MATEMATICA PARA PROFESORES EN TEXTO PDF

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NÚMEROS NATURALES ,SISTEMAS DE NUMERACIÓN,
Contextualización profesional,
Análisis de problemas escolares sobre numeración en primaria ,
Conocimientos matemáticos,
Técnicas de recuento,
Situación introductoria: Instrumentos para contar ,
Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar ,
Técnica de recuento para obtener cardinales ,
Técnicas de recuento para obtener ordinales ,
Orden de ordinales y cardinales,
Principios que subyacen en las técnicas de contar ,
Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos ,
El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras ,
Técnicas abreviadas de contar ,
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La noción de número natural y sus usos ,
Formalizaciones matemáticas de los números naturales ,
Tipos de sistemas de numeración y aspectos históricos,
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Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetos,
Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos ,
Tipos de sistemas de numeración ,
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Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y
oral ,
Sistemas de numeración orales: ejemplos ,
Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos,
Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el
origen de algunas bases ,
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Contextualización profesional,
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Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta de
números naturales ,
Formalización de la operación de adición y sustracción de números
naturales,
La adición de números naturales ,
La sustracción de los números naturales ,
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Estrategias de obtención de sumas y restas básicas,
Técnicas orales (o mentales) de suma y resta,
Técnicas escritas de suma y resta ,
Justificación de las técnicas escritas de suma y resta ,
Otras técnicas escritas de suma y resta: ejemplos ,
Uso de la calculadora en la solución de problemas aditivos ,
Taller de matemáticas ,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN,
A: Contextualización profesional,
Análisis de problemas escolares sobre multiplicación y división en primaria ,
B: Conocimientos matemáticos,
Estructura de los problemas multiplicativos de una operación,
Situación introductoria ,
Clasificación de los problemas multiplicativos,
Construcción de las operaciones de multiplicación y división entera de
números naturales ,
Formalización de la multiplicación y división de números naturales ,
Técnicas de cálculo de la multiplicación y división entera,
Estrategias de obtención multiplicaciones y divisiones enteras básicas,
Técnicas orales y de cálculo mental de multiplicación y división,
Técnica escrita de multiplicación ,
Técnica escrita de división entera,
Técnica auxiliar de estimación ,
Otras técnicas escritas de multiplicación y división entera,
Diferencias entre las técnicas orales y escritas ,
Operaciones con calculadora ,
Potencias, raíces y logaritmos,
Modelización aritmética de situaciones físicas o sociales ,
La estimación en el cálculo aritmético,
Divisibilidad en el conjunto de los números naturales,
Definición de divisor y múltiplo. Notaciones y propiedades ,
Criterios de divisibilidad ,
Números primos y compuestos ,
Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos,
Técnica para obtener la sucesión de números primos menores que uno
dado ,
Técnica para comprobar si un número es primo ,
Técnica para obtener los divisores y múltiplos de un número,
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números
Taller de matemáticas ,
FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre fracciones y números racionales en
primaria ,
B: Conocimientos matemáticos
Fracciones y razones,
Situaciones de uso de fracciones y razones ,
Distinción entre fracciones y razones ,
Equivalencia de fracciones. Números racionales,
Primeras propiedades del número racional positivo ,
Operaciones con fracciones y números racionales
Suma y diferencia de fracciones y números racionales,
Producto y cociente de fracciones y números racionales ,
Orden de fracciones y racionales ,
Técnicas para resolver problemas de fracciones ,
Taller de matemáticas ,
NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas sobre decimales en primaria ,
B: Conocimientos matemáticos
Fracciones decimales. Números decimales ,
Los números decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales
Distinción entre expresión decimal y número decimal ,
Caracterización de los números decimales,
Técnica de obtención de expresiones decimales
Caso de los números racionales decimales ,
Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones
decimales periódicas,
Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. Fracción generatriz
de los racionales representados por estas expresiones ,
La introducción de los decimales a partir de la medida ,
Operaciones con números decimales
Adición y sustracción ,
Multiplicación ,
División ,
La aproximación decimal de racionales. Números reales ,
Notación científica. Representación decimal en las calculadoras ,
Taller matemático ,
NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre números positivos y negativos en
primaria ,
Otra manera de resolver los problemas aritméticos: el método algebraico
Características del método algebraico de resolución de problemas
aritméticos ,
Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas ,
Situaciones que motivan el uso de los números con signo ,
Las reglas de cálculo de los números con signo
Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias y
números ,
Adición y sustracción de números con signo,
Valencias y usos de los signos + y –,
Ordenación de números con signo ,
Multiplicación y división de números con signo ,
La condición de números de los números con signo
¿Son números los números con signo? ,
Definición axiomática de Q ,
Taller matemático

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SISTEMAS NUMÉRICOS PARA MAESTROS
NÚMEROS NATURALES.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NUMERACIÓN EN PRIMARIA
Consigna:
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido
tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
a) Resuelve los problemas propuestos.
b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
solución.
c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.
d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la
tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil.
e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no
te parezcan suficientemente claros para los alumnos.
f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:

onocimientos Matemáticos
1.TÉCNICAS DE RECUENTO
1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar
Toma un folio y divídelo en dos partes iguales. Escribe tu nombre en cada mitad. En una
de ella simula la caída de una “granizada” durante unos 30 segundos, marcando con puntos
gruesos la posición en la que caen los granizos. Obtendrás un dibujo parecido al que
mostramos en este cuadro:
* * * *
* * * *
* * * * *
* ** * * *
* *
* * * *
* * * *
* * * * *
* * *
* * * * *
a) ¿Cuántos puntos hay en tu dibujo? ¿Qué has hecho para contestar a esta pregunta?
b) En la otra mitad del folio escribe un mensaje para que otro compañero reproduzca
exactamente la misma cantidad de granizos que tú has producido, aunque no en la misma
posición. No puedes utilizar las palabras uno, dos, tres,..; ni los símbolos 1, 2, 3,…
c) Intercambia el mensaje con el de otro compañero; cada uno de vosotros ha de interpretar
el mensaje del compañero y reproducir su granizada.
d) Comprueba que la reproducción ha sido correcta.
e) Describe el procedimiento que habéis utilizado en la realización de la tarea.
1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar
Las técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las sociedades
estudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de número y a la
Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de:
 comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos
(cardinal de la colección).
 indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de
objetos (ordinal del objeto).
En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectores- se plantea ya, aunque sea a
pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son?.
También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?,
¿quién interviene en segundo lugar?, etc.
A partir de esas necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que
han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza
predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios
de otras varias técnicas.
Cada colección de “objetos numéricos” vamos a llamarla “sistema numeral” o sistema de
representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se
expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos
como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son “objetos ideales” o abstractos. En
definitiva, interesa considerarlos como “maneras de hablar” ante ciertas situaciones en las que
reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos
para esas actividades.
1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales
Las técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas)
que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien ordenado
(hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de un
conjunto se realizan las siguientes acciones:
 Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo
una en el orden habitual: uno, dos, tres,…, treinta.
 Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjunto
contado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y designando
el número de elementos o cardinal del conjunto.
Observamos que podemos contar (hallar el cardinal de un conjunto) porque nos sabemos
de memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre en
el mismo orden. La tarea más complicada de los recuentos consiste en adjudicar a cada objeto
del conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Ello requiere definir un orden total en
el conjunto contado, orden que podemos definir a voluntad, sin que se modifique el resultado
final. Para contar se requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista, y a veces,
se usan técnicas auxiliares, marcando, por ejemplo, cada punto contado. Al terminar de
contar, la última palabra, hace referencia, no sólo al último objeto señalado, sino también a
todo el conjunto, esto es, se trata de una “propiedad” que se predica de todo el conjunto. Por
tanto, cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble significado: es el ordinal del
elemento correspondiente en la ordenación que se va construyendo, y es el cardinal del
conjunto formado por los objetos ya contados hasta ese momento.
Hay que tener en cuenta también el uso intransitivo del recuento, esto es, el recitado de la
serie de palabras numéricas en sí mismas, sin mención alguna a cardinales u ordinales.
Aprender las palabras numéricas y cómo repetirlas en el orden correcto es aprender el
recuento intransitivo, mientras que aprender su uso como medidas de conjuntos es el
aprendizaje del recuento transitivo. “Si aprendemos un tipo de recuento antes que otro no
tiene importancia cuando nos interesan los primeros números. Pero lo que es seguro, y no
carente de importancia, es que tenemos que aprender algún procedimiento recursivo para
generar la notación en el orden adecuado antes que hayamos aprendido a contar
transitivamente, ya que hacer esto consiste, bien directa o indirectamente, en correlacionar los
elementos de la serie numérica, con los miembros del conjunto que estamos contando. Parece,
por tanto, que es posible que alguien aprenda a contar intransivamente, sin aprender a contar
transitivamente. Pero no a la inversa” (Benacerraff1, 1983: 275 )
Técnicas auxiliares del recuento
Cuando estamos contando los elementos de un conjunto, necesitamos distinguir en cada
paso el subconjunto ya contado, del no contado. Las técnicas auxiliares que se utilizan son:
 Trazar mental o físicamente un camino a seguir cuando vamos contando los objetos.
 Marcar los objetos ya contados.
 Separar manual o mentalmente los objetos contados de los no contados (realizar una
partición del conjunto).
 Sustituir la colección de partida por otra que tenga el mismo cardinal, contando esta
última.
El uso de una u otra técnica auxiliar depende de:
 el número de elementos del conjunto contado;
 la configuración geométrica del conjunto;
 el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado;
 la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano,
objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente).
 la movilidad de los objetos.
Todas estas técnicas auxiliares tienen que ir precedidas de una primera coordinación entre
la mano o la vista y la emisión de la palabra. Es decir, hay que aprender a emitir cada palabra
al mismo tiempo que la atención se fija en un objeto.
Coordinabilidad entre conjuntos
Al contar ponemos en correspondencia cada elemento de un conjunto con otro conjunto (de objetos,
palabras, muescas, etc.). Las noción de cardinal se puede formalizar usando el lenguaje de la teoría de
conjuntos.
Definición 1(Coordinabilidad): Un conjunto A coordinable o equipotente con el conjunto B si existe
una correspondencia biyectiva de A en B. Se escribe A B. Cada elemento del primer conjunto se
pone en correspondencia con uno y sólo uno del segundo.
Técnicas de recuento para obtener ordinales
Para obtener el ordinal de un elemento se utiliza la sucesión de palabras: uno, dos, tres, …
o la sucesión de palabras: primero, segundo, tercero, etc. que llamamos “palabras numéricas
ordinales”. El resultado del recuento se expresa indistintamente mediante unas u otras
palabras. Se dice de un elemento que es el décimo quinto o que es el quince. A medida que se
avanza en la sucesión de palabras numéricas se utilizan cada vez menos las palabras
ordinales.
Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto, podemos usar
diversas técnica para determinar el número ordinal:
 Se recita una de las sucesiones de palabras numéricas (ordinales o cardinales)
 Se adjudican dichas palabras a los elementos del conjunto siguiendo el orden establecido
hasta llegar al elemento en cuestión.
 La palabra que le corresponde a dicho elemento es su ordinal.
Como podemos ver, a diferencia de lo que sucede en la determinación de cardinales, para
asignar un ordinal, el orden en que se van eligiendo los elementos ya no queda a discreción
del que efectúa el recuento, sino que viene fijado de antemano.
Para obtener el ordinal de un elemento no es absolutamente necesario tener previamente
definido un orden total en el conjunto, sino que basta con saber qué elementos son anteriores
al que nos interesa. En ese caso tenemos esta segunda técnica:
 Se obtiene el cardinal del conjunto formado por todos los elementos anteriores al que nos
interesa, utilizando la técnica de recuento correspondiente.
 Pronunciamos la palabra numérica siguiente a la que se refiere el cardinal de dicho
conjunto, indicando con ella el ordinal del elemento.
Esta segunda técnica permite reordenar a voluntad el conjunto de los elementos anteriores
al dado, puesto que para calcular cardinales el orden en que se elijan los elementos es
irrelevante.
1.5. Orden de ordinales y cardinales
Decimos que un ordinal es ‘anterior’ a otro si al recitar la sucesión numérica en el orden
habitual, la palabra numérica correspondiente al primer ordinal se recita antes que la
correspondiente al segundo ordinal. Por ejemplo, el ordinal ‘cuatro’ es anterior al ordinal
‘nueve’ porque, a la hora de contar, la palabra ‘cuatro’ se dice antes que la palabra ‘nueve’, la
primera palabra es anterior en el tiempo a la segunda.
Decimos que un cardinal es ‘más pequeño’ que otro, o ‘es menor’ que otro, si al
emparejar los elementos de dos conjuntos que los tengan por cardinales respectivos, en el
segundo conjunto quedan elementos sin pareja. Por ejemplo, el cardinal ‘cuatro’ es más
pequeño, o menor, que el cardinal ‘nueve’ porque si emparejamos cuatro tazas con nueve
platos quedarán platos sin taza. Esta última definición lleva implícita la idea de que todos los
conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja.
Estos dos órdenes, el ordinal y el cardinal, son equivalentes, es decir, que si un ordinal es
anterior a otro los cardinales correspondientes a esas mismas palabras numéricas cumplen que
el primero es más pequeño que el segundo; y recíprocamente. En general, decimos que el
número a ‘es menor’ que b, entendiendo que eso significa que el ordinal a es anterior al
ordinal b y que, al mismo tiempo, el cardinal a es más pequeño que el cardinal b.
1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar
El análisis de las diversas técnicas de contar pone de manifiesto los principios que
subyacen en ellas, es decir, los aspectos conceptuales que es necesario entender y tener en
cuenta para contar correctamente. En el caso de la técnica de contar para obtener cardinales
son los siguientes:
 Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, … deben recitarse
siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.
 Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a
recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.
 Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del
conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.
 Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto
representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.
En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son
el del orden estable y el de la correspondencia uno a uno referido únicamente al propio
elemento y a los anteriores a él. Aquí el orden en que sean elegidos los elementos del
conjunto para adjudicarles las palabras numéricas ya no es irrelevante de cara a la obtención
del ordinal correspondiente.
1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos2
Hasta ahora hemos visto que para contar se necesitan unas palabras numéricas, pero,
¿estas palabras han existido siempre? ¿Existen técnicas de recuento que no se basen en
palabras? A continuación mostraremos cómo han resuelto diferentes culturas el problema de
responder a la pregunta, ¿cuántos hay?
En primer lugar, el hombre tiene una capacidad innata para reconocer ciertos cardinales
de conjuntos sin necesidad de efectuar un recuento. Esta capacidad recibe el nombre de
“subitación” y permite reconocer cardinales de conjuntos con un número pequeño de objetos,
por lo que algunas culturas comunican mediante el lenguaje cuál es el cardinal de un
conjunto, aunque no tengan técnicas de contar, por ejemplo:
 En algunas sociedades, como los zulúes y pigmeos de Africa, los arandan y kamilarai de
Australia, los bocotudos de Brasil y los aborígenes de las islas Murria, sólo se han
inventado las dos primeras palabras numéricas: una para indicar la unidad, otra para
indicar la pareja.
 Varias tribus de Oceanía declinan los nombres de las cosas en singular, dual, trial,
cuatrial, plural, del mismo modo que nosotros declinamos los nombres en singular y
plural. Tienen, por tanto, la posibilidad de indicar el cardinal de un conjunto de hasta
cuatro objetos pero no tienen palabras para contar.
En segundo lugar, muchas sociedades han desarrollado técnicas de contar sin palabras,
que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo: llevar la cuenta de los votos a favor y en
contra trazando palotes, mostrar los dedos para indicar un cardinal u ordinal (esta técnica se
utiliza mucho con los niños pequeños), utilizar palillos, trozos de papel o fichas para llevar la
cuenta de las partidas ganadas en un juego de cartas, pasar con los dedos las bolitas del
rosario para llevar la cuenta de las avemarías, utilización de ábacos en las escuelas, etc. En
nuestra cultura estas técnicas se mezclan con las técnicas de recuento con palabras, que son
las predominantes, y, frecuentemente, sirven de refuerzo a estas últimas. Sin embargo, existen
y han existido sociedades en las que las técnicas de recuento sin palabras eran muy
importantes e incluso, las únicas existentes. Algunos ejemplos son los siguientes:
 Los papúes de Nueva Guinea y los bosquimanos de Africa del Sur, entre otros muchos
aborígenes, cuentan utilizando las partes del cuerpo humano. Para ello y en un orden
previamente establecido van señalando los dedos de las manos y de los pies, las diferentes
articulaciones del cuerpo, los ojos, nariz, boca, etc.
 Ha sido una práctica frecuente en los ejércitos de diferentes épocas y sociedades que,
antes de entrar en batalla, cada guerrero depositara un guijarro en un lugar convenido.
A la vuelta cada guerrero recogía uno de dichos guijarros. Los sobrantes indicaban el
número de bajas que se habían producido en la batalla. La utilización de guijarros para
contar o realizar operaciones ha dado lugar a la palabra “cálculo” que proviene de la
palabra latina “calculus” que significa “piedra pequeña”.
Tenemos así un muestrario de objetos físicos que sirven como objetos numéricos y que
podemos clasificar en:
– muescas, palotes;
– objetos ensartados en collares o en varillas, nudos en una cuerda;
– objetos sueltos: guijarros, palitos, conchas, perlas, huesos, etc.
– partes del cuerpo humano.
Ejercicios:
1. Si un pastor trashumante tuviese que contar 999999 cabezas de ganado, ¿Cuánto tiempo tardaría,
haciendo una muesca por segundo?
En conclusión, una técnica de recuento sin palabras se caracteriza por la existencia de un
conjunto de objetos numéricos, que sirven para contar. A cada elemento del conjunto contado
se le asocia un objeto numérico distinto y sólo uno, construyendo un subconjunto de objetos
numéricos, cuya presentación es la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? Esto pone de
manifiesto que lo que subyace en un recuento, la parte común a todos ellos, es el
establecimiento de una correspondencia uno a uno entre el conjunto contado y un subconjunto
numérico de referencia, tanto si los elementos de este último son objetos físicos, palabras,
partes del cuerpo humano, etc. El conjunto de objetos numéricos debe estar “naturalmente
estructurado”, y constituye lo que llamaremos un “sistema numeral” o sistema de
representación numérica.
1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras
Las etapas necesarias para pasar de una técnica de recuento con objetos al recuento con
palabras son las siguientes:
 Comparar el conjunto que se quiere contar con un conjunto de referencia, formado por objetos visibles o evocables por los demás. El principio de la correspondencia uno a uno
permite pasar de una comunicación poco precisa del cardinal de una colección a una
comunicación precisa de la misma, representándola mediante un conjunto de los objetos
numéricos (muescas, guijarros, cuentas, etc.).
 Comparar con un conjunto de referencia ordenado (partes del cuerpo humano, objetos
diferenciados) para poder establecer el ordinal de cada elemento dentro de un conjunto. La
presentación sucesiva de los objetos diferenciados siempre en el mismo orden, principio
del orden estable, permite comunicar el ordinal de un elemento.
 Utilización indistinta de los conjuntos de referencia ordenados para la obtención de
cardinales u ordinales. Cada uno de los objetos numéricos, al estar diferenciado de los
demás, puede recibir un nombre distinto.
 Descubrimiento de que basta nombrar el último elemento del conjunto numérico ordenado
con el que se ha establecido la correspondencia uno a uno para transmitir la información
deseada, tanto en contextos cardinales como ordinales: principio cardinal.
En un momento dado, algunas sociedades se dan cuenta de que al usar un conjunto
numérico ordenado, ya no es necesario presentar al interlocutor todo el conjunto con el que se
ha establecido la correspondencia, ni enumerarlo. Con hacer referencia al último objeto es
suficiente pues el interlocutor puede evocar todos los elementos anteriores.
No todas las culturas han sido capaces de llegar a este punto. Por ejemplo, los papúes de
Nueva Guinea, para indicar el cardinal “siete” hacen el gesto de tocar con su mano izquierda,
sucesivamente, los dedos de la mano derecha, la muñeca y el codo. Si se hace delante de ellos
el gesto único de tocar el codo no le encuentran sentido. Vestigios de esta incapacidad cultural
se encuentran en los niños pequeños que preguntados sobre cuántos hay cuentan y dicen, por
ejemplo,: “uno, dos, tres, cuatro”, y ante la pregunta insistente del adulto: “si pero, ¿cuántos
hay?” vuelven a decir: “uno, dos, tres y cuatro”.
Más adelante el conjunto de referencia se desliga de los objetos físicos. Cada palabra se
convierte en una palabra numérica (palabra que sirve para contar). En otras sociedades
primitivas algunas de esas palabras siguen evocando partes del cuerpo humano.
En particular, nuestro conjunto numérico habitual es un conjunto ordenado de palabras:
uno, dos, tres, cuatro, etc. Si alguien dice que tiene cinco objetos, su interlocutor entiende la
información porque se imagina un objeto para el uno, otro para el dos, otro para el tres, otro
para el cuatro y otro para el cinco. Es decir, la transmisión de dicha información numérica
está dependiendo del hecho de tener almacenada en nuestra memoria esa sucesión de
palabras, de forma que cuando nos dicen una de ellas somos capaces de recordar todas las
anteriores.
1.9. Técnicas abreviadas de contar
Las técnicas de contar exigen mucho tiempo cuando los elementos a contar son muchos.
No es extraño, por tanto, que se intente hacerlas más breves. Algunas situaciones permiten
acortar el proceso de contar, partiendo de una colección de objetos de cardinal conocido al
que se añaden o suprimen elementos para obtener el cardinal de la colección modificada. Las
formas más importantes de abreviar los recuentos son las siguientes:
 Contar de dos en dos, de tres en tres, etc., aprovechando nuestra capacidad de reconocer
directamente los cardinales de conjuntos pequeños.
 Contar hacia delante o hacia atrás, desde un cardinal dado. Por ejemplo, si tenemos un
conjunto de dieciocho objetos y nos dicen que añadamos algunos más, no volvemos a
contar todo para saber el cardinal del nuevo conjunto, sino que contamos los nuevos objetos adjudicándoles las palabras ‘diecinueve’, ‘veinte’, ‘veintiuno’, etc. De la
misma manera, si queremos suprimir unos cuantos objetos de un conjunto de dieciocho
vamos adjudicando a los objetos surprimidos las palabras ‘diecisiete’, ‘dieciséis’, etc. y la
última palabra numérica indicará el cardinal del conjunto final.
 Contar hacia delante o hacia atrás desde un cardinal dado hasta otro cardinal también
dado. Esta técnica se usa cuando queremos saber cuántos objetos hay que añadir o quitar a
un conjunto de cardinal dado para obtener otro cardinal conocido, o bien, qué diferencia
existe entre dos conjuntos de cardinal dado. Por ejemplo, si nos preguntan cuántos objetos
hemos añadido a un conjunto que tenía dieciséis y ahora tiene veinticuatro objetos,
podemos decir: diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés,
veinticuatro, al mismo tiempo que vamos levantando dedos. Al final tendremos ocho
dedos levantados que nos dan la respuesta a la pregunta inicial. Del mismo modo, si nos
preguntan cuántos objetos hay que quitar para pasar de tener catorce a tener once,
podemos decir: trece, doce, once, al mismo tiempo que levantamos dedos. Los tres dedos
levantados nos dan la respuesta a la pregunta.
 Contar hacia delante o hacia atrás, desde el cardinal dado, tantas veces como indique el
número de objetos a añadir o suprimir, respectivamente. Por ejemplo, si a un conjunto de
veinticuatro elementos le quitamos cinco elementos podemos decir: veintitrés, veintidós,
veintiuno, veinte, diecinueve, a medida que vamos quitando efectivamente esos objetos o
levantando dedos. El hecho de quitar los cinco objetos o tener cinco dedos levantados nos
indica que la cuenta ha terminado y el resultado es diecinueve.
Como hemos podido ver, algunas de estas técnicas abreviadas necesitan, además de la
colección habitual de palabras numéricas, una colección suplementaria de objetos numéricos.
Esta colección referencial de apoyo suelen ser los dedos, pero podría ser cualquier otra:
palotes, fichas, etc.
2. LOS NÚMEROS NATURALES. DIFERENTES USOS Y FORMALIZACIONES
2.1. La noción de número natural y sus usos
Como resumen de las secciones anteriores podemos decir que contar es poner en
correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto (contado) con un
subconjunto de otro conjunto (contador, sistema numérico de referencia o sistema numeral).
Los elementos del conjunto numérico pueden ser objetos físicos (piedrecillas, semillas,
marcas en una varilla o en un segmento, partes del cuerpo), palabras, símbolos, etc. Pueden
también ser imaginados por una persona, es decir, ser representaciones internas de objetos
para realizar comparaciones o cálculos. Pero tanto si son perceptibles, como mentales, el uso
básico que hacemos de ellos es contar y ordenar.
En una primera aproximación, podemos decir que los números naturales son cualquier
sistema de “objetos” (símbolos, marcas, materiales concretos, palabras,…), perceptibles o
pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus
elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto. El sistema más
común es el de las palabras: cero, uno, dos, tres,..; y los símbolos, 0, 1, 2, 3,… Para poder ser
usados en las situaciones de recuento y ordenación estos sistemas de objetos numéricos deben
tener una estructura recursiva específica, que se concreta en los llamados axiomas de Peano
enunciados en la sección 2.2.
El número natural responde a la cuestión, ¿cuántos elementos tiene este conjunto?
(recuento del número de elementos) y en estas circunstancias se habla de número cardinal.
Para hallar el cardinal de un conjunto se le pone en correspondencia biyectiva con una parte
del conjunto de los números naturales, pero fijándose sólo en el número atribuido al último
elemento que se cuenta. Los números naturales también se pueden usar para ordenar un
conjunto y entonces se habla de número ordinal.
La noción de número natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y
ordinal 3, identificación que se realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: “El
número cardinal de un conjunto coincide con el número ordinal del último elemento, y es
siempre el mismo cualquiera que sea el orden en que se haya efectuado el recuento”
El número cardinal resulta de considerar, no un elemento, sino todo el conjunto,
prescindiendo de la naturaleza de los elementos que lo componen y del orden en que se
consideran. El número ordinal resulta de prescindir de la naturaleza de los objetos y teniendo
en cuenta solamente el orden. La reflexión sobre el cardinal y ordinal y sobre las operaciones
que se realizan sobre ellos permite identificar una misma estructura operatoria, lo que lleva a
hablar del “número natural”.
Algunos autores consideran la medida como un contexto de uso diferente de uso de los
números naturales, hablando incluso del “número de medir”. Pensamos que este uso es
equivalente al de cardinal. Al medir una cantidad de magnitud tomando otra como unidad se
trata de determinar cuántas unidades (o bien múltiplos y submúltiplos) hay en la cantidad
dada. De manera equivalente, hablar del cardinal de un conjunto se puede ver también como
“medir” el tamaño o numerosidad del conjunto considerado tomando el objeto unitario como
unidad de medida. Cuando se trate de medir magnitudes continuas será necesario ampliar la
noción de número para incluir a los racionales y reales.
Finalmente, mencionamos un uso habitual que no es propiamente numérico. Se trata del
uso de un sistema numérico como etiquetas identificativas de objetos. Por ejemplo, los
números de carnet de identidad de una persona, los números de teléfonos, la identificación de
las teclas en calculadoras, etc. En realidad tales “números” se usan como códigos, careciendo
del sentido cardinal, ordinal y algorítmico.
2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales
La reflexión de los matemáticos sobre las propiedades y técnicas anteriores lleva a
definir el conjunto de números naturales N de diversas formas que resumimos a continuación.
Formalización de Peano (Axiomas de Peano)
Esta formalización se basa en ideas muy sencillas: Consideramos como conjunto de los
números naturales todo conjunto tal que cada elemento tiene un único siguiente, hay un
primer elemento, y contiene todos los elementos siguientes de los anteriores. Los conjuntos
que tienen estas propiedades se llaman conjuntos naturalmente ordenados o conjunto de
números naturales.