MATEMATICA PREUNIVERSITARIA EVALUACION RESUELTA PRE SAN MARCOS 5 PDF

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Aritmética
1. En una división, el residuo por exceso es la quinta parte del divisor. El menor número que se debe sumar al dividendo para que el cociente aumente en 3 unidades es 55; además se sabe que, al multiplicar el dividendo de esta operación por 5, la division es exacta y el cociente aumenta en 40 unidades. Hallar la suma de cifras del dividendo.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
Solución
D, q , d=5a  Re = a  Rd = 4a
 D = 5aq + 4a
D + 55 = 5a (q+3)  5aq + 4a + 55 = 5aq +15 a  a = 5
5D = 25(q + 40)  5(25q + 20) = 25(q + 40)
 (25q + 20) = 5q + 200
 20q = 180  q = 9
 D = 245 suma de cifras 11
Clave: A
2. Si se divide 898xy por z se obtiene 79, 63 y 2 como residuos parciales; ¿cuál
es la suma de cifras del cociente?
A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) 14
Solución
coef :9 8 7 24
2
637 y 9
63y x 1
728
79x
819 987
898xy z 91
   



Clave: A
3. Si
O
xyzw  15 y
O
yxwz  44 además z > w, hallar el menor valor de
(x+y+z+w).
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Solución
xyzw 5 w 0 w 5
yxzw 3
xyzw 15 xyzw 3 x y z w 3
    
 
      
yxwz 11
xywz 44 yxwz 4 wz 4

   
Además, xywz  33  yx  wz  33
 Si w= 0: 0z  4  z  4
yx  wz  33
62 4 66
29 4 33
95 4 99
 Si w = 5: 5z  4
52 No (z > w)
56
yx  wz  33
10 56 66 No! Pues x  0
43 56 99 no es el menor
Clave: A
4. Determine el residuo de dividir el producto de los 100 primeros números
primos por 60.
A) 30 B) 27 C) 35 D) 24 E) 16
Solución
R 30
P 60 30
4 2 4 30
P 5 5 30
3 3
P 2 3 5 7 . . .
Se sabe: 60 2 3 5
o o
o o
0 o
2
x x x x
x x

  
 
 



Clave: A
5. Determine el residuo por exceso luego de dividir  471 67996 por 17.
A) 16 B) 13 C) 6 D) 4 E) 1
Solución
 
 
RE 13
17 R 17 4
17 R 17 17 1 . 4
17 17 4 17 R
17 4 17 R
17 4 17 R
67996 17 R
235
235
471
471
471

  






   
  





 
  
  
 
 
  
  
 


Clave: B
6. Si
o o
7m9nr  77 y mn5  25 , además n es par, halle el menor valor de
(m+n– 5).
A) 3 B) 2 C) 0 D) 6 E) 5
Solución
m r 3 m 3
11 r m 3 11
7 r m 3 7
7m9nr 77
7 75 No
2 25 Si n es par
mn5 25 n5 25
O O min
O O
O
O O
    



   
   
 
  
el menor valor de m + n – 5 = 3+2-5 = 0
Clave: C
7. Determine el residuo que se obtiene al dividir 8aabb por 11. ab2
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Solución
R 9
8 11 R 8 11 9
8
8
11 R 8
11 8 11 R
8aabb 11 R
r 2
ab2
10 r
ab2
ab2
ab2

      
 
  




 
  

 


Clave: A
8. ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras diferentes son múltiplos de 66?
A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12
Solución
total 12# s
a 8 b 1 ; 4 ; 7 3# s
a 6 b 0 ; 3 ; 9 3# s
a 4 b 2 ; 5 ; 8 3# s
a 2 b 1 ; 4 ; 7 3# s
abba 66
   
   
   
   

Clave: E
9. Si se convierte  102  4 3 a base 11, ¿cuál es la cifra de primer orden?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución
 
 
11 3 11 x x 3
11 1 11 3 11 x
11 x .36 11 x
4 3 .3 11 x
4 3 11 x
20
5 20 2
102
    
   


 


  


 



   


 



 
 
 
  
 


Clave: C
10. De la sucesión: 5; 9; 13; 17; . . . ; 1041, ¿cuántos términos son
o
5 + 2?
A) 26 B) 36 C) 48 D) 52 E) 62
Solución
1 52
5
259 4
#n
n 4 ; 9 ; 14 ; . . . ; 259
4n 5 1
pero 4n 1 5 2
n 260
an 4n 1 1041
5 ; 9 ; 13 ; 17 ; . . . ; 1041
1
1
 



 
  

  


Clave: D
11. Determine el resto de dividir 33 36 39 1011 25  32  39  . . .  2307 por 7.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Solución
1 327
7
2307 25
n
25 ; 32 ; 39 ; . . . ; 2307
 


 
s 7 5 R 5
s 7 327 1
a 7 4 7 1
pero
n
n
3
n
   
 
  





 




Clave: D
12. Si xyx n x y  y n 7 4
o
    , además (x + y) toma el menor valor posible, halle
el valor de n.
A) 87 B) 88 C) 75 D) 85 E) 49
Solución
 
 
 
 
 
n 88
88 7 4
616 7 88
xyx 7 4 x y
Luego
x y 7
6 x y 7
97x 6y 7
xyx 7 4 x y
xyx n x y

 

 







 
 
 
 
 







 
 





Clave: B
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN Nº 5
1. Al realizar una división inexacta observamos que el residuo por defecto y por
exceso están en la relación de 4 a 9 y que el divisor es el menor múltiplo de 5.
Calcular el dividendo sabiendo que es el menor número de cuatro cifras.
A) 1030 B) 1050 C) 1060 D) 1080 E) 1090
Solución
D 6516  20 1060
q 16
D 65q 20 1000
d 13k 65
R 4k ; Re 9k
  

  
 
 
Clave: C
2. Halle el residuo al dividir 2 3 ,     . 100 E por 7 donde E 1×8 2×8 3×8 + . . . 100×8
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Solución
 
r 3
E 7 1 7 2 7 3
E 7 1 50 51
E 7 1 2 4 6 . . . 100
pero : 8 7 1
E 1 8 2 8 3 8 . . . 100 8100
x
3
x
2
x x

     
  
      
 
    
  



Clave: B
3. En la siguiente sucesión: 86; 129; 172; 215; . . . , ¿cuál es el menor múltiplo de
22 de cuatro cifras?. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 20 B) 18 C) 16 D) 12 E) 10
Solución
n 22, . . .
an 43n 43 1000
86 ; 129 ; 172 ; . . .

  
 
 
suma cifras 20
an 43 44 1892
Luego :n 43
Luego : 43 n 1 22

 

 

Clave: A
4. Determine la suma de cifras del número abcd que es múltiplo de 13, siendo la
cifra b la mayor posible y cd  3 ac  6 .
A) 17 B) 16 C) 15 D) 13 E) 12
Solución
sumas de cifras 1 6 5 1 13
b 6
1b51 13
a 2 ; c 9 ; d 3
a 1 ; c 4 ; d 8
a 1 ; c 5 ; d 1
7c d 30a 6
cd 3.ac 6
abcd 13
    

 
  
  
  
  
 



Clave: D
5. Si b  4  1x0y pqr , además ba02a 13 9
o
ab
  , halle el máximo valor de (a + b).
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 11
Solución
   
a b 8 3 11
a 8
3 13 9
13 3 13 9
3a02a 13 9
1 b 4 b 3
Además ba02a 13 9
1x0y pqr
a3
a3
a3
ab
b 4
   

 
  








  
   
 


 

Clave: E
6. Si
o o
2abc  17 4 , además abc8 x  17 , halle el mínimo valor positivo de x.
A) 11 B) 12 C) 16 D) 8 E) 9
Solución
17 11 abc 17 4
2abc 17 4 ,
   
 
 

x 11
17 6 x 17
10 17 10 8 x 17
Luego : abc8 x 17
abc 17 10

  
   






 
 
 
 


Clave: A
7. Si 23 5 2
o
n   , donde n es un número de dos cifras, halle la suma del mínimo y
máximo valor de n.
A) 112 B) 110 C) 108 D) 114 E) 118
Solución
suma 110
n 11 y 99
n 4 3
3 5 1
3 5 2
3 5 4 3 3
3 5 3
3 5 2
23 5 2
4
3
2 4 r r

n
n


  
 
 
   
  
 
 








Clave: B
8. Halle el resto de dividir 471 5 por 13.
A) 1 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
Solución
 
13 8 13 r r 8
13 1 .5 13 r
5 5 13 r
5 13 r
235
2 235 1
471
    
  








 
 
 
 



Clave: C
9. En una división entera al residuo le falta  unidades para ser máximo. Pero si
le restamos  unidades se hace mínimo. Si el dividendo es 368 determine la
suma del cociente y divisor.
A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
Solución
 
 
R d 1
2R d
R d
D dq R 368 2R q R 736 2dq d
736 d 2q 1
d 32
d q 43
q 11
    
 
   
       
  
 
   
 
Clave: D
10. Si 364 9 x
o
22742x
  , halle el mayor valor de x.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 7
Solución
x 7
4 9 x
4 9 x
42x
1
4 9
4 9 7
4 9 x
9 4 9 x
364 9 x
42x
42 x
42x
2
(3 2)
3
2
1
227
227
 
 
  









 
 
 
  








 






 


Clave: E
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Si el polinomio p x  nx nx   x 1 15x 15 2n 2 2
2       es tal que la suma de
sus coeficientes es el doble de su término independiente y
   










      

  4 5
3m
m 7 2m 2 h x x a 1 m 2 x 4x mx ax es un polinomio con
coeficiente principal 1, halle 2n + m + a.
A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6
Solución:
   
  
 
2n m a 10.
iii) coef principal a 1
2 m 7 m 4 m 4
4
m
ii) En h x : 7 m 0 , m 2 0 ,
2n 5
2 2 1 15 32 2
i) p 1 2p 0
0
0
2n 2n 5
   
 
      
    
 
    

 Z
Clave: B
2. Si el polinomio   2 n 4 m 3 9 n 3 m 2 p x,y z x y z x y       es tal que su grado absoluto
es 12 y GRxp x,y    3GR y p x,y  , halle el grado absoluto de
   n 1   n n 1 2 2
q x,y nx y n 1 x y      .
A) 30 B) 33 C) 35 D) 37 E) 39
Solución:
   
 
GA q x,y   37.
ii) q x,y 5x y 4x y
m 0 n 5
n 3m 5
n m 5
i) En p x,y :n m 7 12 n 4 3 m 3
36 5 26
 
 
   



 
 

      
Clave: D
3. Sean p(x) y q(x) polinomios tales que el grado del polinomio
p  x  q  x  es 23 y el de p  x  q x  es 10 5 2 2 , halle el grado del polinomio
q (x).
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Solución:
       
Gr q x   4.
n 3 m 4
2n m 10
5n 2m 23
Sean n Gr p x y m Gr q x
 
   
 
  
 
Clave: E
4. Si los polinomios   2   2 2b b 1 p x 1 x x 8 y q x x a 1 x 2 2           son
idénticos, halle el grado absoluto del polinomio
r  x,y  5 x y 3x y x y ; a 2. a 1 2b a 3 b 1 2a 1 b 3         
A) 5 B) 3 C) 7 D) 6 E) 4
Solución:
     
 
  
     
 
 
G.Ar  x,y   6.
r x,y 5 xy 3x y xy
iii) En r x,y , para a 2
a 2 a 0
a 1 1
1 a 1 2 2 10
ii) q 1 p 1 p 2 1
2 4 2 2 0 b 2
2 2 2 8 0
2 2 8
i) q 0 p 0 p 1 1
4 3 5
8
2b b 1
b b
2b b
2b b 1
 
   

   
  
     
  
     
   
  
  



Clave: D
5. Sean los polinomios p x  2x 5x 4x 1 3 2     y
qx  ax b  cx d  k ; k 1 c a      . Si p x  q x  es un polinomio nulo,
halle a c .
1 k
b d c a
c a









A) – 1 B) 2 C) 1 D) – 2 E) 4
Solución:
   
   
     
     
       
      
  a c 1 2  2.
1 k
b d
a .c 2
a 2 c 1 q x 2x b x d k p x
a .c 2
a 1 c 2 q x x b 2x d k p x
a 3 c 0 q x 3x b d k p x
a 0 c 3 q x b 3x d k p x
ii) a c 3
1 k b d
i) p 0 q 0 1 b d k
p x q x
c a
c a
c a
2
c a
2
0 a
c 0
c a
c a
 


 
        
 
        
       
       
 
  
   

Clave: B
6. Si el polinomio homogéneo       b a 1 bba a 1 ab2b ba 2 p x,y,z 5x 6y 5z
      es
tal que b y a  1, halle el valor de a  b  Z .
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Solución:
   
   
   
   
   
 
a b 5.
a 0 a 3 a 1 a 3 ; b 2
a 1 b a 2a 1 a 3a 0
a 1 b
de i : a 1 b b b
de ii : a 1 b a 1 b
i ii
a 1 b a 1 b b ; b ; a 1
2 2 2
b 2 b
b a a 2b
a a
b a a 2b a 2b
  
        
        
  
 
    
        Z
Clave: D
7. Si el polinomio   4 2n 2m 4 3   2m 5 9 p x,y mx y nx y m n 5x y       es ordenado
respecto a las variables x e y, halle el mayor valor de 2m + n.
A) 8 B) 7 C) 5 D) 9 E) 6
Solución:
mayor valor de 2m n 8.
ó n 1
2
1
n 0 , n
0 2n 3 2n 0 , 1 ó 2
ii) Para y : 2n , 3 , 9 creciente
5 2m 8 2m 5 , 6 ó 7
8 2m 2m 5
4 2m 4 2m 5 ; 2m 4 0 2m 5 0
i) Para x : 4 , 2m 4 , 2m 5 decreciente
  
   
    

   
  
         
  
Clave: A
8. Si   2c c 1 b 5b a 2 2 2 2
p x . . . x x x x         es un polinomio completo y
ordenado; donde    a,b,c  Z , halle el valor de b a . c 
A) – 5 B) 2 C) – 3 D) 4 E) 0
Solución:
 
 
b a 3.
* a 2 b 5b 1 a 9 a 3
* b 5b c 2 b 5b 6 0 b 6
ii) * c 1 2c 1 c 2
p x es ordenado creciente
c 1 2c
i) 2c c 1 c 1 c 1 0
c
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
   
       
        
    

  
      
Clave: C
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Sea el polinomio p x   x  4x  3x 13 tal que pr  21 y rZ 3 2 . Si
    1 r r 5 3 q x  r  2 x  2r  6 x  r   es tal que su grado es m, halle el valor de
q0  q1m.
A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 3 E) 5
Solución:
 
    
8  1 4  2  r 1
8 r r 4r 3 r r 3 r 1
i) 21 p r r 4r 3r 13 ; r
2
3 2
       
      
       Z
     
q 0  q1 m 5.
ii) q x x 2x 1 m 4 , q 0 1 , q 1 2 2 4
   
       
Clave: E
2. En el polinomio   n 4  n 5  1 8 n
9
n 4 n 3 3 y x
n 5
2
p x,y y x x y
2      

   , halle la
suma de cifras de 2(n+1).
A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9
Solución:
 
   
 
cifras de 2n 1 7.
n 7 2 n 1 16
4 n 8 n 6,7,8 n 4 div 9
n 4 0 , n 3 0 , n 4 , n 5 , n 4 div 9 ; 8 n 0
  
    
       
         
Clave: A
3. Si el polinomio
  2m n 1 2n a m 2a 2m n 2n a 1 m 2a 1 2m n 1 2n a 1 m 2a p x,y,z 4x y z 5x y z 6x y z                 
es tal que GR p x,y,z   5, GR p x,y,z   4 y GR p x,y,z   3 x y z    ,
halle m n a . 2 2 2  
A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 18
Solución:
 
 
 
   
 
   
 
m n a 14.
En 2 : a 1
n 2 , m 3
iii) de 1 4 : 2m n 4 8n 2m 10
4n m 5 . . . 4
ii) de 2 3 : 4n 2a 6 2a m 1
3 m 2a 2 2a m 1 . . . 3
4 2n a 1 2n a 3 . . . 2
i) 5 2m n 1 2m n 4 . . . 1
2 2 2    

  
     
  
      
     
     
    
Clave: C
4. Sean p(x) y q(x) polinomios tales que el grado del polinomio
   
 
q x 
p x
p x q x es 19 y del polinomio
2
5 2 es 4, halle el grado de q (x).
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Solución:
       
9n 27 n 3 ; m 2.
2n m 4 4n 2m 8
5n 2m 19 5n 2m 19
Sean gr p x n y gr q x m
    
  
   
 

 

 
Clave: E
5.          2
2 2 2 2
2 2 2
Si p x, y, z  x  z  y  w  2 xz  yw  x  y  z  w
   
halle el valor de m 4n .
m xz yw n xw yz es un polinomio identicamente nulo; donde w 0,
3 2
2 2

    
A) – 16 B) – 2 C) – 128 D) – 81 E) – 48
Solución:
                  
       
      
   
 
 
 
m 4n 128.
En :m n 0 m n 4
m n 8
w 0 m n 8 0 w 0
w 8 m n 0
Además p 1,1,0 8w mw n w 0
m n 8 w 1 2w m n 0 . . .
p 1,1,1 8 1 w m 1 w n w 1 0
p x ,y,z 4 x y z w m xz yw n xw yz
p x ,y,z x z y w x y z w m xz yw n xw yz
3 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2    
      
   
       
   
   
       
       
      
           
Clave: C
6. Si los polinomios    2    2 2 p x  x  a  ax  b y q x  mx b  a son
idénticos, halle el mayor valor de ab + m ( a + b ).
A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 3 E) 5
Solución:
   
* 2mb a
* m 1 m 1 m 1
* a b a b b b b 0 b 1
p x x ax a b m x 2mbx a b q x , entonces
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

     
        
        
 
 
ab m a b  0 , 5 ó 1.
Si m 1 a 2b b 0 a 0 ; b 1 a 2
Si m 1 a 2b b 0 a 0 ; b 1 a 2
    
           
        
Clave: E
7. Si p (x , y) es un polinomio homogéneo de grado 3 tal que p (3 , – 6 ) = 2 , halle
el valor numérico de p (– 6 , 12 ).
A) 2 B) – 16 C) – 8 D) 12 E) – 4
Solución:
 
            
             
8p3, 6 16.
p 6,12 8 a 3 b 6 c 3 6 d 3 6
2 p 3, 6 a 3 b 6 c 3 6 d 3 6
p x,y ax by cxy dyx
3 3 2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
    
        
        
   
Clave: B
8. Sea el polinomio p x  n 2 x n 3 x n 4 x . . . n 9 n 8 n 7           completo
y ordenado. Si m es el número de términos de p(x), halle el valor de
GR p  x   m. 2 
A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 16
Solución:
 
         
 
 
 
         
GR p  x   m 12 7 19.
y GR p x 6 GR p x 2 6 12
p x 7x 6x 5x . . . x m 7
como p x es completo
p x 7x 6x 5x . . . x 0x x . . .
p x n 2 x . . . n 8 x n 9 x n 10 x . . .
n 9 0 n 9
p x es completo y ordenado creciente
2
2
0 2 6
0 2 6 7 8
n 9 n 3 n 2 n 1
    
   
       
        
          
    
   
Clave: D
Geometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 5
1. En un trapezoide ABCD, mBAD = 90°, mABC = mBCD y mBDA = mCDB. Halle
mCBD.
A) 30° B) 45° C) 75° D) 36° E) 60°
Solución:
 BCD:
x +  +  = 180° . . . (1)
 ABCD:
2 +  +  + 90° = 360°
 +  = 135° . . . (2)
 (2) en (1):
x = 45°
Clave: B
2. En la figura, BPQC es un trapezoide simétrico, AC = PQ y BC < CQ. Halle mCQP. A) 40° B) 50° C) 60° D) 80° E) 30° Solución:  ACB  QPB (LAL)  mBQP = 30°  = 30°  mCQP = 2  mCQP = 60° Clave: C 3. En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B), AC = 8 m y mBCA = 2mADB. Halle la distancia entre los puntos medios de AC y BD . A) 8 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 4 m A B C D     x 110° A B C P Q 110° 40° 110° A B C P Q 110° 40° 30°   Solución:  ABC: BM Mediana  BM = 4  ABCD: Trapecio  MN// AD  BMN: Isósceles  x = 4 m Clave: E 4. En un trapecio ABCD, AD es la base mayor, N y M son puntos medios de CD y BN, mMAD = mCDA = 2mCBN y BC = 4 m. Halle AM. A) 8 m B) 6 m C) 5 m D) 9 m E) 4 m Solución:  BCN: Isósceles  BC = CN = 4  ML // BC  CL = LN = 2  AMLD: Trapecio isósceles  x = 6 m Clave: B 5. En un trapecio ABCD (BC// AD ), las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersecan en un punto de la mediana del trapecio. Si la mediana del trapecio ABCD mide 12 m, halle el perímetro del trapecio. A) 46 m B) 52 m C) 60 m D) 48 m E) 36 m Solución:  Dato: a + b = 12  MN//BC// AD y BC + AD = 24  BMQ: Isósceles  BM = a  CNQ: Isósceles  CN = QN = b  2p = 48 m Clave: D A B C D M x N  2   4        A B C D M N Q a a b b a b A B C D M L N x   2 2 2 4 2 2 2 4 6. En un paralelogramo ABCD, Q es un punto de la prolongación de DA, mBQA = 100°, BD = 2BQ y AC = 2AQ. Halle la medida del ángulo agudo determinado por AC y BD . A) 80° B) 40° C) 100° D) 50° E) 70° Solución:  ABCD: Paralelogramo  PB = PD = b CP = AP = a  AQB  CPD (LLL)  mCPD = 100°  x = 80° Clave: A 7. En la figura, O es el centro del cuadrado ABCD, PBQT un paralelogramo, CT = CQ y DT = 12 m. Halle AH. A) 7 m B) 6 m C) 4 m D) 5 m E) 8 m Solución:  AMB  DTC (ALA)  BM = CQ  6 + x = 12 x = 6 m Clave: C A B C D M H O P Q T 100° x a a a b b b A B C D P Q 100° A B C D M H O P Q T   x   12 12 6 8. En un trapecio ABCD, AD es la base mayor, las diagonales son perpendiculares, mBAD = 2BDA y BC + AD = 8 m. Halle AB. A) 5 m B) 8 m C) 4 m D) 6 m E) 2 m Solución:  Dato: 2a + 2b = 8 a + b = 4  ABNM: Trapecio isósceles x = a + b x = 4 m Clave: C 9. En la figura, ABCD es un rombo y AB = 2CH. Halle mHAD. A) 15° B) 16° C) 20° D) 18° E) 12° Solución:  ABCD: Rombo  mBAC = mCAD = 2  ABCQ: Trapecio isósceles  mCQA = 4  AHQ:  + 4 = 90°  = 18° Clave: D A B C D H  3 a B C A M D x 2 2   N a a b b b A B C D H   2 4 a a Q 2a 2a 10. En la figura, ABCD es un paralelogramo, AB = BP y BC = CQ. Halle mBCP. A) 10° B) 20° C) 25° D) 40° E) 18° Solución:  ABCD: Paralelogramo  BP = CD y mABC = 90° +   PBC  DCQ (LAL)  mDQC = x  DHQ: x = 20° Clave: B 11. En un trapezoide ABCD, el ángulo agudo determinado por las bisectrices de los ángulos BAD y BCD es congruente con el ángulo CDA. Si mCDA = 50°, halle mABC. A) 140° B) 100° C) 160° D) 150° E) 100° Solución:  En Q:  +  + 50° + 50° = 180°   +  = 80°  ABCD: x + 2 + 2 + 50° = 360° x + 2(80°) + 50° = 360°  x = 150° Clave: D A B C D P Q 70° A B C D P Q 70°  x  x 70° H A B C D  50°  Q x 50°      50° 12. En la figura, ABCD y PCQR son cuadrados. Si QT = 2 m y PB = 3 m, halle mCTQ. A) 45° B) 60° C) 75° D) 30° E) 50° Solución:  PBC  QDC (LAL)  DQ = 3 y mCDQ = 90°  QDT: Notable de 30° y 60° x = 60° Clave: B 13. En la figura, PQ = 3 m y MN = 5 m. Halle BH. A) 10 m B) 6 m C) 7 m D) 9 m E) 8 m Solución:  Trapecio PQNM: OH = 2 3  5 = 4  PBMH: rectángulo  OB = OH = 4  BH = 8 m Clave: E A B C D P Q R T A B C M N P Q H A B C D P Q R T   x 2 3 3 A B C M N P Q H 3 5 O 14. En la figura, ABCD es un rombo, AQ = AD, CE = 4 m y AE = 10 m. Halle BE. A) 5 2 m B) 5 m C) 3 2 m D) 4 2 m E) 3 m Solución:  ABCD: Rombo  BD  AC  BOE: x = 3 2 m Clave: C EVALUACIÓN Nº 5 1. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersecan en un punto Q de AD y los triángulos ABQ y DQC son congruentes. Si mBAQ = 80°, halle mBCQ. A) 50° B) 60° C) 40° D) 80° E) 70° Solución:  Dato: ABQ  DQC  mBAQ = mCQD y BQ = CQ  ABCD: 80° + 80° + 2 + 2x = 360°   + x = 100°  x = 50° Clave: A A B C D E Q   x 4 3 O 7 45° 90° 2  45°  A B C Q D   x x 80° 80° 80° A B C D E Q 2. En un trapecio isósceles ABCD, AD es la base mayor, Q es un punto de CD, mQDA = 4mQAD, ABCQ es un trapezoide simétrico y AB > BC. Halle mQAD.
A) 18° B) 20° C) 16° D) 15° E) 22°
Solución:
 ABCD: Trapezoide simétrico
 mABC = 5
 ABCD: Trapecio
5 + 4 = 180°
 = 20°
Clave: B
3. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles y AC = QD. Halle mQBC.
A) 20°
B) 40°
C) 15°
D) 25°
E) 30°
Solución:
 ABCD: Trapecio isósceles
 BD = AC
 BDC  QDC (LAL)
 BC = CQ
 BCQ: x + x = 40°
x = 20°
Clave: A
40°
 
A
B
C
D
Q

3
5
5
4
Q
A
B C
D
40°
 
A
B
C
D
Q

x
x
40°
4. En un rombo ABCD, la mediatriz de BC interseca a AC en P, la prolongación
de DP interseca a BC en Q y mPQC = 2mBCP. Halle mCAD.
A) 60° B) 30° C) 54° D) 40° E) 36°
Solución:
 T. Mediatriz
BP = PC
 BAP  DAP (LAL)
 mAPD = 2x
 En P: x + 2x + 2x = 180°
x = 36°
Clave: E
5. En un paralelogramo ABCD, Q es un punto de BC y M es punto medio de BD ,
QD = 2AM y mBAQ = 20°. Halle mBQA.
A) 70° B) 60° C) 80° D) 40° E) 50°
Solución:
 ABCD: Paralelogramo
 AM = MC = a
 AQCD: Trapecio isósceles
 AQ = CD
 BAQ: Isósceles
 x = 80°
Clave: C
20°
x
a
a
M
A
B C
D
2a
Q
A
B C
D
Q
x
x
x x
x P
2x
2x
2x
x
6. En la figura, ABCD es un paralelogramo, AP = CD y BC = CQ. Halle mDPQ.
A) 30°
B) 75°
C) 36°
D) 60°
E) 45°
Solución:
 PAD  DCQ (LAL)
PD = DQ
 PDQ: Isósceles
x = 45°
Clave: E
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 5
1. El ángulo  está en posición normal y el punto   g P 4 cos300º , 5 sen300
pertenece a su lado terminal. Evaluar la expresión
sen cos
4 5
sen cos
  

  
.
A) 8 B) 7 C) 9 D) 8 E) 9
Solución:
 
: P 2 , 5 , d 3
P 2 , 5
  


Luego, si E es el número buscado, 4 5
3
2
3
5
3
2
3
5
E 





E  9  4 5 4 5  9.
Clave: E
A
B C
D
P
Q
x
90°  90° 
180° x


x
x  
A
B C
D
P
Q
2. Si sen  sen y
1
cos
2
  , hallar el valor de 3 tg .
A)  3 B) 3 C) 2 D) 1 E)  3
Solución:
Como sen  sen y cos  0, entonces  IVC
3 tg 3
tg 3
   
   
Clave: A
3. Si  y  son ángulos coterminales, calcular la siguiente expresión
tg2 2 30º sen csc
4 4 60º
cos
2
      
     
 
 
.
A)
21 3
3

B)
31 3
2

C)
1 3
3

D)
3
2
E)
3
3
Solución:
  y β son ángulos coterminales, entonces  – β = 360° n, n  Z
   
3
2 1 3
3 3
2 1 3
2
3
1
3
1
cos30
tg(30 ) 1
E
2
4( ) 60
cos
tg(2( ) 30 ) sen .cso
E
RT( ) RT( )






°
° 






     °
    °   

   
Clave: A
4. Sean  y  ángulos coterminales y    270º . Si 0    3, hallar la suma de
las posibles medidas de  .
A) 990º B) 895º C) 955º D) 900º E) 945º
Solución:
Tenemos     360° n , nZ    360° n y   270°   ,
entonces 270°      360° n  2  360° n  270°
   180° n  135°
°
    °
    °
    °
945
n 2 495
n 1 315
n 0 135
Clave: E
5. Con los datos de la figura, determinar el valor de
 
 
sen 90º cos
10 tg 90º
   

.
A) 2
B) – 2
C)
1
2
D) – 3
E)
1
3
Solución:
Sea
10 tg(90 )
sen( 90 ) cos
M
°
  °  

Notemos
3
tg(90 ) tg ( 90 ) 3
10
3
cos
10
3
sen( 90 ) sen(90 )

 °     °  
   
 
   °   °  
Luego 2
10 3
10
6
M  


.
Clave: B
y  1 , d 3 , x  2 2
6. Con los datos de la figura, calcular sen  sen.
A)
2
5

B) 0
C)
5
4
D)
1
2

E)
1
3
Solución:
5
2
5
1
5
1
sen sen
Luego:
5
1
sen
sen
5
1
cos cos(90 ) sen
90
       
 
  
  °    
  °  
Clave: A
7. Sea  un ángulo en posición normal tal que sen  2sen  1 y 2 ctg cos  0 .
Calcular csc  2 2 sec.
A) 6 B) 0 C) 3 D) 1 E) 3 2
Solución:
M csc 2 2 sen 0
3
1
3sen 1 sen
ctg cos 0 cos 0
2sen sen 1 0 sen 0 IVC
2
    
      
     
          
Clave: B
8. El trapecio ABCD, de la figura, tiene área igual a   2 38  8ctg12º u y las coordenadas
del punto B son 10sen150º , 8cos 60º . Calcular la suma de las coordenadas
del vértice C.
A) 18
B) 16
C) 17
D) 19
E) 20
Solución:
C(13 ,4) 13 4 17
z 8
38 8ctg12 4z 6 8ctg12
4
2
z 3 z 4ctg12
Área (ABCD)
  

 °    °
 


 

    °


.
Clave: C
9. De acuerdo a la figura, hallar csc ctg.
A)
2
5
B)
3
4

C)
1
5
D)
1
3

E)
1
4
Solución:
3
1
3
4
3
5
ctg csc    


 


      
Clave: D
10. En la figura, la circunferencia es tangente al eje Y y su diámetro OA mide 4 u,
calcular el valor 34sen 30tg , T es punto de tangencia.
A) 32
B) 32
C) 0
D) 30
E) 30
Solución:
E 32
15
8
30
17
8
E 34
E 34sen 30tg
15
18
tg2
4
1
Como tg
 
 


 


  


 


 
   
    
Clave: B
EVALUACIÓN Nº 5
1. Con la información dada en la figura, calcular el valor de 2tg  3tg.
A) 6
B) 4
C) 5
D) 3
E) 8
Solución:
5
3
2
3
2
3
2tg 3tg 2
2
3
2
3
tg
tg
3
2
ctg







 





   



 
   
Clave: C
2. Sean  y  ángulos coterminales tales que 2 20tg  13tg 15  0 , cos  0 y
tg  tg . Calcular el valor de la expresión 3 34 cos  csc .
A) 19 B) 21 C) 17 D) 19 E) 17
Solución:
IVC
Tenemos cos 0 , tg tg cos 0 tg 0
  
           
4
5
, tg
5
3
tg
(5tg 3)( 4tg 5) 0
20tg 13tg 15 0 2


  
    
    
19
3
34
34
5
3 34
3 34 (cos csc )
Luego,
 








 
  
Clave: D
3. De acuerdo a la figura, calcular   2 sec   2tg  ctg   .
A) 4 B) 3
C) 2 D) 1
E) 0
Solución:
E 2 ctg90 4
E ( tg 1) ctg( )
E sec 2tg ctg( )
2
2
2
  ° 
      
       
Clave: A
4. Si cos  0, tg  0 , tg  2 y
3
cos
5
   , calcular el valor de la expresión
5 sec tg 5 sen cos
cos sen sec csc
    
   
.
A)
118
15
B)
5
118
C)
118
3
D)
3
118
E) 1
Solución:
 
Como cos 0 y tg 2 , entonces IVC
3
Como tg 0 y cos , entonces IIIC
5
4 2 3
5 5 5
5 sec tg 5 sen cos 3 5 5
M
cos sen sec csc 1 1
118
15
      
      
       
      
          
 
   

.
Clave: A
5. En la figura ABCD es un cuadrado. Calcular el valor de 40sen  cos ,
si AMMNNB.
A)  4 10
B) 4 10
C) 8 10
D)  8 10
E) 6 10
Solución:

Clave: D