de los sueldos de los trabajadores de una empresa es S/.32. Si la
empresa decide descontar en 75% el sueldo de cada trabajador y luego
aumentarles S/. 800 a cada uno, Halle la varianza de los nuevos sueldos.
A) 2 B) 2,8 C) 2,2 D) 5,1 E) 4,2
Solución:
2 = 32
xi = sueldo de cada trabajador.
Luego los nuevos sueldos son:
25% xi + 800
Entonces la nueva varianza es:
(25%) (32) 2 2 2
N   
Clave: A
6. Halle la media aritmética de los números
8 ; 20 ; 32 ; 44; . . . ; 356
A) 124 B) 160 C) 182 D) 176 E) 133
Solución:
8 , 20 , 32 , 44 , … , 356
a1 a2 a3 a4 … a30
an = 12n – 4
30
a
MA
30
i 1
 i
 
30
30
4
2
30(31)
30
12
30
(12i 4)
MA
30
i 1  





 


MA  182
Clave: C
7. La media aritmética de 3 números enteros positivos es
62
3
, su media armónica
es
150
31
y su media geométrica igual a uno de los números. Halle la diferencia
del mayor y menor de estos números.
A) 32 B) 42 C) 48 D) 30 E) 56
Solución:
Sean a, b, c  Z+
donde a < b < c entonces: 3 62 MA(a.b.c)   a + b + c = 62 … (I) Además 31 150 MH(a.b.c)  50 31 c 1 b 1 a 1 3    …(II) También: ac b ...(III) abc b MG b 2 3 (a,b,c)      De I, II, III: b = 10 , a = 2 c = 50  c – a = 48 Clave: C 8. El promedio geométrico de 4 números enteros positivos diferentes es 4 255 . Halle el promedio armónico de estos números. A) 21,25 B) 13,75 C) 510 203 D) 512 103 E) 1214 517 Solución: a, b, c, d  Z+, diferentes 4 a b c d  4 255 1 3 5 17 Luego: 203 510 85 22 3 4 4 17 1 5 1 3 1 1 4 MH        Clave: C 9. En un concurso de matemática los puntajes de la primera fase de 11 estudiantes fueron 04, 05, 06, 10, 08, 09, 10, 11, 12, 13 y 14. Si pasan a la segunda fase todo aquel que tiene un puntaje mayor que la media geométrica de la moda y la mediana, halle el número de estudiantes que pasaron a la segunda fase. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Solución: 04, 05, 06, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14 notas mayores que 10  Mo = 10  Me = 10 Luego: MF(10,10)  10(10)  10 Entonces pasan a la sigu iente fase 4 estudiantes. Clave: B 10. El promedio aritmético de un conjunto de números aumenta en 5 unidades cuando se le suma 6 unidades a cada uno de los 15 primeros números. ¿Cuantos elementos tiene dicho conjunto de números? A) 22 B) 12 C) 20 D) 18 E) 24 Solución: Sea MA(x1,...xr ) x  Se sabe que si se suma 6 unidades a los primeros s el nuevo promedio es x  5 Entonces: x n x n i 1 i    Además: n 18 90 5n x 5 n x n 90 x 5 n x 15(6) n i 1 i             Clave: D 11. Halle la diferencia positiva de dos números positivos sabiendo que el producto de su media armónica por su media aritmética es 900 y el producto de su media aritmética por su media geométrica es 1305. A) 46 B) 63 C) 41 D) 35 E) 29 Solución: Se sabe: MH(a,b)xMA(a,b)  900 MA(a,b)xME(a,b)  1305 Entonces: ab 900....( I) 900 2 a b a b 2ab              Además:   a b 87....( II) ab 1305 2 a b          De I y II: a = 12 , b = 75  b – a = 63 Clave: B 12. La media aritmética de 30 números es 12 y la media aritmética de otros 20 números es 17. Hallar la media aritmética de los 50 números. A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 Solución: 17 20 b 12 30 a 20 i 1 i 30 i 1 i       Luego 14 50 30(12) 20(17) 50 a b 20 i 1 i 30 i 1 i        Clave: B EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°15 1. Si       n k 1 4 4 2 k k k k 1 S , calcular el valor de S. A) 5 n(n - 1) B) 5 n n(n 3)   C) n 4 n (2 -n) 3  D) n- 1 5 E) n 1 n(n 2)   Solución:               n k 1 4 4 2 k k k k 1 S                 n k 1 4 4 2 k k k k k k 1 S                n k 1 4 2 k k k k 1 S 1          n k 1 k(k 1) 1 S 1 n 1 n(n 2) S n 1 1 S n 1 k 1 1 k 1 S 1 n k 1                      Clave: E 2. El promedio aritmético de una cierta cantidad de números es un número primo ab y eliminando a 31 números cuya suma es 527, el promedio de los números restantes no varía. Además si agregamos 23 números cuya suma es xya a los números no eliminados el promedio sigue siendo ab . Determine el valor de x + y + a + b. A) 20 B) 21 C) 19 D) 22 E) 18 Solución: Se tiene: ab 17 31 527   Luego se debe de cumplir xya 391 x 17(23) 391 23 i 1 i        (x + y + a + b) = 20 3 9 1 7 Clave: A 3. Si o 1a3(6)  17, halle la varianza de a – 1; a + 1; 2a + 3 y 3a – 1. A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Solución: o 1a3(6)  17  36 + 6a + 3 = o 17  6a = o 17+ 12  a = 2 Luego 4 (1 4) (3 4) (7 4) (5 4) 4 4 1 3 7 5 x 2 2 2 2 2                2 = 5 Clave: D 4. La media geométrica de los términos de una proporción geométrica continua es 16 y la media aritmética de los términos diferentes de la misma proporción es 28. Halle la media armónica de los términos diferentes de la proporción indicada. A) 7 64 B) 4 81 C) 5 36 D) 6 49 E) 13 98 Solución: Sea la P.G continua: b = 16 ...(I) c b b a   ac = b2 luego MA(a,b,c)  28  a + b + c = 84 Además: ab ac bc 3abc MH(a,b,c)    De I: 7 64 84 3(16) a b c 3ac MH 2      Clave: A 5. Si la desviación estándar de 2; 2; 3; 6; m y n es 8,5 y la media aritmética de dichos números es 5, hallar la media aritmética de m2 y n2. A) 74 B) 60 C) 75 D) 72 E) 64 Solución: (2,2,3,6,m,n) = 8,5  2 = 8,5 Además: 2 2 2 i x 6 x Luego m n 17 5 6 2 2 3 6 m n x               MA 74 m n 148 5 6 2 2 3 6 m n 8,5 (m n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 2             Clave: A 6. La media aritmética de ab y ba es 66. Si se cumple que a2 + b2 = 90, halle la media geométrica de a y b. A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 13 3 E) 5 3 Solución: ab 3 3 pero a b 90 a b 12 ab ba 132 MA 66 2 2 (ab,ba)            Clave: A ab = 27 7. La diferencia de dos números enteros positivos es 3n . Halle el menor de ellos si se sabe que la media aritmética y la media geométrica de ambos son dos números impares consecutivos. A) 9 B) 49 C) 43 D) 47 E) 45 Solución: Sea: a – b = 3n … (I) Además: a b 2...(II) ab 2 2 a b MA(a,b) MG(a,b) 2          De (I) y (II): a = 81 , b = 49  49 Clave: B 8. La MH de dos números es igual a la mitad del mayor número y la MA excede a la MH en 24 unidades. Determinar la diferencia de los números. A) 120 B) 100 C) 98 D) 96 E) 85 Solución: Sea: a > b
1k
3k
b
a
4b a b
2
a
a b
2ab
2
a
MH(a,b)
 
  




Además:
a b 2k 96
k 48
24
2
3k
2k
24
a b
2ab
2
a b
MA(a,b) MH(a,b) 24
   

 




 
Clave: D
9. En una serie de tres razones geométricas, la media geométrica de los
promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Determinar la media
aritmética, de la media geométrica de los antecedentes y la media geométrica
de los consecuentes.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
 
2
2
bdf (k 1)
2
ace bdf
MA ace, bdf
Luego
bdf (k 1) 4
bdf (k 1) 64
(a b)(c d)(e f) 64
2
2
e f
2
c d
2
a b
2
2
e f
,
2
c d
,
2
a b
MG
k
f
e
d
c
b
a
3
3 3
3 3
3
3



 
 
   
 


 



 



 
 


   
  
Clave: B
10. La suma de “n” números es 4675 y su promedio aritmético es 93,5; si a los
primeros “p” números se les adiciona 1; 2; 3; 4; … ; p respectivamente y al
resto se les agrega 1; 4; 9; 16; …; q² respectivamente; entonces el promedio
aritmético aumenta en sus 2/5. Determinar p/q.
A) 1/5 B) 2/3 C) 7/3 D) 4/7 E) 5/7
Solución:
Se sabe:
* a 4675 …(I)
n
i 1
 i


*
93,5 …(II)
n
a
n
i 1
i



De I y II: n = 50
Luego:
3
7
15
35
b
a
a 35 , b 15
3a(a 1) b(b 1)(2b 1) 11220
(93,5)
5
7
50
a b (1 2 … a) (1 4 … b ) 2
1 i
  
  
     

         
Clave: C
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Halle el cardinal del conjunto solución en ZZ del sistema



 
 
 
0 y 4
0 x 3
x y 2
A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 13
Solución:
El conjunto solución tiene 17 elementos.
Respuesta: B
2. Si a es la mayor abscisa y b es la menor ordenada de las soluciones que
satisfacen el sistema




  
 
y 7
x 3 y 9
x y 3
; x,y   z , halle a + b.
A) 4 B) 12 C) 6 D) 8 E) 10
4
0
y
x
3
Solución:
 
 
  





  
 
y 7 … iii
x 3 y 9 … ii
x y 3 … i
De (i) y (ii): 3  y  x  3y  9 …   
3 y …  iv 
12 4y
3 y 3y 9


   
De (iii) y (iv): 3  y  7
 y: 4 ;5; 6
Si y  4 , en    : 1  x  3
  0,4 ,1,4 , 2,2 
Si y  5 , en    :  2  x  6
  1,5 , 0,5 ,1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 
Si y  6 , en    :  3  x  9
   2,6 , 1,6 ,…….. , 8,6 
 a  8 y b  4
Luego a + b=12.
Respuesta: B
3. Hallar el área de la región limitada por
 


 





 

 
y 0
x 0
x y 1
x 7
y x 3
A) 2 44u B) 2 40u C) 2 45u D) 2 64u E) 2 36u
Solución:
A = Área del Trapecio – Área del Triángulo= 2 45u
2
1.1
.7
2
3 10
 

.
Respuesta: C
4. Halle el área de la región limitada por



     

 
x 4 y 3x 24
y x
0 y 6
A) 2 20u B) 2 24u C) 2 16u D) 2 18u E) 2 22u
Solución:
Área (R)  Área del Triángulo OAB – Área (T)
20u .
2
4.2
2
8.6
2 
 
Respuesta: A
5. Sea  f (x,y)  9ax  ay ; aR la función objetivo sobre la región R
Si  bZ y el área de la región R es 2 14u , halle el valor de a sabiendo que el
máximo valor de f(x,y) es 90.
A) 5 B) 6 C) 3 D) 2 E) 4
Solución:
Área (R)  
2
1
. 9 b .
9
63 7b



  
 
b 3 b 15
36 9 b
9.2
7 9 b 9 b
14
2
  
 
 

Evaluando en la función f x,y   9ax  ay
 
 
3a 45a , máximo 
9
42
,3 9a
9
42
f
f 0,9 9a
f 0,3 3a
  



 





 45a  90  a  2.
Respuesta: D
6. Dada las restricciones



 




 
 
y 0
x 0
3x 2y 30
x y 12
. Determine la suma de las coordenadas del
punto que minimiza la función f (x,y) = 5x + 2y
A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 6
Solución:
Evaluando un f x,y   5x  2y
   
 
f  6,6  30 12 42
f 0,15 30
f 0,12 24 , mínimo
  


 suma de coordenadas  0  12  12.
Respuesta: B
7. Hallar el mínimo valor del producto de los valores de x e y que satisfacen el
sistema







 
   
ay 2a ; a 0
11
100
110
x

6
x
2
x
A) 10 B) 100 C) 60 D) 30 E) 20
Solución:
x 10
11
100
11
10
x
11
100
11
1
10
1

3
1
2
1
2
1
x 1
11
100
110
1

6
1
2
1
x
11
100
110
x

6
x
2
x


 



     
 



  
   
Como ay  2a  y  2
 xy  102 20.  mínimo  
Respuesta: E
8. Juan ganó 10 millones en un negocio y decide invertir como máximo 6
millones en la compra de acciones del tipo M que producen un beneficio de
10% anual y por lo menos 2 millones en la compra de acciones del tipo N que
producen un beneficio de 7% anual y también decide que lo invertido en M sea
por lo menos igual a lo invertido en N. ¿Cómo debe invertir para que el
beneficio anual sea lo máximo posible?
A) 6 millones en acciones de tipo M y 4 millones en acciones de tipo N.
B) 2 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.
C) 4 millones en acciones de tipo M y 6 millones en acciones de tipo N.
D) 5 millones en acciones de tipo M y 5 millones en acciones de tipo N.
E) 6 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.
Solución:
Sea x: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo M
y: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo N













 




y 0
x 0
x y 10
x y
y 2
x 6
   
 
 
   
 
debe invertir 6 millones y 4 millones.
f 6,2 74
f 6,4 88 , máximo
f 5,5 85
Evaluando : f 2,2 34
f x,y 10x 7y , función utilidad





 
Respuesta: A
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Halle el área de la región limitada por



 


x y 12
y 3x
y 2x
A) 2 5u B) 2 6u C) 2 4u D) 2 9u E) 2 7u
Solución:
Área (R)= 6u .
2
12.8
2
12.9 2  
Respuesta: B
2. Halle el número de soluciones en ZZ del sistema




  
  
x 5
3 x 4 y x 8
x y 2 x y
A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6
Solución:
 
 
  





  
  
x 5 … iii
3x 4y x 8 … ii
x y 2x y … i
De (i) y (ii):   

 


4
2x 8
y
2
x
x : 2;3;4
2 x 5
2 x
8 4x
2x 2x 8

  


   
 
 2, 1
Si x 2 ; en : 1 y 1
 
     
 
 3, 1
2
1
y
2
3
Si x 3 ; en :
 
     
 
 4, 2 ,  4, 1,  4,0 
Si x 4 ; en : 2 y 0
  
    
Hay 5 soluciones.
Respuesta: D
3. Si T es la región determinada por



 
 
 
x 0 , y 0
x 3y 9
x y 6
, halle el área de T.
A) 2 u
4
45
B) 2 20u C) 2 16u D) 2 14u E) 2 64u
Solución:
Área (T)= u .
4
45
2
2
3
3.
2
9.3 2  
Respuesta: A
4. Halle la suma de los componentes de los elementos del conjunto solución del
sistema






 
 
x 5
x y 5
3y 2x 5
en ZxZ .
A) 6 B) 27 C) 4 D) 7 E) 9
Solución:
 
 
  





 
 
x 5 … iii
x y 5 … ii
3y 2x 5 … i
De (i) y (ii)
 
x:3,4
2 x
15 3x 2x 5

3
2x 5
5 x y


  


  
 
 3,3 
3
11
Si x 3 ; en : 2 y

   
 
 4,2 ,  4,3,  4,4 
3
13
Si x 4 ; en : 1 y

   
Suma de componentes = 27.
Respuesta: B
5. Halle el punto que minimiza la función objetivo f (x, y)  x  2y sujeto a las
restricciones.



 




 
 
y 0
x 0
4x 3y 30
x y 5
A) (4,0) B) (7,0) C) (0,5) D) (5,0) E) (0,10)
Solución:
Evaluando en f x,y   x  2y
 
   
 
 
2
15
f 15,0
f 0,10 20
f 5,0 5 , mínimo
f 0,5 10




 5,0 minimiza la función.
Respuesta: D
6. El número de unidades de dos tipos de productos M y N que un comerciante
puede vender es como máximo 100. Dispone de 60 unidades del tipo M con un
beneficio de 2,5 dólares y de 70 unidades del tipo N con un beneficio de 3
dólares. ¿Cuántas unidades de cada tipo de producto debe vender el
comerciante para maximizar sus beneficios?
A) 30 de tipo M y 70 de tipo N B) 60 de tipo M y 40 de tipo N
C) 40 de tipo M y 20 de tipo N D) 30 de tipo M y 30 de tipo N
E) 50 de tipo M y 50 de tipo N
Solución:
Sea
x: # de unidades del tipo M
y: # de unidades del tipo N













 
y 0
x 0
y 70
x 60
x y 100
f x,y   2,5x  3y
 
 
   
 
f  60,0  150
f 60,40 150 120 270
f 30,70 75 210 285 , máximo
f 0,70 210
f 0,0 0

  
  


Debe vender 30 del tipo M y 70 del tipo N.
Respuesta: A
7. Halle el área de la región limitada por



 


 

 
 
0 y 6
x 0
x y 4
x y 2
A) 2 25u B) 2 16u C) 2 40u D) 2 19u E) 2 27u
Solución:
Área (R)= 40u .
2
2.2
.6
2
4 10 2  

Respuesta: C
8. Un sastre tiene 80 m2 de tela M y 120 m2 de tela N. Para hacer un terno de
caballero requiere de 1 m2 de tela M y 3 m2 de tela N y hacer un vestido de
dama requiere de 2m2 de cada tela. Si la venta de un terno deja el mismo
beneficio que la de un vestido, cuantos ternos y vestidos debe fabricar el
sastre para obtener la máxima ganancia?
A) 20 ternos y 30 vestidos B) 40 ternos
C) 30 ternos y 10 vestidos D) 20 ternos y 20 vestidos
E) 40 vestidos.
Solución:
Sea x: número de ternos
y: número de vestidos
Terno Vestidos
Tela M X 2y
Tela N 3x Y









 
 
y 0
x 0
3x 2y 120
x 2y 80
f x,y   x  y
Evaluando
 
 
   
f  40,0  40
f 20,30 50 máximo
f 0,40 40
f 0,0 0




Debe fabricar 20 ternos y 30 vestidos.
Respuesta. A
Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15
1. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo.
Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas.
A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°
Solución:
1) AL = S
rg =
2
g2 
 g = 2r
2) ABC: Equilátero
 x = 60°
Clave: C
2. En un cono de revolución, cuya altura mide 15 cm y el radio de la base mide 6 cm,
se traza un plano secante paralelo a la base a una distancia de 5 cm del vértice del
cono. Halle el área total del tronco de cono resultante.
A) 8(2 29 + 5) cm2 B) 6(3 29 + 5) cm2 C) 8(3 29 + 5) cm2
D) 5(3 29 + 2) cm2 E) 2(3 29 + 5) cm2
Solución:
1) CDE ~ ABC
r = 2
g = 2 29
2) AT = g(R + r) + (R2 + r2)
AT = (2 29 )(6 + 2) + (22 + 62)
AT = (16 29 + 40)
AT = 8(2 29 + 5) cm2
Clave: A
A
B
x
g
O r C g g
g
Des ar rol l o d e l a su pe r f i ci e
lat e ral d e un co no d e
re vo lució n
A
B
C
D r E
5
h =10
g
R = 6
3. En la figura, el trapecio circular sombreado es el desarrollo de la superficie lateral de
un tronco de cono recto. Si O es centro, mBOC = 60°, OB = 12 cm y OA = 3 cm,
halle el área total del tronco de cono correspondiente.
A) 2 cm
4
865
 B) 2 cm
4
875
 C) 2 cm
4
675

D) 2 cm
4
945
 E) 2 cm
4
877

Solución:
1) AB = 9 = g : generatriz
2) mBOC = 60° =
3

3) Longitud de arco:
L1 = 2r1 = 3 


 
3
5
 r1 =
2
5
L2 = 2r2 = 12 


 
3
5
 r2 = 10
4) AT = g(r1 + r2) + ( 2
1 r + 2
2 r )
AT = (9) 



10
2
5
+ 








 


 2
2
10
2
5
 AT = 2 cm
4
875

Clave: B
4. En una superficie esférica de radio R, se inscribe un cono circular recto cuya altura
mide h (h > R). Halle el volumen del cono.
A) 2 (2R h)h
3


B) 2 (R h)h
3


C) (2R h)h
3


D)
3
Rh2 
E)
3
Rh3 
Solución:
1) AEO: (Pitágoras)
r2 + (h – R)2 = R2
 r2 = 2Rh – h2
2) V =
3
1
r2h
=
3
1
(2Rh – h2)h
V =
3

(2R – h)h2
Clave: A
O
A
B
C
g
r1
r2
L1
L2
h
R
hR
r
A B
C
E
O
R
5. En la figura, halle el valor de  para que el área de la superficie lateral del cono
circular recto que se forma con el sector circular sombreado sea el triple del área de
la base del mismo cono.
A) 240° B) 260°
C) 280° D) 300°
E) 220°
Solución:
1) AL = 3B  g = 3r2
 rR = 3r2
 R = 3r . . . (*)
2) Longitud de arco = Perímetro base
R(2 – ) = 2r
3r(2 – ) = 2r
6 – 3 = 2   = 
3
4
 =
3
4
(180)   = 240°
Clave: A
6. El área de un huso esférico de 30° es 2 m
3
4
 . Halle el volumen de la cuña esférica
correspondiente.
A) 3 m
9
4
 B) 3 m
6
5
C) 3 m
8
7
 D) 3 m
9
8
 E) 3 m
7
8

Solución:
1) AH.E. = 
3
4
= 4R2






360
30
 R = 2 m
2) VCUÑA = 3 R
3
4
 





360
30
= (2)3
3
4
 





360
30
VCUÑA = 3 m
9
8

Clave: D
O
A B
C

30 °
R
O
A
B
Huso
esférico
O
A B
C

g = R
r
h
F
E D
B
2 
R R
7. En una superficie esférica cuya área es 144 m2, es seccionada por dos planos que
forman entre sí un ángulo diedro de 60°, determinando dos casquetes esféricos
congruentes que tienen un punto en común. Halle el área de la superficie esférica
comprendida entre ambos planos.
A) 60 m2 B) 72 m2 C) 76 m2 D) 80 m2 E) 96 m2
Solución:
1) 4R2 = 144  R = 6
2) AEO (Notable 30°- 60°)
h = 3
3) Sx = AS.E. – 2AQ.E.
= 144 – 2[2Rh]
= 144 – 2[5(6)(3)]
= 144 – 72
Sx = 72 m2
Clave: B
8. El radio de una superficie esférica mide 12 cm. Si las áreas de una zona esférica y
un huso esférico son equivalentes en dicha superficie esférica, y la altura de la zona
esférica es 3 cm, halle el volumen de la cuña esférica correspondiente.
A) 248 cm3 B) 268 cm3 C) 278 cm3 D) 288 cm3 E) 300 cm3
Solución:
1) A1 = A2
2Rh = 4(122) 





360
2(12)(3) = 4(122)


360
  = 45°
2) VCUÑA = 






360
45
R
3
4 3
= 






360
45
(12 )
3
4 3
VCUÑA = 288 cm3
Clave: D
30°
3 0°
A
B
O
E
r
r
R=6 R=6
círculo
máximo
F
h = 3
Sx
AQ.E.
AQ.E.
R= 12
O
A
B

h=3
A2
A1
9. Una superficie esférica está inscrita en un tronco de pirámide cuadrangular regular
cuyas aristas básicas miden 4 cm y 8 cm. Halle el volumen de la esfera.
A) 3 cm
3
64 2
 B) 3 cm
3
65 2
 C) 3 cm
3
67 2

D) 3 cm
3
77 2
 E) 3 cm
3
80 2

Solución:
1) MNAC: Trapecio isósceles
2) AEC: (Rel. métricas)
O1A = AB = 2
O2C = CB = 4
r2 = (2)(4)  r = 2 2
3) VESFERA =
3
4
(2 2 )3
VESFERA = 3 cm
3
64 2

Clave: A
10. El radio de una esfera mide 3 cm. Halle el volumen de un segmento esférico de dos
bases congruentes cuya altura mide 2 3 cm.
A) 3 8 3 cm B) 3 16 3 cm C) 3 10 3 cm
D) 3 12 3 cm E) 3 14 3 cm
Solución:
1) ABO (Pitágoras)
r = 2 2 3  ( 3)  r = 6
2) v = 1 2
2
1 2 B B
3
h
B B
2
h
 







 
 
v =
 


 

 
   
3
(2 3)
r r
2
2 3 2
2 2
v = 3 16 3 cm
Clave: B
E
A
B
M C
N
O2 4
4
2
O1
8
4
r
O
A B
R=3
r r
r
3
h=2 3
B1
B2
11. En un cono de revolución, la distancia del vértice del cono a una cuerda AB de la
base es 3 5 cm. Si AB = 6 cm y el área lateral es 18 6 cm2 , halle el volumen del
cono.
A) 3 40 3 cm B) 3 30 2 cm C) 3 34 2 cm
D) 3 36 2 cm E) 3 36 3 cm
Solución:
1) AM = MB = 3
2) AL = 18 6 = rg  rg = 18 6 . . . (*)
3) EMB (Pitágoras) (3 5 )2 + (3)2 = g2  g = 3 6
4) En (*): 
g
r(3 6) = 18 6  r = 6
5) EOD: h = 2 2 g  r = 2 2 (3 6)  6
 h = 3 2
6) V =
3
1
(6)2(3 2 )  V = 36 2  cm3
Clave: D
12. En la figura, BC = 3 cm y AB = CD = 5 cm. Halle el volumen del sólido que se
obtiene al girar 360° la región determinada por el trapecio isósceles ABCD alrededor
de AD .
A) 81 cm3 B) 64 cm3
C) 80 cm3 D) 75 cm3
E) 90 cm3
Solución:
1) AEB (Notable 37°- 53°)
h = 3 y r = 4  v1 = v3
2) VSÓLIDO = 2v1 + v2
= 2 



r h
3
1 2 + r2(3)
= 2 



(4) (3)
3
1 2 + (4)2(3)
VSÓLIDO = 80 cm3
Clave: C
A
B C
D
53°
g
h
O r
A
B
D
E
g
F M
3
3
3 5
53°
h 3 h
3
5
r r
A
B C
D
E
v2
v1 v3
13. La base de un cono circular recto es un círculo máximo de una semiesfera cuyo
radio mide 5 cm tal que al intersecar la semiesfera determina un círculo menor. Si el
volumen del cono es igual a la mitad del volumen de la esfera, halle el volumen del
tronco de cono comprendido entre el círculo máximo y el círculo menor
mencionados.
A) 3 cm
3
206
B) 3 cm
3
131
C) 3 cm
3
146
D) 3 cm
3
176
E) 3 cm
3
196
Solución:
1) vCONO =
2
1
vESFERA 
3
1
(5)2H = 



(5)3
3
4
2
1
 H = 10
2) ADE (Notable 53°/2)
3) DBC (Notable 37°- 53°)
r = 3  h = 4
4) vx =
3
h
[R2 + r2 + Rr]
=
3
(4)
[52 + 32 + 5(3)]
vx = 3 cm
3
196
Clave: E
14. En la figura, el radio de la superficie esférica inscrita en la superficie cilíndrica recta
mide 5 cm. Si O1 y O2 son centros, halle el área de la zona esférica que contiene
al arco AD.
A) 30 cm2 B) 40 cm2
C) 50 cm2 D) 60 cm2
E) 70 cm2
Solución:
1) AZ.E. = 2Rh
2) AEO (Notable 37°- 53°)
MN = 2R = 10  R = 5,
2
h
= 3
 h = 6
3) AZ.E. = 2(5)(6) = 60 cm2
Clave: D
O2
A B
D C
M O1 N
A
B C
D
E
h
53°
R= 5
R= 5
53°
53°
2
v H=10 x r
O2
A B
D C
M O N 1
53°
2
h
R 5 
53°
E
h
2
EVALUACIÓN Nº 15
1. El área total de un cono de revolución es 200 m2 y numéricamente el producto de
las medidas de la generatriz y el radio de la base es 136. Halle el volumen del cono.
A) 320 m3 B) 220 m3 C) 520 m3 D) 420 m3 E) 720 m3
Solución:
1) AT = 200 = r(r + g)
 r2 + rg = 200 . . . (*)
2) Dato: rg = 136 . . . (**)
3) Reemplazando (**) en (*):
r2 + 136 = 200  r2 = 64
 r = 8  g = 17
 h = 15
4) V =
3
1
r2h
V =
3
1
(8)2(15)
V = 320 m3
Clave: A
2. En la figura, se tiene un depósito cónico equilátero cuya generatriz mide 12 3 cm.
Se vierte agua hasta que su volumen sea la mitad del volumen del depósito. Halle la
altura del cono determinado por el agua.
A) 9 4 cm 3
B) 9 2 cm 3
C) 9 3 cm 3 D) 9 5 cm 3
E) 9 2 cm
Solución:
1) AOB (Notable 30°- 60°):
h = 18  v1 =
2
v2
2)
3
3
2
1
18
x
v
v
 
3
3
1
1
18
x
2v
v

 x = 9 4 cm 3
Clave: A
g = 17
h = 15
r = 8
O
A
B
C
v2
30°
A
B
C D
O
h =18
g =12 3
R =6 3
x v1
3. En la figura, mDBC = mACB = 53° y BC = 6 cm. Halle el volumen de tronco de
cono de revolución de generatriz AD .
A) 112 cm3 B) 113 cm3
C) 116 cm3 D) 124 cm3
E) 136 cm3
Solución:
1) DEC (Notable 37°- 53°): r = 4
ABC (Notable 37°- 53°): R = 8
2) vx =
3
h
[R2 + r2 + Rr]
=
3
(3)
[82 + 42 + 8(4)]
vx = 112 cm3
Clave: A
4. Halle el área de la superficie esférica circunscrita a un cilindro circular recto, si el
radio de la base mide 12 cm y su altura es 32 cm.
A) 1600 cm2 B) 1700 cm2 C) 1800 cm2 D) 1200 cm2 E) 1660 cm2
Solución:
1) OBA: OB = r = 12
AB =
2
h
= 16
 R = 20
2) AS.E. = 4R2
= 4(20)2
AS.E. = 1600 cm2
Clave: A
5. Una circunferencia menor en una superficie esférica, determina dos casquetes cuyas
áreas están en relación de 3 a 5. Si la longitud del radio de la superficie esférica
es 16 m, halle la medida del radio de la circunferencia menor.
A) 3 15 m B) 4 15 m C) 3 17 m D) 4 19 m E) 5 15 m
A B
C
D E M
N
A B
C
D E M
N
h= 3
R
53°
h = 3
53°
r
vx
O
A
B
R h
2
h
2
Solución:
1) Área de casquetes: (dato)
5
3
S
S
2
1  
5
3
2 Rh
2 Rh
2
1 



5
3
h
h
2
1  
h 5k
h 3k
2
1



h 20
h 12
2
1


h1 + h2 = 32 = 8k  k = 4
2) OAB: (Pitágoras): r2 + 42 = R2
r2 = 162 – 42  r = 4 15 m
Clave: B
6. En la figura, MON es un cuadrante, OM = 5 cm y OA = 3 cm. Halle el volumen
generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de ON.
A) 3 cm
3
143
 B) 3 cm
3
134
 C) 3 cm
3
124

D) 3 cm
4
132
 E) 3 cm
3
142

Solución:
1) vx = vSEMI-ESFERA – vCILINDRO
= 



 3 5
3
4
2
1
– (3)2(4)
vx = 3 cm
3
142

Clave: E
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15
1. Sea la función real f definida por f (x)  9  2 3x  4 , hallar el dominio de f.
A) 




2
17
,
2
1
B) 




6
17
,
6
1
C)
6
17
,
16
1

D) ,3 
6
1
 E) 1 , 4 
A
C B
M
N
O
R= 5
360°
N
h = 4
A
C B
O
r = 3 M
R 4
r
S1
S2
B A
O
h1
h2
R= 16
Solución:








 
      
         
     
   

6
17
,
6
1
Dom(f )
6
17
x
6
1
2
17
3x
2
1
4
2
9
3x
2
9
4
2
9
3x 4
2
9
2
9
2 3x 4 9 3x 4
x Dom(f ) sss 9 2 3x 4 0
Clave: B
2. Sea f una función real definida por
x 4
x
x 2
x 2x 8
f (x)
2 3



 
 . Calcular el dominio
de f.
A)  4, 2  2, B)  4 ,  C) 2 , 
D)  4, 0  0, E) 2, 4  4 , 
Solución:
    
   
   
    

 
Dom(f ) 4 , 2 2,
x 4 x 2
x 4 0 x 2
0 x 2 , x 4
x 2
x 2x 8
Dom(f ) :
2
Clave: A
3. Dada la función real f definida por
x 3x 3x 1
x 2x 1
f (x)
3 2
2
  
 
 ; determinar el complemento
del dominio de dicha función.
A) R  1 B)  , 1 C) 1 ,   D) 0 ,  E) 1
Solución:
 
Dom(f )  1
Luego, Dom(f ) 1 , de donde
x Dom(f ) sss x 1
(x 1)(x 1)
(x 1)
(x 1)(x 2x 1)
(x 1)
(x 1)(x x 1 3x)
(x 1)
f (x)
(x 1)(x x 1) 3x(x 1)
(x 1)
(x 1) (3x 3x)
(x 1)
x 3x 3x 1
x 2x 1
f (x)
C
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2
2
3 2
2
  
 

  
   
 


  


   


    


  


  
 

R
Clave: E
4. Sea la función real f definida por f (x) x x 4x 2x 12 4 3 2      , calcular el
complemento del dominio de f.
A) 1, 2 B)  2 , 2 C)  2 , 1 D)  3 , 2 E)  3 , 1
Solución:
C(Domf ) 3 , 2
Dom(f ) , 3 2 ,
x 2 x 3 x 2 0 x 3 x 2 0
x Dom(f ) sss x x 4x 2x 12 0
2
4 3 2
 
 

 

    
 
 
  
 
    
 
  
 
  






     

Clave: D
5. Sea f la función real definida por
x
x x
f (x)

 . Determinar la intersección del
dominio y rango de la función.
A) R   0 B) 2 ,  C)  ,  2  D)  2 E)  0
Solución:
 
 
 
3) Dom(f ) Ran(f ) 2 
Ran(f ) 0,2
2
x
x x
x 0 f (x)
0
x
x x
x 0 f (x)
2) Sea x Dom(f ) 0 :
1) x Dom(f ) sss x 0 , luego , Dom(f ) 0
 



 
   


   
  
   

R
R
Clave: D
6. Los pares ordenados (0,6) , (1,5) y ( –1,13) pertenecen a la función real F definida
por F(x) ax bx c 2    ; ¿cuál es el valor mínimo que asume la función real G
definida por G(x) x abx 7c 2    ?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Solución:
(x 6) 0 (x 6) 6 6
y G(x 6) 6
G(x) (x 6) 6
G(x) (x 12x 6 ) 6
G(x) x 12x 42
2a 6 a 3 b 4
F( 1) a b 6 13 a b 7
F(1) a b 6 5 a b 1
F(0) c 6
2 2
2
2
2 2
2
     
  
  
   
  
     
       
       
 

Por lo tanto, y  6 . El valor mínimo de G es 6.
Clave: C
7. De la función real f , definida por x 2x 3
2
1
f (x) 2    , se sabe que su dominio es el
intervalo  2 , 6  y su rango es el intervalo a , b ; halle b – a.
A) 8 B) – 2 C) 2 D) – 8 E) 4
b 3 … ( )
2
3
a
4
3
  I
3 … ( )
2
b
a
4
3
  II
Solución:
 
b a 3 ( 5) 8
el Ran(f ) 5 , 3
(x 2) 5 3 ; luego,
2
1
5
(x 2) 8
2
1
4 x 2 4 0 (x 2) 16 0
Por dato, 2 x 6 , entonces
(x 2) 5
2
1
f (x)
2
2 2
2
   
 
    
            
  
  

Clave: A
8. Los puntos 





, t
2
3
P y 





 , m
2
1
Q pertenecen a las gráficas de las funciones
reales f y g definidas por f (x) ax bx 2   y g(x)  ax  3. Hallar .
5
t m
g 




 
A) 4 B) 15 C) 8 D) 11 E) 5
Solución:
    









  








  








a 3
2
3
b
2
3
a
4
9
a 3 t
2
3
2
3
g
b t
2
3
a
4
9
2
3
f
     




 



   
 


 



  
 


 



3
2
a
2
b
4
3
3 m
2
a
2
1
g
m
2
b
4
a
2
1
f
De (I) y (II) se obtiene b = 0 , a = 4
g(2) 4(2) 3 11
5
9 1
Finalmente, g
3 1
2
1
4
2
1
m g
9
2
3
4
2
3
t f
g(x) 4x 3
f (x) 4x
2
2
   







 
 








 








 



















 
 
Clave: D
9. La gráfica adjunta corresponde a una función real periódica f.
Evaluar   .
2
55
f
2
37
f 25 f
2
33
f 





 





  





A) 6 B) 4,5 C) 5 D) 8,5 E) 7
Solución:




 



 
   
 
 

1 , 3 x 4
2x 6 , 2 x 3
2 , 1 x , 2
2x , 0 x 1
f (x)
El periodo de la función f es 4.
1 2 1 1 5
2
55
f
2
37
f 25 f
2
33
f
1
2
7
24 f
2
7
f
2
55
f
1
2
5
16 f
2
5
f
2
37
f
f 25 f 1 24 f 1 2
1
2
1
4 4 f
2
1
16 f
2
1
f
2
33
f
    

















 
 
 


























 


























 








 
 
  
 
   
 



















  








 









Clave: C
10. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones reales f y g
definidas por f (x)  1  4 x , y g(x)  9.
A) 18 u2 B) 16 u2 C) 14 u2 D) 8 u2 E) 10 u2
Solución:
Si x 0 , f (x) 1 4x
Si x 0 , f (x) 1 4x
Si x 0 , f (0) 1
f (x) 1 4 x
  
  
 
 
La región sombreada es la región
determinada por los gráficos de las
funciones f y g.
2 Área 16 u
4 8 16
2
1
Área

   
Clave: B
 
EVALUACIÓN Nº 15
1. Determinar el dominio de la función real f definida por f (x) 1 4 x . 2   
A) B) C) 1, 3
D) E)
Solución:
 




 



  
    



   
   
                
      
  
   
 Dom(f ) 2 , 3 3 , 2
x 3 x 3 2 x 2
3 x x 2
0 4 4 x 4 1 4 , 4 x 3 4 x 3 3 (x) 4
0 4 x 1 0 4 x 1
1 4 x
x Dom(f ) sss 1 4 x 0
2 2 2 2
2 2
2
2
Clave: E
2. Si f es una función real definida por ,
2 x 3
3 x 1
f (x)
 
 
 determine el dominio
de f.
A) 3 , 2   7, 1 B)  4 , 2   1 
C)  4 , 2   1, 7 D) 3 , 2   1 
E)  3 , 2 
Solución:
Dom(f ) 3 , 2 1
4 x 2 x 3 , x 1
3 x 1 3 x 3 , x 1
3 x 1 x 3 x 3 2
x Dom(f ) sss 3 x 1 0 x 3 0 2 x 3 0




  
      
       
         
          

Clave: D
3. La función real f está definida por



 


 


   

, 0 x 2
x 1
2x 5
x 3 1 , 3 x 5
f (x)
Si el rango de f es a, b , hallar b a . 2 2 
A) 21 B) 16 C) 24 D) 25 E) 17
Solución:



 


 


  


 


      
     

, 0 x 2
x 1
3
2
x 2 , 3 x 5
f (x)
Podemos escribir f (x) como:
x 1
3
2
x 1
2x 5
ii)
x 3 1 x 3 1 x 2
i) 3 x 5 0 x 3 2
Cálculo del rango de f.
3 3 y 5
x 1
3
1 5 2
x 1
3
3
3
1
x 1
1
, 0 x 2 ; 1 x 1 3 1
x 1
3
ii) y 2
i) y x 2 , 3 x 5 1 x 2 3 1 y 3
   

   


 

      

 
          
Por lo tanto, Ran (f )  1,5 de donde
b a 5 1 24 2 2 2 2    
Clave: C
4. La gráfica de la función real f definida por f (x) x x 12 2    interseca al eje X en
los puntos (a, 0) y (b, 0). Calcular f (3a  3b) .
A) 4 B) – 3 C) – 2 D) – 6 E) 1
Solución:
f (3a 3b) f ( 3) ( 3) ( 3) 12 9 3 12 9 15 6
3a 3b 3(a b) 3( 4 3) 3
(a,0) , (b,0) f 0 x x 12 0 ()(x 4)(x 3) x 4 , x 3
2
2
              
       
            

Clave: D
5. Sea f una función real periódica (de período 6) con regla
 

 


 
  
  

2 , 4 x 6
x 2 , 2 x 4
2 x , 0 x 2
f (x)
Calcular 



 



 



 



 



3
35
f
2
9
f
7
66
7 f
5
16
5 f
2
3
4 f
A) 21 B) 20 C) 23 D) 24 E) 22
Solución:
2
7
2
6 f 5
3
2
f 5
3
2
f 11
3
35
f
f 4,5 2
2
9
f
7
10
2
7
3
3
7
3
6 f 3
7
3
f 3
7
3
f 9
7
66
f
5
6
2
5
16
5
16
f
2
1
f 1,5 2 1,5
2
3
f









 



















 








 








 
 
 








   








 



















 








 








  








   
 
 








 Si E es el número buscado entonces
E 22
E 2 6 10 4
2 2
7
10
7
5
6
5
2
1
E 4

   
 



























Clave: E