MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PREGUNTAS RESUELTAS PRE SAN MARCOS 6 PDF

Share Button







CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA – VISUALIZACION
Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE N° 06
1. Si M = 52n + 52n + 1 + 52n + 2 + 52n + 3, tiene 156 divisores positivos, hallar el
número de divisores positivos múltiplos de 12.
A) 30 B) 24 C) 26 D) 28 E) 32
SOLUCIÓN
M = 52n (1 + 52 + 53 ) = 52n.22.3.13
CD(M) = (2n+1).3.2.2 = 156  n = 6
Luego M = 512.22.3.13 = 12(512.13)
CD (
O
12) = 13(2) = 26
CLAVE: C
2. El número (3b
x5ª) tiene tres divisores positivos más que el número de divisores
de (2ª x 53), calcule el número de divisores positivos cuadrados perfectos de
(23ª x 9b
x 5ª + 1).
A) 48 B) 38 C) 30 D) 36 E) 40
SOLUCIÓN
CD(3b.5ª) = CD(2ª.53) + 3, de donde a = 2, b = 4
Luego 26.38.53 = 5(22)3.(32)4(52) Por lo tanto CD(N) = 40
Cuad. Perfectos
CLAVE: E
3. Si se duplica, triplica y quintuplica a L = 2x.3y.5z la cantidad de sus divisores
positivos aumenta en 24; 18 y 12 respectivamente. Halle el producto de los
divisores positivos de (x – 1) x (y – 1) x (z – 1).
A) 64 B) 60 C) 56 D) 58 E) 68
SOLUCIÓN
CD(2L) = 24 + CD(L)
(x + 2)(y + 1)(z + 1) = 24 + (x + 1)(y + 1)(z + 1) Luego (y + 1)(z + 1) = 24
CD(3L) = 18 + CD(L)
(x + 1)(y + 2)(z + 1) = 18 + (x + 1)(y + 1)(z + 1) Luego (x + 1)(z + 1) = 18
CD(5L) = 12 + CD(L)
(x + 1)(y + 1)(z + 2) = 12 + (x + 1)(y + 1)(z + 1) Luego (x + 1)(y + 1) = 12
Multiplicando: x = 2, y = 3, z = 5
Luego 1.2.4 = 8 Por lo tanto PD(8) = 64
CLAVE: A
4. Si
____________
(2a)a000 tiene
____________
(3a)(2a) divisores positivos, halle la cantidad de divisores
positivos cubos perfectos de
_________________
(a  1)(7  a) a + 1 .
A) 8 B) 6 C) 10 D) 12 E) 9
SOLUCIÓN
____________
(2a)a000 = a.21000 = 3.a53.7.23
____________
(3a)(2a) = 32.a, a = 1, 2, 3
CD(N) = 32a, cumple a = 3, luego 444 = 22(23)2.(113).11
Por lo tanto CD(cubos perfectos) = 3.2 = 6
CLAVE: B
5. Si el producto de los divisores positivos de N es 2 64
x 10 48 , hallar la suma de
cifras de N.
A) 11 B) 9 C) 10 D) 7 E) 8
SOLUCIÓN
PD(N) = 2 64.10 48 = 2 112.5 48 = 7 3 32 (2 .5 ) , Luego N = 2 7.5 3 = 16000
Por lo tanto la suma de cifras es 7.
CLAVE: D
6. Si P = 9n – 9n – 2 tiene 86 divisores positivos compuestos, halle el número de
divisores positivos no múltiplos de 10, del número P.
A) 38 B) 45 C) 60 D) 54 E) 62
SOLUCIÓN
P = 9n – 2 (9 2 – 1) = 32n – 4 .24.5
CD(P) = (2n – 3).5.2 = 86 + 3 + 1 = 90, luego n = 6
P = 2.5(23.38), CD(múltiplo de 10) = 36
Luego CD(no múltiplos de 10) = 90 – 36 = 54
CLAVE: D
7. Calcule la cantidad de divisores positivos, múltiplos de 15 pero no de 2, que
tiene el número 4500.
A) 4 B) 8 C) 6 D) 10 E) 12
SOLUCIÓN
4500 = 22.32.53 = 223.5(3.52), luego habrán 6 divisores positivos múltiplos de
15 pero no de 2.
CLAVE: C
8. Sean M = 14
x 4 y N = 15
x 25 , donde  es primo. Si el número de divisores
positivos de M que son múltiplos de 14, excede en 35 unidades al número de
divisores positivos de N que son múltiplos de 15, calcule la suma de las cifras
de .
A) 9 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6
SOLUCIÓN
M = 2x + 2y.7x = 14(2x + 2y – 1 .7x – 1)
N = 3y + 2y.52x+y = 15(3y – 1 .52x + y – 1 )
DATO: (x2 + 2xy) – (y2 + 2xy) = 35  x2 – y2 = 35
(x + y)(x – y) = 35
x = 6, y = 1 ó x = 18, y = 17  Suma de cifras es 9
CLAVE: A
9. El número N = p5r
x q3q
x r2p esta descompuesto canónicamente y la cantidad de
divisores positivos de N que no son primos es 1207, halle la suma de los
divisores positivos de (p + q + r)2.
A) 220 B) 217 C) 230 D) 214 E) 224
SOLUCIÓN
CD(N) = (5r + 1)(3q + 1)(2p + 1) = 1207 + 3 = 1210 = 11.10.11
r = 2, q = 3, p = 5 luego (p + q + r)2 = 22.52
 SD(100) =
3 3 2 1 5 1
2 1 5 1
     
    
     
= 217
CLAVE: B
10. Halle un número de la forma N = 2 x 10n+1, si el producto de sus divisores
positivos es 29
x 1027 veces el número.
A) 2 x 107 B) 2 x 104 C) 2 x 106 D) 2 x 105 E) 2 x 103
SOLUCIÓN
N = 2.10n + 1 = 2n + 2.5n + 1 , PD(N) = 29.1027.N = 29.1027. 2n + 2.5n + 1 = 2n + 38.5n + 28
Luego PD(N) =  n 2 n 1 n 3n 2 2 .5
    = 2n + 38.5n + 28 entonces n = 2
 N = 2.103
CLAVE: E
11. Un número entero tiene dos divisores primos y doce divisores compuestos. Si
la suma de todos sus divisores positivos es 403, calcule el producto de los
divisores positivos del número.
A) 320
x 230 B) 330
x 210 C) 310
x 215 D) 315
x 230 E) 325
x 215
SOLUCIÓN
CD(N) = 2 + 12 + 1 = 15 = 3.5, N = a2.b4
SD(N) =
3 3 a 1 b 1
a 1 b 1
     
   
     
= 13.31, a = 3, b = 2
N = 32.24, PD(N) = 315.230
CLAVE: D
12. El número N = 25
x 34
x p x q esta descompuesto canónicamente y es los 3/11 de
la suma de divisores positivos, halle el valor de (2p + q).
A) 25 B) 17 C) 19 D) 21 E) 27
SOLUCIÓN
N = 25.34.p.q =
6 5 2 2 3 2 1 3 1 p 1 q 1
. . . .
11 2 1 3 1 p 1 q 1
   
   
de donde p = 7, q = 11
Por lo tanto 2p + q = 25
CLAVE: A
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 6
1. Si abc = 12(a + b + c + 1), calcule el número de divisores positivos cuadrados
perfectos de N = 23ª x bc
x cb.
A) 70 B) 58 C) 60 D) 64 E) 56
SOLUCIÓN
abc = 12.13 = 156, 156 = 12(1 + 5 + 6 + 1), a = 1, b = 5, c = 6
N = 28.35.56 = 3(22)4(32)2(52)3
CD(N) = 60
Cuad. Perfectos
CLAVE: C
2. El número N = 462m – 1, m N, tiene xy0 divisores positivos compuestos, halle
el valor de (x + y + m).
A) 9 B) 14 C) 12 D) 10 E) 13
SOLUCIÓN
N = 2m – 1.3m – 1.7m – 1.11m – 1,
CD(N) = CD(N) + CD(N) + 1
Primos Comp.
m4 = 4 + xy0 + 1 = xy5 luego m = 5, 54 = 625 = xy5
Por lo tanto x + y + m = 13
CLAVE: E
3. El número N = (3a)(3b)ab tiene ocho divisores positivos. Halle cuantos
números ab existen. Dar como resultado la suma de estos números.
A) 78 B) 75 C) 76 D) 74 E) 77
SOLUCIÓN
a = 1, 2, 3; b = 0, 1, 2, 3
N = 100(3a)(3b) + ab = 301ab = 7.43.ab , ab es primo  CD(N) = 8 = 2.2.2.
ab = 11, 13, 23, 31, suma ( ab ) = 78
CLAVE: A
4. Si un número entero positivo tiene dos divisores primos y nueve divisores
compuestos, y la suma de los divisores positivos es 465, halle en cuantos
ceros termina el producto de los divisores positivos.
A) 10 B) 12 C) 9 D) 11 E) 8
SOLUCIÓN
N = 2a .5b
CD(N) = 2 + 9 + 1 = 12, SD(N) = 465 SD(N) =
a 1 b 1 2 1 3 1
2 1 5 1
       
   
     
= 15.31,
a = 3, b =2 Luego N = 23.52 = 200  PD(N) = 12 (200) = 26.1012
CLAVE: B
5. Si H = p3m
x q6m
x r2, donde p, q y r son primos diferentes entre si y m  N, tiene
66 divisores positivos cubos perfectos, calcule el número de divisores
positivos cuadrados perfectos.
A) 270 B) 264 C) 256 D) 250 E) 260
SOLUCIÓN
H = (p3)m.(q3)2m.r2
CD(H) = (m + 1)(2m + 1) = 66 = 6.11, m = 5
Cubos Perfectos
H = p15.q30.r2 = p(p2)7.(q2)15.(r2)
CD(H) = 8.16.2 = 256
Cuad. Perfectos
CLAVE: C
6. Si T = 4n
x 5m
x 72 donde n, m  Z+, tiene 36 divisores positivos, halle la suma
de los divisores positivos de R = (3n) x 2m+2 .
A) 236 B) 260 C) 248 D) 252 E) 270
SOLUCIÓN
CD(T) = 3(2n + 1)(m + 1) = 36, leugo (2n + 1)(m + 1) = 3.4
n = 1, m = 3
R = 3.25 SD(R) =
2 6 3 1 2 1
3 1 2 1
     
   
     
= 252
CLAVE: D
7. Si el número M = 6n
x 25 tiene como suma de divisores positivos compuestos
2810, halle el valor de “n”.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1
SOLUCIÓN
N = 2n.3n.52
SD(N) = CD(N) + CD(N) + 1
Primos Comp.
SD(N) = 10 + 2810 + 1 = 2821
SD(N) =
n 1 n 1 3 2 1 3 1 5 1
2 1 3 1 5 1
          
     
        
= 2821
   n 1 n 1 2 1 3 1     = 7.26, n = 2
CLAVE: A
8. ¿Cuántos divisores positivos tiene como máximo el número ababab(5) ?
A) 45 B) 60 C) 48 D) 50 E) 36
SOLUCIÓN
ababab(5) = 651ab(5) = 3.7.31. ab(5) , a = b = 4
Luego ab(5) = 44(5) = 24 = 3.23 entonces N = 32.23.7.3 Por lo tanto CD(N) = 48
CLAVE: C
9. Sea M un número entero positivo que admite sólo dos divisores primos. Si la
cantidad y la suma de los divisores positivos de M son 6 y 124
respectivamente, halle la suma de las cifras de M.
A) 14 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11
SOLUCIÓN
M = p2.q
SD(M) =
3 2 p 1 q 1
p 1 q 1
     
   
     
= 124
(p2 + p + 1)(q + 1) = 31.4, p = 5, q = 3
M = 52.3 = 75, suma de cifras = 12
CLAVE: B
10. Si N = 3n + 3n + 1 + 3n + 2 , tiene diez divisores positivos que no son números
primos, calcule la cantidad de divisores positivos cubos perfectos de
P = nn + 1
x (n + 1)2n
A) 56 B) 36 C) 60 D) 64 E) 48
SOLUCIÓN
N = 3n(1 + 3 + 32) = 3n.13
SD(N) = CD(N) + CD(N)
Primos No primos
2(n + 1) = 2 + 10, n = 5
Luego P = 56.610 = 2.3(23)3(33)3(53)2
CD(P) = 4.4.3 = 48
Cubos Perfectos
CLAVE: E
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si 2
m
1
m
2
2   , halle el valor de .
3m
m 1
6
12 
A) 2 B)
3
2
C)
3
1
D) 1 E)
2
3
Solución:
 
  3
2
3 1
1 1
3m
m 1
m 1 m 1
m 1 0 m 1
2 m 1 2m m 2m 1 0
m
1
Como m
6
12
6 12
2 2 2
4 2 4 2
2
2





   
    
        
Clave: B
2. Si x y 2yz z 0  x,y,z,  y 0 2 2 2      R   , calcule el valor de
4x y 3z
2x 3y 5z
M
 
 
 .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
 
   
 
1
2y
2y
4 0 y 3y
2 0 3 y 5 y
M
x y z 0 x 0 y z
Si x y 2yz z 0
2 2
2 2 2
 
 
 
 
       
   
Clave: A
3. Sabiendo que:
  
0
x z 2y
4
x y z y
x z 2y

 

 
 
, determine el valor de
.
x z
xz
xz
x z
L
2 2
2 2




A)
2
1
B) 0 C) 2 D) –
2
1
E) – 2
Solución:
  
 
 
2
1
x x
x
L 0
x y z y x z
m n 2mn 0 m n 0 m n
0 m n 4mn
m n
4
n
1
m
1
x y m z y n
Haciendo un cambio de var iable
0
x z 2y
4
z y
1
x y
1
0
x z 2y
4
x y z y
x z 2y
Se tiene :
2 2
2
2 2 2
2


  
     
        
   

  
    

 






 

 
 
Clave: D
4. Simplifique
      
 2 2
3 3 3
a 2b c
3a 2b c 9a c 2b 3a 2b c c 2b 27a
N
 
        
 ,
a,b,c  R y c  0.
A) 1 B) 0 C) – 1 D) 3 E) – 3
Solución:
     
         
      
 
      
 
N 0
a 2b c
3 3a 2b c c 2b 3a 9a 3a 2b c c 2b
N
a 2b c
3a 2b c 9a c 2b 3a 2b c c 2b 27a
ii) N
3a 2b c c 2b 3a 3 3a 2b c c 2b 3a
i) 3a 2b c c 2b 3a 0
2 2
2 2
3 3 3
3 3 3
 
 
       
 
 
        

           
      
Clave: B
5. Si x  4 7  4 7 , halle la suma de cifras del valor
 x 1 x 1x x 1 4 2     .
A) 11 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16
Solución:
x 4 7 4 7 2 9 x 14
Como x 4 7 4 7
2 2        
   
         
cifras: 2 7 4 3 16
x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 13 196 14 1 2743 4 2 2 4 2
    
            
Clave: E
6. Sean a,b,c,x,y,z   R  abc  0 que verifican
 a b c  3ab ac bc x y z . 2 2 2 2         Indique el valor de
 


 


  
  







  
x y z 3
x y z 2013
abc
a b c3 3 3
.
A) abc B) 2013 C) 1 D) 3 E) 0
Solución:
Se tiene:
   
           
2013
3
2013
a
3a
x y z 3
x y z 2013
abc
a b c
a b c x y z 0
a b b c c a 6 x 6 y 6 z 0
a 2ab b b 2bc c c 2ac a 6x 6y 6z 0
a b c ab ac bc 3x 3y 3z 0
a b c 3 ab ac bc x y z
3
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
 













  


 


  
  







  

      
        
           
         
       
Clave: B
7. Sean a, b, y c

 R que verifican a b c ab ac bc 2 2 2      . Halle
 
.
ab ac bc abc
a b c a b c
E
2 3 3 3
  
    

A) 3abc B) abc C) a + b + c D) 3 E) 1
Solución:
     
 
3
3a a
9a 3a
a a a a
3a a a a
E
a b c
a b b c c a 0
a 2ab b b 2bc c c 2ac a 0
2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc
Si a b c ab ac bc
2 3
2 3
2 2 2 3
2 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2




  
  
 
  
     
        
    
    
Clave: D
8. Si
abc 3
a b c 11
halle el valor de M
ab ac bc 7 ; a, b, y c
a b a c b c 19
a b c 83
3 3 3
2 2 2 2 2 2
4 4 4

  

   
  
  
 R
A) 81 B) 8 C)
6
1
D)
3
1
E) 3
Solución:
 
 
   
  
 
 
M 3
3
abc 3
3 abc 3
abc 3
3abc 20 11
M
Luego :
a b c 3abc 20
a b c 3abc 5 11 7 20
a b c 3abc a b c a b c ab ac bc
Sabiendo que :
a b c 5
2 ab ac bc 14 a b c 2 ab ac bc 25
De iii)
a b c 2 a b a c b c 121 a b c 11
De i) y ii) sumando se obtiene :
iii) ab ac bc 7
ii) a b a c b c 19 2 a b a c b c 38
i) a b c 83
3 3 3
3 3 3
3 3 3 2 2 2
2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
 





 

    
     
          
   
         
         
  
      
  
Clave: E
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Si m + n = 1, calcule T 3m n  2m n . 2 2 3 3    
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
Si m + n = 1 entonces se tiene:
ii) m n 1 3mnm n  m n 1 3mn
i) m n 1 2mn
3 3 3 3
2 2
       
  
   
   
T 1
3 1 2mn 2 1 3mn 3 6mn 2 6mn
T 3 m n 2 m n2 2 3 3
 
       
    
Clave: A
2. Sabiendo que .
b
b b 1
b 1 y b 1 simplifique L
5
5
6
4







  
   
A) – 1 B) 1 C) 0 D) 32 E)
32
1
Solución:
  
 
 
1
b
1 b 1
b. b
b b 1
b
b b 1
L
b 1 0 b 1
Si b 1 b 1 0 b 1 b 1 0 , además b 1
5
5
2 2
5 2 3
5
6
2 2
4 4 2 2
 




   








  
 






  

     
         
Clave: B
3. Si 2a  2b 3c  3x simplifique
     
  .
4 a 4b 9c
2x a x 2b x 3c
H
2 2 2
2 2 2
 
    

A) 4 B) 2 C)
2
1
D)
4
1
E) 1
Solución:
     
 
 
 
 
 
  4
1
4 a 4b 9c
6x 2x 3x a 4b 9c
H
Además 2a 2b 3c 3x
4 a 4b 9c
6x 2x 2a 2b 3c a 4b 9c
4 a 4b 9c
4x 4ax a x 4bx 4b x 6cx 9c
4 a 4b 9c
2x a x 2b x 3c
H
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2

 
   
 
  
 
     

 
       

 
    

Clave: D
4. Si a b c 0 3 3 3    , simplifique .
3
a b c
M
3





  

A) abc B)
3
1
C)   1 abc  D) 0 E) 3
Solución:
M abc
abc
3
a b c
abc
3
a b c
a b c 3 abc
Si a b c 0 a b c 3 a b c
3
3
3
3 3
3 3 3 3
3
3
3
3 3 3 3
 
 




  


 
    
      
Clave: A
5. Halle la suma de cifras del valor de n que se obtiene de
3 5 17 2 1. . . 2 1 1  512  . 8 2n 512   





 
A) 11 B) 7 C) 5 D) 4 E) 2
Solución:
       
        
       
  
 
 
 
cifras de n 1 1 2
2 2 2 n 11
2 1 1 512
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 . . . 2 1 1 512
2 1 2 1 2 1 2 1 . . . 2 1 1 512
3 5 17 2 1 . . . 2 1 1 512
n 8 11
n
n
n
n
2 8 2 2
2 .2 512
16
8 8
4 4 8 2 512
2 2 4 8 2 512
8 2 512
   
   
   

 
     
      
   



Clave: E
6. Halle el valor de P sabiendo que
2 4
6
4 6
a 1 a
1 a
1 1
2a
1
1
2a
1
8P 8a 5 8a y
 

  





 





    .
A) 5 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3
Solución:
    
  
a 1 0 4a 4a 1 0 2a 1 0
4a
1
0
a a 1 a a 1
a 1 a a 1 a 1 a a 1
4a
1
0
a a 1
a 1
1 1
4a
1
a 1 a
1 a
1 1
2a
1
1
2a
1
i)
2 4 2 2 2
2
2 2
2 2
2
4 2
6
2
2 4
6
         

   
     


 

   
 

  



 




   
P 1
1
2
1
8
5
2
1
P
a
8
5
a a
8
5
P a
ii) 8P 8a 5 8a
2
1
a
2 3
4 6 2 2 2 3
4 6
2
 
 



  



 
      
  
 
Clave: D
7. Si a  10  5 y b  10  5 , halle la suma de cifras de
G  a b   a b  800. 8 8     
A) 20 B) 21 C) 12 D) 18 E) – 16
Solución:
a b 20 a b 2 5
b 10 5 b 10 5
i) a 10 5 a 10 5
2 2 2 2
2
2
     
    
    
   
        
           
       
      
       
cifras de G 1 5 6 0 12
1560
4 400 2 20 2 400 800
2 20 2 2 5 2 2 5 800
2 a b 2 a b 2 a b 800
a b a b 2 a b a b 2 a b 800
a b a b 2 a b a b 800
ii) G a b a b 800
2
4
2
2 2
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
2
2 2 2 2 2
4 4 2 4 4
8 8
     

   
 



  
      
        
       
    
Clave: C
8. Si x + y + z = 0 , simplifique
 
     
.
1 x y z 1 2 y z 3
2 x 2y 3z x y z 14
M
2 2 2
     
     

A) 1 B)
2
1
C) – 2 D)
4
1
E)
2
1

Solución:
 
     
     
     
     
     
         
     
        
 
     
                
 
M 2
Re emplazando a
x 1 y 2 z 3 2 x 1 y 2 x 1 z 3 y 2 z 3
Como x y z 0 x 1 y 2 z 3 0
. . .
x 1 y 2 x 1 z 3 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3 y 2 z 3
x 1 y 2 z 3
x 1 y z 1 y 2 z 3
x 2x 1 y 4y 4 z 6z 9
x 1 y z 1 y 2 z 3
x 2x y 4y z 6z 14
1 x y z 1 2 y z 3
2 x 2y 3z x y z 14
M
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
  

              
         

       
    

      
    

     
       

     
     

     
     

Clave: C
Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 6
1. En la figura, P, Q y T son puntos de tangencia. Si AB = 4 cm y AC = 3 cm, halle
la longitud del radio de la circunferencia.
A) 4 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 1 cm
E) 2,5 cm
Solución:
 PC = pABC = 6
 r + 3 = 6
r = 3
Clave: C
A
B
P C
Q
T
A
B
P C
Q
T
r
6
3
r
4
5
2. En la figura, L1 //L 2 , B es punto de tangencia y mPAD = 238°. Halle x.
A) 31°
B) 32°
C) 30,5°
D) 28°
E) 34,5°
Solución:
 L1 //L 2
 mBP = mBD = 61°
 BAD: inscrito
 x =
2
61
= 30,5°
Clave: C
3. En la figura, P, Q y T son puntos de tangencia. Si mBP = 70°, halle x.
A) 56°
B) 60°
C) 40°
D) 65°
E) 70°
Solución:
  +  + 35° = 180°
  +  = 145°
 APQT:
2( + ) + x = 360°
290° + x = 360°
x = 70°
Clave: E
L 1
L 2
A
B
D
P
x
L 1
L 2
A
B
D
P
x
61°
61°
238°
x
A
B
P
Q
T
x
A
B
P
Q
T
  
70° 35° 35°


4. En la figura, B y T son puntos de tangencia. Si AB y BC son diámetros, halle x.
A) 31° B) 32°
C) 30° D) 34°
E) 36°
Solución:
 AB : Diámetro
 mATB = 90°
 DBC: Inscrito
 mDBC = 61°
 TDE: 61° = 29° + x
x = 32°
Clave: B
5. En la figura, AB y AC son diámetros de las semicircunferencias, T es punto de
tangencia y mAE = 80°. Halle x.
A) 26°
B) 20°
C) 24°
D) 25°
E) 28°
Solución:
 ABE: Inscrito
 mABE = 40°
 AOT: Isósceles
 OTB: 2x + 40° = 90°
x = 25°
Clave: D
A B
C
D
E
T
61°x
A
B
C
D
E
T
x
61°
x
29° 61°
29°
61°
x
A C B
D
E
40°
80° T
x
2x
O
x
A C B
D
E
T
6. En la figura, T es punto de tangencia y AB es diámetro. Si mAED = 40° y mTCA = 50°,
halle x.
A) 20° B) 23°
C) 25° D) 18°
E) 22°
Solución:
 AB : Diámetro
 mTB = 40°
 TAB: Inscrito
mTAB = 20°
 BAE:
x + 20° = 40°
x = 20°
Clave: A
7. En la figura, O es centro de la circunferencia. Halle x.
A) 28°
B) 30°
C) 29°
D) 27°
E) 26°
Solución:
 ) exterior: x =
2
84  
. . . (1)
 ) exterior: 56° =
2
180  
 = 68°
 84° +  +  = 180°
 = 28°
 En (1): x = 28°
Clave: A
A
B
C
D
E T
x
x
42°
O
F
G
A
B E
D
C
56°
x
42°
O
F
G
A
B E
D
C
56°
42°
84°


50°
A
B
C
D
E
T
x
40°
20°
2x
40°
8. En la figura, O es centro de la circunferencia. Si mADB + mAEB = 200°, halle x.
A) 12°
B) 14°
C) 10°
D) 8°
E) 13°
Solución:
 Dato:  +  = 200° . . . (1)
 2( + x) = 180°   + x = 90°
 ) interior:  =
2
2  80
 –  = 40° . . . (2)
 De (1) y (2):  = 120°,  = 30°
x = 10°
Clave: C
9. En la figura, A y T son puntos de tangencia. Si mCD = 80°, halle x.
A) 30°
B) 38°
C) 40°
D) 39°
E) 42°
Solución:
 Trazamos L y N: Rectas tangentes
 N // BD
 mBC = mCD = 80°
 BDC: Inscrito
 x = 40°
Clave: C
O
A
B
C
D
E
x
40°
A
B
C
D
T
x
A
B
C
D
T
x
80°
80°
L




N
O
A
B
C
D
E
x
40° 

80°
100°
2 2x
10. En la figura, O es centro de la circunferencia, C, T y E son puntos de tangencia.
Si mALB = 140°, halle x.
A) 52°
B) 51°
C) 55°
D) 54°
E) 50°
Solución:
 mCE = 180° – 2
  + x +  + 70° = 180° . . . (1)
 : 2 +  =  + x
 +  = x
 En (1): 2x = 110°
x = 55°
Clave: C
11. En la figura, A y T son puntos de tangencia. Halle x.
A) 50° B) 42°
C) 48° D) 52°
E) 54°
Solución:
 Prop.: mBT = mTD = 80°
mAT = mTE = 2x
 ) exterior:
40° =
2
280  2x  2x
x = 50°
Clave: A
A
B
C
D
E
40°
x
T
40°
A
B
C
D
E
40°
x
T
40°
2x
2x
80°
x
280° 2x
x
A
B
C
D
E
T
O
x
F
L



2 70°

140°
x+

2
90°
180° 2
A
B
C
D
E
T
O
x
F
L
12. En la figura, P, T, Q, M y N son puntos de tangencia. Halle x.
A) 22°
B) 18°
C) 20°
D) 16°
E) 14°
Solución:
 APT:
x + 80° = 100°
x = 20°
Clave: C
13. En la figura, P y T son puntos de tangencia. AB // PQ. Si 2mBP = mBT, halle x.
A) 21°
B) 20°
C) 24°
D) 22°
E) 23°
Solución:
 Como AB // AP
 mAP = mBP = 2x
 200° + 8x = 360°
x = 20°
Clave: B
x
A
Q
T
M
N
P
L
10°
x
A
Q
T
M
N
P
L
10°
80°
80°
P
T
A B
Q
100°
C
P
T
A B
Q
100°
200°
2x 2x
4x
C
14. En la figura, AB es diámetro, O y D son centros de las circunferencias. Halle x.
A) 100°
B) 104°
C) 105°
D) 110°
E) 106°
Solución:
 OCD: Equilátero
 BOC: semi-inscrito
 mBOC = 30°
 90° + 15° = x
x = 105°
Clave: C
EVALUACIÓN Nº 6
1. En un triángulo ABC de perímetro 38 cm, la circunferencia inscrita es tangente a los
lados AB, BC y AC en los puntos P, Q y T respectivamente. Si AP = 4 cm, halle BC.
A) 14 cm B) 16 cm C) 15 cm D) 18 cm E) 12 cm
Solución:
 Dato:
2pABC = 38 = 8 + 2(a + b)
15 = a + b
 BC = 15 cm
Clave: C
x
O
A
B
C
D
60°
30°
15°
A
B
C
a
T
P
Q
a
b
4 b
4
x
O
A
B C
D
2. En la figura, P y Q son puntos de tangencia. Si mCD – mAD = 48°, halle mBL.
A) 24°
B) 22°
C) 21°
D) 23°
E) 25°
Solución:
 PBQ: Isósceles
mQPB = 12° + 
 ) exterior:
12° +  =
2
48  2  x
24° + 2 = 48° + 2 – x
x = 24°
Clave: A
3. En la figura, P y T son puntos de tangencia. Halle x.
A) 48°
B) 58°
C) 64°
D) 60°
E) 62°
Solución:
 CD// AT
 TM  CD
 CFD: Isósceles
 Por par lineal:
3x = 180°
x = 60°
Clave: D
A
B
C
D
P
L
Q
A
B
C
D
P
L
Q
12+
2
24+ 
48+
x

x
x
T
P
F
A B
C
E
x
x
T
P
F
A B
C
E
 

2
x
M
D
x x
4. En la figura, P es punto de tangencia. Si mAC = 130°, halle x.
A) 48°
B) 35°
C) 42°
D) 40°
E) 45°
Solución:
 APC: Inscrito
 mAPC = 65°
 CPL: Semi-inscrito
 mCPL = 35°
 APL: 100° + 35° + x = 185°
x = 45°
Clave: E
5. En la figura, O es centro de la circunferencia. Si mBND = 60°, halle x.
A) 10°
B) 20°
C) 15°
D) 40°
E) 5°
Solución:
 3 + 60° = 180°
 = 40°
 ) exterior: x =
2
2  
=
2

x = 20°
Clave: B
x
35°
A
P
C
L


x
A B
C
D
E
O
L
N
F
x
35°
A
P
C
L
65°
3 5°
130°


x
A B
C
D
E
O
L
N
F
 

60°
6. En la figura, B y E son puntos de tangencia. Halle x.
A) 75°
B) 64°
C) 72°
D) 68°
E) 80°
Solución:
 mBE = x
 BAE: Inscrito
 mBAE =
2
x
 : 28° +
2
x
+ 32° = 180° – x
 x = 80°
Clave: E
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 6
1. Hallar el valor de
4
41
sen
3
22
tg
6
89
cos 2 

 
. .
A) – 1 B)
2
1
C)
2
1
 D) 1 E) 2
Solución:
2
3
6
cos
6
cos
6
5
cos
6
89
cos
6
5
7( 2 )
6
5
14
6
89
 

 



 
  




  

  


x
A
B
C
D
E
32°
F
28°
x
2 x 180° x
x
A
B
C
D
E
32°
F
28°
1
2
1
2
3
2
1
3
2
3
4
41
sen
3
22
tg
6
89
cos
3
3
tg
3
tg
3
4
tg
3
22
tg
3
4
6
3
22
2
1
4
sen
4
41
sen
4
5(2 )
4
10
4
41
2
2
  


 


 







 


  




 
   




 



  







  

  


.
Clave: A
2. Al simplificar la expresión 

  

 








  

 
3
35
2
( 2k 1)
tg
6
( 1)
2
(4n 3)
sen 2
n
,
se obtiene
A) 1 B)
3
5
C)
2
5
D)
6
 3 2 3
E) – 1
Solución:
2
5
E
3
2
1
E
3
2
ctg
6
E cos
3
2
2
(2k 3)
tg
6
( 1)
2
3
E sen 2n
2
n 2

  





 


 





 

 
 




 
 

 
Clave: C
3. Si
4
1
2
127
sen    





 

y  es un ángulo del cuarto cuadrante, hallar el valor
de sen tg.
A)
4
5 15
 B)
4
15
 C)
5
15
 D)
4
5
 E)
4
5
Solución:
4
1
2
3
sen
4
1
2
3
sen 2
4
1
2
127
sen
   


 


 

   


 


 

 
   


 


 

4
1
cos
4
1
cos
 
   
Como   IV C, entonces y tg 15
4
15
sen    
15
4
5
sen tg  
Clave: A
4. Los ángulos interiores de un triángulo ABC están en progresión aritmética
(A > B > C). Calcular el valor de la expresión
2cos( A B C).
sen ( A 2B)
sen(C 2A 3B)
tg( A 2B)
tg( 2A 3C 4B)
  

 


 
A) 2 B) – 3 C) 0 D) – 4 E) 3
Solución:
sean C   k ,    , A   k los ángulos, entonces  k     k  
k
3
, C
3
k ,
3
A
3




 

 

  
1 2 1 1 2 4
tgk
tgk
2cos
sen(A 2B)
sen(A 2B)
tg( k)
tg( k )
2cos
sen(A 2B)
sen( A 2B)
tg(A 2B)
tg(2 C 2B)
2cos(A B C)
sen(A 2B)
sen(C 2A 3B)
tg(A 2B)
tg(2A 3C 4B)
       


 






 

  


 

  

 


 
Clave: D
5. Si sen40  a, evaluar (en función de a) tg 1480  tg1760  cos580 .
A) – 2 1 a B)
2 1 a C)
2 1 a
1

D)
2 1 a E) a 1 2 
Solución:
2 cos40 1 a
tg 1480 tg1760 cos580 tg40 tg ( 40 ) cos40
1760 5 vueltas 40
1480 4 vueltas 40
     
            
   
   
Clave: A
6. En la figura adjunta, OP 10 u; hallar el valor de tg  ctg .
A)  6
B) 6
C)  5
D) 5
E) 1
Solución:
6
2
6
2
6
tg ctg
2
6
ctg
2
6
ctg tg
270
270
2
6
tg tg
360
  

    
 

     
    
    

   
    
Clave: A
7. De acuerdo a la figura, hallar csc(90  )cos.
A)
2
1

B) 2sen
C) – 1
D) –cos
E)
2
1
Solución:
cos csc(90 ) cos(180 )sec cos sec 1
180
360 180
180 360
              
    
      
       
Clave: C
8. Con la información de la figura, evaluar  3  5   tgsec.
A)  2
B)
3
C)
2
D)
 3
E) 2
Solución:
 







 
    




















 
         
   
2
3 5
2
5
2
3
2
5
2
3
tg sec tg( ) sec( )
( ) : R 2 , 3 , d 5
     
2
2
2 2
2
2
2
2
2
3 5
2
3 5
3 5 tg sec 3 5

 
 


 

 
 
 


 

 
 
 


 

 
     
Clave: C
9. En la figura adjunta, AB es el diámetro de la semicircunferencia y AB = BO.
Calcule el valor de tg  sec, si sabe además que T es punto de tangencia.
A) 1
B) – 1
C) 2
D)  2
E) 2 2
Solución:
Como AB = BO, asumimos AB = BO = 2
Luego tratamos el radio O’ T
Vemos que   180 
Nos piden N tg  sec
N 2
2 2
3
2 2
1
N tg sec
N tg ( sec )
N tg(180 ) sec(180 )

     
    
       
Clave: C
10. En la figura, el área limitada por el cuadrado ABCO es 2 100 u , y MD
2
1
tg  es
bisectriz del ángulo BDC. Calcular el valor de 3tg.
A)  3 10 B)  5
C)  2 10 D)  10
E)  3 5
Solución:
De la figura
 


 


  
   
     
     
    
3
40
tg
tg ctg
tg tg(270 )
270
270
Clave: C
EVALUACIÓN Nº 6
1. Calcular el valor de

  

sen130
sen220 cos 320 ctg140
1
. 2 .
.
A) cos 40 2 B) sen 20 2 C) sen50 cos50
D) sen 40 2 E) cos 20 2
Solución:
 
  
    

    
 
  
        
 
sen 40
1 cos 40
1 tg 40 cos 40 ctg 40
cos40
( sen40 ) cos 40 ( ctg 40 )
1
sen(90 40 )
sen(180 40 ) cos (360 40 ) ctg(180 40 )
M 1
2
2
2
2
2
Clave: D
2. Si
2
7
csc 4 , 3
2
341
sec

      





 

, hallar el valor de la expresión





 
   




 
 
6
sen
2
19
tg .
A) 2 B)  2 3 C) – 3 D) – 2 E)  3
Solución:
Del dato:
6
19
csc csc 4 csc 2

           
Luego: ctg 3
2
3
tg 8
2
19
tg      





 

    




 
 
sen 3 0
6
sen    




 
 
3
6
sen
2
19
tg   




 
   




 
  
Clave: E
3. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC satisfacen la siguiente igualdad
k 1
secB
sec(A 2B C)
sen(A B)
sen(A B 2C)
 
 


 
, determine el valor de k.
A) – 2 B) 1 C) – 3 D) 3 E) – 1
Solución:
k 3
k 1 1 1
secB
secB
senC
senC
k 1
secB
sec(180 B)
sen(180 C)
sen(180 C)
k 1
secB
sen( A 2B C)
sen( A B)
sen( A B 2C)
Como k 1
 
   



 
 

 
 
 
 


 
 
Clave: C
4. Con los datos de la figura, halle .
ad
bc
A)  2 sen
B)  2 tg
C)   2 tg
D)  2 ctg
E)  2 tg
Solución:
d
c
ctg
c
d
tg
c
d
tg(180 )
a
b
tg
  
  
      
          












       
    
    
2 (tg ) (ctg ) (tg ) ( tg ) tg
d
c
a
b
ad
bc
ctg ctg(90 ) tg
90
De la figura ( ) 90
Clave: C
5. Simplificar la expresión













 

















x
4
25
cos
2
21
tg x
x
2
33
x sec
4
21
sen
A) cscx B)  secx C) ctg x 2  D) tg x 2  E) 1
Solución:
Clave: B