MATEMATICA PREUNIVERSITARIA EJERCICIOS RESUELTOS 9 PDF

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Aritmética
1. Si 0,abcdef
n
m
 es irreducible y m + n = 87, hallar el valor de
(n – m + a + b + c).
A) 75 B) 83 C) 92 D) 64 E) 58
Solución

CLAVE: B
2. Determine la suma de las dos últimas cifras del periodo del número decimal
generado por la fracción

 , calcule el mayor valor de (a + b + m + n).
A) 20 B) 19 C) 17 D) 18 E) 16
Solución
(7) (7) (7)
(7)
(7) (7)

CLAVE: D
5. Si 0, (a – 1) (b – 2)(6) + 0,b(a + 1)(6) = 1,3(6) , hallar el valor de (a + b).
A) 9 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6
Solución

Simplificando a + b = 9
CLAVE: A
6. Si la fracción irreducible 4 x
pqr
f
5 109484
 genera un número decimal periódico
mixto de la forma  
mcifras n cifras
0, x…y a… z , determine el valor de (m2 + 2n).
A) 65 B) 56 C) 31 D) 51 E) 29
Solución
5 x 2 x 101x 271
pqr
f
4 2

m =  cifras no periódicas = 4
101C 9999
271C 99999  n = MCM (4, 5) = 20 ,  42+ 2(20) = 56
CLAVE: B
7. La fracción a,(b 1)
c
ab
f    es irreducible, ¿cuántas fracciones cumplen esta
condición?
A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 4
Solución
C = 3 o 9
1°) Si C = 3  21a + 2b = 1 (absurdo)
2°) Si C = 9b  a 1 , “b” se anula,
9
b 1
a
9
ab
 

 
 b = 0, 1, 3, 4, 6, 7
seis valores
CLAVE: C
8. Se tiene … 0,abc
7
1
7
3
7
1
7
3
27
4
27
5
 











   , hallar la cantidad de cifras no
periódicas del número decimal generado por la fracción b a
x
c
a b
.
A) 5 B) 8 C) 6 D) 4 E) 9
Solución
… 0,abc
7
1
7
3
7
1
7
3
27
4
27
5
 











  
abc 259
999
abc
27
7
2
1
27
4
27
5
    






luego
5 2 2 .5
9
f  ,  cifras no periódicas es 5.
CLAVE: A
9. Determine la cantidad de cifras no periódicas del número decimal generado
por la fracción
35! – 28!
1000
.
A) 26 B) 23 C) 25 D) 22 E) 28
Solución
2 .5 .k
1
2 .5 .k
2 .5
28!(…0 1)
2 .5
35.34…(28!) – 28!
2 .5
f
25 6 22 3
3 3 3 30 3 3
 

 
 cifras no periódicas es 22.
CLAVE: D
10. En qué cifra termina el periodo del número decimal generado por la fracción
.
13
123
146
A) 9 B) 2 C) 7 D) 5 E) 3
Solución
…7 13 (…x)
9…9
…x
0,…x
13
123 146
146
   
como 13146 = …9 , luego: x = 3
CLAVE: E
11. Si …
7
3
7
2
7
3
7
2
p
2 3 4
     y …,
7
1
7
1
7
1
7
1
q
2 3 4
     calcular el valor
de 16(p – q).
A) 5 B) 3 C) 8 D) 4 E) 6
Solución
16
3
66
12
… 0,12
7
2
7
1
7
2
7
1
p q
(66)
(7)
2 3 4 (7)
        
luego 3
16
3
16 ) q p ( 16  



 
CLAVE: B
12. Si la fracción irreducible
a(3a 1)
mn

genera un número decimal de la forma
0,cb(a+1), hallar la cantidad de cifras periódicas del número decimal que
genera la fracción
x
ab
(n- a) (2m)c
. 
A) 6 B) 4 C) 8 D) 5 E) 9
Solución
a = 2: , m 1
27
m9
n 9
999
cb3
0,cb3
27
mn
     
 0,703 b 0 , c 7
27
19
   
Luego ,
7 x 27
20
7 C 999999  cifras periódicas igual a
27 C 999 mcm (6, 3) = 6
CLAVE: A
EJERCICIOS DE EVALUACION N°9
1. Si 0,b0(a 1)
ab
19
  y …
b
a 1
b
a
b
a 1
b
a
f
2 3 4


 

  , determinar la cantidad de
cifras no periódicas del número decimal originado por la fracción 8f.
A) 1 B) 5 C) 3 D) 4 E) 2
Solución
37 (no)
1°) ab
27  a = 2 , b = 7 , 0,703
27
19

2°)
48
17
66
23
… 0,23
7
2
7
3
7
2
f
(7)
(7)
2 3 (7)
      
3°) ,
2 x3
17
8f
1
 número de cifras no periódicos es 1.
CLAVE: A
2. Si
63
52
0,ab(8)  0,(a  1)b(8)  , halle la cantidad de cifras periódicas y no
periódicas generado por la fracción .
ab
7
f  Dar como respuesta la suma de
ambas cantidades.
A) 2 B) 5 C) 3 D) 4 E) 6
Solución
a 3 , b 6
8a b 30
63
52
63
8a b 8a 8 b
63
52
77
(a 1)b
77
ab
(8)
(8)
(8)
(8)
 
   
   
 


Luego
2 x9
7
36
7
f
2
  , cifras periódicas es 1
Cifras no periódicas es 2
 1 + 2 = 3
CLAVE: C
3. Hallar la suma de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas del número
decimal que genera la fracción 9 x x x
900
f
2 6 .
5 11 37

A) 9 B) 12 C) 11 D) 13 E) 10
Solución
2 .5 .11.37
9
2 .5 .11.37
3 .2 .5
f
9 6 7 4
2 2 2
 
no periódicas es 7
11  99
37  999
CLAVE: D
4. Si la fracción irreducible 0,abcdr
rm
mn
 , calcular el valor de (a + b + c + d).
A) 10 B) 14 C) 12 D) 15 E) 17
Solución
rm 41
luego n 6
99999
abcd4
0,abcd4
41
1n
   
y abcd4 39024
3 x 41x 271
abcd4
41
16
2
  
 a + b + c + d = 14
CLAVE: B
5. Si una fracción con denominador 101 genera un número de la forma
0,0x(2x + 1) (x + 1), hallar el numerador de dicha fracción.
A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 9
cifras periódicas = MCM (2, 3) = 6
 7 + 6 = 13
Solución
0,0x(2x + 1) (x + 1) =
101
n
9999
x(2x 1)(x 1)
101
n

 

 99n = x(2x  1)(x  1) , x  1, 2, 3, 4
Sólo x = 4 , porque 495 = 99 x 5 , n = 5
CLAVE: A
6. Hallar la suma de las dos últimas cifras del periodo del número decimal que
genera la fracción
25! 1
17

.
A) 10 B) 15 C) 11 D) 12 E) 9
Solución
99…9
…xy
0,….xy
…01
17
25! 1
17
  

 17 (99…9) = (…01) ( …xy ) , y = 3
luego x = 8
 x + y = 11
CLAVE: C
7. Si 0,0b + 0,01b + 0,002b + 0,0003b = 0,1234 , hallar la suma de las cifras de
b2 + 2.
A) 15 B) 12 C) 6 D) 11 E) 9
Solución
b 9
10000
1234
90000
3b 3
9000
2b 2
900
1b 1
90
b
  






 b2 + 2 = 81 + 2 = 83
suma = 11
CLAVE: D
8. Si 
c(3a)b cifras
a
, . . . .
(a b)
1
 

; donde c, a, b son cifras consecutivas en orden
creciente, menores que 5, calcular el valor de (a + b + c).
A) 6 B) 9 C) 8 D) 10 E) 7
Solución
c , a , b < 5 casos: 1 2 3  no, genera decimal periódico mixto 2 6 1 f  2 3 4   294 cifras 3 0, . . . 7 1 f    a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9 CLAVE: B 9. ¿Cuántos números de dos cifras de la forma ab cumplen con ab k m m  , ? donde k  Z+. A) 30 B) 28 C) 19 D) 34 E) 55 Solución 9 m k m ab   Si m = 9 : k 1 no esnúmero decimal 9 ab    Si m = 3 : ab 3k 1 3 1 k 3 ab      , k  Z+ luego ab = 10 , 13 , 16 , … , 97 valores de 30 3 97 7 ab    CLAVE: A 10. Si ... 7 3 7 2 7 3 7 2 7 3 7 2 N 3 4 6 7 9        y xyz abc N  es irreducible, hallar el valor de (a + z). A) 4 B) 5 C) 8 D) 6 E) 3 Solución Completando terminos: xyz abc 342 101 666 203 ... 0,203 7 3 7 0 7 2 7 3 7 0 7 2 N (7) (7) 2 3 4 5 6 (7)            , irreducible a = 1 , z = 2 ;  a + z = 3 CLAVE: E Álgebra EJERCICIOS DE CLASE N°9 1. Si una raíz de p x  x 3a 45  x 5a 2     es el inverso aditivo de la otra y una raíz del polinomio qx 12x 6b 1 x 41 b  2      es el inverso multiplicativo de la otra, halle el polinomio mónico h(x) cuadrático de raíces a + 5 y b – 1. A) h x  x 15x 120 2    B) h x  x 15x 100 2    C) h x  x 10x 150 2    D) h x  x 11x 60 2    E) h x  x x 10 2    Solución: Suma de raíces de p(x) = 0   a 15 3a 45 0       Producto de raíces de q(x) = 1   b 4 1 b 3 1 12 4 1 b          Luego, las raíces de h(x) son 20 y –5 hx x 20x 5 x 15x 100 2        Respuesta: B 2. Si  y  son dos de las raíces de p x  x 2x m tal que 1 3         , halle el valor de .      A) 3 B) – 3 C) 2 D) – 1 E) – 2 Solución: raices de p(x) :  ,  ,  dato:     1 Sabemos:   1 1 b) m m 1 1 2 m 0 p 1 0 . pues 1 es raíz a) 0 1                     Luego,     3 1 2 1 2 1 2 2 2                          Respuesta: B 3. Si a, b y c son raíces de f  x  x px qx r , r 0 3 2      , halle el valor de . c 1 b 1 a 1 T 2 2 2    A) 2 2 r q  2pr B) 2 2 r q  2pr C) 2 2 r q  2p D) 2 2 r q  2p E) p q 2r 2  Solución: Se cumple:             abc r ab bc ac q a b c p                    2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ac 2rp q ab bc ac 2abc b c a q ab bc ac 2 ab c abc a bc q ab bc ac q                     Luego         2 2 2 2 2 2 2 2 2 r q 2rp abc bc ac ab c 1 b 1 a 1 T         Respuesta: B 4. Si el polinomio p x  n 29 x m n x 167x 5n 2m 3 3 2         es mónico y tiene raíces enteras. Determine la mayor raíz sabiendo que el promedio aritmético de sus raíces es igual a . 3 10 m A) 13 B) 12 C) 1 D) 10 E) 11 Solución: Como p(x) es mónico, n 29 1 n  30 Sean a, b y c las raíces de p(x)                 abc 5n 2m 3.......... ..(iii) ab bc ca 167.......... .(ii) a b c m n.......... .....( i) además m 5 4m 20 3 3m 10 3 m 30 De (i) 3 10 m 3 a b c            Ahora   si x 1 , p1 0 p x x 25x 167x 143 3 2       Aplicamos Ruffini Respuesta: A 5. Si el cuadrado de una de las raíces de p x  x mx nx t 3 2     es igual al producto de las otras dos raíces, halle el valor de m t n . 3 3  A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 1 –25 167 –143 1 1 –24 143 1 –24 143 0 Solución:           t n m t m t n 0 m n En (iii) m n m n m n n i en ii : t.......... .......... .....( iii) n.......... ....( ii) m.......... .......( i) Sabemos : dato : sean la raíces , , p x x mx nx t 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2                                                                       Respuesta: A 6. Si el cuadrado de una de las raíces del polinomio px x 2x 7x n 3 2     es la suma de los cuadrados de las otras raíces, hallar un valor de n. A) – 10 B) 8 C) – 24 D) – 6 E) 12 Solución: Sean , y  las raíces de px x 2x 7x n 3 2     dato: 2 2 2     sabemos: 7 2              entonces:          3 0 18 2 4 4 14 4 2 4 4 14 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                   Si 3 0 p 3 27 18 21 n n 12 Si 3 0 p 3 27 18 21 n n 24                          Respuesta: C 7. Halle el polinomio mónico de coeficientes racionales de menor grado que tiene como raíces a 2 ; i. A) p x  x x 2 4 2    B) p x  x x 1 4 2    C) p x  x 1 4   D) p x  x 1 4   E) p x  x 2x 3 4 3    Solución: Sea p(x) el polinomio en Qx Entonces, sus raíces son 2 , 2 , i , i Luego           x x 2 x 2 x 1 p x x 2 x 2 x i x i 4 2 2 2            Respuesta: A 8. Si 5  5 es raíz del polinomio p x  x 3m 2n 8  x 5m 3n 15 x 80 3 2         ; m,n Q, halle el valor de 17m + 5n. A) 43 B) 41 C) 42 D) 44 E) 45 Solución: Las raíces de p x  x 3m 2n 8  x 5m 3n 15 x 80 3 2         Son: 5  5 , 5  5 ,      4 20 80 5 5 5 5 80             también       17m 5n 43 0 17m 5n 43 0 68m 20n 172 0 p 4 64 3m 2n 8 16 4 5m 3n 15 80                     Respuesta: A EJERCICIOS DE EVALUACIÓN 1. Si una raíz del polinomio p x  x  2k 5  x k 2     excede a la otra raíz en tres unidades, halle el valor de k. A) – 5 B) – 7 C) – 1 D) – 8 E) – 2 Solución: p x  x  2k 5  x k 2     Raíces: a, b Dato: b = a + 3  2a  3_  2k  5  ak  4 También           k 2 k 2 0 k k 4k 4 k k 4 k 1 k k 4 k 4 3 k a a 3 k 2 2                      Respuesta: E 2. Halle el valor de  tal que el polinomio p x  3  x 3 x 9 , 6 2          tenga una sola raíz. A) 4 B) – 4 C) 2 D) – 3 E) 6 Solución:          6 2 6 2 0 12 4 0 0 9 4 3 9 0 p x 3 x 3 x 9 , 6 2 2 2                                  Respuesta: C 3. Si a, b y c son las raíces del polinomio p x  x 9x 11x 1 3 2     y r  a  b  c , halle el valor de r 18r 8r 4 2   . A) 30 B) – 37 C) 0 D) 1 E) – 1 Solución: p x  x 9x 11x 1 3 2     Raíces: a, b y c              abc 1.......... .......... .......... ......( iii) ab bc ca 11.......... .......... (ii) a b c 9.......... .......... ........( i)             r 18r 8r 37 r 125 8r 18r 162 2 r 9 r 125 8r 36 r 81 4 11 2r 36 11 2r r 9 2 11 2 1 r r 9 2 ab bc ac 2 abc b a c r a b c 2 ab bc ac r a b c 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                             Respuesta: B 4. Si 1 es raíz de p x  x 8x ax 14 3 2     , halle la suma de los cuadrados de sus raíces. A) 26 B) 54 C) 14 D) 29 E) 41 Solución:     2  64 54 5 8 si , , son las raíces p x x 8x 5x 14 p 1 1 8 a 14 0 a 5 2 2 2 2 2 2 3 2                                              Respuesta: B 5. Si a, b y c son raíces de p x  x x 4 3    , halle el valor de c 1 1 b 1 1 a 1 1 H 2 2 2       . A) 1 B) 2 1 C) 0 D) 2 E) 2 3 Solución:                                                           abc 4 ab bc ac 1 ab bc ac 2 abc a b c 1 ab bc ac a b c 0 a b c 2 ab bc ca a b c 2 raíces: a,b y c p x x x 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3                          0 4 1 2 1 0 a b c a b a c a b c b c 1 1 4 3 a b a b 1 c 1 bc ac ab 2 a b c 3 a 1 b 1 c 1 bc b c 1 ac a c 1 ab a b 1 c 1 1 b 1 1 a 1 1 M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                Respuesta: C 6. Si  ,  y  son raíces de p x  x x 1 3 2    , halle el cociente h x de dividir q x  x x 1 por t  x   x x 1 4 3 2             . A) h x  x 1 2   B) h x  x 2x 1 2    C) h x  x x 1 2    D) h x  x 1 2    E) h x  x x 2  Solución:            1 1 Horner: h x  x 1 2   Respuesta: A 1 1 1 0 0 -1 -1 -1 1 1 0 0 -1 1 1 0 1 -1 0 7. Con respecto de las raíces de p x  x 2x 4x 12x 16 4 3 2      indique la opción correcta. A) solo tiene dos raíces negativas. B) no tiene raíces negativas. C) solo tiene una raíz negativa. D) solo tiene tres raíces negativas. E) tiene cuatro raíces negativas. Solución: p x   x  x  3x  2  40 x R 2 2 2 luego p(x) no tiene raíces reales. Respuesta: B 8. Dado el polinomio p x  6x 2x x 18n 3 2     . Si el producto de sus raíces es el doble de la suma de sus raíces. Indique el valor de verdad de: i) La suma de sus raíces es cero. ii) La suma de los coeficientes de p(x) es – 1. iii) El producto de sus raíces es – 15. iv) Cero es una raíz de p(x). A) FVVV B) FFFV C) FVFF D) FVFV E) FVVF Solución:     FVFF p x 6x 2x x 4 18n 4 6 2 2. 6 18n dato : producto de raíces 2.suma de raíces 6 2 suma de raíces p x 6x 2x x 18n 3 2 3 2                     Respuesta: C Geometría EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 9 1. En la figura, ABCD es un cuadrado y 4BE = 3AF = 12 cm. Halle el perímetro de ABCD. A) 32 cm B) 34 cm C) 36 cm D) 40 cm E) 45 cm F A B C D E Solución: 1) FED (Relaciones métricas): a2 = 4(a + 3)  a = 6 2) Perímetro ABCD = 4(9) = 36 Clave: C 2. En la figura, AP diámetro y E es punto de tangencia. Si cm 5 48 BC  y RP = 12 cm, halle AP. A) 14 cm B) 15 cm C) 16 cm D) 17 cm E) 18 cm Solución: 1) BC = AD = 5 48 cm 2) ARQP: Trapecio isósceles  RP = AQ = 12 cm 3) AQP (Relaciones métricas): 122 = x       5 48 x = 15 cm Clave: B F A B C D E 4 a+ 3 x x 3 a A B C D E P R Q A B C D E P R Q x 12 48 5 48 5 3. En la figura, AD = DC = 2 cm y BC = 7 cm. Halle mBAC. A) 15° B) 30° C) 37° D) 45° E) 2 53 Solución: 1) ABD: a2 + b2 = 22 2) ABC (T. Mediana) a2 +  2 7 = 2b2 + 2 (4)2  b = 1 3) De 1) y 2): x = 30° Clave: D 4. En la figura, AB = 15 cm, BC = 13 cm y AC = 14 cm. Halle AE. A) 51 cm B) 43 cm C) 77 cm D) 61 cm E) 37 cm Solución: 1) ABC (T. Herón) BH = 12  HC = 5 y AM = 1 2) MHB (Pitágoras): BM = 4 13 3) MAB (T. Mediana) 152 + 12 = 2x2 + 2 (4 13)2  x = 61 cm Clave: D A B D C   A B C D E A B D x 2 2 a b   A B C D E 1 M 8 H 5 14 15 13 12 x 5. En la figura, AB es diámetro. Si AE = 4 cm y ED = 5 cm, halle AC. A) 9 cm B) 8 cm C) 7 cm D) 6 cm E) 7,5 cm Solución: 1) AFE ~ ADB 9 a b 4   ab = 36 . . . (*) 2) ACB (Relaciones métricas): x2 = ab . . . (**) 3) De (*) y (**): x2 = 36 x = 6 cm Clave: D 6. En la figura, ABCD es un cuadrado, H, E, F y G son puntos medios. Si AB = 10 cm, halle MN. A) 1,5 cm B) 2 cm C) 2,5 cm D) 3 2 cm E) 2 5 cm Solución: 1) BME  APH  ME = 2 2 = HP  AP = PM = NP = ND = 2 F G H A B C D E M N A B C D E F A B C D E F x  a   b 5 4 F G H A B C D E M N 2 x 2 2 53°/2 P 2 10 2 10 2 10 2) MPN (Notable 45°) x = 2 2  x = 2 cm Clave: B 7. En la figura, AB es diámetro y BOE es un cuadrante. Si AE = 4 cm y OF = 2 cm, halle OH. A) 1,5 cm B) 1 cm C) 1,3 cm D) 1,4 cm E) 1,2 cm Solución: 1) AOE (Relaciones métricas) (AO)(OE) = (AE)(OH) ab = 4x . . . (*) 2) AFB (Relaciones métricas) 22 = ab . . . (**) 3) De (*) y (**): 4x = 4 x = 1 Clave: B 8. En la figura, AB = 5 cm, BC = 7 cm y AC = 8 cm. Si mABD = mDBC, halle HD. A) 1 cm B) 2 1 cm C) 7 6 cm D) 3 4 cm E) 6 5 cm Solución: 1) ABC (T.B.I.) AD = 3 10  DC = 3 14 A O B E F H A O B E F H x a b 2 4 A B H D C 2) ABC (T. Euclides):  < 90° 72 = 52 + 82 – 2(8)y  y = 2 5 3) x = 2 5 3 10   x = 6 5 cm Clave: E 9. En un romboide ABCD, Q es la intersección de las bisectrices interiores trazadas desde B y C. Se traza QH perpendicular a AD (H  AD ). Si AB = 5 cm, BC = 3 cm y HD = 1 cm, halle AQ. A) 5 cm B) 4 cm C) 4,5 cm D) 3,5 cm E) 5,5 cm Solución: 1) BEDA (Trapecio) QM base media QM = 2 5  2 = 3,5 2) AMQ (T. Euclides)  > 90°
x2 = (3,5)2 + 







 



2
1
2
3
2
2
3
2
x = 4
Clave: B
10. En la figura, AB es diámetro. Si numéricamente MP2 + NP2 = 8 y AM = NB, halle
numéricamente MQ2 + QN2.
A) 16
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
A M N B
P
Q
A
B
y H x D C
 
8
5 7

A
B C
D
E

 


M H
Q
1 1
2
3
2
2
3
5
x
3,5
Solución:
1) NPM (T. Mediana)
MP2 + NP2 = 2r2 +
2
MN2
= 8
2) MQN (T. Mediana)
MQ2 + QN2 = 2r2 +
2
MN2
3) De 1) y 2):
MQ2 + QN2 = 8
Clave: D
11. En un triángulo rectángulo ABC, la altura relativa a la hipotenusa mide 24 cm y la
diferencia de las medidas de las proyecciones de sus catetos sobre su hipotenusa
es 14 cm. Halle la longitud de uno de sus catetos.
A) 31 cm B) 32 cm C) 30 cm D) 37 cm E) 41 cm
Solución:
1) n – m = 14  n = m + 14
2) ABC (Relaciones métricas)
242 = mn  m = 18
242 = m(m + 14) n = 32
3) ABC (Relaciones métricas)
x2 = (18 + 32)(18)
x = 30
Clave: C
12. En la figura, AB = 13 cm, AC = 14 cm y BC = 15 cm. Si H es ortocentro del
triángulo ABC, halle BH.
A)
4
33
cm B)
6
35
cm
C) 8 cm D)
7
33
cm
E)
4
35
cm
A
B C
D
E
H
A M N B
P
Q
a (r  a) O (r  a) a
r r
A
B
H C
x 24
m n
Solución:
1) ABC (T. Herón)
BD = 12
2) BDC (Notable 37°– 53°)
AD = 5  DC = 9
3) HDA (Notable 37°– 53°)
AD = 4 





4
5
 HD = 3 





4
5
= 12 – x
 x = 12 –
4
15
x =
4
33
Clave: A
13. En una semicircunferencia cuyo diámetro AB mide 4 cm y O es punto medio de
AB , se traza la cuerda BC , luego se traza OM perpendicular a BC (M  BC ). Si
mABC = 30°, halle AM.
A) 3 cm B) 2 cm C) 2 5 cm D)
2
5
cm E) 7 cm
Solución:
1) AMB (Teorema mediana)
x2 + ( 3 )2 = 2(1)2 +
2
42
x = 7 cm
Clave: E
14. En la figura, ABCD es un paralelogramo y AD es diámetro. Si BE = 6 cm y
EC = 4 cm, halle AB.
A) 2 cm B) 5 cm
C) 2 5 cm D) 3 cm
E) 4 cm A
B C
D
E
H
A
B C
D
E
H
x
12 x 
37°
5
9
15
13
14
A B
C
O
x
30°
3
M
1
2
Solución:
1) AO = OD =
2
6  4
=
2
10
= 5
2) BHO (Notable 37°– 53°)
HO = 3 y AH = 2
3) AHB (Notable 53°/2)
x = 2 5 cm
Clave: C
EVALUACIÓN Nº 9
1. En la figura, AC = 2CR, AR = 8 cm y RB = 2 cm. Halle BC.
A) 2 7 cm B) 2 3 cm
C) 3 2 cm D) 4 cm
E) 5 cm
Solución:
1) ARC (Teorema Euclides)
 > 90°
(2a)2 = a2 + 82 + 2(8)(2)
 a = 4 2
2) RBC (Pitágoras)
x2 = (4 2 )2 – 22
 x = 2 7 cm
Clave: A
2. En un triángulo ABC, AB = 4 cm, BC = 6 cm y AC = 5 cm. Halle la longitud de la
proyección de AB sobre AC .
A) 1 cm B)
2
1
cm C) 2 cm D)
3
1
cm E) 3 cm
A B
C
R
A
B C
D
E
H O
37°
37°
4
2 3
3 M 3
4
5
x
6 4
A B
C
R
a
x
8 2
2a

Solución:
1) como 42 + 62 > 52
  > 90°
2) AH proyección de AB sobre AC
3) ABC (T. Euclides)  < 90° 62 = 42 + 52 – 2(5)x  x = 2 1 = 0,5 cm Clave: B 3. En la figura, P, Q y E son puntos de tangencia, MN diámetro y OM = ON. Si A y B son centros de las circunferencias, AE = 3 cm, EB = 2 cm y NO = 9 cm, halle la distancia de O hacia AB . A) cm 5 9 5 B) cm 5 11 3 C) cm 5 12 6 D) cm 4 15 3 E) cm 3 11 2 Solución: 1) AOB (T. Herón) p = 2 5  6  7 = 9 x = 9(9 7)(9 6)(9 5) 5 2    x = cm 5 12 6 Clave: C A B Q P E M O N A B H C 4 6 x   5 A B Q P E M O N 3 H 2 x 6 7 9 9 4. En la figura, AB es diámetro y FB = 2AH = 4 cm. Halle PH. A) 4 cm B) 5 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 9 cm Solución: 1) PEFH: Inscriptible  mPFH = 45° 2) APB (Relaciones métricas) x2 = 2(x + 4)  x = 4 Clave: A 5. Los lados de un paralelogramo miden 15 cm y 20 cm. Si una diagonal mide 17 cm, halle la longitud de la otra diagonal. A) 24 cm B) 27 cm C) 30 cm D) 31 cm E) 36 cm Solución: 1) ABC (Teorema mediana) 152 + 202 = 2 2 17 2 x 2 2        x = 31 cm Clave: D 6. En un triángulo equilátero ABC, N es punto medio de BC . Desde N se traza NP perpendicular a BA (P  BA ). Si AB = 4 7 cm, halle la distancia de P al punto medio de AC . A) 2 7 cm B) 21 cm C) 5 cm D) 7 cm E) 14 cm B A C 15 20 x/2 O 17 x/2 A B P H F 45° E 45° A B P H F 45° E 45° x 45° 45° 2 x 4 45° Solución: 1) NPB (Notable 30°– 60°) NP = 21 2) MNP (Pitágoras) x =  2  2 21  2 7 x = 7 cm Clave: D Trigonometría EJERCICIOS DE CLASE N° 9 1. Evaluar . 1 cos80 1 cos80 sen 20 cos 20 tg40 E cos50 , si E 4 4         .   . A) 2 1  B) 1 C) – 1 D) 2 1 E) – 2 Solución: E cos50 csc40 cos50 csc40 sen40 1 csc40 sen 40 cos 40 cos40 1 cos40 sen40 E 2sen 40 2cos 40 (sen 20 cos 20 ) (sen 20 cos 20 ) 1 cos40 sen40 E 2 2 2 2 2 2 2 2                                 . . . . . . . Clave: C 2. Simplificar la expresión . 4 3cos 2 sen 4 2sen 4 tg              . A) 4 3 sen   B) 2 sen   C) 2 3 cos   D) 2 cos   E) 2 3 sen   A B M C N P 21 4 7 2 7 2 7 2 7 x Solución: 4 3 sen 4 4 sen 4 3 sen 4 3 sen 4 4 sen 4 3cos 4 cos 4 4 sen 4 cos 4 sen 4 3cos 4 cos 4 2 sen 4 2 sen 4 Del dato: tg 3 3 2                                                  . . Clave: A 3. Si , 3 2 3 x 6 tg            hallar tg2x. A) 10 9 3  B) 9 13 3  C) 9 5 3 D) 11 5 3  E) 10 9 3  Solución:     11 5 3 1 12 3 4 3 1 3 4 3 3 4 3 2 3 tg2x tg 4 3 1 tg 2 tg tg 2 2 y 3 x , entonces,, 2x 6 Sea 2                                       Clave: D 4. Si 5 2 sen(33  )  , calcular sen(81 3) . A) 125 118 B) 25 4 C) 125 117 D) 125 113 E) 25 11 Solución:   125 118 sen(81 3 ) sen (180 ( 99 3 ) ) 125 118 125 32 5 6 5 2 4 5 2 sen(99 3 ) 3 5 2 sen(33 ) 3                                         Clave: A 5. Si 4cos4x  2  sec2x, calcular cos6x. A) 2 1 B) 3 2 C) 4 1  D) 6 1 E) 2 2 Solución: Tenemos      2 1 cos6x 2 1 4 cos 2x 3 cos2x 2 1 2cos2x 2cos 2x 1 1 cos2x 1 4 2cos 2x 1 2 3 2 2           Clave: A 6. Simplificar la expresión . 9 2 csc 9 ctg 9 2csc 18 sec        A) 18 tg  B) 18 ctg  C) 18 csc  D) 9 tg  E) 9 ctg  Solución: La expresión dada la escribimos usando grados sexagesimales E  sec10  2csc20  ctg20  csc40 Aplicando la identidad especial                                          18 E ctg10 ctg E tg10 ctg10 ctg80 E csc80 2csc20 csc80 ctg80 E csc80 2csc20 csc40 ctg40 csc40 ctg20 csc40 ctg40 se obtiene Clave: B 7. En la figura, BE = 2 cm, hallar DC. A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 8 cm E) 10 cm Solución: De la figura se observa,           t 2ctg 2 t ctg y 2 tg 2 y tg En el ADC,     t y x sen2  x 4 x 4csc2 sen2 x 2(2csc2 )sen2 x (2ctg 2tg )sen2 x (t y) sen2                . Clave: B 8. Hallar el máximo valor de la expresión 2 . 6 2 cos 6 2 cos 2 17 cos 3                                  . A) 4 3  B) 2 3 C) 3 D) 1 E) 4 3 Solución:   4 3 sen6 4 3 sen3(2 ) 4 3 3sen2 4sen 2 4 3 sen 2 4 3 3sen2 sen 2 4 1 cos 2 4 3 3sen2 sen2 2 1 cos2 2 3 sen2 2 1 cos2 2 3 Del dato, 3sen2 2 3 2 2                                                              Clave: E 9. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. Si 6 es el mayor ángulo agudo, hallar el valor de                tg cos2 2sen cos2 2cos 2 2 . A) 3 1 B) 2 1 C) 2 1  D) 1 E) – 1 Solución: Por Pitágoras, 2 2 2 (a r)  a (a r) 4ar a 4r a (a r) (a r) a 2 2 2 2                  2 3 1 3tg 3tg tg tg3 2 1 8r 4r tg3     2 1 tg3 cos2 2sen 2cos cos tg3 tg cos 3sen 3cos sen tg cos cos 1 3 tg tg (3 tg ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                     . Clave: B 10. Si x  y  4 y 2 x 2 7 4M sec 4 x csc 4 x 2 3 csc 2 y seny tg 2 x senx tg 2 2                           hallar M. A) secx B) cscx C) 2 x sec D) 2 x csc E) 4 x csc Solución: Tenemos , entonces, 2 x 2 2 y y  4 x     2 x M csc 2 x 4Mcsc 2 x csc 2 x 4csc 2 x 4Mcsc 2 x sen 4 2 x 4 M csc 4 x cos 4 x 2sen 4 2 x 4Mcsc 4 x sen 1 4 x cos 1 2 x 4M csc 4 x csc 4 x sec 2 x 4M csc 4 x csc 4 x sec 2 x senx tg 2 x senx tg 2 2 2 2 2 2 2 2                     . . . . Clave: D EVALUACIÓN N°9 1. Simplificar la expresión . 2 cos100 2sen 100 sen200 sen100 2        A) sen20 B) cos10 C)  ctg10 D) tg10 E) cos20 Solución:                              tg100 tg80 ctg10 cos100 (2cos100 1) sen100 (2cos100 1) 2cos 100 cos100 2sen100 cos100 sen100 2(1 sen 100 ) cos100 sen2(100 ) sen100 2 2 Clave: C 2. Evaluar la expresión tg 2A 2 3A tg 21 .         , si A es un ángulo agudo cuyo seno es igual a 0,6. A) 102 B) 96 C) 98 D) 100 E) 104 Solución: 5 3 10 6 senA  0,6  9 13 3 1 1 3 3 1 3 1 3 2 A tg3 3 1 9 3 2 A tg 2 3                              104 tg(2A) 2 3A 21tg 21 104 7 24 9 13 tg(2A) 2 3A tg 7 24 4 3 1 4 3 2 tg 2A 2                                . . Clave: E 3. Si 2, 12 tg            evaluar la expresión 9ctg3. A) 5 B) 6 C) 13 D) 7 E) 10 Solución: 9ctg3 13 9 13 ctg3 13 9 tg3 1 tg3 1 tg3 3 4 tg 11 2 Por otro lado, 11 2 1 3tg 3 tg tg tg3 3 4 , entonces, tg 2 y 3 12 Sea 2 3                                             Clave: C 4. Sea el triángulo ABC tal que AB = AC y BC = 2 u. Si la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y DC = 1 u, calcular cosB. A) 1 B) 2 3 C) 2 1 D) 0 E) 2 2 Solución: 2 B cosB sen 2 B senB cos 2 B 2sen cosB 2 B sen 2 B senB cos 2 cosB 2 B 2 senB ctg BC BE EC B C . . . .          2 1 cosB B 60 2 1 2 B sen 4 1 2 B sen 2 B sen 2 B 4 sen 2 B 4 sen 2 B 3 sen 2 B 2 sen 2 3B sen 2 B 2sen 3 2 3                Clave: C 5. En la figura mostrada, BD = CB y , 3 7 tg  calcular . 3m 2n A) 3 2 B) 1 C) 3 4 D) 3 1 E) 2 1 Solución: Clave: D