MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS

PROPORCIONALIDAD

Al concluir el estudio de esta unidad el alumno será capaz de:

* Determinar correctamente una magnitud y su variación.

* Identificar relaciones de proporcionalidad entre magnitudes .

*Identificar una relación directamente proporcional .

* Identificar una relación inversamente proporcional

* Relacionar proporcionalmente en una sola fórmula todas las magnitudes que intervienen en un fenómeno natural , haciendo uso de los teoremas de proporcionalidad.
* Comparar correctamente una pareja de magnitudes proporcionales, determinando si son directamente proporcionales o inversamente proporcionales.
* Ser capaz de obtener una fórmula para varias relaciones entre magnitudes.

* Interpretar las diferentes situaciones gráficas de las magnitudes directas e inversas.

* Generalizar cualquier situación de proporcionalidad y las magnitudes que con ellas tenga que ver.

* Reconocer el comportamiento aritmético, algebraico y geométrico de 2 magnitudes que varían en forma directamente proporcional (DP) o en forma inversamente proporcional (IP) .

* Aplicando el principio fundamental de comparación de magnitudes podrá deducir fórmulas proporcionales.

Introducción :
Cuando decimos que nuestro peso ha variado en 3 kilogramos, estamos hablando de una magnitud que pudo haber aumentado o disminuido al igual que cuando en el verano la temperatura cambia con respecto al invierno.
Ambos son ejemplos de MAGNITUD.
Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza observamos que muchos de ellos sufren variación ; la masa , longitud , volumen , tiempo , temperatura , etc . Los cuales considerando una medida de patrón , puede ser medido dicha variación ; sus medidas en forma particular son respectivamente 5 gramos ; 27 metros , 39 litros, 4 horas , 24°C. Así también se puede considerar al número de obreros , obra , eficiencia , número de horas diarias , presión , dificultad de una obra ; etc. Que pueden ser medidas y que sufren variación . Entonces observamos que todo aquello que sufre variación , la cual puede ser medida , se denomina , magnitud y un resultado de medir dicha variación, en ciertas unidades se denomina cantidad (valor), siendo estas discretas o continuas.


OBJETIVOS :
 Reconocer las magnitudes que interactuan en nuestra vida.
 Establecer la relación que existen entre las magnitudes que nos rodean.
 Expresar matemáticamente las relaciones entre las magnitudes y representar gráficamente el comportamiento de los valores (medidas), que asumen las magnitudes en determinado momento.
 Aplicar las propiedades de las magnitudes en la resolución de los problemas que nuestro entorno nos rodea.
INTRODUCCIÓN
Tu conoces muchas fórmulas físicas y químicas, las cuales aplicas de diversas maneras. Pero si pensamos en algún momento de donde provienen, estas son de las relaciones entre magnitudes.
Evaluamos por ejemplo los conceptos de cinemática y sus fórmulas (M.R.U.):

Se obtuvo de relacionar la distancia con el tiempo, porque se sabe que si en algún instante se recorre el doble de distancia, te demorarás el doble de tiempo a la misma velocidad (constante).
Pruebe lo mismo con la Ecuación general de los gases: PV=RTN

MAGNITUDES
En el primer capítulo ya hemos conceptuado magnitudes. Recordando magnitud es la propiedad física que se puede medir.
Ejemplos:
• Magnitud Medida (valor)
Altura 13 m
Volumen 4,5 L
Edad 15 años

MAGNITUDES PROPORCIONALES
Se dice que dos magnitudes son proporcionales si ellas se relacionan de tal modo que, multiplicando la medida (o valor) de una de ellas por un número, la medida (o valor) correspondiente de la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
En el primer caso la proporcionalidad se llama directa y en el segundo inversa; usualmente se dice que las Magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) o inversamente proporcionales (I.P.)

EJEMPLO (1)
Se ha pagado S/.16 por 8 kg de arroz.
Determine:
a. El costo de 24 kg
b. El peso por el cual se pagó S/.80
Resolución
Si se pagó S/. 16 por 8 kg se deduce que el costo de 1kg es S/. 2, luego por 24 kg se pagó 24 (S/. 2)=S/.48 y con S/.80 se pudo comprar 40 kg.
Llevando los valores a un cuadro:

Observamos el comportamiento de los valores afirmamos que la magnitud costo es directamente proporcional a la magnitud peso.
Además se tiene que:

Con los valores respectivos podemos elaborar una gráfica, como:

• La gráfica de las magnitudes D.P. son algunos puntos de una recta que pasa por el origen de coordenadas.

• Además:

Donde:
Textualmente diremos que el costo está en función del peso.

EJEMPLO (2)
Un automóvil con una velocidad de 20 m/s tarda 30 s en recorrer cierta distancia.
a. ¿Que tiempo tardaría si la velocidad fuera 60m/s?
b. ¿Que velocidad debería emplearse para emplear solo 25s?
Resolución
La velocidad 20m/s nos indica que en 1 segundo se recorre 20 m, por lo tanto en los 30 segundos se recorre 3020m=600m.
La velocidad 60 m/s nos indica que en 1 segundo se recorre 60 m, luego para recorrer 600 m es necesario 10 segundos.
La velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, en el caso de 25 s la velocidad es .
Llevando los valores a un cuadro:

Observando el comportamiento de los valores afirmamos que la magnitud velocidad y la magnitud tiempo son inversamente proporcionales.
Además se tiene que:

Con los valores respectivos podemos elaborar una gráfica, como:

• La gráfica de las magnitudes I.P. son algunos puntos de una rama de una hipérbola.
• Además:
60(10)=24(25)=20(30)=(vel.)(tiempo)=y·x=k
Luego:
Textualmente diremos que:
La velocidad esta en función del tiempo.

EJEMPLO (3)
10 costureras (todas de igual rendimiento) pueden confeccionar 400 casacas iguales en 48 horas. ¿Cuántas casacas confeccionarían si sólo fueran 8 las costureras y disponen sólo de 45 días?
Resolución
En este caso participan tres magnitudes: costureras; trabajo y tiempo. Se elige una de referencia para relacionarla con las otras, por ejemplo elegimos a costureras, luego:
costureras es D.P. al trabajo costureras es I.P. al tiempo. Esto, matemáticamente se expresa del siguiente modo:

Luego con los datos:
Costureras Trabajo Tiempo
i) 10 400 48
ii) 8 n 45
Se trabaja en el esquema:
n = 300
Rpta.: confeccionarán 300 casacas

• Cuando en el problema participan más de dos magnitudes se dice que se tiene una proporcionalidad compuesta.

Se tendrá:

Cada caso en particular tendrá su esquema de proporcionalidad.

PROPIEDADES
1. Si A es D.P. a B An es D.P. a Bn nÎQ
Si A es I. P. a B An es I. P. a Bn nÎQ
2. Si A es I. P. a B A es D. P. a

1. Demostrar que si:
N° obreros DP obra (Tiempo: constante)
Obra DP tiempo (N° de obreros: constante)
entonces:
N° obreros IP tiempo (obra: constante)
Demostración:
N° obreros DP obra ® obra DP N° obreros
obra DP tiempo

Si la obra es constante:
(N° obreros) (tiempo) = constante

2. Demostrar que en una inversión:
capital IP tiempo (ganancia constante)
Demostración:

1. Se sabe que A es DP a e IP a . Además cuando A es 14, entonces B = 64 y C = B. Hallar A cuando B sea 4 y sea el doble de B.

Rpta.:

2. “A” es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a la raíz cúbica de C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus , ¿qué sucede con el valor de “A”?

Rpta.:

3. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El servicio de la primera excede al de la segunda en años más y las pensiones están en la relación de 9 a 8. ¿Cuánto tiempo ha servido la segunda persona?

Rpta.:

4. Sean dos magnitudes “A” y “B” tales que “A” es IP a “B” ; “A” es DP a “B” si A = 6, cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 60?

Rpta.:

5. La distancia que recorre un objeto al caer durante un minuto es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde que fue soltado expresado en minutos. Si en el tercer minuto recorre 100m, ¿cuánto recorrerá en el octavo?

Rpta.:

6. En una ciudad el precio del café varía en forma DP al precio del azúcar y en forma IP al precio del té. Averiguar en qué porcentaje aumenta o disminuye el precio del café cuando el precio del azúcar baja en 10% y el precio del té sube en 20%.

Rpta.:

7. Una rueda “A” de 40 dientes engrana a otra de 16 dientes, la cual está conectada mediante un eje con otra rueda “C”, la cual está engranada con una rueda “D”. Si el número de dientes de cada una de estas dos últimas ruedas están en la relación de 2 y 7, ¿cuántas vueltas dará la rueda “D” en 3 minutos si “A” da 14 r.p.m?

Rpta.:

8. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso, ¿cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos siendo uno el triple del otro (el diamante entero costó 32 000 dólares).

Rpta.:

9. Si “A” y “B” son magnitudes, además se cumple que:
calcular el valor de “n + n”.

Rpta.:

10. “A”, “B”, “C” son magnitudes que guardan cierta relación de proporcionalidad de acuerdo a las siguientes tablas:

cuando A = 72, B = 9 y C = 8. Halle el valor de “B” cuando A = 120 C = 125.

Rpta.:

11. El sueldo de una persona es DP a su edad hasta los 35 años y desde los 35 años hasta los 40 su sueldo es IP a su edad. En adelante su sueldo será 5% menos cada año. ¿Cuál será su sueldo de esta persona a los 42 años si a los 25 ganaba S/. 1 000?
A) S/. 1 000 B) S/. 1 109,5
C) S/. 1 225 D) S/. 1 400
E) S/. 1 500,5

12. Si “A”, “B” y “C” son magnitudes tales que A3 DP B2 (C constante), B3 DP C2 (A constante) y A DP Cn, entonces “n” es:
A) B) C) D) E)

13. De las ciudades “A” y “B” parten 2 motocicletas en la misma dirección y sentido; el que salió de “B” se adelantó 1 hora y el otro lo alcanzó después de 3 horas de haber salido. Los kilómetros más que recorrió éste es lo que recorrió el otro como 2 es a 3. ¿En qué relación están las velocidades?
A) B) C)
D) E)

14. La duración de un viaje por ferrocarril es proporcional a la distancia que recorre e inversamente proporcional a la velocidad, a su vez, la velocidad es directamente proporcional a la cantidad de carbón consumido por kilómetro e inversamente proporcional al número de vagones del tren. Para recorrer 40km. en media hora y llevando 18 vagones se requiere 560kg. de carbón. ¿Cuánto carbón se habrá consumido en un viaje de 30km. hecho en 20 minutos y llevando 16 vagones?
A) 440kg. B) 420kg.
C) 430kg. D) 410kg.
E) 450kg.

5. En una ciudad los vehículos de transporte (taxi, colectivos y combis) cobran en forma D.P. al cubo del número de personas que transportan y D.P. a la distancia recorrida. Un grupo de 30 amigos quiere dirigirse al mismo sitio y notan que si viajan todos juntos gastarían S/. 50 400 más que si viajasen 2 amigos en el primer vhículo, 4 amigos en el segundo vehículo, 6 amigos en un tercer vehículo y así sucesivamente. ¿Cuánto pagan 3 personas que se dirigen a un lugar cuya distancia es el doble de la anterior?
A) S/. 94 B) S/. 102 C) S/. 108
D) S/. 96 E) S/. 98

1. Si “A” es directamente proporcional a “B” y “C2” e inversamente proporcional a “D” y “E”, entonces D = 4, C = 2 y E = 3. Calcular “E” cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E.
A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

2. Sea “F” una función de proporcionalidad directa tal que: F(3) + F(4) = 20.
Hallar el valor de:
A) 1 200 B) 1 176 C) 1 154
D) 1 100 E) 1 086

3. En una taza con té se introdujeron 3 cucharaditas de azúcar, al cabo de 3 minutos más se disuelve 4 gramos. ¿Cuántos gramos quedan al cabo de 3 minutos más si la cantidad de azúcar no disuelta es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo en minutos? (Una cucharadita contiene 20 gramos).
A) 12gr. B) 14gr. C) 16gr.
D) 18gr. E) 10gr.

4. Se sabe que una magnitud “A” es inversamente proporcional a “B2”. Hallar el valor de “A” sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de “B” varía en un 25%.
A) 90 B) 95 C) 100
D) 110 E) 120

5. Se tiene 3 ruedas “A”, “B” y “C” que se encuentran engranadas. La rueda “A” engrana con “B” y “B” engrana con “C”. Si estas ruedas tienen 40, 30 y 60 dientes respectivamente, además al cabo de 1 hora han dado 900 vueltas en total, ¿cuántas vueltas ha dado “B” en 2 horas y media?
A) 700 B) 750 C) 800
D) 900 E) 1 000

6. Si dos cantidades “A” y “B” son inversamente proporcionales con constante de proporcionalidad igual a K, ¿cuánto vale K si la constante de proporcionalidad entre la suma y diferencia de A y vale 6?
A) B) C) 2 D) 5 E) 7

7. Verónica y Mónica van a comer pizzas y a pleno banquete Verónica se dio cuenta que el peso de las pizzas es DP al cuadrado de su radio (cuando el grosor es constante) pero Mónica afirmó que el peso es DP al grosor (cuando el radio es constante). Si de ls 2 pizzas que compran sus pesos están en la relación de 2 a 3 y sus radios están en la relación de 4 a 3, ¿en qué relación se encuentran los grosores de dichas pizzas?
A) 1 a 1 B) 1 a 3 C) 2 a 4
D) 3 a 8 E) 4 a 7

8. El costo de un terreno es IP al cuadrado de la distancia que lo separa de Lima y DP al área. Un cierto terreno cuesta S/. 12 800 y otro terreno de doble área y situada a una distancia 3 veces mayor que la anterior ¿cuánto costará?
A) S/. 64 000 B) S/. 16 000
C) S/. 32 000 D) S/. 96 000
E) N.A.

9. Sabiendo que ‘A” es IP a la inversa de “B2” e IP a “C3” y además que “B” es DP a “D2” y “C” es IP a E3. Determinar el valor de “A” cuando E = 4 y D = 9, si cuando E = 2, D = 3, A = 2.
A) 29 · 35 B) 210 · 34 C) 27 · 35
D) 29 · 37 E) 28 · 35

10. Si el tiempo que demora un planeta en recorrer toda su órbita es DP al cubo de la distancia del planeta al Sol e IP a la masa del planeta, ¿cuántos días demorará un planeta de doble masa que la de, la Tierra en dar la vuelta alrededor del Sol si la distancia que los separa es el doble que la de la Tierra?
A) 1 200 B) 1 460 C) 1 500
D) 1 540 E) 1 600

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