MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PREGUNTAS RESUELTAS 10 PDF

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Aritmética
EJERCICIOS DE CLASE N° 10
1. Sea m  Z+. Si m es la media proporcional de 49 y 4, p es la tercera
proporcional de 16 y 4, calcular la cuarta proporcional de m, p y 42.
A) 4 B) 5 C) 1 D) 2 E) 3
SOLUCIÓN
Clave: E
2. En una proporción geométrica de razón , la suma de sus términos es 608 y
la diferencia de los antecedentes es 16. Hallar la media diferencial de los
antecedentes.
A) 128 B) 116 C) 138 D) 102 E) 122

SOLUCIÓN

Clave: A
3. Sea una serie de seis razones geométricas equivalentes de términos enteros
positivos, donde la suma de los antecedentes es 21, si todos los antecedentes
son distintos, y la suma del producto de cada antecedente con su respectivo
consecuente es 364, hallar el valor de la razón.
A) 1/4 B) 4 C) 3/2 D) 3/4 E) 2/3
SOLUCIÓN
a + b + c + d + e + f = 21, como todos son distintos a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6
Además: Aa + Bb + Cc + dD + eE + Ff = 364
A + 2B + 3C + 4D + 5E + 6F = 364
Entonces:
91/r = 364  r = ¼
Clave: A
4. En una serie de razones geométricas continuas, la suma de sus tres
antecedentes es 126 y el producto de las tres razones es 8. Hallar la razón
aritmética del mayor y menor antecedente.
A) 44 B) 28 C) 62 D) 54 E) 36
SOLUCIÓN
…………..(I)
Luego: en (I)
Entonces:
Razón = 72- 18 = 54
Clave: D
5. Luis tiene ab años y Rafael ac años, si hace 10 años sus edades estaban en
relación de b a c respectivamente y sabiendo que Luis es mayor que Rafael y
ab  ac  n(a 3)  20 , determine la suma de sus edades dentro de na años.
A) 56 B) 45 C) 48 D) 39 E) 50
SOLUCIÓN
Hace 10 años
10 10 10
10 10 10
ab b a b b
ac c a c c
  
  
  
de donde 10(a 1)(c b)  0 y como
b  c
Entonces a 1 de donde 1b 1c  n(a 3)  20b c  n(a 3)  20
Así n 1
Luego las edades dentro de na años serán 1b 11 y 1c 11 entonces
1b111c 11 42bc  4214  56
Clave: A
6. Se sabe que: ,
a c
r r positivo
b d
  y
2 2
2 2
12 5 4
27 5 9
a c
b d
 

 
, Calcule el valor de
7
7
b d
a c


.
A) 2/5 B) 3/2 C) 5/2 D) 2/3 E) 1/2
SOLUCIÓN
De la proporción
a c
k
b d
 
. .
a bk
c dk
a b b c



Del dato
2 2
2 2
12 5 4
27 5 9
a c
b d
 

 
      2 2 2 2 a 12 5d 9  b 27 5c  4
Reemplazando
2 2 2 a  b k y 2 2 2 c  d k
Reduciendo y factorizando tenemos
   2 2 2 9k  4 b 15d  0
Como 2 2 b 15d >0 2 9k  4  0
2
3
k 
Luego
7
7
b d
a c


=
7 7
7( ) (7 )
b d b d
bk dk k b d
 

 
7
7
b d
a c


=
1 3
k 2

Clave: B
7. Un centro comercial está de aniversario y ofrece la siguiente promoción: por la
compra de 5 pantalones regala 3 polos y por la compra de 6 casacas regala 5
polos. Si en la venta del día se regalaron 104 polos y la relación de venta entre
pantalones y casacas fue de 3 a 2. ¿Cuántas casacas se vendieron?
A) 70 B) 60 C) 64 D) 52 E) 58
SOLUCIÓN
Total de casacas:
Clave: B
8. Se analizan dos proporciones continuas con igual valor de la razón que es un
número impar positivo. En la primera, la suma de sus términos es 72 y la
segunda tiene como último término el primer término de la anterior que es el
doble de un cuadrado perfecto. Calcule la diferencia de los términos extremos
de la segunda proporción.
A) 1 200 B) 1 250 C) 1 150 D) 1 100 E) 1 220
SOLUCIÓN

k k
nk
nk
nk
nk
x
x
n k
k nk nk n
n
nk
nk
nk
nk m
    
 
     


50
250
250
1250
2 5 2 36
8 2 8 9
( 1) 72
2 72
2 2 2
2
3
3
4
2
2
2
 1200
Clave: A
9. Se tiene una proporción geométrica continua de términos enteros positivos,
cuyos cuatro términos suman 128. Si el primer término excede al último
término en 32 unidades, calcule el valor de la media proporcional.
A) 24 B) 32 C) 36 D) 30 E) 25
SOLUCIÓN
k
c
b
b
a
  Además a 2b c 128 c(k 1) 128 2      
a c 32 c(k 1) 32 2     
Luego , c 18
3
5
k   b  ck  30
Clave: D
10. Dos números naturales a y b son entre sí como 3 es a 7, halle la suma de las
cifras de la media diferencial de los mismos si además satisfacen la condición:
2 2 2a b  4ab 1359
A) 6 B) 8 C) 5 D) 9 E) 10
SOLUCIÓN
Del dato
3
7
a
b
 a  3k b  7k, kN
Como 2 2 2a b  4ab 1359 entonces 2 2 2(3k) (7k)  4(3k)(7k) 1359
2 2 2 18k  49k 84k 1359
2 151k 1359
k  3
Así los números son a  9  b  21, luego si x es la media diferencial de los
mismos entonces 9 x  x 21x 15, luego la suma de sus cifras es 6
Clave: A
11. En una proporción geométrica continua, la diferencia de sus términos
extremos es 280 y la suma de sus cuatro términos es 700. Halle la tercera
proporcional.
A) 63 B) 81 C) 64 D) 83 E) 72
SOLUCIÓN
Sea la proporción   
a b
b ac
b c
….(1)
Sea a  c : a c  280 …..(2)
Además a  2b  c  700 …(3)
(1) en (3)  2
a  2 ac  c  700  a  c  700
 a  c 10 7 …. (4)
En (2)  a  c  a  c   280
De (4) 10 7  a  c   280  a  c  4 7 ….(5)
(4) + (5): 2 a 14 7  a  343
(4) – (5): 2 c  6 7  c  63
Clave: A
12. Sean a, b, c, d ε Z+, con a y d mínimos, donde 
a c
b d
. Si a2+d2+bc=49, halle el
máximo valor de (a + c).
A) 19 B) 20 C) 21 D) 17 E) 23
SOLUCIÓN
Como → ad = bc
Además a2 + d2 + bc = 49  a2 + d2 + ad = 49  (a + d)2 = 49 + ad
Pero a y d son mínimos  ad=15 → a=5, d=3
También bc = 15 b = 1, c = 15 ∴ (a + c)máx = 5 + 15 = 20
Clave: B
EJERCICIOS DE EVALUACION N°10
1. Si 15 es la media proporcional de a y 25; 2a es la tercera proporcional de 8 y b,
con b  Z+
, halle la cuarta proporcional de a, b y 15.
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25
SOLUCIÓN
a 15 8 b 9 15
a 9 b 12 Luego x 20
15 25 b 18 12 x
        
Clave: D
2. Dados tres razones geométricas equivalentes, la suma de los términos de cada
razón es 8, 16 y 32 respectivamente, y el producto de los antecedentes es 8,
hallar el mínimo valor de los antecedentes.
A) 2 B) 8 C) 7 D) 1 E) 3
SOLUCIÓN
Sea
a c e
b d f
  y a + b = 8 , c + d = 16, e + f = 32 y ace = 8
Por propiedad:
a c e
a b c d e f
 
  

3
3 ( )( )( ) ( )
ace e
a b c d e f e f

   
8 / 8.16.32 = e 3/ (32) 3 e 3 = 64  e = 4, f = 28

a c e
b d f
  = 1/7  a = 1 y c = 2
Clave: D
3. Se tiene una proporción geométrica de términos enteros positivos, donde el
producto de los antecedentes es 324 y el producto de los consecuentes es
1764. Si la media diferencial de los términos medios es
2
55
, determine la
diferencia positiva de los términos extremos.
A) 21 B) 20 C) 24 D) 19,5 E) 51
SOLUCIÓN
k
d
c
b
a
  ac = 324 , bd=1764. Luego bc  756
Además c
2
55
2
55
b    Luego b  c  55
Finalmente b = 28, c = 27. d  a  63 12  51
Clave: E
4. Si    
a c
r, r 1 y a b c d 529
b d
      , halle el valor de ac  bd .
A) 19 B) 21 C) 24 D) 23 E) 22
SOLUCIÓN
k ac bd k
bd
ac
k
d
c
b
a
      2
a bc d     1 529  1 23 2    bk b dk d  bd k    bd k  
 ac  bd  bd k bd  bd k 1  23
Clave: D
5. Si
   
, n n
x
a b c
a b 2 y c 7 2
n! n 1 ! n 2 !
    
 
, halle el valor de n.
A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 3
SOLUCIÓN
  n 2n 1n!
c
n 1 n!
b
n!
a
 



n 2n 1
c
n 1
b
a
 



  
n 6
n 1
7×2
2
n 2 n 1
c
n 2
a b n
n  

 
 



Clave: A
6. Si
e
d
c
b
a
18
  y abbe 27c  4cd, halle el valor de
11a 8e
4e 2a


.
A)
53
16
B)
52
17
C)
29
15
D)
35
18
E)
22
13
SOLUCIÓN
18 b b d
18c ab be cd
a c c e
     
en
18 27 4 15
27 4
    
  
c cd c cd d
ab be c cd
18 15 e 5
e 5k a 6k
a e a 6
     
53
16
106k
32k
11a 8e
4e 2a
 


Clave: A
7. En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes:
m n p n p q m p q m n q
m n n p p q m q
       
  
   
,
determine el valor de 8
(m n)(n p)(p q)
8mpq
  
.
A) 8 5 B) 8 3 C) 2 D) 8 4 E) 1
SOLUCIÓN
m q
m n q
p q
m p q
n p
n p q
m n
m n p

 


 


 


 
k
m q
n
p q
m
n p
q
m n
p









2
1
k
2(m n p q)
p q m n
 
  
  

8
1
(m n)(n p)(p q)
pqm

  

Finalmente 1
8mpq
(m n)(n p)(p q)
8 
  
Clave: E
8. En la serie de razones geométricas equivalentes:
292 xy
292 xy


=
244 mn
244 mn


=
160 ab
160 ab


, halle la cuarta diferencial de xy; mn y ab .
A) 18 B) 28 C) 27 D) 29 E) 26
1
SOLUCIÓN
Aplicando la propiedad tenemos:

= = =
=
= =
=
xy mn ab
r
73 61 40
xy 73r
mn 61r r 1
ab 40r
D 28
12 40 D
73 61 40 D
xy mn ab D

 
  
  
Clave: B
9. Si
73
a + c
=
89
b + c
=
34
a +b 2 2 2 2 2 2
, c – a = 10 donde {a, b, c}  Z+, hallar el valor de
(axbxc).
A) 960 B) 820 C) 780 D) 640 E) 1020
SOLUCIÓN
Tenemos: ;c a 10
73
a c
89
b c
34
a b 2 2 2 2 2 2
 





De:
73
a c
55
c a
89
b c
34
a b 2 2 2 2 2 2 2 2 






c a 5k k 2
c 8k ; a 3k
3
8
a
c
73c 64c 64a
73
c a
128
2c
2 2 2
2 2 2
    
  
 
  

 
 De:
abc 960
c 16
a 6
b 10
73
a c
34
a b 2 2 2 2
 


 



Clave: A
10. En una serie de n razones aritméticas equivalentes y continuas de
antecedentes a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ….; an , se cumple que a1 + a2 + a3 ….+ a31 = 465.
Si a30 – a21 = 18, determine el producto de cifras de a19.
A) 2 B) 12 C) 20 D) 36 E) 6
SOLUCIÓN
a1 – a2 = a2 – a3 = a3 – a4 = … = an-1 – an = 5
 a2 = a1 – r
a3 = a2 – r = a1 – 2r
a4 = a3 – r = a1 – 3r
:
an = a1 – (n – 1)r
 a1 + a2 + a3 + …+a31 = 31 a1 – 1 + 2 + 3 + …+ 30r
 465 = 31 a1 – r
2
30×31
 31 x 15 = 31a1 – 15r
15 = a1 – 15r
 a30 – a21 = (a1 – 29r) – ( a1 – 20r)
 18 = – 9r
r = – 2  a1 = – 15
 a 19 = a1 – 18r = – 15 – 18(- 2)
 a19 = 21
producto de cifras = 2
Clave: A
Álgebra
SEMANA Nº 10
EJERCICIOS DE CLASE
1. Al factorizar el polinomio
   2 2 2 2  2 2 2 4  2 2  p x  b  a  x  b  x a  2ax a  b ;  a,b  R en R [x],
halle la diferencia de las raíces de p(x).
A)
a
b – a2 2
B) b a 2  C)
b
a – b2 2
D) 2 2 a  b E)
ab
b – a2 2
Solución:
   2 2 2 2  2 2 2 4  2 2  p x  b  a  x  b  x a  2ax a b
   2 2 2 4 2  2 2   2 2 2 4  2 2  p x  b  x  a  2a b  x  b  x  a  2ax a  b
  2 2 2   2 2   2 2  2 2  p x  2a b  x  2ax a  b 2a ab  ax  x a  b
p x  2aax xa b  ab  2aax b  x a 2 2 2 2 2       
 
a
b a
a
b
, x a Diferencia de raíces de p x : a
a
b
raíces : x
2 2 2 

 


 

 
    


Clave A
2. Halle el factor primo en R[x] de mayor termino independiente del polinomio
px x 7x 8x 7 4    .
A) x + 2 B) x + 4 C) x 2x 4 2   D) x x 1 2   E) x 2x 8 2  
Solución:
px x 7x 8x 7 4   
px xx 7x 8 xx 8 x 1 6 3 3 3      
px x x 2x 2x 4  x 1x x 1 2 2       
Factor Pr imo en x de px: x 2x 4 2  R  
Clave C
3. Al factorizar el polinomio p(x) x 7x 5 3x 21x 17 2 2 2       en Z[x], halle la
suma de coeficientes del factor primo de mayor grado.
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
Solución:
p(x) x 7x 5 3x 21x 17 2 2 2      
p(x) x 7x 5 3(x 7x 5) 2 2 2 2       
  
     
     
       
suma coeficientes del Factor Pr imo de Mayor grado : 1 7 7 15
p x x 7x 7 x 6 x 1
p x x 7x 7 x 7x 6
p x x 7x 5 2 x 7x 5 1
volviendo a la var iable x:
Sea y x 7x 5 se tiene: y 3y 2 y 2 y 1 ,
2
2 2
2 2
2 2
   
    
    
      
       
Clave E
4. Al factorizar el polinomio p(x) x x 41x 105 3 2     , halle el factor primo en Z[x]
de menor termino independiente.
A) x – 9 B) x – 5 C) x + 5 D) x – 7 E) x + 3
Solución:
p(x) x x 41x 105 3 2    
polimonio de coeficientes enteros entonces sus raíces están en los divisores
de – 105 :  1,  3,  5,  7,…
1 1 – 41 – 105
p(x)   x  3 x  5x  7  Factor Pr imo en Zx de Menor Termino
Independiente x – 7
Clave D
5. Al factorizar el polinomio p(x) x 1 x 5   en Z[x], si m(x) es el factor primo de
mayor coeficiente lineal, halle m(2).
A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 4
Solución:
 
         
         
         
       
mx x 4x 5x 1 m2 1
p x x 4x 5x 1 x x 1 en x
p x x 1 x 1 1 x 1 x 1 1
volviendo a la var iable x:
y y 1 y y 1 1 y y 1 y y 1
y y 1 y y 1 y y 1 y y 1 y y 1
luego : y y 1 y y y y 1
p(x) x 1 x sea x 1 y x y 1
3 2
3 2 2
2 3 2
2 2 2 3 2
2 3 2 2 2 2
5 5 2 2
5
      
     
        
         
           
      
       
Z
Clave B
6. Al factorizar el polinomio p(x,y) 18x 24xy 10y 15x 13y 3 2 2       en Z[x,y],
halle la suma de coeficientes de uno de sus factores primos.
A) 11 B) 5 C) 7 D) – 4 E) 2
– 3 – 3 6 105
1 – 2 – 35 0
– 5 – 5 35
1 – 7 0
7 7
1 0
 raíz :  3
 raíz :  5
 raíz : 7
Solución:
6x 2y 3
3x 5y 1
p(x,y) 18x 24xy 10y 15x 13y 3 2 2

     
     
Factor primo 6x 2y 3 : 6 2 3 11
p(x,y) 3x 5y 1 6x 2y 3 en x,y
     
     Z
Clave A
7. Dado el polinomio p(x,y) x 3xy 2y x 2y 4 2 2        , si r es la suma de
coeficientes de un factor primo de p(x,y) en Z[x,y], halle el máximo valor de αr.
A) 8 B) 12 C) 15 D) 9 E) 14
Solución:
x y 1
x 2y 4
p(x,y) x 3xy 2 y x 2 y 4 2 2
 

      
     
r 1 2 4 3 ó r 1 1 1 1
p(x,y) x 2y 4 x y 1
       
    
r 33  9 ó r 3 1  3  Mayor r 9
Clave D
8. Al factorizar el polinomio p(x) 4x 57x 210x 193x 36 8 6 4 2      en Z[x], halle
el número de factores primos mónicos de término independiente negativo.
A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6
Solución:
x 10x 9
4 x 17x 4
p(x) 4 x 57x 210x 193x 36
4 2
4 2
8 6 4 2


    
4 4 40x Falta : 170x
   3
  r  3 ó r  1
   
         
            
F. primos mónicos de Term. Indep. Negativo : 3
p x 2x 1 2x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 en x
p x 4 x 1 x 4 x 9 x 1
p(x) 4 x 17x 4 x 10x 9
2 2 2 2
4 2 4 2

        
    
    
Z
Clave B
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Al factorizar el polinomio
3 2 2 2        2 2 2 3 3 p(x)  x a b x  x  a  b x a  b  ab  x  a  b x  a  b  a  b ;
   a,b  R en R[x], indique el factor primo mónico de mayor termino
independiente.
A)
ab
3
x  B) x  3 C) x D) x  3ab E)
b
3a
x 
Solución:
    
p(x) x a b a b x  x a b x a b  xa xb ab 
p(x) x a b a b x x a b x a xb ab x a b
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
           
           
 
   
ab
3
Factor Pr imo : x
en x
ab
3
p x a b x 3 abx a b x x
p(x) x a b a b x x a b 3 abx
2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 3 3 3
 






   
       
R
Clave A
2. Dado el polinomio 4 2 2 2 2 2 4 p(x,y)  x  5 yc  x y  x c  2y  2c , halle la suma de
los términos independientes de sus factores primos en C[x].
A) 2 c B) 2  2c C) 2  c D) 2 2c E) 0
#
Solución:
 
   
 
 
    
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
4 2 2 2 2 4
4 2 2 2 2 4
suma de terminos independientes de sus F. primos: c 2c c
p(x,y) x 2 y c x y 2c en x
x y 2c
x 2 y c
p(x,y) x y c x 2 y 5 yc 2c
p(x,y) x y c x 5 yc 2 y 2c
   
    

 
     
     
C
Clave C
3. Si qx,y  ax  by es un factor primo en Z[x,y] del polinomio
  6 3 4 5 2 7 p x,y  36x y  25x y  4 x y donde a  3 y b  2 , halle q5,3 .
A) 10 B) 13 C) 15 D) 14 E) 21
Solución:
   
    
        
 
q5,3 35 23 21
q x,y ax by 3x 2y
p x,y x y 3x 2y 3x 2y 2x y 2x y en x,y
p x,y x y 9x 4 y 4 x y
p x,y x y 36x 25x y 4 y
2 3
2 3 2 2 2 2
2 3 4 2 2 4
   
    
    
  
  
Z
Clave E
4. Al factorizar el polinomio
px,y x y 2x y 8 x y 4 x y 2 2x y 2 2 2              en Z[x,y] se
obtiene un factor primo de la forma u x + n y + m , (– 4 < m < 0) ; además en el desarrollo del cociente notable     ux ny ux 1 ny 1 21 m 23      el termino de lugar 18 es de la forma   s M ux m 1 ny  1 , halle u + n + m + s + M. A) 20 B) 15 C) 10 D) 5 E) 1 Solución: » Factorizando px,y x y 2x y 8 x y 4 x y 2 2x y 2 2 2                                         u 1, n 1, m 2 factor primo ux ny m / – 4 < m < 0 p x,y x y 2 x y 2 x y 5 x y 2 x y 4 2 x y 4 1 x y 2 x y 4 x y 4 2 p x,y x y 2 x y 4 x y 4 x y 2 2 x y 2 2 2                                              » Ahora el cociente notable      x 1  y 1 x 1 y 1 21 21       tiene el termino                 u n m s M 1 1 2 3 17 20 s 3, M 17 t x 1 y 1 x 1 y 1 t x 1 y 1 x 2 1 y 1 3 17 s M 18 21 18 18 1 s M 18                              Clave A 5. Al factorizar el polinomio px,y x 16y 3 13x 208y 27 4 4 3 4 4       en Z[x,y], halle la suma de coeficientes del factor primo de mayor termino independiente. A) – 9 B) – 8 C) – 7 D) – 10 E) – 5 Solución:       Sea x 16 y 3 m p x, y x 16 y 3 13 x 16 y 3 12 4 4 4 4 3 4 4                                        Asi x 16 y 7 Factor primo requerido: 1 16 7 8 p x, y x 16 y 2 x 16 y 7 x 4 y x 2 y x 2 y en x, y p x, y x 16 y 2 x 16 y 7 x 16 y m 1 m 4 m 3 , volviendo a las var iables x , y : m m 1 m 1 12 m 1 m 1 m m 12 m 13m 12 m m 12m 12 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 2 3 3                                       Z Clave B 6. Al factorizar el polinomio p(x) 10x 2x x 11x 4x 4 5 4 3 2       en Q[x], halle la menor suma de coeficientes de sus factores primos. A) 7 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 Solución:                px 5x x 22x x 2 factores en x p x 5x x 2 2x x 2 2x x 2 5x x 2 p(x) 10x 2x x 10x x 2 p(x) 10x 2x x 11x 4 x 4 2 3 2 3 3 2 5 4 3 2 2 5 4 3 2      Q                      • De 5x x 2 coeficientes 5 1 2 6 2         • De 2x x 2 coeficientes 2 1 2 3 3          Mayor suma de coeficientes:6 Clave C 7. Dado el polinomio px,y 6x 5xy 2x 6y 16y 8 2 2       , si m(x,y) es el factor primo de p(x,y) en Z[x,y] de mayor termino independiente, halle m(2,2). A) 8 B) 9 C) 6 D) 4 E) 5 Solución:   2x 3y 2 3x 2y 4 p x,y 6 x 5 xy 6 y 2x 16y 8 2 2                  m2,2 32 22 4 6 m x, y 3x 2y 4 p x, y 3x 2y 4 2x 3y 2 en x, y               Z Clave C 8. Al factorizar el polinomio px x 15x 85x 225x 274x 120 5 4 3 2       en Z[x], halle la suma de los factores primos de termino independiente impar. A) 3x  11 B) 2x  4 C) 2x  12 D) 2x  8 E) 3x  9 Solución: px x 15x 85x 225x 274x 120 5 4 3 2       2 2 2 2 4 3 2 23x Falta : 48x x 6x 8 x 8x 15 x  14x  71x  154x  120       px  x 1 x 5 x 3 x 4 x 2 en x p x x 1 x 8x 15 x 6x 8 2 2       Z        suma de factores primos de Términos Independiente impar: x + 1 + x + 5 + x + 3 = 3x + 9 Clave E Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 10 1. En la figura, ED = DC, mCAB = mHBC y el área de la región triangular ADB es 40 m2. Halle el área de la región sombreada. A) 26 m2 B) 24 m2 C) 32 m2 D) 35 m2 E) 38 m2 Solución:   +  = 90°  mABC = 90°  Prop.: BD = 5a  ABH (Proporción de área) Sx = 32 m2 1 15 85 225 274 120 –1 –1 –14 –71 –154 –120 1 14 71 154 120 0 53° A B C D E H 53° A B C D E H 3a  4a   Sx 40 5a 5a 5a Clave: C 2. En la figura, las áreas de las regiones ABCD y DBC son 17 cm2 y 9 cm2 respectivamente. Halle el área de la región sombreada. A) 9 cm2 B) 8 cm2 C) 10 cm2 D) 6 2 cm2 E) 6 3 cm2 Solución:  AAOD = ABOH  AS = AADB  AADB = 17 – 9 = 8 m2 Clave: B 3. En la figura, el área de la región triangular BHN es 8 cm2 y el área de la región cuadrangular AMHQ es 2 cm2. Si BH = 4 cm y HQ = 2 cm, halle el área de la región triangular ABC. A) 2 cm 5 121 B) 2 cm 5 112 C) 2 cm 5 96 D) 2 cm 5 108 E) 2 cm 5 116 Solución:  HN = 4  MHB ~ AQB: 36 16 x 2 x    x = 5 8  y = 2 10  2 = 10 A B D H C A B C M N Q H A B C M N Q H 8 2 y x 4 4 2 6 45° A B D H C O  AABC = 20 + 5 8 = 2 cm 5 108 Clave: D 4. En la figura, FGHE es un cuadrado. Si AF = FC y BG = 3 m, halle el área de la región sombreada. A) 5 m2 B) 7 m2 C) 8 m2 D) 12 m2 E) 9 m2 Solución: A BHFG = ?  FGHC: Trapecio (GH//EC)  AFGJ = AHJC  A BHFG = A GBC = 2 3 2a  Trazamos: (FT //BC)  ABC. (T.P.M.) BC = 2(FT) = 2a  FTG  GBH (L-A-L) FT = BG  a = 3m  ABHFG = A GBC = 2 3 2a = 2 3 6 = 9 m2 Clave: E 5. En la figura, las áreas de los triángulos rectángulos ADE y ABC miden 36 cm2 y 16 cm2 respectivamente. Halle el área de la región sombreada. D E F G H A B E C F G H A B E C b b 2a a  J 3  A) 24 m2 B) 28 m2 C) 20 m2 D) 22 m2 E) 30 m2 Solución:  Prop. (Ángulo común): c a bc ab S 36 x   b d cb dc S 16 x    cb ad S 16 S 36 x x   . . . (1)  ADE ~ ABC: d b c a   ad = cb  En (1): 2 x S 36 16 = 1  2 x S = 36  16 Sx = 24 m2 Clave: A 6. En un cuadrilátero convexo ABCD sus diagonales miden 10 m y 12 m. Si el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos mide 7 m, halle el área de la región cuadrangular ABCD. A) 24 6m2 B) 25 6 m2 C) 26 6 m2 D) 27 6 m2 E) 28 6 m2 Solución:  Unimos los puntos medios de los lados del cuadrilátero MQ = 5 MN = 6 (T. Puntos medios)  T. Herón (MNQ) AMNQ = 6 6  AMNPQ = 12 6 Prop.: AMNPQ = 2(12 6 ) = 24 6 m2 Clave: 7. En la figura, ABCD es un cuadrado, AD es diámetro y BCD es un cuadrante. Si BC = 6 5 m, halle el área de la región triangular AFD. B C F    A B C D E a b c d 16 Sx 36 A B C D M N P Q 10 12 5 6 7 A) 70 m2 B) 60 m2 C) 40 m2 D) 50 m2 E) 45 m2 Solución:  mAHD = 90°  CDO (Notable 53°/2)  mADH = 53°/2  AHD: DH = 12 AF = 10  DHF: FH = 4  AAFD = 2 1 10  12 = 60 m2 Clave: B 8. En la figura, T, P y Q son puntos de tangencia. Si AC = 2BT, halle la razón entre las áreas de las regiones triangulares ABP y CBT. A) 2 1 B) 2 C) 4 1 D) 1 E) 3 1 Solución:  ABP  BTC son suplementarios  Prop.:     a(a b) a(a b) S S 2 1 1 Clave: D 9. En la figura, O es ortocentro y C circuncentro del triángulo PQR. Si QO = QC = 4 m, halle el área de la región triangular PCM. A) 4 3 m2 B) 3 3 m2 A B C P T Q A B C D F H 3 5 O 3 5 6 5 6 5 5 3° /2 37°/ 2 53°/2 S2 A B C P T Q a + b a 2a b b a  180°  S1 Q C) 2 3 m2 D) 3 2 m2 E) 4 2 m2 Solución:  Prop.: PC = 4  T. Puntos medios: MN//PQ  NM = a  mPQH = mCMN mQPO = mCNM  PQO ~ NMC (AAA)  MC = 2  PMC (Not. 30°) PM = 2 3  APMC = 2 2  2 3 = 2 3 m2 Clave: C 10. En la figura, O y Q son centros de las circunferencias inscrita y exinscrita al triángulo ABC. Si AQ = QO y el área de la región triangular ABL es 12 m2, halle el área de la región sombreada. A) 14 m2 B) 16 m2 C) 12 m2 D) 10 m2 E) 13 m2 Solución:  T. Puntos medios: OS = 2r Q O A B C L B T b +c M O P Q H R C     4 2 2a N a 2 3 4  Prop. AABC = p  r 12 + AALC = p  r . . . (1)  a + 2b + c = a + c + 2d b = d  p = a + c + d . . . (2)  De (1) y (2): AALC + Sx = AAOS = AT  r = pr  AALC + Sx = 12 + AALC  Sx = 12 m2 Clave: C 11. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, P y Q son puntos medios, PB = 2 cm y mBPE = 30°. Halle el área de la región sombreada. A) 3 cm2 B) 2 cm2 C) 3 cm2 D) 2 cm2 E) 2 3 cm2 Solución:  Prop.: PE = 2( BEA) EQ = 2( CED)  As = 2 22sen120 As = 3 cm2 Clave: A 12. En la figura, AB = 20 cm, BC = 15 cm, BN = BQ = 5 cm y AM = AQ. Si AS = SN, halle el área de la región triangular ASM. A) 20 cm2 A B C D E P Q C M A B C D E P Q 15° 30° 15° 30° 15° 15° 2 2 2 2 2 2 B) 25 cm2 C) 30 cm2 D) 35 cm2 E) 40 cm2 Solución:  CM = 10  2 15 20 = 15 As  3 As = 30 cm2 Clave: C 13. En la figura, ABCD es un cuadrado y mDF = mFC. Si AF = 2  2 m, halle el área de la región cuadrangular ABCD. A) 1 m2 B) 2 m2 C) 4 m2 D) 3 m2 E) 5 m2 Solución:  AABCD = 2R2  CF = L8  (2R)2 = ( 2  2 )2 + (R 2  2 )2  R = 1  A = 2 m2 Clave: B 14. En la figura, ABC es un triángulo equilátero, M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente. Si MQ = QN, AQ = QR, AB // QR y BC // RS y AB = 6 cm, halle el área de la región sombreada. A B C D F B A C M N Q S 5 15 15 10 10 5 20 15 3As 5As 3As 4As 53° A B C D O F R 90° A) 3 2 31 cm2 B) 3 16 63 cm2 C) 3 2 9 cm2 D) 3 3 cm2 E) 4 3 cm2 Solución:  QRS: Equilátero  T. Mediana (AMN): 9 + 27 = 2a2 + 2 9 a = 2 3 7  AQRS = 4 a 3 2 = 3 16 63 cm2 Clave: B EVALUACIÓN Nº 10 1. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, mABH = 2mHBC, HC = 3 m y AH = 8 m. Halle el área de la región triangular AHB. A) 33 m2 B) 20 m2 C) 22 m2 D) 24 m2 E) 30 m2 Solución:  Trazamos BD: Bisectriz  DBC: Isósceles  DH = 3  T.B.I. (ABH): AB = 5k, BH = 3k  AH = 4k 4k = 8  k = 2 A B C M Q N R S A B C M N Q R S 3 60° 60° 60° 60° a 3 a 3/2 3/2 3 3 A H B D C  2 3k 5k 5 3 3 8   AAHB = 2 8  6 = 24 m2 Clave: D 2. En un triángulo ABC se trazan las alturas AR, BH y CS. Si los triángulos BSR y CHR son equivalentes y AB = 7 m, halle AC. A) 4 m B) 2 7 m C) 7 m D) 7 m E) 2 m Solución:  SBR ~ CRH  m = n  BHR: Isósceles  mRBH = mBHR =   ROHC: Inscriptible  mRBH = mOCR  BOC: Isósceles  ABC: Isósceles  AC = 7 m Clave: C 3. En la figura, DE// AC y EF// AB . Si el área de las regiones triangulares DBE y FEC son 9 m2 y 4 m2, respectivamente, halle el área de la región cuadrangular ADEF. A) 10 m2 B) 8 m2 C) 13 m2 D) 15 m2 E) 12 m2 Solución:  ABC ~ FEC (DE// AC ) c b 2 3 c b 4 9 2 2     c b S 4 S 9 x x     Sx = 6  A = 2Sx = 12 m2 Clave: E 4. En la figura, BM = MC, AP = 3PC y AM//PQ. Si el área de la región triangular ABC es 48 m2, halle el área de la región sombreada. A F B C D E B S S A B H C R S       O  m 7 n A F B C D E    9 Sx Sx 4 c b A) 2 5 m2 B) 3 4 m2 C) 3 5 m2 D) 2 7 m2 E) 2 3 m2 Solución:  AABP = 3(8A) = 24A  32A = 48 A = 2 3 m2 Clave: E 5. En la figura, O es circuncentro del triángulo ABC. Si AB = BO 2 m y HC = 6 m, halle el área de la región sombreada. A) 18 m2 B) 16 m2 C) 15 m2 D) 14 m2 E) 12 m2 Solución:   +  = 45°  DHC (Notable 45°)  A DHC = 2 6  6 = 18 m2 Clave: A 6. En la figura, ABCD es un cuadrado y POQ es un sector circular. Si OQ = 1 m, halle el área de la región cuadrangular ABCD. A) (2  3)m2 B) (2  3)m2 C) 2 (2  3) m2 D) 3 (2  3) m2 E) 2 (2  3) m2 Solución:  AOB: Equilátero A B C D O H 60° O A B C D P Q A B C M P Q 7A A 3a a 3b 4b A B C D O H     45° 45° 6 6 a 2 a a  OBC y OAD: Isósceles  mCOB =   mOCB =  mAOD =   mODA =   OBC:  +  + (90° + 60°) = 180°  = 15°  mCOD = 60° – 15° – 15° = 30°  a = 2  3  ACDAB = a2 = (2  3)m2 Clave: B Trigonometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 10 1. Si 1 cos14  cos42  cos56  KcosAcosBcosC, calcular K + A + B + C. A) 62 B) 49 C) 58 D) 64 E) 60 Solución: ii) 4 7 28 21 60 4cos7 cos28 cos21 2cos7 (cos7 cos49 ) 2cos7 (2cos28 .cos21 ) i) 1 cos14 cos42 cos56 2cos7 2cos49 cos7                             Clave: E 2. . sen6 sen2 sen6 sen2 , calcular 8 5 Si tg 2 2        A) 16 5 B) 4 3 C) 8 7 D) 16 3 E) 4 1 Solución: 6 0° O A B C D P Q  60°2    a a a a a a 1 16 3 2 8 5 1 tg 2 2 tg2 1 tg 2 ctg 4 tg2 2sen4 cos2 2cos4 sen2 sen6 sen2 sen6 sen2 2                               . . Clave: D 3. Simplificar la expresión sen4 cos13 . 2 1 cos 17 2      A) 0 B) sen17 C) cos17 D) sen13 E) cos4 Solución: 0 cos13 cos13 cos13 2 2cos 13 cos13 2 1 cos26 cos13 2 1 cos34 cos26 cos34 sen4 cos13 2 1 1 cos34 2 cos13 2 2cos 17 sen4 sen4 cos13 2 1 cos 17 2 2 2                                          . Clave: A 4. El ángulo        2 está en posición normal y P(–1 , 2) es un punto de su lado terminal. Evaluar la expresión 25(sen2  sen). A) 6 B) 5 C) 3 D) 7 E) 4 Solución: 4. 25 2 50 5 1 5 5 2 50 5 1 5 5 30 32 50 5 1 5 5 32 5 6 50 5 1 5 2 4 5 2 50 3 2 cos 2 4sen 2 50 3sen 2 cos 2 3 25(sen2 sen ) 25 2sen : P( 1 , 2) , d 5 2 3 3                                                                                                                                           Clave: E 5. Si , 2 7 sen 2 9 3cos 2 7 cos 2 9 sen      calcule el valor de la expresión cos7 cos5  cos3  cos. A) 2 B) 1 C) 0 D) – 1 E) – 2 Solución:   1 sen4 sen2 (2cos2 ) (2cos2 cos ) sen4 sen 2 2cos 4 (2cos2 cos ) 2cos4 (cos3 cos ) 2cos 4 cos3 2cos4 cos M (cos7 cos ) (cos5 cos3 ) … ( ) sen4 sen cos4 4 sen 2sen8 4 sen 2(2sen4 cos4 ) sen8 sen 3 sen8 sen 2 7 sen 2 9 3 2cos 2 7 cos 2 9 2 sen                                                                    Clave: B 6. Simplificar la expresión senxcos6x(2sen 7x 2sen 5x cos2x cos12x) sen 5x. 2 2 3     A) sen 7x 3 B) cos 7x 3 C) sen 7x 2 D) cos 7x 2 E) sen7x Solución: 2senxcos6x(sen 7x sen 5x sen7x sen5x) sen 5x senx cos6x(2sen 7x 2sen 5x 2sen7x sen5x) sen 5x senx cos6x(2sen 7x 2sen 5x cos2x cos12x) sen 5x 2 2 3 2 2 3 2 2 3             sen 7x sen 7x sen 5x sen 5x (sen7x sen5x) (sen 7x sen7x sen5x sen 5x) sen 5x 3 3 3 3 2 2 2          Clave: A 7. Para los ángulos ,  y  de un triángulo se cumple que 4sen  4sen8sen  0. Evaluar la expresión              2 tg 2 B tg . . A) 5 1 B) 2 3 C) 3 2 D) 2 1 E) 3 1 Solución: Del dato, sen  sen  2sen                                                    2 cos 2 2sen 2 cos 2 cos 2sen 2 cos 2 2sen Luego, … ( ) 2 2sen 2 cos   I                … ( ) 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2cos 2 sen 2 2sen 2 tg 2 tg 2 cos 2 sen 2 cos 2 sen 2 tg 2 tg III                                                                                                                                                         . . . Teniendo en cuenta (I), (II) se puede escribir 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2sen 2 sen 2 2sen 2 sen 2 . tg 2 tg                                                                               Clave: E 8. Si los ángulos 2    y     2 son coterminales, factorice la expresión sen2  sen2  sen2. A)  4sen.sensen B) 4cos.cossen C)  4cos.coscos D)  4cos.cossen E) 4sen.sensen Solución: 2k 2k ; 2 2 Del dato :                         Luego:                                                          4sen sen sen 2sen cos( ) cos( ) 2sen(2k ) cos( ) 2cos(2k ( )) sen sen2 sen2 sen2 2sen( )cos( ) 2sen cos 2sen sen sen cos( )    . Clave: A 9. Si x 2 3 Mctg cscx csc2x secx sec2x    , hallar el valor de M. A) sec2x 1 B) csc2x 1 C) sec2x D) csc2x 1 E) sen2x  cos2x Solución: x 2 3 (sec2x 1) ctg x 2 3 ctg cos2x sen2x sen2x 1 cos2x 2 x cos 2 3x 2sen 2 x xcos 2 3 2cos tgx tg2x cosxcos2x(senx sen2x) senxsen2x(cosx cos2x) senx 1 senx 1 cosx 1 cosx 1                                     Clave: A 10. De la siguiente relación , c sen2y b cos(x y) a cos(x y)     a + b  0, calcular . cos x seny A) a b a  B) a b b  C) a b c  D) a b a  E) a b b  Solución: sen2y c k … (3) cos(x y) b k … (2) cos(x y) a k …. (1)      Sumando (1) y (2) se tiene: 2cosx cosy (a b) k … (4) 2 cosx cos( y) (a b) k (a b) k 2 x y x y cos 2 x y x y 2 cos cos(x y) cos(x y) a k b k                               . . . Dividendo (3) y (4) se tiene: a b c cos x seny a b c 2cos x cos y 2seny cos y (a b) k c k 2cos x cos y sen2y       . . . Clave: C EVALUACIÓN Nº 10 1. Simplificar la expresión 4cos 2xsen6x 4sen2xcos 2x sen10x. 2 2   A) cos2x B) sen3x C) cos4x D) sen6x E) cos6x Solución: sen10x sen6x sen10x sen6x 2sen8xcos2x sen10x 2cos2x (sen8x sen4x sen4x) sen10x 2cos2x(2sen6xcos2x 2sen2xcos2x) sen10x              Clave: D 2. Si . C AB , calcular sen(Cx) sen(A x) sen(Bx) senx sen5x  sen9x  sen13x  A) 20 B) 28 C) 56 D) 14 E) 26 Solución: Sea E  senx sen5x  sen9x  sen13x 28 C AB Luego sen2x sen8x sen7x 2sen2x E 2sen8x sen7x E cos x cos15x (2sen2x) E cos x cos3x cos3x cos7x cos7x cos11x cos11x cos15x (2sen2x) E 2sen2x senx 2sen5x sen2x 2sen9x sen2x 2sen13x sen2x                   Clave: B 3. Simplificar la siguiente expresión: cos292 . cos337  sen(37530′ ) . cos(37430′ ) . A) 2 2 1 B) 4 3  1 C) 4 2 1 D) 4 2 1 E) 2 3 1 Solución: 4 2 1 sen1 2 1 2 2 sen1 2 1 (cos91 cos45 sen30 sen1 ) 2 1 (2cos68 cos23 2sen(15 30′ )cos(14 30′ )) 2 1 cos(360 68 ) cos(360 23 ) sen(360 15 30′ ) cos(360 14 30′ )                                             . . . Clave: C 4. Si  0, y (sen70  2sen50) sen  cos cos70, calcular el valor de la expresión     cos40 2sen( 50 ) . A) 4cos50° B) 3sen40° C) 2sen50° D) 2cos50° E) 2sen40° Solución: Del dato:       6 5 como 0 , ctg 3 2cos30 sen20 sen cos cos70 (sen50 sen10 ) sen cos cos70 2cos60 sen10 sen50 sen cos cos70 sen70 sen50 sen50 sen cos cos70                                            . . . . . .           E 4cos50 cos40 4sen50 cos50 E cos40 2sen100 Luego E Clave: A 5. Si 4      y E (sen sen ) (cos cos ) , 2 2         hallar el valor de E  2. A) – 2 B) 2 C)  2 D) 2 E) 1 2 Solución: Como 2 2 E  (sen  sen)  (cos  cos) Clave: D